Một số ứng dụng của định lý hahn banach trong giải tích lồi và lí thuyết tối ưu

Mục lục

Lời nói đầu

Trang
1

Ch-ơng 1. Định lý Hahn Banach.

2

Đ1. Một số kiến thức cơ sở.

2

Đ2. Định lý Hahn Banach.

8

Ch-ơng 2. ứng dụng của định lý Hahn Banach trong một số

10

vấn đề của giải tích lồi.
Đ1. Hàm lồi.

10

Đ2. Những định lý quan trọng của giải tích lồi.

15

Ch-ơng 3. Một số ứng dụng của định lý Hahn Banach trong lý

27

thuyết quy hoạch.
Đ1. Bài toán quy hoạch.

27

Đ2. Bài toán quy hoạch lồi .

28

Đ3. Bài toán quy hoạch tuyến tính .

32

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


mét sè ký hiƯu

Rn : Kh«ng gian thùc n - chiỊu

 x  : Chn cđa x
 a  : Giá trị tuyệt đối của a
x, y : Tích vô h-ớng của 2 vectơ x và y
p, q, y : Giá trị đ-ợc xác định bởi



yi 0

piyi +



yi 0

qiyi ,

trong ®ã p = (pi), q = (qi), y = (yi)
f’(x) = ( f x'1 , f x'2 ,..., f x'n ) : Vectơ đạo hàm riêng của hàm f(x), x 
Rn
a := b : G¸n b cho a (a nhận giá trị b).


Lời nói đầu

Định lý Hahn-Banch là một trong các định lý cơ bản của giải tích hàm,
nó có ứng dụng không chỉ trong giải tích, mà còn có nhiều ứng dụng trong
giải tích lồi, trong các vấn đề thuộc lĩnh vực tối -u. Giáo s- Hoàng Tuỵ đÃ
nhận xét: Một trong những ứng dụng quan trọng của định lý Hahn Banach là vào các vấn đề bất đẳng thức và từ đó vào lý thuyết biến phân và
các bài toán cực trị [6, tr.113]. Để có được những hiểu biết về vấn đề này,

chúng tôi đà chọn đề tài: Một số ứng dụng của định lý Hahn-Banach trong
giải tích lồi và lý thuyết tối ưu.
Mục đích của đề tài là nêu ra một số ứng dụng của định lý HahnBanach trong các lĩnh vực thuộc giải tích lồi và tối -u hoá.
Luận văn đ-ợc chia làm 3 ch-ơng.
Ch-ơng 1 trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết có liên quan trong
cách trình bày nội dung của luận văn.
Ch-ơng 2 trình bày các ứng dụng của định lý Hahn - Banach trong một
số vấn đề quan trọng của giải tích lồi.
Ch-ơng 3 đề cập tới các bài toán quy hoạch đ-ợc nghiên cứu d-ới góc
độ lý luận của định lý Hahn-Banach và các kết quả đ-ợc suy ra từ nó.
Luận văn đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại tr-ờng Đại học Vinh. Để
hoàn thành đ-ợc luận văn, tác giả đà nhận đ-ợc sự h-ớng dẫn nhiệt tình,
chu đáo của thầy giáo Tiến sĩ Trần Xuân Sinh và những ý kiến đóng góp
của các thầy giáo thuộc tổ Giải tích, Khoa Toán. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành đến thầy h-ớng dẫn và các thầy giáo trong tổ Giải tích.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa
Toán, khoa Sau đại học và tổ Toán thuộc tr-ờng THPT Trần Phú (Đức Thọ),
đà tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu tại tr-ờng.
Tác giả


Ch-ơng 1
Định lý Hahn - Banach
Đ1. Một số kiến thức cơ sở
1.1. Định nghĩa.
1.1.1. Một tập hợp X đ-ợc gọi là một không gian tuyến tính nếu ứng với
mỗi cặp phần tử x, y X, theo một quy tắc nào đó, ta đ-ợc một phần tử
thuộc X, ta gọi lµ tỉng cđa x vµ y, ký hiƯu lµ x + y; ứng với mỗi phần tử x
X và mỗi số thực , theo một quy tắc nào đó, ta đ-ợc một phần tử thuộc X,
gọi là tích của x với , ký hiệu là x. Đồng thời các quy tắc vừa nêu thoả

mÃn 8 tiên đề:
1) Tính giao ho¸n: x + y = y + x.
2) TÝnh kÕt hỵp: (x + y) + z = x + (y + z).
3) Tồn tại phần tử không, ký hiệu 0, sao cho x + 0 = x, víi mäi x X.
4) ứng với mỗi x X, tồn tại trong X phần tử đối của x, ký hiệu là -x,
sao cho x + (-x) = 0.
5) 1.x = x.
6) (x) = ()x, (, là những số bất kỳ nào đó).
7) ( + )x = x + x.
8) (x + y) = x + y.
1.1.2. Mét kh«ng gian tuyÕn tính X đ-ợc gọi là một không gian định
chuẩn nếu ứng với mỗi x X, ta có một số x, gäi lµ chn cđa nã, sao cho
víi mäi x, y X và mỗi số thực thoả mÃn các điều kiện:
1) x > 0, nếu x 0 vµ x = 0, nÕu x = 0.
2) x = . x.
3) x + y  x + y.
1.1.3. Cho không gian định chuẩn X, dÃy xn gọi là dÃy cơ bản nếu
lim xn - xm = 0.

n,m

1.1.4. Không gian định chuẩn X có mọi dÃy cơ bản đều hội tụ, thì X gọi
là không gian đủ hay còn gọi là không gian Banach.


1.1.5. Cho không gian tuyến tính X. Một hàm số f(x) xác định trên X, lấy
giá trị là số thực (hoặc phức) đ-ợc gọi là một phiếm hàm trên X. Phiếm hàm
đó gọi là tuyến tính nếu:
1) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2), víi mäi x1, x2  X.
2) f(x) = f(x), víi mäi x  X, .

1.1.6. Cho phiếm hàm tuyến tính f liên tục, xác định trên không gian
định chuẩn X. Khi đó chuẩn của f đ-ợc xác định là
f = sup f(x).
x 1

Tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian tuyến tính
định chuẩn X lập thành một không gian tuyến tính định chuẩn X*, ng-ời ta
gọi X* là không gian liên hợp của X.
1.1.7. Cho không gian tuyến tính X, hàm f : X R đ-ợc gọi là d-íi
tuyÕn tÝnh nÕu
1) f(x1 + x2)  f(x1) + f(x2), víi mäi x1, x2  X;
2) f(x) = f(x), víi mäi x  X vµ mäi sè   0.
Mét phiếm hàm d-ới tuyến tính f đ-ợc gọi là một s¬ chn nÕu víi mäi
sè  (thùc hay phøc t theo không gian đang xét) ta có
f(x) = f(x).
1.1.8. Cho không gian tuyến tính X, một tập hợp M thuộc X, đ-ợc gọi là
lồi nếu với x, y M vµ   [0, 1], ta cã z = x + (1-)y M . Tập hợp
các điểm z nh- đà nêu gọi là đoạn thẳng nối hai điểm x vµ y thc M. NÕu z
 M víi mäi [0, 1] thì ta nói đoạn thẳng nằm trän trong M.
1.1.9. Cho tËp M thuéc kh«ng gian X, điểm a M đ-ợc gọi là điểm bọc
của M nếu với mỗi vectơ t X, tồn tại một số > 0 sao cho toàn đoạn thẳng
nối a-t víi a+t n»m trän trong M.
Cho tËp M låi, ®iĨm x0 M đ-ợc gọi là điểm trong của M nếu với mỗi
x M thì tồn tại y M mµ x0 = x + (1-)y, 0 <  < 1.
Chú ý rằng nếu M có điểm trong thì mọi điểm bọc của M cũng là điểm
trong.
1.1.10. Cho tập låi M  Rn, v  Rn, ta gäi p là hình chiếu của v trên M,
ký hiệu là p = p(v), nÕu p  M vµ

 = p - v = inf x - v
xM

Khi đó đ-ợc gọi là khoảng cách từ v tới M.
Từ đó ng-ời ta đà chứng minh đ-ợc các tính chất sau đây (xem [2])
+ Cho M là tập lồi ®ãng thuéc Rn, khi ®ã víi mäi v M, tån tại duy
nhất hình chiếu p = p(v) trên M.
+ Muốn cho điểm p = (pi) M là hình chiếu của v trên M, điều kiện
cần và đủ là với mäi x = (xi) M ta cã
x - p, v - p  0 hay lµ x, v - p  p, v - p
+ x - v, x - p  x - p2 vµ  x - p v - p,
1.1.11. Hàm số f xác định trên tập lồi M, đ-ợc gọi là hàm lồi nếu với
x, y  M vµ   [0, 1], ta cã
f(x + (1- )y)  f(x) + (1 - )f(y).
NÕu xÈy ra bất đẳng thức
f(x + (1- )y) < f(x) + (1 - )f(y).
thì f gọi là lồi chặt.
Trong tr-ờng hợp xẩy ra bất đẳng thức ng-ợc lại, ta gọi f lµ hµm lâm.
Chó ý r»ng nÕu f lµ hµm lâm thì (- f) là hàm lồi. T-ơng tự, nếu f lồi chặt thì
(- f) là hàm lõm chặt.
Chú ý: Ng-ời ta đà chứng minh đ-ợc rằng hàm lồi f(x) xác định trên
tập lồi M thì liên tục tại mỗi điểm trong cđa M (xem [1, tr.41]). Nh- vËy,
khi cÇn thiÕt, giả thiết liện tục vẫn phải đ-ợc đặt ra.
1.1.12. Tiên đề Zorn: Nếu tập S đ-ợc sắp một phần và mọi tập con
đ-ợc sắp tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có một phần tử tối đại.
1.2. Các định lý cơ sở.
1.2.1. Bổ đề Hoàng Tuỵ. Cho không gian Rk (k hữu hạn) và các vectơ
p = (p1, p2, ..., pk), q = (q1, q2, ..., qk), trong đó các pi là các số thực lấy giá
trị hữu hạn hoặc pi = -, còn qi là các số thực hữu hạn hoặc qi = + . Với
mỗi vectơ y = (y1, y2, ..., yk), ta ký hiÖu

p, q, y =



yi  0

p i yi +



yi  0

qiyi.

XÐt tËp låi M  X  Y, trong ®ã X là không gian tuyến tính và Y = Rk. Ta
giả thiết rằng p q và cứ mỗi điểm z = (x, y), x  X, y  Y, cã Ýt nhÊt mét


®iÓm (x’, y’)  M, sao cho y’ = - y, víi  > 0. Ta cã bỉ ®Ị sau đây,
th-ờng đ-ợc gọi là Bổ đề Hoàng Tuỵ (xem [6])
Bổ đề 1.2.1. Với những giả thiết đà nêu, để một hàm lồi h(z) trên M
thoả mÃn hệ thức
(z = (x, y)  M), p, q, y + h(z)  0

(1.1)

th× điều kiện cần và đủ là có một vectơ t  Rk sao cho p  t  q vµ
(z = (x, y)  M),

k


i 1

tiyi + h(z)  0.

(1.2)

Chøng minh: Điều kiện cần, ta quy nạp theo k. Với k = 1, cã thĨ kiĨm
tra thÊy r»ng mƯnh ®Ị đúng.
Thật vậy, với mỗi z = (x, y), y 0 (trong tr-ờng hợp y = 0 thì điều đó là
hiển nhiên), ta đặt
1
u(z) = - h(z).
y
Từ điều kiện (1.1) ®· cho ta cã u(z)  q nÕu y > 0, và u(z) p, cho nên
sup u(z) = u  q ; sup u(z) = v  p
y 0

(*)

y 0

Mặt khác, với mọi z = (x, y), y > 0 và z = (x, y), y < 0, vì M låi nªn ta
cã
z0 =
víi  = 


y

z


y'

z '  M,

yy '
> 0. Trong tr-ờng hợp này y0 = 0.
y y'

Do đó, vì h lồi nên
h(z0)



h(z) - h(z).
y
y'

Nh-ng z0 = (x0, y0), víi y0 = 0, theo (1.1) cã h(z0)  0. Do vËy víi mäi
z = (x, y), y > 0 vµ z’ = (x’, y’), y’ < 0, ta được
-



h(z) - h(z).
y
y'

hay là
u(z) = -

1
1
h(z)  - h(z’) = u(z’).
y'
y


§iỊu nµy cho thÊy
u < + , v > - , u v.

(**)

Kết hợp (*) và (**) ta đ-ợc
max u, p min v, q,
đồng thời cả hai vế đều không thể vô cùng bé hoặc vô cùng lớn, do vËy ph¶i
cã sè thùc t sao cho
p  t  q; u  t  v.
Tõ u  t  v, suy ra víi mäi z = (x, y), y  0, ta cã
ty + h(z)  u(z).y + h(z) = 0.
Bây giờ ta giả sử rằng bổ đề ®óng víi k = m - 1. ta chøng minh bỉ ®Ị
®óng víi k = m.
Ký hiƯu M+ = (x, y)  M, ym > 0 ,
M- = (x, y)  M, ym < 0 ,
M0 = (x, y)  M, ym = 0 .
NÕu M0 = M th× theo giả thiết quy nạp, bổ đề đúng.
Nếu trái lại, có Ýt nhÊt mét z = (x, y), ym  0, theo giả thiết ban đầu đÃ

nêu ta có M+ và M- đều khác rỗng. Khi đó ta đặt
p = (p1, p2,..., pm -1), qˆ = (q1, q2,..., qm -1),
yˆ = (y1, y2,..., ym -1), g(z) =  pˆ , qˆ , yˆ  + h(z),

ta cã
z = (x, y)  M, pm, qm, ym + g(z)  0.
VËy xÐt trong tr-ờng hợp k = 1, phải có t m sao cho pm  t m  qm vµ
z = (x, y) M, t m ym + g(z) 0.
Đặt l(z) = t m ym + g(z), ta l¹i cã thÓ viÕt
z = (x, y)  M,  pˆ , qˆ , yˆ  + l(z)  0,
cho nªn theo giả thiết quy nạp phải có ti sao cho pi  ti  qi, (i = 1, ..., m-1)
vµ
z = (x, y) M,

m


i 1

ti yi + l(z) 0.

Đây chính là kết luận của điều kiện cần.
Điều kiện đủ: Từ điều kiện (1.2), rõ ràng ta có


p, q, y + h(z)  t, t, y + h(z) =

k

i 1

tiyi + h(z) 0.

Đó là kết luận của (1.1).
Bổ đề đ-ợc chứng minh.

1.2.2. Các tr-ờng hợp riêng của Bổ đề Hoàng Tuỵ.
1.2.2a. Trong tr-ờng hợp p, q, y là các số thực, từ bổ đề 1.2.1, ta có hệ
quả sau đây:
Hệ quả 1.2.2a. Với giả thiết đà nêu, nếu một hàm lồi h xác định trên M
thoả m·n hÖ thøc
(z = (x, y)  M), p, q, y + h(z) 0
thì điều kiện cần và đủ lµ cã mét sè thùc t sao cho p  t  q vµ
(z = (x, y)  M), ty + h(z) 0.
1.2.2b. Giả sử tập hợp lồi M nhận điểm O làm điểm trong t-ơng đối, tức
là ứng với mỗi y M, có một số > 0, sao cho - y  M, khi Êy râ ràng
điều kiện ban đầu của Bổ đề 1.2.1 đ-ợc thoả mÃn. Mặt khác nếu h là hàm
lồi đồng nhất 0 thì từ điều kiện
k


i 1

tiyi 0,

thì cũng có
k

-

i 1

Do vËy ta cã t, y =

k


i 1

tiyi  0.

tiyi = 0, y M.

Trong tr-ờng hợp này ta có hệ quả:
Hệ quả 1.2.2b. Nếu M là tập lồi, nhận O làm điểm trong t-ơng đối thì
điều kiện cần và đủ để tồn tại vectơ t Rn sao cho p  t  q vµ t, y = 0 ,
y  M lµ y  M, p, q, y  0.
1.2.2c. Nếu M là tập hợp các nghiệm của hệ ph-ơng trình Ax 0, trong
đó A là ma trận cấp m n và p = q, ta đ-ợc hệ quả (Bổ đề Farkas):
Hệ quả 1.2.2c. Muốn cho p, x  0, víi mäi x nghiƯm ®óng Ax  0, điều
kiện cần và đủ là tồn tại một vectơ u  Rm, sao cho u  0 vµ p = A*u
(trong đó A* là ma trận chuyển vị của A).


Đ2. Định lý Hahn - Banach.
Trong mục này, chúng tôi xin đ-ợc nêu lại và chứng minh định lý
Hahn-Banach. Định lý Hahn-Banach là một định lý đ-ợc phát biểu d-ới
nhiều dạng khác nhau và cũng có nhiều cách chứng minh khác nhau. Để sử

dụng đúng mục đích nh- yêu cầu của luận văn đà nêu, chúng tôi xin đ-ợc
phát biểu và chứng minh theo ph-ơng pháp truyền thống mà Giáo s- Hoàng
Tuỵ đà trình bày (xem [6]).
2.1. Định lý Hahn - Banach: Cho một phiếm hàm tuyến tính f, xác
định trong kh«ng gian con M cđa kh«ng gian tun tÝnh thực X. Nếu có một
hàm d-ới tuyến tính xác định trong X, sao cho
(x M), f(x) (x)
thì ắt có một phiếm hàm tuyến tính F(x) xác định trên toàn X, sao cho
1) F là khuếch của f, nghÜa lµ (x  M), F(x) = f(x),
2) F(x)  (x), (x  X).
Chøng minh: Cho f1, f2 lµ 2 phiếm hàm tuyến tính xác định t-ơng ứng
trên 2 không gian con M1, M2 cña X. NÕu M1  M2, f1(x) = f2(x), x  M1,
f2(x)  (x), x  M2, khi ®ã ta ký hiƯu f1 < f2. Ta cần chỉ ra tồn tại hàm F
xác định trên X và có f < F (theo nghĩa < như đà nêu).
Ta gọi C là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính g sao cho f < g. Tập
hợp đó không trống (vì f C) và được sắp một phần bởi liên hệ <. Nếu P
là một tập hợp con đ-ợc sắp tuyến tính của S thì cận trên của nó là phiếm
hàm có miền xác định bằng hợp của tất cả các miền xác định của các phiếm
hàm g P và có giá trị trùng với giá trị của từng phiếm hàm g ấy trên miền
xác định của g. Vậy theo tiên đề Zorn, C phải có một phần tử tối đại F. Ta
hÃy chứng minh rằng miền xác định của F là toàn không gian X : khi ấy F
sẽ đạt yêu cầu trong định lý.
Giả sử trái lại, có một phần tử x0 X không thuộc miền xác định M của
F. Ta xét tập hợp Q = MR, và đặt p = - , q = +. Víi mäi z =(x, y)  Q
(x  M, y  R) ta cã (x)  F(x), cho nªn
z = (x, y)  Q: (p, q, y) - F(x) + (z)  0


(ở đây, ta đồng nhất mỗi z = (x, y)  M  R víi ®iĨm x + yx0  X, thµnh thư

(z) = (x + yx0)). Mµ h(z) = - F(x) +(z) hiển nhiên là hàm lồi, vậy theo
hệ quả 1, bổ đề 1.2.1, phải có một số thực t nghiƯm ®óng
z = (x, y)  Q, ty - F(x) + (z) 0.
Đặt F1(z) = F(x) ty víi mäi z= x + yx0, (y  R) ta sẽ có đ-ợc một
phiếm hàm tuyến tính F1 xác định trên không gian M1 sinh bởi hợp của M
và x0, và nghiệm đúng (z M1), F1(z) (z). Nh- thế F1 F và F1 < F,
trái với tính tối đại của F.



2.2. Hệ quả.
Hệ quả 2.2.1. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một
không gian con M của không gian định chuẩn X, bao giờ cũng có thể
khuếch thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F, xác định trên toàn bộ X,
mà có F  = f .
Chøng minh: Víi mäi x  M, ta cã f(x)  f .x, nh-ng râ rµng hµm

(x) = f .x là một sơ chuẩn, thoả mÃn yêu cầu của định lý Hahn-Banach,
cho nên f có thể khuếch thµnh F sao cho
(x  X ), F(x)  f .x.
Do đó F f . Mặt khác, vì F(x) = f(x), x  M, nªn F   f . VËy
F  = f .



HƯ qu¶ 2.2.2. Víi mäi phần tử xo 0 của một không gian định chuẩn X,
tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f sao cho f(xo) = xo vµ f  = 1.
Chøng minh: Ta cã f(xo) = xo lµ mét phiÕm hàm tuyến tính liên tục
xác định trên không gian con tạo nên bởi tất cả các vectơ có dạng xo, và
f = 1. Do đó, áp dụng hệ quả 1, suy ra hệ quả 2.

Không gian tuyến tính định chuẩn X, trong các ch-ơng 2, 3 tiếp theo sẽ
đ-ợc xét là không gian thực hữu hạn chiều Rn.


Ch-ơng 2
ứng dụng của định lý Hahn - Banach
trong một số vấn đề của giải tích lồi

Nh- đà thấy trong ch-ơng 1, định lý Hahn - Banach là một trong những
định lý có nhiều mệnh đề t-ơng đ-ơng. Do vậy, nã cịng cã nhiỊu øng dơng
quan träng trong nhiỊu lÜnh vực của toán học. ở đây, chúng tôi không có
điều kiện quan tâm đến các lĩnh vực khác nhau của toán học để nói về
những ứng dụng của nó. Trong ch-ơng này, chúng tôi cố gắng xét ứng dụng
định lý Hahn-Banach trong một số vấn đề của giải tích lồi.
Đ1. hàm lồi
2.1.1. Định nghĩa [3]. Cho tập hợp lồi X  Rn, f : X  R. TËp hỵp
epif = (x, b) XR : f(x) b
gọi là trên đồ thị (epigraph) của hàm f.
Hàm f đ-ợc gọi là låi trªn X nÕu tËp epif låi trong RnR.
2.1.2. TÝnh chất.
Tính chất 1. Hàm f là lồi trên X khi vµ chØ khi
f(x + (1 - )y)   f(x) + (1 - )f(y), 0    1.
Chøng minh: (xem [3]).

(2.1)



Ký hiÖu
D = f : f’(x), y - x  f(y) - f(x), x, y  X ,

(2.2)

trong ®ã f là hàm khả vi trên X, f(x) là ký hiệu cho vectơ đạo hàm riêng của
hàm f(x), tức là
f(x) = ( f x'1 , f x' 2 ,..., f x' n ).
Ta h·y nghiªn cøu tÝnh chÊt cđa tËp D.
Tính chất 2. Để hàm khả vi f là lồi điều kiện cần và đủ là f D.
Chứng minh: Điều kiện cần:
Giả sử cho f(x) lồi, ta cần chứng minh f D, tức là (2.2) thoả mÃn với
mọi x, y X.
Từ tính lồi của hàm f(x), điều kiện (2.1) có thể viết lại là


f[x + (y - x)]  f(x) + [f(y) - f(x)], 0    1.

(2.3)

Tõ (2.3), víi  > 0, ta cã
f [ x   ( y  x)]  f ( x)



 f(y) - f(x).

(2.4)

XÐt vÕ tr¸i của bất đẳng (2.4), chuyển qua giới hạn khi  0.
Muèn vËy, ta xÐt hµm mét biÕn () = f[x + (y - x)]. Khi đó vế trái của
(2.4) có dạng

1
[() - (0)].


Sử dụng quy tắc vi phân hàm số hợp ta đ-ợc
lim

0

d ( )
1
[() - (0)] =
d


= f ' ( x),

 ( x   ( y  x)



 0

 0

=

= f’(x), y - x.

Thay vµo (2.4), ta có (2.2).

Điều kiện đủ:
Giả sử f thoả mÃn điều kiện (2.2), ta chứng minh f(x) lồi.
Đặt

(1) = f[x + 1(y - x)].
vµ

(2) = f[x + 2(y - x)].
Ta cã cũng thoả mÃn điều kiện (2.2), tức là
(1), 2 - 1  (2) - (1), vµ
’(2), 1 - 2  (1) - (2).
Hay lµ
’(1), 2 - 1  (2) - (1)  - ’(2), 1 - 2 = ’(2), 2 - 1.
Tõ ®ã
’(1) - ’(2), 2 - 1  0.
NÕu 2 > 1 > 0, th× ’(1)  ’(2), tức là hàm đồng biến.
Với 0 < < 1, xÐt tÝch ph©n


1

(2 - 1)  [’(1 + (2 - 1)) - ’(1 + (2- 1))]d =
0
1

=



(2- 1)’(1+ (2 - 1))d -

0

1



(2- 1)’(1+ (2- 1))d =

0

= [(1 + (2 - 1)) - (1 + (2- 1))]

1
0

=

= (2) - (1 + (2 - 1)) - (1) + (1) =
= (1) + ((2) - (1))- (1 + (2 - 1)).
Với điều kiện đà nêu ta cã
[1 + (2 - 1)] -[1 + (2- 1)] = (2 - 1)(1 - ) > 0.
Do vËy, theo trên cho thấy () là hàm đồng biến nên
1

(2 - 1)  [’(1 + (2 - 1)) - ’(1 + (2- 1))]d  0.
0

Hay lµ cã

(1) + ((2) - (1))- (1 + (2 - 1))  0.
NÕu 0 < 2 < 1, ta cũng nhận đ-ợc kết quả t-ơng tự.
Từ ®ã suy ra

[(1 - )1 + 2]  (1- )(1) + (2).
VËy hµm  lµ hµm låi, suy ra
f(x + (y - x)) = () = [.1 + (1 - ).0] 
 (1) + (1 - )(0) = f(y) + (1 - ) f(x).
Điều đó chỉ ra rằng f(x) là hàm lồi.



Chú ý: Trong một số tài liệu về Giải tích lồi (xem [5]), thông th-ờng có
định lý sau:
Nếu hàm lồi f(x) khả vi trên tập hợp lồi X thì víi mäi x, y  X ta cã
f’(x), y - x  f(y) - f(x).
NÕu tËp X lµ låi, më thì từ điều kiện (2.2) suy ra f(x) là hàm lồi.
Sự đòi hỏi về tập hợp X mở, gây nhiều khó khăn cho việc nghiên cứu các
bài toán quy hoạch toán học. Nh- chúng ta đà biết các bài toán thuộc lớp
quy hoạch toán học, thông th-ờng tập ph-ơng án là một tập đóng.


Tõ tÝnh chÊt 2, ta cã thĨ ph¸t biĨu c¸ch khác là: Nếu hàm f(x) khả vi
trên tập hợp lồi X thì điều kiện cần và đủ để f(x) lồi lµ víi mäi x, y  X ta cã
f’(x), y - x f(y) - f(x).

(2.2)

Ta nhận thấy với mỗi số thực , giá trị .f(x) đ-ợc xác định, đặt
(.f)(x) = .f(x). Đồng thời, cho hai hàm số f, g D, khi đó hàm số f + g

đ-ợc xác định là (f + g)(x) = f(x) + g(x).
Tính chất 3. D khép kín với phép cộng và nhân với một số không âm.
Thật vậy, lấy f, g D. Khi ®ã (f + g)’ = f’ + g’. VËy x, y  X ta cã
(f’ + g’)(x), y - x = f’(x), y - x + g’(x), y - x 
 f(y) - f(x) + g(y) - g(x) = (f + g)(y) - (f + g)(x).
T-¬ng tù, (.f)’(x) = f’(x), víi  > 0, nªn
(f)’(x), y - x = f’(x), y - x  [f(y) - f(x)] = (f)(y) - (f)(x). 
TÝnh chÊt 4. D lµ mét tËp låi khác trống.
Thật vậy, D vì với hàm f lồi, khả vi xác định trên X thì f D (tính
chất 2).
Mặt khác, lấy f, g D. Xét h = f + (1 - )g,   [0, 1]. Ta cã
h’ = (f’ + (1 - )g’),
do vËy

h’(x), y - x =
= (f’ + (1 - )g’)(x), y - x =
= f’(x), y - x + (1 - )g’(x), y - x 
 f(y) - f(x) + (1- )g(y) - (1 - )g(x) =
= f(y) + (1- )g(y) - [f(x) + (1 - )g(x)] =
= h(y) - h(x).

Tõ ®ã suy ra h  D. VËy D låi. 
TÝnh chÊt 5. D lµ mét nãn låi.
ThËt vËy, tõ tÝnh chÊt 3, ta cã f  D,  > 0. Do vËy
h =f  D,


nên D là nón. Từ tính chất 4, suy ra D là nón lồi.
Hệ quả. Tổng các hàm lồi lµ hµm låi, tÝch cđa hµm låi f víi mét số
d-ơng là một hàm lồi.

Thật vậy, ta biết rằng D lµ nãn låi khi vµ chØ khi f, g  D th× víi  > 0,

f  D, f + g  D. Tõ tÝnh chÊt 3 suy ra ®iỊu cần chứng minh của hệ quả.
Chú ý: Từ tính chất 3 và hệ quả nêu trên, dễ dàng kiểm tra thấy rằng các
phép toán đà nêu thoả mÃn các tính chÊt
+ f + g = g + f.
+ f + (g + t) = (f + g) + t.
+ 0  D, f + 0 = 0 + f.
+ (f + g) = f + g,  > 0.
+ ( + )f = f + f,  > 0,  > 0.
Tuy nhiên, D không phải là một không gian tuyến tính vì với mỗi f D
thì - f D.
Tính chất 6. Nếu f là hàm lồi chặt thì g = -f không thuộc D.
Thật vậy, với f là lồi chặt thì g = - f là lõm chặt. Từ tính chất 2, dễ dàng
suy ra, hàm số g lõm chặt khi và chỉ khi
g(x), y - x > g(y) - g(x).
Do đó g D, nghĩa là - f D.



Sử dụng tính chất 2 đà nêu, dễ dàng chứng minh đ-ợc:
Tính chất 7. Cho f D, điều kiện cần và đủ để hàm f đạt cực tiểu toàn
cục tại x* X là
f(x*) , x - x*   0, x  X.
Tõ tÝnh chÊt 7, ng-ời ta nghĩ tới việc chuyển bài toán quy hoạch lồi, khi
X là tập lồi đa diện, về giải các bài toán quy hoạch tuyến tính (xem Đ3,
ch-ơng 3).
Đ2. Những định lý quan trọng của giải tích lồi.
Trong giải tích lồi, có 5 mệnh đề quan trọng, mà trong nhiều sách tham
khảo, tuỳ theo góc độ xét khác nhau, th-ờng ít khi đồng thời nhắc tới cả 5

mệnh đề. 5 mệnh đề này có những cách chứng minh và øng dơng kh¸c


nhau. ở đây chúng tôi xin chọn cách chứng minh thể hiện sự liên hệ với
định lý Hahn-Banach. Tên gọi của 5 mệnh đề đó là:
- Bổ đề Hoàng Tuỵ.
- Định lý tách.
- Bổ đề Farkas.
- Bổ đề Farkas - Minkowski mở rộng.
- Định lý Kuhn - Tucker.
Để thấy rõ ứng dụng của định lý Hahn - Banach, chúng ta hÃy thực hiện
việc chứng minh các mệnh đề đà nêu.
2.2.1. Tính tách đ-ợc của tập hợp lồi trong không gian tuyến tính.
Định nghĩa. Cho không gian tuyến tính thực X vµ hai tËp con D, E
thuéc X. Ta nãi phiÕm hàm tuyến tính f xác định trên X, tách D víi E nÕu
tån t¹i h»ng sè  sao cho
f(x)  , x  D & f(y)  , y  E.

(2.5)

Từ định nghĩa ta suy ra đ-ợc 2 tính chất sau đây:
1/ Nếu tồn tại x D E thì f(x) = . Phiếm hàm tuyến tính f tách D
và E khi và chỉ khi nó tách các tập D - E và O. (ở đây D - E là ký hiệu
cho tập các điểm có dạng z = x - y, x  D, y  E).
ThËt vËy, nÕu cã (2.5) th× ta cã víi mäi x  D vµ y  E ta cã
f(x)  f(y), x  D, y  E  f(x -y) = f(x) - f(y) 0,
Điều đó suy rằng f tách D - E với O.
Ng-ợc lại, nếu f tách D - E víi O, th× cã
f(x -y) = f(x) - f(y) 0.
Từ đó suy ra (2.5).

2/ Phiếm hàm tuyến tính f tách các tập D và E khi và chỉ khi với mỗi
z X, thì f tách D - z và E - z.
Thật vậy, f tách D và E, khi vµ chØ khi
f(x)  C, x  D & f(y)  C, y  E. 
 f(x)  f(y), x  D, y  E 
 f(x - z) = f(x) - f(z)  f(y) - f(z) = f(y - z), x  D, y  E 
 f t¸ch D - z víi E - z.


Định lý 2.2.1. (Định lý tách) Cho D và E là các tập lồi thuộc không
gian tuyến tính thực X, D có tập các điểm bọc D0 và D0 E = ,. Khi
đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính f (khác không) trên X, tách D và E.
Chứng minh: Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết O là điểm bọc
của D (nếu không thì với x  D, xÐt tËp D - x vµ tËp E - x). Cho y0  E, khi
®ã - y0 là điểm bọc của D - E và O là ®iĨm bäc cđa tËp M = D - E + y0. Vì
D và E giao nhau bằng rỗng nên O  D - E vµ y0  M. Cho p là phiếm hàm
lồi hữu hạn đối với tập M có d¹ng



p(x) = inf  x

x

 M , r  0 .
r


(phiếm hàm có dạng trên còn gọi là phiếm hàm Minkowski).
Khi đó theo tính chất của phiếm hàm Minkowski ta cã p(y0)  1

(v× y0  M). Ta xÐt phiÕm hàm tuyến tính f0 mà
f0(y0) = p(y0),
đ-ợc xác định trên không gian con gồm các phần tử có dạng y0. §ång thêi
f0(y0) = p(y0), víi   0 vµ f0(y0) = f(y0) < 0 < p(y0) víi  < 0. Do vậy
f0 thoả mÃn điều kiện
f0(y0) p(y0).
Theo định lý Hahn - Banach, phiếm hàm f0 có thể thác triển thành
phiếm hàm f xác định trên toàn X và thoả mÃn trên toàn X điều kiện f(x)
p(x). Từ đó suy ra f(x)  1, víi mäi x  M (nh- đà nói ở trên về phiếm hàm
Minkowski), trong khi ®ã f(y0)  1 (v× y0  M). VËy f tách tập M và y0, có
nghĩa là f tách tập D - E và O, điều đó suy ra f tách D và E. Điều phải
chứng minh.
Chú ý: Việc chứng minh trên là dựa vào kết quả của định lý Hahn Banach. Ta cã thĨ cã nhiỊu c¸ch chøng minh định lý tách vừa nêu. Chẳng
hạn cách chứng minh trực tiếp dựa vào Bổ đề Hoàng Tuỵ (xem [8]), hoặc
chứng minh dựa vào định nghĩa hình chiếu của một điểm trên tập hợp lồi
(xem [2], [11]).
2.2.2. Về hệ bất đẳng thức không t-ơng thích.
Các định lý sau đây, không chứng minh trực tiếp từ định lý Hahn Banach, tuy nhiên đ-ợc suy ra trực tiếp từ định lý tách. Do vËy ng-êi ta


cũng xem các định lý này thuộc lớp những bài toán đ-ợc ứng dụng định lý
Hahn - Banach.
Định lý 2.2.2. Cho những hàm lồi fi , i = 0, 1, ..., k trên tập hợp lồi D
thuộc không gian Rn. NÕu hƯ
fi(x) < 0, i = 0, 1, ..., k

(2.6)

kh«ng có nghiệm trong D, thì phải có những số thực i  0 , i = 0, 1, ..., k,
trong ®ã cã Ýt nhÊt mét sè d-¬ng, sao cho

(x  D)

k


i 0

i fi(x) 0

(2.7)

Nếu giả thiết thêm có ít nhÊt mét ®iĨm x0  D nghiƯm ®óng
fi(x) < 0, i = 1, ..., k

(2.8)

thì 0 > 0 (do đó có thể chọn 0 = 1).
Chứng minh: Đặt
C := y = (y0, y1, ..., yk)  Rk+1 :  x  D, fi(x) < yi, i = 0, 1, ..., k
Do các fi là hàm lồi và D là tập lồi nên C là tập lồi. Theo giả thiết hệ
(2.6) không có nghiệm trong D nên O C. Vậy theo định lý tách tập hợp
lồi (định lý 2.2.1), có một phiếm hàm tuyến tính trên Rk+1 tách C với O, tức
là có một vectơ = (0, 1, ..., k)  0 sao cho
(y  C),

k


i 0

i yi 0.

Tất nhiên, nếu x D thì với mọi vectơ z = (z0, z1, ..., zk) mà tất cả các
thành phần đều d-ơng ta có fi(x) fi(x) + zi, i = 0, 1, ..., k, cho nªn vectơ
(f0(x) + z0, ..., fk(x) + zk) C.
Do đó
k


i 0

i (fi(x) + zi ) 0

(2.9)

Cố định x D vµ cho zi  0, i = 0, 1, ..., k, ta suy ra (2.7).
Vấn đề còn lại ta ph¶i chøng minh i  0, i = 0, 1, ..., k.
ThËt vËy, gi¶ sư cã j < 0, ta cố định x D và các zi (i j), ®ång thêi
cho zj  +, khi ®ã víi zj đủ lớn (2.9) sẽ không còn đúng nữa. Vậy ta cã i
 0, i = 0, 1, ..., k.
Cuèi cïng, nếu x0 D nghiệm đúng (2.8) mà 0 = 0 th× tõ (2.7) ta cã


k


i 1

i fi(x)  0, (*)

víi viƯc cã Ýt nhÊt một i > 0 (vì vectơ 0), điều đó mâu thuẩn với (2.8).
Mâu thuẩn này chứng tỏ 0 > 0.
Chia hai vÕ (*) cho 0 > 0, ta có thể chọn đ-ợc 0 = 1, 0 := 0. Định
lý đ-ợc chứng minh.
2.2.3. Bổ đề Farkas. Cho ma trận A = (aij), aij là số thực hữu hạn nào đó
(i = 1, m , j = 1, n ). Để tiện cho cách viết, ta ký hiệu Ax, x = (xj)  Rn, lµ tÝch
cđa ma trËn A với ma trận cột x = (xj).
Định lý sau đây nh- đà nêu ở 1.2.2c gọi là Bổ đề Farkas
Định lý 2.2.3. NÕu víi ma trËn t ý A ®· cho tìm đ-ợc vectơ v Rn
sao cho v, x  0, víi mäi x  Rn tho¶ m·n bÊt đẳng thức Ax 0, thì khi đó
tìm đ-ợc vectơ u  0, (u  Rm) sao cho v = ATu.
Chøng minh: XÐt tËp hỵp
W = w : w = ATu, u 0.
Nếu v W thì định lý đ-ợc chứng minh.
Giả sử v W. Ta sẽ chứng minh rằng trong tr-ờng hợp này sẽ tìm đ-ợc
vectơ x tho¶ m·n Ax  0, nh-ng v, x < 0. Điều này trái với giả thiết và
định lý sẽ đ-ợc chøng minh.
ThËt vËy, xÐt vect¬ c = p - v, trong đó p là hình chiếu của v trên W. Từ
định lý tách (định lý 2.2.1) và từ tính chất cđa h×nh chiÕu (xem [2, tr.25])
suy ra r»ng víi mäi w  W sÏ cã
c, w > c, v.

(*)

Nh-ng tõ môc 1.1.9, ta cã w - p, p - v 0, nghĩa là
c, w c, p

(**)

Vì w = O  W, nªn tõ (*) suy ra

c, v < 0

(***)

và vì w + p W, nên từ (**) ta đ-ợc
c, w+p c, p,
nghĩa là c, w 0. Nh-ng
c, w = c, ATu = u, Ac ,


do vậy u, Ac 0, điều này đúng với mọi u 0, cho nên Ac 0.
Đặt x = c, tõ (***) vµ Ac  0, ta nhËn đ-ợc Ax 0, nh-ng v, x < 0.
Mâu thuẩn với giả thiết của định lý. Định lý đ-ợc chứng minh.
Chú ý. Định lý 2.2.3 là hệ quả trực tiếp của Bổ đề Hoàng Tuỵ (mục
1.1.2b). Tuy nhiên, ở đây chúng ta đà có đ-ợc cách chứng minh mới dựa
vào kết quả của định lý Hahn - Banach (thông qua định lý tách).
2.2.4. Hàm Lagrange và định lý Kuhn - Tucker.
Cho f1, f2, ..., fk là các hàm lồi.
Đặt
D = x  Rn : fi(x)  0, i = 1, 2, ..., k.
Khi đó rõ ràng D là một tập lồi.
Ta nói D thoả mÃn điều kiện chính quy nếu với mỗi i, (i = 1, 2, ..., k),
tìm ®-ỵc ®iĨm xi  D sao cho
fi(x) < 0
(®iỊu kiƯn (2.10) cho tập các điểm bọc của D là khác trống)
Cho hàm lồi f xác định trên tập hợp D. XÐt hµm
L(x, ) = f(x) +

k



(2.10)

i fi(x).

i 1

Hµm L(x, ) nh- vậy gọi là hàm Lagrange.
Bây giờ ta hÃy xét bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) xác định trên D.
Điểm (x*, *), với x* D và * = (*1, *2, , *k) 0, đ-ợc gọi là
điểm yên ngựa của hàm Lagrange nếu nó thoả mÃn
L(x*, )  L(x*, *)  L(x, *), x  D,  = (1, …, k)  0 .
§inh lý 2.2.4. Giả sử tập lồi D thoả mÃn điều kiện chính quy (2.10). Để
x* D là điểm cực tiểu của hàm lồi f điều kiện cần và đủ là tồn tại điểm

* Rk, * 0, sao cho (x*, *) là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L(x,
) trên tập hợp 0.
Chứng minh:
Điều kiện cần.
Giả sử x* là ®iĨm cùc tiĨu cđa hµm låi f ®· cho. XÐt các tập trong không
gian Rk+1


 z  , z  f ( x*)
P =  0  0
 z  , z  0

S=


xR

S(x),

(*)

n

trong ®ã
 z  , z  f ( x)
S(x) =  0  0
 z  , z  F ( x)

,

víi F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fk(x)), z = (xi) Rk, z  F(x) nÕu zi  fi(x), j =

1, k , z0 là một số thực nào đó không lớn hơn f(x*).
Có thể kiểm tra thấy rằng tập P và tập S là các tập lồi.
Ký hiệu
z  , z  f ( x*)
P0 =  0  0
 z  , z  0

(**)

Râ rµng P0 là tập các điểm bọc của P. Đồng thời theo (*) và (**) thì
P0S = .
Theo định lý tách (định lý 2.2.1) tồn tại phiếm hàm tuyến tính tách hai

tập hợp P và S, nghĩa là tồn tại vectơ k + 1 chiÒu

 u0 
   0
u

(2.11)

u0z0 + u, z  u0w0 + u, w

(2.12)

sao cho
víi mäi
 z0 
 S và
z
Vì những điểm với các thành phần
thuộc tập P0, nên từ (2.12) phải có

u0
0
u

w0
P0.
w
không âm có môđun lớn tuỳ ý là

(2.9)

w
Bất đẳng thức (2.12) vẫn còn đúng khi 0 thuộc biên của P, vì thÕ
w
b»ng c¸ch chän z0 = f(x), z = F(x) = (f1, f2, ..., fk)


w0 = f(x*), w = O
víi mäi x  Rn ta cã
u0 f(x) + u, F(x)  u0 f(x*)

(2.10)

Râ rµng u0 > 0. Vì nếu ng-ợc lại u0 = 0, th× theo (2.10) ta cã
u, F(x)  0, x  Rn.

(***)

Theo (2.9), u  0 vµ theo (2.11), u  0. Tõ (***) vµ tõ F(x)  0, víi ui >
0, ta đ-ợc F(x) = O, x Rn, trái với giả thiết chính quy. Điều đó có nghĩa
là từ gi¶ thiÕt u0 = 0, suy ra u = 0, trái với (2.11). Vậy quả rằng u0 > 0.
Đặt
u
* =
0.
u0
Khi đó theo (2.10) sẽ là
f(x*) f(x) + *, F(x), x Rn.
Lấy riêng x = x* ta đ-ợc
*, F(x*)  0

(2.11)

Nh-ng *  0, nªn F(x) = (f1, f2, ..., fk)  O. Nh-ng (f1, f2, ..., fk)  0. Do
vËy
(f1, f2, ..., fk) = 0.
Tõ ®ã
*, F(x*) = 0.

(2.12)

, F(x*)  0

(2.13)

Víi mäi   0, ta có
Từ (2.11), (2.12), (2.13) ta nhận đ-ợc
f(x*) + , F(x*)  f(x*) + *, F(x*)  f(x) + *, F(x*).
Hay lµ
L(x*, )  L(x*, *)  L(x, *), x  D,  = (1, …, k)  0 .
VËy (x*, *) là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L(x, ).
Điều kiện đủ.
Cho (x*, *) là điểm yên ngựa của hàm L(x, ), điều đó có nghĩa là
L(x*, ) L(x*, *)  L(x, *), x  D,  = (1, …, k)  0,
hay lµ


k

f(x*) +



i fi(x*)  f(x*) +

i 1

k



i* fi(x*)  f(x) +

i 1

k



i* fi(x)

i 1

(2.14a).
Từ bất đẳng thức bên trái suy ra
k



i fi(x*)

i 1

k



i* fi(x*).

i 1

Vì * 0 và bất đẳng thức này đúng với mọi 0, nên fi(x*) 0; hay
là
k



i* fi(x*) 0.

i 1

Nói riêng, bất đẳng thức đó cũng đúng với = 0, suy ra
k



i* fi(x*)  0.

i 1

Tõ ®ã ta cã
k



i* fi(x*) = 0.

(2.14)

i 1

Mặt khác ta thấy
k



i* fi(x) 0.

i 1

Do vậy, từ bất đẳng thức bên phải của (2.14a) suy ra
f(x*)  f(x) +

k



i* fi(x)  f(x), x  D.

i 1

Điều đó nói lên x* là điểm cực tiểu của f(x) trên D.
Định lý đ-ợc chứng minh.
Định lý 2.2.4 th-ờng gọi là định lý điểm yên ngựa, hay còn gọi là định
lý Kuhn - Tucker.
Hệ quả 2.2.4. Nếu các hµm f(x) vµ fi(x), i = 1, 2, ..., k, là những hàm
lồi, khả vi liên tục trên tập hợp = x x 0 thì cặp (x*, *) là điểm yên
ngựa của hàm Lagrange L(x, ) trong miền x 0, 0, điều kiện cần và đủ
là
+

L *
0 , i = 1, ..., n
xi

(2.15)


+ xi .

trong ®ã

L *
= 0, i = 1, ..., n
xi

(2.16)

+ xi*  0,
i = 1, ..., n

L *
+
 0 , i = 1, ..., n
 i
L *
+ i*.
= 0, i = 1, ..., n
 i

(2.17)

+ i*  0,

(2.20)

i = 1, ..., n

(2.18)
(2.19)

L *
ký hiệu cho đạo hàm của L theo xi lấy giá trị tại (x*, *),
xi

L *
ký hiệu cho đạo hàm của L theo i lấy giá trị tại (x*, *).
i
Chứng minh:

Điều kiện cần: Giả sử tồn tại x* 0, * 0, (x*, *) là điểm yên ngựa

của hàm L(x, ). Sử dụng bất đẳng thức bên phải của (2.14a) ta có xi* là
điểm cực tiểu cđa hµm mét biÕn L(xi, *) víi xi  0. Từ đó, do L là hàm lồi,
suy ra các điều kiện (3.15)-(3.17).
Đối với điều kiện (3.18) - (3.20) là rõ ràng vì L tuyến tính với .
Điều kiện đủ: Giả sử có điều kiện (3.15) - (3.20). Vì f và fi là các hàm
lồi, nên L(x, ) là hàm lồi theo x, víi x  0, do ®ã theo tÝnh chất 2, Đ1
(ch-ơng 2) ta có
L(x, *) L(x*, *) + x x*,

L *
.
x

Từ đó và từ điều kiện của định lý ta có L(x, *) L(x*, *).
Bất đẳng thức bên trái có đ-ợc là do điều kiện của định lý và hàm L
tuyến tính với .
2.2.5. Định lý Farkas - Minkowski.
Định lý sau đây sẽ đ-ợc gọi là Định lý Farkas-Minkowski mở rộng.
Định lý 2.2.5. Cho f(x), gi(x), (i = 1, 2, , k) là những hàm lồi, xác
định trên tập lồi M Rn. Nếu hƯ




cã nghiƯm, ®ång thêi hƯ

gi(x) < 0, i = 1, 2, …, k
xM