Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng kerr lên quá trình chuyển đổi công suất của bộ liên kết phi tuyến luận văn thạc sỹ vật lý

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

NGUYỄN THỊ SINH

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG
KERR LÊN QUÁ TRÌNH CHUYỂN ĐỔI CÔNG
SUẤT CỦA BỘ LIÊN KẾT PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH 2012


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

NGUYỄN THỊ SINH

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG
KERR LÊN QUÁ TRÌNH CHUYỂN ĐỔI CÔNG
SUẤT CỦA BỘ LIÊN KẾT PHI TUYẾN

Chuyên ngành : Quang học
Mã sớ

: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS VŨ NGỌC SÁU

VINH 2012


3

Lời cảm ơn

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo PGS.TS Vũ
Ngọc Sáu đã hướng dẫn em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo chuyên ngành Quang học trường
Đại học Vinh đã giảng dạy và chỉ dẫn em trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Cuối cùng, xin được bày tỏ lịng biết ơn đối với gia đình và người thân đã
động viên, giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn này.

Vinh, tháng 9 năm 2012.
Tác giả

Nguyễn Thị Sinh


4

MỤC LỤC
Lời mở đầu………………………………………………………………..

5

Chương 1: Mô phỏng sự lan truyền xung trên sợi quang liên kết
1.1 Phương trình lan truyền xung trong sợi quang liên kết............................9
1.1.1 Cấu tạo cặp sợi quang liên kết..................................................................9
1.1.2 Thiết lập phương trình lan truyền xung trong cặp sợi quang liên kết….10
1.2 Ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến lên quá trình lan truyền xung trong
cặp sợi quang liên kết
1.2.1 Sự lan truyền của một xung đơn trong cặp sợi quang liên kết...................15
1.2.2 Kết quả mô phỏng minh hoạ ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến lên quá
trình truyền xung trên cặp sợi quang liên kết......................................................18
1.3 Các hiệu ứng phi tuyến trong thông tin quang
1.3.1 Giới thiệu tổng quan các hiệu ứng phi tuyến…………………………….20
1.3.2 Ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến Kerr lên quá trình lan truyền xung
trong sợi quang....................................................................................................23
1.3.3 Hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM- self phase modulation)........................26
1.3.4 Hiệu ứng biến điệu pha chéo XPM………………………………………31
1.4 Kết luận chương 1………………………………………………………...35


5

Chương 2:
Khảo sát ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lên q trình chuyển đổi cơng suất
của bộ liên kết phi tuyến.
2.1

Bộ liên kết phi tuyến .................................................................................37

2.2 Thiết lập phương trình lan truyền sóng trong bộ liên kết phi tuyến..............39
2.3 Công suất chuyển đổi của bộ liên kết phi tuyến............................................42
2.4 Ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lên quá trình truyền xung trong bộ liên kết
phi tuyến..............................................................................................................43
2.5 Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lên q trình chuyển đổi cơng suất
của bộ liên kết phi tuyến.....................................................................................50
2.6 Khảo sát kết quả bằng mơ phỏng thực nghiệm và tính tốn số học..............53
2.7 Kết luận chương 2.........................................................................................63
KẾT LUẬN CHUNG……………………………………………………….….65
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………...66


6

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH TRONG LUẬN VĂNC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH TRONG LUẬN VĂN VIẾT TẮT TIẾNG ANH TRONG LUẬN VĂNT TẮT TIẾNG ANH TRONG LUẬN VĂNT TIẾT TẮT TIẾNG ANH TRONG LUẬN VĂNNG ANH TRONG LUẬN VĂNN VĂNN
NLSE

Nonlinear Schrodinger

Phương trình Schrodinger phi

GNLSE

Equation.
Generalized Nonlinear

tuyến
Phương trình Schrodinger phi

GVD

Schrodinger
Group Velocity

tuyến suy rộng
Tán sắc vận tốc nhóm

SPM
TOD
CW
XPM
NLDC

Dispersion
Self Phase Modulation
Third-Order Dispersion
Continuous Wave
Cross phase Modulation
Non Linear Directional

Tự biến điệu pha
Tán sắc bậc ba
Sóng liên tục
Biến điệu pha chéo
Bộ liên kết hướng phi tuyến

RMS

Coupler
Root-mean-square

Độ rộng căn quân phương.

LỜI MỞ ĐẦU


7

Vào thập kỉ 60 việc phát minh ra laser để làm ng̀n phát quang đã mở ra một
thời kì mới có ý nghĩa rất to lớn trong lịch sử của kỹ thuật thông tin sử dụng dải
tần số ánh sáng. Các hệ thống thông tin quang đầu tiên thường có tốc độ thấp và
cự li truyền dẫn cũng không lớn lắm. Do đó các hiệu ứng phi tuyến chưa được
quan tâm chú ý.
Cùng vời sự phát triển của xã hội , nhu cầu về thông tin ngày càng tăng.
Thêm vào đó là các kỹ thuật mới ra đời như kỹ thuật khuếch đại quang, kỹ thuật
ghép bước sóng (WDM) tạo điều kiện cho việc xây dựng các tuyến thông tin có
tốc độ cao, cự li truyền dẫn lớn. Lúc này ảnh hưởng của các hiệu ứng phi
tuyến trở nên rất rõ rệt buộc chúng ta phải mở rộng nghiên cứu để tìm cách khắc
phục và ứng dụng chúng.
Đề tài này tập trung vào việc nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lên
quá trình truyền xung trong cặp sợi quang liên kết và q trình chuyển đổi cơng
suất của bộ liên kết phi tuyến. Bộ liên kết phi tuyến thực tế được sử dụng với
nhiều ứng dụng rộng rãi như một thiết bị quan trọng trong thông tin quang mà ta
có thể lựa chọn các tham số nguyên lý như: độ dài, bán kính sợi, khoảng cách
giữa hai tâm lõi, chiết suất để có đươc hệ số truyền công suất theo ý muốn.
Vì vậy chúng tơi đã chọn đề tài: “Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lên
quá trình chuyển đổi công suất của bộ liên kết phi tuyến”.
1. Mục tiêu nghiên cứu được xác định là:

Nghiên cứu hiệu ứng Kerr xuất hiện trong bộ liên kết phi tuyến, tác động lên
công suất chuyển đổi, từ đó nắm được nguyên lý hoạt động của bộ liên kết phi
tuyến dựa trên hiệu ứng Kerr.


8

Trên cơ sở nghiên cứu nguyên lý cấu tạo và hoạt động của cặp sợi quang liên
kết, phương trình truyền sóng để hiểu rõ ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lên quá
trình truyền sóng.
Từ khảo sát hoạt động của bộ liên kết, chúng tôi thiết lập hàm truyền, biểu thức
hệ số truyền công suất và khảo sát ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lên q trình
chuyển đổi cơng suất của bộ liên kết phi tuyến.
Để thu được các kết quả, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu mô
phỏng lý thuyết và tính tốn số học. Đây là phương pháp dựa trên lý thuyết thiết
lập các biểu thức liên quan, từ đó mơ phỏng và tính tốn số học kết quả. Phương
pháp này có tính chính xác cao và mơ phỏng rõ nét, giúp chúng ta dễ dàng so
sánh kết quả nghiên cứu được với kết quả thực nghiệm đã có, từ đó chứng minh
được các kết quả nghiên cứu.
Khởi đầu từ sự thiết lập các phương trình truyền sóng trong cặp sợi quang liên
kết, bộ liên kết phi tuyến, chúng tôi tập trung nghiên cứu vào các thành phần phi
tuyến trong phương trình. Và trên cơ sở nguyên lý hoạt động của bộ liên kết phi
tuyến, chúng tôi thiết lập biểu thức hệ số truyền công suất để từ đó phân tích ảnh
hưởng của hiệu ứng phi tuyến kiểu Kerr lên nó. Dựa vào kết quả thực nghiệm đã
có, chúng tôi kiểm chứng sự đúng đắn của lý thuyết mà chúng tơi tìm ra. Cấu
tạo và ngun lý hoạt động của bộ liên kết phi tuyến được trình bày chi tiết và từ
đó suy ra các ứng dụng của nó. Áp dụng phương pháp gần đúng để giải các
phương trình truyền sóng và đưa ra các biểu thức diễn tả mối quan hệ giữa công
suất vào và ra, từ đó thấy được ảnh hưởng của các hiệu ứng Kerr ( SPM và
XPM) lên hoạt động của bộ liên kết phi tuyến. Bằng phương pháp mô phỏng,

chúng tôi khảo sát tác động của các thành phần phi tuyến SPM với các hệ thức
khác nhau lên q trình chuyển đổi cơng suất.


9

Đề tài “Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lên q trình chuyển
đổi cơng suất của bộ liên kết phi tuyến” sẽ đóng góp vào việc hoàn thiện lý
thuyết và nghiên cứu chuyên sâu về bộ liên kết phi tuyến. Dựa trên nguyên lý
hoạt động của nó để đưa ra các ứng dụng hữu ích của bộ liên kết phi tuyến.
Ngoài ra kết quả đề tài giúp nghiên cứu sâu về hiệu ứng Kerr trong môi
trường phi tuyến, thông tin quang, lý thuyết quang phi tuyến và laser. Từ đó
việc nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến trong thông tin quang, nghiên cứu cấu
tạo nguyên lý hoạt động của các thiết bị quang học đã, đang và sẽ được ứng
dụng.
2. Bố cục của luận văn
Trên cơ sở đó nội dung chính của đề tài sẽ được trình bày trong hai chương theo
bố cục sau:
Chương 1: “ Mô phỏng sự lan truyền xung trên cặp sợi quang liên
kết”.
Trong chương này chúng tơi trình bày cơ sở lý thuyết của vấn đề nghiên cứu.
Bao gồm: xem xét sự đáp ứng phân cực của mơi trường khi chịu kích thích bởi
một trường quang học; dẫn ra phương trình lan truyền sóng phi tuyến. Từ
phương trình tổng qt này chúng tơi xét các trường hợp riêng, quan trọng cho
các xung ngắn, cực ngắn với các phương trình lan truyền tương ứng: NLSE và
GNLSE trong sợi quang và cặp sợi quang liên kết.
Kết quả mô phỏng số học của xung đơn lan truyền trong cặp sợi quang liên
kết và các hiệu ứng phi tuyến Kerr ảnh hưởng lên xung trong quá trình lan
truyền cũng được trình bày chi tiết.

10

Chương 2 “Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lên q trình chuyển
đổi cơng suất của bộ liên kết phi tuyến”.
Trong chương này, chúng tơi trình bày cấu tạo của bộ liên kết phi tuyến xây
dựng các phương trình lý thuyết mô tả sự truyền sóng trong bộ liên kết phi tuyến
cũng như các biểu thức mô tả hệ số truyền công suất. Trên cơ sở nguyên lý hoạt
động của bộ liên kết phi tuyến, biểu thức hệ số truyền của nó được thiết lập dựa
vào các phương trình và kết quả thực nghiệm chúng tơi đã tính tốn được sự ảnh
hưởng của hiệu ứng Kerr lên quá trình chuyển đổi công suất của bộ phi tuyến
Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo.


11

Chương 1
Mô phỏng sự lan truyền xung trên sợi quang
liên kết.
1.1 Phương trình lan truyền xung trong sợi quang liên kết
1.1.1 Cấu tạo cặp sợi quang liên kết
Sợi quang liên kết đã được sử dụng như là một thành phần cấu tạo nên
các thiết bị quang học hiện nay. Cặp sợi quang (Fiber coupler) là một thành
phần của sợi quang có thể giúp phân phối lại tín hiệu quang một cách có định
hướng. Nó có thể dùng để tổng hợp hai hay nhiều tín hiệu từ các sợi quang khác
nhau thành một, hoặc cũng có thể tách tín hiệu từ một cổng quang thành hai hay
nhiều tín hiệu khác nhau tùy vào mục đích sử dụng.
Ta hãy xem xét cặp sợi quang có hai cổng vào và hai cổng ra (2x2
coupler). Chúng ta sẽ thiết lập các phương trình truyền sóng trong cặp sợi quang
này. Trong cặp sợi quang liên kết thì cả hiệu ứng tuyến tính lẫn phi tuyến đều

xảy ra.

Hình 1.1: Minh hoạ cặp sợi quang hướng liên kết


12

Về nguyên tắc để tạo được một cặp sợi quang với hai cổng vào và hai
cổng ra thì hai sợi quang phải được đặt gần nhau, sao cho tín hiệu lan truyền
trong sợi quang này có thể chuyển sang sợi quang kia và tạo nên hiện tượng
ghép mode giữa hai sợi quang. Người ta sử dụng phương pháp ghép mode giữa
hai sợi quang để tạo nên chuyển mạch ánh sáng hay biến điệu tùy thuộc vào các
yêu cầu mà có các ứng dụng khác nhau. Thông thường để tạo nên một cặp thì
các sợi quang chỉ có một đoạn chiều dài nhất định mà tại đó chúng được ghép
rất sát nhau, được gọi là chiều dài liên kết của một cặp sợi quang định hướng.
chiều dài này phụ thuộc các yếu tố như khoảng cách giữa các sợi quang, chiết
suất của các sợi quang, dạng hình học của sợi quang.
1.1.2 Thiết lập phương trình lan truyền xung trong cặp sợi quang liên
kết
Để đơn giản, ta xét cặp sợi quang liên kết có hai cổng vào và hai cổng ra
tuyến tính ( các hiệu ứng quang học xảy ra là tuyến tính). Có hai loại cặp sợi
quang liên kết sau: loại đối xứng khi cả hai lõi sợi là đồng nhất (giống nhau), và
loại bất đối xứng khi cả hai lõi sợi là không đồng nhất.
Chúng ta xây dựng các phương trình lí thuyết lan truyền sóng để làm cơ
sở nghiên cứu và xây dựng các biểu thức mô tả sự phụ thuộc của công suất ra tại
hai cổng ra với cơng suất vào.
Ta sử dụng phương trình Helmholtz mơ tả sự lan truyền sóng trong cặp sợi
quang liên kết như sau [8]:
( 1.1)

13

mô tả sự truyền lan sóng theo phương z, tại tần số

với

là vecstơ sóng.
(x,y) =

là chỉ số khúc xạ trong toàn bộ mặt phẳng (x,y), ngoại trừ vùng bị

chiếm bởi lõi của sợi quang (trong vùng này (x,y) >

).

Trên cơ sở sự truyền sóng trong sợi quang, chúng ta thiết lập biến đổi Fourier
(r, ) của trường xung như sau
(r, )
trong đó
= 1;2),

[

(z, )

(x,y) +

(z, )

là vectơ phân cực,

(x,y)]

(1.2)

là hàm phân bố không gian của trường i (i

là hằng số truyền mode,

(z, ) là biên độ.

Thay (1.2) vào (1.1) ta tìm được phương trình
(1.3)
là hằng số lan truyền trong sợi quang 1 hoặc 2 (i = 1 hoặc 2),
số khúc xạ mà

=

là chỉ

tại mọi điểm trong mặt phẳng (x,y) ngoại trừ vùng

bị chiếm chỗ bởi lõi sợi quang thứ i.
Để xác định biên độ

thay đổi dọc theo hướng lan truyền z, ta thay (1.2) vào

(1.1) và nhân với liên hợp phức

và

rời sử dụng phương trình (1.3) lấy tích

phân trên tồn bộ mặt phẳng (x,y) chúng ta được các phương trình sau
(1.4)


14

(1.5)
Trong đó

và

(m = 1 hoặc 2, n =1 hoặc 2) tương ứng là các hệ số liên

kết giữa các sợi quang và hệ số phi tuyến của hằng số truyền lan
(1.6)

(1.7)
với

=1, ở đây

là thành phần tuyến tính của chỉ số khúc

đều phụ thuộc vào tần số

, chúng ta sẽ bỏ qua sự phụ thuộc vào tần

xạ .
và
số của

và khai triển

theo chuỗi Taylor sau:
(1.8)

Sau khi khai triển

theo chuỗi Taylor với tần số

, thay

bằng

đạo hàm theo thời gian trong phép biến đổi Fourier ngược ta đưa phương trình
hàm bao biên độ

về dạng

+

+

=i

+

+

= i

+
+

(1.9)
(1.10)


15

Trong đó

=

là vận tốc nhóm trong sợi quang thứ m (m =1;2)

mô tả hiệu ứng của tán sắc vận tốc nhóm trong sợi quang thứ m, và
= (

)

= (
Khi

(1.11)

)

(1.12)

= 0 thì cả hai lõi của hai sợi quang là đờng nhất (giống nhau), vì vậy

dùng để biểu thị sự bất đối xứng của cặp sợi quang liên kết.
Các tham số

và

mô tả sự ảnh hưởng của hiệu ứng SPM và XPM trong

sợi quang liên kết được xác định như sau:
(1.13)
(1.14)
Khi cặp sợi quang liên kết là đối xứng, hai lõi đồng nhất thì:
0,

= K và
=

,

=
=

Hệ phương trình (1.9) và (1.10) đưa về dạng
+

+

= i

+

(1.15)

+

+

= i

+

(1.16)


16

Hệ phương trình (1.9) (1.10) đưa về dạng đơn giản hơn khi sóng liên tục ( CW)
lan truyền với công suất nhỏ và các hiệu ứng phi tuyến và GVD được bỏ qua.
Do đó ta có thể đặt (
triệt tiêu

=

=

=0) và sự phụ thuộc vào biến thời gian được

=0

= i

(1.17)

= i

(1.18)

Lấy vi phân (1.18) và thay kết quả vào (1.17) ta được:
+

=0

(1.19)

ở đây hệ số liên kết hiệu dụng

được xác định như sau

K=
Cũng làm như vậy với

(1.20)

ta có được phương trình tương tự.

Hình 2 minh hoạ nguyên lý hoạt động của cặp sợi quang liên kết khi xung vào
được đưa vào cổng 1

(0)=

,

(0)=0. Sử dụng các điều kiện biên của hệ

phương trình (1.17) và (1.18) ta có thể dễ dàng giải hệ phương trình sau:
(z) =

[ cos (

(z) =

(i

z) + i(
/

/

(1.21)
(1.22)


17

Đây là các phương trình mơ tả ngun lý hoạt động của cặp sợi quang liên kết.

Ta thấy rằng mặc dù đầu vào cổng 2 không có xung
tại cổng ra
liên kết

(z) ≠0. Cường độ xung ra tại cổng 2 phụ thuộc vào tỉ lệ của hệ số
/

và chiều dài liên kết L = z (trong khi

của tính bất đối xứng
tại

(0)=0 (tại z =0), nhưng

phụ thuộc vào hệ số

). Công suất lớn nhất chuyển đổi qua cổng 2 đạt được

= m /2, m là số nguyên.

=

tại m =1 được gọi là chiều dài liên kết.

Hình 1.2: Cơng suất chuyển đổi sang sợi thứ 2

với các giá trị

khác nhau của
Với cặp sợi quang liên kết đối xứng

0,

= K) chiều dài L, hệ phương

trình (1.21) và (1.22) được viết thành
(L) =
(L) =

cos (KL)

(1.23)
(1.24)


18

Và công suất ở trong sợi 1 và sợi 2 lần lượt là
(L) =

(KL)

(1.25)

(L) =

(1.26)

ở đây
Khi hệ số liên kết và chiều dài L của cặp sợi quang liên kết được chọn sao

cho KL =

thì

. Lúc này cơng suất được chia đều ở 2 sợi quang,

nghĩa là công suất được truyền một nửa từ sợi 1 sang sợi 2 (cặp sợi quang liên
kết chiều dài 3dB). Cặp hệ phương trình (1.21) (1.22) và (1.25) (1.26) chứng
minh rằng công suất được chuyển đổi một cách tuần hoàn giữa hai sợi trong cặp
sợi quang liên kết. Đặc tính này được ứng dụng làm bộ chuyển mạch quang.
Khi xem xét biên độ

trong miền (z, T) thì hệ phương trình (1.21)

(1.22) được viết thành
[

z)

[

z)

+

z)

]

(1.27)

z)

]

(1.28)

biên độ xung đưa vào cổng 1 (z =0). Từ hệ phương trình trên ta có thể
thấy dạng biên độ

,

khơng giữ nguyên hình dạng của nó khi

truyền lan trong cặp sợi quang liên kết mà chia thành hai xung. Đặc điểm này sẽ
là cơ sở quan trọng để nghiên cứu “ảnh hưởng của các hiệu ứng phi tuyến lên
sự lan truyền xung trong cặp sợi quang liên kết” được trình bày trong phần 1.2.


19

1.2 Ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến lên quá trình lan truyền xung trong
cặp sợi quang liên kết
1.2.1 Sự lan truyền của một xung đơn trong cặp sợi quang liên kết
Xem rằng bộ liên kết bao gồm hai sợi quang đơn mode. Những bộ liên kết
như vậy bao gồm mode chẵn và mode lẻ. Sự chuyển đổi công suất quang trong
bộ liên kết được xem như là sự tương tác phối hợp giữa hai mode. Khi công suất
quang đủ mạnh thì tính phi tuyến được thể hiện rõ rệt. Trong một sợi quang
silica, môi trường phi tuyến Kerr yếu, độ rộng xung không những phụ thuộc vào
tán sắc liên hợp mà còn phụ thuộc vào hiệu ứng tự biến điệu pha SPM, và do đó

làm hạn chế sự chuyển đổi công suất của bộ liên kết, làm gia tăng hiện tượng
méo xung và xung vỡ.
Thay vì đưa vào cổng 1 sóng liên tục CW, ta đưa vào cổng 1 một xung
đơn. Chúng ta phải tính tới ảnh hưởng của hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm GVD,
ngay cả khi công suất xung đơn vào là nhỏ và có thể bỏ qua thành phần phi
tuyến. Hệ phương trình (1.15) và (1.16) có thể viết dưới dạng
i(

+

+

+

)-

+

+

+

= 0 (1.29)

i(

+

+

+

)-

+

+

+

= 0 (1.30)

và

là biên độ biến đổi chậm,

truyền mode

là tần số góc của sóng tới,

là hệ số suy hao của đường dẫn sóng. =2

(

) trong đó

là hằng số

là tán sắc vận tốc nhóm GVD, và
/

(

là hệ số khúc xạ phi


20

tuyến,

diện tích vùng lõi hiệu dụng).

là tham số phi tuyến, và λ là bước

sóng ánh sáng.
và

lần lượt là hệ số liên kết tuyến tính và hệ số liên kết phi tuyến được xác

định:

(

), trong đó C= C( ) là hệ số liên kết trong bộ liên kết

được chế tạo từ hai sợi quang đơn mode ( hoặc ống dẫn sóng).
Chú ý là trong hai phương trình truyền sóng (2.1a) và (2.1b), chúng ta không
chú ý tới ảnh hưởng của tán sắc liên kết bậc hai, vì vậy chúng ta sẽ tập trung vào
tán sắc liên kết bậc một và các hiệu ứng phi tuyến Kerr như SPM và XPM làm
ảnh hưởng tới pha trong bộ liên kết.

Để giải các phương trình lan truyền cho hai đường dẫn mode, chúng ta đưa vào
khái niệm khung của chuyển động tham chiếu của xung quang với vận tốc nhóm
=1/ . Ứng với độ rộng xung
T=(t-z/ )/

sẽ có một tỉ lệ thời gian tương ứng:

= (t- z)/ .

Cũng bởi vậy, sẽ thuận lợi nếu đưa vào biên độ u được chuẩn hoá
và khoảng cách được chuẩn hoá
mà tương đương với một tham số khoảng cách tương ứng với chiều dài tán sắc
trong quá trình lan truyền soliton quang học trong sợi quang. Ở
đây

là độ rộng xung ban đầu,

là đỉnh công suất của xung vào.

Sau khi thay đổi các tham số ở trên, cặp phương trình (1.29) và (1.30) có thể
viết lại thành: