CHỦ ĐỀ 8. HÌNH HỌC PHẲNG (TOÁN 6 MỚI)

HH6. CHUYÊN ĐỀ 8 – NHỮNG HÌNH HỌC CƠ BẢN.
Chủ đề 8.1: Điểm nằm giữa hai điểm. Tia.
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Điểm, đường thẳng là các hình học khơng được định nghĩa. Hình ảnh của điểm: một dấu chấm nhỏ;
Hình ảnh của đường thẳng: một tia sáng.
2. Vị trí của điểm và đường thẳng.
•

Điểm A thuộc đường thẳng m, kí hiệu

A∈ m
.

M ∈m
• Điểm M khơng thuộc đường thẳng m, kí hiệu
.
3. Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng. Ba điểm không thẳng hàng khi

chúng khơng cùng thuộc bất kì đường thẳng nào.
4. Trong ba điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ có một điểm nằm giữa hai điểm cịn lại.
5. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng.
6. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chua ra bởi O lầ một tia gốc O. Khi đọc (hay viết) tên
một tia, phải đọc (hay viết) tên gốc trước.
Ox
Ví dụ: Tia
.
7. Hai tia chung gốc

Ox

và

Oy

tạo thành đường thẳng

xy

gọi là hai tia đối nhau. Mỗi điểm trên đường

thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.
Ví dụ: Hai tia

Ox

và

Oy

là hai tia đối nhau.

8. Nếu điểm M thuộc tia

Ox

(M khác O) thì hai tia

Ox

và

Om
trùng nhau.

9. Xét 3 điểm A, O, B
Nếu hai tia OA, OB đối nhau thì điểm O nằm giữa hai điểm A và B. Ngược lại, nếu O nằm giữa A
và B:
Hai tia OA, OB đối nhau.
Hai tia AO, AB trùng nhau; Hai tia BO, BA trùng nhau.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1: Nhận biết điểm thuộc đường thẳng và đường thẳng đi qua điểm.
I. Phương pháp giải.
- Xét xem trên đường thẳng có những điểm nào thì điểm ấy thuộc đường thẳng và đường thẳng đi qua
những điểm ấy.
II.Bài tốn.
Bài 1: Xem hình bên và trả lời các câu hỏi sau:
a) Điểm A thuộc những đường thẳng nào?
b) Điểm B thuộc những đường thẳng nào? Viết câu trả lời
bằng ngôn ngữ thông thường và bằng kí hiệu.
1


c) Những đường thẳng nào đi qua điểm B? Những
đường thẳng nào đi qua điểm C? Ghi kết quả bằng kí hiệu.
c) Điểm D nằm trên đường thẳng nào và khơng nằm trên đường thẳng nào? Ghi kết
quả bằng kí hiệu.
Lời giải.
a) Điểm A thuộc hai đường thẳng n và q:
Điểm B thuộc ba đương thẳng m, n và p:

B ∈ n; B∈ m; B ∈ p.

b) Ba đường thẳng m, n, p đi qua điểm B:
Hai đường thẳng m và q đi qua điểm C:

A ∈ n; A ∈ q.

B ∈ n;B∈m;B ∈ p.

C ∈ m; C ∈ q.

c) Điểm D nằm trên đường thẳng q và không nằm trên ba đường thẳng m, n, p:
D ∉ p.
Bài 2: Cho hình vẽ bên có 3 đường thẳng được đánh
số (1); (2); (3) và 2 điểm A; B. Hãy xác định đường thẳng nào
là đường thẳng a; b; c biết rằng:
a) Đường thẳng a không đi qua điểm A và cũng không đi qua điểm B.
b) Đường thẳng b không đi qua điểm A.
c) Đường thẳng C không đi qua điểm B.
Lời giải.
a) Đường thẳng a là đường thẳng được đánh số (2);
b) Đường thẳng b là đường thẳng được đánh số (3);
c) Đường thẳng c là đường thẳng được đánh số (1)
Bài 3: Ở hình bên có 3 điểm và 2 đường thẳng chưa được đặt tên.
Hãy điền các chữ cái A, B, C và a, b vào đúng vị trí trong hình biết rằng:
a) Điểm A khơng nằm trên đường thẳng nào;
b) Điểm B chỉ nằm trên một đường thẳng;
c) Đường thẳng a không đi qua điểm B.
Lời giải.

2

D∈ q; D ∉ n; D∉ m;


Bài 4: Xem hình bên rồi chọn kí hiệu

∈; ∉

hoặc các từ đi qua, không đi qua điền vào chỗ trống ... sao cho

hợp nghĩa:
a)
b)
c)
d)

C...a; C...b;
D...a; D...b;
Đường thẳng a...D;
Đường thẳng b...O.

Lời giải.
a)

C ∈ a; C ∉ b.

D ∉ a; D ∉ b.
b)
c) Đường thẳng a không đi qua D.
d) Đường thẳng b đi qua O.

Bài 5: Xem hình bên với đường thẳng a, b, c, d và
4 điểm M, N, P, Q rồi trả lời:
a)
b)
c)
d)
e)

Điểm nào chỉ thuộc một đường thẳng?
Điểm nào thuộc đúng hai đường thẳng?
Điểm nào thuộc ba đường thẳng?
Đường thẳng nào chỉ đi qua một điểm?
Đường thẳng nào đi qua ba điểm?

Lời giải.
a)
b)
c)
d)
e)

Điểm P chỉ thuộc đường thẳng c.
Điểm M thuộc hai đường thẳng b và c; Điểm N thuộc hai đường thẳng b và d.
Điểm Q thuộc ba đường thẳng a, c và d.
Đường thẳng a chỉ đi qua một điểm Q.
Đường thẳng c đi qua ba điểm M, P và Q.

Dạng 2: Vẽ điểm, vẽ đường thẳng theo một số điều kiện cho trước.
I. Phương pháp giải.
Nên vẽ đường thẳng trước rồi tùy theo điểm thuộc đường thẳng hay không thuộc đường thẳng mà vẽ

điểm sau.
II.Bài toán.
Bài 1: Vẽ ba điểm A, B, C và ba đường thẳng a, b, c.
Lời giải.

Bài 2: Vẽ hình theo các cách diễn đạt bằng lời sau:
a) Điểm C nằm trên đường thẳng a.
b) Điểm B nằm ngoài đường thẳng b.
3


Lời giải.

Bài 3: Vẽ hình theo kí hiệu sau:

A ∈ p; B ∉ q.

Lời giải.

Bài 4: Cho đường thẳng m, điểm A thuộc đường thẳng m và điểm B không thuộc m.
a) Vẽ hình và viết kí hiệu.
b) Có những điểm khác điểm A mà cũng thuộc đường thẳng m khơng? Hãy vẽ hai điểm như thế và kí
hiệu.
c) Có những điểm không thuộc đường thẳng m mà khác với điểm B khơng? Hãy vẽ hai điểm như thế
và kí hiệu.
Lời giải.
A∈ m; B∉ m.

a)
b) Có những điểm khác điểm A mà

cũng thuộc đường thẳng m, chẳng hạn hai điểm C và D:

C ∈ m; D∈ m.

c) Có những điểm khác điểm B mà không thuộc đường thẳng m, chẳng hạn, hai
điểm E và F:

E ∉ m; F ∉ m.

Bài 5: Vẽ hai đường thẳng p, q và 3 điểm C, D, E thỏa mãn ác điều kiện sau:
a)
b)
c)

C∉ p
D∈ p
E∈ p

và
và
và

C ∉ q.
D∉ q
E∈q

.
.

Lời giải.

4


Bài 6: Vẽ hai đường thẳng m, n và 3 điểm G, H, I sao cho:

G, H ∈ m; I ∉ m I ∈ n.
và
G, H , I ∈ m I ∈ n.
b)
và
a)

Lời giải.

Bài 7: Dùng kí hiệu để ghi các diễn đạt sau đây rồi vẽ hình minh họa:
a) Điểm H và điểm I nằm trên đường thẳng m cịn điểm K nằm ngồi đường thẳng m.
b) Đường thẳng n đi qua điểm A và không đi qua điểm B.
Lời giải.
a)

b)

H , I ∈ m; K ∉ m.

A ∈ n; B ∉ n

.

Bài 8: Vẽ đường thẳng a và các điểm A, B thuộc a.

a) Nêu cách vẽ điểm M thẳng hàng với hai điểm A và B.
b) Nêu cách vẽ điểm N không thẳng hàng với hai điểm A và B.
Lời giải.
a) Vẽ điểm M thuộc đường thẳng a và
không trùng với hai điểm A, B.
b) Vẽ điểm N không thuộc đường thẳng a.

5


Bài 9: Vẽ 5 điểm C, D, E, F, G không thẳng hàng nhưng 3 điểm C, D, E thẳng hàng; ba điểm E, F, G
thẳng hàng.
Lời giải.

Bài 10: Hãy vẽ sơ đồ trồng 16 cây thành 8 hàng, mỗi hàng 4 cây.
Lời giải.

Bài 11: Hãy vẽ điểm O, M, N thẳng hàng sao cho mỗi điểm M, N không nằm giữa hai điểm còn lại rồi
cho biết trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
a)
b)
c)
d)

Điểm O nằm giữa hai điểm M và N;
Hai điểm O và N nằm cùng phía đối với điểm M;
Hai điểm M và N nằm cùng phía đối với điểm O;
Hai điểm O và M nằm khác phía đối với điểm N.

Lời giải.

a)
b)
c)
d)

Đúng;
Đúng;
Sai;
Sai.

Dạng 3: Nhận biết ba điểm thẳng hàng.
I. Phương pháp giải.
- Muốn biết ba điểm có thẳng hàng hay khơng thẳng hàng ta cần xem ba điểm đó có cùng thuộc một
đường thẳng hay không cùng thuộc một đường thẳng.
- Muốn vẽ 3 điểm thẳng hàng ta vẽ một đường thẳng rồi lấy 3 điểm trên một đường thẳng đó.
- Muốn vẽ 3 điểm không thẳng hàng ra vẽ một đường thẳng rồi lấy hai điểm trên đường thẳng, điểm
còn lại lấy ở ngồi đường thẳng.
II.Bài tốn.
Bài 1: Xem hình bên và gọi tên:
a) Tất cả các bộ ba đểm thẳng hàng;
b) Hai bộ ba điểm không thẳng hàng.
Lời giải.
6


a) Các bộ ba điểm thẳng hàng trong hình là:
A, E, B; B, C, D; D, E, G.
b) Hai bộ ba điểm không thẳng hàng là: A, B, C; A, B, D.
Ngồi ra cịn 15 bộ ba điểm khơng thẳng hàng khác nữa.
Bài 2: Vẽ:

a) 3 điểm M, N, P thẳng hàng;
b) 3 điểm C, E, D thẳng hàng sao cho điểm E nằm giữa;
c) 3 điểm T, Q, R không thẳng hàng.
Lời giải.

Bài 3: Vẽ đường thẳng a rồi lấy 4 điểm E, F, G, H nằm trên đường thẳng đó. Lấy điểm

O ∉ a.

a) Kể tên 3 điểm thẳng hàng;
b) Kể tên 3 điểm không thẳng hàng.
Lời giải.
a) Có 4 trường hợp 3 điểm thẳng hàng là:
E, F, G; E, F, H; E, G, H; F, G, H.
b) Có 6 trường hợp 3 điểm khơng thẳng hàng là:O, E, F; O, E, G; O, E, H; O, F, G; O, F, H; O, G, H.
Dạng 4: Đường thẳng đi qua hai điểm.
I.Phương pháp giải.
Vận dụng tính chất “có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm”.
II.Bài toán.
Bài 1: Lấy 4 điểm A, B, C, D trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua
các cặp điểm. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Đó là những đường thẳng nào?
Lời giải.
Qua điểm A và mỗi điểm B, C, D có ba đường
thẳng là AB, AC, AD. Qua điểm B và mối điểm
C, D có hai đường thẳng là BC, BD (khơng qua
A). Qua điểm C và D cịn lại có một đường thẳng
là CD (khơng qua A, B).

Bài 2: Lấy 4 điểm M, N, P, Q trong đó ba điểm M, N, P thẳng hàng và điểm Q nằm ngoài đường thẳng
trên. Kẻ các đương thẳng đi qua các cặp điểm. Có bao nhiêu đường thẳng (phân biệt), viết tên các

đường thẳng đó.
Lời giải.
Qua ba điểm M, N, P thẳng hàng chỉ có một
7


đường thẳng.
Xét điểm Q với mỗi điểm M, N, P có 3 đường
thẳng đi qua các cặp điểm là QM, QN, QP. Vậy có
tất cả 4 đường thẳng phân biệt đi qua các cặp
điểm đó là: MN, QM, QN, QP.
Bài 3:
a) Tại sao khơng nói: “Hai điểm thẳng hàng”?
b) Cho ba điểm A, B, C trên trang giấy và một thước thẳng (không chia khoảng). Phải kiểm tra như
thế nào để biết được ba điểm đó có thẳng hàng hay khơng?
Lời giải.
a) Qua hai điểm bao giờ cũng có một đường thẳng nên ta khơng nói hai điểm thẳng hàng.
b) Đặt cạnh thước đi qua hai điểm, chẳng hạn A và B. Nếu điểm C nằm trên cạnh thước thì ba điểm
đó thẳng hàng, trái lại thì ba điểm đó không thẳng hàng.
Bài 4: Cho trước 5 điểm A, B, C, D, E trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng
đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng là những đường thẳng nào?
Lời giải.
Có 10 đường thẳng: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.

Bài 5: Cho trước 5 điểm M, N, P, Q, R trong đó chỉ có 3 điểm P, Q, R thẳng hàng ngồi ra khơng còn 3
điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng là
những đường thẳng nào?
Lời giải.
Có 8 đường thẳng đó là: PM, PN, PQ, MQ, MR, RN, MN, NQ.

8


Bài 6: Cho trước bốn điểm A, B, C, D. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao
nhiêu đường thẳng?
Lời giải.
Xét các trường hợp:
- Cả 4 điểm thẳng hàng thì chỉ có một đường thẳng.
- Có 3 điểm thẳng hàng thì có 4 đường thẳng.

- Khơng có 3 điểm nào thẳng hàng thì có 6 đường thẳng.

Dạng 5: Chứng minh nhiều điểm thẳng hàng.
I.Phương pháp giải.
- Chứng minh các điểm này thuộc hai (hay nhiều) đường thẳng mà các đường thẳng này có hai điểm
chung.
II.Bài toán.
Bài 1. Cho bốn điểm A, B, C, D sao cho C nằm giữa hai điểm A và D; điểm D nằm giữa hai điểm C và
B. Hãy chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.
Lời giải
Theo đề bài, điểm C nằm giữa hai điểm A và D nên ba điểm A, C, D cùng nằm trên một đường thẳng.
Điểm D nằm giữa hai điểm C và B nên ba điểm C, B, D cùng nằm trên một đường thẳng.
Hai đường thẳng này có hai điểm chung là C, D nên chúng phải trùng nhau, suy ra 4 điểm A, B, C, D
thẳng hàng.

9


Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D trong đó 3 điểm A, B, C thẳng hàng; 3 điểm B, C, D thẳng hàng. Hỏi 4
điểm A, B, C, D có thẳng hàng khơng? Vì sao?

Lời giải
Ba điểm A, B, C thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên cùng một đường thẳng.
Ba điểm B, C, D thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên cùng một đường thẳng.
Hai đường thẳng này có hai điểm chung là B, C nên chúng phải trùng nhau, suy ra bốn điểm A, B, C,
D thẳng hàng.
Bài 3. Cho 5 điểm E, F, G, H, O sao cho: Ba điểm E, F, G thẳng hàng; ba điểm F, G, H thẳng hàng; ba
điểm E, F, O không thẳng hàng.
a) Hỏi 4 điểm E, F, G, H có thẳng hàng khơng? Vì sao?
b)Hỏi 3 điểm E,H, O có thẳng hàng khơng? Vì sao?
Lời giải.

a) Ba điểm E, F, G thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng. Ba
điểm F, G, H thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng mà hai
đường thẳng này có hai điểm chung là F và G nên hai đường thẳng này phải trung
nhau nên bốn điểm E, F, G, H thẳng hàng.
b) Ta có E, F, G, H thẳng hàng theo chứng minh trên nên bốn điểm E, F, G, H cùng
nằm trên một đường thẳng. Mặt khác theo bài ra ta có E, F, O khơng thẳng hàng
nên điểm O không nằm trên đường thẳng chứa bốn điểm E, F, G, H. Suy ra ba
điểm E, H, O không thẳng hàng.
Bài 4: Vẽ năm điểm A, B, C, D, E sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, ba điểm B, C, D thẳng hàng,
ba điểm B, C, E không thẳng hàng.
a) Ba điểm A, B, D có thẳng hàng hay khơng?
b) Kẻ các đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai trong 5 điểm nói trên. Kể tên các đường
thẳng trong hình vẽ (các đường thẳng trùng nhau chỉ kể một lần)
Lời giải.

a) Ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng nên ba điểm này cùng nằm trên cùng một đường thẳng. Ba điểm
B, C, D thẳng hàng nên ba điểm này cũng nằm trên một đường thẳng. Suy ra hai đường thẳng này có
hai điểm chung là B và C nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy 3 điểm A, B, D thẳng hàng.

10


b) Các đường thẳng trong hình vẽ là: AE, BE, CE, DE và đường thẳng đi qua 4 điểm A, B, C, D gọi
chung là đường thẳng AD.
Dạng 6: Vận dụng khái niệm điểm nằm giữa, điểm nằm khác phía, nằm cùng phía.
I.Phương pháp giải.
Dựa vào nhận xét: Nếu điểm O nằm giữa hai điểm A và B thì ta có thể nói:
- Hai điểm A và B nằm khác phía đối với điểm O.
- Hai điểm O và B nằm cùng phía đối với điểm A.
- Hai điểm O và A nằm cùng phía đối với điểm B.
II.Bài tốn.
Bài 1. Xem hình và điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau:
a) Điểm ..... nằm giữa hai điểm M, N.
b) Hai điểm R, N nằm ... đối với điểm M.
c) Hai điểm ... nằm khác phía đối với ...
Lời giải.
a) R
b) Cùng phía
c) M và N; R
Bài 2. Xem hình và gọi tên các điểm:
a) Nằm giữa hai điểm M và P.
b) Không nằm giữa hai điểm N và Q.
c) Nằm giữa hai điểm M và Q.
Lời giải.
a) Điểm N.
b) Điểm M.
c) Điểm N và P.
Bài 3. Vẽ 4 điểm A, B,O, I thuộc đường thẳng m sao cho đồng thời thỏa mãn cả 4 điều kiện sau:
A không nằm giữa O và I (1)

O không nằm giữa B và I (2)
I không nằm giữa A và O (3)
B không nằm giữa O và I (4)
Bằng lập luận hãy chứng tỏ rằng điểm O nằm giữa hai điểm A và I; điểm I nằm giữa hai điểm O và B.
Lời giải.
- Xét 3 điểm thẳng hàng A, O, I ta có A khơng nằm giữa hai điểm O và I (1); I không nằm giữa hai
điểm A và O (3). Vậy O nằm giữa hai điểm A và I.
- Xét ba điểm thẳng hàng O, I, B ta có O không nằm giữa hai điểm B và I (2); B không nằm giữa hai
điểm O và I (4). Vậy I phải nằm giữa hai điểm O và B.
Bài 4. Hãy vẽ 3 điểm O, M, N thẳng hàng sao cho mỗi điểm M, N không nằm giữa hai điểm còn lại rồi
cho biết trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
11


a)
b)
c)
d)

Điểm O nằm giữa hai điểm M và N;
Hai điểm O và N nằm cùng phía đối với điểm M;
Hai điểm M và N nằm cùng phía đối với điểm O;
Hai điểm O và M nằm khác phía đối với điểm N.

Lời giải.
a)
b)
c)
d)

Đúng.
Đúng.
Sai.
Sai.

Bài 5. Vẽ 4 điểm A, B, M, N sao cho điểm A nằm giữa M và B; điểm N nằm giữa A và B.
a) Hãy cho biết điểm A cịn nằm giữa hai điểm nào?
b) Tìm các điểm nằm khác phía đối với điểm A?
Lời giải.
a) Điểm A nằm giứa M và N.
b) Hai điểm M và N; hai điểm M và B nằm khác phía đối với điểm A.
Bài 6. Cho 3 điểm C, D, O. Biết mỗi điểm C, D đều không nằm giữa hai điểm còn lại. Hãy nêu điều
kiện để:
- Điểm O nằm giữa hai điểm C và D;
- Điểm O không nằm nữa hai điểm C và D.
Lời giải.
- Xét 3 điểm C, D, O biết C, D đều không nằm giữa hai điểm còn lại, để điểm O nằm giữa hai điểm C
và D thì ba điểm C, D, O phải thẳng hàng.
- Xét 3 điểm C, D, O biết C, D đều khơng nằm giữa hai điểm cịn lại, để điểm O khơng nằm giữa hai
điểm C và D thì ba điểm C, D, O phải không thẳng hàng.
Bài 7. Cho biết điểm O nằm giữa hai điểm M và N. Điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau:
a) Hai điểm O và N nằm cùng phía đối với ...
b) Hai điểm ... nằm cùng phía đối vơí điểm N.
c) Hai điểm ... nằm khác phía đối với ...
Lời giải.
a) Điểm M.
b) M và O.
c) M và N ; điểm O.
Dạng 7. Nhận biết điểm nằm giữa hai điểm khác
I.Phương pháp giải.

- Dùng nhận xét nếu hai tia OA, OB đối nhau thì gốc O nằm giữa hai điểm A, B.
II.Bài toán.
Bài 1. Vẽ tia AB. Lấy điểm M thuộc tia AB. Hỏi:
a) Hai điểm B, M cùng phía đối với điểm A hay nằm khác phía đối với điểm A?
b) Điểm M nằm giữa hai điểm A, B hay điểm B nằm giữa hai điểm A, M?
Lời giải.
12


a) Hai điểm B và M nằm cùng phía đối với điểm A.
b) Nếu điểm M thuộc tia đối của tia BA thì hai tia BM, BA đối nhau do đó điểm B nằm giữa hai điểm
A và B.
Bài 2. Vẽ đường thẳng xy. Lấy điểm O trên đường thẳng xy. Lấy điểm m thuộc tia Oy. Lấy điểm N
thuộc tia Ox.
a) Viết tên hai tia đối nhau gốc O.
b) Trong ba điểm M, O, N thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Lời giải.
a) Hai tia đối nhau gốc O là Ox và Oy.
b) Điểm M thuộc tia Oy nên tia OM trùng với tia Oy.Điểm N thuộc tia Ox nên tia ON trùng với tia Ox.
Suy ra hai tia OM, ON đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm M và N.
Bài 3. Cho hai tia đối nhau AB và AC.
a) Gọi M là một điểm thuộc tia AB. Trong ba điểm M, A, C thì điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại?
b) Gọi N là một điểm thuộc tia AC. Trong ba điểm N, A, B thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Lời giải.

a) M thuộc tia AB nên tia AM trùng với tia AB. Hai tia AB và AC đối nhau nên hai tia AM và AC đối
nhau do đó điểm A nằm giữa hai điểm M và C.
b) N thuộc tia AC nên tia AN trùng với tia AC. Hai tia AB và AC đối nhau nên hai tia AN và AB đối
nhau do đó điểm A nằm giữa hai điểm N và B.
Bài 4. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B; điểm M nằm giữa hai điểm A và O; điểm N nằm giữa

hai điểm B và O.
a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc O.
b) Chứng tỏ rằng điểm O nằm giữa hai điểm M và N.
Lời giải

a) Điểm M nằm giữa hai điểm A và O nên hai tia OM và OA trùng nhau.(1)
b) Điểm N nằm giữa hai điểm B và O nên hai tia ON và OB trùng nhau (2). Điểm O nằm giữa hai
điểm A và B nên hai tia OA và OB đối nhau (3). Từ (1), (2), (3) suy ra hai tia OM, ON đối nhau do
đó điểm O nằm giữa hai điểm M và N.
Bài 5. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B; điểm C nằm giữa hai điểm O và B.
a) Kể tên hai tia trùng nhau gốc O.
b) Tại sao có thể khẳng định điểm O nằm giữa hai điểm A và C?
Lời giải.

13


a) Điểm C nằm giữa hai điểm O, B nên hai tia OC và OB trùng nhau (1).
b) Điểm O nằm giữa hai điểm A và B nên OA và OB là hai tia đối nhau (2). Từ (1) và (2) suy ra hai tia
OA và OC là hai tia đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm A và C.
Bài 6. Vẽ điểm D và E sao cho D nằm giữ C và E còn E nằm giữa D và F.
a) Vì sao có thể khẳng định 4 điểm C, D, E, F thẳng hàng.
b) Kể tên hai tia trùng nhau gốc E.
c) Vì sao có thể khẳng định điểm E nằm giữa C và F.
Lời giải.
a) D nằm giữa C và E nên ta có 3 điểm D, C, E thẳng hàng. (1)
E nằm giữa hai điểm D và F nên 3 điểm E, D, F thẳng hàng (2). Từ (1) và (2) suy ra hai đường thẳng
có hai điểm chung là D và E nên hai đường thẳng này phải trùng nhau. Vậy 4 điểm C, D, E, F thẳng
hàng.
b) Điểm D nằm giữa hai điểm C và E nên hai tia ED và EC trùng nhau. (3)

c) E nằm giữa D và F nên DE và DF đối nhau (4). Từ (3) và (4) suy ra E nằm giữa C và F.
 HẾT 

HH6. CHUYÊN ĐỀ 8 - ĐOẠN THẰNG. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG.
PHẦN I. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Nhận biết đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng.
Biết số đo độ dài đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng trên tia.
Giải các bài toán thực tế có liên quan đến đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng và trung điểm của đoạn thẳng.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1. Nhận biết đoạn thẳng.
I. Phương pháp giải:
Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số lớn hơn

0

.

II. Bài toán
A, B, C , D
4
Bài 1. Trên đường thẳng a lấy điểm
phân biệt. Hỏi có mấy đoạn thẳng? Hãy gọi tên các
đoạn thẳng ấy?

Lời giải
Có 6 đoạn thẳng. Gồm đoạn thẳng:
14


AB, AC , AD, BC , BD, CD

.

Bài 2. Kể tên các đoạn thẳng có trong hình dưới đây:
Lời giải
Các đoạn thẳng có trên hình vẽ là:
MN , MQ, NQ, ML, LP, MP, NP
.
Bài 3. Với 4 điểm

A, B, C , D
A, B, C.

a. Hai trong ba điểm
b. Hai trong 4 điểm

như hình vẽ, em hãy kể tên các đoạn thẳng có đầu mút là:

A, B, C , D.

Lời giải
a) Các đoạn thẳng là:
b) Các đoạn thẳng là:

AB, AC , BC

AB, AC , AD, BC , BD

Bài 4. Hãy đọc tên tất cả các đoạn thẳng trong hình vẽ dưới đây:
Lời giải

Các đoạn thẳng là:

AB, BC , AC.

Dạng 2. So sánh đoạn thẳng
I.Phương pháp giải: Để so sánh hai đoạn thẳng, ta thường làm như sau:
Bước 1. Đo độ dài của mỗi đoạn thẳng;
Bước 2. So sánh độ dài của các đoạn thẳng đó.
II. Bài tốn
Bài 1. Cho các đoạn thẳng ở hình vẽ dưới đây:
a. Hãy đo độ dài các đoạn thẳng ở hình vẽ trên.
AB
b. So sánh hai độ dài của hai đoạn thẳng
và
CD AB
EF
;
và
.

Lời giải
a.

AB = 4 cm

b.

15

AB = CD

CD = 4cm

AB > EF

EF = 3cm

Bài 2. Cho hình vẽ bên: Hãy đo các đoạn thẳng
thứ tự tăng dần.

AB,BC,DE,EF,AF

rồi sắp xếp độ dài đoạn thẳng theo

Lời giải
Đo đoạn thẳng:

AB = 3,3 cm BC = 2,5cm CD = 2, 6cm DE = 3,5cm EF = 3cm FA = 5,5cm
;
;
;
;
;

Sắp xếp độ dài theo thứ tự tăng dần:
Bài 3. Cho ba điểm

AB < CD < EF < AB < DE < FA

B, C , D

. Tính độ dài đoạn thẳng

.

cùng nằm trên một đường thẳng như hình vẽ . Biết
BC.

BD = 5cm CD = 2cm
,

Lời giải
Theo hình vẽ, ta có:
Suy ra:

BD = BC + CD

BC = BD − CD = 5 − 2 = 3cm

.

O
N
2
M
Bài 4. Dùng compa vẽ đường tròn tâm
có bán kính cm.Gọi
và là hai điểm tùy ý trên
OM

ON
đường trịn đó.Hai đoạn thẳng
và
có bằng nhau khơng ?
Lời giải

OM = ON

bằng độ dài bán kính đường trịn.

Bài 5.
16


a. Đo độ dài các đoạn thẳng :

MN , NP, MP

b. Điền độ dài các đoạn thẳng vào chỗ chấm
c. So sánh

MN + NP

với

MP

( ...)

:

MN + NP = ........ MP = ........
,

. Nêu nhận xét.

Lời giải
a.
b.

MN = 2cm NP = 4cm MP = 6cm
;
;
MN + NP = 2 + 4 = 6cm

MP = 6cm
c. Nhận xét: Nếu điểm

N

nằm giữa hai điểm

M

và

P

thì

MN + NP = MP

.

Dạng 3. Vẽ đoạn thẳng trên tia
I.Phương pháp giải
Ox
Ox
OA = 4cm
A
Cho tia
, vẽ điểm
trên tia
sao cho
.

Ox

OM = a ( cm )

M

+ Trên tia
, ta luôn vẽ được một điểm
sao cho
.
Ox
Ox
OA = 3cm OB = 5cm
A

B
Cho tia
, trên tia
vẽ hai điểm
và
sao cho
,
.

Có nhận xét gì về vị trí của điểm

A

so với điểm O và

B

.

OA < OB
O
B
A
B
và , nếu
thì điểm
nằm giữa hai điểm và .
A, B, C
Ox
OA < OB < OC

C
B
A
+ Trên cùng một tia
, vẽ ba điểm
nếu
thì
nằm giữa
và .
+ Trên cùng một tia

Ox

, vẽ hai điểm

A

17


II.Bài toán.

N
OM = 2cm ON = 4cm
M
, vẽ hai điểm
và
sao cho
,
.

O, M , N
a. Trong ba điểm
điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại.
MN
b. Tính độ dài đoạn
.
Bài 1. Trên tia

Ox

Lời giải

N
OM = 2cm ON = 4cm OM < ON )
M
M
, vẽ hai điểm
và
sao cho
,
(
nên điểm
nằm
O
N
giữa hai điểm
và .
O
N
OM + MN = ON

M
b. Vì điểm
nằm giữa hai điểm
và
nên
MN = ON − OM = 4 − 2 = 2cm
hay
a. Trên tia

Ox

OA = 3cm OB = 5cm
OC = 6cm
, vẽ ba điểm
sao cho
,
và
.
O , B, C
a. Trong ba điểm
điểm nào nằm giữa ba điểm còn lại.
A, B, C
b. Trong ba điểm
điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại.
BC
AB
c. Tính độ dài đoạn
và độ dài đoạn
.
Bài 2. Trên tia

Ox

A, B, C

Lời giải
a. Trên tia

Ox

, vẽ ba điểm
O
C
giữa hai điểm
và .

B, C

sao cho

OB = 5cm

và

OC = 6cm

ta có:

OB < OC

nên điểm

B

nằm

A, B, C
OA = 3cm, OB = 5cm
Ox
OC = 6cm
OA < OB < OC
b. Trên tia
, vẽ ba điểm
sao cho
và
ta có:
C
B
A
nên điểm nằm giữa hai điểm
và .
O
C
OB + BC = OC
B
c. Vì điểm
nằm giữa hai điểm
và nên
BC = OC − OB = 6 − 5 = 1(cm)
hay

Ox
OA = 3cm OB = 5cm (OA < OB )
O
A
B
Trên tia
có
,
nên điểm
nằm giữa hai điểm
và .
OA + AB = OB
Do đó:
18


Hay

AB = OB − OA = 5 − 3 = 2(cm)

C
AB = 3cm AC = 4cm
B
lấy hai điểm
và
sao cho
,
.
BC
a. Tính độ dài đoạn

.
Ay
Ay
AD = 3cm
CD
Ax
D
BD
b. Vẽ tia
là tia đối của tia
, trên tia
lấy điểm
sao cho
. Tính
và
.
Bài 3. Trên tia

Ax

Lời giải

AB < AC
C
Ax AB = 3cm AC = 4cm
B
A
a. Trên tia
:
,

. Vì
nên điểm nằm giữa hai điểm
và .
AB + BC = AC
Do đó:
BC = AC − AB = 4 − 3 = 1(cm)
Hay
.
Ay
Ay
C
Ax
D
Ax
B
b. Vì tia
là tia đối của tia
, trên tia
lấy điểm , trên tia
lấy hai điểm
và
nên
C
A
D
A
D
B
điểm nằm giữa hai điểm
và ; điểm

nằm giữa hai điểm
và .
DA + AB = DB
+ Ta có:
BD = 3 + 3 = 6(cm)
Hay
DA + AC = CD
+ Có:
CD = 3 + 4 = 7(cm)
Hay
BD = 6cm; CD = 7cm
Vậy
.
AB = 5cm
C
AC = 3cm
AB
Bài 4. Cho đoạn thẳng
. Trên đoạn
lấy điểm sao cho
.
BC
a. Tính
.
BC
BD = 2cm
CD
D
AB
b. Lấy điểm

thuộc tia đối của tia
sao cho
. So sánh độ dài
và
.

Lời giải
a. Vì điểm

C

thuộc đoạn

AB

nên

AC + CB = AB
CB = AB − AC = 5 − 3 = 2( cm)

hay
b. Ta có điểm
C
D
và .

D

thuộc tia đối của tia

BC

, điểm

C

19

thuộc đoạn

AB

nên điểm

B

nằm giữa hai điểm


Do đó:

CB + BD = CD
CD = 2 + 2 = 4(cm)

hay
Vậy

CD < AB(4cm < 5cm)

xy

xy
Oy
O
A
B
Bài 5. Cho đường thẳng
. Điểm
thuộc đường thẳng
. Trên tia
lấy hai điểm
và
sao
OA = 3cm OB = 5cm
cho
,
.
AB
a. Tính đoạn thẳng
.
C
Ox
AC = 6cm
OA = OC
b. Lấy
điểm thuộc tia
sao cho
. Chứng minh
.

Lời giải

Oy
OA < OB
A
B OA = 3cm OB = 5cm
A
a. Trên tia
lấy hai điểm
và :
,
có
nên điểm
nằm giữa hai
O
B
điểm và .
OA + AB = OB
Do đó:
AB = OB − OA = 5 − 3 = 2(cm)
Hay
xy
Oy
O
O
C
A
A
b. Vì điểm thuộc đường thẳng ,mà điểm thuộc tia
nên điểm
nằm giữa hai điểm
và

AO + OC = AC
Do đó:
OC = AC − OA = 6 − 3 = 3(cm)
hay
OA = OC = 3cm
Vậy
.
xy
O
Ox
OA = 3cm
A
Bài 6. Lấy điểm
thuộc đường thẳng
. Trên tia
lấy điểm
sao cho
. Trên tia lấy
Oy
AB = 6cm
B
điểm sao cho
.
A
a. Kể tên các tia đối nhau gốc .
OB
b. Tính độ dài đoạn
.
OA OB
c. So sánh độ dài đoạn

,
có bằng nhau khơng?

20


Lời giải
Ay
AO Ax
A Ax
AB Ax
a. Các tia đối nhau gốc :
và
;
và
;
và
.
xy
Oy
O
Ox
O
A
B
b. Vì điểm
thuộc đường thẳng
, điểm
thuộc tia
, điểm

thuộc tia
nên điểm nằm
A
B
giữa hai điểm
và .

Do đó:

OA + OB = AB
OB = AB − OA = 6 − 3 = 3(cm)

hay

OB = 3cm
Vậy
.
OA = OB = 3cm
c.
.
AB = 4cm
C
AC = 1cm
AB
Bài 7. Cho đoạn thẳng
, Lấy điểm
trên đoạn
sao cho
.
BC

a. Tính độ dài đoạn
.
AD = 1cm
AB
D
BD
b. Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
. Tính độ dài đồn
.

Lời giải
a. Vì điểm

C

thuộc đoạn

AB

nên
hay

Vậy

BC = 3cm

AC + CB = AB
CB = AB − AC = 4 − 1 = 3(cm)

.

AB
D
A
B
D
b. Trên tia đối của tia
lấy điểm
hay điểm nằm giữa hai điểm
và .
DA + AB = DB
Do đó:
BD = 1 + 4 = 5(cm)
Hay
.
BD = 5cm
Vậy
.
MN = 4cm
O
MN
MO = 3cm
Bài 8. Cho đoạn thẳng
. Lấy điểm
trên đoạn
sao cho
.
ON

a. Tính độ dài đoạn
.
NM
OI = 4cm
NI
I
b. Trên tia đối của tia
, lấy điểm sao cho
. Tính độ dài đoạn
.

21


Lời giải
a. Vì điểm

O

thuộc đoạn

MN

nên

hay

MO + ON = MN
ON = MN − MO = 4 − 3 = 1(cm)

NM
N
I
M
I
b. Ta có điểm thuộc tia đối của tia
nên điểm
nằm giữa hai điểm
và .
MN + NI = MI
Do đó:
NI = MI − MN = 7 − 4 = 3(cm)
hay
NI = 3cm
Vậy
.
M , N, P
Oa
OM = 2cm ON = 4cm
OP = 5cm
Bài 9. Trên tia
, lấy ba điểm
sao cho
,
và
.
NP
a. Tính đoạn
.
MP

b. Tính đoạn
.
Q
OQ = 2cm
MQ
Oa
ON
c. Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
. So sánh đoạn
và đoạn
.

Lời giải
OM < ON < OP (2 < 4 < 5)
OM = 2cm ON = 4cm
OP = 5cm
N
,
và
. Vì
nên điểm
O
O
P
M
P
nằm giữa hai điểm
và ; điểm

nằm giữa hai điểm
và
.
ON + NP = OP
a. Ta có:
NP = OP − ON = 5 − 4 = 1(cm)
hay
.
OM + MP = OP
b. Ta có:
MP = OP − OM = 5 − 2 = 3(cm)
hay
.
Q
Q
Oa
Oa
O
M
c. Trên tia đối của tia
lấy điểm , mà điểm
thuộc tia
nên điểm nằm giữa hai điểm
M
và
.
OQ + OM = MQ
Do đó:
MQ = 2 + 2 = 4(cm)
hay

MQ = ON = 4cm
Vậy
.

Trên tia

Oa

có:

22


Ox
OA = 4cm
AB = 2cm
A
B
Bài 10. Trên tia
lấy điểm sao cho
. Lấy tiếp điểm
sao cho
.
a. Có những trường hợp nào xảy ra?
OB
b. Tính độ dài đoạn
trong từng trường hợp.

Lời giải
B

a. Có hai trường hợp lấy điểm .
AO
B
Trường hợp 1: điểm
thuộc tia đối của tia
.
OA
B
Trường hợp 2: điểm
thuộc đoạn
.
AO
B
b. Trường hợp 1: điểm
thuộc tia đối của tia
.
O
A
B
Nên điểm
nằm giưa hai điểm
và .
OA + AB = OB
Do đó:
OB = 4 + 2 = 6(cm)
Hay
OA
B
Trường hợp 2: điểm
thuộc đoạn

.
OB + BA = OA
Ta có:
OB = OA − BA = 4 − 2 = 2(cm)
Hay
.
Dạng 4. Trung điểm của đoạn thẳng.

I.Phương pháp giải
AB = 4cm
AM = BM = 2cm
Cho đoạn thẳng
. Điểm m thuộc đoạn AB sao cho
. Khi đó điểm M gọi là
trung điểm của đoạn AB.

Ví dụ. Tìm trung điểm trong một số hình sau:

23


AM = BM
M là trung điểm của AB nếu M nằm giữa A, B và
. (M nằm ở chính giữa A và B)
Dạng 4. 1. Tính độ dài đoạn thẳng liên quan tới trung điểm.
I. Phương pháp giải.
Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng các nhận xét sau:
A, B
M
AM + MB = AB

- Nếu điểm
nằm giữa hai điểm
thì
AB
MA = MB =
2
M
AB
- Nếu
là trung điểm của đoạn thẳng
thì
* Các ví dụ
AB = 7cm C
A
B AC = 3cm M
Ví dụ 1. Vẽ đoạn thẳng
.
là điểm nằm giữa
và ,
.
là trung điểm của
BC
BM
. Tính
.
Lời giải
C
AC + BC = AB
A
B

Ta có
nằm giữa
và
nên
BC = AB − AC = 7 − 3 = 4cm
Hay
.
BC 4
BM =
= = 2(cm)
BC
2
2
M
Vì
là trung điểm
nên
C, D
AB = 6cm M
A
B
Cho
đoạn
thẳng
.
là
điểm
nằm
giữa
và

.
Gọi
lần lượt là trung điểm
Ví dụ 2.
AM , MB
CD
của các đoạn thẳng
. Tính

Lời giải
M
A
B
AM + MB = AB
là điểm nằm giữa
và nên
AM
MB
CM =
, MD =
2
2
Mà
AM MB AB
CM + MD =
+
=
2
2
2

Do đó:
II. Bài tốn.
M
AB
AM
MB
Bài 1. Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng
. Tính độ dài hai đoạn thẳng
và
, biết
AB = 4cm
.
Lời giải
AB 4
AM = MB =
= = 2cm
2
2
M
AB
Vì
là trung điểm của đoạn thẳng
nên
.
C
AC
BC
AB
Bài 2. Gọi

là trung điểm của đoạn thẳng
. Tính độ dài hai đoạn thẳng
và
, biết
AB = 6cm
.
Lời giải
AB 6
AC = CB =
= = 3cm
C
2
2
AB
Vì là trung điểm của đoạn thẳng
nên
.

24


O

xy

Ox

M

OM = 4cm

Bài 3. Cho điểm
thuộc đường thẳng
. Trên tia
lấy điểm
sao cho
A, B
N
ON = 2cm
OM
ON
lấy điểm
sao cho
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
.
O
A
B
a. Chứng tỏ
nằm giữa
và .
AB
b. Tính độ dài đoạn thẳng
.

. Trên tia

Oy

Lời giải
xy
Oy
O
Ox
O
A
B
a. Vì điểm
thuộc đường thẳng
; mà điểm
thuộc tia
, điểm
thuộc tia
nên điểm
A
B
nằm giữa
và .
OM 4
OA = AM =
= = 2cm
OM
2
2
A
b. Ta có điểm là trung điểm của
nên
.

ON 2
OB = BN =
= = 1cm
ON
2
2
B
Ta có điểm
là trung điểm của
nên
.
O
AO
+
OB
=
AB
A
B
Theo câu a, điểm
nằm giữa
và
nên
AB = 2 + 1 = 3cm
Hay
.
Oy
Oy
Ox
Ox

OA = 6cm
A
Bài 4. Cho
và
là hai tia đối nhau. Trên tia
lấy điểm
sao cho
. Trên tia
OB = 3cm
N
OA
OB
B
M
lấy
điểm sao cho
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
.
M , O, N
a. Trong ba điểm
điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại? Vì sao?
OM ON
MN
b. Tính độ dài các đoạn thẳng
,
và
.

Lời giải
xy
Oy
O
Ox
N
O
M
a. Vì điểm
thuộc đường thẳng
; mà điểm
thuộc tia
, điểm
thuộc tia
nên điểm
N
M
nằm giữa
và .
OA 6
OM = MA =
= = 3cm
OA
2
2
M
b. Ta có điểm
là trung điểm của
nên

.
OB 3
ON = NB =
= = 1,5cm
N
OB
2
2
Ta có điểm
là trung điểm của
nên
.
O
N
OM + ON = MN
M
Theo câu a, điểm
nằm giữa
và
nên
MN = 3 + 1, 5 = 4,5cm
Hay
.

25