Nguyên lý bài toán phụ giải bất đẳng thức biến phân .pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






PHẠM VĂN DŨNG






NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






PHẠM VĂN DŨNG






NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU




THÁI NGUYÊN – 2009

▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉ ✸
✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✻
✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✸✳ ▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✸✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✸✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✶✳✸✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✷ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✷✵
✷✳✶✳ ➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

✷✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❞ù❛ ✈➭♦ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✸✸
✸✳✶✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✭●❛♣ ❢✉♥❝t✐♦♥✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸
✸✳✶✳✶✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✉s❧❡♥❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✸✳✶✳✷✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
✸✳✶✳✸✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❦❤➠♥❣ r➭♥❣ ❜✉é❝ ✭ ❉ ✲ ●❛♣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✮ ✳ ✳ ✹✵
✸✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸
✸✳✷✳✶✳ ❚❤✉❐t ❣✐➯✐ t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ γ
cd
(.) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸
✸✳✷✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ γ
c
(.) ✳ ✳ ✳ ✹✹
❑Õt ❧✉❐♥ ✹✼
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✽
✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ở
t tứ ế ợ ứ ụ rộ r tr ề ĩ ự
tế ỹ tt trù ọ t ý t t tố
ớ r ộ t tứ ế ò ọ r ộ ũ
ột ề t ợ ề ờ q t ứ ì trò q trọ
ủ ó tr ý tết t ọ tr ứ ụ tự tế
ột tr ữ ớ ứ q trọ ủ t tứ ế
ệ ự ó rt ề t
tứ ế ợ ứ ị
t ụ ự tr ệ ể t ề ệ trì ự
tr ỹ tt ự tr tế ể t ộ

ụ í ủ trì tt t t
tứ ế ự tr ì ế

ồ trì ột số ế tứ ề
t tứ ế ề ệ tồ t ệ ột số t
ế t tứ ế
r sẽ ớ tệ tt t ì ế t t
tứ ế ệ ụ tể t ờ
ì ế s
sẽ r tt t tứ ế ự
tt t ự tr sr
ệ ỉ s

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ờ
ợ t ớ sự ớ ủ ũ
tỏ ò ết s s t ế ề t
ù ớ sự ớ t tì tr tờ t ọ ọ
t
r q trì ọ t t ợ sự q t ú ỡ sự
ệt tì ủ P ỗ P ị P
Pợ r ũ ệ ễ ị ủ ù ề
t t ệ ọ ệ ệ rờ
ọ s ọ t tỏ ò ết s
s ế
t ễ ị ủ ộ ú ỡ
t rt ề tr sốt q trì ọ t
tỏ ò ết tớ rờ ọ
ọ ọ
t trờ s

ự t ề ề ệ t ợ tr tờ t
ọ ọ
t ị ọ ọ
ồ ệ ọ trò ệt ọ trò r ị
ễ ị ú ỡ t rt ề tr q trì ọ
t t
sẽ ợ t ế tế sự t s

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✈➭ sù ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ❦Þ♣ t❤ê✐ ❝ñ❛ ❣✐❛ ➤×♥❤✳ ❳✐♥ ❣ö✐ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥
t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝✳
❚➳❝ ❣✐➯
P❤➵♠ ❱➝♥ ❉ò♥❣
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✶
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭➤➢î❝ ✈✐Õt t➽t ❧➭ ✲ ❱■P✮ ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ô ♠➵♥❤✱ ➤➢î❝
sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐Ò✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ô♥❣✳ ◆❤✐Ò✉ ❜➭✐
t♦➳♥ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt tè✐ ➢✉✱ ❦✐♥❤ tÕ ✈➭ ✈❐t ❧ý t♦➳♥ ➤Ò✉ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳
✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥
❇➭✐ t♦➳♥ ❱■P ✈Ò ♠➷t ❤×♥❤ t❤ø❝ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉✿
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✮ ❈❤♦ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ K ❝ñ❛ R
n
✈➭ ➳♥❤ ①➵ F : K −→ R
n
✳
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➢î❝ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ V IP (K; F )✱ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥
t×♠ x

∗
s❛♦ ❝❤♦✿
x
∗
∈ K, F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K. ✭✶✳✶✮
❚❐♣ ❤î♣ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠ x
∗
t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✶✮ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ V IP (K; F )
✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ SOL − V IP (K; F ).
✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❙❛✉ ➤➞②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ sö r➺♥❣ K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ✈➭ F ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥
tô❝ tr➟♥ K.
✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✶✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ❇r♦✇❡r✮ ❈❤♦ K ⊂ R
n
❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ❧å✐✱
➳♥❤ ①➵ F : K −→ K ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝✱ t❤× F ♣❤➯✐ ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳
❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✷✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✮ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ R
n
✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ç✐ x ∈ R
n
✱ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t y ∈ K✱
s❛♦ ❝❤♦✿
x − y = inf

η∈K
x − η ✭✶✳✷✮
➜✐Ó♠ ② t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✷✮ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝ñ❛ ① ❧➟♥ K ✈➭ t❛
✈✐Õt✿
y = P r
K
x.
❈❤ó ý r➺♥❣✿
P r
K
x = x, ∀x ∈ K.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❈❤♦ η
k
∈ K ❧➭ ♠ét ❞➲② ❝ù❝ t✐Ó✉ ❤ã❛✱ tø❝ ❧➭ η
k
t❤á❛ ♠➲♥✿
lim
k→∞
η
k
− x = d = inf
η∈K
η − x. ✭✶✳✸✮
❚õ q✉② ❧✉❐t ❤×♥❤ ❜×♥❤ ❤➭♥❤✱ t❛ ❝ã✿
x + y
2
+ x − y
2
= 2x
2

+ 2y
2
, x, y ∈ R
n
.
➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❤×✿
η
k
− η
h

2
= 2x − η
k

2
+ 2x − η
h

2
− 4x −
1
2
(η
k
+ η
h
)
2
. ✭✶✳✹✮

✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❉♦ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ♥➟♥✿
1
2
(η
k
+ η
h
) ∈ K,
✈➭
d
2
≤ x −
1
2
(η
k
+ η
h
)
2
,
✈× ✈❐②✿
η
k
− η
h

2

≤ 2x − η
k

2
+ 2x − η
h

2
− 4d
2
,
✈➭ tõ ✭✶✳✸✮ t❛ ❦Õt ❧✉❐♥ r➺♥❣✿
lim
k→∞
η
k
− η
h
 = 0.
❉♦ ➤ã✱ ❝ã ♠ét ❣✐➳ trÞ y ∈ K s❛♦ ❝❤♦
lim
k→∞
η
k
= y.
◆❣♦➭✐ r❛✱
x − y = lim
k→∞
x − η
k

 = d.
➜Ó t❤✃② ② ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✱ ❝❤Ø ❝➬♥ q✉❛♥ s➳t r➺♥❣ ❜✃t ❦ú ✷ ❣✐➳ trÞ y, y

∈ K t❤á❛
♠➲♥ ✭✶✳✷✮ t❤× ❝ã t❤Ó ➤➢❛ ✈➭♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✹✮ t❤❛② ✈Þ trÝ ❝ñ❛ η
k
, η
h
✳ ➜✐Ò✉ ♥➭②
❝❤♦ t❤✃②
y − y


2
= 2x − y
2
+ 2x − y


2
− 4x −
1
2
(y + y

)
2
≤ 4d
2
− 4d

2
= 0,
❤❛②✿
y = y

. ✷
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✸✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✮ ❈❤♦ K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ R
n
✱ t❤× y = P r
K
x ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝ñ❛ ① ❧➟♥ K ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐✿
y ∈ K : y, η − y ≥ x, η − y ∀η ∈ K ✭✶✳✺✮
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❈❤♦ x ∈ R
n
✈➭ y = P r
K
x ∈ K✱ ✈× K ❧å✐ ♥➟♥
(1 − t)y + tη = y + t(η − y), ∀η ∈ K, 0 ≤ t ≤ 1
✈➭ ✈× ✈❐②✱ t❤❡♦ ❜æ ➤Ò ✶✳✷✳✷✱ ❤➭♠✿
φ(t) = x − y − t(η − y)
2
= x − y
2
− 2t(x − y, η − y) + t
2
η − y
2

➤➵t ❝ù❝ t✐Ó✉ t➵✐ t❂✵✱ ♥➟♥ φ

(0) ≥ 0✱ tø❝ ❧➭✿
x − y, η − y ≤ 0, η ∈ K,
❤♦➷❝✿
y, η − y ≥ x, η − y, η ∈ K.
▼➷t ❦❤➳❝✱ ♥Õ✉✿
y ∈ K : y, η − y ≥ x, η − y, η ∈ K,
t❤×✿
0 ≤ y − x, (η − x) + (x − y) ≤ −x − y
2
+ y − x, η − x.
❱× ✈❐②✿
y − x
2
≤ y − x, η − x ≤ y − xη − x.
❚ã♠ ❧➵✐✿
y − x ≤ η − x, η ∈ K. ✷
❍Ö q✉➯ ✶✳✷✳✹✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ❍Ö q✉➯ ✷✳✹✮ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ R
n
✱ t❤× P r
K
❧➭ t♦➳♥ tö ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♥✱ tø❝ ❧➭✿
P r
K
x − P r
K
x


 ≤ x − x

, x, x

∈ R
n
.
✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❈❤♦ tr➢í❝ x, x

∈ R
n
✱ ❝❤♦ y = P r
K
x ✈➭ y

= P r
K
x

✱ ❧ó❝
♥➭②✿
y ∈ K : y, η − y ≥ x, η − y, η ∈ K.
y

∈ K : y

, η − y


 ≥ x

, η − y

, η ∈ K.
❚❛ ❝❤ä♥ η = y

❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤➬✉ ✈➭ η = y ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐✱
t❤➟♠ ✈➭♦ ➤ã t❛ ❝ã✿
y − y


2
= y − y

, y − y

 ≤ x − x

, y − y

 ≤ x − x

y − y

,
❤❛②✿
y − y

 ≤ x − x


. ✷
❉ù❛ ✈➭♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❇r♦✇❡r✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝ sù tå♥ t➵✐
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✺✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✮ ❈❤♦ K ❦❤➳❝ rç♥❣✱ K ⊂ R
n
❧➭ t❐♣
❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ❧å✐✱ ➳♥❤ ①➵ F : K −→ K ❧✐➟♥ tô❝✱ ❦❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✱ tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ x
∗
∈ K t❤á❛ ♠➲♥✿
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❳➞② ❞ù♥❣ ➳♥❤ ①➵ Φ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ✈í✐ ♠ç✐ x ∈ K ➤➷t✿
Φ(x) := P
K
(x − F (x)).
❚❛ ❝ã✿
Φ : K −→ K.
❉♦ F ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ K ✈➭ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ P
K
❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥ Φ ❧✐➟♥ tô❝✳ ❱❐② t❤❡♦
➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❇r♦✇❡r tå♥ t➵✐✿
x
∗
= Φ(x
∗

).
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ Φ✱ t❤×✿
x
∗
= Φ(x
∗
) = P
K
(x
∗
− F (x
∗
)).
❚❤❡♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✸✱ t❛ ❝ã✿
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
❱❐② ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✳
✷
❈❤ó ý r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧✉➠♥ ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤✐ ❑ ❦❤➠♥❣
❜Þ ❝❤➷♥✱ ✈Ý ❞ô ♥Õ✉ K = R, t❤× ❜➭✐ t♦➳♥
F (x)(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ K
❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤✐ F(x) = e
x
.
➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ➤Ó tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✳

❈❤♦ t❐♣ ❧å✐ K = ∅✱ ➤➷t K
R
= K ∩

R
tr♦♥❣ ➤ã

R
❧➭ ❤×♥❤ ❝➬✉ ➤ã♥❣ ❜➳♥
❦Ý♥❤ ❘ ✈➭ t➞♠ O ∈ R
n
✳ ❑❤✐ ➤ã K
R
❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❱❐② t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✺✱
t❛ ❝ã✿
x
R
∈ K
R
: F (x
R
), y − x
R
 ≥ 0 ∀y ∈ K
R
. ✭✶✳✻✮
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✻✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✷✮ ❈❤♦ K ⊂ R
n
❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ✈➭ ➳♥❤
①➵✿

F : K −→ R
n
❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ K✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ➤Ó tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t
➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ❧➭ tå♥ t➵✐ ♠ét sè R > 0 s❛♦ ❝❤♦ ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ö♠
x
R
∈ K
R
❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✻✮ t❤á❛ ♠➲♥✿
x
R
 < R. ✭✶✳✼✮
✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❘â r➭♥❣ ❧➭ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ① ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮ t❤× ①
❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✻✮✱ ♠✐Ô♥ ❧➭✿
x < R,
✈×✿
x ∈ K
R
⊂ K.
●✐➯ sö x
R
∈ K
R
t❤á❛ ♠➲♥ x
R
 < R, t❤× x
R
❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐

t♦➳♥ ✭✶✳✶✮✳
◗✉➯ t❤❐t✱ ✈× |x
R
| < R✱ ❝❤♦ y ∈ K, w = x
R
+ ε(y − x
R
) ∈ K
R
✈í✐ ε ≥ 0
➤ñ ♥❤á✳
❱× ✈❐②✿
x
R
∈ K
R
⊂ K : 0 ≤ F (x
R
), w − x
R
 = εF (x
R
), y − x
R
 ∀y ∈ K.
➜✐Ò✉ ♥➭② ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ x
K
❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮✳
✷
❚õ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭② t❛ ❝ã t❤Ó rót r❛ ➤➢î❝ ♥❤✐Ò✉ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ➤Ó tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✳

❚❛ ❝➬♥ ➤Õ♥ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò tÝ♥❤ ❝❤✃t tù ❜ø❝ s❛✉✳
❍Ö q✉➯ ✶✳✷✳✼✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ❍Ö q✉➯ ✹✳✸✮ ◆Õ✉ F : K −→ R
n
t❤á❛ ♠➲♥✿
F (x) − F (x
0
), x − x
0

|x − x
0
|
→ ∞
❦❤✐
x ∈ K, x → +∞ ✭✶✳✽✮
✈í✐ x
0
♥➭♦ ➤ã t❤✉é❝ K✱ t❤× tå♥ t➵✐ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ➤è✐ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✻✮✳
✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❈❤ä♥ H > |f(x
0
)| ✈➭ R > |x
0
| s❛♦ ❝❤♦✿
F (x) − F (x
0
), x − x
0
 ≥ H|x − x

0
|, |x| ≥ R, x ∈ K,
t❤×✿
F (x), x − x
0
 ≥ H|x − x
0
| + F (x
0
), x − x
0

≥ H|x − x
0
| − |F (x
0
)), x − x
0
|
≥ (H − |F (x
0
)|)(|x| − |x
0
|) > 0, |x| = R. ✭✶✳✾✮
❇➞② ❣✐ê✱ t❛ ❝❤♦ x
R
∈ K
R
❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✻✮ t❤×
F (x

R
), x
R
− x
0
 ≥ −F (x
R
), x
0
− x
R
 ≤ 0.
❱× ✈❐②✱ ❞ù❛ ✈➭♦ ✭✶✳✾✮✱ t❛ ❝ã |x| = R✳ ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱
|x| < R. ✷
❚❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✱ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐
❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❚✉② ✈❐② ✈➱♥ ❝ã ♠ét ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ r✃t ❝➡ ❜➯♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❝❤♦ sù ❞✉②
♥❤✃t✳ ●✐➯ sö x, x

∈ K ❧➭ ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮ t❤×✿
x ∈ K : F (x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K,
x

∈ K : F (x

), y − x

 ≥ 0 ∀y ∈ K.
❚õ ➤➞② t❛ t❤✃②✱ ♥Õ✉✿
F (x) − F (x


), x − x

 > 0 ♠✐Ô♥ ❧➭ x, x

∈ K, x = x

✭✶✳✶✵✮
❱❐②✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✶✵✮ ❦Ð♦ t❤❡♦ tÝ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✶✵✮
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t✳
✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✽✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✹✳✺✮ ❚❛ ❣ä✐ ➳♥❤ ①➵ F : K −→ R
n
❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ tr➟♥ K ♥Õ✉✿
F (x) − F (x

), x − x

 ≥ 0 ∀x, x

∈ K.
❚❛ ♥ã✐ F ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ♥Õ✉ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝❤Ø ①➯② r❛ ❦❤✐ ①❂①✬✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✾✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✻✮ ❈❤♦ F : K
1
−→ R
n
❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵
❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ K
1
⊂ R

n
✳ ❈❤♦ K
2
⊂ K
1
❧➭ ♠ét
t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ➤ã♥❣✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✿
x
j
∈ K
j
: F (x
j
), y − x
j
 ≥ 0, x ∈ K
j
, J = 1, 2
✭✐✮ ◆Õ✉ F (x
2
) = 0 t❤× x
1
= x
2
✭✐✐✮ ◆Õ✉ F (x
2
) = 0 ✈➭ x
1
= x
2

t❤× s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ F (x
2
), y − x
2
 = 0 t➳❝❤ x
1
tõ K
2
.
✶✳✸✳ ▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳
❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭②✱ t❛ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ t❛ ①Ðt ➤Õ♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥
➤✐Ö✉✳
❈❤♦ f ∈ C
1
(K), K ⊂ R
n
✱ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✱ ✈➭ ➤➷t✿
F (x) = gradf(x)✭➜➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ❢✮✳
✶✳✸✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✶✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✺✳✶✮ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ x ∈ K s❛♦ ❝❤♦✿
f(x) = min
y∈K
f(y).
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t❤× x ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳
x ∈ K : F (x), y − x ≥ 0 ✈í✐ y ∈ K.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ◆Õ✉ y ∈ K t❤× z = x + t(y − x) ✈í✐ 0 ≤ t ≤ 1,
✈× ✈❐② ❤➭♠✿ ϕ(t) = f(x + t(y − x)), 0 ≤ t ≤ 1 ➤➵t ❝ù❝ t✐Ó✉ ❦❤✐ t = 0✳

◆➟♥✱
0 ≤ ϕ

(0) = grad f(x), y − x = F (x), y − x. ✷
➜✐Ò✉ ➤➯♦ ❧➵✐ ❝ò♥❣ ➤ó♥❣ ♥Õ✉ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❝ô t❤Ó t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✿
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✺✳✷✮ ●✐➯ sö f ❧å✐ ✈➭ x t❤á❛ ♠➲♥✿
x ∈ K : F (x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ K,
t❤×✿
f(x) = min
y∈K
f(y).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❚❤❐t ✈❐②✱ ✈× f ❧å✐ ♥➟♥✱
f(y) ≥ f(x) + F (x), y − x ∀y ∈ K.
◆❤➢♥❣✿
F (x), y − x ≥ 0,
✈× ✈❐②✿
f(y) ≥ f(x). ✷
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✺✳✸✮ ❈❤♦ F : E −→ R
1
, E ⊂ R
n
✱ ❧➭ ♠ét
❤➭♠ ❧å✐ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ✭❧å✐ ❝❤➷t✮✳ ❚❤× F (x) = gradf(x) sÏ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭➤➡♥
➤✐Ö✉ ❝❤➷t✮✳
✶✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❈❤♦ tr➢í❝ x, x

∈ E✱
f(x) ≥ f(x


) + F (x

), x − x

,
✈➭✿
f(x

) ≥ f(x) + F (x), x

− x.
❚õ ➤ã t❛ ❝ã✿
F (x

) − F (x), x

− x ≥ 0, x, x

∈ E.
❱❐② F ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❈➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ F ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ❦❤✐ f ❧å✐ ❝❤➷t ❝ò♥❣
t➢➡♥❣ tù✳
✷
❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤Ò✉ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ♠ét
❤➭♠ ❧å✐✳
✶✳✸✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
❑❤✐ ❑ ❧➭ t♦➭♥ ❜é t❐♣ R
n
✱ t❤×✿
x

∗
∈ SOL − V IP (R
n
; F ) ⇔ F (x
∗
) = 0.
❚❤❐t ✈❐②✿
• ❱í✐ x
∗
∈ R
n
✈➭ F(x
∗
) = 0,
s✉② r❛✿
x
∗
∈ SOL − V IP (R
n
; F ) : 0, x − x
∗
 ≡ 0 ∀x ∈ R
n
.
❱× ✈❐②✿
R
n
∩ F
−1
(0) = F

−1
(0) ⊂ SOL − V IP (R
n
; F ).
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• ◆❣➢î❝ ❧➵✐✿ x
∗
∈ SOL − V IP (R
n
; F ) ⇒ F (x
∗
), d ≥ 0 ∀d ∈ R
n
.
➜➷❝ ❜✐Öt✿ d ≡ −F (x
∗
) ⇒ F (x
∗
) = 0.
◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✿
SOL − V IP (R
n
; F ) = F
−1
(0).
✶✳✸✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✹✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✮ ❈❤♦ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ ❑ ✈➭ ➳♥❤ ①➵
F : K −→ R
n

.
❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ NCP (K; F ), ❧➭ t×♠ x
∗
∈ K s❛♦ ❝❤♦✿
K  x
∗
⊥ F (x
∗
) ∈ K
∗
, ✭✶✳✶✶✮
tr♦♥❣ ➤ã K
∗
❧➭ ♥ã♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ K✱ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❧➭✿
K
∗
≡ {y ∈ R
n
|y, x ≥ 0, ∀x ∈ K},
✭tø❝ ❧➭ K
∗
❜❛♦ ❣å♠ ♠ä✐ ✈❡❝t♦r y s❛♦ ❝❤♦ y t➵♦ ✈í✐ ♠ä✐ ✈❡❝t♦r x ❜✃t ❦ú
t❤✉é❝ K ♠ét ❣ã❝ ❦❤➠♥❣ tï✮✳
❚❐♣ ❤î♣ ♥❤÷♥❣ ❣✐➳ trÞ x
∗
∈ K t❤â❛ ♠➲♥ NCP (K; F ) ✭ t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✶✶✮
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ SOL − NCP (K; F ).
❘â r➭♥❣✱ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ NCP (K; F ) ❧➭ ♥❤➢ s❛✉✿
x
∗

∈ K, F (x
∗
) ∈ K
∗
✈➭ F (x
∗
), x
∗
 = 0.
❑Õt q✉➯ s❛✉ ❝❤♦ ❜✐Õt ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ V IP (K; F ) ✈➭ NCP (K; F ).
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✺✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✮ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ tr♦♥❣ R
n
✳
❚❛ ❝ã✿
SOL − V IP (K; F ) = SOL − NCP (K; F ).
✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
• =⇒ SOL − V IP (K; F ) = SOL − NCP (K; F )
●✐➯ sö✿
x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ),
râ r➭♥❣✱
x
∗
∈ K.
❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❧✃② x = 0 ∈ K✱ tr♦♥❣ ✭✶✳✶✮ t❛ ❝ã✿
F (x
∗

), −x
∗
 ≥ 0
▲✃② x = 2x
∗
∈ K✱ tr♦♥❣ ✭✶✳✶✮✱ t❛ ❝ã ➤➢î❝✿
F (x
∗
), x
∗
 ≥ 0,
s✉② r❛✿
F (x
∗
), x
∗
 = 0,
♥ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❝❤♦ t❤✃②✿
F (x
∗
), x − x
∗
 = F (x
∗
), x − F (x
∗
), x
∗

  

=0
≥ 0 ∀x ∈ K.
❚ø❝ ❧➭✿
F (x
∗
), x ≥ 0 ∀x ∈ K,
✈× ✈❐②✿
F (x
∗
) ∈ K.
❚❤Õ ♥➟♥✿
x
∗
∈ SOL − NCP (K; F ).
✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên