Nửa nhóm các phép biển đổi

3

MỞ ĐẦU
Tập hợp các phép biến đổi trên một tập cùng với phép nhân ánh xạ là một
nửa nhóm. Đây là lớp nửa nhóm có nhiều tính chất phong phú và có nhiều ứng
dụng trong đại số nói riêng và tốn học hiện đại nói chung.
Luận văn này tập trung nghiên cứu các tính chất của lớp nửa nhóm đó, đặc
biệt mô tả các tƣơng đẳng trên chúng. Các kết quả chính của luận văn này là
mệnh đề 1.2.5, định lý 1.3.10, định lý 3.4, định lý 2.1, định lý 2.2, định lý 2.5,
định lý 2.7, định lý 2.9, định lý 3.4 và hệ quả 3.3.
Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo
TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy,
ngƣời đã đặt cho tôi bài tốn thú vị và đã giúp đỡ tơi giải quyết trọn vẹn bài
tốn này, đồng thời đã góp cho tơi nhiều ý kiến q giá trong q trình tập dƣợt
nghiên cứu khoa học.
Tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Đại số và các bạn
sinh viên khoa Tốn đã động viên tơi hồn thành bản luận văn.
Vì trình độ và thời gian có hạn nên luận văn chắc chắn cịn nhiều thiếu sót,
mong đƣợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cơ giáo và các bạn đồng nghiệp.
Vinh, 5/2002
Tác giả


4

Chƣơng 1
NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN MỘT TẬP
Trong chƣơng này sẽ trình bày các khái niệm cơ bản từ phép tốn hai ngơi,
sau đó xây dựng phỏng nhóm, nửa nhóm, các phần tử khả nghịch, nửa nhóm
ngƣợc ... để đi đến nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên một tập.
Đ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. Định nghĩa và các tính chất đặc trƣng.
1.1.1. Định nghĩa. Ta gọi phép tốn hai ngơi trên một tập S là một ánh xạ từ
S  S vào S.
Nếu ánh xạ đó đƣợc ký hiệu là (.) thì:
(.) :

SS  S
(a, b)  a.b

Để ký hiệu phép tốn hai ngơi ngƣời ta cũng dùng các dấu +, , , ...
- Một phép tốn hai ngơi bộ phận trên tập S là một ánh xạ từ một tập con
khác rỗng của tập S  S  S. Một phỏng nhóm bộ phận là một hệ thống S(.)
gồm một tập S khác rỗng và một phép tốn hai ngơi bộ phận trên nó.
1.1.2. Các tính chất.
 Phép tốn hai ngơi (.) trên S đƣợc gọi là kết hợp nếu:
a.(bc) = (ab).c

với mọi a, b, c  S.

 Nửa nhóm là một phỏng nhóm S(.) trong đó phép tốn (.) kết hợp.
 Phép biến đổi của một tập X là một ánh xạ từ tập X vào chính nó:

: XX
x  (x)
 Phép biến đổi của một tập X là một ánh xạ từ X vào chính nó.
Ảnh của phần tử x  X qua phép biến đổi hoặc ánh xạ  là
x   : X  X, x  x.


5

Tích (hay hợp thành) của hai phép biến đổi  và  của tập X là phép biến
đổi  đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
()(x) = ((x)) x X
Khi đó ta cũng có () = ()
Thật vậy, với mọi x X ta có:
(())x = (()(x)) = ()((x)) = ()((x)) = (())(x)
nên

() = ()

Do đó tập X tất cả các phép biến đổi của tập X là một nửa nhóm đối với
phép hợp thành.
 Ta gọi X là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên X.
Nhận xét:
 Ta nói ánh xạ : X  Y là ánh xạ lên (hay cịn gọi là tồn ánh) nếu mỗi
phần tử thuộc Y là ảnh của ít nhất một phần tử thuộc X.
 Ta nói ánh xạ  : X  Y là ánh xạ một - một (hay là đơn ánh) nếu các
phần tử khác nhau thuộc X có ảnh qua  là các phần tử khác nhau thuộc Y.
Ánh xạ một-một từ tập X lên chính nó đƣợc gọi là một phép thế của tập X,
ngay cả khi X vô hạn.
 Tập X tất cả các phép thế của tập X với phép nhân đƣợc gọi là nhóm đối
xứng trên X.
 Tập con T   của một phỏng nhóm đƣợc gọi là phỏng nhóm con của nó
nếu từ a T, b T  ab T.
 Giao của một họ tuỳ ý các phỏng nhóm con hoặc là  hoặc là phỏng nhóm
con.
 Nếu A  , A  S thì giao của tất cả các phỏng nhóm con của S chứa A là
một phỏng nhóm con A của phỏng nhóm S chứa A và đƣợc chứa trong mọi
phỏng nhóm con của S chứa A và nói A là phỏng nhóm con của phỏng nhóm

S sinh bởi A.


6

Nếu A = S thì ta gọi A là tập sinh của phỏng nhóm S. Nếu S là nửa nhóm
thì phỏng nhóm con của S cũng là nửa nhóm và dùng từ nửa nhóm con thay
cho từ phỏng nhóm con.
Nếu S là phỏng nhóm, thì lực lƣợng S của tập S đƣợc gọi là cấp của S.
 Phần tử e thuộc phỏng nhóm S đƣợc gọi là đơn vị trái (phải) nếu ea = a
(ae = a) a S.
 Phần tử e thuộc phỏng nhóm S đƣợc gọi là đơn vị hai phía (hay đơn vị)
nếu e vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.
Nếu S chứa đơn vị trái e và đơn vị phải f thì e = f.
 Phần tử z thuộc phỏng nhóm S đƣợc gọi là phần tử không bên trái (phải)
nếu za = z (az = z) a Z.
 Phần tử z thuộc phỏng nhóm S đƣợc gọi là phần tử khơng nếu z vừa là
phần tử không bên trái, vừa là phần tử không bên phải nếu z1 là phần tử không
bên trái, z2 là phần tử khơng bên phải thì z1 = z2.
 tập tất cả các phần tử a thuộc phỏng nhóm S kết hợp đƣợc với mọi phần
tử thuộc S theo nghĩa x(ay) = (xa)y với x,y  S tuỳ ý là một nửa nhóm con của
phỏng nhóm S.
Chứng minh: Thật vậy, giả sử a,b là các phần tử nhƣ vậy thuộc S tức
x(ay) = (xa)y
x(by) = (xb)y


  x((ab)y) = x(a(by)) = (xa)(by) = ((xa)b)y = (x(ab))y

 ab  S.

Vậy từ a, b S  ab S  đpcm.

1.2. Phần tử khả nghịch của nửa nhóm các phép biến đổi.


7

1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị 1. Nếu p
và q là các phần tử thuộc S sao cho pq = 1, thì ta gọi p là nghịch đảo bên trái
của q, còn q là nghịch đảo bên phải của p.
1.2.2. Định nghĩa. Phần tử khả nghịch bên phải (trái) thuộc S đƣợc định
nghĩa là phần tử thuộc S có một nghịch đảo nên phải (trái) thuộc S. Vậy nếu
pq = 1 thì p khả nghịch bên phải, cịn q khả nghịch bên trái.
1.2.3. Định nghĩa. Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả
nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải.
1.2.4. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị 1. Khi đó ta
có:
(i) Tập P[Q] tất cả các phần tử khả nghịch bên phải (trái) của S là một nửa
nhóm con với luật giản ước phải (trái) và chứa 1.
(ii) Tập U tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nhóm con của S và
U = P  Q. Mỗi phần tử khả nghịch có một phần tử nghịch đảo hai phía duy
nhất thuộc U’ và khơng có nghịch đảo bên trái và bên phải nào thuộc tập đó.
(iii) Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều được chứa trong U.
Chứng minh.
(i) Nếu pq = p’q’ = 1 thì (pp’)(qq’) = 1  P và Q là các nửa nhóm con của
nửa nhóm S. Vậy chúng chứa 1.
+ Nếu ap = bp, (a, b  S) và p  P thì p có nghịch đảo bên phải q và
a = a.1 = apq = bpq = b.1 = b.
Tƣơng tự với Q là nửa nhóm với luật giản ƣớc bên trái.

(ii) Ta có U = P  Q (hiển nhiên)
 U là nửa nhóm con của nửa nhóm S.
Nếu u  U, thì tồn tại các phần tử x, y  S sao cho xu = uy = 1.
Giả sử x, y  S. Khi đó x = x.1 = xuy = 1.y = y.
Do đó mọi phần tử nghịch đảo bên trái của u’ bằng phần tử nghịch đảo bên
phải tùy ý. Vậy u có phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất là u’ và khơng có
các phần tử nghịch đảo bên phải và bên trái khác.


8

Theo định nghĩa ta có u.u’ = u’.u = 1  u’ U  U là một nhóm.
(iii) Giả sử G là một nhóm con tuỳ ý của nửa nhóm S, G chứa 1 và a G.
Giả sử a-1 là phần tử nghịch đảo của aG. Từ đó ta có
aa-1 = a-1a =1  a U  G  U.



Từ các định nghĩa và định lý ta có các mệnh đề sau:
1.2.5. Mệnh đề. Giả sử X là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X
thì nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên phải trong X gồm tất cả các
ánh xạ (một-một) từ X vào X.
Chứng minh. Giả sử f: X  X khả nghịch phải
 g: X  X ; g.f = 1.
Ta chứng minh f đơn ánh.
Thật vậy, nếu f(x) = f(y)  g[f(x)] = g[f(y)]  1X(x) = 1X(y)
 x=y
 f đơn ánh.
Ngƣợc lại f đơn ánh, ta chứng minh khả nghịch phải.
f : X  X đơn ánh

x  f(x)
Ta xây dựng ánh xạ g: X  X nhƣ sau:





y = f(x)  x (do f đơn)
y  f(X)  a0 (với a0 là phần tử cố định thuộc X )
Khi đó gf = 1X

 khả nghịch phải.



1.2.6. Mệnh đề.
(i) Các phần tử khơng bên trái của nửa nhóm X các phép biến đổi của tập
X, chính là các phép biến đổi biến mọi phần tử của X thành một phần tử cố
định
đối với phép biến đơỉ đó.
(ii) Nếu X > 1 thì X khơng chứa phần tử khơng bên phải.


9

Chứng minh.
(i)() Nếu tồn tại a  X, sao cho (x) = a với mọi x  X thì với mọi  X
ta có:

(x) = [(x)] = a = (x)

() Đảo lại, nếu tồn tại x1, x2 X sao cho

(x1) = a; (x2) = b và a  b.
Khi đó ta lập ánh xạ

 : X  X mà (x1) = x2
Thế thì (x1) = (x2) = b  a = (x1). Do đó    và  khơng phải là
phần tử không bên trái trong X .
(ii) Giả sử X > 1 và   X tuỳ ý.
Giả sử x X ta có (x) = a X.
Khi đó tồn tại một phần tử b X, b  a, do đó ta có thể lập ánh xạ  : X  X
mà (a) = b. Lúc đó ta có:
()(x) = (a) = b  a = (x)
Vậy  không phải là phần tử không bên phải trong X .
1.3. Phần tử chính quy và nửa nhóm ngƣợc.
Trong tiết này ta đƣa ra một số định nghĩa, định lý về phần tử chính quy và
nửa nhóm ngƣợc để đi đến định lý 1.3.10.
1.3.1. Định nghĩa. Phần tử a thuộc nửa nhóm S đƣợc gọi là phần tử chính
quy, nếu a aSa, hay nói khác đi axa = a với x thuộc S. Nửa nhóm S đƣợc gọi
là chính quy nếu mỗi phần tử của nó là chính quy.
1.3.2. Nhận xét. (i) Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, chẳng
hạn axa = a, với x S thì ta có ít nhất một phần tử ngƣợc với nó, chẳng hạn
phần tử xax.
Chứng minh. Giả sử b = xax, khi đó ta có
bab = a(xax)a = ax(axa) = (axa)xa = axa = a
bab = (xax)a(xax) = x(axa)(xax) = xa(xax) = x(axa) = xax = b.
Do đó b ngƣợc với a.


10

(ii) Hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một
nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngƣợc nhau và giao hốn với
nhau.
1.3.3. Định nghĩa. Nửa nhóm ngƣợc là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có
một phần tử ngƣợc duy nhất.
1.3.4. Bổ đề. Nếu e, f, ef và fe là các lũy đẳng thuộc nửa nhóm S, thì ef và fe
ngược nhau.
Chứng minh. Ta có

(ef)(fe)(ef) = ef 2e2f = ef.ef = (ef)2 = ef

Tƣơng tự ta có (fe)(ef)(fe) = fe  ef và fe ngƣợc nhau.
1.3.5. Định lý. Ba điều kiện sau đối với một nửa nhóm là tương đương:
(i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hốn với nhau.
(ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh
lũy đẳng duy nhất.
(iii) S là nửa nhóm ngược (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngược
duy nhất.
Chứng minh. (i)  (ii):
Vì e và f là các lũy đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải tức
eS = fS  ef = f và fe = e.
Nhƣng theo (i) ta có: ef = fe nên e = f .
(ii)  (iii): Ta có phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi
iđêan chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, tức
aS1 = eS1 [S1a = S1e] nên suy ra nửa nhóm S chính quy.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh duy nhất của phần tử ngƣợc.
Thật vậy, giả sử b và c ngƣợc với a. Khi đó ta có
aba = a ; bab = b ; cac = c
Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca, nên ab = ac và ba = ca.

Do đó

b = bab = bac = cac = a.

(iii)  (i). Rõ ràng một nửa nhóm ngƣợc là chính quy.


11

Ta chỉ cần chứng minh hai lũy đẳng bất kỳ giao hốn với nhau.
Trƣớc hết ta chứng minh tích ef của hai lũy đẳng e và f là một lũy đẳng.
Thật vậy, giả sử a là phần tử ngƣợc (duy nhất) của ef. Khi đó ta có:
(ef)a(ef) = ef ; a(ef)a = a.
Đặt b = ae  (ef)b(ef) = (ef)ae(ef) = efae2f = afaef = ef ;
b(ef)b = ae2fae = aefae = ae = b.
 b là phần tử ngƣợc của ef, theo (iii) ae = b = a.
Nhƣng một lũy đẳng là phần tử ngƣợc với chính nó, và theo (iii) ta suy ra
a = ef  ef là lũy đẳng.
Bây giờ giả sử e và f là hai lũy đẳng bất kỳ.
Theo trên ta có ef và fe là lũy đẳng, nên theo bổ đề 1.3.4 ta có chúng ngƣợc
nhau. Vậy ef và fe đều ngƣợc với ef, do đó ef = fe (đpcm).
1.3.6. Định nghĩa. Ta gọi phép biến đổi bộ phận một-một của tập X là một
ánh xạ một-một,  từ một tập con Y của X lên tập con Y’ = Y của X:
Ký hiệu

-1 : Y  Y
y’ -1 = y

(y  Y; y’  Y)  y’ = y.

- Giả sử X là tập tất cả các phép biến đổi bộ phận một-một của tập X, bao
gồm cả ánh xạ từ tập rỗng lên chính nó.
“Phép biến đổi rỗng” đó ta sẽ ký hiệu là 0.
1.3.7. Bổ đề. Tích  của hai phần tử ,   X đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Giả sử Y và Z là các miền xác định tƣơng ứng của  và . Nếu Y  Z = 
thì ta đặt  = 0.
Ngƣợc lại, giả sử W = (Y  Z)-1   là cái hợp thành của các phép
biến đổi   W và  W theo nghĩa thơng thƣờng. Khi đó ta có  là ánh xạ
một-một từ tập con W lên W. Do đó nó thuộc X  X là một nửa nhóm gọi
là nửa nhóm ngƣợc đối xứng trên tập X.
1.3.8. Bổ đề. Đối với các phần tử a, b tuỳ ý thuộc một nửa nhóm ngược S có
các hệ thức:


12

(i) (a-1)-1 = a
(ii) (ab)-1 = b-1a-1
Chứng minh. i) Ta có (a-1)-1 = a (hiển nhiên)
ii) Ta có (ab)(b-1a-1)(ab) = a(bb-1)(a-1a)b = a(a-1a)(bb-1)b = ab.
(b-1a-1)(ab)(b-1a-1) = b-1(a-1a)(bb-1)a-1 = b-1(bb-1)(a-1a)a-1 = b-1a-1
Vậy b-1a-1 ngƣợc với ab (đpcm).
1.3.9. Bổ đề. Nếu e và f là các lũy đẳng của nửa nhóm ngược S thì
Se  Sf = Sef

(= Sfe).

Chứng minh. Nếu a  Se  Sf thì ae = af = a
Nên aef = af = a  a Sef.
Ngƣợc lại nếu a Sef (= Sfe) thì aef = afe = a  ae = af = a tức

a Se  Sf . (đpcm)
1.3.10. Định lý. Mỗi nửa nhóm ngược tuỳ ý S đẳng cấu với một nửa nhóm
con ngược của nửa nhóm ngược đối xứng S tất cả các phép biến đổi bộ phận
một-một của tập S.
Chứng minh.  Với mỗi a S, ta xác định ánh xạ

Khi đó

a : Sa-1 (= Saa-1)  Sa-1a (=Sa)
x  xa = xa
-1
-1
a : Sa (= Sa a)  Saa-1 (= Sa-1).

Nếu x Saa-1 = và y Sa-1a thì
aaa-1 = xaa-1 = x
ya-1a = ya-1a = y


 . Vì mọi lũy đẳng e là đơn vị phải trong iđêan Se.


Do đó a và a-1 là các ánh xạ một-một ngƣợc nhau.
Vậy a S và a-1 =  a1 .
 Bây giờ ta phải chứng tỏ rằng a  a là đẳng cấu từ S  S.
Thật vậy, giả thiết rằng a = b (a, b  S).
Khi đó Saa-1 = Sbb-1; nên aa-1 = bb-1 (theo định lý 3.5 ii) và x Saa-1
 xa = xa = xb = xb. Vì a Saa-1, nên a-1a = a-1b.

13

a = aa-1a = aa-1b = bb-1b = b.

Do đó

Vậy ánh xạ a  a là một-một.
 Cuối cùng ta phải chứng minh ab = ab (a,b  S).
Chứng minh. Vì (xa)b = x(ab) với x bất kỳ thuộc S, nên ta chỉ cần chứng tỏ

ab và ab có cùng một miền xác định.
a
Saa-1.

b
Sa-1a

Sbb-1

Sb-1b

Ta có miền xác định của ánh xạ ab là S(ab)(ab)-1.
Còn miền xác định của ánh xạ ab là tập (Sa-1a  Sbb-1)a-1. Theo 1.3.9 ta
có Sa-1a  Sbb-1)a-1 = Sa-1abb-1 = Sabb-1.
Theo 1.3.8 ta có (Sa-1a  Sbb-1)a-1 = Sabb-1 = Sabb-1 (đpcm).
Đ2. D - CẤU TRÚC CỦA NỬA NHĨM TỒN THỂ
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI X TRÊN TẬP X

Mục đích của tiết này là minh họa các khái niệm đƣa vào trong tiết trƣớc
trên ví dụ nửa nhóm X . Các kết quả của tiết này chủ yếu là định lý 2.6.

2.1. Định nghĩa. Ta gắn mỗi phần tử  X với hai khái niệm:
i) Miền giá trị X của phép biến đổi .
ii) Phân hoạch  = .-1 của tập X liên kết với . Tức quan hệ tƣơng
đƣơng trên X xác định nhƣ sau:
xy ; (x, y X) nếu .x = y.
Giả sử  là một ánh xạ từ X  X/  các lớp tƣơng đƣơng của X theo
mod. Khi đó ánh xạ:

.x  x là ánh xạ một - một từ X/ lên X.  X/  = X.


14

Bản số đó gọi là hạng của .
Nếu y X và   X thì ta định nghĩa:

-1y là tập tất cả các x X mà x = y.
2.2. Bổ đề. Với ,   X tồn tại phép biến đổi   X sao cho  =  khi
và chỉ khi X  X.
Do đó L  khi và chỉ khi X = X.
Chứng minh. Nếu  =  thì X = (X)  X.
Đảo lại, giả sử X  X ta xác định phép biến đổi  của tập X nhƣ sau:
Với mỗi y X phép biến đổi  biến mọi phần tử thuộc tập y -1 thành một
phần tử cố định thuộc tập y -1. Khi đó  = .
2.3. Bổ đề. Với ,   X tồn tại  X sao cho  =  khi và chỉ khi
    .
Do đó  khi và chỉ khi  = .
Chứng minh. () Nếu  =  và xy thì x = x = y = y và kéo theo
xy. Vậy  =     .
() Nếu   . Khi đó ta xác định phép biến đổi  bằng cách đặt

x = x đối với các phần tử thuộc X và xem rằng trên X \ X nó có tác dụng
một cách đồng nhất.
Cịn tính đơn trị của  là hiển nhiên, vì x = y kéo theo x = y (theo giả
thiết). Nên  =  (đpcm).
2.4. Bổ đề. Giả sử  là một phân hoạch của tập X và giả sử Y là một tập
con của X sao cho X \  = Y. Khi đó tồn tại phép biến đổi  X sao cho

 =  và X = Y.
Chứng minh. Vì X \  = Y nên tồn tại ánh xạ một - một  từ X\ lên Y. Khi
đó ánh xạ  =  có tính chất đòi hỏi.


15

2.5. Bổ đề. Hai phần tử thuộc nửa nhóm X là D - tương đương khi và chỉ
khi chúng có cùng một hạng.
Chứng minh. () Giả sử ,   X . Nếu  D thì L và  đối với 
nào đó thuộc X .
Theo bổ đề 2.2 có các miền giá trị của  và  trùng nhau. Do đó  và  có
cùng hạng.
() Giả sử  và  có cùng hạng ta chứng minh  D, ta có:
X = X \ .
Theo bổ đề 2.4 tồn tại   X sao cho X = X và  =  .
Theo 2.2 và 2.3 ta có L  và  từ đó  D . (đpcm)
2.6. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm chính quy. Trên S ta định nghĩa
các quan hệ tương đương sau đây:

L = (a, b)  S  S  Sa = Sb
 = (a, b)  S  S aS = bS

Khi đó ta có
(i)

L  = L, do đó quan hệ D = L  là quan hệ tương đương bé nhất

trên S chứa L và .
(ii) Nếu với mỗi a  S ta ký hiệu Da là lớp tương đương theo quan hệ
chứa a thì mỗi phần tử ngược của a nằm trong Da.
Chứng minh.
(i)  Trƣớc hết ta chứng minh L   L
Giả sử (a, b)  L , nghĩa là tồn tại c S sao cho
(a, c) L và (c, b) 

D


16

Vì S là một nửa nhóm chính quy nên a Sa và a aS. Do đó (a, c)

L

tồn

tại u S sao cho a = uc, và (b, c)  kéo theo tồn tại v S sao cho b = cv.
Đặt d = av = ucv = ub.
Vì

L

là một tƣơng đẳng phải nên (a, c) L kéo theo (av, cv)

L

tức là

(a, d) . Mà (a, d) và (d, b) L kéo theo (a, b) L . Vậy L   L
.
 Do đối xứng ta có L  L . Do đó L  = L.
(ii) Nếu a = aa’a, a’ = a’aa’ thì (a, a’ ) D.
Do đó a’  Da . (đpcm)
Đ3. BIỂU DIỄN BỞI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BỘ PHẬN MỘT- MỘT
Ở định lý 1.3.10 đã chứng tỏ rằng một nửa nhóm ngƣợc S tuỳ ý có thể biểu
diễn một cách trung thành nhƣ nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận một- một
của tập, cụ thể là S có thể nhúng chìm vào S. Trong tiết này ta trình bày lý
thuyết tổng qt về biểu diễn (khơng nhất thiết trung thành) của các nửa nhóm
ngƣợc nhƣ nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận một- một. Để cho tiện trong
tiết này ta quy ƣớc coi biểu diễn của một nửa nhóm ngƣợc S là một đẳng cấu 
từ S vào một nửa nhóm ngƣợc đối với X nào đó.
Qua định lý 1.3.10 ta có có thể đƣa ra một khái niệm 3.1 có ích nhiều cho ta
về sau, và bản thân nó cũng có những lý thú riêng.
3.1. Khái niệm. Giả sử S là một nửa nhóm với luật giản ƣớc phải, khơng có
luỹ đẳng khác 1. Giả sử  là biểu diễn chính quy mở rộng a  a của S, trong
đó a là phép chuyển dịch trong bên phải x  xa = xa của nửa nhóm S-1 (a
S, x S1). Khi đó  là biểu diễn trung thành của S và S gồm các ánh xạ mộtmột từ S1 vào chính nó.


17

Do đó S đƣợc chứa trong nửa nhóm ngƣợc đối xứng  S1 trên tập S1. Vì

phép biến đổi a ánh xạ một- một S1 lên S1a, nên phép biến đổi ngƣợc của nó

 a1 là ánh xạ một- một S1a lên S1.
3.2. Bổ đề. Giả sử  : S  X là một biểu diễn của nửa nhóm S. Thế thì
với mọi s  S ta có (s)-1 = S-1. Do đó S là một nhóm con ngược của X.
Chứng minh. Giả sử s S. Thế thì s = ss-1s và s-1ss-1 = s-1. Do đó
s = s.s-1.s và s-1.s.s-1 = s-1.
Nhƣ vậy, trong nửa nhóm ngƣợc X phần tử s-1 ngƣợc với phần tử s. Tuy
nhiên (s)-1 ngƣợc với s trong X và vì phần tử ngƣợc là duy nhất nên ta suy
ra (s)-1 = s-1 .
3.3. Bổ đề. Nếu H là một nửa nhóm con ngược của X thì quan hệ bắc cầu

H ứng với nó là một quan hệ tương đương bộ phận trên X với H là một nửa
nhóm con ngược của X. Khi đó ta định nghĩa:

H = (a, b) X  X  (a, b)  đối với  H nào đó
Khi đó H là một quan hệ bắc cầu ứng với nửa nhóm con H.
3.4. Định lý. Một biểu diễn hữu hiệu của một nửa nhóm ngược S là tổng
của một họ các biểu diễn hữu hiệu bắc cầu của nửa nhóm đó, và họ này xác
định một cách duy nhất.
Chứng minh. Giả sử : S  X là một biểu diễn hữu hiệu của nửa
nhóm S. Đặt S = H.
Giả sử H là một quan hệ bắc cầu của nửa nhóm H và Xi (i I) là các lớp
bắc cầu của nửa nhóm đó. Vì  là hữu hiệu nên
X = Xi  i  I

H = Xi  Xi  i I

(1)

Với mỗi i  I ta định nghĩa ánh xạ: i : S  X nhƣ sau:
si = s  (Xi  Xi) (s S)
và đặt

si = Hi (i I)

Bây giờ ta chứng minh i là một biểu diễn hữu hiệu và bắc cầu.


18

 i là một biểu diễn
Xét (st)i trong đó s, t S.
Thế thì (a,b)(st)i khi và chỉ khi (a,b)XiXi và (a, b) (st) =
(s)(t).
Mặt khác, (a, b) (s)(t)  (a, c) s và (c, d) t (c X).
Vì (a, c) s  (a, c) H  c Xi (vì a Xi).
Vậy (a, b)  (st)i  (a, c) s  (Xi  Xi) = si
và

(a, c) (st)i  (a, b) (si)(ti)  i là một biểu diễn của nửa

nhóm S.
 i là bắc cầu
Giả sử (a, b) Xi. Vì (a, b)  H nên s S sao cho (a, b)  s.
Do đó (a, b)  si
Nhƣ vậy  H i = Xi  Xi tức Hi bắc cầu suy ra i bắc cầu.
Mặt khác, từ định nghĩa của i và Xi suy ra
s = si  i I
nên  là tổng của họ i các biểu diễn bắc cầu hữu hiệu.

 Cuối cùng ta chứng minh i là duy nhất.
Thật vậy, giả sử  cũng là tổng của họ j  j J là các biểu diễn bắc cầu
hữu hiệu của S, trong đó : S   Y j và các tập Yj từng đôi một không giao
nhau.
Từ định nghĩa của tổng các biễu diễn suy ra X = Yj  j  J.
Đặt si = Kj vì j bắc cầu hữu hiệu suy ra  K j = Yj  Yj.
Do đó

H =   K j  j J = Yj  Yj  j  J

So sánh (1) và (2) ta có

(2)


19

Yj  j J  Xi  i I
Mặt khác, mọi j ta có
sj = s  (Yj  Yj) (s S)


j  i

3.5. Bổ đề. Giả sử  : S  X là một biểu diễn của nửa nhóm ngược S và
x X. Khi đó nếu SX   thì nó là một nửa nhóm con ngược và đóng của S. Rõ
ràng SX   nếu  là hữu hiệu.
Chứng minh. Nếu s, t  SX thì (a,x) (s)(t) = (st)  st SX.
Mặt khác ta có (x, x) s  (x,x) (s)-1 = s-1 (theo bổ đề 3.2).
Vậy SX là nửa nhóm con ngƣợc của S.

Bây giờ giả sử st với  là thứ tự tự nhiên trên S và s SX. Khi đó
ts-1 = ss-1  (t)(s-1) = (s)(s-1).
Vì (a,x) s  s-1 nên suy ra (x, x) t  Sx đóng.
3.6. Bổ đề. Giả sử  : S  Y là một biểu diễn bắc cầu hữu hiệu của
nửa nhóm S và y Y. đặt H = Sy. Thế thì  tương đương với H.
Chứng minh. Theo bổ đề 3.5 thì Sy là một nửa nhóm con ngƣợc và đóng
của S nên ký hiệu H là có nghĩa.
Giả sử X là tập các  - lớp bên phải theo H. Vì  là hữu hiệu và bắc cầu
với y’  Y tuỳ ý, thì tồn tại s S sao cho y(s) = y’. Khi đó ta có ánh xạ
DN

 : y’  (HS) nếu y’ Y và y’ = y(s).
Chứng minh (Hs)  X.
Thật vậy, (y, y)  (s)(s)-1 = (ss-1).
Do đó ss-1 H  (Hs)  X.
Chứng minh  là một song ánh (đơn ánh + toàn ánh) từ Y lên X.


20

Thật vậy, xét s và t ta có y’ = y(s) = y(t). Thế thì (y, y’) s  t.
Nhƣ vậy st-1 H, tức (s, t)  H. Suy ra (Hs) = (Ht), suy ra  là một ánh
xạ hữu hiệu và bắc cầu nên  : Y  X.
 Giả sử y = y”   (Hs) = (Ht) với y’ = y(s); y” = y(t).
Khi đó ta có
(s, t)  H nghĩa là st-1  H.
Do đó (y, y)  (st-1) = (s)(t-1) = (s)(t)-1
Vì (y, y’) s và (y, y”) t  nên suy ra y’ = y”  s với y’ Y, suy ra
y’ = (Hs)   là một toán náh từ Y  X.
 Để chứng minh tƣơng đƣơng ta chỉ cần chứng minh s S tuỳ ý thì

(y’, y”) s khi và chỉ khi (y’, y” )  sH.
Chọn t’ và t” sao cho (y, y’)  (t’), (y, y”)  t”.
Thế thì y’ = (Ht’) và y”  = (Ht”). Bây giờ ta có các điều kiện tƣơng
đƣơng:
(Ht’) ; (Ht”)  sH ; (Ht”) = (Ht’s) ;
(t”, t’s) H ; t”(t’s)-1 H ; (y,y) (t”)((t’))-1.
Vì (y, y”) t” nên (Ht”) = (Ht’s)  (y, y”)  (t’s) = (t’)(s).
Mặt khác, vì (y,y’) t’ nên điều kiện trên tƣơng đƣơng với (y’,y”)s.
Vậy  và H tƣơng đƣơng, suy ra đpcm.

***


21

Chƣơng 2
TƢƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN MỘT TẬP
Trong chƣơng này ta sẽ nghiên cứu khái niệm tƣơng đẳng cũng nhƣ các
tính chất liên quan, đặc biệt chúng ta sẽ trình bày các tƣơng đẳng trên nửa
nhóm X . Từ đó ta có một tƣơng đẳng trên nửa nhóm đầy đủ các phép biến
đổi trên một tập.
Đ1. TƢƠNG ĐẲNG
1.1. Định nghĩa.  Ta nói quan hệ  trên nửa nhóm S là ổn định bên
phải (trái) nếu ab ; (a, b S) kéo theo (cacb) với mỗi c S.
 Một quan hệ tƣơng đƣơng ổn định bên phải (trái) ta sẽ gọi là tương
đẳng bên phải (bên trái) trên S.
 Tƣơng đẳng trên S là quan hệ tương đương vừa là tƣơng đẳng bên trái
vừa là tƣơng đẳng bên phải.
1.2. Định nghĩa. Giả sử  là một tƣơng đẳng trên nửa nhóm S và A, B là

các phần tử tuỳ ý thuộc S

 , tức là các lớp tƣơng đƣơng của S theo mod.

Giả sử a1, a2  A ; b1, b2  B.
Từ a1a2  a1b1a2b1 vì  ổn định bên phải.
b1b2  a2b1a2b2 vì  ổn định bên trái.
Theo tính chất bắc cầu của tƣơng đẳng  ta kết luận a1b1a2b2. Thành thử
tích AB của lớp A và lớp B đƣợc chứa trong một lớp tƣơng đƣơng C nào đó.


22

Ta định nghĩa phép nhân (.) trong S

S
 bằng cách đặt A.B = C. Tập 

với phép toán (.) là một nửa nhóm mà ta gọi là nửa nhóm thƣơng của S theo
mod.
Ta ký hiệu a (a S) là lớp tƣơng đƣơng theo  chứa a.
Vì vậy a.b = (ab) với a, b  S.
Nếu ký hiệu  là ánh xạ tự nhiên từ nửa nhóm S lên S

 ta đƣợc:

a = (a) , với a S.
Vì vậy

(a).(b) = (ab)   là đồng cấu.

Ta gọi  là đồng cấu tự nhiên (hay chính tắc) từ nửa nhóm S lên nửa
nhóm thƣơng S

.

(*) Các lý luận trên đây chứng tỏ rằng mỗi nửa nhóm thƣơng của nhóm
S là một ảnh đồng cấu của nó. Định lý sau đây chứng tỏ rằng, đảo lại, mỗi
ảnh đồng cấu của nửa nhóm S đẳng cấu với một nửa nhóm thƣơng nào đó
của nó.
1.3. Định lý. (Định lý cơ bản về đồng cấu)
Giả sử  là một đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S’ và giả sử

 = 1., tức là ab (a, b S) khi và chỉ khi (a) = (b). Thế thì  là
một tương đẳng trên S và tồn tại đẳng cấu  từ nửa nhóm S

 lên S’ sao

cho  = 0.
(trong đó  là đồng cấu tự nhiên từ S lên S

)

Chứng minh. - Nếu ab và c S thì (ac).(c) = (b).(c) = (bc), từ đó
acbc. Tƣơng tự cacb. Vì  là một quan hệ tƣơng đƣơng trên S nên nó là
tƣơng đẳng.


23

- Đối với mỗi A  S

 , ta đặt (A) = (a1), trong đó a1 A. Để chứng

minh  là một ánh xạ (từ S

 vào S’) ta chú ý rằng:  Nếu a1, a2 cùng thuộc

một lớp tƣơng đƣơng A thì a1a2. Vì vậy (a1) = (a2).
 Vì  là ánh xạ từ S lên S’ nên  : S

  S’. Ta chứng tỏ rằng  là

đồng cấu.
Giả sử A, B  S

 và a A, b B, thì suy ra ab  A B.

Vì vậy (AB) = (ab) = (a).(b) = (A). (B).
Bây giờ ta phải chứng tỏ  là ánh xạ một- một.
Giả sử (A) = (B) và ta lấy a A, b B. Ta có

(a) = (A) = (B) = (b)
Từ đó suy ra ab.
Vì vậy a = b.
Nhƣ vậy  là một đẳng cấu từ S
Nếu a A  S

 lên S’.

 thì (a) = A. Thành thử:

(a) = (A) = ((a)) = ()(a)  (a) = ()(a)
Điều này đúng với mọi a S, nên ta kết luận:

 =  . (đpcm)
1.4. Hệ quả.

Nếu 12 là các tương đẳng trên nửa nhóm S sao cho

1  2 thì S  ~ S  .
1
2
Chứng minh.  Đặt S1 = S

S
1 ; S2 =  2 với hai phép đồng cấu tự

nhiên 1, 2 thoả mãn 1: S  S1 ; 2 : S  S2.
Vì 1 = 1. 11 , 2 = 2.  21  tồn tại đồng cấu  từ S1 lên S2. (đpcm)


24

Đ2. TƢƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHĨM TỒN THỂ
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

Trong tiết này, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng dàn các tƣơng đẳng trên nửa
nhóm tồn thể các phép biến đổi X đƣợc sinh bởi các tƣơng đẳng thuộc ba
kiểu đơn giản. Kiểu thứ nhất là các tƣơng đẳng Rixơ tƣơng ứng với các

iđêan.
Nếu I là một iđêan của X thì ta sẽ ký hiệu I* là tƣơng đẳng X xác định
bởi nửa nhóm thƣơng  X

I

.

Đối với một bản số tùy ý , ta đặt:
I =   X  hạng  <  
D =   X  hạng  =  
Trong tiết này, để cho tiện ta sẽ ký hiệu ’ là bản số bé nhất vƣợt quá .
Vậy I’ = I  D.
Nếu 1 <   X thì do tập I’ là iđêan chính của X sinh bởi một phần tử
bất kỳ hạng , và ta có D là một D- lớp nửa nhóm X.
2.1. Định lý. Giả sử X là một tập nào đó và  là một bản số sao cho
1 <   X. Khi đó I là một iđêan của X. Hơn nữa, mỗi iđêan của X trùng
với một trong các iđêan I và tương ứng giữa  và I là một- một.
Chứng minh. () ,   X ta có:
hạng (.)  minhạng, hạng   mỗi I đều là iđêan của X .
() Giả sử I là một iđêan tùy ý của X và  là bản số bé nhất vƣợt quá
hạng của tất cả các phần tử thuộc I thì suy ra I  I.
Đảo lại, nếu  I thì theo định nghĩa của ,   I : rank  rank.
Vì  thuộc một iđêan chính của X sinh bởi phần tử . Do đó  I suy ra
I  I. Vậy I = I . (đpcm)


25

2.2. Định lý. Giả sử n là một bản số hữu hạn sao cho 1 < n  X và  là

một tương đẳng trên In+1 In khác với tương đẳng phổ dụng. Ta định nghĩa
quan hệ  + trên X bằng cách đặt:

 + = i  [  (Dn  Dn)][ In  In]
Thế thì  + là một tương đẳng trên X.
Chứng minh. Ký hiệu i đƣợc dùng để chỉ quan hệ bằng nhau
  + là một quan hệ tƣơng đƣơng (hiển nhiên)
 Chứng minh  + là quan hệ ổn định.
Giả sử (, )  + và  X. Nếu  =  hoặc ,   In thì (, ) +
 (, )    (Dn  Dn). Nếu   In+1 thì (, )   + vì  là tƣơng
đẳng khơng thu hẹp trên

I n1

In

.

Bây giờ giả sử   X \ In+1. Do đó (, )    (, ) H với H- lớp
các phần tử khác không của

I n1

In

.

Mặt khác, ta có X = X. Khi đó X = X  rank() = rank().
Nếu cả hai hạng bé hơn n thì (, )  In  In   +.
Ngƣợc lại, X = X = c1, c2, ..., cn ci (i = 1, 2, ..., n).

Giả sử X = X = a1, a2, ..., an có thể xem ai = ci (i = 1, 2, ..., n). Ta
xác định ánh xạ  bằng cách đặt (X \ X) = c1 và ai = ci (i = 1, 2, ..., n).
Khi đó   In +1\ In  (, )  .
Nhƣng  =  và  = . Do đó (, )    (Dn  Dn)   +.
Chứng minh tƣơng tự với  + ổn định bên trái   + là một tƣơng đẳng
trên X . (đpcm)
2.3. Bổ đề. Đối với một bản số vô hạn , quan hệ  là một tương đẳng
trên X.
Chứng minh. Rõ ràng quan hệ  phản xạ và đối xứng.


26

Để chứng minh tính bắc cầu, ta lấy (, ) và (, ) thuộc .
Đặt M = X0(, ) và N = X0(, ) với X0 = X0(, ) = x X  x  x .
Theo giả thiết M; M ; N và N bé hơn .
Đặt Q = X0(, ). Khi đó có thể chia Q thành hai tập con:
Q = x  X  x  x và x  x  x X  x = x và x  x .
Q = A  B  A  M; B  N  A  M ; B  N.
Do đó Q = A  B  M  N.
Từ đó ta có Q  M + N < .
Do  vô hạn, nên Q <  . Tƣơng tự ta có:
Q = x X  x  x và x  x   x X  x = x và x  x .
Vậy (, )     là một quan hệ tƣơng đƣơng trên X .
Giả sử (, )   và   X. Đặt M = X0(, ).
R = X0(, ) và S = X0(, )  R  M.
Do đó R và R bé hơn , tức là S  M .
Vì M  M và M  M nên suy ra S và S bé hơn , tức
(, )  .
Vậy ta đã chứng minh đƣợc quan hệ  ổn định suy ra điều phải chứng

minh.
Chú ý: Nếu X hữu hạn thì đối với một bản số vô hạn bất kỳ , quan hệ

 trùng với tƣơng đẳng phổ dụng trên X. Vậy tƣơng đẳng  có ý nghĩa
chỉ đáng xét đối với tập X vơ hạn.
Nhận xét: Định lý mà ta sẽ chứng minh khẳng định rằng một tƣơng đẳng
bất kỳ trên X đƣợc biểu thị qua các tƣơng đẳng ba kiểu nói trên. Trƣớc hết
ta thiết lập một số dự kiện cơ bản về các tƣơng đẳng trên X .
Đối với x bất kỳ thuộc X, ta ký hiệu X là ánh xạ biến mỗi phần tử thuộc
X thành x.


27

2.4. Bổ đề. Giả sử  là một tương đẳng trên X, khác với quan hệ bằng
nhau. Thế thì tất cả các phần tử thuộc D1 đều thuộc cùng một - lớp K và
K là một iđêan của X .
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại , X sao cho    và (, )
Vì    nên tồn tại c X sao cho c  c.
Giả sử a, b  X và  là một phép biến đổi tùy ý của tập X biến c 
a,
c  b. Khi đó ta có c = a và c = b. Do (, )   nên ta có bao
hàm thức (a , b)   .
Điều đó chứng tỏ rằng tất cả các phần tử thuộc D1 đều thuộc cùng một

- lớp, ta ký hiệu nó là K. Vì D1 là một iđêan của X nên K cũng là iđêan.
Vậy một lớp bất kỳ của tƣơng đẳng chứa iđêan thì cũng là một iđêan.
Dựa vào định lý 2.1 ta có K = I .
Ký hiệu  = (). Theo định nghĩa ta đặt (i) = 1.
Vậy (, )   nếu hạng của các phần tử  và  bé hơn ().

Mệnh đề sau đây cho ta mệnh đề đảo bộ phận của điều vừa chứng minh.
Nếu (, )   và hạng  hạng thì hạng của các phần tử  và  bé hơn

().
2.5. Định lý. Giả sử  là một tương đẳng trên X khác với quan hệ bằng
nhau. Thế thì: I* ()    I* ()  D.
Chứng minh. Từ bổ đề 2.4 và định nghĩa của () suy ra I*(  )  .
Giả sử (, )   và  = hạng > hạng.
Để chứng minh   I*(  )  D ta chỉ cần chứng minh  < ().
Thật vậy, ta chia  theo hai trƣờng hợp.
Trƣờng hợp 1:  vơ hạn. Vì X > X nên ta có
X \ X = X
Giả sử  là một phép biến đổi tùy ý của tập X. Khi đó ta có ánh xạ X
thành một phần tử c nào đó, cịn X \ X  X. Khi đó hạng() = hạng và