Cấu trúc phổ của các nguyên tử một điện tử

Trờng đại học vinh
Khoa vật lý

*** ***

Nguyễn Thị Dung

Cấu trúc phổ của các nguyên tử
một điện tử
Luận văn tốt nghiệp đại học
Ngành vật lý

Vinh, tháng 05 năm 2010

0


Trờng đại học vinh
Khoa vật lý

*** ***

Cấu trúc phổ của các nguyên tử
một điện tử
Luận văn tốt nghiệp đại học
Ngành vật lý

Cán bộ hớng dẫn: TS. Nguyễn Huy Bằng
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Dung
Lớp:
47A Khoa Vật lý

Vinh, tháng 05 năm 2010

1


Lời cảm ơn!
Luận văn này đợc hoàn thành nhờ nổ lực phấn đấu của bản thân và
sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS. Nguyễn Huy Bằng cùng với sự
giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý. Qua đây tác giả xin đợc
gửi tới TS. Nguyễn Huy Bằng, các thầy cô giáo trong khoa Vật lý lời cảm
ơn chân thành nhất.
Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đÃ
tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong cuộc sống cũng nh chuyên môn để
tác giả hoàn thiện đợc luận văn này.
Do điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên không tránh khỏi
những thiếu sót trong khi thực hiện đề tài. Rất mong nhận đợc sự đóng góp
ý kiến của độc giả để đề tài đợc hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 05 năm 2010
Nguyễn Thị Dung

2


mục lục

Lời cảm ơn ................................................................................................................................
Mục lục .......................................................................................................................................
Mở đầu ........................................................................................................................................

1. Lí do chọn đề tài ...............................................................................................................
2. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu ..........................................................................
3. Mục đích nghiên cứu .....................................................................................................
4. Phơng pháp nghiên cứu .............................................................................................
5. Bố cục của luận văn .......................................................................................................
Chơng 1. Các nguyên tử theo lý thuyết Bohr ............................................
1.1. Các tiên ®Ị cđa Bohr ..................................................................................................
1.1.1. Tiªn ®Ị 1 (Tiªn ®Ị vỊ trạng thái dừng của nguyên tử) ................................
1.1.2. Tiên đề 2 (Tiên đề về cơ chế phát xạ và hấp thụ của nguyên tử)

1.2. Các nguyên tử một điện tử theo lý thuyết Bohr .........................................
1.3. Kết luận ............................................................................................................................
Chơng 2. Các nguyên tử một điện tử theo lí thuyết Schrửdinger
2.1. Phơng trình Schrửdinger .......................................................................................
2.2. Giải phơng trình Schrửdinger ..............
2.3. Các số lợng tử .
2.4. Năng lợng ................
2.5. Hàm sóng và sự phân bố điện tử ...........
2.6. Chuyển động của khối tâm
2.7. Các giá trị trung bình .................................
Chơng 3. Cấu trúc tinh tế các mức năng lợng của nguyên tử một
điện tử ...............................................................................................................................
3.1. Mômen từ quỹ đạo ..
3.2. Spin và mômen toàn phần của điện tử
3.3. Cấu trúc tinh tế các mức năng lợng của nguyên tử một điện tử ...
3.3.1. Sự dịch chuyển năng lợng
3.3.2. Sự tách cấu tróc tinh tÕ …………………………………………………………
3.3.3. CÊu tróc tinh tÕ cđa c¸c vạch phổ
Kết luận ......................................................................................................................................
Tài liệu tham khảo .............................................................................................................

3

Trang
2
3
5
5
6
6
6
7
8
8
8
8
10
14
16
16
18
21
22
24
30
33
35
35
37
39

39
44
48
51
52


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học ra đời từ yêu cầu đợc tìm hiểu và cải biến thế giới của con
ngời. Quá trình phát triển của Vật lý học trải qua nhiều giai đoạn thăng
trầm. Đến cuối thế kỉ XIX, nhiều nhà khoa học đà xem sự phát triển của
Vật lý học ( dựa trên nền tảng là Cơ học và Điện động lực học) đà đạt tíi
®Ønh cao cđa nã. Mäi qui lt vËn ®éng cđa thế giới tự nhiên có thể đợc giải
thích dựa trên các định luật của Cơ học và Điện động lực häc. Tuy vËy, ë
thêi ®iĨm ®ã cã mét sè hiƯn tợng mà Vật lý học cha tìm đợc lời giải đáp
thỏa đáng: sự bức xạ của vật đen tuyệt đối, phổ của nguyên tử hiđrô, các
hiệu ứng quang điện và kết quả thí nghiệm của Maikenxơn đà phủ nhận sự
chuyển động của ête đối với Trái Đất. Kenvin gọi đây chỉ là "đám mây
đen" trên bầu trời xanh của Vật lý học, sớm muộn cũng sẽ đợc giải thích
bằng hệ thống vật lý đợc xem là đà hoàn thiện lúc bấy giờ. Tuy nhiên,
những nỗ lực này đều thất bại. Các nhà khoa học gọi đây là sự khủng
hoảng của vật lý học.
Đi tìm câu giải đáp cho những hiện tợng nói trên, đầu thế kỷ XX một
số nhà vật lý có t tởng đổi mới đà đi tìm hớng giải quyết khác đó là xây
dựng lại hệ thống quan niƯm vỊ vËt lý. Khëi xíng cho t tëng ®ỉi mới này là
Planck đà đề xuất giả thuyết lợng tử của năng lợng bức xạ và Einstein đà đề
xuất giả thuyết photon và các tiên đề về không - thời gian. Trên cơ sở đó
Bohr đà xây dựng mô hình nguyên tử (còn đợc gọi là mô hình nguyên tử
Bohr) để giải thích sự tạo thành các vạch phổ của nguyên tử hiđrô. Những ý

tởng cách mạng đó đà làm nền tảng cho hai học thuyết mới (vật lý lợng tử
và thuyết tơng đối) - là cơ sở của vật lý học hiện đại ngày nay.
Dới ánh sáng của vật lý hiện đại thì những bí ẩn sâu thẳm của thế
giới vi mô nh cấu trúc nguyên tử và phân tử đà đợc khám phá. Ngày nay
việc khảo sát về phổ nguyên tử và phân tử theo quan điểm lợng tử chiếm
một phạm vi khá lớn và nó đợc ứng dơng réng r·i trong thùc tÕ cịng nh
trong nhiỊu ngµnh khoa học kĩ thuật hiện đại. Một trong những ngành áp
dụng rộng rÃi quang phổ học đó là thiên văn hiện đại. Vật lý thiên văn hiện
đại đang sử dụng các phơng pháp quang và quang phổ để nghiên cứu thành
phần nguyên tố, đoán nhận quá trình diễn biến của thiên thể hay của bầu
4


khí quyển bao quanh nó. Ngành khảo cổ học cũng sử dụng việc phân tích
phổ của các nguyên tử, phân tử trong các nghiên cứu của mình. Các nhà
khoa học đà dựa vào sự phân tích phổ của các chất phát ra để tìm tuổi thọ
của những mẫu vật thời tiền sử, xác định cấu tạo của vật chất ...
Mặc dù có vai trò rất lớn nhng thời lợng giảng dạy phổ của các
nguyên tử cho sinh viên hệ đại học s phạm là rất ít. Vì vậy, Cấu trúc phổ
của các nguyên tử một điện tử" đợc chúng tôi chọn làm đề tài nghiên cứu
trong luận văn tốt nghiệp của mình để mở rộng vốn hiểu biết về thế giới vi
mô này đồng thời để phục vụ cho công tác giảng dạy về sau.
2. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu cấu trúc phổ của các nguyên tử một
điện tử đến cấp độ cấu trúc tinh tế.
3. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các cách mô tả nguyên tử một điện tử từ đơn giản đến phức
tạp (nguyên tử theo lý thuyết Bohr, nguyên tử theo lý thuyết Schrửdinger,
nguyên tử khi xét đến các hiệu ứng tơng đối tính) để giải thích đợc sự tạo
thành các dịch chuyển phổ.

4. Phơng pháp nghiên cứu
Phơng pháp lý thuyết: thu thập thông tin, tài liệu từ sách báo và
internet để tìm hiểu về vấn đề nghiên cứu.

5. Bố cục đề tài
Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận văn đợc chia làm 3 chơng:
Chơng 1: Trình bày nguyên tử theo mô hình Bohr và những hạn chế
của mô hình này.
Chơng 2: Trình bày các nguyên tử một điện tử theo lý thuyết
Schrửdinger. Các khái niệm về mức năng lợng, hàm sóng, phân bố
điện tử trong nguyên tử đợc trình bày trên cơ sở giải phơng trình
Schrửdinger. Đồng thời, chơng này rút ra các quy tắc dịch chuyển
phổ và nghiệm lại đợc kết quả theo lý thuyết Bohr.
Chơng 3: Mô tả các hiệu ứng tơng đối tính trong nguyên tử nh tơng
tác spin - quỹ đạo, sự thuộc khối lợng điện tử vào vận tốc. Những
hiệu ứng này dẫn đến sự tách thành các mức năng lợng (do đó tách
thành các vạch phổ) so với cấu trúc th« trong lý thut Schrưdinger.

5


Chơng 1
Nguyên tử theo lý thuyết Bohr
Dựa trên những thành công của giả thuyết lợng tử Planck và thuyết
phôtôn của Einstein, năm 1913, chỉ hai năm sau khi Rutherford khám phá
ra sự tồn tại của hạt nhân trong nguyên tử, N.Bohr đà đa ra mô hình nguyên
tử hiđrô nhằm khắc phục những mâu thuẫn của mẫu hành tinh nguyên tử
của Rutherford với hai tiên đề táo bạo.
1.1. Các tiên đề Bohr
1.1.1. Tiên đề 1 (tiên đề về trạng thái dừng của nguyên tử)

Nguyên tử chỉ tồn tại ở những trạng thái dừng có năng lợng xác định
và gián đoạn hợp thành một chuỗi các giá trị E1, E2, ..., En. Trong trạng thái
dừng, êlectrôn trong nguyên tử không bức xạ năng lợng và chỉ chuyển động
trên các quỹ đạo tròn gọi là quỹ đạo lợng tử có bán kính thỏa mÃn điều kiện
sau đây về giá trị mômen động lợng (điều kiện lợng tử hóa của Bohr).
n 1,2,3,...
L me vr n
(1.1)
víi



h
1,05.10  34 ( Js )
2

lµ h»ng sè Planck rót gọn.

1.1.2. Tiên đề 2 (tiên đề về cơ chế phát xạ và hấp thụ của nguyên tử)

6


Nguyên tử chỉ hấp thụ hay phát xạ năng lợng dới dạng bức xạ điện từ
khi nó chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác (ứng với sự
chuyển của điện tử từ quỹ đạo lợng tử này sang quỹ đạo lợng tử khác).
Tần số ik của bức xạ điện từ mà nguyên tử hấp thụ hoặc phát xạ đợc
xác định bằng biểu thức:
i k
.

(1.2)
h
Với Ei và Ek là năng lợng tơng ứng với trạng thái đầu và cuối của nguyên tử.
Ta có hai trờng hợp:
Ei - Ek > 0: quá trình phát xạ.
Ei - Ek < 0: quá trình hấp thụ.
Trên giản đồ năng lợng ta có thể biểu diễn quá trình hấp thụ hoặc bức xạ
nh trên hình 1.1. Mỗi đờng nằm ngang song song tợng trng một mức năng
lợng gián đoạn của trạng thái dừng của nguyên tử. Sự chuyển từ trạng thái
dừng này sang trạng thái dừng khác đợc biểu diễn bằng một mũi tên thẳng
đứng nối giữa hai mức năng lợng.

ik

E3
E2

Hình 1.1. Sơ đồ mức năng lợng cùng các dịch chuyển hấp thụ và phát xạ.
E1
Phát xạ
Hấp thụ

Ta có nhận xét rằng nếu thừa nhận hai tiên đề của Bohr thì đơng
nhiên các mâu thuẫn của mẫu hành tinh nguyên tử của Rutherford không
còn tồn tại nữa. Từ tiên đề thứ nhất, nguyên tử luôn luôn bền vững ở trạng
thái dừng vì trong chuyển động quanh hạt nhân trên quỹ đạo lợng tử, điện
tử không bức xạ năng lợng. Từ tiên đề thứ hai, sự chuyển mức năng lợng
mang tính chất gián đoạn, do đó năng lợng bức xạ điện từ đợc hấp thụ hay
phát xạ thể hiện qua tần số bức xạ cũng gián đoạn và quang phổ nguyên tử
phải là quang phổ vạch.

7


1.2. Các nguyên tử một điện tử theo lý thuyết Bohr
Xét nguyên tử gồm có một điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân
(có khối lợng rất lớn so với điện tử). Khi đó điện tử chuyển động trên quỹ
đạo tròn quanh hạt nhân chịu tác dụng của lực hút Coulomb từ hạt nhân
đóng vai trò lực hớng tâm (bỏ qua lực hấp dẫn vì có bậc vô cùng nhỏ). Để
nguyên tử tồn tại ở trạng thái dừng thì lực hớng tâm phải cân bằng với lực li
tâm, nghĩa là :
Ke 2 me v 2
(K lµ hƯ sè tû lƯ trong lực Coulomb).

r2
r

(1.3)

Năng lợng của nguyên tử bao gồm động năng của điện tử và thế năng
tơng tác Coulomb của hệ hạt nhân - điện tử:
E

me v 2 Ke 2 

 
2
 r 

(1.4)

Tõ (1.3) ta suy ra:
me v 2 Ke 2

2
2r

và thay vào (1.4) ta đợc:
E

Ke 2 Ke 2 Ke 2


2r
r
2r

.

(1.5)

Năng lợng toàn phần có giá trị âm vì động năng luôn nhỏ hơn trị
tuyệt đối của thế năng hút giữa hạt nhân và điện tử để tạo thành nguyên tử
bền vững.
Kết hợp hệ thức (1.1) và (1.3) ta tìm đợc các giá trị gián đoạn của bán
kính quỹ đạo:
rn

n 2 2
Kme e 2

(1.6)

Bán kính các quỹ đạo tăng theo bình phơng các số nguyên và chỉ
những quỹ đạo có bán kính thỏa mÃn hệ thức (1.6) mới là khả dĩ. Đặt giá
trị:
o
2
a0 0,529
2
Kme e

(1.7)

đợc gọi là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất. Các quỹ đạo tiếp theo sẽ lần lợt
có bán kính r2 4a0 , r3 9a0 , v.v...
NÕu thay hÖ thøc (1.6) vào (1.1), ta xác định đợc vận tốc tơng ứng
của điện tử trên mỗi quỹ đạo lợng tử.
8


vn

Ke 2
n

.

(1.8)

Vận tốc này tỉ lệ nghịch với các số nguyên n, suy ra khi bán kính quỹ đạo

càng lớn thì vận tốc của điện tử càng nhỏ và ngợc lại. Tuy nhiên trên mỗi
quỹ đạo, vận tốc luôn không đổi, điều này đảm bảo cho quỹ đạo là ổn định
(vì thế còn gọi là quỹ đạo dừng), và năng lợng không thay đổi, đúng nh phát
biểu của tiên đề thứ nhất của Bohr.
Kết hợp các công thức (1.6) và (1.5), ta tìm đợc hệ thức cho năng lợng trạng thái dừng của nguyên tử.
En

K 2 me e 4
2n 2 2

n 1,2,3,...

(1.9)

Nh vậy, nguyên tử không thể có mọi giá trị năng lợng tùy ý mà nó chỉ
nhận một số giá trị xác định theo công thức (1.9). Các số nguyên n đóng vai
trò quyết định tính chất gián đoạn (lợng tử) của năng lợng nguyên tử và đợc
gọi là số lợng tử chính.
Ta có thể biểu diễn kết quả cụ thể về giá trị năng lợng của nguyên tử
hiđrô ở trên bằng sơ đồ mức năng lợng (hình 1.2).
E (eV)

n=

0
-0,85
-1,51

-3,4

DÃy
Paschen

DÃy
Bracket

n=4
n=3

n=2
DÃy
Balme

DÃy
Lyman

-13,6

9

n=1


Hình 1.2. Sơ đồ các mức năng lợng của nguyên tử hiđrô và các dịch chuyển phổ.

Trên sơ đồ, mỗi đờng nằm ngang ứng với một trạng thái năng lợng
khả dĩ của nguyên tử hiđrô. Theo quy ớc, đờng thấp nhất biểu diễn trạng
thái cơ bản của nguyên tử ứng với n = 1, tức là giá trị nhỏ nhất của năng lợng nguyên tử hiđrô.
Kme e 4
21,7.10 19 J 13,6eV .

2
2

E1

Những đờng nằm phía trên biểu diễn các trạng thái có năng lợng cao hơn đợc gọi là các trạng thái kích thích.
E1
3,4eV
4
E
E3 1 1,51eV , v.v...
9
E2

Ta nhận thấy khi năng lợng càng cao thì khoảng cách giữa các mức càng xít
lại gần nhau. Đặc biệt khi n , ta có mức năng lợng E 0 và gọi là
trạng bị ion hóa. Khi nguyên tử ở trạng thái kích thích k thì nó có thể nhảy
về trạng thái i thấp hơn đồng thời phát ra các vạch phổ có tần số :


ik

k - i
.


(1.10)

Hoặc dới dạng bíc sãng:
1 K 2 me e 4  1 1 

 


ik
4c 3  ni2 nk2 

víi

n k  ni

(1.11)

phï hợp với giả thiết ở trên E n E n .
k

i

Khi các dịch chuyển từ nk = 2, 3, 4, 5, … vỊ ni = 1 th× ta có dÃy các
vạch Lyman có tần số nằm trong miền tử ngoại. Tơng tự, các dịch chuyển
từ nk = 3, 4, 5, về ni = 2 tạo thành dÃy Balmer có tần số nằm trong miền
nhìn thấy và tử ngoại. Các dịch chuyển này đợc minh họa trên hình 1.2.
10


Nh vậy, bằng cách sử dụng các tiên đề của Bohr ta có thể dẫn ra đợc
các số hạng phổ cho phép xác định bớc sóng của các dịch chuyển trùng với
các giá trị đà đo đạc thực nghiệm trớc đó.
Đối với các nguyên tử một điện tử khác (nh D, T) hoặc các ion tơng
tự hiđrô (nh He+, Li++, ...) ta hoµn toµn cã thĨ vËn dơng lý thut Bohr nh đÃ
làm với hiđrô bằng cách thay điện tích hạt nhân là Z e . Điều này dẫn đến

kết quả bán kính quỹ đạo của điện tử sẽ nhỏ hơn Z lần vì điện tử chịu lực
hút từ phía hạt nhân tăng thêm Z lần. Lặp lại các phép tính tơng tự đối với
nguyên tử hiđrô, ta sẽ dễ dàng tìm đợc các công thức có dạng (1.6), (1.8) vµ
(1.9):
rn 

n 2 2
KZme e 2

vn 

KZe 2
n

E n 

,

(1.12)

,

(1.13)

K 2 me e 4 Z 2
.
2n 2  2

(1.14)

1.3. KÕt luận
Xuất phát từ hai tiên đề cơ bản, thuyết Bohr đà tính toán đợc cấu trúc
phổ của nguyên tử hiđrô và các nguyên tử một điện tử, đà giải thích đợc quy
luật thực nghiệm của các dÃy quang phổ hiđrô. Sự phù hợp này cho thấy chỉ
có thể giải thích cấu trúc nguyên tử bằng quan điểm lợng tử. Nhng khác với
Planck và Einstein mà ý tởng lợng tử chỉ áp dụng cho bức xạ điện từ - ánh
sáng, thuyết Bohr đà mang theo nó những nhân tố mới cha từng gặp trong
vật lý cổ điển, nổi bật nhất là quan điểm lợng tử về năng lợng của nguyên
tử.
Tuy nhiên bên cạnh những thành công rõ rệt, thuyết Bohr cũng bộc lộ
những thiếu sót và hạn chế. Thuyết Bohr đợc vận dụng thành công để giải
thích quy luật của quang phổ của nguyên tử hiđrô nhng nhiều đặc trng quan
trọng khác của phổ nh cờng độ và bề rộng của các vạch phổ, nhất là cấu
trúc tinh tế của vạch phổ thì lý thuyết Bohr không đề cập đến và cũng
không giải quyết đợc. Ngoài các khó khăn gặp phải khi mô tả các tính chất
của nguyên tử hiđrô, thuyết Bohr cũng không thể áp dụng để giải thích và
tính toán cấu trúc của các nguyên tử phức tạp tức là các nguyên tử có nhiều
điện tử.
Nhợc điểm cơ bản bao trùm của thuyết Bohr là tính không nhất quán.
Các khái niệm cổ điển và lợng tử mâu thuẫn với nhau lại đợc dùng một cách

11


đồng thời, chẳng hạn điện tử chuyển động theo quỹ đạo tròn, theo các định
luật của vật lý cổ điển phải bức xạ sóng điện từ trong khi các tiên đề của
Bohr lại phủ nhận. Những quy tắc lợng tử (nh điều kiện lợng tử hóa về
mômen động lợng của điện tử trong nguyên tử) đợc gắn cho mô hình cổ
điển (chuyển động của điện tử trên quỹ đạo) mà không theo một liên hệ
logic nào cả. Tất cả những thiếu sót đó tất yếu dẫn tới sự mâu thuẫn và bế

tắc không thể tiếp tục phát triển lý thuyết đợc. Mặc dù sau đó thuyết Bohr
đợc Somerfeld bổ sung để có tính khái quát cao hơn (quỹ đạo của điện tử
trong nguyên tử có dạng chung là elip, các trạng thái nguyên tử có hiện tợng suy biến về năng lợng v.v...), nhng cuối cùng nó vẫn thất bại vì không
giải đáp đợc một cách triệt để toàn bộ các vấn đề của cấu trúc nguyên tử,
đặc biệt là bài toán tổng quát nguyên tử có nhiều điện tử. Đó chính là tiền
đề của sự ra đời của cơ học lợng tử, nền tảng của một lý thuyết hoàn toàn
mới có khả năng giải quyết đúng đắn và chính xác mọi hiện tợng và quy
luật của thế giới vi mô xảy ra bên trong nguyên tử, phân tử và hạt nhân.
Mặc dù chỉ có giá trị lịch sử tạm thời nhng thuyết Bohr với những ý tởng cách mạng và thành công độc đáo của mình vẫn xứng đáng đợc coi là
chiếc cầu nối không thể thiếu đợc của hai giai đoạn phát triển của vật lý
học. Nó đánh dÊu sù chun tiÕp tõ vËt lý cỉ ®iĨn sang vật lý lợng tử, giúp
ta bớc đầu hiểu và tiếp thu các khái niệm "không bình thờng" của cơ học lỵng tư.

12


Chơng 2
Các nguyên tử một điện tử theo lí thuyết Schrửdinger
Trong cơ học lợng tử, trạng thái của một hạt đợc mô tả bằng hàm
sóng còn các biến số động lực nh vận tốc, xung lợng và năng lợng sẽ đợc
mô tả thông qua các toán tử hermite tơng ứng. Sự thay đổi trạng thái của hệ
trong không thời gian đợc mô tả theo phơng trình Schrửdinger - tơng tự nh
phơng trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Vì vậy, để biết thông
tin về trạng thái của hệ chúng ta cần giải phơng trình Schrửdinger.
2.1. Phơng trình Schrửdinger cho nguyên tử một điện tử
Xét hệ nguyên tử có một điện tử (có điện tích e và khối lợng me)
chuyển động xung quanh hạt nhân có điện tích Ze. Thế năng tơng tác
Coulomb giữa điện tích này với hạt nhân:
V ( r )

Ze 2
(4 0 )r

(2.1)

với r là khoảng cách giữa điện tử và hạt nhân.
Để viết phơng trình Schrửdinger cho hệ ta xác định Hamiltonian
bằng cách thực hiện phép chuyển từ biểu thức động năng cổ điển sang toán
tử động năng. Theo nguyên lý tơng ứng, Hamiltonian của hệ đợc viết:

p 2

H
V (r )
2me

(2.2)

với

i .
p

(2.3)
Khi đó phơng trình Schrửdinger của hạt có d¹ng:
 2

Ze 2  
2





  r   E n  r  .
(4 0 )r 
 2me

(2.4)
Do tÝnh đối xứng cầu của thế năng V(r) nên để tiện lợi cho việc giải
phơng trình (2.4) chúng ta chọn hệ tọa độ cầu r , , . Tríc hÕt ta biĨu diƠn
to¸n tư 2 trong täa ®é cÇu:

13


2  

1  2  1
r

r 2 r  r  r 2

 1  
 
1
 
 sin    sin     sin 2 2

và đặt


1

1

.
sin 
 2
sin   
  sin   2

Tõ ®ã biĨu thøc cđa to¸n tư Hamiltonian trong täa ®é cầu trở thành:
2 1 2 1

Hˆ 
r
  2    V  r 
2

2me  r r  r  r

2
 2 1   2   Lˆ   ,  

V  r  .
r


2me r 2 r  r
2me r 2

(2.5)

Khi biến đổi biểu thức trên ta đà dùng công thức của toán tử bình phơng mômen động lợng trong tọa độ cầu:
L2 2 .

(2.6)
Hàm sóng trong tọa độ cầu đợc viết nh là tÝch cđa hai hµm:
 nlm  r ,  ,    Rnl  r  lm  , .

(2.7)
với

lm ,

là hàm cầu tơng ứng với số lợng tử mômen quỹ đạo l và sè l-

ỵng tư tõ m  m  l , l  1,...,0,..., l  1, l  . Cßn

Rnl r

là hàm chỉ phụ thuộc

vào bán kính r. Thay (2.7) vào (2.4) và sử dụng toán tử Hamiltonian trong
tọa độ cầu, phơng trình Schrửdinger lúc đó trở thành:
2 1   2  


Lˆ2

r

 V  r   Rnl  r   lm   ,    Εn Rnl  r   lm   ,  



2
2
 2me r r  r 2me r


Hai toán tử


H

(2.8)

và L2 giao hoán với nhau nên chúng có chung hàm

riêng nlm r , , . Cho L2 tác dụng lên
ở hai vế ta đợc:

lm , ,

sau đó đơn giản

2 1 2  2l  l  1

Ze2 

r



 Rnl  r   Εn Rnl  r  .


2
2me r 2
(4 0 )r 
 2me r r  r 

lm  ,

(2.9)

Phơng trình (2.9) gọi là phơng trình Schrửdinger theo bán kính. Giải
phơng trình này ta tìm đợc

Rnl r ,

từ đó tìm đợc hàm sóng nlm r , , của

trạng thái có năng lợng En. Ba số nguyên
cho trạng thái mà ta xét.

14

n, l , m gọi

là ba số lợng tử đặc trng


2.2. Giải phơng trình Schrửdinger
Để đơn giản hơn cho việc giải phơng trình (2.9) chúng ta đa vào hàm
mới:
u nl r rRnl r
(2.10)
và thay vào phơng trình (2.9) ta đợc:
d 2 u nl 2me
2 E n  Veff  r  .u nl 0
dr 2




(v×

u nl



(2.11)

chỉ phụ thuộc r nên có thể thay đạo hàm riêng


r

bằng đạo hàm

thờng). Trong đó:
2
Ze2 l l 1
Veff r

r
2me r 2

(2.12)

đợc gọi là thế năng hiệu dụng, bao gồm thế Coulomb cộng với thế li tâm.
Ta giả thiết rằng khi r 0 thì
không rơi vào hạt nhân), nghĩa là
Rnl r

V r  

r 2V  r   0

chËm h¬n 12 (để điện tử
r

khi r 0 . Khi đó hàm sóng

hữu hạn trong toàn bộ không gian kể cả điểm r 0 . Do đó hàm sóng

u nl rRnl r 

ph¶i b»ng 0 khi r 0 .
u nl  0 0 .

(2.13)

Nh vậy bài toán giải phơng trình Schrửdinger cho hạt chuyển động
trong trờng thế đà đợc đơn giản về bài toán chuyển động một chiều trên nửa
đờng thẳng với thế năng hiệu dụng

Veff r

và điều kiện biên (2.13).

Trớc hết ta tìm nghiệm của phơng trình (2.11) với r nhỏ. Khi đó phơng trình (2.11) sẽ trë thµnh:
d  2 dRnl  r  
r
  l (l  1) Rnl  r  0
dr 
r

(2.14)

Ta tìm nghiệm dới dạng:
Rnl r r s .const .

Thay (2.15) vào (2.14) ta đợc:
s s 1.r s .const  l  l  1.r s .const 0
hay lµ
s  s  1 l  l  1 .

15

(2.15)

(2.16)


Có hai giá trị của s (s = l và s = - l -1) cùng thỏa mÃn phơng trình trên. Tuy
nhiên giá trị thứ hai không thỏa mÃn điều kiện biên vì nó dẫn tới nghiệm
Rnl r  

khi r  0 . VËy ta cã

Rnl  r  r l .const khi r  0 .

§èi với trờng hợp r lớn, ta xét chuyển động của điện tử lúc cha bị
iôn hóa trong nguyên tử hiđrô, tức là xét trạng thái liên kết có năng lợng âm
En < 0.
Ta đa vào biến số mới:
8me n 
  

2 


1/ 2

r

(2.17)

vµ
Ze 2  me 
n 


(4 0 )  2  n 

1/ 2

.

(2.18)

Khi ®ã phơng trình (1.25) trở thành:
d 2 l l  1  n 1 

 u nl   0
2
4
2
d

(2.19)

Trờng hợp này ta xÐt víi r lín, tøc lµ víi  lín, khi đó phơng trình (2.19)
gần đúng là:
d2 1
d 2 4 unl 0.

(2.20)

Giải phơng trình này ta tìm đợc hai nghiệm độc lập:
u nl    e  / 2
u nl    e   / 2

NghiÖm

u nl    e / 2

không thỏa mÃn vì nó tiến tới v« cïng khi    , vËy ta

chØ dïng ®ỵc nghiƯm

u nl    e   / 2 ,

đó là dạng tiệm cận của

Kết hợp với phần trên khi r 0 thì

Rnl .

Rnl     l .const ,

ta cã thĨ t×m

nghiƯm khi r hữu hạn dới dạng:

Rnl  l e   / 2 v nl 

trong đó

v nl

(2.21)

là hàm số liên kết Laguerre. Hàm này phải hữu hạn khi

r 0,

và khi r thì dẫn tới vô cùng chậm hơn đa thức của .
Thay biểu thức trên vào phơng trình (2.19) ta có phơng trình cho

v nl  

:
d 2 v nl   
dv   

  2l  2    nl
  n  l  1v nl    0 .
2
d
d

16

(2.22)

Ta tìm nghiệm của phơng trình (2.22) dới dạng chuỗi:


v nl     c k  k

,

c 0 0

(2.23)

k 0

Thay (2.23) vào (2.22) ta đợc:


k k  1c

k

 k  1   2l  2    kck  k  1   n  l  1 ck  k  0

k 0

hay


   k  k  1   2l  2 k  1.c

k 1

  n  l  1  k .ck   k 0

k 0

(2.24)
Các hệ số của k phải bằng không, từ đó ta suy ra công thức truy
toán đối với các hệ số ck của chuỗi (2.23)
c k 1

k  l  1  n
c
 k  1 k 2l 2 k

Để thỏa mÃn điều kiện giới nội đối với

(2.25)

v nl

thì chuỗi phải ngắt lại ở số

hạng bậc p nào đó, tức là các hệ số từ cp+1 trở đi đều bằng không:
p l  1   n 0 .
trong ®ã p là một số nguyên dơng hoặc bằng không.
Nh vậy n phải là một số dơng, ta kí hiệu là n :
 n n l  1  p l 1

(2.26)

Từ đó ta có năng lợng của điện tử trong nguyên tử hiđrô:
n

me Z 2e 4
2

2 4 0 2 n 2

.

(2.27)

trong đó n là số nguyên dơng: n 1,2,3,...
Theo công thức (2.27) thì năng lợng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với
bình phơng các số nguyên. Tính gián đoạn của năng lợng chính là hệ quả
của yêu cầu về hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực.
2.3. Các số lợng tử
Ba số nguyên n, l , m xác định một hàm riêng nlm  r ,  ,   duy nhÊt,
gäi là ba số lợng tử, trong đó n đợc gọi là số lợng tử chính, nó có giá trị
nguyên dơng 1, 2, 3, ...và đặc trng cho mức năng lợng. Giá trị của năng lợng phụ thuộc vào n theo công thức (2.27). Số lợng tử l đợc gọi là số lợng
tử quỹ đạo, ứng với một giá trị đà cho của n thì l có thể có những giá trị 0,
1, 2, ..., n - 1 (nghĩa là có n giá trị của l). Số lợng tử quỹ đạo xác định độ
lớn của mômen động lợng L l  l  1  . Sè lỵng tư m đợc gọi là số lợng tử
17


từ, ứng với một giá trị đà cho của l thì m có thể có những giá trị lợng tử
(nghĩa là có 2l + 1 giá trị của m). Số lợng tử từ xác định hình chiếu của

mômen động lợng lên một trục lợng tử (thờng chọn là trục z): Lz m .
Bé ba sè lỵng tư (n, l, m) xác định trạng thái của hệ. Tuy nhiên, trong
phổ học nguyên tử ngời ta thờng dùng l để ký hiệu trạng thái điện tử tơng
ứng với các chữ cái s, p, d. nh sau:
giá trị của l :

0

kí hiệu trạng thái

s

1

p

2

3

d

f

4

5

g h

6

7 ...

i

j ...

còn giá trị của n thì đợc viết trớc các ký hiệu trạng thái, ví dụ: 1s, 2p
Theo công thức (2.27) thì năng lợng chỉ phụ thuộc vào n mà không
phụ thuộc vào l và m nên sẽ có nhiều trạng thái khác nhau ứng với cùng một
giá trị năng lợng En, nghĩa là các mức năng lợng bị suy biến. Ta hÃy tính
xem có bao nhiêu trạng thái ứng với cùng một mức năng lợng En. Tức là
tính xem ứng với một giá trị n của số lợng tử chính có bao nhiêu bộ giá trị
n, l , m khác nhau.
Với một giá trị của l thì có 2l 1 giá trị khác nhau của m , tức là có
2l 1 trạng thái khác nhau. Với những giá trị của l từ 0 đến n 1 thì số
trạng thái là:
n 1

2l 1 n

2

l 0

Vậy số trạng thái có cùng một giá trị năng lợng En là n 2 , tức là suy
biến với độ bội là n2.
2.4. Các mức năng lợng
Thay các giá trị của các hằng số e, me , vào công thức (2.27) ta có

thể tính đợc các mức năng lợng của hệ:
me Z 2 e 4

Z2
E n 
 R 2 ,
2
n
2 4 0   2 n 2

(2.28)

víi
R

me e 4
2

2  4 0   2

.

Chú ý rằng các trạng thái có cùng một giá trị của n và có l khác
nhau thì có chung giá trị năng lợng (sự suy biến).

18


Xét cho nguyên tử hiđrô (Z =1), ứng với n 1 năng lợng có giá trị
thấp nhất:

E1 = - 13,6 eV.

E(eV)
0- 0,85 -15,1 -3,4 -

-13,6 -

l =

0

1

2

4
3

3s

3p

3d

1

2s

2p

3

4

n



1s

Hình
1 2.1. Sơ đồ các mức năng lợng của nguyên tử hiđrô.

Khi n càng tăng thì khoảng cách ở hai mức năng lợng cạnh nhau càng bé.
Đặc biệt khi n thì E n 0 . ở miền năng lợng E > 0 thì năng lợng liên
tục, đó là các giá trị năng lợng ứng với trạng thái điện tử ở ngoài nguyên tử
(xa hạt nhân đến mức năng lợng của trờng lực tĩnh điện không đáng kể,
điện tử chuyển động tự do). Giá trị tuyệt đối của mức năng lợng thấp nhất
cho ta biết năng lợng iôn hóa I của nguyên tử hiđrô. Năng lợng này bằng
công cần thiết để đa điện tử từ trạng thái liên kết có năng lợng thấp nhất E1
ra ngoài nguyên tử, tức là đến trạng thái ion hóa (Hình 2.1).
Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lợng En về trạng thái có
năng lợng En' thấp hơn thì nó phát ra bức xạ có tần số góc là thỏa mÃn hệ
thức: n   n ' .
19