Bài giảng toán rời rạc chương 3 nguyễn quỳnh diệp

CHƯƠNG 3

PHÉP QUY NẠP VÀ
ĐỆ QUY
Nguyễn Quỳnh Diệp

File Bài giảng: goo.gl/Y3cpLF hoặc goo.gl/TYxXQD
Nguyễn Quỳnh Diệp

1


NỘI DUNG

• Quy nạp tốn học

• Đệ quy

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

2


3.1. QUY NẠP TỐN HỌC

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

3


QUY NẠP TỐN HỌC
Các phương pháp chứng minh cơ sở:
•
•
•
•
•

Chứng minh trực tiếp
Chứng minh gián tiếp
Chứng minh phản chứng
Chứng minh từng trường hợp
Chứng minh tương đương

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

4


QUY NẠP TỐN HỌC
Chứng minh bằng quy nạp
• Là kĩ thuật sử dụng để chứng minh các mệnh đề phổ
quát trên tập các số nguyên dương, x P(x) với x 
Z+.
• Bao gồm 2 bước:

1) Bước cơ sở: chỉ ra mệnh đề P(1) là đúng
2) Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề kéo theo
P(k)  P(k+1) là đúng với mọi số nguyên
dương k

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

5


QUY NẠP TỐN HỌC
Ví dụ 1: Chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2𝑛 − 1 = 𝑛2
• Bước cơ sở: P(1) ln đúng vì 1 = 12
• Bước quy nạp: giả định P(k) đúng với n= k, tức là:
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2𝑘 − 1 = 𝑘 2

Ta phải chứng minh P đúng với n=k+1.
Tức là: P(k+1) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2𝑘 − 1 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2
VT = 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2 =VP

•

Vậy P(n) đúng với mọi n ngun dương
Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

6


QUY NẠP TỐN HỌC
Ví dụ 2: Bằng quy nạp tốn học, chứng minh bất đẳng thức
n< 2n với mọi số ngun dương n.

Ví dụ 3: Bằng quy nạp tốn học, chứng minh tổng hữu hạn
các số hạng cấp số nhân:
𝑛

𝑗=0

𝑛+1 − 𝑎
𝑎𝑟
𝑎𝑟 𝑗 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛 =
𝑟−1

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

7


BÀI TẬP
 Bài 1: Tìm cơng thức tính tổng:

1
1

1
+
+⋯+
1.2 2.3
𝑛. (𝑛 + 1)
Dùng quy nạp toán học để chứng minh kết quả vừa tìm
được.
 Bài 2: Chứng tỏ rằng với n là số nguyên dương ta có:
12 + 22 + 32 +... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

9


3.2. ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

10


ĐỆ QUY

• Phép đệ quy: Định nghĩa đối tượng qua chính nó
Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

11


ĐỆ QUY
Định nghĩa đệ quy
• Là định nghĩa một dãy, tập hợp bằng cách định nghĩa các
số hạng của dãy, tập hợp thơng qua các số hạng trước đó
Các hàm được định nghĩa bằng đệ quy:
1) Bước cơ sở: cho giá trị của hàm tại 0
2) Bước đệ quy: Cho quy tắc tính giá trị của nó tại
một số ngun n từ các giá trị nhỏ hơn n

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

12


ĐỆ QUY
Ví dụ:

Định nghĩa đệ quy của hàm giai thừa F(n) = n!

• Bước cơ sở: F(0) = 0! = 1

• Bước đệ quy:
- F(1) = 1*F(0) = 1.1 = 1

- F(2) = 2*F(1) = 2.1 = 2
- F(3) = 3*F(2) = 3.2 = 6
- F(n) = n*F(n-1)

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

13


ĐỆ QUY
Định nghĩa 1:
Các số Fibonaci f0, f1, f2... được định nghĩa bởi các
phương trình: f0=0, f1= 1 và fn = fn-1 + fn-2
trong đó n= 2, 3, 4,...

Ví dụ:

• Tìm các số hạng f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 của dãy Fibonacci

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

14


BÀI TẬP
 Bài 3: Hãy định nghĩa đệ quy của hàm sau:

a) an, với n  0, n nguyên
b)

𝒏
𝒌=𝟎 𝒌

 Bài 4: Hãy cho định nghĩa đệ quy của dãy {an} , n = 1,

2,... nếu
a) an = 6n

b) an = 2n + 1

c) an = 10n

d) an = 5

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

15


CÁC TẬP HỢP ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY
Giống như định nghĩa bằng đệ quy đối với các hàm, định
nghĩa đệ quy cho tập hợp cũng gồm 2 phần: bước cơ sở và
bước đệ quy.
- Trong bước CƠ SỞ: người ta cho các phần tử xuất phát.

- Trong bước ĐỆ QUYy: người ta cho quy tắc để tạo ra các

phần tử mới từ các phần tử đã biết

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

16


CÁC TẬP HỢP ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY
Ví dụ: Cho tập S được định nghĩa như sau:
• BƯỚC CƠ SỞ: 3 S
• BƯỚC ĐỆ QUY: Nếu x  S và y  S thì x + y  S

Hãy chỉ ra các phần tử của tập S sau 3 lần đệ quy

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

17


CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY
Định nghĩa 1:

Một thuật tốn được gọi là đệ quy, nếu nó
giải một bài tốn bằng cách rút gọn liên tiếp

bài tốn đó tới giai đoạn của chính bài tốn
ban đầu nhưng có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

20


CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY

Ví dụ :
Tìm thuật tốn đệ quy tính giá trị an, với
a là số thực khác 0 và n là số ngun
khơng âm.
THUẬT TỐN : Thuật tốn đệ quy tính an
Procedure power(a: số thực khác 0; n: nguyên không âm)
if n = 0 then
power(a, n) := 1
else power(a,n) := a.power(a, n-1)
Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

21


CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY
Ví dụ 1: Biểu diễn thuật tốn tính ước chung lớn nhất của

hai số a,b như một thủ tục đệ quy.

Ví dụ 2: Biểu diễn thuật tốn tìm kiếm tuyến tính và tìm
kiếm nhị phân như một thủ tục đệ quy.

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

22


CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY
Tìm kiếm tuyến tính
THUẬT TỐN : Thuật tốn đệ quy tìm kiếm tuyến tính

Procedure search (i, j, x)
if ai = x then
location := i
else if 𝑖 = 𝑗 then
location := 0
else
search(i+1, j, x)

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

23

CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY
Tìm kiếm nhị phân
THUẬT TỐN : Thuật tốn đệ quy tìm kiếm nhị phân
Procedure binary search (i, j, x)
m := (i+j)/2
if x = ai then
location := m
else if (𝐱 < 𝑎𝑚 và i < m ) then
binary search(x,i, m-1)
else if ( x > am và m < j) then
binary search(x,m+1, j)
else
location :=0
Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

24


BÀI TẬP
 Bài 4: Xây dựng thuật toán đệ quy tính n!

 Bài 5: Xây dựng thuật tốn đệ quy tính các số fibonacci

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

25


BÀI TẬP
 Bài 6: Hãy đưa thuật toán đệ quy tìm tổng n số nguyên

dương lẻ đầu tiên.
 Bài 7: Số hạng thứ n được định nghĩa như sau: a0 = 1,

a1=2 và an= an-1.an-2, với n = 2,3, 4...
a) Hãy định nghĩa hàm đệ quy để tính an

b) Xây dựng thuật tốn đệ quy để tính an

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

26


Nguyễn Quỳnh Diệp

27