Phân loại và phương pháp giải bài tập tích vô hướng hai vectơ và ứng dụng

CHƯƠNG II. TÍCH VƠ HƯỚNG HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ

00 ĐẾN 1800

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Với mỗi góc a (0 0 £ a £ 180 0 ) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
 = a và giả sử điểm M có tọa độ M ( x ; y ).
xOM
0
0
y

Khi đó ta có định nghĩa:

1

· sin của góc a là y 0 , kí hiệu sin a = y0 ;

M

y0

· cosin của góc a là x 0 , kí hiệu cos a = x 0 ;
· tang của góc a là

kí hiệu tan a =

y0
( x 0 ¹ 0 ),

x0

a
-1

x0

x
1

O

y0
;
x0

· cotang của góc a là

x0
( y 0 ¹ 0 ),
y0

kí hiệu cot a =

x0
.
y0

2. Tính chất
 = a thì xON

 = 180 0 - a. Ta
Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM
có y M = y N = y0 , x M = -x N = x 0 . Do đó
y
sin a = sin (180 0 - a )
cos a = - cos (180 0 - a )

y0

N

tan a = - tan (180 0 - a )
cot a = - cot (180 0 - a ).

x

a

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Giá trị a

M

-x 0

x0

O

00

30 0

450

60 0

90 0

180 0

sin a

0

1
2

2
2

3
2

1

0

cos a

1

3
2

2
2

1
2

0

-1

tan a

0



0

lượng giác

1
3

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng

liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

1

3

Trang 652




cot a

3

1

1



0

3

Trong bảng kí hiệu "  " để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể
suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn:
sin 120 0 = sin (180 0 - 60 0 ) = sin 60 0 =

3
2

cos1350 = cos (180 0 - 450 ) = - cos 450 = -

2
.
2

4. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa














Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a và OB = b. Góc




 với số đo từ 0 0 đến 180 0 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ
AOB


 
 


 
a và b là a, b . Nếu a, b = 90 0 thì ta nói rằng a và b vng góc với nhau, kí hiệu là a ^ b hoặc

( )

( )

 
b ^ a.

b


a

B


a


b

A

O

b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có

 
 
a, b = b, a .

( ) ( )

được 6)

B.CÁCDẠNGTỐNVÀPHƯƠNGPHÁPGIẢI.
Dạng1:xácđịnhgiátrịlượnggiáccủagócđặcbiệt.
1. Phương pháp giải.


Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc



Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt



Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = a 2 sin 900 + b 2 cos 900 + c 2 cos1800
b) B = 3 - sin2 900 + 2 cos2 600 - 3 tan2 450
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 653


c) C = sin2 450 - 2 sin2 500 + 3 cos2 450 - 2 sin2 400 + 4 tan 550. tan 350
Lời giải
a) A = a 2 .1 + b 2 .0 + c 2 . ( -1 ) = a 2 - c 2
2

2

b) B = 3 - ( 1 )

2
ổ 2 ữử
ổ 1 ữử
ỗ
ữ =1
+ 2 ỗ ữữ - 3 ỗỗỗ
ỗố 2 ữữứ
ốỗ 2 ứ

c) C = sin2 450 + 3 cos2 450 - 2 ( sin2 500 + sin2 400 ) + 4 tan 550.cot 550
2

2

æ 2ử
ổ 2ử
1 3
C = ỗỗỗ ữữữ + 3 ỗỗỗ ữữữ - 2 ( sin2 500 + cos2 400 ) + 4 = + - 2 + 4 = 4
ỗố 2 ữứ
ỗố 2 ứữ
2 2
Vớ d 2: Tớnh giỏ tr cỏc biểu thức sau:
a) A = sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 87 0
b) B = cos 00 + cos 200 + cos 400 + ... + cos1600 + cos1800
c) C = tan 50 tan100 tan150... tan 800 tan 850
Lời giải
a) A = ( sin2 30 + sin2 87 0 ) + ( sin2 150 + sin2 750 )

= ( sin2 30 + cos2 30 ) + ( sin2 150 + cos2 150 )
= 1+1 = 2
b) B = ( cos 00 + cos1800 ) + ( cos200 + cos1600 ) + ... + ( cos 800 + cos1000 )
= ( cos 00 - cos 00 ) + ( cos 200 - cos 200 ) + ... + ( cos 800 - cos 800 )
=0

c) C = ( tan 50 tan 850 )( tan 150 tan 750 ) ... ( tan 450 tan 450 )
= ( tan 50 cot 50 )( tan 150 cot 50 ) ... ( tan 450 cot 50 )
=1

Dạng2:chứngminhđẳngthứclượnggiác,chứngminhbiểuthứckhông
phụthuộcx,đơngiảnbiểuthức.
1. Phương pháp giải.



Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản



Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác



Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .

2. Các ví dụ.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 654


Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) sin 4 x + cos4 x = 1 - 2 sin2 x . cos2 x
b)

1 + cot x
tan x + 1
=
1 - cot x
tan x - 1

c)

cos x + sin x
= tan 3 x + tan2 x + tan x + 1
3
cos x

Lời giải
a) sin 4 x + cos4 x = sin 4 x + cos 4 x + 2 sin2 x cos2 x - 2 sin2 x cos2 x
2

= ( sin2 x + cos2 x ) - 2 sin2 x cos2 x
= 1 - 2 sin2 x cos2 x

1 + cot x
=
b)
1 - cot x

c)

1
tan x + 1
t anx = t anx = tan x + 1
1
tan x - 1
tan x - 1
1tan x
tan x

1+

cos x + sin x
1
sin x
=
+
= tan2 x + 1 + tan x ( tan2 x + 1 )
3
2
3
cos x
cos x cos x
= tan 3 x + tan2 x + tan x + 1

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng

B
B
cos 3
cos ( A + C )
2
2
+
. tan B = 2
ỉ A + C ư÷
ỉ A + C ửữ
B
sin
cos ỗỗ
ữ sin ỗỗ

ữ
ỗố 2 ữứ
ỗố 2 ÷ø
sin 3

Lời giải
Vì A + B + C = 1800 nên

B
B
cos 3
cos ( 1800 - B )
2
2
VT =
+
. tan B
æ 1800 - B ửữ
ổ 1800 - B ửữ
sin B
ỗ
ỗ
cos ỗ
ữ sin ỗ
ữ
ữứ
ỗố
2
2
ốỗ

ứữ
sin 3

B
B
cos 3
2 +
2 - - cos B . tan B = sin2 B + cos2 B + 1 = 2 = VP
=
B
B
sin B
2
2
sin
cos
2
2
sin 3

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) A = sin(900 - x ) + cos(1800 - x ) + sin2 x (1 + tan2 x ) - tan2 x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 655


b) B =

1
1
1
.
+
- 2
sin x 1 + cos x 1 - cos x
Lời giải

a) A = cos x - cos x + sin2 x .
b) B =

1
- tan2 x = 0
2
cos x

1
1 - cos x + 1 + cos x
.
- 2
sin x ( 1 - cos x )( 1 + cos x )

1
2
1
2
.
.

- 2=
- 2
2
sin x 1 - cos x
sin x sin2 x
ổ 1
ử
= 2 ỗỗ 2 - 1 ữữữ = 2 cot2 x
ỗố sin x
ứ

=

Vớ d 4: Chng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

P =

sin 4 x + 6 cos2 x + 3 cos4 x +

cos4 x + 6 sin2 x + 3 sin 4 x
Lời giải

P =

2

( 1 - cos2 x )

2

( 1 - sin2 x )

+ 6 cos2 x + 3 cos4 x +

+ 6 sin2 x + 3 sin 4 x

=

4 cos4 x + 4 cos2 x + 1 + 4 sin 4 x + 4 sin2 x + 1

=

( 2 cos2 x + 1 )

2

+

2

( 2 sin2 x + 1 )

= 2 cos2 x + 1 + 2 sin2 x + 1
=3

Vậy P khơng phụ thuộc vào x .

Dạng3:xácđịnhgiátrịcủamộtbiểuthứclượnggiáccóđiềukiện.
1. Phương pháp giải.


Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản



Dựa vào dấu của giá trị lượng giác



Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: a) Cho sin a =
b) Cho cos a = -

1
với 900 < a < 1800 . Tính cos a và tan a
3

2
. Tính sin a và cot a
3

c) Cho tan g = -2 2 tính giá trị lượng giác cịn lại.
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 656

a) Vì 900 < a < 1800 nên cos a < 0 mặt khác sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cos a = - 1 - sin2 a = - 1 -

sin a
Do đó tan a =
=
cos a

1
2 2
=9
3

1
3 =- 1
2 2
2 2
3

b) Vì sin2 a + cos2 a = 1 nên sin a =

1 - cos2 a =

1-

4
5
và
=

9
3

2
cos a
2
cot a =
= 3 =sin a
5
5
3
-

c) Vì tan g = -2 2 < 0  cos a < 0 mặt khác tan2 a + 1 =
cos a = -

1
nên
cos2 a

1
1
1
==2
8 +1
3
tan + 1

Ta có tan a =

ỉ 1ư 2 2
sin a
 sin a = tan a. cos a = -2 2. ỗỗ - ữữữ =
ỗố 3 ứ
cos a
3

1
cos a
1
cot a =
= 3 =sin a
2 2
2 2
3

Ví dụ 2: a) Cho cos a =
b) Cho tan a =

3
tan a + 3 cot a
với 00 < a < 900 . Tính A =
.
4
tan a + cot a

2 . Tính B =

sin a - cos a
sin a + 3 cos3 a + 2 sin a

3

Lời giải

1
1
+2
2
tan a = tan a + 3 = cos2 a
a) Ta có A =
= 1 + 2 cos2 a
2
1
1
tan a + 1
tan a +
tan a
cos2 a
tan a + 3

Suy ra A = 1 + 2.

9
17
=
16
8

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 657


sin a
cos a
tan a ( tan2 a + 1 ) - ( tan2 a + 1 )
3
3
a
a
cos
cos
=
b) B =
sin 3 a 3 cos 3 a 2 sin a
tan 3 a + 3 + 2 tan a ( tan2 a + 1 )
+
+
cos3 a
cos3 a
cos 3 a

Suy ra B =

2 ( 2 + 1) - ( 2 + 1)
2 2 + 3 + 2 2 ( 2 + 1)

=

3

(

2 -1

)

3+8 2

Ví dụ 3: Biết sin x + cos x = m
a) Tìm sin x cos x và sin 4 x - cos 4 x
b) Chứng minh rằng m £

2
Lời giải

2

a) Ta có ( sin x + cos x ) = sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1 + 2sin x cos x (*)
Mặt khác sin x + cos x = m nên m 2 = 1 + 2 sin a cos a hay sin a cos a =

m2 - 1
2

Đặt A = sin 4 x - cos4 x . Ta có

A=

( sin2 x + cos2 x )( sin2 x - cos2 x )

2

=

( sin x + cos x )( sin x - cos x )

2

 A2 = ( sin x + cos x ) ( sin x - cos x ) = ( 1 + 2 sin x cos x )( 1 - 2 sin x cos x )
2
2
4
ổ
m 2 - 1 ửổ
ữữ ỗỗ 1 - m - 1 ư÷÷ = 3 + 2m - m
 A2 = ỗỗ 1 +
ỗố
2 ữứốỗ
2 ữứ
4

3 + 2m 2 - m 4
2

Vậy A =

b) Ta có 2 sin x cos x £ sin2 x + cos2 x = 1 kết hợp với (*) suy ra
2

( sin x + cos x )

Vậy m £

£ 2  sin x + cos x £

2

2

C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Cho hai góc a và b với a + b = 90 . Tính giá trị của biểu thức P = sin a cos b + sin b cos a .
A. P = 0.

B. P = 1.

C. P = -1.

D. P = 2.

Lời giải
Chọn B
Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cos b ; cos a = sin b .
Do đó, P = sin a cos b + sin b cos a = sin 2 a + cos 2 a = 1 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 658

Câu 2:

Cho hai góc a và b với a + b = 90 . Tính giá trị của biểu thức P = cos a cos b - sin b sin a .
A. P = 0.

B. P = 1.

C. P = -1.

D. P = 2.

Lời giải
Chọn A
Hai góc a và b phụ nhau nên sin a = cos b ; cos a = sin b .
Do đó, P = cos a cos b - sin b sin a = cos a sin a - cos a sin a = 0 .

Câu 3:

Cho a là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. sin a < 0.

B. cos a > 0.

C. tan a < 0.

D. cot a > 0.

Lời giải
Chọn C
Lấy góc a = 1200 sau đó thử ngược

Câu 4:

Cho hai góc nhọn a và b trong đó a < b . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. cos a < cos b.

B. sin a < sin b.

C. cot a > cot b.

D. tan a + tan b > 0.
Lời giải

Chọn A
Lấy a = 300 ; b = 600 sau đó thử ngược.
Câu 5:

Khẳng định nào sau đây sai?
A. cos75 > cos 50.

B. sin 80 > sin 50.

C. tan 45 < tan 60.

D. cos 30 = sin 60.
Lời giải

Chọn A
Trong khoảng từ 0 đến 90 , khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó
giảm.
Câu 6:

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin 90 < sin 100.

B. cos 95 > cos100.

C. tan 85 < tan 125.

D. cos145 > cos125.
Lời giải

Chọn B
Trong khoảng từ 90 đến 180 , khi giá trị của góc tăng thì:
- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 659


- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm.
Câu 7:

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin 90 < sin 150.

B. sin 9015 ¢ < sin 9030 ¢.

C. cos 9030 ¢ > cos100.

D. cos150 > cos120.
Lời giải

Chọn C
Trong khoảng từ 90 đến 180 , khi giá trị của góc tăng thì:
- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.
- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm.
Câu 8:

Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 a + sin 2 a = 1?
A. cos 2

a
a 1
+ sin 2 = .
2
2 2

B. cos2

a
a 1
+ sin 2 = .
3
3 3

C. cos 2

a
a 1

+ sin 2 = .
4
4 4

D. 5 ỗỗỗcos2 + sin 2
ố
5

ổ

a

a ữử
ữ = 5.
5 ữứ

Li gii
Chn D
Từ biểu thức cos2 a + sin 2 a = 1 ta suy ra cos2

a
a
+ sin 2 = 1.
5
5

ỉ
a

Do đó ta cú 5 ỗỗỗcos 2 + sin 2 ữữữ = 5.

è

Câu 9:

Cho biết sin
A. P =

a 3
= .
3 5

5ø

5

Giá trị của P = 3 sin 2

105
.
25

B. P =

a
a
+ 5 cos 2
3
3

107

.
25

bằng bao nhiêu?

C. P =

109
.
25

D. P =

111
.
25

Lời giải
Chọn B
Ta có biểu thức sin 2

a
a
a
a 16
+ cos 2 = 1  cos 2 = 1 - sin 2 = .
3
3
3
3 25

2

Do đó ta có P = 3 sin 2

ỉ3ư
a
a
16 107
.
+ 5 cos 2 = 3. ỗỗ ữữữ + 5. =
ỗ
ố
ứ
3
3
5
25
25

Cõu 10: Cho biết tan a = -3. Giá trị của P =
4
3

A. P = .

6 sin a - 7 cos a
6 cos a + 7 sin a

5
3

bằng bao nhiêu?
4
3

B. P = .

C. P = - .

5
3

D. P = - .

Lời giải
Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 660


Ta có

sin a
6
-7
6 sin a - 7 cos a
6 tan a - 7 5
cos

a
P=
=
=
= .
6 cos a + 7 sin a 6 + 7 sin a
6 + 7 tan a 3
cos a
2
3

Câu 11: Cho biết cos a = - . Giá trị của P =
A. P = -

19
.
13

B. P =

cot a + 3 tan a
2 cot a + tan a

19
.
13

bằng bao nhiêu?

C. P =

25
.
13

D. P = -

25
.
13

Lời giải
Chọn B
5
9

Ta có biểu thức sin 2 a + cos2 a = 1  sin 2 a = 1 - cos2 a = .
2

Ta cú

ổ 2 ửữ
cos a
sin a
ỗỗ- ữ + 3. 5
+3
cot a + 3 tan a
cos 2 a + 3 sin 2 a ỗố 3 ữứ
9 19
sin

cos
a
a
=
=
=
= .
P=
2
2 cot a + tan a 2 cos a + sin a
2 cos 2 a + sin 2 a
13
ổ 2 ửữ
5
2. ỗỗ- ữữ +
sin a cos a
ỗố 3 ứ
9

Cõu 12: Cho bit cot a = 5. Giá trị của P = 2 cos2 a + 5 sin a cos a + 1 bằng bao nhiêu?
A. P =

10
.
26

B. P =

100
.

26

C. P =

50
.
26

D. P =

101
.
26

Lời giải
Chọn D
ổ cos 2 a
cos a
1 ử
+5
+ 2 ữữữ
2
ỗố sin a
sin a sin a ø÷

Ta có P = 2 cos2 a + 5 sin a cos a + 1 = sin 2 a ỗỗỗ2
=

1
3 cot 2 a + 5 cot a + 1 101

2
2
2
cot
a
+
5
cot
a
+
1
+
cot
a
=
=
.
(
)
1 + cot 2 a
cot 2 a + 1
26

Câu 13: Cho biết 3 cos a - sin a = 1 , 0 0 < a < 90 0. Giá trị của tan a bằng
4
3

A. tan a = .

3

4

B. tan a = .

4
5

C. tan a = .

5
4

D. tan a = .

Lời giải
Chọn A
Ta có 3 cos a - sin a = 1  3 cos a = sin a + 1  9 cos2 a = (sin a + 1)2
 9 cos 2 a = sin 2 a + 2 sin a + 1  9 (1 - sin 2 a ) = sin 2 a + 2 sin a + 1
é sin a = -1
ê
 10 sin a + 2 sin a - 8 = 0  ê
4 .
ê sin a =
êë
5
2

· sin a = -1 : không thỏa
· sin a =

mãn vì 0 0 < a < 90 0.

4
3
sin a 4
 cos a = ¾¾
 tan a =
= .
5
5
cos a 3

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 661


Câu 14: Cho biết 2 cos a + 2 sin a = 2 , 0 0 < a < 90 0. Tính giá trị của cot a.
A. cot a =

5
.
4

B. cot a =

3
.
4

2
.
4

C. cot a =

D. cot a =

2
.
2

Lời giải
Chọn C
Ta có 2 cos a + 2 sin a = 2  2 sin a = 2 - 2 cos a  2 sin 2 a = (2 - 2 cos a)2
 2 sin 2 a = 4 - 8 cos a + 4 cos 2 a  2 (1 - cos 2 a ) = 4 - 8 cos a + 4 cos 2 a
é cos a = 1
ê
 6 cos 2 a - 8 cos a + 2 = 0  ê
1.
ê cos a =
êë
3
· cos a = 1 : khơng thỏa mãn vì 0 0 < a < 90 0.
· cos a =

1
2 2
cos a

2
 sin a =
¾¾
 cot a =
=
.
3
3
sin a
4

Câu 15: Cho biết sin a + cos a = a. Tính giá trị của sin a cos a.
A. sin a cos a = a2 .
C. sin a cos a =

B. sin a cos a = 2a.

a2 - 1
.
2

D. sin a cos a =

a2 - 11
.
2

Lời giải
Chọn C
Ta có sin a + cos a = a  (sin a + cos a)2 = a2

 1 + 2 sin a cos a = a2  sin a cos a =

a2 - 1
.
2

1
3

Câu 16: Cho biết cos a + sin a = . Giá trị của P = tan 2 a + cot 2 a bằng bao nhiêu?
5
4

7
4

A. P = .

9
4

B. P = .

C. P = .

D. P =

11
.
4

Lời giải
Chọn B
1
3

2
Ta có cos a + sin a =  (cos a + sin a ) =

 1 + 2 sin a cos a =

1
9

1
4
 sin a cos a = - .
9
9
2

ỉ sin a cos a ư÷
Ta có P = tan 2 a + cot 2 a = (tan a + cot a)2 - 2 tan a cot a = ỗỗỗ
+
ữữ - 2
ố cos a

sin a ứ

2

2
2
ổ sin 2 a + cos 2 a ửữ
ổ
ửữ
ổ 9 ửữ
1
ỗ- ữ - 2 = 7 .
ữ - 2 = ỗỗ
2
= ỗỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗố sin a cos a ứữ
ỗố 4 ứữ
ỗố sin a cos a ÷ø
4

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 662


Câu 17: Cho biết sin a - cos a =
15
.

5

A. P =

1
.
5

Giá trị của P = sin 4 a + cos 4 a bằng bao nhiêu?
17
.
5

B. P =

C. P =

19
.
5

21
.
5

D. P =

Lời giải
Chọn B
Ta có sin a - cos a =

 1 - 2 sin a cos a =

1

2

5

 (sin a - cos a ) =

1
5

1
2
 sin a cos a = .
5
5

Ta có P = sin 4 a + cos 4 a = (sin 2 a + cos2 a) - 2 sin 2 a cos2 a
2

2

= 1 - 2 (sin a cos a ) =

17
.
5

Câu 18: Cho O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120O ?
 

 

A. ( MN , NP )

 

B. ( MO, ON ).

 

C. ( MN , OP ).

D. ( MN , MP ).

Lời giải
Chọn A




 

 

Vẽ NE = MN . Khi đó ( MN , NP ) = ( NE , NP )

P

F

 = 180 0 - MNP
 = 180 0 - 60 0 = 120 0.
= PNE
·





 

 

O

 = 60 0.
Vẽ OF = MO . Khi đó ( MO, ON ) = (OF , ON ) = NOF

(

)

·

Vì

·

 = 60 0.
Ta có ( MN , MP ) = NMP

M

N

E

 
MN ^ OP ¾¾
 MN , OP = 90 0.
 

 

 

 

Câu 19: Cho tam giác đều ABC. Tính P = cos ( AB, BC ) + cos ( BC , CA ) + cos (CA, AB ).
A. P =

3
2

3 3
.
2

3
2

B. P = .

C. P = - .

D. P = -

3 3
.
2

Lời giải
Chọn C




 

 

 = 180 - CBA
 = 120 0
Vẽ BE = AB . Khi đó ( AB, BC ) = ( BE , BC ) = CBE
 
1
¾¾
 cos AB, BC = cos120 0 = - .

2

(

)

C

 
 
1
Tương tự, ta cũng có cos BC, CA = cos CA, AB = - .
2

(

)

(

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

)

A

B

E

Trang
663


 

 

 

3
2

Vậy cos ( AB, BC ) + cos ( BC , CA ) + cos (CA, AB ) = - .
 

Câu 20: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH . Tính ( AH , BA ).
A. 30 0.

B. 60 0.

C. 120 0.

D. 150 0.

Lời giải
Chọn D




Vẽ AE = BA .

(

Khi đó

C

 
 =a
AH , AE = HAE

)

(hình vẽ)

H

 = 180 0 - 30 0 = 150 0.
= 180 0 - BAH

a

A

B

E

Câu 21: Tam giác ABC vng ở A và có góc B = 50 . Hệ thức nào sau đây sai?
0

 

B. ( BC , AC ) = 40 0.

 

 

D. ( AC, CB ) = 40 0.

A. ( AB, BC ) = 130 0.

 

C. ( AB, CB ) = 50 0.
Lời giải
Chọn D
 

 = 180 0 - 40 0 = 140 0.
Vì ( AC, CB ) = 180 0 - ACB
 

Câu 22: Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2 AC. Tính cos ( AC, CB ).
 

 

1
2

A. cos ( AC, CB ) = .
 

C. cos ( AC, CB ) =

1
2

B. cos ( AC, CB ) = - .
 

3
.
2

D. cos ( AC, CB ) = -

3
.
2

Lời giải
Chọn B
 

.

Xác định được ( AC, CB ) = 180 0 - ACB

=
Ta có cos ACB

C

AC 1
 = 60 0
= ¾¾
 ACB
CB
2

 
 = 120 0
¾¾
 AC , CB = 180 0 - ACB

(

)

 

B

A
1
2

Vậy cos ( AC, CB ) = cos120 0 = - .
 

 

 

Câu 23: Cho tam giác ABC . Tính tổng ( AB, BC ) + ( BC , CA ) + (CA, AB ).
A. 180 .

B. 360 .

Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

C. 270 .

D. 120 .
Trang 664


Chọn B
 
ì

ï
AB, BC = 180 0 - ABC
ï

ï
ï
ï  

Ta có ïí BC, CA = 180 0 - BCA
ï
ï
 
ï

ï
CA, AB = 180 0 - CAB
ï
ï
ỵ

(
(
(

)
)
)

 
 
 
 + BCA
 + CAB
 = 540 0 -180 0 = 360 0.

¾¾
 AB, BC + BC , CA + CA, AB = 540 0 - ABC

(

) (

) (

)

(

)

 
 
Câu 24: Cho tam giác ABC với A = 60  . Tính tổng ( AB, BC ) + ( BC, CA ).

B. 360 .

A. 120 .

C. 270 .

D. 240 .

Lời giải
Chọn D
Ta có

 


( AB, BC ) = 180 - ABC
 

(BC, CA ) = 180 - BCA

ìï
ïï
í
ïï
ïïỵ

0

0

 
 
 + BCA

¾¾
 AB, BC + BC , CA = 360 0 - ABC

(

) (

(

)

(

)

)

 = 360 0 -180 0 + 60 0 = 240 0.
= 360 0 - 180 0 - BAC
ABC có góc
 
 
 
HA, HB + HB, HC + HC , HA .

Câu 25: Tam giác

(

) (

) (

A

bằng

H.

Tính tổng

)

B. 180 .

A. 360 .

và có trực tâm

100 

C. 80 .

D. 160 .

Lời giải
Chọn D

Ta có

 


(HA, HB ) = BHA
 

(HB, HC ) = BHC

 

(HC, HA ) = CHA

ỡù
ùù
ùù
ù
ớ
ùù
ùù
ùù
ợ

H
F
I

100 0




+ BHC
+ CHA

ắắ
HA , HB + HB, HC + HC , HA = BHA

(

) (

) (

A

)

B

 = 2 (180 0 -100 0 ) = 160 0
= 2 BHC

C

 

(do tứ giác HIAF nội tiếp. Cho hình vng ABCD . Tính cos ( AC , BA ).
 

 

 

Câu 26: Cho hình vng ABCD tâm O. Tính tổng ( AB, DC ) + ( AD, CB ) + (CO, DC ).
A. 450.

B. 4050.

C. 3150.

D. 2250.

Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 665


 

 

·

Ta có AB, DC cùng hướng nên ( AB, DC ) = 0 0 .

·

Ta có AD, CB ngược hướng nên ( AD, CB ) = 180 0 .

·

 = 1350.
Vẽ CE = DC , khi đó (CO, DC ) = (CO, CE ) = OCE
D

 



 



 

 

 

B

A
O

 

C

E

 

Vậy ( AB, DC ) + ( AD, CB ) + (CO, DC )
= 0 0 + 180 0 + 1350 = 3150.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 666


BÀI 2. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Định nghĩa












Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vơ hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b, được
xác định bởi công thức sau:

  
 
a.b = a . b cos a, b .

( )









Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b = 0.
Chú ý












· Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b = 0  a ^ b.








· Khi a = b tích vơ hướng a.a được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vơ hướng của


vectơ a.
Ta có:
2  
2
a = a . a . cos 0 0 = a .

2. Các tính chất của tích vơ hướng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:
  

Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có:




 



· a.b = b.a (tính chất giao hốn);








· a (b + c) = a.b + a.c (tính chất phân phối);
 



· (ka).b = k (a.b) = a. (kb) ;
2

2



· a ³ 0, a = 0  a = 0.
Nhận xét. Từ các tính chất của tích vơ hướng của hai vectơ ta suy ra:




2





2



 

2



2

2



2



2

· (a + b) = a + 2a.b + b ;

· (a - b) = a - 2a.b + b ;
2

· (a + b)(a - b) = a - b .
3. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng








Trên mặt phẳng tọa độ (O; i ; j ), cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ). Khi đó tích vơ hướng a.b là:

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 667



a.b = a1b1 + a2 b2 .






Nhận xét. Hai vectơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) đều khác vectơ 0 vng góc với nhau khi và chỉ khi

a1b1 + a2 b2 = 0.
4. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ


Độ dài của vectơ a = (a1 ; a2 ) được tính theo cơng thức:

a = a12 + a22 .

b) Góc giữa hai vectơ






Từ định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 ) đều khác 0 thì ta
có

 
a.b
a1b1 + a2 b2
cos a; b =   =
.
2
a1 + a22 . b12 + b22
a.b

( )

c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm A ( x A ; y A ) và B ( x B ; y B ) được tính theo cơng thức:
2

2

AB = ( x B - x A ) + ( y B - y A ) .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vơ hướng, góc giữa hai vectơ.
1. Phương pháp giải.



 

Dựa vào định nghĩa a.b = a . b cos a;b



Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vơ hướng của hai vectơ

( )

2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng tại A có AB = a , BC = 2a và G là trọng tâm.
   
a) Tính các tích vơ hướng: BA.BC ; BC .CA
     
b) Tính giá trị của biểu thức AB.BC + BC .CA + CA.AB
     
.
+ GB.GC + GC .GA
c) Tính giá trị của biểu thứcGAGB
Lời giải (hình 2.2)

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 668


C

M

N
G
A

B

P
Hình 2.2

a) * Theo định nghĩa tích vơ hướng ta có
 
 
 
 
BA.BC = BA . BC cos BA, BC = 2a 2 cos BA, BC .

(

)

(

)

 
 = a =1
Mặt khác cos BA, BC = cosABC
2a
2
 
Nên BA.BC = a 2
 
 
 

* Ta có BC .CA = -CB.CA = - CB . CA cosACB

(

)

Theo định lý Pitago ta có CA =

2

( 2a )

- a2 = a 3

 
a 3
= -3a 2
Suy ra BC .CA = -a 3.2a.

2a

 
b) Cách 1: Vì tam giác ABC vng tại A nên CA.AB = 0 và từ câu a ta
 
 
     
có AB.BC = -a 2 , BC .CA = -3a 2 . Suy ra AB.BC + BC .CA + CA.AB = -4a 2
  

Cách 2: Từ AB + BC + CA = 0 và hằng đẳng thức

(

  
AB + BC + CA

)

2

     
= AB 2 + BC 2 + CA2 + 2 AB.BC + BC .CA + CA.AB Ta có

(

)

     
1

AB.BC + BC .CA + CA.AB = - ( AB 2 + BC 2 + CA2 ) = -4a 2
2
  

c) Tương tự cách 2 của câu b) vì GA + GB + GC = 0 nên
     
1
GAGB
+ GB.GC + GC .GA = - (GA2 + GB 2 + GC 2 )
.
2
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
2

ỉ2
ư
4a 2
Dễ thấy tam giác ABM u nờn GA = ỗỗ AM ữữữ =
9
ốỗ 3
ứ
2

Theo định lý Pitago ta có:

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 669

GB 2 =

4
4
4ỉ
3a 2 ư÷ 7a 2
BN 2 = ( AB 2 + AN 2 ) = ỗỗa 2 +
ữ=
9
9
9 çè
4 ÷ø
9

4
4
4ỉ
a 2 ư 13a 2
GC 2 = CP 2 = ( AC 2 + AP 2 ) = ỗỗ 3a 2 + ữữữ =
9
9
9 ỗố
4ứ
9

1 ỉ 4a 2 7a 2 13a 2 ư÷
4a 2
Suy ra GAGB
+ GB.GC + GC .GA = - ỗỗ

+
+
.
ữ=2 ỗố 9
9
9 ÷ø
3
Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM .
Tính giá trị các biểu thức sau:
   
  
a) (AB + AD )(BD + BC )
b) CG . CA + DM

(

)

Lời giải (hình 2.3)
 

a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC
   
   
Do đó (AB + AD )(BD + BC ) = AC .BD + AC .BC
A
 
 

= CACB

.
= CA . CB cosACB

 


( AC .BD = 0 vì AC ^ BD )

M

B

G

D

 = 450 và theo định lý Pitago ta có :
Mặt khác ACB

C
Hình 2.3

AC =

a2 + a2 = a 2
   
Suy ra (AB + AD )(BD + BC ) = a.a 2 cos 450 = a 2

  
b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG = CD + CA + CM


 
Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có CA = - AB + AD

(


 

1  
1 
1 
CM = CB + CA = éêCB - AB + AD ùú = - AB + 2AD
û
2
2ë
2

(

)

(

)

(

)

và

)



 

 ö
æ 5 
1 
Suy ra CG = -AB - AB + AD - AB + 2AD = -ỗỗ AB + 2AD ữữữ
ỗố 2
2
ứ

(

) (

)




ử
ổ 1
Ta lại có CA + DM = - AB + AD + AM - AD = - ỗỗ AB + 2AD ữữữ
ỗố 2
ứ

(

)


ửổ 1
ử
ổ 5
Nờn CG . CA + DM = ỗỗ AB + 2AD ữữữ ỗỗ AB + 2AD ữữữ
ốỗ 2
ứốỗ 2
ứ

(

)

=

5
21a 2
AB 2 + 4AD 2 =
4
4

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 670

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c . M là trung điểm của BC, D là chân
đường phân giác trong góc A.
 
a) Tính AB.AC , rồi suy ra cosA .

 2
 2
b) Tính AM và AD

Lời giải (hình 2.3)
a) Ta có
 
 
1 é  2  2
ê
AB.AC = AB + AC - AB - AC
2 êë

(

)

2

A

ù
ú

úû

1
1é
AB 2 + AC 2 - CB 2 ùû = ( c 2 + b 2 - a 2 )
ë
2
2
 
Mặt khác AB.AC = AB.AC cos A = cb cos A
=

B

DM

C

Hình 2.3

c2 + b2 - a 2
1
Suy ra ( c 2 + b 2 - a 2 ) = cb cos A hay cos A =
2
2bc
 1  
b) * Vì M là trung điểm của BC nên AM = ( AB + AC )
2
 2
1  

Suy ra AM =
AB + AC
4

(

)

2

=

 2 ử
1 ỗổ 2
ỗỗ AB + 2ABAC + AC ÷÷÷
ø
4è

 
1
Theo câu a) ta có AB.AC = (c 2 + b 2 - a 2 ) nên
2
 2
ö 2 (b 2 + c 2 ) - a 2
1ổ
1
AM = ỗỗc 2 + 2. ( c 2 + b 2 - a 2 ) + b 2 ÷÷÷ =
4 ỗố
2
4

ứ

* Theo tớnh cht ng phõn giỏc thỡ

BD AB c
=
=
DC AC b

 BD  b 
DC = DC (*)
Suy ra BD =
DC
c
  
  
Mặt khác BD = AD - AB và DC = AC - AD thay vào (*) ta được
  b  



AD - AB = ( AC - AD )  (b + c )AD = bAB + cAC
c
 2
 2
 
 2
2
 (b + c ) AD = (bAB ) + 2bcABAC + ( cAC )
 2

1
2
 (b + c ) AD = b 2c 2 + 2bc. (c 2 + b 2 - a 2 ) + c 2b 2
2
 2
bc
 AD =
(b + c - a )(b + c + a )
2
(b + c )

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 671


 2
Hay AD =

4bc
p( p -a )
2
(b + c )

Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là la =

2 bc
b +c

p( p -a )

Dạng 2: chứng minh các đẳng thức về tích vơ hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng.
1. Phương pháp giải.


Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ
 2
đẳng thức AB 2 = AB



Sử dụng các tính chất của tích vơ hướng, các quy tắc phép tốn vectơ



Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vơ hướng.

2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý.
 
Chứng minh rằng : MA.MB = IM 2 - IA2
Lời giải:
 
 2  2
Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA.MB = IM - IA
 
Để làm xuất hiện IM , IA ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được
   
   

VT = MI + IA . MI + IB = MI + IA . MI - IA

(

)(

) (

)(

)

 2  2
= IM - IA = VP (đpcm)
Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:
     
DA.BC + DB.CA + DC .AB = 0 (*).
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".

Lời giải:
     
Ta có: DA.BC + DB.CA + DC .AB
  
  
  
= DA. DC - DB + DB. DA - DC + DC . DB - DA
           
= DA.DC - DA.DB + DB.DA - DB.DC + DC .DB - DC .DA = 0

(

)

(

)

(

)

(đpcm)
Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B.
 
 
Khi đó ta có HA.BC = 0, HC .AB = 0 (1)
Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 672


     
HA.BC + HB.CA + HC .AB = 0 (2)
 
Từ (1) (2) ta có HB.CA = 0 suy ra BH vng góc với AC

Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm).

Ví dụ 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt
   
nhau tại E. Chứng minh rằng : AE .AC + BE .BD = AB 2
Lời giải (hình 2.4)
  
  
Ta có VT = AE . AB + BC + BE . BA + AD

(

)

(

)

       
= AE .AB + AE .BC + BE .BA + BE .AD

C

D
E

 = 900 , ACB
 = 900
Vì AB là đường kính nên ADB
 
 

Suy ra AE .BC = 0, BE .AD = 0

A

Hình 2.4

B

   
  
 2
Do đó VT = AE .AB + BE .BA = AB AE + EB = AB = VP (đpcm).

(

)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = a ,CA = b , AB = c và I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng
minh rằng aIA2 + bIB 2 + cIC 2 = abc

Lời giải:








Ta có: aIA + bIB + cIC = 0  aIA + bIB + cIC

(

)

2

=0

 
 
 
 a 2IA2 + b 2IB 2 + c 2IC 2 + 2abIA.IB + 2bcIB.IC + 2caIC .IA = 0

 a 2IA2 + b 2IB 2 + c 2IC 2 + ab ( IA2 + IB 2 - AB 2 ) +

+ bc ( IB 2 + IC 2 - BC 2 ) + ca ( IA2 + IC 2 - CA2 ) = 0

 (a 2 + ab + ca ) IA2 + (b 2 + ba + bc ) IB 2 +

+ (c 2 + ca + cb ) IC 2 - ( abc 2 + ab 2c + a 2bc ) = 0

 (a + b + c ) (a 2IA2 + b 2IB 2 + c 2IC 2 ) = ( a + b + c )abc
 a 2IA2 + b 2IB 2 + c 2IC 2 = abc (đpcm)

Dạng 3: tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vơ hướng hoặc tích độ dài.
1. Phương pháp giải.
Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:
Cho A, B là các điểm cố định. M là điểm di động

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 673








Nếu AM = k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường trịn tâm
A, bán kính R = k .
 
Nếu MA.MB = 0 thì tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AB
 


Nếu MAa
. = 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và

vng góc với giá của vectơ a

2. Các ví dụ.



Ví dụ 1. Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vectơ a khác 0 và số thực k cho trước. Tìm
tập hợp điểm M sao cho

 
3a 2
a) MA.MB =
4
 
b) MA.MB = MA2
Lời giải:
a) Gọi I là trung điểm của AB ta có

 
   
3a 2
3a 2
MA.MB =
 MI + IA MI + IB =
4
4

(

)(

 MI 2 - IA2 =

)



3a 2
(Do IB = -IA )

4

a 2 3a 2
+
4
4
 MI = a
 MI 2 =

Vậy tập hợp điểm M là đường trịn tâm I bán kính R = a

 
b) Ta có MA.MB = MA2 
  
 MA. MA - MB = 0 

(

)

 
 2
MA.MB = MA
 


MA.BA = 0  MA ^ BA

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vng góc với đường thẳng AB tại A.



 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + 2MB + 3CB BC = 0

(

Lời giải (hình 2.4)

 
M
Gọi I là điểm xác định bởi IA + 2IB = 0


 
Khi đó MA + 2MB + 3CB BC = 0

(

)

 
 
 éê MI + IA + 2 MI + IB
ë 
 MI .BC = BC 2

(

) (

)


ù .BC = 3BC 2
úû

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

B

)

A
I

M' I'

C

Hình 2.4

Trang 674


Gọi M', I' lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BC
 
 
 
Theo công thức hình chiếu ta có MI .BC = M ' I '.BC do đó M ' I '.BC = BC 2

 
Vì BC 2 > 0 nên M ' I ', BC cùng hướng suy ra
 
M ' I '.BC = BC 2  M ' I '.BC = BC 2  M ' I ' = BC

Do I cố định nên I' cố định suy ra M' cố định.
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vng góc với BC.

Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD cạnh a và số thực k cho trước.
   
Tìm tập hợp điểm M sao cho MA.MC + MB.MD = k
Lời giải (hình 2.5)
A

Gọi I là tâm của hình vng ABCD
 
   
Ta có : MA.MC = MI + IA MI + IC

(

)(

)

I
  
 
= MI 2 + MI IC + IA + IA.IC
D

 
2
Hình 2.5
= MI + IA.IC
 
 
Tương tự MB.MD = MI 2 + IB.ID
   
   
Nên MA.MC + MB.MD = k  2MI 2 + IB.ID + IA.IC = k

(

 2MI 2 - IB 2 - IA2 = k  MI 2 =
 MI 2 =

 MI =

k
+ a2
2
k
+ IA2 =
2

B

)

C

k
+ IA2
2

k + a2
2

Nếu k < -a 2 : Tập hợp điểm M là tập rỗng
Nếu k = -a 2 thì MI = 0  M º I suy ra tập hợp điểm M là điểm I
Nếu k > -a 2 thì MI =

k + a2
2

suy ra tập hợp điểm M là đường trịn tâm I bán kính R =

k + a2
2

DẠNG 4: Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng.
1. Phương pháp giải.


 Cho a = (x 1; y1 ), b = (x 2 ; y2 ) . Khi đó
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 675


+ Tích vơ hướng hai vectơ là a.b = x 1x 2 + y1y2

+ Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức


x 1x 2 + y1y2
a.b
cos(a, b) =   =
2
x 1 + y12 x 22 + y22
a b



Chú ý: a ^ b  a.b = 0  x 1x 2 + y1y2 = 0



Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức


+ Nếu a = (x ; y ) thì a = x 2 + y 2
+ Nếu A(x A ; yA ), B(x B ; yB ) thì AB =

(x B - x A )2 + (yB - yA )2

2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A( 1; 2 ) , B ( -2; 6 ) , C ( 9; 8 ) .

a) Chứng minh tam giác ABC vng tại A.
b) Tính góc B của tam giác ABC
c) Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC

Lời giải:



 
a) Ta có AB ( -3; 4 ) , AC ( 8; 6 )  AB. AC = -3.8 + 4.6 = 0
 
Do đó AB ^ AC hay tam giác ABC vng tại A.


b) Ta có BC ( 11; 2 ) , BA( 3; -4 )

 
Suy ra cos B = cos ( BC , BA ) =

11.3 + 2.( -4 )
2

112 + 22 32 + ( -4 )

=

1
5

c) Gọi H ( x ; y ) là hình chiếu của A lên BC.




Ta có AH ( x - 1; y - 2 ) , BH ( x + 2; y - 6 ) , BC ( 11; 2 )
 
AH ^ BC  AH .BC = 0  11( x - 1 ) + 2 ( y - 2 ) = 0
Hay 11x + 2y - 15 = 0 (1)

 
x +2 y -6
=
 2x -11y + 70 = 0 (2)
Mặt khác BH , BC cùng phương nên
11
2
1
32
Từ (1) và (2) suy ra x = , y =
5
5
æ 1 32 ư
Vậy hình chiếu của A lên BC là H ỗỗ ; ữữữ
ố5 5 ứ

Giỏo viờn cú nhu cu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 676