SKKN dc Xuan 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. A - PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Lý do khách quan - Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính logic và trừu tượng cao, mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, cũng như trong khoa học lý thuyết và khoa học ứng dụng. - Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp các kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập trong SGK, STK mà quan trọng là phải hình thành cho học sinh phương pháp tư duy chung để giải quyết các vấn đề có liên quan. Từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kỹ sảo, qua đó hoàn thiện nhân cách cho các em. - Trong Toán học, Hệ phương trình là một khái niệm tương đối rộng và được giành một vị trí vô cùng quan trọng trong toán phổ thông. Chuyên đề hệ phương không những là một chuyên đề toán học độc lập mà quan trọng hơn, nó còn là một công cụ hữu hiệu trong các bộ môn khoa học cơ bản và khoa học ứng dụng khác. - Trong chương trình Toán phổ thông, khái niệm hệ phương trình chính thức được giới thiệu vào chương trình Đại số lớp 9, tuy nhiên kiến thức mới chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Lên bậc THPT, khái niệm Hệ phương trình lại càng có một vai trò quan trọng hơn nữa, học sinh tiếp tục được nghiên cứu nhiều dạng hệ phương trình trừu tượng hơn, phức tạp hơn như: Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn; Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2; Hệ phương trình lượng giác; Hệ phương trình mũ, logarit,… Trong các dạng hệ phương trình đó thì hệ phương trình đại số đóng vai trò bản lề trong việc nghiên cứu các dạng hệ phương trình còn lại. Vì vậy việc dạy và học chuyên đề hệ phương trình cần được các thầy giáo, cô giáo cùng các em học sinh giành nhiều thời gian nghiên cứu và quan tâm hơn. Việc giải quyết các vấn đề liên quan đến hệ phương trình đại số chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển các loại hình tư duy Toán học. Thông qua những bài toán đó học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt động trí tuệ, ngược lại bằng các hoạt động trí tuệ ( Đó là hoạt động tư duy hàm; hoạt động ngôn ngữ - logic; hoạt động phân chia trường hợp; hoạt động nhận dạng và thể hiện) học sinh có khả năng giải quyết những vấn đề về hệ phương trình cũng như các vấn đề liên quan khác. NguyÔn V¨n Xu©n. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. - Thực tiễn dạy học Toán ở các trường THPT cho thấy đa số HS khi gặp các bài toán liên quan đến hệ phương trình thường có tâm lý e ngại và lúng túng trong cách giải. Một phần là do các em cảm thấy rắc rối trong việc phân loại, nhận dạng cũng như sự phức tạp trong biến đổi hệ phương trình; Một phần là khi giảng dạy nhiều giáo viên đã không cung cấp cho các em kiến thức một cách có hệ thống cũng như các phương pháp hợp lý để phân chia và giải quyết từng dạng bài toán. 1.2. Lý do chủ quan Trong những năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp 10 đến lớp 12, dạy học sinh ôn tập, ôn thi HSG và ôn thi tuyển sinh tôi nhận thấy sự cần thiết phải hình thành một cách có hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình để dạy cho học sinh. Tôi đã giành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tòi thử nghiệm với các đối tượng học sinh khác nhau. Được sự khuyến khích, giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè đồng nghiệp trong trường, ở trường bạn, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài:. “ Phân loại và phương pháp giải hệ phương trình đại số ” II. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Mục đích nghiên cứu của đề tài là giúp HS biết phân loại và nắm được các phương pháp giải các dạng hệ phương trình đại số thường gặp, nâng cao dần kỹ năng kỹ sảo giải các dạng toán trên, từ đó phục vụ tốt cho việc giảng dạy của giáo viên và gạt bỏ tư tưởng e ngại của học sinh khi gặp các bài toán liên quan đến hệ phương trình đại số. - Đối tượng nghiên cứu của đề tài là học sinh trường THPT Hai Bà Trưng - Thạch Thất, trong đó tập trung chủ yếu vào học sinh khối 10, học sinh giỏi, học sinh ôn thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. - Vì đề tài đang ở bước đầu nghiên cứu nên tôi chỉ xây dựng phương pháp cho một số dạng hệ phương trình đại thường gặp và cũng giới hạn trong đối tượng học sinh trường THPT Hai Bà Trưng - Thạch Thất. III. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Dạy HS phân loại và các phương pháp giải hệ phương trình đại số thì trình độ, kỹ năng, kỹ sảo của HS được nâng lên sau khi thực hiện đề tài là hiển nhiên, không còn là giả thuyết như các đề tài khác. Tuy nhiên việc dự kiến kết NguyÔn V¨n Xu©n. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. quả đề tài là cần làm. Tôi mong rằng sau khi thực hiện đề tài HS không còn cảm thấy sợ các bài toán liên quan đến hệ phương trình đại số nữa, ngược lại đa phần các em cảm thấy hứng thú hơn khi học toán và đều nắm được phương pháp giải một số dạng toán mà đề tài đề cập đến. IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. - Xây dựng cơ sở lý luận, phân loại và đưa ra các phương pháp hợp lý để giải một số dạng hệ phương trình đại số. - Áp dụng giảng dạy cho học sinh đại trà, học sinh giỏi và học sinh ôn thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng các phương pháp sau: Điều tra, quan sát thực tiễn Nghiên cứu lý luận Thực nghiệm sư phạm Tổng kết kinh nghiệm Lấy ý kiến chuyên gia Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm. VI. CƠ SỞ NGHIÊN CỨU. - Trong năm học 2012 - 2013 tôi được Tổ chuyên môn phân công giảng dạy môn toán lớp 11, 12, ôn thi đội tuyển học sinh giỏi, đội tuyển dự thi Olympic cấp cụm. Phần lớn các em có đầu vào thấp, bố mẹ chưa thực sự quan tâm, trú trọng đến việc học tập của con cái. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy môn toán còn gặp rất nhiều khó khăn về khả năng tư duy logic và tính toán của các em. - Căn cứ vào việc đổi mới phương pháp giảng dạy - Căn cứ vào trình độ chuyên môn, vào chức năng và nhiệm vụ của người giáo viên trong trường THPT - Căn cứ vào tình hình thực tế của HS khi học môn Toán nói chung và môn Đại số 10 nói riêng. Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm:“Phân. loại và phương pháp giải hệ phương trình đại số” nhằm áp dụng trong chương trình Đại số 10 và rộng hơn nữa là giúp các em ôn thi HS giỏi, ôn thi tuyển sinh. NguyÔn V¨n Xu©n. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. VII. KẾ HOẠCH, THỜI GIAN NGIÊN CỨU Đề tài được nghiên cứu từ tháng 8 năm 2009 đến tháng 5 năm 2010 Giai đoạn 1 ( Từ tháng 8 đến tháng 10 năm 2012): Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm. Hoàn thành đề cương của đề tài. Giai đoạn 2 ( Từ tháng 11 đến tháng 2 năm 2013): Điều tra, quan sát thực tiễn Thực nghiệm sư phạm Lấy ý kiến chuyên gia Đánh máy bản thảo, hoàn thành sơ bộ đề tài. Giai đoạn 3 ( Từ tháng 3 đến tháng 5 năm 2013): Tổng kết kinh nghiệm Hoàn thành đề tài, nộp cho Hội đồng khoa học cấp trường.. NguyÔn V¨n Xu©n. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. B - NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận của đề tài. - Nhiệm vụ trung tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” được xây dựng trên cơ sở ban đầu nhằm hình thành nhân cách cho HS, để từ đó HS có thể kết hợp giữa lý luận với thực tiễn lao động hoặc học lên những bậc học cao hơn. Bên cạnh đó còn giúp HS củng cố những kiến thức phổ thông, đặc biệt kiến thức về bộ môn Toán, rất cần thiết trong đời sống của con người. - Vậy vấn đề đặt ra là cần làm cho HS nắm vững những tri thức khoa học trong Toán học một cách có hệ thống, cơ bản có kỹ năng cần thiết trong học tập và rèn luyện trí tuệ của HS, thể hiện ở việc học đi đôi với hành. - Đặc trưng của môn Toán là một môn khoa học tự nhiên rất khó, đòi hỏi HS phải có tư duy logic và tính toán cẩn thận. Do vậy cần phải chú trọng và định hướng cho HS học tập và nghiên cứu môn Toán một cách nghiêm túc hơn trong chương trình phổ thông. Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm tòi ra những phương pháp tối ưu nhất khi giải hệ phương trình đại số. II. Thực trạng hiện nay. - Việc giảng dạy Toán học nói chung và Đại số 10 nói riêng hiện nay gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là đối tượng học sinh trường THPT Hai Bà Trưng Thạch Thất vì những lý do sau: - Đối tượng HS đa số là con em nông dân, nhận thức còn chậm, khả năng tư duy còn hạn chế. Phần lớn các em bị rỗng kiến thức từ lớp dưới, chưa biết vận dụng các định lý, tính chất và các công thức vào việc giải các bài toán nói chung và các hệ phương trình đại số nói riêng. Ví dụ như bài toán giải hệ phương trình: ( x − 1)( y − 1)( x + y − 2 ) = 6  2 2  x + y − 2 x − 2 y − 3 = 0. NguyÔn V¨n Xu©n. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Đối với những học sinh trung bình hầu như các em không biết xác định dạng của hệ phương trình, một số em khá hơn thì có thể xác định được dạng của hệ phương trình nhưng không còn nhiều lúng túng trong biến đổi và giải hệ phương trình. Hoặc khi giáo viên ra bài toán giải hệ phương trình sau: 5 5  x − 5 x = y − 5 y (1)  8 4 (2)  x + y = 1. Đa số các em không biết vận dụng phương pháp hàm số vào để giải, hoặc một số em biết sử dụng phương pháp hàm số nhưng không biết kết hợp với điều kiện của pt (2) để kết luận về chiều biến thiên của hàm đặc trưng. III. Giải pháp Sau đây ta sẽ nghiên cứu việc phân loại một số dạng hệ phương trình đại số thường gặp cụ thể và các phương pháp giải phù hợp để giải từng loại hệ phương trình đó. Việc phân loại và phương pháp giải tương ứng chỉ mang tích tương đối, vì mỗi hệ phương trình có thể có nhiều cách giải khác nhau và biến đổi về nhiều dạng khác nhau.. NguyÔn V¨n Xu©n. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I. HỆ GỒM MỘT PT BẬC NHẤT VÀ MỘT PT BẬC HAI Nhận dạng:. ax + by = c  2 2 cx + dxy + ey + gx + hy = k. (1) ( 2). PP giải: Rút x hoặc y từ (1) rồi thế vào (2). Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:. (1) 2 x − y = 1  2 2  x − 3 y + 5 y + 8 = 0 (2). Giải Từ (1) ⇒ y = 2 x − 1 x = 0 x = 2. Thế vào pt (2) ta có x 2 − 3(2 x − 1) 2 + 5(2 x − 1) + 8 = 0 ⇔  Với x = 0 ⇒ y = −1 Với x = 2 ⇒ y = 3. Vậy hệ pt đã cho có hai nghiệm ( x; y ) = (0; −1) và ( x; y ) = (2;3). Bài tập tương tự 1. Giải các hệ phương trình sau: 2 x − 3 y = 5. 1) . 2 2 3x − y − 2 y = 4. 3 x − 4 y + 1 = 0  xy − 3( x + y ) = −5. 2) . 2 x − 3 y = 1. 3) . 2 2 2 x − 5xy + y + 10x + 12 y = 100. 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx − 2 y = 1. 1) . x + 2 y = 2 2. 2. mx − 2 y = 1. 2) . 2 2 x + 2 y = 2. 3. Tìm m để đường thẳng 8 x + 8(m + 1) y − m = 0 cắt parabol 2 x 2 + y + x = 0 tại hai. điểm phân biệt A và B. 4. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm:  x2 + y 2 + 2 x − 4 y − 4 = 0   x + my − 2 = 0  x 2 + y 2 + z 2 =1 5. Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm:  2 x − y + 2 z = m. NguyÔn V¨n Xu©n. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. II. Hệ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 Nhận dạng: Là hệ phương trình mà khi thay x bởi y, và y bởi x thì mỗi phương trình không thay đổi (do đó cả hệ phương trình không thay đổi). S = x + y ĐK: S2 ≥ 4P .  P = xy. Phương pháp thông thường: Đặt . Khi đó x, y là nghiệm của pt: t 2 − S .t + P = 0 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:.  x 2 y + xy 2 = 30  3 3  x + y = 35. Giải S = x + y ĐK: S2 ≥ 4 P .  P = xy. Đặt .  S .P = 30. S = 5 ⇔  3 P = 6  S − 3PS = 35. Ta có hệ pt: . Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t 2 − 5t + 6 = 0 ⇔ t = 2; t = 3. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ( x; y ) = (2;3) và ( x; y ) = (3; 2) . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:.  x 2 + y 2 − xy = 3  2 2  x + 1 + y + 1 = 4. (1) (2). Giải PT (2) ⇔ x 2 + y 2 + 2 + 2 x 2 . y 2 + x 2 + y 2 + 1 = 16 (3) Từ (1) ⇔ x 2 + y 2 = xy + 3 , thế vào (3) ta có. xy + 5 + 2 x 2 . y 2 + xy + 4 = 16. Giải pt trên được xy=3 ⇒ ( x + y ) 2 = 12 ⇔ x + y = ±2 3.  x + y = 2 3 TH1:  ⇒x= y= 3  xy = 3  x + y = −2 3 TH1:  ⇒x= y=− 3  xy = 3. Vậy hệ phương trình đã cho ó 2 nghiệm ( x; y ) = ( 3; 3) và ( x; y ) = (− 3; − 3) . Nhận xét: +) Nếu hệ pt có nghiệm (x0; y0) thì hệ pt cũng có nghiệm là (y0; x0) +) Một số hệ pt không đối xứng với ẩn x, y nhưng bằng cách đặt ẩn phụ ta có thể đưa về hệ pt đối xứng. NguyÔn V¨n Xu©n. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:. ( x − 1)( y − 1)( x + y − 2 ) = 6  2 2  x + y − 2 x − 2 y − 3 = 0. Giải ( x − 1)( y − 1)( x − 1 + y − 1) = 6 Hpt ⇔  2 2 ( x − 1) + ( y − 1) = 5. u = x − 1 Đặt  v = y − 1. u.v ( u + v ) = 6 u.v ( u + v ) = 6 ⇔ Hpt trở thành  2  2 2 u + v = 5 (u + v) − 2uv = 5 u + v = 3 u + v = 2 hoặc  Dùng phương pháp thế ta được  u.v = 2 u.v = 3.  u = 1  x = 2   u + v = 3  v = 2 y = 3 TH1:  ⇒ ⇔  u = 2  x = 3 u.v = 2    v = 1   y = 2 u + v = 2 TH2:  ⇒ hệ pt vô nghiệm u.v = 3 Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm ( x; y ) = (2;3) và ( x; y ) = (3;2). Nhận xét: Trong hệ pt trên ta có thể dễ dàng nhận ra cách đặt ẩn phụ, tuy nhiên với một số bài toán ở dạng phức tạp hơn ta phải biến đổi khéo léo mới có thể nhìn ra cách đặt ẩn phụ. Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:.  x 4 − 4 x 2 + y 2 − 6 y + 9 = 0  2 2  x y + x + 2 y − 22 = 0. Giải ( x 2 − 2) 2 + ( y − 3)2 = 4 HPT ⇔  2 2 ( x − 2 + 4)( y − 3 + 3) + x − 2 − 20 = 0. u = ( x 2 − 2) Đặt  , Ta có HPT: v = y − 3 u 2 + v 2 = 4 (u + v) 2 − 2uv = 4 ⇔   (u + 4)(v + 3) + u − 20 = 0 u.v = 8 − 4(u + v) u + v = 2 u + v = −10 hoặc  u.v = 0 u.v = 48. Giải hệ pt trên ta được  NguyÔn V¨n Xu©n. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. u + v = 2 u = 2 hoặc ⇒ u.v = 0 v = 0. TH1: . u = 0  x = ±2  x = ± 2 hoặc  ⇒  v = 2 y = 3  y = 5. u + v = −10 hệ pt vô nghiệm u v . = 48 . TH2: . Vậy hệ pt đã cho có 4 nghiệm ( x; y ) = (±2;3) và ( x; y ) = (± 2;5) .. Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:.  x 3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9 y  ( A – 2012 )  2 1 2 x + y − x + y =  2. Giải. Đặt z = − y  x 3 + z3 − 3( x 2 + z2 ) − 9( x + z) + 22 = 0  Hệ pt trở thành:  2 2 1  x + z − ( x + y ) = 2.  S 3 − 3SP − 3( S 2 − 2 P ) − 9 S + 22 = 0  Hệ pt có dạng  2 1 S − 2 P − S = 2 . Giải hệ pt trên bawnhg phương pháp thế ta được ta được. S = 2 x + z = 2 3 1 1 3    3⇔ 3 ⇒ ( x; z ) = ( ; ), ( ; ) 2 2 2 2  P = 4  x.z = 4. 3 1 1 3 Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm (x; y) là: ( ; − ), ( ; − ) . 2 2 2 2 Bài tập tương tự Bài 1: Giải hệ phương trình:.  x 2 + xy + y 2 = 4 1.   x + xy + y = 2.  x y + y x = 30 2.   x x + y y = 35.  x + xy + y = 2 + 3 2 3.  x2 + y2 = 6 . 4. .  xy = 15 5.  2 2  x + y + x + y = 42.  x 3 + x3 y 3 + y 3 = 17 6.   x + xy + y = 5. NguyÔn V¨n Xu©n. x + y = 5. 2 2  x − xy + y = 7. 10. S = x + z  P = x.z. Đặt .

<span class='text_page_counter'>(11)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. 7 1 1  + + xy = 2 8.  x y 2(x + y) = 3xy . 2 2  x + y = 5 7.  4 2 2 4  x − x y + y = 13.  x + y = 4 9.  2 2 3 3 ( x + y )( x + y ) = 280.  x 2 + y 2 + xy = 7 10.  4 4 2 2  x + y + x y = 21.  x + y − xy = 3 11.   x + 1 + y + 1 = 4.  x 2 x 3 ( y ) + ( y ) = 12 12.  (xy) 2 + xy = 6 .   1   ( x + y ) 1 +  = 5  xy  13.   x 2 + y 2 1 + 1  = 9    x2 y 2   . (. 1 1   x + y + x + y = 5 14.   x 2 + y 2 + 1 + 1 = 49  x2 y 2. ).  x + y + z = 36  2 2 2 15.  x = y + z  2 2 2  x + y + z = 6050. Bài 2: Giải hệ phương trình:  xy + x +1 = 7 y.  x 2 + y2 + x − y = 4 1.  x(x − y + 1) + y(y − 1) = 2.  x2 + y2 + 2xy = 8 2 2.   x + y = 4. 3. . 2x 2 y + xy 2 = 15 4.  3 3 8x + y = 35. x 2 + y2 − x − y = 12 5.  x(x − 1)y(y − 1) = 36. 8 x 3 y 3 + 27 = 18 y 3 6.  2 2  4 x y + 6 x = y. 2 2 2  x y + xy +1 = 13y. Bài 3: Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm: x x + y y = 1-3m (D - 2004) 1.   x + y = 1. 1 1  x + y + x + y = 5 2.  ( D − 2007) x2 + y2 + 1 + 1 = 15 −10m  x2 y 2.  x + y = 2a − 1 Bài 4: Giả sử x; y là nghiệm của hệ phương trình  2 2 2  x + y = a + 2a − 3 Xác định a để tích x.y là nhỏ nhất.. Bài 18: Cho (x, y, z ) là nghiệm của hệ phương trình: 8 8 Chứng minh rằng: − ≤ x, y, z ≤ 3 3 NguyÔn V¨n Xu©n. 11.  x2 + y 2 + z 2 = 8   xy + yz + zx = 4.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. 2. Hệ phương trình đối xứng loại 2. Nhận dạng: Là hệ phương trình mà khi thay x bởi y, và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ (tuy nhiên hệ pt vẫn không thay đổi). Phương pháp thông thường: Trừ (cộng) cáci vế của từng phương trình cho nhau rồi nhóm nhân tử ( x – y ). Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:.  x 2 − 2y 2 = 2x + y (1)  2 2  y − 2x = 2y + x (2). Giải Lấy (1) trừ (2) ta được ( x − y )(3x + 3 y − 1) = 0 x = 0 ⇒ y = 0  x = −3 ⇒ y = −3. TH1: x = y ⇒ x 2 + 3x = 0 ⇔ . TH2: 3x + 3 y − 1 = 0 khi đó hệ pt vô nghiệm Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm x = y = 0; x = y = 3 .. Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:.  y2 + 2  3y = x 2  (B − 2003)  2  3x = x + 2  y2. Giải ĐK: x, y ≠ 0  3x 2 y = y 2 + 2 (1) Nhận xét: x, y > 0 . Hpt ⇔  2 2  3xy = x + 2 (2) Lấy (1) trừ (2) ta được ( x − y )(3xy + x + y ) = 0 ⇔ x = y ( vì x, y > 0). Với x = y ⇒ x 3 − x 2 − 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 Vậy hệ pt đã cho có 1 nghiệm x = y = 1 . Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:.  x + 1 +   y + 1 +. Giải. ĐK: x, y ∈ [ −1;7 ] NguyÔn V¨n Xu©n. 12. 7 − y = 4 (1) 7 − x = 4 (2).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Lấy (1) trừ (2) ta được ( x + 1 − y + 1) + ( 7 − y − 7 − x ) = 0 ⇔. x− y x− y + =0 x +1 + y +1 7− y − 7−x.   1 1 ⇔ ( x − y)  + =0⇔ x= y  x +1 + y +1 7 − y − 7 − x  . Thay x = y vào hệ pt ta có:. x + 1 + 7 - x = 4 (*). Giải pt (*) ta được x = 3 ⇒ y = 3 . Vậy hệ pt đã cho có 1 nghiệm x = y = 3.. Nhận xét: Cũng như trong hệ pt đối xứng loại 1, một số hệ ph ban đầu không phải hệ pt đối xứng, nhưng bằng một số kĩ thuật đặt ẩn phụ đơn giant a có thể đưa về một hệ pt đối xứng loại 2. Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:.  x 3 (3y − 2) = − 8 (HSG − HN 2012)  3  x ( y + 2) = − 6. Giải Nhận xét: x = 0 không là nghiệm của hệ pt. 8  3y − 2 = −  x3 Hpt ⇔  y3 + 2 = − 6  x. Đặt t = −. 2 (t ≠ 0) , ta có hệ ph: x.  3y − 2 = t 3  t 3 + 2 = 3y (1) Hpt ⇔  3 ⇔  3  y + 2 = 3t  y + 2 = 3t (2). Lấy (1) trừ (2) ta được ( x − y )(3xy + x + y ) = 0 ⇔ x = y ( vì x, y > 0). x = y ⇒ x3 − x 2 − 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhât: x = y = 1 .. NguyÔn V¨n Xu©n. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Bài tập tương tự Bài 1: Giải hệ phương trình:  x 2 − 2y 2 = 2x + y 1.  2 2  y − 2x = 2y + x.  x 3 = 3x + 8y 2.  3  y = 3y + 8x. 1  2 2x + x = 2 + y 3.   y 2 (x + 2) = y + 2 . 1  2 2x = y + y 4.  2y 2 = x + 1  x. 56  6 x + y − x 2 = 0 5.   x + 6 y − 56 = 0 y2 . y   x − 3 y = 4 x 6.   y − 3x = 4 x y . Bài 2: Giải phương trình: 1. x + 3 ( 4 − 3 x 2 ) = 4 2. 4.. 3. x − 9 = ( x − 3) + 6 3. 2. x 2 − 1 = x + 1. 5.. 3 3 7. x − 6 + 3 x + 6 = 6. 3. x3 + 1 = 2 3 2 x − 1. 4x + 9 = 7 x2 + 7 x 28. 8. 3 + 3 + x = x. 6.. 3. 81x − 8 = x3 − 2 x 2 + 9. x +. 4 x−2 3. 5 + x −1 = 6.  x = y + 7 x − mx Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:  3 2 2 3. 2. 2.  y = x + 7 y − my. III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1 (1) Nhận dạng: Là hệ phương trình có dạng:  2 2 a2 x + b2 xy + c2 y = d 2 (2). Phương pháp thông thường: TH1: Xét y = 0 TH2: Xét y ≠ 0 đặt x = t.y. Thay vào hệ pt giải ra tìm được t. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:.  x 2 − xy + y 2 = 1 (1)  2 2 2 x − 3 xy + 4 y = 3 (2) Giải. Từ (1) và (2) ta có 3( x 2 − xy + y 2 ) = 2 x 2 − 3 xy + 4 y 2 ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x = ± y TH1: x = y ta có x 2 = 1 ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±1 ⇒ hpt có 2 nghiệm x = y = 1; x = y = −1. NguyÔn V¨n Xu©n. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. TH2: x = − y ta có 3 x 2 = 1 ⇔ x = ± ( x; y ) = (. 3 3 ⇒ y = m ⇒ hpt có 2 nghiệm 3 3. 3 3 3 3 ; − ), ( x; y ) = (− ; ) 3 3 3 3. Vậy hệ pt có 4 nghiệm x = y = 1; x = y = −1,. ( x; y ) = (. 3 3 3 3 ; − ), ( x; y ) = (− ; ) 3 3 3 3  3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11 (1)  2 2  x + 2 xy + 3 y = 17 (2). Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:. Giải Từ (1) và (2) ta có. 17(3 x + 2 xy + y ) = 11( x 2 + 2 xy + 3 y 2 ) 2. 2. 5 x = −4 y ⇔ 10 x 2 − 3 xy − 4 y 2 = 0 ⇔  2 x = y 4 5 TH1: x = − y ta có 3 y 2 = 25 ⇔ y = ± 5 3. hpt có 2 nghiệm ( x; y ) = (−. 4 5 4 5 ; ), ( x; y ) = ( ; − ) 3 3 3 3. 1 y ta có y 2 = 4 ⇔ y = ±2 ⇒ hpt có 2 nghiệm 2 ( x; y ) = (−1; −2), ( x; y ) = (1;2). TH2: x =. Vậy hệ pt có 4 nghiệm: ( x; y ) = (−. NguyÔn V¨n Xu©n. 4 5 4 5 ; ),( ; − ) , (−1; −2),(1;2) 3 3 3 3. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Bài tập tương tự Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 1..  x 2 y + xy 2 = 30  3 3  x + y = 35. 3..  x 2 + 2xy − 3y 2 = 0   x x + y y = 2. 3x + 5xy-4y = 38 5.  2 2 2. 2x − 13xy+15y = 0. (x − y) 2 y = 2  3 3  x − y = 19.  x 3 + xy 2 = 40y 8.  3 2  y + yx = 10x.  x 3 + 3x 2 − 5x-7=y 3 + 2y 7.  2 2. x + y = 1 10.  5 5 2 3.  x + 2x-5=3x. 9.. 3. 2  x + y = x + y. 2y(x 2 − y 2 ) = 3x  2 2 x(x + y ) = 10y. NguyÔn V¨n Xu©n. 4.. 3x 2 + 2xy+y 2 = 11  2 2  x + 2xy+3y = 17.  x 2 − 2xy+3y 2 = 9 6.  2 2. 2. 5x − 9xy-3y = 15. 7.. 2.. 2x 2 y + xy 2 = 15  3 3 8x + y = 35.  x 3 − y3 = 7 12.   xy(x − y) = 2. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Sau đây ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp cụ thể, hay dùng để giải các hệ pt đại số không mẫu mực.. 1. Phương pháp 1. Phương pháp thế. Loại 1. +) Nếu trong hệ có một phương trình bậc nhất với x hoặc y, khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại, sau đó thế vào PT còn lại. Dạng này ở mức độ khá cơ bản, các em học sinh có thể tự nghiên cứu. +) Bằng cách rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ một PT trong hệ thay vào PT còn lại của hệ ta sẽ thu được PT một ẩn, vấn đề là chúng ta phải giải được PT một ẩn này.  xy 2 + 3 = y  2 2  xy xy + y + 5 + 2 y + 3 = y. Ví dụ 1. Giải hệ PT. (1) ( 2). Giải Điều kiện xy 2 + y + 5 ≥ 0 Ta thấy y = 0 không thỏa mãn PT (1). Xét y ≠ 0 , từ (1) ta có x =. y −3 , thế vào PT (2) ta được y2. y −3 . 2 y + 2 − ( y 2 − 2 y − 3) = 0 y. ⇔. ( y − 3) (. ). 2 y + 2 − y ( y + 1) = 0. y = 3 y = 3 ⇔  ⇔  2 y + 2 = y ( y + 1)  y = ±1. Vậy hệ pt có 3 nghiệm (x; y) là : (0; 3), (-2; 1), (-4; -1).. NguyÔn V¨n Xu©n. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”  x ( x + y + 1) − 3 = 0 (1)  (D - 2009)  5 2 ( x + y ) − 2 + 1 = 0 (2) x . Ví dụ 2. Giải hệ PT. Giải Điều kiện x ≠ 0 Từ (1) ta có x + y =. 3 − 1 , thế vào PT (2) ta được x x = 1 ⇒ y = 1 4 6 − +2=0⇔  2 x x x = 2 ⇒ y = 3 / 2. Vậy hệ pt có 2 nghiệm (x; y) là (1; 1), (2; -3/2). Ví dụ 3. Giải hệ PT.  x 4 + 2x 3 y + x 2 y 2 = 2x + 9 (1) (B -2008)  2 (2)  x + 2xy = 6x + 6 Giải. ( x2 + xy )2 = 2 x + 9 (1)  x = 0 3 HPT ⇔  Thay ( 2) vào (1) ⇒ x ( x + 4) = 0 ⇔  2 x  x = −4  xy = 3x + 3 − (2)  2 Với x = 0 hệ pt vô nghiệm. 17 4 Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x; y) = (-4; 17/4).. Với x = −4 ⇒ y =. Ví dụ 4. Giải hệ PT.  x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3 x 2 − 4 x + 1  2  xy + x + 1 = x Giải. ( xy + x ) ( x 2 + xy + x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 (1) Hệ pt ⇔  2 (2)  xy + x = x − 1 Thế (2) vào (1) ta có:. NguyÔn V¨n Xu©n. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. ( x 2 − 1)( x 2 + x 2 − 1) = 3 x 2 − 4 x + 1 x = 0( L)  ⇔ ( x − 1) ( 2 x3 + 2 x 2 − x − 1) = 0 ⇔  x = 1  x = −2 . Với x = 0 hệ pt vô nghiệm Với x = 1 ⇒ y = −1 Với x = −2 ⇒ y = −5 / 2 Vậy hệ pt có 2 nghiệm ( x; y ) = (1; −1) , ( x; y ) = (−2; −5 / 2) . 8 x 3 y 3 − 7 y 3 + 27 = 0  2  4 x y − y 2 + 6 x = 0. Ví dụ 5. Giải hệ PT. Giải 8 x 3 y 3 − 7 y 2 .y + 27 = 0 (1) Hệ pt ⇔  (2) 4 x 2 y + 6 x = y 2. Thế (2) vào (1) ta có:  xy = 9 / 2 8 x3 y 3 − 28 x 2 y 2 − 42 xy + 27 = 0 ⇔  xy = −3 / 2   xy = 1 / 2. 33 2 Với xy = 9 / 2 ⇒ y = 108 ⇒ y = 108 ⇒ x = 4 3. 3. 3 18 84 Với xy = −3 / 2 ⇒ 7 y = 18 ⇒ y = ⇒x= 7 4 3. 3. Với xy = 1 / 2 ⇒ y 3 = 4 ⇒ y = 3 4 ⇒ x =. 93 2 4. Vậy hệ pt đã cho có 3 nghiệm.. Nhận xét : Trong các hệ phương trình trên ta có thể dễ dàng tìm thấy biểu thức cần rút ra để thế vào phương trình còn lại, tuy nhiên trong một số bài toán phức tạp ta phải thực hiện một số bướ biến đổi ta mới có thể tìm ra được biểu thức để thế vào phương trình còn lại.. NguyÔn V¨n Xu©n. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”.  x − x − y − 1 = 1 (1)  2  y + x + 2 y x − y 2 x = 0 (2). Ví dụ 6. Giải hệ PT. Giải x ≥ 0 x − y −1 ≥ 0. ĐK: . Ta có (1) ⇔ x = x − y − 1 + 1 ⇔ y = 2 x − y − 1 ⇒ y ≥ 0 ⇔ y = 4( x − y − 1) ⇔ ( y + 2)2 = 4 x ⇒ y + 2 = 2 x (3) (2) ⇔ ( y + x )2 = y 2 x ⇒ y + x = y x (4) y = 2 ⇒ x = 4. Thế (3) vào (4) ta được   y = −1(L ). Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 2). Bài tập tương tự Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:  x2 y 2 + y4 + 1 = 3 y2 1.  2.  x 2 (1 + y 2 ) = 2 2.  2 2.  x2 + y 2 = 1 3. .  x + y =1 4. .  x2 + y 2 + x2 − y 2 = 4 5. . 6. .  xy + x = 2 y.  x + y + x − y = 2.  x + y − x − y = 2. 2  x y + xy = 3 x − 1. 2 2  x + y + x − y = 1 + x − y.  7 x + y − 2x + y = 4 2 2x + y − 5x + 8 = 2.  x 4 + x3 − y ( 2 x 2 + x − y ) = 2 7.   x − 1 = y. ( x − y ) + x + y = y 8.  4 2 2. 3  x−2 − y +1 = 27−x 9.  2 (x−2) +1= y. 2 x − y + x − 1 = 2 x − 2 + 2(2 x − y ) 2 10. .  x 2 + x3 y = 9 y − 1  11.  3 y x − 7 = 2 x +1 .  2 x 2 + 4 x + 6 = (2 xy + y + 4)(2 x + 1) 13.  2 2  x + x − 2 = y (2 x + 1). NguyÔn V¨n Xu©n. 2. 2. 2  x − 4 x y + 3 x = − y.  y 2 + 4 x x − 1 = 17. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Loại 2. Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích. Với PP này ta biến đổi một PT của hệ hoặc kết hợp cả hai PT của hệ để đưa một phương trình về dạng tích Ví dụ 1. Giải hệ PT.  x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y   xy + x + y = x 2 − 2 y 2. (1) (2). ( D - 2008). Giải ĐK: x ≥ 1, y ≥ 0 Ta có (2) ⇔ ( x 2 + xy ) − (2 y 2 + 2 xy ) − ( x + y ) = 0 ⇔ x ( x + y ) − 2 y( x + y ) − ( x + y ) = 0 ⇔ ( x + y )( x − 2 y − 1) = 0 ⇔ x = 2 y + 1 (3). Thế (3) vào (1) ta được pt: ( y + 1) 2 y = 2( y + 1) ⇔ y = 2 ⇒ x = 5 Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; 2).. Ví dụ 2. Giải hệ PT.  xy + x − 2 = 0  3 2 2 2 2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0. (1) (2). ( D - 2012). Giải Ta có (2) ⇔ 2 x ( x 2 − y ) − y( x 2 − y ) + ( x 2 − y ) ⇔ ( x 2 − y )(2 x − y + 1) = 0  −1 − 5 ⇒ y = 5 x = 2 TH1: y = 2 x + 1 , thế vào (1) ta được   x = −1 + 5 ⇒ y = − 5  2. TH2: y = x 2 , thế vào (1) ta được ( x − 1)( x 2 + x + 2) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 Vậy hệ pt có 3 nghiệm.. Ví dụ 3. Giải hệ PT.  3y 2 + 13 - 15 − 2 x = x + 1  4  y − 2 xy 2 + 7 y 2 = − x 2 + 7 x + 8. Giải ĐK: x ∈  −1; 15   2 NguyÔn V¨n Xu©n. 21. (1) (2).

<span class='text_page_counter'>(22)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Ta có (2) ⇔ ( y 2 − x − 1)( y 2 − x + 8) = 0 TH1: x = y 2 + 8 ≥ 8 ⇒ mâu thuẫn với gt. TH2: y 2 = x + 1 , thế vào (1) ta được 2 x = ( x + 1)(15 − 2 x ) ⇒ x = 3 ⇒ y = ±2 Vậy hệ pt có 2 nghiệm (x; y) là (3; 2), (3; -2). Ví dụ 4. Giải hệ PT. 2 xy  2 2 x + y + x + y = 1   x + y = x2 − y . Giải ĐK: x + y > 0 . Ta biến đổi (1). (1) ⇔ x 2 + y 2 +. 2 xy 2 xy 2 = 1 ⇔ ( x + y ) − 2 xy + =1 x+ y x+ y. ⇔ ( x + y ) − 2 xy ( x + y ) + 2 xy − ( x + y ) = 0 3. 2 ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 1 − 2 xy ( x + y − 1) = 0  . ⇔ ( x + y − 1) ( x 2 + y 2 + x + y ) = 0 ⇒ x + y = 1. ( Do x + y > 0 ). Thế y = 1 – x vào (2) được: x 2 + x − 2 = 0 . Nghiệm HPT : (1;0 ) , ( −2;3) Vậy hệ pt có 2 nghiệm.. Bài tập tương tự Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 1.   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y. 2. . 2 6 x − 3xy + x + y = 1 3.  2 3x + y + 3x + y = 2. ( x + y )3 + 8 xy = 2 ( x + y )( 8 + xy )  4.  1 1 = 2   x+ y x − y.  x 2 − 2 y 2 = xy − x + 2 y 5.  ( y + 1) 3 ( x + y ) − ( x + 3) x − y = 2.  x3 − x 2 y = x 2 − x + y + 1 6.  3 2 3 2  x − 9 y + 6( x − 3 y ) − 15 = 3 6 x + 2. NguyÔn V¨n Xu©n. 2 xy + 3x + 4 y = −6 2 2  x + 4 y + 4 x + 12 y = 3. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Loại 3. Một phương trình của hệ là PT bậc hai theo một ẩn, chẳng hạn đó là ẩn y. Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn được y qua x bằng cách giải phương trình bậc hai ẩn y. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:  y 2 = ( 5 x + 4 )( 4 − x ) 1.  2 2  y − 5 x − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0. 2  xy + 3 y − x + 4 y = 7 2.  2 2 xy + y − 2 x − 2 y + 1 = 0. Giải 1. Biến đổi (2) về dạng y 2 − 4 ( x + 2 ) y − 5 x 2 + 16 x + 16 = 0  y = 5x + 4. Ta có ∆ ' = 9x 2 ⇒  y = 4− x TH1: y = 5 x + 4 ⇒ ( 5 x + 4 ). 2. 4  x = − ⇒ y=0 = ( 5 x + 4 )( 4 − x ) ⇔  5  x = 0 ⇒ y = 4 x = 4 ⇒ y = 0 x = 0 ⇒ y = 4. TH2: y = 4 − x ⇒ ( 4 − x ) = ( 5 x + 4 )( 4 − x ) ⇔  2.  4  Vậy hệ pt có 3 nghiệm (x; y) là:  − ;0  ; ( 0;4 ) , ( 4;0 ) .  5 . −x − 7  y = 2. Biến đổi (1) thành: 3 y + ( x + 4 ) y − x − 7 = 0 ⇒  2   y =1 2. Thế vào pt (2) ta được các nghiệm của hệ pt là: ( −10;1) , ( 2; − 3) , ( x;1) ∀x ∈ R. Loại 4. Thế bởi hằng số Ví dụ 1. Giải các phương trình:  x 2 + y 2 − xy = 3 1.  3 3 2x − 9y = ( x − y )( 2xy + 3).  x 5 + y 5 = 1 2.  9 9 4 4  x + y = x + y. Giải. NguyÔn V¨n Xu©n. 23.  x3 + 2 xy 2 + 12 y = 0 3.  2 2 8 y + x = 12.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. 1. Thế (1) vào (2) ta được: 2x 3 − 9y3 = ( x − y ) ( 2xy + x 2 + y 2 − xy ) ⇔ 2x 3 − 9y3 = x 3 − y3 ⇔ x = 2y. ( 3). Thế (3) vào (1) ta được các nghiệm của hệ pt là: ( 2; 1) , ( −2; − 1) 2. Thế (1) vào (2) ta được: x 9 + y9 = ( x 4 + y 4 )( x 5 + y5 ) ⇔ x 4 y 4 ( x + y ) = 0 Xét các trường hợp, thế vào (1) ta được các nghiệm của hệ pt là: ( 0; 1) , (1;0 ). Loại 5. Sử dụng phương pháp thế đưa về phương trình đồng bậc Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình:  x 2 + y 2 + xy = 1 (1) 1.  3 3  x + y = x + 3 y (2) ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) = 15 3.  2 2 ( x − y ) ( x − y ) = 3.  x3 − y 3 = 7 (1) 2.   xy ( x − y ) = 2 (2). (1) ( 2).  x3 − 8 x = y 3 + 2 y 4.  2 2  x − 3 = 3 ( y + 1). Giải 1. Thế (1) vào (2) ta được: x 3 + y 3 = ( x + 3 y ) ( x 2 + y 2 + xy ) ⇔ 2 y ( x 2 + y 2 ) + x 2  = 0 ⇒ y = 0 Thế vào (1) ta được các nghiệm của hệ phương trình là: (1;0 ), ( 0; 1) 2. Từ (1) và (2) ta có. 2(x3 – y3) = 7xy(x – y) 2. 2. ⇔ (x – y)[2(x + xy + y ) – 7xy] = 0 2. 2. ⇔ (x – y)(2x - 5xy + 2y ) = 0. TH1: Nếu x = y thì khi đó (1) ⇔ 0x = 7 hệ pt vô nghiệm TH2: Nếu 2x2 - 5xy + 2y2 = 0. Khi đó (x – 2y)(2x – y) = 0. • Xét x = 2y, thay vào (1) ta được: 7y3 = 7 ⇔ y = 1 ⇔ x = 2; thỏa mãn. • Xét y = 2x, thay vào (1) ta được: -7x3 = 7 ⇔ x = -1 ⇔ y = -2; thỏa mãn. Vậy hpt đã cho có hai nghiệm (x; y) là: (2; 1), (-1; -2).. NguyÔn V¨n Xu©n. 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. 3. Từ (1) và (2) suy ra (x + y)(x2 + y2) = 5(x – y)( x2 - y2) 2. 2. 2. ⇔ (x + y)(x + y ) = 5(x + y)(x – y). Do (1) nên x + y ≠ 0 nên Khi đó ta có. x2 + y2 = 5(x – y)2.. 2x2 – 5xy + 2y2 = 0 ⇔ (x – 2y)(2x – y) = 0. • Xét x = 2y thay vào (1) ta được: 15y3 = 15 ⇔ y = 1 ⇔ x = 2; thỏa mãn. • Xét y = 2x thay vào (1) ta được: 15x3 = 15 ⇔ x = 1 ⇔ y = 2; thỏa mãn. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) là: (2; 1), (1; 2). 4. Biến đổi hệ ta được  x3 − y 3 = 2 ( 4 x + y ) (1)  2 2 ( 2)  x − 3 y = 6. Từ (1) và (2) ta có: 3(x3 – y3) = (4x + y)(x2 – 3y2) 2. 2. ⇔ x(x + xy – 12y ) = 0. TH1: Nếu x = 0 thay vào (2) ta được y2 = - 1 hệ pt vô nghiệm TH2: Nếu x2 + xy – 12y2 = 0. (x – 3y)(x + 4y) = 0. • Xét x = 3y thay vào (2) ta được y =1⇒ x = 3  y = −1 ⇒ x = −3. y2 = 1 ⇔ . Thử lại thỏa mãn (1). • Xét x + 4y = 0 hay x = -4y thay vào (2) ta được  78 4 78 y= ⇒x=−  6 13 13 y2 = ⇔  13  78 4 78 ⇒x= y = − 13 13 . Thử lại thỏa mãn (1). Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x; y) là:  4 78 78  ; , 13   13. (3; 1), (-3; -1),  −. NguyÔn V¨n Xu©n. 25.  4 78 78  ;−   13   13.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. 2. Phương pháp 2. Biến đổi rồi đặt ẩn phụ +) Tư tưởng của phương pháp này là biến đổi HPT sau đó đặt ẩn phụ đưa HPT thành HPT đơn giản hơn hay những HPT đã biết cách giải. +) Điểm quan trọng nhất của PP này là phát hiện ẩn phụ u = f(x; y); v = g(x; y) có ngay trong từng PT của hệ hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi cơ bản. Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:  x2 + 1 + y ( y + x ) = 4 y 1.  2 ( x + 1) ( y + x − 2) = y. 2 2 2 2 x + y + x y = 1+ 2xy 2.  2 2 x + x y + xy = xy + y +1.  x + y − xy = 3 3. .  x + 1 + y + 1 = 4. Giải 1. Nhận xét: y = 0 không phải là nghiệm của hệ pt.  x2 + 1  y + y+x=4 x2 + 1  HPT ⇔  2 Đặt u = , v = y+ x−2 y  x + 1  ( y + x − 2 ) = 1  y  . u + v = 2 u = 1  x 2 + 1 = y HPT trở thành  ⇒ ⇔ . uv = 1 v = 1 x + y = 3. Giải hệ pt trên ta được các nghiệm của hệ pt đã cho là: (1;2 ) , ( −2;5 ) ( x − y )2 + x 2 y 2 = 1 2. HPT ⇔  Đặt u = x − y, v = xy x − y + x − y xy + xy = 1 ( ) ( )  ( u + v )2 − 2uv = 1 u 2 + v 2 = 1 HPT trở thành:  ⇔ u + uv + v = 1  ( u + v ) + uv = 1 u = 0 Giải hệ pt trên ta được  hoặc v = 1 . u = 1  v = 0. u = 0 ta được các nghiệm của hệ pt là ( −1; − 1) , (1;1) TH1:  v = 1. NguyÔn V¨n Xu©n. 26. (A-06).

<span class='text_page_counter'>(27)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. u = 1 ta được các nghiệm của hệ pt là ( 0; − 1) , (1;0 ) TH2:  v = 0 Vậy hệ pt đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: ( −1; − 1) , (1;1) , (1;0 ) , ( 0; − 1). 3. ĐK: x ≥ −1, y ≥ −1, x. y ≥ 0. Đặt u = xy ≥ 0; (1) ⇒ x + y = 3 + u Bình phương hai vế (2) đi đến phương trình  x. y = 9 2 u 2 + u + 4 = 11 − u ⇒ u = 3 ⇒  x + y = 6 Giải ra ta được hệ pt có một nghiệm (x; y) là: (3; 3). Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 3  2 2 4 xy + 4 x + y + =7 ( ) 2  x + y ( )  1.  2 x + 1 = 3  x+ y. 5  2 3 2  x + y + x y + xy + xy = − 4 2.  ( A - 08)  x 4 + y 2 + xy(1 + 2x) = − 5  4. Giải 1. ĐK x + y ≠ 0 . 3 2 2  3 ( x + y ) + ( x − y ) + x + y 2 = 7 ( )  HPT ⇔  x + y + 1 + x − y = 3  x+ y. Đặt u = x + y +. 1 ; v = x − y, ( u ≥ 2 ) x+ y. 3u 2 + v 2 = 13 HPT Trở thành:  ( do u ≥ 2 ) u + v = 3 u = 2 Bằng phương pháp thế, giải hệ pt trên ta được  v = 1 1  =2 u = 2 x + y = 1 x = 1 x + y + x+ y Với  ⇔ ⇔ ⇔ v = 1 x − y = 1 y = 0 x − y = 1  NguyÔn V¨n Xu©n. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) là: (1; 0) 5 5  2  2 (x + y) + xy(x + y) + xy = − u + u.v + v = −   4 4 2. HPT ⇔  ⇔ (x 2 + y) 2 + xy = − 5 u 2 + v = − 5   4 4. a = x 2 + y với   b = xy. 1  a = − a = 0   2 Bằng phương pháp thế, giải hệ pt trên ta được  5 hoặc   b = − 4 b = − 3  4.  5 x 2 + y = 0  y = −x 2 a = 0 x = 3 4     TH1:  5⇔ 5 ⇔ 3 5 ⇔  b = − 4  xy = − x =  y = − 3 25  4  4  16 1 1   2 a = − x + y = − x = 1    2 2 TH2:  ⇔ ⇔ 3 3 3 b = −  xy = −  y = 2  4 4  . 5. x = 1 x = 3  4  Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm:  3 và   y = − 3 25  y = 2  . Ví dụ 3. Giải hệ PT:. 16. 3 ( x 2 + y 2 ) + 4 xy = 3  2 2  x − 2 y − 4 x − 2 y = −4. Giải ( 2 x + y ) 2 − ( x 2 − 2 y 2 ) = 3  Hệ PT ⇔  2 2 ( x − 2 y ) − 2 ( 2 x + y ) = −4. Đặt u = 2 x + y; v = x 2 − 2 y 2 u 2 − v = 3 u = 1 ⇔ Hệ PT trên rở thành  v = −2 v − 2u = −4. u = 1  v = −2 NguyÔn V¨n Xu©n. 8  x =  2 x + y = 1 x = 0 7 ho ặ c ⇔ 2 ⇔   2 y =1  x − 2 y = −2 y = 9  7 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Vậy hệ pt có 2 nghiệm: Ví dụ 4. Giải hệ PT. ( x; y ) = ( 0;1) ; ( x; y ) = . 8 9 ;−  7 7 .  x 4 + y 2 + xy ( x 2 − 2 x − y ) = −2   2 2 2 ( x − y ) − xy ( 2 x − 2 y + 1) = 5. Giải ( x 2 − y ) 2 + xy ( x 2 − y ) = −2 Hệ PT ⇔  2 2 2 ( x − y ) − xy ( 2 x − 2 y + 1) = 5. Đặt u = x 2 − y; v = xy 2 u = −2 x = 1 u + uv = −2 Ta được hệ PT  ⇔ ⇔ v = 3 y = 3  2u − v ( 2u + 1) = 5. Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 3)  3x + y + 2 x + y = 3. Ví dụ 5. Giải hệ PT .  2 x + y + x − y = 9. Giải. ĐK: 3 x + y ≥ 0, 2 x + y ≥ 0 . u = 3 x + y ≥ 0 Đặt  ⇒ x − y = 3u 2 − 4v 2 v = 2 x + y ≥ 0. u + v = 3. Hệ pt có dạng . 2 2 3u − 4v + v = 9. u = 2 3 x + y = 2 x = 3 ⇔ ⇔ v = 1 2 x + y = 1  y = −5. Bằng phương pháp thế, giải hệ pt trên ta được .  x + y + x 2 − y 2 = 12 Ví dụ 6. Giải hệ PT   y x 2 − y 2 = 12. Giải. ĐK: x 2 − y 2 ≥ 0 .. NguyÔn V¨n Xu©n. 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. u = x 2 − y 2 ; u ≥ 0 Đặt  v = x + y. 1 u2  Ta thấy x = − y không thỏa hệ nên xét x ≠ − y , khi đó ta có y =  v −  . v  2 u + v = 12 u = 4 u = 3  Hệ phương trình đã cho có dạng:  u  u 2  hoặc  ⇔ v = 8 v = 9  2  v − v  = 12    u = 4 x = 5  x 2 − y 2 = 4 TH1:  ⇔ ⇔ v = 8 y = 3  x + y = 8 u = 3 x = 5  x 2 − y 2 = 3 ⇔ ⇔ v = 9 y = 4  x + y = 9. TH1: . Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm (x; y) là: (5; 3) và (5; 4)  x + 2 y + 2 4 x + y = 1. Ví dụ 7. Giải hệ PT .  46 − 16 y ( x + y ) − 6 y + 4 4 x + y = 8 − 4 y. Giải. ĐK: 4 x + y ≥ 0 .  x + 2 y + 2 4 x + y = 1. Hệ pt . (1).  46 − 16 y ( x + y ) − 6 y = 6 + 2 x (2)  x ≥ −3 Ta có (2) ⇔  46 − 16 y ( x + y ) − 6 y = ( 6 + 2 x. ). 2.  x ≥ −3 ⇔ 2  4( x + 2 y ) + 6(4 x + y ) = 10 (3). a = x + 2 y Đặt  b = 4 x + 2 y ≥ 0 3  x =  a + 2b = 4 a = −1  x + 2 y = −1  7 Từ (2) và (3) ta có hệ pt:  2 ⇔ ⇔ ⇔  2 4 x + 2 y = 1 4a + 6b = 10 b = 1 y = − 5  7 3 5 Vậy hệ pt đã cho có một nghiệm  ; −  7 7. NguyÔn V¨n Xu©n. 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Bài tập tương tự Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: ( x − 1)( y − 1)( x + y − 2 ) = 6 1.  2 2  x + y − 2 x − 2 y − 3 = 0. 9 y 3 ( 3x3 − 1) = −125 2.  2 2 45 x y + 75 x = 6 y. x − y = 9 3.  2 2.  x2 y2 1 + =  2 2 4.  ( y + 1) ( x + 1) 2  3 xy = x + y + 1. 1  2  xy + x + y + y = 4 5.   y2 + x + 1 = 3  y. 2x2 + 5xy + 2 y2 + x + y + 1 = 0 6.  2 2. 3. 3.  x + 2 y = x − 4 y.  x+ y + 3 x+ y+7 =3 7. . 2 2  x + xy + 4 + y + xy + 4 = 3.  x + y + 4xy + 12x + 12 y + 10 = 0.  xy + x − 1 = 3 y. 8. . 2 2 x y − x = 2 y. 1 + xy + xy = x  9.  1 1 +y y= +3 y  x x x. Phương pháp 3. Sử dụng biểu thức liên hợp Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình: y  2  x − ( x + y) = 3 x − y 2.  2 x 2 + y 2 − 3 2 x − 1 = 11 )  (.  x + y + x ( x + y ) = 2y + 2y 2 (1) 1.  2  x + 3y − 3 − 1 = 3x − 2 − y (2). Giải 2 1. ĐK: y ≥ 0; x ≥ . 3 Từ pt (1) sử dụng biểu thức liên hợp ta được x− y + ( x − y )( x + 2 y ) = 0 ⇒ x = y . x + y + 2y. Thế vào PT (2) và sử dụng bt liên hợp ta được nghiệm của hệ pt là: (1; 1).. NguyÔn V¨n Xu©n. 31. (1) ( 2).

<span class='text_page_counter'>(32)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. 1 2 Nhận xét: dễ thấy nếu y ≤ 0 thì VT(1) > 0 > VP(1). Khi đó hệ pt vô nghiệm.. 2. ĐK x ≠ y, x ≥. Vậy y > 0 Ta có (1) ⇔ x 2 − ( x + y ). 3 x − y = y ⇔ x2 − ( x + y ). (. 3. ). ) (. x2 − ( x + y ) − y = 0. x − y −1 +.    x2 − x + y − y 2  ( ) x − y −1  + =0 ⇔ x − ( x + y)  3 x − y 2 + 3 x − y + 1   x2 − ( x + y ) + y  )   (     x2 − ( x + y ) x+ y  =0 ⇔ ( x − y − 1) + 2  3 x − y 2 + 3 x − y +1 x − ( x + y) + y  )  (  2. ⇒ x − y − 1 = 0 ⇔ y = x − 1. Thay vào (2) ta được. 4 x 2 − 4 x + 2 − 3 2 x − 1 = 11 ⇔ ( 2 x − 1) − 3 2 x − 1 − 10 = 0 2. Đặt t = 2 x − 1 ≥ 0 ⇒ t 4 − 3t − 10 = 0 ⇒ ( t − 2 ) ( t 3 + 2t 2 + 41 + 5 ) = 0 ⇒ t = 2 Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất. ( x; y ) = . 3  2. 5 ; 2. Bài tập tương tự Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:  x 2 + 21 = y − 1 + y 2 1. .  x 2 + 91 = y − 2 + y 2 2. .  x + y + 1 + 1 = 4 ( x + y )2 + 3 ( x + y ) 3.  3 2 x − y =  2. 2 2 2 2  x + 2012 − y + x = y + 2012 − x + y 4.   x +13 + y2 = 13.  y 2 + 21 = x − 1 + x 2.  y 2 + 91 = x − 2 + x 2.  x + 1 + x + 3 + x + 5 = y − 1 + y − 3 + y − 5 5.  2 2  x + y + x + y = 78. NguyÔn V¨n Xu©n. 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Phương pháp 4. Lượng giác hóa Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:. 2  x + 1 − y = 1   y + 1 − x 2 = 1. Giải Điều kiện: x , y ≤ 1  x = sin α π π Đặt:  với − ≤ α , β ≤ . 2 2  y = sin β Biến đổi hệ phương trình về dạng:. sin α + cos β = 1 (1) sin α + cos β = 1 sin α + cos β = 1  ⇒ ⇔  α + β = 0  sin β + cos α = 1 sin(α + β ) = 0   α + β = π. TH1: α + β = 0 ⇔ α = − β thay vào (1) ta được α = k 2π sin α + cos α = 1 ⇔  (k ∈ Z ) π α = + k 2π α Kết hợp ĐK ⇒  α .  2 = 0 ⇒ β = 0 ⇒ x = y = 0. π π = ⇒β =− ( L) 2 2. TH2: Tương tự ta được x = y = 1. Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm (x; y) là: (0; 0), (1; 1). Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:.  (2 − x )(2 + y ) = 8  2 2  x 4 − y + y 4 − x = 4. Giải Điều kiện: x , y ≤ 2  x = 2 sin α π π Đặt:  với − ≤ α , β ≤ . 2 2  y = 2 sin β Biến đổi hệ phương trình về dạng: (1 − sin α ).(1 + cos β ) = 2 (1 − sin α ).(1 + cos β ) = 2 (1) ⇔  (2) sin(α + β ) = 1 sin(α + β ) = 0 π Từ (2) ta có α + β = , thế vào (1) ta được pt: (1 − sin α ).(1 + cos α ) = 2 . 2. NguyÔn V¨n Xu©n. 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Giải pt trên ta được nghiệm α = 0 ⇒ β =. π. ⇒ x = 0, y = 2. 2 Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất là: (0; 2)..  x 3 − 3 x = y (1)  3  y − 3 y = z (2)  z 3 − 3 z = x (3) . Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:. ( HSG Thái Bình. 2009 - 2010). Giải Thay (1) vào (2) có : ( x 3 − 3 x)3 − 3( x 3 − 3 x) = z (4). Thế (4) vào (3) ta được : 3. ( x 3 − 3 x )3 − 3( x 3 − 3 x)  − 3 ( x 3 − 3 x )3 − 3( x 3 − 3 x )  = x. (*). Xét x ∈ [ −2; 2] . Đặt x = 2cos u , u ∈ [0;π ] Từ (1) ⇒ y = 8cos3 u − 6cos u = 2cos3u. Từ (2) ⇒ z = 8cos3 3u − 6cos3u = 2cos9u. Từ (1) ⇒ x = 8cos3 9u − 6cos9u = 2cos 27u.. π  u = k 13 ( k ∈ Z ) Vậy ta có cos27u = cos u ⇔  u = l π (l ∈ Z )  14 kπ   lπ  , k = 0;12  ∪  , l = 1;14   13  14 . Vì u ∈ [0;π ] ⇒ u ∈ . Từ đó PT (*) có 27 nghiệm phân biệt trên đoạn [ −2;2] là. x = 2 cos. kπ lπ với k = 0;12 và x = 2cos với l = 1;14 13 14. Mặt khác, PT (*) là PT bậc 27 nên có tối đa 27 nghiệm . Từ đó trên R , PT(*) có 27 nghiệm phân biệt x = 2cos. kπ lπ với k = 0;12 và x = 2cos với l = 1;14 13 14. Thay các giá trị này của x vào (1) và (2) ta đi đến kết luận :. NguyÔn V¨n Xu©n. 34.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Hệ phương trình đã cho có các nghiệm là :. 9 kπ   x = 2cos 13  kπ   y = 2cos 13  3kπ   z = 2cos 13 . và. 9lπ   x = 2 cos 14  lπ   y = 2 cos 14  3 lπ   z = 2 cos 14 . với k = 0;12 và l = 1;14. Phương pháp 5. Sử dụng tích vô hướng Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:.  x y − 1 + y x − 1 = 2 x + y − 2  2 2  x + y = 4. Giải ĐK: x , y ≥ 1 →. →. →. Xét u = ( x; y ), v = ( y − 1; x − 1) ⇒ u =. →. x 2 + y 2 = 2, v =. → →. →. →. x+ y−2 →. →. → →. Ta có u . v = x y − 1 + y x − 1 = 2 x + y − 2 , u . v = 2 x + y − 2 ⇒ u . v = u . v → → → →  y − 1 = kx ⇒ cos( u , v ) = 1 ⇒ u = k . v (k > 0) ⇒  ⇒ y y −1 = x x −1  x − 1 = ky. Giải hệ pt trên ta được một nghiệm duy nhất x = y = 2.. Phương pháp 6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số +) Để giải một hệ phương trình bằng phương pháp hàm số ta sử dụng kiến thức về tính đơn điệu của hàm số sau: Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập D và f(x) luân đồng biến ( nghịch biến ) trên D. Khi đó phương trình f (u ) = f (v) (u , v ∈ D ) ⇔ u = v . +) Điểm quan trọng của PP này là ta phải biến đổi một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình để đưa một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) với hàm số f liên tục, đơn điệu trên tập D. Từ đó suy ra u = v. Ta tạm chia các dạng sử dụng phương pháp hàm số thành hai dạng sau:. Loại 1. Trong hệ có chứa môt phương trình đưa được về dạng f ( u ) = f ( v ) .. NguyÔn V¨n Xu©n. 35.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:.  x3 − 5 x = y 3 − 5 y  8 4  x + y = 1. (1) ( 2). Giải Từ (2) ta có x8 ≤ 1, y 4 ≤ 1 ⇔ x ≤ 1, y ≤ 1 . Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 5t , t ∈ [ −1;1] : f ' ( t ) = 3t 2 − 5 < 0, ∀t ∈ [ −1;1] . Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên [ −1;1] PT (1) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇒ x = y Thay vào PT (2) ta được x8 + x 4 − 1 = 0 ⇒ y = x = ± 4 Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm y = x = ± 4. −1 + 5 2. −1 + 5 2. Nhận xét: Hàm số f(t) được gọi là hàm đặc trưng của phương trình f(x) = f(y). +) Hàm đặc trưng có thể không đơn điệu trên R nhưng có thể đơn điệu trên một tập D nào đó. Do vậy khi biến đổi pt về dạng f(u) = f(v) ta cần chú ý tìm ĐK của u và v để đảm bảo hàm đặc trưng đơn điệu trên tập ta đang xét. +) Trong trường hợp phương trình ở dạng phức tạp, khó tìm ra hàm đặc trưng, ta có thể chú ý vào một vế có dạng đơn giản hơn và xem vế đó là f(u). Công việc tiếp theo ta sẽ biế đổi vế còn lại về dạng f(v).. Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:.  x3 + 3x = 2 − y (5 − y )  2 2  x + y = 8. Giải. ĐK: y ≤ 2 Ta có (1) ⇔ x3 + 3 x = 2 − y (3 + 2 − y ). ⇔ x3 + 3x = (2 − y)3 + 3 2 − y ⇔ f ( x) = f ( 2 − y ) , trong đó f ( t ) = t 3 + 3t .. Xét hàm số f ( t ) = t 3 + 3t : f ' ( t ) = 3t 2 + 3t > 0, ∀t ∈ R . NguyÔn V¨n Xu©n. 36. (1) ( 2).

<span class='text_page_counter'>(37)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R. Khi đó phương trình f ( x ) = f. (. ). 2 − y ⇔ x = 2 − y ⇔ y = 2 − x2. Thay vào PT (2) ta được x 2 + (2 − x 2 ) 2 = 8 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2 ⇒ y = −2 . Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm (x; y) là: (-2; -2), (2; -2). (4 x 2 + 1) x + ( y − 3). 5 − 2 y  2 2  4 x + y + 2 3 − 4 x = 7. Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau:. (1) ( 2). ( A – 2010). Giải. 3 5 ĐK: x ≤ , y ≤ 4 4 Ta có (1) ⇔ 8 x3 + 2 x = (6 − 2 y ). 5 − 2 y ⇔ 8 x3 + 2 x = (1 + 5 − 2 y ). 5 − 2 y ⇔ (2 x)3 + 2 x =. (5 − 2 y ). 3. + 5 − 2y. ⇔ f (2 x) = f ( 2 − y ) , trong đó f ( t ) = t 3 + 3t .. Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t : f ' ( t ) = 3t 2 + t > 0, ∀t ∈ R . Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R. Khi đó phương trình. f ( 2x ) = f. (. 5 − 4 x2 5 − 2 y ⇔ 2x = 5 − 2 y ( x ≥ 0) ⇔ y = 2. ). 2.  5 − 4x2  Thay vào PT (2) ta được 4 x +   + 2 3 − 4x = 7 .  2  2. Dễ thấy pt trên không có nghiệm x = 0 và x =. 3 4. 2.  5 − 4 x2   3 Bằng cách xét hàm số g ( x) = 4 x +  + 2 3 − 4 x = 7, x ∈   0;  ta  4  2  2. chứng minh được phương trình trên có nghiệm duy nhất x = 1 Vậy hệ pt đã cho có 1 nghiệm (x; y) là: ( ;2) 2 NguyÔn V¨n Xu©n. 37. 1 ⇒ y=2 2.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”.  x 3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9 y  Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:  2 2 ( A – 2012 ) 1 x + y − x + y =  2. Giải ( x − 1)3 − 12( x − 1) = ( y + 1)3 − 12( y + 1) (1)  Hệ pt ⇔  1 2 1 2 (2) ( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 1. Từ (2) ta có −1 ≤ x −. 1 1 1 3 3 1 ≤ 1, − 1 ≤ y + ≤ 1 ⇔ − ≤ x ≤ , − ≤ y ≤ . 2 2 2 2 2 2  3 3.  3 3. Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 12t , t ∈  − ;  : f ' ( t ) = 3(t 2 − 4) < 0, ∀t ∈  − ;  .  2 2  2 2  3 3. Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên  − ;   2 2 PT (1) ⇔ f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇔ x − 1 = y + 1 ⇔ x = y + 2 (3) 1  y = − ⇒x=  2 Thế (3) vào (2) ta được  y = − 3 ⇒ x =  2. 3 2 1 2. 3. 1 1. 3. Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm (x; y) là:  ; −  ,  ; −  2 2 2 2  x3 ( 4 y 2 + 1) + 2 ( x 2 + 1) x = 6   2 2 2 x y 2 + 2 4y +1 = x + x +1 . Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau:. ). (. Giải. Điều kiện x ≥ 0 Ta thấy x = 0 không thỏa mãn (1).. ). (. 1 x. Với x > 0 ta có: PT (2) ⇔ 2 y 1 + 4 y 2 + 1 = 1 + 1  . (.  1 +1 2 x . Ta thấy PT (*) có dạng f ( 2 y ) = f   , x. f (t ) = t 1 + t 2 + 1. NguyÔn V¨n Xu©n. 38. ). (*). (1) ( 2).

<span class='text_page_counter'>(39)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Vì f ' ( t ) = 1 +. 2t 2 + 1 t2 +1. Do đó PT (*) ⇔ 2 y =. > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f(t) đồng biến trên R.. 1 , thay vào PT (1) ta được x. x 3 + x + 2 ( x 2 + 1) x − 6 = 0. (**). Xét hàm số g ( x ) = x3 + x + 2 ( x 2 + 1) x − 6 trên ( 0;+∞ ). 5x2 + 1 Ta có: g ' ( x ) = 3 x + 1 + > 0, ∀x > 0 x 2. ⇒ hàm số g(x) đồng biến trên ( 0;+∞ ). Mặt khác, g(1) = 0. Do đó PT (**) có nghiệm duy nhất x = 1 ⇒ y =. 1 . 2.  1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1;   2. Ví dụ 6. Giải hệ phương trình sau:.  y 6 + y 4 = x3 + xy 2  2  3x + 1 + y + 3 = 4. (1) ( 2). ( HSG – Quảng Bình 2011 – 2012 ) Giải 1 3 Ta thấy y = 0 không thỏa mãn hệ pt.. Điều kiện x ≥ −. 3.  x  x x Với y ≠ 0 ta có: PT (1) ⇔   +   = y 3 + y ⇔ f ( ) = f ( y ) , y  y  y. trong đó f ( t ) = t 3 + t. Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t : f ' ( t ) = 3t 2 + t > 0, ∀t ∈ R . Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R..  x x Khi đó phương trình f   = f ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y 2 y  y Thay vào PT (2) ta được. 3x + 1 + x + 3 = 4. Giải phương trình trên ta được x = 1 ⇒ y = ±1 Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm (x; y) là: (1; −1), (1;1) . NguyÔn V¨n Xu©n. 39.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. ( x + x 2 + 1)( y + y 2 + 1) = 1   x + 2 + y + 2 = 6. Ví dụ 7. Giải hệ phương trình sau:. (1) ( 2). Giải Điều kiện x, y ≥ −2 Ta có (1) ⇔ ( x − x 2 + 1)( y − y 2 + 1) = 1. ( 3). ( x + x 2 + 1)( y + y 2 + 1) = 1  ( x − x 2 + 1)( y − y 2 + 1) = 1. Từ (1) và (3) ta có.  x 2 + 1. y 2 + 1 + x y 2 + 1 + y x 2 + 1 + xy = 1 ⇔  x 2 + 1. y 2 + 1 − x y 2 + 1 − y x 2 + 1 + xy = 1 −y x ⇒ x y2 + 1 + y x2 + 1 ⇔ = (4) x2 + 1 y2 + 1. Xét hàm số f ( t ) =. t t +1 2. : f '( t ) =. 1 (t + 1)3 2. > 0 ∀x ∈ R. Khi đó PT (4) ⇔ f ( x ) = f (− y ) ⇔ x = − y. Với y = − x ta có PT :. x = 3 ⇒ y = − 3 x+2+ y+2 = 6 ⇔   x = − 3 ⇒ y = 3. Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm (x; y) là: ( 3; − 3), (− 3; 3) .. Loại 2. Trong một số dạng hệ phương trình đối xứng loại hai, thay bằng việc thực hiện các bước biến đổi phức tạp, ta có thể sử dụng phương pháp hàm số làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Đặc biệt phương pháp hàm số áp dụng rất hiệu quả cho hệ phương trình hoán vị vòng quanh.  x 2 + 21 = y − 1 + y 2 (1)   2  y + 21 = x − 1 + x 2 (2). Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:. Giải. ĐK: x, y ≥ 1 Nhận xét: Dễ thấy hệ pt không có nghiệm x = 1 hoặc y = 1 NguyÔn V¨n Xu©n. 40.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Lấy (1) trừ (2) ta được x 2 + 21 + x − 1 + x 2 =. y 2 + 21 +. y − 1 + y 2 ⇔ f ( x) = f ( y ) trong đó. f ( t ) = t 2 + 21 + t − 1 + t 2. Xét f ( t ) = t 2 + 21 + t − 1 + t 2 , t > 1 f '(t ) =. t t + 21 2. +. 1 + 2t > 0, ∀t > 1 ⇒ f (t ) đồng biến trên (1; +∞) . 2 t −1. Khi đó PT f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y . Thế vào hệ pt ta được y 2 − x 2 + 21 + y − 1 = 0 Bằng phương pháp hàm số ta thấy pt trên có nghiệm duy nhất x = 2 ⇒ y = 2 Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 2.  x 2 + 5 = y 2 − y − 1 (1)   2 2  y + 5 = z − z − 1 (2)  2 2  z + 5 = x − x − 1 (3). Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:. ( Chọn đội tuyển HSG TP HN năm 2009 – 2010 ) Giải. ĐK: x, y, z ≥ 1 Xét pt(1): VT ≥ 6 ⇒ VP ≥ 6 ⇒ y 2 ≥ 6 ⇒ y >. 3 . Tương tự ta có 2. 3 x, y , z > . 2 3 2. Xét các hàm số: f (t ) = t 2 + 5, g (t ) = t 2 − t − 1, t > . f '(t ) =. t t2 + 5. > 0, ∀t >. 3 . 2. g ' ( t ) = 2t −. 1 3 > 0, ∀t > 2 2 t −1. 3 ⇒ f (t ) và g (t ) là các hàm số đồng biến trên khoảng ( ; +∞) . 2  f ( x) = g ( y )  HPT ⇔  f ( y ) = g ( z )  f ( z ) = g ( x) . NguyÔn V¨n Xu©n. 41.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z . Ta có y ≥ z ⇒ f ( y ) ≥ f ( z ) ⇒ g ( z ) ≥ g ( x) ⇒ z ≥ x ⇒ x ≥ y ≥ z ≥ x ⇒ x = y = z. Với x = y = z ta có pt:. x2 + 5 = x2 − x − 1. Bằng phương pháp hàm số ta thấy pt trên có nghiệm duy nhất x = 2 ⇒ y = z = 2 Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 2.. Bài tập tương tự Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:. (. ) (. ). ( 2 x + 1) 2 + 4 x 2 + 4 x + 4 + 3 y 2 + 9 y 2 + 3 = 0  1.  4 x 3 − 3 y + 3 1 − 3 y = −5.  x 2 + 91 = y − 2 + y 2 (1)  2.   y 2 + 91 = x − 2 + x 2 (2). (17 − 3 x ) 5 − x + ( 3 y − 14 ) 4 − y = 0 3.  2. 2 2 x + y + 5 + 3 3x + 2 y + 11 = x + 6 x + 13.  3x + 2 y + 5 x + 4 y = 5 4. . 12 5 x + 4 y + x − 2 y = 35. 6 x 2 + y 2 − 5 xy − 7 x + 3 y + 2 = 0 5.  3 3  x + x − 1 = y + y − 1. ( 23 − 3x ) 7 − x + ( 3 y − 20 ) 6 − y = 0 6.  2.  2 x + y + 2 − −3x + 2 y + 8 + 3 x − 14 x − 8 = 0.  x3 − y 3 − 2 = 3x − 3 y 2 7.  2 2 2  x + 1 − x − 3 2 y − y + 2 = 0. 1 1   x −1 − y −1 = x −1 − y −1 8.   x 2 + y = 30 .  x11 +xy10 = y 22 + y12 9.  2  4x + 5 + y + 3 = 5  x 6 − y 3 + x 2 − 9 y 2 − 30 = 28 y 10.   2 x + 3 + x = y NguyÔn V¨n Xu©n. 42.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Phương pháp 7. Sử dụng bất đẳng thức, đánh giá 3 3 3 2 2  x y + xy + y = 4 x y (1)  2 2 2 2  x y + x + y = 4 xy − 1 (2). Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:. Giải x = y x = y =1 Xét pt(2): (2) ⇔ ( xy − 1) 2 + ( x − y )2 = 0 ⇔  ⇔  xy = 1  x = y = −1 TH1: x = y = 1 , thay vào pt (1) ta thấy thỏa mãn.. TH2: x = y = −1 , thay vào pt (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất x = y = 1 . (1)  x + y = 8  2 2  x + 9 + y + 9 = 10 (2). Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:. Giải Xét pt(2): Áp dụng BĐT Hình học ta có x 2 + 9 + y 2 + 9 ≥ ( x + y ) 2 + 62 = 10 ⇒ VT ≥ VP.. Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = 4 Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất x = y = 4 . 3 2 (1)  x + y = 2  2 2  x + xy + y − y = 0 (2). Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:. Giải Giả sử hệ có nghiệm. Do đó phương trình (2) có nghiệm. Coi x là ẩn, y là tham số ta có: ∆1 = ( x − 1)2 − 4 x 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤. 1 3. Coi y là ẩn, x là tham số ta có: ∆ 2 = y 2 − 4( y 2 − y ) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤. 4 3. Khi đó x 3 + y 2 ≤. 1 16 49 + = < 2. 27 9 27. Vậy phương trình thứ nhất vô nghiệm. Mâu thuẫn. Vậy hệ pt đã cho vô nghiệm. NguyÔn V¨n Xu©n. 43.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. x + y + z = 1  4 4 4  x + x + x = xyz. Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau:. (1) (2). Giải Ta có:. x4 + y 4 + z 4 =. x4 + y 4 y 4 + z 4 z 4 + x4 + + ≥ 2 2 2. x2 y 2 + y 2 z 2 y 2 z 2 + z 2 x2 z 2 x2 + x2 y 2 + + ≥ 2 2 2 ≥ xy 2 z + xyz 2 + x 2 yz = xyz ( x + y + z ) ≥ x2 y 2 + y2 z 2 + z 2 x2 =. mà x + y + z = 1 ⇒ x 4 + y 4 + z 4 ≥ xyz .. Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = z =. 1 3 1 3. Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất x = y = z = .. NguyÔn V¨n Xu©n. 44.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Bài tập tổng hợp Giải các hệ phương trình sau:  4x + y + 2x + y = 4 1. .  x 2 y + 2 x 2 + 3 y = 15 2.  4 2 2.  x3 + 3x 2 y = 4 3.  3 2  y + 3 xy = 4. ( x − y ) x 2 − y 2 = 7 4.  2 2 ( x + y ) x + y = 175.  x3 y 3 + 1 = 2 y 3 5.  x 2 x  y + y2 = 2 .  x2 y + x2 + 2 y − 22 = 0 6.  4 2 2  x − 4x + y − 6 y + 9 = 0. 16 x 2 y 2 − 17 y 2 = −1 7.  4 xy + 2 x − 7 y = −1. 2  x + xy − 3 x + y = 0 8.  4 2 2 2  x + 3 x y − 5 x + y = 0.  2 x + y + x + y = −2.  x y + x + 2 y − 22 = 0 9.  4 2 2 2. 2.  x − 4x + y − 6 y + 9 = 0.  x + y − 2 x − 4 y = 5. ( (. ) ).  x 2 y + x 2 + 2 y − 22 = 0. 10. . 4 2 2  x − 4 x + y − 6 y + 9 = 0.  x2 − y 2 − 6 = 0  4 11.  2 x + y − 1) − −3= 0 2 ( x y − ( ) . x + y = 2 12.  2 2.  x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y 13.  2 2  y ( x + y ) = 2 x + 7 y + 2.   2 x − 1 − y 1 + 2 2 x − 1 = −8 14.   y 2 + y 2 x − 1 + 2 x = 13.  x+ y + x− y = 2 y 15.   x + 5 y = 3. 3   x − y + 2 = 2 16.   y + 2 ( x − 2) x + 2 = − 7  4.  3x + 1 − x 2 + y + x − y = 2 17.  3 2  x + 2 x + ( y − 1) x + y = 2. 3  x −1 − y + 4 = 8 − x 18.  4 ( x −1) − 4 = y. 1 6y  x + y = x 19.  2 2 3  3 3  x y − 4 x y + 2 xy + 5 y = 1.  y 2 + ( y − 3) x − 4 y = −3 20.  3  x − 2 + 2 − y = 3.  x 2 + y 2 = 17 21.  x y 5  y+ x =2 .  x3  − xy = 216 22.  y 3 y   xy − x = 24. NguyÔn V¨n Xu©n. 4x + y = 5( 2x − y) xy. (. 45. ).

<span class='text_page_counter'>(46)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”  x3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0 23.  2 2 2  x + 1 − x − 3 2 y − y = 0  1  x + + x + y −3 = 3 y 25.  2 x + y + 1 = 8  y    27.    . 1 2 1 − = x y y + 2x.  x(x + y + 1) = 10   y(x + y + 1) = 20. 24..  20 y = x+ y + x− y   x 26.   16 x = x + y − x − y  5y .  x2 + y 2 = 2 28. .  x + y + 2 xy − xy ( x + y ) = 2. 1 2 + =3 x y. x2 − xy + y2 = 3( x − y ) 29.  2 3 2 x + xy + y = 7 ( x − y ). 30. .  x 2 − y + y 2 − x = 2 31.  2 2  x + y − x − y = 2.  x 4 − x 3 y + x 2 y 2 = 1 32.  3 2  x y − x + xy = 1. 1 1  x − x = y − y 33.  2y = x 3 + 1 .  x 4 − x 3 y + x 2 y 2 = 1 34.  3 2  x y − x + xy = 1.  x( x + 2)(2 x + y ) = 9 35.  2 x + 4x + y = 6. 1 + x 3 y 3 = 19 x 3 36.   y + xy 2 = −6 x 2. 1  ( x + y )(1 + yx ) = 5 37.  ( x 2 + y 2 )(1 + 1 ) = 49  y2 x2.  2 x 2 + 4 xy + 1 = −5   x + 2y 38.   x = −3  x + 2 y.  x y 7 + = +1  x xy 39.  y   x xy + y xy = 78. 40. . 2 xy  x + = x2 + y  3 2 x − 2x + 9  41.  2 xy y + = y2 + x 3  y2 − 2 y + 9. (2 x + y ) 2 − 5(4 x 2 − y 2 ) + (2 x − y ) 2 = 0  42.  1 2 x + y + 2 x − y = 3 . x ( x + y) = 6 3 3  x + y + 18 y = 27.  x + 1 + x + 3 + x + 5 = y −1 + y − 3 + y − 5 2 2 x + y + x + y = 84. 3x + 4 y + 2 x + y + x + 3 y = 8. 43. . 3 2 x + y − 2 x + 3 y = −1. NguyÔn V¨n Xu©n. 46.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. C - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I. Kết luận: Qua thực tiễn giảng dạy chương trình toán lớp 10 và quá trình đi dự giờ, đánh giá rút kinh nghiệm giờ dạy từ các đồng nghiệp trong trường tôi thấy đã đem lại một số kết quả sau: - Trong giờ học, HS đã phần nào đã biết nhận dạng và nắm được các phương pháp giải một số dạng hệ phương trình đại số, HS đã tự làm được các bài tập trong SKG và một số bài tập nâng cao mà GV giao cho. - Gây được hứng thú học tập cho HS, đặc biệt là đối với những HS nhận thức còn chậm, thu hút và sử dụng tối đa tính tích cực, chủ động sáng tạo của các em HS trong các giờ học.. II. Kiến nghị và đễ xuất: Để nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán nói chung và bộ môn Đại số nói riêng, nhất là đối với HS trường THPT Hai Bà Trưng - Thạch Thất, tôi xin đề xuất một số ý kiến như sau: 1. Đối với nhà trường: - Tổ chức các buổi hội thảo chuyên đề về nội dung, phương pháp mới để phục vụ cho công tác giảng dạy của từng bộ môn, chổ chức các buổi hoạt động ngoại khoá về phương pháp học tập mới, phương pháp tự học, từ đó giúp HS chủ động, sáng tạo hơn trong học tập. 2. Đối với giáo viên: Cần thường xuyên nghiên cứu và tham gia các lớp bồi dưỡng về chuyên môn, nghiệp vụ để có những phương pháp phù hợp hơn với từng đối tượng HS. - Tích cực tìm hiểu mức độ tiếp thu của các đối tượng HS, từ đó có những điều chỉnh phù hợp trong công tác giảng dạy. 3. Đối với học sinh: - Cần tích cực học tập, không ngại khó và phải luôn biết phấn đấu hơn nữa. - Ngoài giờ học trên lớp các em có thể tổ chức các buổi học nhóm. - Cần phải tìm hiểu phương pháp tự học, từ đó nhất thiết phải hình thành thói quen tự học, tính chủ động trong học tập. - Cần phải tích cực làm và tham khảo các dạng bài tập khác nhau, tìm các hướng giải khác nhau.. Nguyễn Văn Xuân. NguyÔn V¨n Xu©n. 47.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. TÀI LIỆU THAM KHẢO. Dùng ẩn phụ để giải toán – Nguyễn Thái Hoè. Giải toán đại số sơ cấp – Trần Thành Minh ( chủ biên). Giải toán đại số – Trần Quang Nghĩa Đại số 10 – Trần Văn Hạo Căn thức và toán vô tỷ – Hoàng Kỳ Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực – Phan Ngọc Thảo. 7. Sách giáo viên Đại số 10 8. Bài tập nâng cao và các chuyên đề Đại số - Hình học 10 – Nguyễn Hữu Hà 9. PP gải toán đại số, vec tơ – Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, Lê Bích Ngọc 10. Hệ phương trình và phương trình chứa căn – Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng. 11. Một số phương pháp chọn lọc giải bài toán sơ cấp. 1. 2. 3. 4. 5. 6.. NguyÔn V¨n Xu©n. 48.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> S.K.K.N “ Phân loại và ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình đại số ”. Mục lục. Trang. A - Phần mở đầu. 1. I.. Lý do chọn đề tài. 1. II.. Mục đích, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu. 2. III. Giả thuyết khoa học. 2. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu. 3. V.. 3. Phương pháp nghiên cứu. VI. Cơ sở nghiên cứu. 3. VII. Kế hoạch, thời gian nghiên cứu. 4. B - Nội dung I.. Cơ sở lý luận của đề tài. 4 4. II. Thực trạng hiện nay. 5. III. Giải pháp. 5. I. HỆ PT GỒM MỘT PT BẬC NHẤT VÀ MỘT PT BẬC HAI. 6. I. HỆ PT ĐỐI XỨNG. 7. 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1. 8. 2. Hệ phương trình đối xứng loại 2. 12. III. HỆ PT ĐẲNG CẤP BẬC HAI. 15. IV. HỆ PT KHÔNG MẪU MỰC. 18. 1. Phương pháp thế. 18. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ. 26. 3. Sử dụng biểu thức liện hợp. 32. 4. Phương pháp lượng giác hóa. 33. 5. Phương pháp sử dụng tích vô hướng. 35. 6. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 38. 7. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, đánh giá. 42. C - Kiến nghị và đề xuất. 48. I. Kết luận. 48. II. Kiến nghị và đề xuất. 48. NguyÔn V¨n Xu©n. 49.

<span class='text_page_counter'>(50)</span>