BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI TOÁN CAO CẤP

1.Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm sau:
2
)1(tan
2
2
arctan
x
x
xey
++=
2.Tính giới hạn:
x
x
x






+∞→
arctan
2
lim
π
Bài làm
1.Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm sau:
2
)1(tan
2
2

arctan
x
x
xey
++=
Đặt
2
arctan
2
2
:
(tan 1)
x
x
u e
v x
=
= +
suy ra
y u v= +
Ta có
arctan
2
x
Lnu =

,
2
2
1 1 2

.
2 4
( ) 1
2
u
x
u x
= =
+
+
arctan
,
2
2
2
.
4
x
u e
x
=
+
arctan arctan
,, , ,
2 2
2 2
arctan arctan
2 2
2 2 2 2
arctan

2
2 2
2 2
( ) . .( )
4 4
4. 2 2
. . .
( 4) 4 4
4. 4
.
( 4)
x x
x x
x
u e e
x x
x
e e
x x x
x
e
x
= +
+ +
−
= +
+ + +
− +
=
+

Do đó:
2
2
2 2
, 2
2 2 ,
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
, 2
2 2
(tan 1)
ln .ln(tan 1)
.
2 .ln(tan 1) (tan 1)
(tan 1)
1
2.tan .. .
cos
2 .ln(tan 1)
(tan 1)
2 tan ..
2 .ln(tan 1)
(tan 1).cos

2 tan ..
(2 .ln(tan 1) ).(
(tan 1).cos
x
v x
v x x
v x
x x x
v x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
v x x
x x
= +
= +
= + + +
+
= + +
+
= + +
+
= + +
+
2

2
2 2
2
2
2 2 2
,, 2 2 , 2 2 , 2 2
2
2 2 , 2
2 2
tan 1)
(2 .ln(tan 1) 2 tan ).(tan 1)
(2 .ln(tan 1) 2 tan ) .(tan 1) (tan 1) ) .(2 .ln(tan 1) 2 tan )
2 2
(2ln(tan 1) (tan 1) 4 tan ).((tan 1) )
(tan 1) cos
(2 .l
x
x
x x
x
x
x x x x x
v x x x x x x x x x x
x x
x x x x x
x x
x
+
= + + +
= + + + + + + +

= + + + + + +
+
+
2
2 2 2 2 2
n(tan 1) 2 tan ).(2 .ln(tan 1) 2 .tan ).((tan 1) )
x
x x x x x x x x+ + + + +
,, ,, ,,
y u v
= +
2.Tính giới hạn:
x
x
x






+∞→
arctan
2
lim
π
Đặt
2
arctant x
π

=
.
tan
2
t
x
π
=
1
x
t
→ +∞
→
\
( )
tan
2
1
lim
t
t
I t
π
→
=
Đăt

( )
tan
2

tan .ln
2
ln tan .ln
2
t
t
t
u t
t
u t
u e
π
π
π
=
=
=
Vây
1
tan .ln lim tan .ln
2 2
1
lim
t
t t
t t
t
I e e
π π
→

→
= =
sin
2
2
cos cos
2 2
1
t
t
tsn
t t
π
π
π π
=
→
khi
1t
→
Vậy
1
.ln
lim
cos
2
t
t
t
I e

π
→
=
Theo quy rắc lopitan ta có
1
1
lim
2
.. ( sin )
2 2
t
t
t
I e e
π π
π
→
−
−
= =
Hết
Anh nghĩ chắc là làm vậy là đúng .em xem lại xem nhé.
Chúc em học tốt!!