Ngôn ngữ nhóm nx và ngôn ngữ p nhóm hữu hạn

Mở đầu
Nghiên cứu, tìm hiểu về lý thuyết ngôn ngữ hình thức là một điều thú vị,
nó thực sự hấp dẫn nhiều ng-ời làm toán vì bằng công cụ đại số ng-ời ta
đà đ-a đ-ợc những kết quả có ứng dụng trong thực tiễn - một điều không
phải bao giờ cũng làm đ-ợc. Tr-ớc đây, Giáo s- Trần văn Hạo cùng với
các học trò của mình đà chỉ ra Ngôn ngữ L là ngôn ngữ nhóm khi và
chỉ khi tồn tại một toàn cấu : X* G và tồn tại tập con rời rạc H của
G sao cho L = -1(H) trong đó G là một nhóm. Sau đó TS. Lê Quốc Hán
đà cùng với các học trò của mình mô tả đ-ợc các ngôn ngữ nhóm chính
quy, ngôn ngữ nhóm cô lập, ngôn ngữ nhóm Aben,, đối với ngôn ngữ
nhóm Aben thì ch-a mô tả đ-ợc dáng điệu của nó.
Trong luận văn này, chúng tôi mô tả dáng điệu ngôn ngữ nhóm
X
Aben thông qua xét các t-ơng đẳng trên nửa nhóm NX sao cho N  lµ

mét nhãm ( NX - lµ tÝch trùc tiÕp các nửa nhóm N đ-ợc chỉ hoá bởi X).
Mô tả dáng điệu của ngôn ngữ p - nhóm hữu hạn và T-ơng đẳng trên nửa
nhóm xiclic hữu hạn và vô hạn.
Luận văn gồm : Phần mở đầu, 1, 2, 3, 4 và Phần kết luận.
1 : Tóm tắt những kiến thức cơ bản về nửa nhóm xiclic sau đó mô
tả các t-ơng đẳng trên nửa nhóm xiclic hữu hạn và vô hạn. Trên cơ sở các
t-ơng đẳng đà mô tả đ-ợc, hy vọng sẽ mô tả đ-ợc dáng điệu của lớp ngôn
ngữ nhóm xiclic.
2 : Xét mối quan hệ giữa 4 loại ôtômat : Liên thông mạnh, Liên
thông, Xiclic và Xiclic địa ph-ơng. Một ôtômat liên thông, hoặc xiclic thì
xiclic địa ph-ơng và trong tiết này chúng tôi đà đ-a ra một ví dụ về
ôtômat xiclic nh-ng không liên thông
.3 : Mô tả dáng điệu của ngôn ngữ nhóm Aben thông qua xét các
3

X
t-ơng đẳng trên nửa nhóm NX sao cho N là một nhóm, trong đó N

là tập hợp các số tự nhiên , X là bảng chử cái nào ®ã vµ N X =  (i )  i
 N, (i ) có hữu hạn thành phần khác không .
4 : mô tả dáng điệu ngôn ngữ p - nhóm hữu hạn, tức là lớp ngôn
ngữ mà vị nhóm cú pháp của nó là p - nhóm hữu hạn.
Một phần kết quả chính của luận văn đó là Ngôn ngữ nhóm
Aben chúng tôi đang gửi đăng ở Tạp chí tin học và điều khiển học.Việc
khảo sát dáng điệu ngôn ngữ nhóm xiclic đang là vấn đề mở hứa hẹn
nhiều kết quả thú vị. Các ký hiệu dùng trong luận văn là các ký hiệu
thông th-ờng.
Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn tận tâm, nhiệt tình
của thầy giáo TS. Lê Quốc Hán.
Nhân dịp này, tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy
- ng-ời đà đặt ra bài toán và dành cho tác giả sự giúp đỡ tận tình, chu đáo.
Tác giả cũng rất cảm ơn TS. Ngô Sỹ Tùng, TS. Nguyễn Thành Quang
và các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số đà giúp đỡ động viên, chỉ bảo
tác giả hoàn thành luận văn này.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô
giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học của Tr-ờng Đại học Vinh đà giúp
đỡ, động viên và luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành
nhiêm vụ của mình.
Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả đà nhận đ-ợc
nhiều sự góp ý, trao đổi chân thành của các bạn bè, đồng nghiệp. Tác giả
rất biết ơn và ghi nhận về những sự giúp đỡ quý báu đó.
Cuối cùng tác giả xin nhận đ-ợc những góp ý chân tình của các
thầy giáo, cô giáo cùng các bạn.
Vinh, tháng 11 năm 2002
Tác giả

4


1. T-ơng đẳng trên nửa nhóm xiclic
1.1 nửa nhóm xiclic

Nếu a là một phần tử tuỳ ý của nửa nhóm S , th× nưa nhãm con
<a> cđa S sinh bëi a gồm tất cả những luỹ thừa nguyên d-ơng của a
<a>= a,a2,a3, . Nếu <a>=S thì S đ-ợc gọi là nửa nhóm xiclic.
Trong tr-ờng hợp tổng quát, ta gọi <a> lµ nưa nhãm con xiclic cđa
S sinh bëi a, cÊp của a đ-ợc định nghĩa là cấp của <a>. Với mỗi a S chỉ
có hai khả năng :
(1) Mọi luỹ thừa của a đều khác nhau. Lúc đó rõ ràng a có cấp vô hạn
và <a> là nửa nhóm xiclic vô hạn, <a> N.
(2) Tồn tại các số nguyên d-ơng r và s với r < s sao cho ar = as. Lúc đó
a có cấp hữu hạn .
Giả sử s là số nguyên d-ơng bé nhất sao cho as là luỹ thừa của phần tử a
bằng một luỹ thừa bé hơn nào đó của phần tử đó. Thế thì a s = ar với r nào
đó bé hơn s. Vì các phần tử a, a2, a3,, as-1 phải khác nhau, nên r là số
nguyên d-ơng duy nhất sao cho r < s và ar = as.
Giả sử m = s-r . Nhân hai vế của đẳng thức ar = am + r liên tiếp với am, ta
đ-ợc ar + km = ar với mỗi số nguyên k 0. Nếu n là một số nguyên d-ơng
tuỳ ý thì n = km + i , trong đó k và i là các số nguyên sao cho k 0 và
0 i < m. Từ đẳng thức ar + n = ar + km + i =ar + i
ta thấy mỗi luỹ thừa của phần tử a, bắt đầu từ ar trở đi bằng một trong
các phần tử thc tËp hỵp Ka =  ar, ar + 1,…, ar + m - 1
Bây giờ hiển nhiên là a có cấp hữu hạn, bằng m + r - 1. Ta gọi r là
chỉ số, còn m là chu kỳ của phần tử a và của nửa nhóm <a>. Đẳng thức
sau đây là đúng : chỉ số + chu kỳ = cÊp +1.

5


TËp Ka =  ar, ar + 1,…, ar + m - 1 lµ nưa nhãm con cđa nưa nhãm S
và là nhóm xiclic cấp m của S .
1.1.1. Định lý.(xem [1] ) Giả sử a là một phần tử cđa mét nưa
nhãm S vµ <a> lµ nưa nhãm con xiclic của S sinh bởi a. Nếu <a> vô hạn,
thì mọi luỹ thừa của phần tử a đều khác nhau. Nếu <a> hữu hạn, thì tồn
tại hai số nguyên d-ơng, là chỉ số r và chu kỳ m của phần tư a, sao cho
am + r = ar vµ : <a>= a, a2, a3,…, am + r - 1.
CÊp cña nöa nhãm con <a> b»ng m+r-1 .
TËp Ka =  ar, ar+ 1,…, ar + m - 1.lµ nhãm con xiclic cấp m của nửa
nhóm S.
Đối với hai số nguyên d-ơng tuỳ ý cho tr-ớc r và m, có thể xây dựng nửa
nhóm xiclic <a> mà chỉ số bằng r và chu kỳ bằng m.
Bây giờ, chúng ta nhắc lại định nghĩa t-ơng đẳng, nửa nhóm th-ơng, định
lý cơ bản về đồng cấu, định nghĩa t-ơng đẳng Đuybrây và t-ơng đẳng
Krôadô.
1.1.2. Định nghĩa. Ta nói quan hệ trên nửa nhóm S là ổn định
bên phải (trái) nếu a b (a,b  S) kÐo theo ac bc( ca cb ) với mỗi c S.
Một quan hệ t-ơng đ-ơng ổn định bên phải (trái) sẽ gọi là t-ơng
đẳng bên phải (bên trái) trên S.
T-ơng đẳng trên S là quan hệ t-ơng đ-ơng vừa là t-ơng đẳng bên
trái, vừa là t-ơng đẳng bên phải.
1.1.3. Định nghĩa. Giả sử là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm S và
A,B là các phần tử tuỳ ý thuộc S , tức là các lớp t-ơng đ-ơng của S theo
mod. Giả sử a1,a2 A; b1,b2 B.
Tõ a1 a2  a1b1 a2b1 v×  ổn định bên phải
Từ b1 b2 a2b1 a2b1 vì ổn định bên trái
6

Theo tính chất bắc cầu của t-ơng đẳng ta kÕt ln a1b1 a2b2. Do
vËy, tÝch AB cđa líp A và lớp B đ-ợc chứa trong một lớp t-ơng đ-ơng C
nào đó .
Ta định nghĩa phép () trong S bằng cách đặt AB = C. Tập S
với phép toán () là một nửa nhóm mà ta gọi là nưa nhãm th-¬ng cđa S
theo mod .
Ta ký hiƯu a (a S) là lớp t-ơng đ-ơng theo mod chứa a. V× vËy
a b = (ab) víi a, b  S.
Nếu ký hiệu là ánh xạ từ nửa nhóm S lên S đ-ợc xác định bởi:
a = (a) víi a  S. Khi ®ã (a).(b) = a.b = ab = (ab). Vậy là
đồng cấu.
Ta gọi là đồng cấu tự nhiên (hay chính tắc) từ nửa nhóm S lên
nửa nhóm th-ơng S .
Các lý luận trên chøng tá r»ng mäi nưa nhãm th-¬ng cđa nưa nhãm
S là một ảnh đồng cấu của nó.
Định lý sau đây chứng tỏ rằng, đảo lại, mỗi ảnh đồng cấu của nửa
nhóm S đẳng cấu với một nửa nhóm th-ơng nào đó của nó.
1.1.4. Định lý. (Định lý cơ bản về đồng cấu). Giả sử là một đồng
cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S và giả sử = -1 tøc lµ a b (a,b 
S)  (a) = (b). Thế thì là môt t-ơng đẳng trên S và tồn tại đẳng cấu

từ nửa nhóm S lên S sao cho =, trong đó là đồng cấu tự
nhiên từ S lên S .
Chứng minh. Nếu ab và c S thì (ac) = (a)(c) = (b)(c) =
(bc), từ đó acbc. T-ơng tự cacb. Mà hiển nhiên là một quan hệ
t-ơng đ-ơng trên S nên nó là t-ơng đẳng .
7

Đối với mỗi phần tử A S , ta đặt (A) = (a1) trong đó a1 A.
Để chứng tỏ là một ánh xạ (từ S lªn S’) ta chó ý r»ng nÕu a2  A thì
a1a2 và do đó (a1) = (a2), vì là ánh xạ từ S lên S nên là ánh xạ từ
S

lên S.

Ta chứng tỏ là đồng cấu. Giả sử A,B S và a A, b B. ThÕ
th× ab  AB , do vËy ( AB) = (ab) = (a)(b) = (A)(B).
là ánh xạ một - mét . ThËt vËy, gi¶ sư (A) = (B) và ta lấy
a A, b B. Thế thì (a) = (A) = (B) = (b). Từ đó ab và vì vậy
a =b .Vậy là đẳng cấu từ S lên S.
Nếu a A S thì (a) = A. Thµnh thư (a) = (A) = [(a)] =
()(a). Điều này đúng với mọi a S nên ta kết luận = .
1.1.5. Định lý. (Định lý về đồng cấu cảm sinh).
Giả sử 1,2 là các đồng cấu từ nửa nhóm S lên các nửa nhóm S1,
S2 sao cho 1-1o 1 2-1o 2. Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất từ
nửa nhóm S1 lên nöa nhãm S2 sao cho  1 = 2.
Chøng minh. Giả sử a1 S và a là một phần tử thuộc nửa nhóm S
sao cho 1(a) = a1. Đặt (a1) = (a), nÕu 1(b) = a1 (b S) th× (a,b)  1-1o
1  2-1o 2 suy ra (a,b)  2-1o 2 . Từ đó 2(a) = 2(b) thành thử là
một ánh xạ (đơn trị). Hiển nhiên 1 = 2.
Ta chứng tỏ là đồng cấu.
[1(a)1(b)] = [1(ab)] = 2(ab) = 2(a)2(b) = [1(a)] [2(b)].
TÝnh duy nhÊt cđa  lµ hiển nhiên . Thật vậy, nếu thoả mÃn hệ
thức 1= 2 thì buộc phải xác định nh- đà làm ở trên.
8

1.1.6. Hệ qả. [2]

Nếu 1, 2 là các t-ơng đẳng trên nửa nhóm

sao cho 1 2 thì : S là ảnh đồng cấu của S .
2
1
1.1.7. Định nghĩa. Giả sử S là một mửa nhóm tuỳ ý vµ H lµ mét
tËp con t ý cđa S, víi a S (a tuỳ ý) , ta định nghĩa a[-1]H nh- sau :
a[-1]H=x S ax=H
Ta định nghĩa quan hƯ hai ng«i H nh- sau :
H =(a,b)  S xS a[-1]H = b[-1]H 
hay H = (a,b)  S xS  ax  H  bx  H, x S .
H là một t-ơng đẳng phải trên S , gọi là t-ơng đẳng phải
chính trên S xác định bởi tập H hay còn gọi là t-ơng đẳng Đuybrây.
1.1.8.Định nghĩa.

Với mỗi tập con bất kỳ H của nhóm S, một

phần tử bất kỳ a S, tađặt t-¬ng øng víi tËp H..a cho nh- sau :
H..a = (x,y) S xS xay H
Đặt H = (a,b)  S xS  H..a = H..b
hay H = (a,b)S xS  xay  H  xby  H, x,y S
Khi đó H là một t-ơng đẳng trên S và gọi là t-ơng đẳng chính trên S
t-ơng ứng với tập con H hay còn gọi là t-ơng đẳng Krôadô sinh bởi H
1.1.9. Mệnh đề.

Giả sử S = <a> là nửa nhóm xiclic hữu hạn với

chu kỳ là m và chỉ số r, n là số tự nhiên thoả mÃn điều kiện r n r +m

và n 0 (modm). Khi đó an là đơn vị của nhóm con tối đại :
Ka = ar,ar + 1,,ar + m - 1.
Chứng minh. Xét ánh xạ : Ka m
ak k
Khi đó là song ánh . ThËt vËy, gi¶ sư (ah) = (ak)  h =k 
9


h-k  0 (mod m)  h = k + mp (p Z), do ®ã ah = ak+ mp = ak.amp = ak (v×
Ka cã cÊp m ). VËy  là một đơn ánh.
Hiển nhiên là một toàn ánh, vì với mỗi h Zm luôn tồn tại phần
tử ah Ka sao cho (ah) = h.
Hơn nữa (ah.ak) = (ah+k) = h+k =h +k = (ah) + (ak), nên là đồng
cấu. Do đó là một đẳng cÊu nhãm, vµ ah =1  (ah) =0
 h =0  h  0 (mod m), trong ®ã r  n r + m.
1.1.10. Mệnh đề. Mỗi ảnh đồng cấu nhóm của một nửa nhóm
xiclic vô hạn N là một nhóm xiclic hữu hạn và mỗi nhóm xiclic hữu hạn là
một ảnh đồng cấu của một nửa nhóm xiclic N .
Chøng minh. Gi¶ sư  : N  G là một đồng cấu từ nửa nhóm N
lên nhóm G và (1) = y. Khi đó g G k  N ®Ĩ (k) = g  g = ky,
do đó G là nhóm xiclic sinh bởi y. Mặt khác nÕu  =  o -1 tøc ab 
(a) = (b) thì là một t-ơng đẳng trên N .
Thật vậy, hiển nhiên là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên N .
Nếu ab và c N thì (ac) = (a).(c) = (b).(c) = (bc), do đó acbc.
T-ơng tự ta cũng có cacb suy ra ổn định trái và phải.
X
Vì là một t-ơng đẳng trên N tồn tại một đẳng cấu : N G
X
(theo định lý cơ bản về đồng cấu) N G. Do đó,

Hoặc =1 thì N G suy ra N là nhóm(mâu thuẩn)
X
Hoặc 1 thì N hữu hạn nếu G hữu hạn.

Ng-ợc lại, giả sử Zn là nhóm xiclic hữu hạn thì t-ơng ứng : N Zn
k k (mod n)

là đồng cấu nhóm từ N lên Zn Zn là ảnh đồng cấu cđa nưa nhãm N
10


1.2. T-ơng đẳng trên nửa nhóm xiclic vô hạn.
1.2.1. Mệnh đề. Giả sử là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm xiclic
vô hạn N và 1N (1N - quan hệ bằng nhau trên N). Khi đó tồn tại duy
 a = b nÕu min(a,b) < r

nhÊt cỈp sè tù nhiªn (m,r) sao cho : a  b 

a b(mod m) nếu min(a,b) r (1)

Đảo lại , nếu m, r là hai số tự nhiên và là một quan hệ trên N xác định
bởi (1) thì là một t-ơng đẳng trên N.
X
Chứng minh. NhËn thÊy N  lµ nưa nhãm xiclic sinh bëi 1. Vì

1N nên p, q N sao cho (p,q)   N  lµ nưa nhãm xiclic hữu
X

hạn m, r N sao cho r = (m+r) vµ (m+r) lµ sè bÐ nhÊt cã thĨ chọn
đ-ợc thoả mÃn điệu kiện ấy (ở đây m và r chÝnh lµ chu kú vµ chØ sè cđa

X
nưa nhãm xiclic N ). Khi đó mỗi lớp 1, 2,, (r-1) chỉ chứa một

phần tử của N, nên nếu min(a,b) < r th× ab  a = b.
X
nÕu min(a,b)  r và N =1, 2,, (r-1),r(1),,(r+m-1)(1) , còn

: K1Zm là đẳng cấu xét trong Mệnh đề 1.9. Khi ®ã a = b
 a (1) = b (1)  a =b a b(mod m). Ng-ợc lại, nếu tồn tại cặp
X
số (m,s) thoả mÃn điều kiện(1) , khi đó N gồm s lớp mỗi lớp chỉ chứa

một phần tử của N và n lớp mỗi lớp chứa nhiều hơn một phần tử. Từ đó
X
s = r và m = r (vì các lớp của N không giao nhau).

1.2.2. Định lý. Giả sử là t-ơng đẳng trên nửa nhóm xiclic vô hạn
N. Khi đó: (i) hoặc =1N
(ii) hoặc tồn tại duy nhất cặp số (m, r) sao cho :

11



a b  


a = b nÕu min(a,b) < r
a b(mod m) nếu min(a,b) r

Ng-ợc lại một quan hệ trên N đ-ợc xác định nh- trên là một quan hệ
t-ơng đẳng trên N .
Chú ý . trong tr-ờng hợp =1N thì ta xem m =1 và r = , trong đó đ-ợc
ghép vào N xem nh- phần tử không của N. Khi đó cặp (m,r) đ-ợc gọi là
cặp số liên kết với .
1.2.3. Hệ quả. Giả và là các t-ơng đẳng trên N vµ   1N ,
s  r
n \ m

(m,r) liên kết với và (n,s) liên kết với . ThÕ th×     

s  r
n \ m

Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử  ta chøng minh. 

X
X
Ta cã toµn cÊu  : N N .Giả sử ng-ợc lại s > r  s-1 > r-1

a  a

 s-1  r

 r1  N, r1  r sao cho r1 + (s-1) = 0 chuyển qua ánh xạ ta cã
r1 + (s-1) = 0  (s-1)  K1  mâu thuẩn vì :
K1 = s(1), (s+1)(1),, (n+s-1)(1). Vậy s r.
Vì và (r, m + r)    r = m + r, cho qua ánh xạ ta có
r = m + r. Giả sư m kh«ng chia hÕt cho n tøc m = hq + h(0 h< h),
ở đây h là đơn vÞ cđa K1 tøc h chia hÕt cho n. Khi ®ã ta cã :

r = hq + h’ + r.
MỈt kh¸c r  s   r’  s sao cho r’ + r = h
 h = r’ + r = hq + h’ + r + r’ = hq + h’ + h
 h = h’  m©u thn víi c¸ch chän h’ (0  h’< h).
VËy m = hq mµ h chia hÕt cho n  m chia hÕt cho n tøc n \ m.
s  r
n \ m

Điều kiện đủ. Giả sử có

ta chứng minh   .
12


Gi¶ sư (a,b)   a  b(mod m) nÕu min(a,b)  r , do r  s
 min(a,b)  s mµ m chia hÕt cho n  a  b (mod m)  (a,b)   ,
do ®ã  .
X
1.2.4. Hệ quả. N là một nhóm khi và chỉ khi r = 1.
X
Chứng minh. Giả sử N là một nhóm. Vì K1 là nhóm con tối
X
X
đại cđa N  vµ N  = 1,2,..., (r-1), r(1),…, (m+r-1)(1)
X
N = K1 r = 1.
X
Ng-ợc lại , giả sử r =1, khi đó K1 = N  mµ K1 lµ mét nhãm suy ra

NX

 lµ mét nhóm.

1.3. T-ơng đẳng trên nửa nhóm xiclic hữu hạn.
1.3.1. Định lý. Giả sử là t-ơng đẳng trên nửa nhóm xiclic hữu hạn
S = <a> với chu kỳ m và chØ sè r,   1S . Khi ®ã tån tại duy nhất cặp số
tự nhiên s, n ; s < n vµ n \ m sao cho  ax, ay  S ta cã:
 x = y nÕu min(x,y) < s
a x  a y   x  y (mod m) nếu min(x,y) s (2)


Ng-ợc lại nếu s, n là hai số tự nhiên và là 1 quan hệ xác định bởi (2)
thì là t-ơng đẳng trên S.
Chứng minh. Vì là t-ơng đẳng trên S nên S

là nửa nhóm

xiclic hữu hạn sinh bởi a ( aS ) suy ra tồn tại các số nguyên d-ơng s,
n sao cho as = as + n với s+n là số nguyên d-ơng nhỏ nhất có thể chọn
đ-ợc. Khi đó s là chỉ số, n là chu kỳ của S và mỗi lớp a, a2,, as-1

13


chØ chøa mét phÇn tư cđa S, suy ra s < r (vì nếu s r thì các lớp ar,
ar+1, chứa nhiều hơn một phần tử) nếu min (x,y) < s th× axby 
x = y. Ta cã S  = a, a2,…, as-1, as, as+1,…, an+s-1  và
Ka= as, as+1,, an+s-1 .
Xét ánh xạ : Ka Zn
a p p (mod n) là ánh xạ ®¼ng cÊu (theo mƯnh ®Ị

1.9). Nh- vËy a = b ( p  s , q  s )  p =q p q (mod n).
Mặt khác ta có S = <a> là nửa nhóm xiclic hữu hạn víi chu kú m vµ chØ sè
r suy ra ar = am+r  ar = ar + m cho qua ánh xạ ta đ-ợc r = r+m
r r + m (mod n )  m  0 (mod n) hay m chia hÕt cho n.
VËy axby  x  y (mod n) nÕu min (x,y)  s.
Víi mỗi t-ơng đẳng trênS thì cặp (s, r) tồn tại và duy nhất.
Thật vậy , giả sử ngược lại có cặp (s,n) khác thoả mÃn điều kiện
trên thì S  gåm s’ líp chØ chøa mét phÇn tư , n lớp chứa nhiều hơn một
phần tử. Vì các lớp không giao nhau suy ra s= s, n= n.
Ng-ợc lại giả sử (s,n) là cặp số tự nhiên thoả mÃn điều kiện (2) và
là 1 quan hệ xác định nh- trên thì là t-ơng đẳng trên S .
Thật vậy , là 1 quan hệ t-ơng đ-ơng vì ax ay  ay ax   cã
tÝnh ®èi xøng. Víi axS  ax ax (v× nÕu x < s thì x = x; còn nếu x s thì
x x(mod n) ) có tính phản xạ.
Ta cã

 x = y nÕu min(x, y) < s
ax ay  
x  y(mod n) nÕu min(x, y)  s (3)


 y = z nÕu min(x, y) < s
a y  a z   y  z mod n) nÕu min(x, y)  s (4)


14




x = z nÕu min(x, y) < s

Tõ (3) vµ (4) suy ra 
 x  z (mod n) nÕu min(x, y)  s
Do ®ã ax aZ   cã tính bắc cầu.
ổn định phải tức axay ax+Z ay+Z , thËt vËy :
 x = y nÕu min(x, y) < s
ax ay  
 x  y (mod n) nÕu min(x, y)  s

 x+z = y+z nÕu min(x+z, y+z) < s

 x+z  y+z (mod n) nÕu min(x+z, y+z) s

ax+Z ay+Z.
Hoàn toàn t-ơng tự ta cũng chứng minh đ-ợc ổn định trái.
Vậy là một t-ơng đẳng trên S .

15


2. T-ơng đẳng trên nửa nhóm NX
và ngôn ngữ nhóm Aben
Giả sử X là bảng chữ cái và X là vị nhóm tự do sinh bởi X , tức là vị nhóm
các từ trên X với đơn vị là từ rỗng mà ta sẽ kí hiệu là .
2.1. Định nghĩa.

Mỗi tập con L của X* đ-ợc gọi là một ngôn ngữ

trên X. Khi đó vị nhóm th-ơng X đ-ợc gọi là vị nhóm cú pháp của ngôn
L

ngữ L và đ-ợc kí hiệu là (L). Các phần tử của (L) sẽ đ-ợc kí hiệu là [u]
(lớp t-ơng đẳng L chứa từ u).
2.2. Định nghĩa. Một ngôn ngữ L đ-ợc gọi là ngôn ngữ nhóm nếu vị
nhóm cú pháp (L) của nó là một nhóm.
Ngôn ngữ L đ-ợc gọi là ngôn ngữ nhóm Aben nếu (L) là một nhóm
giao hoán.
2.3. Định nghĩa. Tập con H của nửa nhóm S đ-ợc gọi là tập con rời
rạc của S nếu t-ơng đẳng H là t-ơng đẳng đồng nhất.
2.4. Mệnh đề.

Giả sử H là tập con của G. Khi đó H rời rạc khi và

chỉ khi G \ H rời rạc trong G.
Chứng minh.

Để chứng minh mệnh đề 2.4, ta chỉ cần chứng minh

H = G \ H . ThËt vËy, gi¶ sư (a,b)  H khi ®ã xay  H  xby  H,
 x, yG tõ ®ã suy ra xay  H  xby  H,  x,yG suy ra (a,b) G \ H
T-ơng tự, nếu (a,b) H thì đi ng-ợc quá trình trên, ta có (a,b)
H . Do ®ã H = G \ H vµ MƯnh ®Ị 2.4 đ-ợc chứng minh.
Trong [4] đà mô tả ôtômát của các ngôn ngữ nhóm Aben. Trong tiết
này, chúng tôi sẽ mô tả dáng điệu của ngôn ngữ nhóm Aben thông qua viÖc

16

X
xét các t-ơng đẳng trên nửa nhóm NX sao cho N là một nhóm, trong

đó N là tập hợp các số tự nhiên, là bảng chữ cái nào đó và NX = (i) i
N, (i) có hữu hạn thành phần khác không là tích trực tiếp của các nửa
nhóm N đ-ợc chỉ số hoá bởi X, khi đó NX là vị nhóm với đơn vị là (0).
Chúng tôi sẽ khảo sát các nhóm con H cđa ZX-tÝch trùc tiÕp cđa c¸c nhãm
céng sè nguyên Z đ-ợc chỉ hoá bởi X, trong đó H đ-ợc sinh bởi K- lớp
chứa (0).
2.5. Định lý. Giả sử L là ngôn ngữ nhóm Aben trên X .Khi đó:
(i) Nếu từ u hoán vị của từ u thuộc X*, ta cã uLu’


(ii) Tån t¹i tËp con K NX sao cho : X   N 
L
K
X

Chøng minh. (i) Gi¶ sư u = y1y2…ym vµ u’= y1 y2 … ym , trong đó

(y1, y2, ,ym) là một hoán vị của ( y1 ,y2,,ym). Vì X là nhóm Aben
L

nên ta cã: [u] = [y1y2…ym] = [y1][y2]…[ym] = [y1][y2]…[ym]
= [y1y2…ym] = [u’]
suy ra uLu’
Ta s¾p xÕp thø tù tèt tËp X, do (i) nên ta thiết lập đ-ợc tập con K của NX thoả
mÃn điều kiện: K = (i) / x = x11 x22 L
Xét ánh xạ

: X NX
x  ( 1, 2,… ) trong ®ã i lµ sè kÝ hiƯu xi trong

tõ x . HiĨn nhiên là toàn ánh.
Giả sử (x) = (); (y) = (). Khi ®ã, (x) + (y) = () + () = (x +x)
= (xy) là đồng cấu. Vậy là một toàn cấu.
X
Giả sử = trong đó là đồng cấu tự nhiên từ NX lªn N 
K

17


Do và là toàn cấu nên cũng là toàn cấu, do đó ta có sơ đồ:

N
X


X

L


N



X

K

Theo định lý cơ bản về đồng cấu , tồn

X

tại một đẳng cấu từ X vào N với = . Bây giờ ta phải chứng
K

minh  =L.
ThËt vËy, gi¶ sư (x,y)   (x,y)   -1o   (x) = (y)
 o (x) = o(y) (()) = (())  ((),()) K.
  () + () + ()  K  () + () + ()K )  (), ()  NX
 (() K  ()  K )  (), ()  NX
 (uxv L  uyv  L ) ,  u, v X víi () = u , () = v.
 (x,y) L = L.
Từ định lý này , ta suy ra rằng để mô tả ngôn ngữ nhóm Aben tr-ớc hết ta
X
khảo sát các tính chất của tập con K cđa NX sao cho N  lµ mét nhãm.
K
X
2.6. Mệnh đề. Giả sử là t-ơng đẳng trên NX sao cho N  lµ mét

nhãm vµ K lµ  chứa đơn vị (0). Khi đó :
(i) Với mọi x  X,    K sao cho x  0
(ii) NÕu a  K, b  K th×  ka +lb  NX  K,trong ®ã k, l  Z
(iii)

a b   ,  K sao cho a +  = b + .

Chøng minh. (i). Gi¶ sư A = (0, 0,…, ax, 0,…) víi ax >0 thuéc -lớp
nào đó và (a1, a2,, ax) là thành phần tử thuộc -lớp nghịch đảo của A.
Khi đó =(a1, a2,, ax’+ ax,…)  K, trong ®ã  = ax’+ ax  ax 0.
(ii). Tr-íc hÕt ta cã  ka+lb/ k  0, l  0  K. Gi¶ sư ka + lb NX, k,
X
l Z , khi ®ã ka + lb  K vµ (k + k) a + (l + l) b  K. Do N  lµ mét

18


nhãm nªn nÕu m  K, n + m  K thì n K, do đó ka + lb  K víi k,l  Z.
VËy ka + lb/ k,l  Z   NX  K .
X
(iii). Gi¶ sư ab. Do N là một nhóm nên tồn tại m thuộc -lớp nghịch

đảo của - lớp chứa a sao cho a+m K và (a+m)(b+m). Mặt khác theo (i)
và (ii), tồn tại c K sao cho mỗi thành phần của nó đều lớn hơn thành phần
t-ơng ứng của a + m vµ b + m, nghÜa lµ c - a - m  K vµ c - b - m K. Đặt,
= c - a - m ,  = c - b - m ta cã a +  = c - m = b + .
Ng-ợc lại giả sử , K để a +  = b +  , ta sÏ chứng minh ab.
Do (i) và (ii) nên c K sao cho mỗi thành phần t-ơng ứng của c đều lớn
hơn thành phần của và . Khi đó (c-)  (c-).
 (a+(c--a))  (b+(c--b))  (a+m)(b+m) (do a + = b + ) ab
X
2.7. Định lý. Giả sử N là một nhóm, K là -lớp chứa đơn vị (0) ,

Z là nhóm cộng các số nguyên và H là nhóm con của ZX sinh bởi K.
X
X

Khi ®ã : N   Z H
X
X
Chøng minh. XÐt t-¬ng øng  : N   Z H

a  a + H
Ta có là ánh xạ vì nếu a = b   ,  K sao cho a +  = b + 
(Theo mƯnh ®Ị 2.6)
 a = b +  -  do H sinh bëi K nªn  -   H  a = b + H
 a+H = b+H hay (a) = (b).
là đồng cấu vì ( a + b) = ((a+b)) = (a+b)+H
= (a+H) + (b+H) = (a) + (b).

19


X
là toàn ánh. Thật vậy, giả sử b+H Z H khi đó tồn tại phần tử

bK sao cho b + b có các thành phần không âm (vì K là - lớp chứa đơn vị
(0) và H là nhãm con cđa ZX sinh bëi K). Khi ®ã b + H = b + b+H suy ra
tạo ảnh của b + H là ( b + b).
là đơn ¸nh .ThËt vËy nÕu a + H = b + H  a  b + H    k i i
iI

trong ®ã ki  Z, i  K sao cho : a  b   k i i
iI

X
X

ab (theo mệnh đề 2.6).Vậy là đẳng cấu và do đó N Z H

2.8. Định lý. Giả sử i là hệ các phần tử cđa NX sao cho x  X
®Ịu cã i thc hệ đó mà ix 0 .Đặt K = H NX , trong đó H là nhóm con
của ZX sinh bëi hƯ  i . Gäi  lµ quan hệ trên NX đ-ợc xác định bởi :
ab tồn tại hệ hữu hạn các số nguyên ki sao cho a  b   ki i .
iI

Khi đó :

(i) là t-ơng đẳng trên NX
X
X
(ii) N  Z H

Chøng minh. (i). Theo gi¶ thiÕt cđa  ta có aa ,tức có tính phản xạ.
Giả sử ab. Khi đó tồn tại hệ hữu hạn ki sao cho a b ki i
iI

Đặt ki = -li iI hữu hạn suy ra b  a   li i víi  li lµ hệ hữu hạn các số
iI

nguyên.Vậy ba hay có tính đối xứng.
Giả sử ab và bc khi đó tồn tại hệ hữu hạn các số nguyên
ki và lisao cho : b  a   k i i
iI

,

b  c l j j , trong đó I và J là các tập

jJ

hữu hạn. Khi đó : a c   k i i   l j j  c   t s s , trong đó S là tập hữu
iI

jJ

hạn và S  I + J  . VËy ac, do ®ã là quan hệ t-ơng đ-ơng .

20


Mặt khác nếu ab thì ta cũng suy ra đ-ợc (a+c)(b+c) và (c+a)(c+b). Vì
vậy là t-ơng đẳng trên NX.
X
(ii). Ta có N là vị nhóm và K thuộc -lớp chứa đơn vị (do (0) kii)

Thật vậy, giả sư a0 . Khi ®ã a  0   k i i với I hữu hạn, nên ta suy
iI

ra K là -lớp chứa đơn vị (0) .
Giả sử a thc -líp A. Do víi mäi x  X ®Ịu tồn tại ix 0, nên tồn tại tổ
hợp k i i `với I hữu hạn sao cho mỗi thành phần của đều lớn hơn
iI

thành phần t-¬ng øng cđa a . XÐt b   k i i  ( k i i  a) víi I hữu hạn.
iI

iI

Khi đó a + b = 2 K. Vậy b chính là -lớp nghịch đảo của a = A. Do
X
X
X
đó N là một nhóm (theo định lý 2.7) ta cã N   Z H .

Nh- vậy , ta đà mô tả đ-ợc tất cả các tập K là -lớp chứa đơn vị của
X
t-ơng đẳng khi N là một nhóm , nghĩa là đà mô tả đ-ợc mọi t-ơng

đẳng trên NX mà vị nhóm th-ơng là một nhóm . Các kết quả trên sẽ có ý
nghĩa hơn nếu mỗi t-ơng đẳng ấy là t-ơng đẳng chính.
Ta có kết quả sau đây :
X
2.9. Định lý. Giả sử là t-ơng đẳng trên X sao cho N là một

nhóm. Khi đó K , trong đó K là -lớp chứa đơn vị (0).
Chứng minh. Giả sö aKb  ((m+a)  K  (m+b)  K,  m  NX)
X
  m  NX nÕu m + a  K th× (m+a)(m+b)  ab v× N là một nhóm

K (1)
Ng-ợc lại giả sö ab  (a+m)(b+m),  m NX
21


 ((a+m)  K  (b+m)  K,  m  NX)  aKb hay   K (2)
Tõ (1) và (2) suy ra =K (đpcm).
Giả sử L là ngôn ngữ trên X và L là t-ơng đẳng chính phải Đuybrây sinh
bởi L trong X.

2.10. Định lý. Ngôn ngữ L trên X là ngôn ngữ nhóm Aben khi và
chỉ khi hai điều kiện sau đây đ-ợc thoả mÃn
(i). L là ngôn ngữ phản xạ, nghĩa là uv L  vu  L  u,v  X .
(ii). Tån t¹i nhãm con H cđa ZX sao cho:

  = (1,2,…) / u =x11x22… L = (+H)  NX 
Chøng minh. (i). Giả sử L là ngôn ngữ nhóm Aben khi ®ã, víi
mäi u,v L ta cã : u v = v u  uv = vu  (xuvy L  xvuy L,
 x,y  X). LÊy x = y =  th× ta cã uv  L  vu L .Do đó L là ngôn ngữ
phản xạ .
(ii).Vì L là ngôn ngữ nhóm Aben nên ôtômát tối tiểu (L) = (A,X,ao,,A)
đoán nhận ngôn ngữ L là liên thông mạnh và hoán vị.
Thật vậy, a w, b v trong đó w, v X tồn tại u X sao cho :
(wu, v) L, vì (L) là nhóm. Mặt khác vì L L nên (wu, v) L.
Khi đó (a,u) = b.
T-ơng tự u X sao cho (b,u) = a. Do đó (L) liên thông mạnh .
Mặt khác, u v = v u (vì (L) là nhãm Aben) nªn :

(xuvy L  xvuy  L , x,y X)  (uvy  L  vuy  L, y  X)
 (ao ,uv) = (ao ,vu), u,v X. Suy ra (a,v) = (b,u) víi a = (ao ,u) ,
b = (ao ,v). Do đó ôtô mat (L) hoán vị.
Bây giờ giả sử L:= u X/ (ao,u) = ao. K =   = (1,2,…) / u =
x11x22…  L  vµ H lµ nhãm con cđa ZX sinh bëi K. Khi ®ã ta cã :
22


  = (1,2,…) / u = x11x22… L  = (+H) NX.
Ng-ợc lại, nếu tồn tại tập H thoả mÃn điều kiện trên. Khi đó theo ®Þnh lý 2.8
X
X

ta cã N   Z H , trong đó = K với K là -lớp chứa đơn vị (0) (Theo

định lý 2.9).
X


X
Vậy từ định lý 2.5 ta cã N   X  ..Do ®ã X   Z H .
K
L
L

X
Mµ Z H lµ nhãm Aben nên X là một nhóm Aben. Vậy L là ngôn ngữ
L

nhóm Aben
Trên đây ,chúng tôi đà mô tả đ-ợc dáng điệu ngôn ngữ nhóm Aben (
Định lý 2.10) thông qua việc khảo sát các t-ơng đẳng trên vị nhãm NX sao
X
cho N  lµ mét nhãm . Dùa trên các kết quả đó và đặc tr-ng ôtômát của

ngôn ngữ nhóm Aben (xem [4]), chúng tôi hy vọng rằng sẽ mô tả đ-ợc văn
phạm của lớp ngôn ngữ này.

23


3. Ôtômat xiclic địa ph-ơng

3.1. Định nghĩa. Ôtômat trạng thái là cặp (A,X) trong đó
A = a1,a2, là tập các trạng thái và X là tập hữu hạn X = x1,x2,,xn
trên đó xác định một ánh xạ : A xX  A
(a, x)  a' vµ ta th-ờng ký hiệu là

(a,x) = a hay đơn giản hơn ax = a.
Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi X, khi đó ta có thể thiết lập
ánh xạ * : AxX A xác định nh- sau * (a,) = a và nếu uX thì
u = xy trong đó x,y X thì * (a,u) = ((a,x),y).
Để đơn giản, ng-ời ta cũng dùng kí hiệ thay cho . Để cho một
ôtômat ng-ời ta có thể cho bằng bảng hoặc cho bằng đồ thị.
3.2. Định nghĩa. 1, Ôtômat a = (A,X) đ-ợc gọi là ôtômat xiclic
nếu tồn tại trạng thái aoA sao cho a A, u X để aou = a.
2, Ôtômat a = (A,X) đ-ợc gọi là liên thông nếu a, aA, tồn
tại u X sao cho au = a hoặc tồn tại v X để av = a (nghĩa là với hai
trạng thái bất kỳ bao giờ cũng có một con đường đi từ trạng thái này
đến trạng thái kia).
3, Ôtômat a = (A,X) đ-ợc gọi là liên thông mạnh nếu a,a’A,
 u,v  X sao cho au = a’ ; av = a.
4, Ôtômat a = (A,X) đ-ợc gọi là ôtômat xiclic địa ph-ơng nếu
với mọi tập con hữu hạn a1,a2,,amcủa A, tồn tại trạng thái a A và
các từ u1,u2,,um X sao cho aui = ai (i = 1,m).
Từ các định nghĩa trên ta có mối quan hệ giữa 4 loại ôtômat đó
đ-ợc cho bởi sơ ®å sau:

24


a liên thông mạnh

a liên thông

a xiclic

a xiclic địa ph-ơng

3.3. Mệnh đề. Nếu a = (A,X ) là ôtômat liên thông thì a = (,X )
là ôtômat xiclic địa ph-ơng.
Chứng minh. Thật vậy từ định nghĩa ôtômat địa ph-ơng ta có thể
xét tr-ờng hợp A hữu hạn (vì nếu A vô hạn thì ta xét tập con hữu hạn của
nó) mà không làm mất tính tổng quát của kết luận mệnh đề.
Giả sử a,b A ký hiệu a b nÕu tån t¹i tõ u X sao cho au = b
vµ nãi r»ng a sinh ra b hay b đ-ợc sinh bởi a.
Với mỗi a A , kí hiƯu Va =  s A askhi ®ã ab kÐo theo Va  Vb
u
v

b

s suy ra (a,uv) = s), V× A hữu hạn nên tồn
(vì s Vb thì a

tại ao A để Va = A(1).Ta sẽ chứng minh (1)
0

ThËt vËy , nÕu a1  A vµ Va = A th× chøng minh kÕt thóc .
1

NÕu Va A  a1  A, a2  Va (v× Va  A) a1a2 vì a
1

1

1

liên thông a2 a1 Va  Va ( Va  Va )
1

2

1

2

NÕu Va = A suy ra chøng minh xong (v× nÕu Va  A  a3 
2

2

A nh-ng a3 Va  a2a3 do ®ã a3 a2 suy ra Va  Va ( Va Va ).Vì A
2

2

3

2

3

hữu hạn nên chuỗi tăng Va sau một số hữu hạn b-ớc sẽ bị dừng nghĩa là
n

a0A để Va = A, suy ra a0 là trạng thái sinh của A .
0

Chú ý : a liên thông thì ch-a hẳn a là xiclic, chẳng hạn X = 1,0 ,
A=a1, a2 ,a3,. Khi đó ôtômat cho bởi đồ thị:

25


a1

1

1

a2

o

a3

o

1

....

1

an

1

o

o

3.4. Định nghĩa. Nửa nhóm S đ-ợc gọi là nửa nhóm xiclic địa
ph-ơng nếu a,b A a N hoặc số tự nhiên m để b = an hoặc a =bm
Giả sử u X, khi đó u xác định một ánh xạ u : AA .
a  au

Hai tõ kh¸c nhau cã thĨ sinh ra cïng một hàm trạng thái . Từ đơn vị
sinh ra ánh xạ đồng nhất của A .Tập hợp các ánh xạ u u X là vị
nhóm con của vị nhóm các ánh xạ từ A vào A, ký hiệu là T(A). Từ đây
chúng tôi đà thu đ-ợc kết quả t-ơng tự sau :
3.5. Mệnh đề.

Với mỗi nhóm xiclic địa ph-ơng S tuỳ ý, bao giờ

cũng tồn tại ôtômat xiclic địa ph-ơng a =(A,X) sao cho T(A) S1 .
Chứng minh. Giả sử S là nửa nhóm có tập sinh là Y (có thể Y =
S).Ta xây dựng ôtômat a = (A,X) nh- sau : Chän A vµ X lµ hai tËp tuú ý
sao cho A = S,  X = Y. Khi đó tồn tại hai song ánh  : A S vµ
g : X Y (theo lý thuyết nhóm) . Thiết lập hàm chuyển trạng thái
(a,x) = -1((a),g(x)),
më réng g tíi toµn cÊu g : X S cho bëi : nÕu u = x1x2…xm th×

g(u) = g(x1)g(x2)…g(xm) . Khi đó a = (A,X) là xiclic địa ph-ơng .
ThËt vËy, gi¶ sư A’=  a1,a2,…,an   A, si = f(ai) S .Vì S là nửa
nhóm xiclic địa ph-ơng nên tồn tại s S ; ni  N sao cho si  s n .
i

m
m
m
Gi¶ sư s = y1 y 2 ... y k yj  Y, j = 1,…,k (do Y lµ tËp sinh cđa
1

2

k

S)  si  s n = y1 m y 2 m ... y k m , trong ®ã mi  m j .ni , vì g là song ánh nên tån
i

i1

i2

ik

j

26


t¹i xj  X sao cho g(xj) = yj j =1,,k , vì f là song ánh nên b  A sao

cho f(b) = y1. Khi ®ã f(ai) = si = y1 y1m 1 y2 m ... y k m = f(b). g(ui), trong ®ã
i1

i2

ik

ui = x1m 1 x2 m ...xk m  ai = f-1(f(b) g(ui)) = (b,ui)  b sinh ra ai i =1,m
i1

i2

ik

 a = (A,X) là xiclic địa ph-ơng.

Bây giờ chúng ta chứng minh T(A)  S1. Ta cã T(A)  X  , trong đó

đ-ợc xác định bởi : (u,v) (a,u) = (a,v) u,vX .
Vì g là toàn cấu từ X vµo S1  X



ker g 

 S 1 do ®ã ta chØ cÇn chøng

minh ker g =  . ThËt vËy, ta cã (u,v)  ker g  g(u) = g(v)
 f-1(f(a) g(u)) = f-1(f(a) g(v))  (a,u) = (a,v) (a,v) .
Giả sử L là ngôn ngữ trên X và L là t-ơng đẳng chính phải Đuybrây sinh

bởi L trong X.
3.6. Định nghĩa. Ta định nghĩa Ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L ,
ký hiệu (L) là
X

L

( L) :  X  , X , , w w L mà tác dụng của X lên
L






nh- sau: u f uf trongđó u là lớp t-ơng đẳng (theoL) chứa từ u;





a đ-ợc gọi là trạng thái ban đầu, còn tập w w L

đ-ợc gọi là tập


trạng thái cuối cùng. Ta th-ờng kí hiệu X  lµ A vµ tËp w w  L là A ;
L

còn hàm chuyển trạng thái là , cụ thĨ lµ ta sÏ viÕt (a,f) = b thay cho

u f  uf , trong ®ã a  u , và b uf . Nh- vậy, ôtômát đoán nhận L sẽ là :

(L) = A,X,ao,,A, trong đó L =  w  X  (ao,w)  A’ 
Râ ràng mỗi từ u X xác định một ánh x¹  u : A  A
x  xu

27