He thong ly thuyet HH On thi vao 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT PHẦN I : MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÌNH HỌC LỚP 6 1. §iÓm - §êng th¼ng - Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C, ... để đặt tên cho điểm - BÊt cø h×nh nµo còng lµ mét tËp hîp c¸c ®iÓm. Mét ®iÓm còng lµ mét h×nh. - Ngêi ta dïng c¸c ch÷ c¸i thêng a, b, c, ... m, p, ... để đặt tên cho các đờng thẳng (hoặc dùng hai ch÷ c¸i in hoa hoÆc dïng hai ch÷ c¸i thêng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, ... ) - Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C nằm trên đờng thẳng a hoặc đờng thẳng a đi qua điểm C), kÝ hiÖu lµ: C  a - Điểm M không thuộc đờng thẳng a (điểm M nằm ngoài đờng thẳng a hoặc đờng thẳng a kh«ng ®i qua ®iÓm M), kÝ hiÖu lµ: M  a. 2. Ba ®iÓm th¼ng hµng - Ba điểm cùng thuộc một đờng thẳng ta nãi chóng th¼ng hµng - Ba điểm không cùng thuộc bất kì đờng th¼ng nµo ta nãi chóng kh«ng th¼ng hµng. 3. §êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song - Hai đờng thẳng AB và BC nh hình vẽ bên là hai đờng thẳng trùng nhau. - Hai đờng thẳng chỉ có một điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung đó đợc gọi là giao điểm (điểm E là giao điểm) - Hai đờng thẳng không có điểm chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiÖu xy//zt. 4. Khái niệm về tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau - Hình gồm điểm O và một phần đờng thẳng bị chia ra bởi điểm O đợc gọi là mét tia gèc O (cã hai tia Ox vµ Oy nh h×nh vÏ) - Hai tia chung gốc tạo thành đờng thẳng đợc gọi là hai tia đối nhau (hai. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc tia Ox và Oy trong hình vẽ là hai tia đối - Hai tia chung gốc và tia này nằm trên nhau) tia kia đợc gọi là hai tia trùng nhau - Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng nhau 5. Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng - §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm ®iÓm A, ®iÓm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iÓm n»m gi÷a A vµ B - Hai điểm A và B là hai mút (hoặc hai - Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài ®Çu) cña ®o¹n th¼ng AB. ®o¹n th¼ng lµ mét sè d¬ng 6. Khi nµo th× AM + MB = AB ? - NÕu ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B th× AM + MB = AB. Ngîc l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B 7. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng - Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lµ điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B (MA = MB) - Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB cßn gäi lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña ®o¹n th¼ng AB 8. Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau - Hình gồm đờng thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a đợc gọi là một nöa mÆt ph¼ng bê a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đợc gọi là hai nửa mặt phẳng đối nhau (hai nửa mặt phẳng (I) và (II) đối nhau). 9. Gãc, gãc bÑt - Gãc lµ h×nh gåm hai tia chung gèc, gèc chung của hai tia gọi là đỉnh của góc, hai tia lµ hai c¹nh cña gãc.   - Gãc xOy kÝ hiÖu lµ xOy hoÆc O hoÆc xOy - Điểm O là đỉnh của góc - Hai c¹nh cña gãc : Ox, Oy - Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau. 10. So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï.. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc - So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so s¸nh c¸c sè ®o cña chóng - Hai góc xOy và uIv bằng nhau đợc kí. . . hiÖu lµ: xOy uIv - Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:.     xOy  uIv  uIv  xOy - Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, lµ gãc vu«ng - Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lµ gãc nhän - Gãc lín h¬n gãc vu«ng nhng nhá h¬n gãc bÑt lµ gãc tï.. . . . 11. Khi nµo th× xOy  yOz  xOz - NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oz.    th× xOy  yOz xOz .. . . . - Ngîc l¹i, nÕu xOy  yOz xOz th× tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oz. 12. Hai gãc kÒ nhau, phô nhau, bï nhau, kÒ bï - Hai gãc kÒ nhau lµ hai gãc cã mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn l¹i n»m trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chøa c¹nh chung. - Hai gãc phô nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 900 - Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 1800 - Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau đợc gäi lµ hai gãc kÒ bï. 13. Tia ph©n gi¸c cña gãc - Tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ tia n»m gi÷a hai c¹nh cña gãc vµ t¹o víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau. . . . . . - Khi: xOz  zOy xOy vµ xOz = zOy => tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy - §êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c cña mét góc là đờng phân giác của góc đó (đờng thẳng mn là đờng phân giác của góc xOy). 14. §êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc a) §Þnh nghÜa: §êng th¼ng vu«ng gãc víi một đoạn thẳng tại trung điểm của nó đợc gọi là đờng trung trực của đoạn thẳng ấy b) Tæng qu¸t:. a. B. I. A. a là đờng trung trực của AB a  AB t¹i I    IA =IB. 15. Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng a) C¸c cÆp gãc so le trong:.  vµ B    A 1 3 ; A 4 vµ B2 .. b) Các cặp góc đồng vị:.  vµ B  A 1 1;  vµ B  A 3 3;. c) Khi a//b th×:. a. 3A21 4.  vµ B  A 2 2;  vµ B  A 4 4.. 3 2B1 4. b.  vµ B    A 1 2 ; A 4 vµ B3 gäi lµ c¸c cÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau. 16. Hai đờng thẳng song song a) DÊu hiÖu nhËn biÕt - Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau. c. a b. M. b) Tiên đề Ơ_clít - Qua một điểm ở ngoài một đờng thẳng chỉ có một đờng thẳng song song với đờng thẳng đó. b a. c, Tính chất hai đờng thẳng song song - Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:  Hai gãc so le trong b»ng nhau;  Hai góc đồng vị bằng nhau;. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc  Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau. d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song - Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc c với đờng thẳng thứ ba thì chúng song song b víi nhau. a. a  c   a / / b b  c. - Một đờng thẳng vuông góc với một trong hai đờng thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đờng thẳng kia. c. b a. c  b   c  a a / / b. e) Ba đờng thẳng song song - Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì chúng song song víi nhau a//c vµ b//c => a//b. a b c. 17. Gãc ngoµi cña tam gi¸c a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cña mét tam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc cña tam gi¸c Êy b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng kÒ víi nã. A.   B  ACx A. B. C. x. PHẦN II :TAM GIAÙC Hai tam giaùc baèng nhau. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc Hình veõ. M. A. B. N. C. P. Ñònh nghóa. DABC = DMNP AB MN; AC MP; BC NP    M;  B  N;C   P A  Các trường hợp bằng nhau 1. Trường hợp c-c-c AB MN; AC MP; BC NP Þ DABC = DMNP (c – c – c) của2 tam giác thường 2. Trường hợp c-g- c AB MN;AC MP    M  A  Þ DABC=DMNP (c – g – c) 3.Trường hợp g –c - g AB MN   M;  B  N   A  Þ DABC = DMNP (g – c – g) Hình veõ N B. A. C. M. P. Các trường hợp bằng nhau và 1. Trường hợp : cạnh huyền – cạnh góc vuông AB MN; BC NP Þ DABC = DMNP đồng dạng của giác vuông. 2. Trường hợp : cạnh huyền – góc nhọn   BC = NP; B N Þ DABC = DMNP. 3. Trường hợp : 2 cạnh góc vuông bằng nhau AB MN; AC MP Þ DABC = DMNP 1. Tam giaùc caân. * Ñònh nghóa: Tam giaùc caân laø tam giaùc coù hai caïnh baèng nhau * Tính chaát Định lý 1:Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Định lý 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân 2. Tam giaùc vuoâng caân: laø tam giaùc vuoâng coù hai caïnh goùc vuoâng baèng nhau 3.Tam giác đều:Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Heä quaû . Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 600. . Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. . Nếu một tam giác cân có một góc bằng 600 thì tam giác đó là tam giác đều. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc 4.Ñònh lí Pytago: Trong moät tam giaùc vuoâng bình phöông caïnh huyeàn baèng toång bình phöông hai caïnh goùc vuoâng. DABC vuoâng taïi A Þ BC2 = AC2 + AB2 * Định lý pitago đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông DABC, coù : BC2 = AC2 + AB2 ÞDABC vuoâng taïi A 5. Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.. * Góc đối diện với cạnh lớn hơn Định lý 1 : Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. *Cạnh đới diện với góc lớn hơn Định lý 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn Nhaän xeùt - Trong tam giác tù, góc tù lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù lớn nhất - Trong tam giác vuông, góc vuông lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông (cạnh huyền) lớn nhaát. 6. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên A. C H. B. d. Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất Chú ý: Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Định lí 2:Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó: a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau. Ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 7. Bất đẳng thức trong tam giác: Định lí 1: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại * Định lí 2: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn laïi * Nhaän xeùt :. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài của hai caïnh coøn laïi 8. Đường trung tuyến của tam giác Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một 2 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó 3. AG BG CG 2 = = = AD BE CF 3 Ñieåm G goïi laø troïng taâm cuûa DABC 9.Ñònh lyù veà tính chaát caùc ñieåm thuoäc tia phaân giaùc * Định lý 1( đl thuận) Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó..  Neáu xOy , OÂ1 = OÂ2, M Oz, MA Ox, MB Oy Thì MA = MB Định lý 2 ( định lý đảo) Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó  Neáu xOy , MA = MB, MB Oy, MA Ox  Thì OM laø tia phaân giaùc cuûa xOy. * Nhaän xeùt Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó 10.Đường phân giác của tam giác: là đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh và chia góc đó thành 2 góc baèng nhau. AM là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ABC * Tính chất : Trong 1 tam giác cân , đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy * Tính chất ba đường phân giác của tam giác -Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua 1 điểm.. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc -Điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác đó (tâm đường tròn nội tiếp tam giác ) 11. Định lý về tính chất các điểm thuộc đường trung trực * Định lý ( thuận) Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. d là đường trung trực của AB, M  d Þ MA = MB * Định lý đảo: Điểm cách đều hai mút của đọan thẳng thì nằm trên đường trung trực của đọan thẳng đó Đoạn thẳng AB , MA = MB ÞM thuộc đường trung trực của AB * Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đọan thẳng đó. Đường trung trực của tam giác: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với caïnh naøy. Tính chất ba đường trung trực của tam giác Định lý : Ba đừơng trung trực của một tam giác cùng đi qua 1 điểm .Điểm này cách đều ba đỉnh của 1 tam giác đó.  ABC, b là đường TT của AC; c là đường TT của AB; b cắt c tại O Þ O nằm trên đường trung. trực BC. * Chú ý: Giao điểm O của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 12. Tính chất ba đường cao của tam giác - Ba đường cao của tam giác cùng đi qua 1 điểm (đồng quy). Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác. Điểm H gọi là trực tâm của ABC. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc * Trong tam giác cân:đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy * Trong tam giác đều: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng nhau. TEÂN. PHẦN III :CÁC TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT  TÍNH TÍNH HÌNHVEÕ - DIEÄN TÍNH CHAÁT CHAÁT VEÀ CHAÁT VEÀ TÍCH VEÀ GOÙC CAÏNH Ñ. CHEÙO. TRUÏC ĐỐI XỨNG. DAÁU HIEÄU NHAÄN BIEÁT. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc   AB // CD  A + B = 1800 Hình thang S=.   C + D = 1800. . Nhö h.thang. Hình thang caân. . Nhö h.thang AD = BC.  . . AC = BD. .   A =B   C =D. Đường thaúng qua trung ñieåm 2 đáy.. . . (AB+CD). AH 2 . . AB // CD, AD // BC AB = CD, AD = BC. .   A + B = 1800   B + C = 1800   C + D = 1800   0 D A. +. . Hình bình haønh. Tứ giác có 2 caïnh song song. (AB+CD). AH 2 . S=. . . . OA = OB, OC = OD. . = 180. Giao ñieåm 2 ñ.cheùo laø tâm đối xứng..   A = C,   B =D. . . . S = a.h . . . Nhö h.b.haønh.  . Nhö h.b.haønh. .   A = B = 900   C = D = 900. . Hình chữ nhaät S = a.b. Nhö h.b.haønh AC = BD. . . Nhö h.b.haønh Hai truïc ñ/x laø 2 ñ.thg ñi qua g/ñ 2 ñ/c vaø vgóc với 2 caïnh đối.. . . . . H. thang coù 2 goùc keà 1 đáy baèng nhau. H.thang coù 2 ñ.cheùo = nhau. Tgiaùc coù 2 caëp caïnh đối // Tgiaùc coù 2 caëp caïnh đối baèng nhau. Tứ giác có 1 caëp caïnh đối song song vaø baèng nhau. Tứ giác có 2 caëp goùc đối baèng nhau. T.giaùc coù 2 ñ.cheùo caét nhau taïi tr.ñieåm cuûa mỗi đường. Tứ giác có 3 goùc vuoâng. H.t. caân coù 1 goùc vuoâng. H.b.haønh coù 1 goùc vuoâng. Hbh coù 2 ñ.cheùo = nhau.. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc  Nhö  Nhö h.b.haønh  Nhö  h.b.haønh h.b.haønh  AB = BC =  AC  BD   Ñ.cheùo laø CD = DA đường p.giaùc cuûa 2 góc đối.. Hình thoi. Nhö h.b.haønh Ñ.thaúng qua 2 đỉnh đối laø 2 truïc đối xứng.. S = a.h 1 S= AC.BD 2. . . . . . Nhö h.thoi. . Nhö h.c.nhaät.  . Nhö h.thoi AC = BD. . . Nhö h.c.nhaät Nhö h.thoi. Hình vuoân g. . . . S = a2. . . Tứ giác có 4 caïnh = nhau. Hbh coù 2 caïnh keà = nhau Hbh coù 2 ñ.cheùo vuoâng goùc với nhau. Hbhaønh coù moät ñ.cheùo laø phaân giaùc. Hcn coù 2 caïnh keà = nhau. Hcn coù 2 ñ.cheùo v.goùc. Hcn coù 1 ñ.cheùo laø p.giaùc Hthoi coù 1 goùc vuoâng. Hthoi coù 2 ñ.cheùo = nhau.. PHẦN IV : ĐỊNH LÝ TALET - TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1).ĐL Ta-let: (Thuận & đảo). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc ' ' DABC ; B  AB; C  AC. B’C’// BC. . AB ' AC '  AB AC. 2). Hệ quả của ĐL Ta – lét :. DABC ; DA ' B ' C '; B '  AB; C '  AC AB ' AC ' B 'C ' B ' C '/ / BC Þ   AB AC BC 3). Tính chất tia phân giác của tam giác :. AD là p.giác  =>. DB AB  DC AC. 4). Tam giác đồng dạng: * ĐN :. A’B’C’ * Tính chất : - ABC ABC - A’B’C’ ABC => - A’B’C’ A”B”C”; * Định lí :. ABC A”B”C”. A’B’C’ ABC thì.  A '  A; B ' B ; C ' C    A' B ' B 'C ' C ' A'    AB BC CA  ABC. A’B’C’. ABC. MN // BC => ABC ; AMN AMN ABC 5). Các trường hợp đồng dạng : a). Trường hợp c – c – c : A' B ' B 'C ' A'C '   AB BC AC Þ. A’B’C’ ABC Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. b). Trường hợp c – g – c : A '  A   A ' B ' A 'C '  Þ   AB AC . A’B’C’. ABC. c) Trường hợp g – g : A '  A  Þ B ' B   . A’B’C’. ABC. 6). Các trường hợp đ.dạng của tam giác vuông :. a). Một góc nhọn bằng nhau :  ' B  B D. =>. vuông A’B’C’. D vuông ABC. b). Hai cạnh góc vuông tỉ lệ : A' B ' A'C '  AB AC. => D vuông A’B’C’. D vuông ABC. c). Cạnh huyền - cạnh góc vuông tỉ lệ : B 'C ' A 'C '  BC AC. => D vuông A’B’C’. D vuông ABC. 7). Tỉ số đường cao và tỉ số diện tích :. A' H ' k ' ' ' - DA B C ~ DABC theo tỉ số k => AH. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc S A' B'C ' k 2 ' ' ' S - DA B C ~ DABC theo tỉ số k => ABC 8)Tính chất đường phân giác trong tam giác : Trong tam giác , đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn ấy . GT KL. ABC,ADlaøphaângiaùccuûa ∠ BAC DB AB  DC AC. A. 6. 3. B. D. PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – LỚP 8 Công thức tính thể tích , diện tích xung quanh , diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật , hình lập phương , hình lăng trụ đứng Hình. Dieän tích xung Diện tích toàn Theå tích Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn quanh phaàBn – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi 15 Lăng trụ đứng Sxq = 2p.h Stp = Sxq + 2Sñ V = S.h. C.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. PhÇn VI: h×nh häc líp 9 1.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG - TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago. DABC vuông tại A  AB2  AC2 BC2 2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông A. B. C. H. 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC. 1 1 1   2 AB2 AC 2 4) AH Kết quả:. a 3 h ; 2 -Với tam giác đều cạnh là a, ta có:. a2 3 S 4. 3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn Đặt. ACB ; ABC  khi đó:. AB AH AC HC  ; cos   ; BC AC BC AC b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC. sin  . Kết quả suy ra:. 1) sin  cos;. tg . AB AH  ; AC HC. cot g . AC HC  AB AH. cos sin;. tg cotg; cot g tg sin  cos 2) 0  sin   1; 0  cos <1; tg  ; cot g  cos sin 1 1 3) sin 2   cos 2 1; tg.cot g 1; 1  cot g; 1  tg 2 sin  cos 2 4) Cho DABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó: 1 a 2 b 2  c 2  2bc.cosA; SDABC  bcsin A 2 Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 5) Tg 2. α. Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc 2tg α α α α α 2 = 1  tg  ; Sin 2 = 2Sin .Cos ; Cos 2 = 1 – 2Sin2. II). ĐƯỜNG TRÒN : 1). Quan hệ đường kính và dây :. 2). Quan hệ giữa dây và k/cách từ tâm đến dây :. AB  CD taïi I  IC ID ( CD < AB = 2R ). 3). Tieáp tuyeán :. - AB = CD  OH = OK - AB > CD  OH < OK 4). Tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau MA; MB laø T.tuyeán  MA MB    M 1 M 2    O O 2 =>  1. a laø ttuyeán  a  OA taïi A 5. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Đường thẳng và đường tròn cắt nhau. Soá ñieåm chung 2. Hệ thức giữa d & R d<R. (OH = d) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1. d=R. 0. d>R. Soá ñieåm chung. Hệ thức giữa OO’ với R &r. 2. R – r < OO’ < R + r. 1. OO’ = R + r OO’ = R – r > 0. (OH = d) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau. (OH = d) 6.Vị trí tương đối của hai đường tròn 1). Hai đường tròn cắt nhau : OO’ là trung trực của AB 2). Hai đường tròn tiếp xúc nhau :. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. Ba ñieåm O; A; O’ thaúng haøng 3). Hai đường tròn không giao nhau : OO’ > R + r OO’ < R – r OO’ = 0. 0 Ngoài nhau. Đựng nhau. Đồng tâm. III / GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Các định lý và hệ quả thường dùng về GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN: Các khẳng định - Hệ thức 1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau,hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau:. Hình vẽ D. o.  AB CD  AB CD. C A. B. 2. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm   của dây căng cung ấy: MA MB Þ IA IB. o I. A. M. 3. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây   căng cung ấy và ngược lại: MA MB  OM  AB. B. o. A M. 4. Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy và chia cung bị căng ra hai phần bằng nhau:  MB  IA IB Þ OI  AB ; MA 5. Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy và   chia cung bị căng ra hai phần bằng nhau: OI  AB Þ IA IB ; MA MB. B. o. A. I M. 6. Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau  AB / / CD Þ AC BD. B. o C. D A. B.   BOC Sd BC. 7. Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn. A. o B. C. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. 1   BAC  Sd BC 2 8. Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn 9. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn 1  BAx  Sd AB 2. B. x. o. A. 10. Trong một đường tròn : a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau ACB DFE   Þ AB DE. F C M. o.   b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau AMB  ACB. E. c) Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau AB DE  Þ ACB DFE . D. A. B. C. o. d) Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90 có số đo bằng nửa số đo của góc ở ACB  1 AOB 2 tâm cùng chắn một cung ( cùng chắn cung AB) e) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại,góc vuông o  nội tiếp thì chắn nửa đường tròn ACB 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). o. A. B B. C. o. A. f) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau   BAx BCA ( cùng chắn cung AB). B. x. o. C. A A C. 11.Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn 1    AC  ) BED  Sd ( BD 2 (góc có đỉnh bên trong đường tròn) 12. Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai 1    AB) CED  Sd (CD 2 cung bị chắn (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn). E. o. B D. C. A E. o B D. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc 13. Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng cho trước dưới một góc  không đổi o o là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng đó (0    180 ) - Đặc biệt : Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc 90o là đường tròn đường kính AB. 14. Quỹ tích các điểm cách điểm O cố định một khoảng không đổi R là đường tròn tâm O,bán kính R 15.Tứ giác nội tiếp: * Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một dường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn. * Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800. * Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 16. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp : a) Tứ giác có tổng hai góc đối b) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện c) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm .Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác d) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông hoặc dưới một góc  .* ) Một số dạng chứng minh tứ giác nội tiếp :. A  C  1800 => ABCD nội tiếp ADB 900 ; ACB 900 => A;B;C;D thuộc đ.tròn đ.kính AB => ABCD nội tiếp đ.tròn đ.kính AB. M. A. o. B. * Tứ giác ABCD có A, B, C, D  (O)  ABCD là tứ giác nội tiếp (O). * Tứ giác ABCD nội tiếp (O)  1800   A  C   0     B  D 180 * Tứ giác ABCD có: A  C  1800  ABCD là tứ giác n.tiếp Hoặc:  D  1800 B  ABCD là tứ giác n.tiếp.   ; xAD   xAD C  DAB 1800   1800 Þ DAB C => ABCD nội tiếp . *)Một số hệ thức thường gặp : D DCI) (do D ABI (do D MAD. IA.IC = IB.ID. D MCB MA.MB = MD.MC. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc MA2 = MB.MC (do D MBA. D MAC). AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2. 21-Cung chứa góc: * Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc  không đổi là hai cung tròn chứa góc  . * Đặc biệt: a) Các điểm D, E, F cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, cùng nhìn đoạn AB dưới một góc không đổi Þ Các đểm A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông Þ Các đểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB.. 22. Các công thức tính toán thường dùng: 1) Đa giác đều nội tiếp: 1. Dây căng cung 600 bằng R 2. Dây căng cung 900 bằng R 2 3. Dây căng cung 1200 bằng R 3 (Trong đó R là bán kính đường tròn ) 2) Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình tròn, diện tích hình quạt . Độ dài đường tròn & cung tròn : * Chu vi đường tròn : C 2R d .R. S  .R 2. * Độ dài cung AB có số đo n0 :  .R.n 0 l AB  180 * Diện tích hình viên phân:. * Diện tích hình quạt cung AB có số đo n0 là :.  .R 2 .n 0 l.R  0 2 Squạt = 360. Sviên phân = Squạt - SABC * Diện tích hình vành khăn: 23/Hình trụ - Hình nón – Hình cầu. Diện tích hình tròn & hình quạt tròn : * Diện tích hình tròn :. S  ( R12  R22 ). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc a) Hình trụ, diện tích xung quanh và thể tích: Sxq = 2 π r h Stp = 2 π rh + 2 π r2. V = Sh = π r2h. Trong đó: r : Bán kính đường tròn đáy. S: Diện tích đáy . h : Chiều cao. b) Công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình nón . Sxq = π rl Stp = π rl + π r2 V=. 1 3. π r2h. Trong đó: r : Bán kính đường tròn đáy. l : độ dài đường sinh. h : Chiều cao. c) Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt. Sxq = π ( r1 + r2).l V=. 1 3. π h( r12 + r22 + r1r2).. d) Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu. Smc = 4 π R2. hay Smc = π d2. 4 π R3 3 Trong đó: Smc Diện tích mặt cầu ; R : bán kính, d: đường. V= kính.. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. PHẦN VII : CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác bằng nhau. A A '; B B'; C C' DABC DA 'B'C' khi  AB A 'B'; BC B'C'; AC A 'C' a) Khái niệm: b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g. c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn. d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau. 2.Chứng minh hai góc bằng nhau -Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, … -Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh. -Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh. -Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, …) 3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -Dùng đoạn thẳng trung gian. -Dùng hai tam giác bằng nhau. -Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, … -Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một đường tròn, … -Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, … 4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song -Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, … -Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba. -Áp dụng định lý đảo của định lý Talet. -Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác. -Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn. 5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc -Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác. -Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. -Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. -Đường kính đi qua trung điểm của dây. -Phân giác của hai góc kề bù nhau. 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng -Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng.. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc -Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, … -Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 180 0 thì A, B, C thẳng hàng. -Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên. -Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B. 7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy -Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác. -Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó. -Dùng định lý đảo của định lý Talet. 8 /CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 8.1.Tam giác đồng dạng. A A'; B B'; C C'  DABC DA'B'C' khi  AB AC BC    A 'B' A'C' B'C' -Khái niệm: -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g. -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông… *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 8.2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, … Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB. -Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba. Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba. Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm với đường tròn. 9 /CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Phương pháp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau. -Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau. -Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau. -Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó. M AB  CD; N AD  BC ). -Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó P AC  BD ) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; … Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. PHẦN VIII : BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE,CFcắtnhautại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lêi gi¶i: 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:  CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao)  CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) =>  CEH +  CDH = 1800. Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE  AC => BEC = 900. CF là đờng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => D AEH  DADC => => AE.AC = AH.AD. = AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => D BEC  DADC => => AD.BC = BE.AC. = AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM => D CHM c©n t¹i C => CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp  C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)  E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . . Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyÕn 1 3. Chøng minh ED = BC. => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn 2 ta cã BEC = 900 . 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. 1 Lêi gi¶i: lµ trung tuyÕn => DE = BC. 2 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:  CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao) Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c 2 DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE  OE t¹i E. Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn  CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) (O) t¹i E. =>  CEH +  CDH = 1800 . Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp dụng định lí Pitago cho tam giác OED 2. Theo gi¶ thiÕt: BE là đờng cao => BE  AC => vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2  ED2 BEA = 900. – 32  ED = 4cm AD là đờng cao => AD  BC => Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB BDA = 900. 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. 0 Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 90 => E vµ D = Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB. thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®- tuyÕn ît ë C và D. Các đờng thẳng AD và BC êng trßn. c¾t nhau t¹i N. 1.Chøng minh AC + BD = CD. Lêi gi¶i: 2. 3.Chøng minh COD = 900. 2.Chøng minh 2 AC. BD = AB . 4 4.Chøng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. 5.Chøng minh MN  AB. 6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhá nhÊt. 1.Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. 3.Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = AB . 4 4. Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5.Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc ị IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra = = BN BD BN DM => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB.. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bµngtiÕpgãcA,Olµtrung®iÓmcñaIK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI  BK hayIBK = 900 . Tơng tự ta cũng có ICK = 900 nh vậy B và C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ).. I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC  OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = √ 202 − 122 = 16 ( cm) 2 2 CH2 = AH.OH => OH = CH =12 = 9 (cm) AH 16 OC = √ OH2 +HC2 =√ 92+ 122=√ 225 = 15 (cm) Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm). 2. Vì K là trung điểm NP nên OK  NP ( quan hệ đờng kính. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh vËy K, A, B cùng nhìn OM dới một góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đờng cao. áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chỉ có một đờng thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E. 1.Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3.Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH). 4.Chøng minh BE = BH + DE. Lêi gi¶i: (HD) 1. D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của DBEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => B1 = B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => D AHB = DAIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. Tõ (1) vµ (2) =>  ABM =  1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đ- AOP (3) êng trßn. 2. Chøng minh BM // OP. 3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm). 2.Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m AOM 2 ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c  AOM 2 AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>  AOP = (2) Mà  ABM và  AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4) 3.XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => DAOP = DOBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật). (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Từ (7) và (8) => DIPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng.. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. => KMF + KEF = 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. 0 180 . Mµ KMF vµ KEF lµ 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. hai góc đối của tứ giác EFMK 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. do đó EFMK là tứ giác nội 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. tiếp. Lêi gi¶i: 1. Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ). => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). 2. Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => DAIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do ……) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE  AF hay BE là đờng cao của tam giác ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng). 5. (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FK hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn thì AKFI phải là hình thang cân. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đ ờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Lêi gi¶i: 1.C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BC  AE. ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ đờng cao => AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đờng cao ), mà AB là đờng kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi. 2.D ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ). => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 180 0) (1) D ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ). => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) 3.Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 .. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = bï víi ACD). ASS’. Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFBTheo = trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®/ trßn => 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ECD + EFD = 1800, mÆt kh¸c (néi tiÕp cïng ECD và EFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD ASP=AMP lµ ch¾n AP ) tø gi¸c néi tiÕp. => AS’P = AMP => tam Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng gi¸c PMS’ c©n t¹i P. tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao . Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đờng tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => vuông góc từ S đến AB. B1 = S’1 (cïng phô víi S). 1.Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng ∆ PS’M c©n. (3) 2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của đờng tròn . Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => Lêi gi¶i: 1. Ta cã SP  AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa S’ ®- 1 = M1 (4) 0 Tam êng trßn ) => AMS = 90 . Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi mét gãc gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 bằng 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AS. (5). Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn. Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 2. Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đờng tròn nên M’ cũng nằm => M1 + M2 = M3 + M2 trên đờng tròn => hai cung AM và AM’ có số đo bằng nhau mµ M3 + M2 = AMB = 900 nªn suy ra M1 + M2 = PMO = 900 => PM  OM t¹i M => PM là tiếp tuyến của đờng tròn tại M Bµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’  AB tại H => MM’// SS’ ( cùng BD BM 4. = vu«ng gãc víi AB) CB CF => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). Lêi gi¶i: 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE). Chøng minh t¬ng tù ta cã DFE < 900; EDF < 900. Nh vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. AD AF  2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => AB AC => DF // BC. 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp đợc một đờng tròn . 4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có  DBM = BCF ( hai góc đáy của tam giác cân). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . BD BM => DBDM DCBF => = CB CF Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn tại N của đờng tròn ở P. Chứng minh : Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. díi mét gãc b»ng 900 => M vµ 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. N cùng nằm trên đờng tròn đ3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. êng kÝnh OP => Tø gi¸c 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng OMNP néi tiÕp. cố định nào. 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => Lêi gi¶i: OPM =  ONM (néi tiÕp 1. Ta cã OMP = 900 ( v× PM  AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ch¾n cung OM) ).. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN. => OPM = OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C là góc chung => DOMC DNDC CM CO  => CD CN => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R 2 không đổi => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4. ( HD) Dễ thấy DOMC = DDPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đờng thẳng cố định vuông gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB. Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn .. Lêi gi¶i: 1. Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ). Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 – phÇn h×nh häc. Gv: NguyÔn ThÞ XuyÕn –Trêng :THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü _ Hµ Néi. 34.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Tµi liÖu «n thi vµo 10 – phÇn h×nh häc => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật ) 2. Theo giả thiết EC AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K). 3. Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => DAEB vuông tại A có EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) =  .OA2 =  252 = 625  ; S(I) =  . IA2 =  .52 = 25  ; S(k) =  .KB2 =  . 202 = 400  . 1 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn là S = 2 ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 1 S = 2 ( 625  - 25  - 400  ) = 2 .200  = 100  314 (cm2) Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC. đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE. Lêi gi¶i:. 1. Ta có CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CDB = 900 nh vậy D và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB).   D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung bằng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Xét DCMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC nh vậy BA, EM, CD là ba đờng cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy.   4. Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) => MEB = 900. Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đờng tròn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD). Gv : NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ Néi.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Tµi liÖu «n thi vµo 10 – phÇn h×nh häc => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS     => CE CS  SM EM => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E. Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G. Chøng minh : 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy. Lêi gi¶i: 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DDEB  D CAB . 2. Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï);. BAC = 900 ( v× DABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp . * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 900 nh vậy F và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên A và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đờng cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S. Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH  PQ. Lêi gi¶i: 1. Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt) => AQM = 900 nh vậy P và Q cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên P và Q cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp. * Vì AM là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung ®iÓm cña AM. 1 2. Tam giác ABC có AH là đờng cao => SABC = 2 BC.AH. 1 Tam giác ABM có MP là đờng cao => SABM = 2 AB.MP 1 Tam giác ACM có MQ là đờng cao => SACM = 2 AC.MQ. Gv : NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ Néi 3.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Tµi liÖu «n thi vµo 10 – phÇn h×nh häc. 1 1 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => 2 AB.MP + 2 AC.MQ = 2 BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH. 3. Tam giác ABC có AH là đờng cao nên cũng là đờng phân giác => HAP = HAQ => HP HQ  ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ. Mà tam giác POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đờng cao => OH  PQ Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp . Lêi gi¶i: 1. Ta có : ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). => MCI + MDI = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp. 2. Theo trên Ta có BC  MA; AD  MB nên BC và AD là hai đờng cao của tam giác MAB mà BC và AD cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác MAB. Theo giả thiết thì MH  AB nên MH cũng là đờng cao của tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. DOAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 DKCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 .. Mµ A1 + M1 = 900 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 .. Gv : NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ Néi 3.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Tµi liÖu «n thi vµo 10 – phÇn h×nh häc XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai góc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp. Bài 19. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Lêi gi¶i: 1. BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BID = 900 (vì là hai góc kề bù); DE  AB tại M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp. 2. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE  AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đờng kính và dây cung). => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng . 3. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD  DC; theo trên BI  DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2). Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đờng thẳng song song với AD mà thôi.) 5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => DMIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; DO’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI  O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O). Gv : NguyÔn ThÞ XuyÕn – Trêng : THCS Nam Ph¬ng TiÕn B – Ch¬ng Mü – Hµ Néi 3.

<span class='text_page_counter'>(39)</span>