Đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Trần Khai Nguyên - TP HCM - TOANMATH.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HCM. ĐỀ THI HKI, KHỐI 11, NĂM HỌC 2019-2020. TRƯỜNG THPT TRẦN KHAI NGUYÊN. Môn : TOÁN Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề). Họ và Tên:………………………………...........Số báo danh:…………………………….Mã đề: 111 Câu 1: [2 điểm] Giải các phương trình.     a) 2 cos2  x    9 cos  x    11  0 7 7  .     3 sin  3 x    cos  3 x    2 3 3  . b). Câu 2: [1,5 điểm] Gieo con súc sắc cân đối đồng chất ba lần. a) Hãy mô tả không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu. b) Tính số phần tử của biến cố “cả ba lần gieo không có lần nào giống nhau”. Câu 3: [1,75 điểm] Cho tổng S n . 1 1 1 1 với n  *    ...  1.3 3.5 5.7  2n  1 2n  1. a) Tính S1 ,S 2 ,S3 ? b) Bằng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh S n . n ,n  * ? 2n  1. Câu 4: [1 điểm] Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. Câu 5: [3 điểm] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AD là đáy lớn). E , F lần lượt là trung điểm của SA và SD . Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AB và CD . a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) ; Tìm giao điểm M của đường thẳng SB và  CDE  . b) Tìm giao điểm N của đường thẳng SC và  EFM  . Tứ giác EFNM là hình gì? c) Chứng minh các đường thẳng AM , DN , SK đồng quy. Câu 6: [0,75 điểm] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , chọn ngẫu nhiên một điểm có hoành độ và tung độ là những số nguyên có giá trị tuyệt đối bé hơn 4 . Tính xác suất để chọn được điểm mà khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ không vượt quá 2? HẾT. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HCM. ĐỀ THI HKI, KHỐI 11, NĂM HỌC 2019-2020. TRƯỜNG THPT TRẦN KHAI NGUYÊN. Môn : TOÁN Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề). Họ và Tên:………………………………...........Số báo danh:…………………………….Mã đề: 112 Câu 1: [2 điểm] Giải các phương trình.     a) 2 cos2  x    3cos  x    5  0 5 5  .     b) sin  5 x    cos  5 x     2 3 3  . Câu 2: [1,5 điểm] Gieo con súc sắc cân đối đồng chất bốn lần. a) Hãy mô tả không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu. b) Tính số phần tử của biến cố “cả bốn lần gieo không có lần nào giống nhau”. Câu 3: [1,75 điểm] Cho tổng S n . 1 1 1 1 với n  *    ...  1.5 5.9 9.13 4 n  3 4 n  1   . a) Tính S1 ,S 2 ,S3 ? b) Bằng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh S n . n ,n  * ? 4n  1. Câu 4: [1 điểm] Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 18 và tổng các bình phương của chúng là 140 . Câu 5: [3 điểm] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB là đáy lớn). E , F lần lượt là trung điểm của SA và SB . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AD và BC . a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ; Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và  CBE  . b) Tìm giao điểm M của đường thẳng SC và  EFN  . Tứ giác EFMN là hình gì? c) Chứng minh các đường thẳng AN , BM , SQ đồng quy. Câu 6: [0,75 điểm] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , chọn ngẫu nhiên một điểm có hoành độ và tung độ là những số nguyên dương bé hơn 10 . Tính xác suất để chọn được điểm mà khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ không vượt quá 4? HẾT. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11_Đề: 111 Câu 1a [A]. (1 điểm).     Giải phương trình 2 cos 2  x    9cos  x    11  0 . 7 7  . Điểm chi tiết.     2 cos2  x    9 cos  x    11  0 7 7     Đặt t  cos  x   , 1  t  1 7 . 0,25. t  1( n) Khi đó, phương trình trở thành: 2t  9t  11  0   11  t   (l )  2     Với t  1 ta có: cos  x    1  x   k 2 , k    x   k 2 , k   7 7 7  2. Vậy x  Câu 1b [A]. (1 điểm). . 7. 0,25 0,5.  k 2 , k  . Giải phương trình:.     3 sin  3 x    cos  3 x    2 . 3 3  . Điểm chi tiết.     3 sin  3x    cos  3 x    2 3 3       2sin  3 x     2 3 6     sin  3 x    1 2  . .  k 2 2  k 2  x   k  3 3  3x . 2. . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  Câu 2 [A]. 0,5 0,25. . . k 2  k  3. 3 Gieo con súc sắc cân đối đồng chất ba lần. a) Hãy mô tả không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu.. 0,25 Điểm chi tiết. b) Tính số phần tử của biến cố “cả ba lần gieo không có lần nào giống nhau”. (1,5 điểm). Câu 3 [A] (1,75 điểm). a) Không gian mẫu    i; j ; k  i, j , k  1, 2,...,6  n     63  216 .. 0,75. b) Biến cố A : “Cả ba lần gieo không có lần nào giống nhau” có số phần tử là n  A  A63  120 . (phải có giải thích). 0,75. 1 1 1 1 với n  *    ...  1.3 3.5 5.7  2n  1 2n  1. Điểm chi tiết. Cho tổng S n . a) Tính S1 ,S 2 ,S3 ? b) Bằng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh S n  a) S1 . 1 1  1.3 3. n ,n  * ? 2n  1. 0,25. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 0,25. 1 1 2   1.3 3.5 5 1 1 1 3 S3     1.3 3.5 5.7 7 S2 . 0,25. n ,n  * 1 2n  1 1 1 Với n  1 , ta có: S1   3 2 .1  1 Suy ra (1) đúng với n  1 .. b) Ta chứng minh Sn . k . 2k  1 Ta cần chứng minh (1) đúng với n  k  1 , nghĩa là chứng minh k 1 k 1 S k 1    2 2  k  1  1 2k  3 Thật vậy, ta có 1 1 1 1 1 S k 1     ...   1.3 3.5 5.7  2k  1 2k  1  2k  1 2k  3. Giả sử (1) đúng với n  k  1 , nghĩa là S k .  Sk   . 0,25. 0,25. 1.  2k  1 2k  3. k 1  2k  1  2k  1 2k  3 k  2k  3   1. . 2k 2  3k  1  2k  1 2k  3.  2k  1 2k  3  2k  1 k  1  k  1   2k  1 2k  3 2k  3. 0,25.  (2) đúng n ,n  * (đpcm) 2n  1 Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.. Vậy S n  Câu 4 [A] (1 điểm). Điểm chi tiết. Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng: u1 ; u2 ; u3 . Theo đề bài ta có: u1  u2  u3  27 1  2 2 2 u1  u2  u3  293  2  1  u1  u1  d  u1  2d  27  3u1  3d  27  d  9  u1..  2   u12   u1  d    u1  2d   293 2 2 2  u12   u1  9  u1    u1  18  2u1   293  u12  81  18  u1   293 2. 0,25. 2. u1  14  2u12  36u1  112  0   u1  4 Với u1  14  d  5  u2  9; u3  4. Với u1  4  d  5  u2  9; u3  14. Câu 5 [A]. 0,25. 0,25 0,25 0,25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AD là đáy lớn). E , F lần lượt là trung điểm của SA và SD . Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AB và CD . 4. Điểm chi tiết.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) ; Tìm giao điểm M của đường thẳng SB và.  CDE  . b) Tìm giao điểm N của đường thẳng SC và  EFM  . Tứ giác EFNM là hình gì? c) Chứng minh các đường thẳng AM , DN , SK đồng quy. S. E. F. I. M. N. A. D. B. C. K. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) . Tìm giao điểm M của đường thẳng SB và (1,25 điểm).  CDE  . S   SAB   (SCD) K  AB, AB   SAB   K   SAB     K   SAB    SCD  K  CD,CD   SCD   K   SCD   Vậy  SAB    SCD   SK Trong (SAB), gọi M  SB  EK M  SB.   M  EK, EK   CDE   M   CDE    M  SB   CDE . (1 điểm). 0,25 0,25 0,25. 0,25. _____________________________________________________________________ b) Cách 1: M   MEF    M  SB, SB   SBC   M   SBC    M   MEF    SBC . d  (EFK)  (SBC)  EF/ / BC (EF / /AD, BC / /AD) EF  (EFK), BC  (SBC) . 0,25.  d / / EF/ / BC. Trong (SBC) gọi N  d  SC  N  SC   MEF  Vì d / / EF  MN/ / EF nên tứ giác EFNM là hình thang. ____________________________________________________________________ Cách 2: Trong (SCD), gọi N  KF  SC 5. ________. 0,25. 0,25 0,25 0,25 _______.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> N  SC.   N  KF, KF   EFM   N   EFM   .  N  SC   EFM . 0,25. Chứng minh MN  (EFK)  (SBC) MN  (EFK)  (SBC)  Có EF  BC (EF / /AD, BC / /AD)  MN  EF  BC . EF  (EFK), BC  (SBC)  Suy ra tứ giác EFNM là hình thang. _________________________________________________________________. 0,25. c) Chứng minh các đường thẳng AM, DN, SK đồng quy Ta có: MN / /AD (cùng song song với BC) (0,75 điểm) Trong mp(ADNM), gọi I  AM  DN . I  AM, AM  (SAB)  I  (SAB)  I  CD, CD  (SCD)  I  (SCD)  I  (SAB)  (SCD) Mà  SAB    SCD   SK  I  SK . Vậy 3 đường thẳng AM, DN, SK đồng quy tại điểm I. Câu 6 [A]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , chọn ngẫu nhiên một điểm có hoành độ và tung độ là những số nguyên có giá trị tuyệt đối bé hơn 4 . Tính xác suất để chọn được điểm mà khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ không vượt quá 2?. (0,75 điểm).  x  4 Gọi M  x; y  là điểm thỏa mãn x, y   và   y  4  x  3; 2; 1; 0;1; 2; 3   y  3; 2; 1; 0;1; 2; 3 Do đó có 7 cách chọn hoành độ, 7 cách chọn tung độ cho điểm M nói trên. Theo quy tắc nhân, n     7.7  49 Gọi A: “Chọn được điểm mà khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ không vượt quá 2” Gọi M '  x'; y'  là điểm thỏa x', y'   và OM  2 . OM  2 . 0,25 0,25 _______. 0,25 0,25 0,25 Điểm chi tiết. 0,25. x' 2  y' 2  2  x' 2  y' 2  4.  x'  0; 1; 2 TH1: x'  0  y'  0; 1; 2 Theo QT nhân, có 1.5  5 cách thỏa TH1. TH2: x'  1  y'  0; 1 Theo QT nhân, có 2.3  6 cách thỏa TH2. TH3: x'  2  y'  0 Theo QT nhân, có 2.1  2 cách thỏa TH3. Theo QT cộng, n  A  5  6  2  13.  P  A . n  A 13  n    49. 6. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11_ĐỀ 112 Câu 1a [B]. (1 điểm).     Giải phương trình 2 cos2  x    3cos  x    5  0 . 5 5  . Điểm chi tiết.     2cos2  x    3cos  x    5  0 5 5     Đặt t  cos  x   , 1  t  1 5  t  1(n ) Khi đó, phương trình trở thành: 2t  3t  5  0   5  t  (l )  2   4   k 2 , k   Với t  1 ta có: cos  x    1  x     k 2 , k    x  5 5 5  4  k 2 , k   Vậy x  5 2. Câu 1b [B]. (1 điểm).     Giải phương trình: sin  5 x    cos  5 x     2 . 3 3  . Điểm chi tiết.     sin  5 x    cos  5 x     2 3 3       2 sin  5 x      2 3 4  7    sin  5 x    1 12   7   5x     k 2 12 2 13 k 2 x   k  60 5. 13 k 2   k  60 5 Gieo con súc sắc cân đối đồng chất bốn lần. a) Hãy mô tả không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu.. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x   Câu 2 [B]. Điểm chi tiết. b) Tính số phần tử của biến cố “cả bốn lần gieo không có lần nào giống nhau”. (1,5 điểm). a) Không gian mẫu    i; j ; k ; l  i, j , k , l  1, 2,...,6  n     64  1296 . b) Biến cố A : “Cả bốn lần gieo không có lần nào giống nhau” có số phần tử là n  A  A64  360 .. Câu 3[B]. Cho tổng S n . 1 1 1 1 với n  *    ...  1.5 5.9 9.13  4n  3 4n  1. a) Tính S1 ,S 2 ,S3 ? b) Bằng phương pháp quy nạp, hãy chứng minh S n  (1,75 điểm) a). S1 . 1 1  1.5 5. 7. n ,n  * ? 4n  1. Điểm chi tiết.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 1 2   1.5 5.9 9 1 1 1 3 S3     1.5 5.9 9.13 13 S2 . n ,n  * 1 4n  1 1 1 Với n  1 , ta có: S1   5 4. 1  1 Suy ra (1) đúng với n  1 . k Giả sử (1) đúng với n  k  1 , nghĩa là S k  . 4k  1 Ta cần chứng minh (1) đúng với n  k  1 , nghĩa là chứng minh k 1 k 1 S k 1    2 4  k  1  1 4 k  5 Thật vậy, ta có 1 1 1 1 1 S k 1     ...   1.5 5.9 9.13  4k  3 4k  1  4k  1 4k  5. b) Ta chứng minh Sn .  Sk   . 1.  4k  1 4k  5 . k 1  4k  1  4k  1 4k  5  k  4k  5   1. . 4k 2  5k  1  4k  1 4k  5.  4k  1 4k  5  4k  1 k  1  k  1   4k  1 4k  5 4k  5  (2) đúng. n ,n  * (đpcm) 4n  1 Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 18 và tổng các bình phương của chúng là 140. Vậy S n  Câu 4[B] (1 điểm). Điểm chi tiết. Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng: u1 ; u 2 ; u 3 . Theo đề bài ta có:  u1  u 2  u 3  18  1  2 2 2  u1  u 2  u 3  140  2 . 1  u 2  u. 1 1.  u1  d  u1  2d  27  3u1  3d  18  d  6  u1 . 2.   u1  d    u1  2d   140 2. 2.  u12   u1  6  u1    u1  12  2u1   140  u12  36  12  u1   140 2. 2. 2.  2u12  24u1  40  0  u1  10  u1  2. Câu 5[B]. Với u1  10  d  4  u2  6; u3  2. Với u1  2  d  4  u 2  6; u3  10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB là đáy lớn). E , F lần lượt là trung điểm của SA và SB . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AD và BC . a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ; Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và.  CBE  . b) Tìm giao điểm M của đường thẳng SC và  EFN  . Tứ giác EFMN là hình gì? 8. Điểm chi tiết.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> c) Chứng minh các đường thẳng AN , BM , SQ đồng quy. (3 điểm). a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) . Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và  CBE . S   SAD   (SBC) Q  AD, AD   SAD   Q   SAD     Q   SAD    SBC  Q  BC, BC   SBC   Q   SBC   Vậy  SAD    SBC   SQ Trong (SAD), gọi N  SD  EQ N  SD.   N  EQ, EQ   CBE   M   CBE    N  SD   CBE . b) Trong (SBC), gọi M  QF  SC M  SC.   M  QF, QF   EFN   M   EFN   .  M  SC   EFN  Chứng minh MN  (EFQ)  (SDC). MN  (EFQ)  (SDC)  Có EF/ /D C (EF / /AB, CD / /AB) EF  (EFN), DC  (SDC) .  MN / / EF/ /D C .. Suy ra tứ giác EFMN là hình thang. c) Chứng minh các đường thẳng AN, BM, SQ đồng quy. Ta có: MN / /AB (cùng song song với CD) Trong (ABMN), gọi I  AN  BM . I  AN, AN  (SAD)  I  (SAD)  I  BM, BM  (SBC)  I  (SBC)  I  (SAD)  (SBC) Mà  SAD    SBC   SQ  I  SQ . Vậy 3 đường thẳng AN, BM, SQ đồng quy tại điểm I. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Câu 6 [B]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , chọn ngẫu nhiên một điểm có hoành độ và tung độ là những số nguyên dương bé hơn 10 . Tính xác suất để chọn được điểm mà khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ không vượt quá 4?. (0,75 điểm) Gọi M  x; y  là điểm thỏa mãn x, y  * và  x  10   y  10  x  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9   y  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Do đó có 9 cách chọn hoành độ, 9 cách chọn tung độ cho điểm M nói trên. Theo quy tắc nhân, n     9.9  81 Gọi A: “Chọn được điểm mà khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ không vượt quá 4” Gọi M '  x'; y'  là điểm thỏa x', y'   và OM  4 . OM  4 . x' 2  y' 2  4  x' 2  y' 2  16.  x'  1; 2; 3 TH1: x'  1; 2  y'  1; 2; 3 Theo QT nhân, có 2.3  6 cách thỏa TH1. TH2: x'  3  y'  1; 2 Theo QT nhân, có 1.2  2 cách thỏa TH2. Theo QT cộng, n  A   6  2  8.  P  A . n  A 8  n    81. 10. Điểm chi tiết.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>