TONG HOP KIEN THUC TOAN HOC DAI SO

<span class='text_page_counter'>(1)</span>tæng hîp kiÕn thøc vµ c¸ch gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp to¸n 9 PhÇn I: §¹i sè. A. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. Điều kiện để căn thức có nghĩa. A cã nghÜa khi A  0 2. Các công thức biến đổi căn thức. a.. A2  A. b.. AB  A. B. c.. A A  B B. d. e.. f.. ( A 0; B 0). ( A 0; B  0). A2 B  A B. A B  A2 B. ( B 0). ( A 0; B 0). A B . A2 B. ( A  0; B 0). A 1  B B. AB. ( AB 0; B 0). i.. A A B  B B. k.. C C ( A B )  A  B2 A B. ( B  0) ( A 0; A  B 2 ). C C( A  B )  A  B2 A B. ( A 0; B 0; A B ). m. 3. Hµm sè y = ax + b (a  0) - TÝnh chÊt: + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. + Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0. - §å thÞ: Đồ thị là một đờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0). 4. Hµm sè y = ax2 (a  0) - TÝnh chÊt: + Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. + Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. - §å thÞ: Đồ thị là một đờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0). + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành. 5. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d') (d) vµ (d') c¾t nhau  a  a' (d) // (d')  a = a' vµ b  b'.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> (d)  (d')  a = a' vµ b = b' 6. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng cong. Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P) (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung 7. Ph¬ng tr×nh bËc hai. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän 2  = b - 4ac ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu  > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm - NÕu ' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai ph©n biÖt: nghiÖm ph©n biÖt: − b+ √ Δ ; − b −√ Δ − b' + √ Δ' ; − b' − √ Δ' x 1= x 2= x 1= x 2= 2a. 2a. a. a. NÕu  = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp - NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ' −b : x 1=x 2= − b kÐp: x =x = 1 2 2a a NÕu  < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 8. HÖ thøc Viet vµ øng dông. - HÖ thøc Viet: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×: b   S x1  x2  a   P  x .x  c 1 2  a. - Mét sè øng dông: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn S2 - 4P  0) + NhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: c x1 = 1 ; x2 = a. NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: . c a. x1 = -1 ; x2 = 9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn B. c¸c d¹ng bµi tËp D¹ng 1: Rót gän biÓu thøc Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A  §Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c bíc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> - §a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia.... - Cộng trừ các số hạng đồng dạng. D¹ng 2: Bµi to¸n tÝnh to¸n Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A.  Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gän biÓu thøc A Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a  C¸ch gi¶i: - Rót gän biÓu thøc A(x). - Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B  Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa. A=B  A-B=0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp. A = A1 = A2 = ... = B - Ph¬ng ph¸p 3: Ph¬ng ph¸p so s¸nh. A = A1 = A2 = ... = C A=B B = B1 = B2 = ... = C - Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng. A = B  A' = B'  A" = B"  ...... (*) (*) đúng do đó A = B - Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B  Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi:. a1 +a2 +a 3+. . .+ an n ≥ √ a1 . a2 . a3 .. . an (víi a1 . a2 . a3 .. . an ≥ 0 ) n DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: a1=a2=a3=. ..=an. - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a1 b1 +a 2 b 2+ a3 b3 +.. .+a n b n ) ≤(a1 +a2 +a 3+. . .+ an )(b1 +b 2+ b3 +.. .+b n) DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi:. a1 a2 a3 a = = =.. .= n b1 b 2 b 3 bn.  Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B  A-B>0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nÕu M  0 - Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng A > B  A' > B'  A" > B"  ...... (*) (*) đúng do đó A > B - Ph¬ng ph¸p 4: Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu A > C vµ C > B  A > B - Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tơng đơng để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B. - Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 5: bµi to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)  C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i: - Ph¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. - Ph¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai x2 = a  x =  √ a - Ph¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm Ta cã  = b2 - 4ac + NÕu  > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: − b+ √ Δ ; − b −√ Δ x 1= x 2= 2a. 2a. + NÕu  = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x 1=x 2=. −b 2a. + NÕu  < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph¬ng ph¸p 4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b' + NÕu ' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: − b' + √ Δ' x 1= a. '. '. ; x 2= − b − √ Δ a + NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x 1=x 2=. − b' a. + NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et. NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×: ¿. −b a c x 1 . x2 = a ¿{ ¿. x 1+ x 2=. Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi to¸n 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ).  XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng a. Trờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m. Gi¶ sö a = 0  m = m0 ta cã: (*) trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**) + NÕu b  0 víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b + Nếu b = 0 và c = 0 với m = m0: (**) vô định  (*) vô định + NÕu b = 0 vµ c  0 víi m = m0: (**) v« nghiÖm  (*) v« nghiÖm b. Trêng hîp a  0: TÝnh  hoÆc ' + TÝnh  = b2 - 4ac NÕu  > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x 1=. − b+ √ Δ 2a. ; x 2= − b − √ Δ 2a. NÕu  = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x 1=x 2= − b 2a NÕu  < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm + TÝnh ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu ' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x 1=. − b' + √ Δ' a. '. '. ; x 2= − b − √ Δ a. '. NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x 1=x 2= − b a NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn. Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.  Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm: 1. HoÆc a = 0, b  0 2. HoÆc a  0,   0 hoÆc '  0 TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc ®iÒu kiÖn 2. Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai 2 ax + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt. ¿ a≠ 0 Δ> 0 ¿{ ¿. ¿ a≠0 hoÆc Δ ' >0 ¿{ ¿. Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: ¿ a=0 b≠ 0 ¿{ ¿. ¿ a ≠0 hoÆc Δ=0 hoÆc ¿{ ¿. ¿ a≠0 Δ ' =0 ¿{ ¿. Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.  §iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp:. ¿ a ≠0 Δ=0 hoÆc ¿{ ¿. ¿ a≠0 Δ ' =0 ¿{ ¿. ¿ a≠ 0 Δ< 0 hoÆc ¿{ ¿. ¿ a≠0 Δ ' <0 ¿{ ¿. Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:. Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.. hai. hai. hai. hai.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:. ¿ a=0 b≠ 0 ¿{ ¿. ¿ a ≠0 hoÆc Δ=0 hoÆc ¿{ ¿. ¿ a≠0 Δ ' =0 ¿{ ¿. Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu: ¿ Δ≥ 0 c P= >0 a ¿{ ¿. hai. ¿ Δ ≥0 c P= >0 a ¿{ ¿ '. hoÆc. Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d¬ng.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d¬ng: ¿ Δ≥ 0 c P= >0 a b S=− > 0 a ¿{{ ¿. ¿ Δ ≥0 c P= >0 a b S=− > 0 a ¿{{ ¿ '. hoÆc. Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m: ¿ Δ≥ 0 c P= >0 a b S=− < 0 a ¿{{ ¿. hoÆc. ¿ Δ' ≥ 0 c P= >0 a b S=− < 0 a ¿{{ ¿. Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu. Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1.  C¸ch gi¶i: - Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã: ax12 + bx1 + c = 0  m - Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*)  x1, x2 - HoÆc tÝnh x2 = S - x1 hoÆc x2 =. P x1. Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: a. αx1 + βx 2=γ b. x 21+ x 22=k c.. 1 1 + =n x1 x2. d. x 21+ x 22 ≥h. e. x 31+ x 32=t.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  §iÒu kiÖn chung:   0 hoÆc '  0 (*) Theo định lí Viet ta có: ¿ −b x 1+ x 2= =S (1) a c x 1 . x2 = =P(2) a ¿{ ¿ a. Trêng hîp: αx1 + βx 2=γ ¿ −b x 1+ x 2= a Gi¶i hÖ αx 1 + βx 2=γ ¿{ ¿. x1 , x2. Thay x1, x2 vµo (2)  m Chän c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) 2. x 1+ x 2 ¿ − 2 x 1 x 2=k 2 2 x1 + x 2=k ↔ ¿ Thay x1 + x2 = S = − b vµ x1.x2 = P = a. b. Trêng hîp:. c a. vµo ta cã: S2 - 2P = k  Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*). c. Trêng hîp:. 1 1 + =n ↔ x 1+ x2 =nx 1 . x2 ↔− b=nc x1 x2. Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mãn (*) d. Trêng hîp: x 21+x 22 ≥h ↔ S 2 − 2 P −h ≥ 0 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh S2 - 2P - h  0 chän m tho¶ m·n (*) e. Trêng hîp: x 31+ x 32=t ↔ S3 −3 PS=t Gi¶i ph¬ng tr×nh S 3 − 3 PS=t chän m tho¶ m·n (*) Bµi to¸n 15 : T×m hai sè u vµ v biÕt tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P cña chóng.  Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (*) (§iÒu kiÖn S2 - 4P  0) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u và v cần tìm. Néi dung 6: gi¶i ph¬ng tr×nh bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ. Bµi to¸n1: Gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ax4 + bx2 + c = 0  §Æt t = x2 (t0) ta cã ph¬ng tr×nh at2 + bt + c = 0 Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x B¶ng tãm t¾t at + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0 v« nghiÖm v« nghiÖm 2 nghiÖm ©m v« nghiÖm nghiÖm kÐp ©m v« nghiÖm 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 nghiÖm d¬ng 2 nghiÖm d¬ng. 2 nghiệm đối nhau 4 nghiÖm 2 cặp nghiệm đối nhau. 1 1 Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh A ( x 2 + 2 )+ B(x + )+C=0 x. x. 1  §Æt x+ x = t  x2 - tx + 1 = 0 1 1 Suy ra t2 = ( x+ 1 )2 = x 2+ 2 +2  x 2+ 2 =t 2 −2 x. x. x. Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0 Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào x+ 1 = t giải tìm x. Bµi to¸n 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh. x 1 1 A ( x 2 + 2 )+ B( x − )+C=0 x x. 1  §Æt x − x = t  x2 - tx - 1 = 0 1 1 Suy ra t2 = ( x − 1 )2 = x 2+ 2 −2  x 2+ 2 =t2 +2 x. x. x. Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã: A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0 Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào x − 1 = t giải tìm x. x. Bµi to¸n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao  Dùng các phép biến đổi đa phơng trình bậc cao về dạng: + Ph¬ng tr×nh tÝch + Ph¬ng tr×nh bËc hai. Néi dung 7: gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. Bµi to¸n: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. ¿ ax+ by=c a ' x +b ' y=c ' ¿{ ¿.  C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i: + Phơng pháp đồ thị + Ph¬ng ph¸p céng + Ph¬ng ph¸p thÕ + Phơng pháp đặt ẩn phụ Néi dung 7:. gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ. Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng √ f ( x )=g( x ) (1).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> √ f ( x)=g( x)↔  Ta cã. g(x )≥ 0( 2) 2. f (x)= [ g( x) ] (3) ¿{. Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp  nghiệm của (1) Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng √ f ( x )+ √ h(x)=g (x)  §iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh ¿ f ( x )≥ 0 h ( x) ≥0 g( x) ≥ 0 ¿{{ ¿. Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x. Néi dung 8: giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối Bµi to¸n: Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng |f (x)|=g(x) ¿ g (x) ≥0 |f (x)|=g( x)  [ f ( x) ]2=[ g( x ) ] 2  Ph¬ng ph¸p 1: ¿{ ¿.  Ph¬ng ph¸p 2:. XÐt f(x)  0  f(x) = g(x) XÐt f(x) < 0  - f(x) = g(x)  Ph¬ng ph¸p 3: Víi g(x)  0 ta cã f(x) =  g(x) Néi dung 9: gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. Bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x)  Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n. - Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho: y = M - [g(x)]2n , n Z  y  M Do đó ymax = M khi g(x) = 0 - Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho: y = m + [h(x)]2k kZ  y  m Do đó ymin = m khi h(x) = 0  Ph¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm.  Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức. Néi dung 10: các bài toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đờng - đờng đi qua một điểm. Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một ®iÓm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?  Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng phơng trình của (C) A(C)  yA = f(xA) Dó đó tính f(xA) NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A. NÕu f(xA)  yA th× (C) kh«ng ®i qua A. * sự tơng giao của hai đồ thị. Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số y = f(x) vµ y = g(x).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Hãy khảo sát sự tơng giao của hai đồ thị  Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phơng trình hoành độ ®iÓm chung: f(x) = g(x) (*) - NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung. - NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau. - NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung. - NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung. * lập phơng trình đờng thẳng. Bài toán 1: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k.  Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph¬ng tr×nh cña (D) Bài toán 2: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB)  Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b (D) ®i qua A vµ B nªn ta cã:. ¿ y A = ax A + b y B= ax B+ b ¿{ ¿. Giải hệ ta tìm đợc a và b suy ra phơng trình của (D) Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)  Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc b vµ suy ra ph¬ng tr×nh cña (D) Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA) k và tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)  Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA = axA + b (***) Từ (**) và (***)  a và b  Phơng trình đờng thẳng (D)..

<span class='text_page_counter'>(11)</span>