Rèn luyện một số năng lực tư duy độc lập cho học sinh thông qua dạy học giải một số dạng bài toán hình học không gian ở trườngthpt

Bộ giáo dục và đào tạo

Tr-ờng Đại học Vinh
======

Phan Xuân Hoài

rèn luyện một số năng lực t- duy độc lập
cho học sinh thông qua dạy học giải một số dạng
bài toán hình học không gian ở tr-ờng THPT

Chuyên ngành: PPGD Toán
MÃ số:
5.07.02

luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS-TS. Đào

Vinh, 2002
= =

Tam


Lời cảm ơn

L

uận văn này đ-ợc hoàn thành với sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo
trong chuyên ngành PPGD Toán - Tr-ờng Đại học Vinh, cùng một

số học viên lớp Cao học 8 - Toán. Đặc biệt, d-ới sự h-ớng dẫn tận

tình của giáo viên h-ớng dẫn PGS-TS. Đào Tam. Mặc dầu tác giả đà có
nhiều cố gắng, song vẫn không tránh khỏi những sai sót. Rất mong đ-ợc
sự thông cảm và đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn đọc để
luận văn đ-ợc hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn !

Ng-ời thực hiện:
Phan Xuân Hoµi

1


Mục lục
Mở đầu

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.

Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Giả thuyết khoa học
Nhiệm vụ nghiên cứu
Ph-ơng pháp nghiên cứu

Đóng góp luận văn
Cấu trúc luận văn

Ch-ơng I: Các cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực
t- duy độc lập của học sinh

Trang
1
1
2
2
2
3
3
4
5

I. Một số khái niệm chung.
II. Mối liên hệ giữa các khái niệm "T- duy tích cực", "T- duy
độc lập" và "T- duy sáng tạo".
III. Các cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các nguyên tắc
dạy học rèn luyện t- duy độc lập cho học sinh.
IV. Kết luận.

9
12

Ch-ơng II: Các biện pháp nhằm góp phần rèn luyện năng lực t- duy
độc lập của học sinh trong quá trình dạy học giải một số
dạng bài toán hình học không gian

13

I. Các nguyên tắc của việc đề ra các biện pháp rèn luyện năng
lực t- duy độc lập.
II. Các biện pháp rèn luyện năng lực t- duy độc lập
III. Thực hành dạy học giải một số dạng bài toán hình học
không gian.
IV. Kết luận.

5
7

13
24
59
75

Ch-ơng III: Thực nghiệm s- phạm
I. Mục đích thực nghiệm.
II. Nội dung thùc nghiƯm.
III. Tỉ chøc thùc nghiƯm.
IV. KÕt ln chung về thực nghiệm.

76
76
76
76
83

Kết luận

84

Tài liệu tham khảo

85

2


Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài.

Trong dạy học toán, hệ thống bài tập có vai trò quan trọng trong việc
khắc sâu kiến thức và rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đà học. Nó vừa
có tác dụng làm cho học sinh nắm vững kiến thức, kỹ năng, vừa làm cho học
sinh phát triển năng lực t- duy độc lập.
Nghị quyết Trung -ơng 4 (khoá VII) chỉ rõ: Phải "khuyến khích tự học",
phải "áp dụng những ph-ơng pháp giáo dục hiện đại để bồi d-ỡng cho học
sinh năng lực t- duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề". Ph-ơng pháp
giáo dục phải coi trọng việc bồi d-ỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu...
(Luật Giáo dục).
Hiện nay trong các nhà tr-ờng trung học phổ thông (THPT) đà có ý
thức đổi mới ph-ơng pháp dạy và học. Trên lớp giáo viên đà kết hợp đ-ợc các
ph-ơng pháp dạy học, đ-a học sinh vào tình huống có vấn đề, phần nào đÃ
phát huy tính tích cực của học sinh. Nh-ng do thời gian hạn chế, khối l-ợng
kiến thức cần truyền đạt thì nhiều nên còn ch-a phát huy đ-ợc tính độc lập
của học sinh, ch-a tạo đ-ợc môi tr-ờng để học sinh độc lập khám phá, độc
lập tìm tòi và độc lập nghiên cứu.

Đứng tr-ớc một bài toán hình học (lớp 11), năng lực nhận biết, tìm tòi
và phát hiện vấn đề của học sinh phần lớn đang là mập mờ. Trong dạy học
truyền thống theo kiểu "bình quân - đồng loạt", học sinh chỉ quan tâm học
thuộc lòng định nghĩa, định lý cùng một số bài toán trong sách giáo khoa
(SGK) để đối phó. Cơ hội tìm tòi và phát hiện vấn đề rất hiếm hoi. Kiểu học
nh- vậy kéo dài góp phần làm thui chột khả năng tự tìm kiếm, tự phát hiện
của học sinh.
Ngành Giáo dục đà đ-a ra nhiều quan điểm giáo dục tiên tiến, trong đó
có quan điểm "phát huy vai trò tích cực và chủ động của học sinh", quan
điểm "từng b-ớc biến quá trình tự đào tạo" nhằm rút ngắn khoảng cách giữa
khoa học nói chung với việc dạy học ở nhà tr-ờng phổ thông cả về mặt số
l-ợng và chất l-ợng. Trong các môn khoa học kỹ thuật, toán học giữ vai trò
quan trọng ở tr-ờng phổ thông, dạy học toán là dạy hoạt động toán học. Đối
với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học. Quá trình dạy học toán bằng mọi cách hình thành ở học sinh t- duy tích
cực, t- duy độc lập và t- duy sáng tạo, năng lực hoạt ®éng nhËn thøc ®éc lËp
tù tiÕp thu tri thøc, trau dåi häc vÊn.
3


Trong cuốn "Quá trình dạy - tự học", các tác giả Nguyễn Cảnh Toàn,
Nguyễn Kỳ, Nguyễn Văn Tảo, Bùi C-ờng đà luận bàn về tự học, đề ra ph-ơng
châm cơ bản bảo đảm thắng lợi của tự học, nêu lên các trở lực cho việc tự học
và kinh nghiệm khắc phục...
Gần đây, trong luận văn thạc sĩ của mình, tác giả L-u Xuân Tình đÃ
xây dựng đ-ờng lối hình thành và phát triển năng lực t- duy độc lập của học
sinh bằng hệ thống kiến thức, các bài toán chọn lọc có quy trình.
Việc rèn luyện các năng lực tự học, độc lập nghiên cứu cho học sinh là
một quá trình lâu dài, bắt đầu từ lớp 10 THPT kéo dài suốt cả quá trình học
tập, với nhiều hình thức phong phú và mức độ từ thấp đến cao, từ đơn giản

đến phức tạp. Ban đầu ở mức thấp, giáo viên làm mẫu, học sinh bắt ch-ớc theo.
Sau đó cao h¬n, häc sinh thùc hiƯn d-íi sù h-íng dÉn cđa giáo viên. Khi đà có
kỹ năng, học sinh có thể hoạt động chuẩn xác, tự nhiên, thành thạo...
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của mình là:
"Rèn luyện một số năng lực t- duy độc lập cho học sinh
thông qua dạy học giải một số dạng bài toán hình học không
gian ở tr-ờng THPT"
II. Mục đích nghiên cứu.

2.1. Xác định nội dung ph-ơng pháp rèn luyện năng lực t- duy độc lập.
2.2. Xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học không gian nhằm rèn
luyện năng lực t- duy độc lập cho học sinh.
III. Giả thuyết khoa học.

Trên cơ sở tôn trọng nội dung ch-ơng trình SGK giáo dục hiện hành,
nếu xây dựng đ-ợc một hệ thống các biện pháp (bài tập) tăng c-ờng khả năng
tự học cho học sinh thì:
- Có thể rèn luyện năng lực t- duy độc lập cho học sinh.
- Góp phần nâng cao chất l-ợng dạy học toán ở tr-ờng THPT, rèn luyện
khả năng độc lập nghiên cứu, tự phát hiện và giải quyết vấn đề.

IV. nhiệm vụ nghiên cứu.

Nhiệm vụ đặt ra cho luận văn là:
4.1. Làm sáng tỏ khái niệm t- duy ®éc lËp.
4


4.2. Xác định những cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các
nguyên tắc dạy học rèn luyện năng lực t- duy độc lập của học sinh.

4.3. Xác định các dạng bài tập phù hợp cho việc rèn luyện t- duy độc lập.
4.4.Tiến hành thực nghiệm s- phạm nhằm đánh giá mục đích, giả
thuyết khoa học của đề tài.
V. Ph-ơng pháp nghiên cứu.

5.1. Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về ph-ơng pháp dạy học toán, các cơ sở về
tâm lý học, giáo dục học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo về
ch-ơng trình hình học không gian ở phổ thông.
- Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học phục vụ cho đề tài.
- Nghiên cứu các công trình, các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề
tài (các luận văn, các chuyên đề...).
5.2. Điều tra tìm hiểu:
Tìm hiểu về việc dạy và học hình học ở tr-ờng THPT theo các chuyên
đề của hình học không gian.
5.3. Thực nghiệm s- phạm:
- Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm
và các lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối t-ợng.
- Đánh giá kết quả bằng ph-ơng pháp thống kê trong khoa học giáo dục.
VI. Đóng góp luận văn.

6.1. Về mặt lý luận:
- Xác định cơ sở khoa học để xây dựng nội dung, ph-ơng pháp rèn luyện
năng lực t- duy độc lập cho học sinh.
- Xác định đ-ợc các biện pháp dạy học nhằm rèn luyện năng lực t- duy
độc lập cho học sinh.
6.2. Về mặt thực tiễn:
- Góp phần xây dựng đ-ờng lối rèn luyện năng lực t- duy độc lập cho học
sinh thông qua giải toán hình học không gian.
- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên tr-êng

THPT.
5


VII. Cấu trúc của luận văn.


Mở đầu
- Lý do chọn đề tài.
- Mục đích nghiên cứu.
- Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Giả thuyết khoa học.
- Ph-ơng pháp nghiên cứu.
- Đóng góp luận văn.



Nội dung:

Ch-ơng I: Các cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực
t- duy độc lËp cđa häc sinh.
I. Mét sè kh¸i niƯm chung.
II. Mèi quan hệ giữa các khái niệm "t- duy tích cực", "t- duy độc lập"
và "t- duy sáng tạo".
III. Các cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các nguyên tắc dạy
học rèn luyện t- duy độc lập cho học sinh.
IV. Kết luận.
Ch-ơng II: Các biện pháp nhằm góp phần rèn luyện năng lực t- duy
độc lập của học sinh trong quá trình dạy học giải một số dạng bài toán hình
học không gian

I.

Các nguyên tắc của việc đề ra các biện pháp rèn luyện năng lực tduy độc lập.

II. Các biện pháp rèn luyện năng lực t- duy độc lập.
III. Thực hành dạy học giải một số dạng bài toán hình học không gian.
IV. Kết luận.
Ch-ơng III: Thực nghiệm s- phạm
I. Mục đích thực nghiệm.
II. Nội dung thực nghiƯm.
III. Tỉ chøc thùc nghiƯm.
IV. KÕt ln chung vỊ thùc nghiệm.
Kết luận
Tài liệu tham khảo


6


Ch-ơng I:

Các cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện
năng lực t- duy độc lập cho học sinh
I. Một số khái niệm chung.

1.1. Năng lực.
Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với
những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có
hiệu quả.
Năng lực có thể chia thành 2 loại: năng lực chung và năng lực riêng biệt.

- Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động
khác nhau. Chẳng hạn, những thuộc tính về thể lực, về trí tuệ (quan sát, trí
nhớ, t- duy, t-ởng t-ợng, ngôn ngữ...) là những điều kiện cần thiết để giúp
cho nhiều lĩnh vực hoạt động có kết quả.
- Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) là sự thể hiện
độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn đáp ứng nhu cầu của
một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao. Chẳng hạn, năng lực toán
học, năng lực âm nhạc, năng lực thể dục thể thao...
Hai năng lực chung và riêng luôn bổ sung, hỗ trợ cho nhau.
Các mức độ của năng lực:
Ng-ời ta th-ờng chia năng lực thành 3 mức độ khác nhau: năng lực, tài
năng, thiên tài.
- Năng lực là một mức độ nhất định của khả năng con ng-ời, biểu thị
khả năng hoàn thành có kết quả một hoạt động nào đó.
- Tài năng là mức độ năng lực cao hơn, biểu thị sự hoàn thành một cách
sáng tạo một hoạt động nào đó.
- Thiên tài là mức độ cao nhất của năng lực, biểu thị ở mức kiệt xuất,
hoàn chỉnh nhất của những vĩ nhân trong lịch sử nhân loại ([18]).
Theo V.A.Krutecxki ([23]): Năng lực đ-ợc biểu thị nh- là "một phức
hợp của tâm lý cá nhân của con ng-ời đáp ứng những yêu cầu của một hoạt
động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó".
7


Theo Từ điển tiếng Việt ([26]): Năng lực đ-ợc hiểu nh- là "khả năng,
điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó".
1.2. Năng lực toán học.
Trong tâm lý học, năng lực đ-ợc hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ.
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đến với
việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán ở tr-ờng phổ thông, nắm một

cách nhanh chóng và có hiệu quả các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo t-ơng ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán
học (khoa học) tức là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra
những kết quả mới, khách quan, cống hiến cho loài ng-ời những công trình
toán học có giá trị đối với sự phát triển của khoa học nói riêng và đối với hoạt
động thực tiễn xà hội nói chung.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách
tuyệt đối. Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới năng
lực sáng tạo: có nhiều học sinh có năng lực, đà nắm giáo trình toán học một
cách độc lập và sáng tạo, đà tự đặt ra và giải những bài toán không phức tạp
lắm, đà tự tìm ra các con đ-ờng, các ph-ơng pháp sáng tạo để chứng minh
các định lý, độc lập suy ra đ-ợc các công thức, tự tìm ra các ph-ơng pháp giải
độc đáo cho những bài toán không mẫu mực...
Theo ([8] - tr 126): Những năng lực toán học hiểu là: những đặc điểm
tâm lý cá nhân (tr-ớc hết là những hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu
của hoạt động học tập toán học và trong những điều kiện vững chắc nh- nhau
thì đó là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng
tạo toán học với t- cách là môn học đặc biệt nắm vững t-ơng đối nhanh, dễ
dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học.
Về bản chất của năng lực toán học: năng lực toán học không phải là
những bản chất bẩm sinh mà đ-ợc tạo thành trong cuộc sống, trong hoạt
động, sự tạo thành này dựa trên cơ sở một số mầm mống xác định.
Việc rèn luyện và phát triển những năng lực toán học ở học sinh là một
nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của ng-ời thầy giáo, vì: thứ nhất, toán học có
một vai trò to lớn trong sự nghiệp phát triển của các ngành khoa học, kỹ thuật
và sự nghiệp cách mạng cần thiết có đội ngũ những ng-ời có năng lực toán học;
thứ hai, nhà tr-ờng là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của toán
học, không ai khác chính thầy giáo là những ng-ời hoặc chăm vun xới cho
những mầm mống năng khiếu toán học ở học sinh hoặc làm thui chét chóng.
8

1.3. T- duy.
T- duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong, có tính chất quy luật của sự vật và
hiện t-ợng trong hiện thực khách quan, mà tr-ớc đó ta đà biết.
T- duy là một mức ®é nhËn thøc míi vỊ chÊt so víi nhËn thøc cảm
tính. Nếu cảm giác, tri giác mới chỉ phản ánh đ-ợc những thuộc tính bên
ngoài, những mối liên hệ và quan hệ bên ngoài của sự vật và hiện t-ợng, thì tduy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ và
quan hệ có tính chất quy lt cđa sù vËt, hiƯn t-ỵng ([18] - tr 113).
T- duy là quá trình tâm lý nhờ đó mà con ng-ời phản ánh đ-ợc các đối
t-ợng và các hiện t-ợng của hiện thực qua những dấu hiệu của chúng. Con
ng-ời vạch ra đ-ợc những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối t-ợng và hiện
t-ợng giữa các đối t-ợng và hiện t-ợng với nhau ([8] - tr 94).
Theo Từ điển tiếng Việt ([26]), t- duy là: giai đoạn cao của quá trình
nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng
những hình thức nh- biểu t-ợng, khái niệm, phán đoán và suy lý.
T- duy phản ánh thực tế một cách khái quát vì nó phản ánh những
thuộc tính của hiện thực thông qua các khái niệm, mà các khái niệm lại tách
khỏi những sự vật cụ thể. Những cái chứa đựng những thuộc tính này, t- duy
phản ánh hiện thực một cách gián tiếp còn vì nó thay thế những hành động
thực tế với chính các sự vật bằng các hành động tinh thần với những hình ảnh
của chúng, nó cho phép giải quyết những nhiệm vụ thực tế thông qua hoạt
động tinh thần (lý luận) bằng cách dựa trên những tri thức về các thuộc tính
và các quan hệ của các sự vật đ-ợc củng cố trong các khái niệm ([17]).

II. Mối quan hệ giữa các khái niệm "t- duy tích cực", "tduy độc lập" và "t- duy sáng tạo".

2.1. T- duy tích cực.
Là loại t- duy dựa vào tính tích cực nhận thức của học sinh trong quá

trình học tập. Tích cực nhận thức là trạng thái hoạt động của học sinh đặc
tr-ng bởi khát vọng học tập, huy động trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình
nắm v÷ng kiÕn thøc ([23] - tr 43).
Theo Shukina G.L, tÝnh tích cực có thể phân thành 3 loại: tích cực tái
hiện, bắt ch-ớc; tích cực tìm tòi và tích cực sáng tạo.
9


2.2. T- duy độc lập.
Là loại t- duy dựa vào tính độc lập nhận thức của học sinh trong quá
trình học tập.
Anistôva, Êxipov B.P: "Tính độc lập là năng lực của cá nhân học sinh
tham gia hoạt động mà không có sự can thiệp từ bên ngoài".
Theo nghĩa rộng, bản chất của tính độc lập nhận thức là sự chuẩn bị về
mặt tâm lý cho sự tự học...
Theo nghĩa hẹp, tính độc lập nhận thức là năng lực, nhu cầu häc tËp vµ
tÝnh tỉ chøc häc tËp, cho phÐp häc sinh tự học ([17]).
Ví dụ: Khi dạy học về "Định lý hàm số cosin"
A

Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

b

c

Nếu đ-ợc sự gợi ý "chút xíu" của
giáo viên rằng: Xem đại l-ợng "a2" là
" BC 2 ". Thì học sinh có thể phân tÝch:

B

a

C

BC 2 = ( BA  AC)2 .

Tõ ®ã, häc sinh tự mình chứng minh đ-ợc định lý.
2.3. T- duy sáng tạo.
Là t- duy tạo ra đ-ợc cái gì mới. Tuy nhiên, học sinh trong quá trình
sáng tạo, tạo ra cái mới không phải chủ yếu đối với xà hội mà là đối với chủ
quan mình, nh-ng cái mới ấy ®ång thêi cịng cã ý nghÜa x· héi, bëi v× khi đó
cá nhân đ-ợc hình thành và biểu lộ ([17]).
2.4. Mối quan hệ giữa các khái niệm "t- duy tích cực", "t- duy độc
lập" và "t- duy sáng tạo".
V.A. Krutecxki đà biểu diễn quan hệ giữa các khái niệm "t- duy tích
cực", "t- duy độc lập" và "t- duy sáng tạo"d-ới dạng những đ-ờng tròn đồng
tâm. Đó là những mức độ t- duy khác nhau, mà mỗi mức độ tiếp sau là loài
(thuộc tính đặc tr-ng của chủng), mức độ tr-ớc đó là giống. T- duy sáng tạo
là t- duy tích cực và t- duy độc lập, nh-ng không mọi t- duy tích cực đều là
t- duy độc lập, và không phải mọi t- duy độc lập đều là t- duy sáng tạo.

10


T- duy tích cực
T- duy độc lập
T- duy sáng tạo

Ví dụ: Một học sinh chăm chú nghe thầy giảng cách chứng minh định
lý, cố gắng để hiểu đ-ợc tài liệu - ở đây có thể nói đến t- duy tích cực. Nếu
giáo viên đáng lẽ giải thích, lại yêu cầu học sinh tự phân tích định lý dựa theo
bài đọc trong SGK, tự nghiên cứu phần t-ơng ứng thì trong tr-ờng hợp này có
thể nói đến t- duy độc lập (và tất nhiên, cũng là t- duy tích cực). Có thể nói
đến t- duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm ra cách chứng minh mà
nó ch-a biết.
III. Các cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các
nguyên tắc dạy học rèn luyện t- duy ®éc lËp cho häc sinh.

3.1. C¬ së triÕt häc.
Theo triÕt học t- duy biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá
trình phát triển. Một vấn đề đ-ợc gợi cho học sinh hứng thú học tập, tự giác
độc lập tìm tòi và khám phá, chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhận thức
với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có. Tình huống này phản ánh một cách
lôgíc và biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức cũ, kỹ năng cũ, kinh
nghiệm cũ với yêu cầu tìm hiểu, giải thích sự kiện mới, t- duy mới hay đổi
mới tình thế (bài toán) nào đó.
Con ng-ời chỉ bắt đầu t- duy tích cực, độc lập khi nảy sinh nhu cầu tduy, tức là khi đứng tr-ớc một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục.
Nh- Rubinstein đà nói: "T- duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống
có vấn đề".
Dạy học rèn luyện t- duy độc lập cho học sinh phù hợp với tính tự giác
và tính tích cực, gợi đ-ợc hoạt động mà chủ thể đ-ợc h-ớng đích, gợi đ-ợc
các động cơ phát hiện và giải quyết vấn đề. Đồng thời dạy học phát huy và
rèn luyện tính tích cực, độc lập là phù hợp với xu thÕ bïng nỉ th«ng tin hiƯn
nay cđa x· héi, giúp cho học sinh ngay từ trên ghế nhà tr-ờng cã ý thøc tù
häc, tù rÌn lun, tù ph¸t hiƯn và giải quyết vấn đề.
3.2. Cơ sở thực tiễn.
Qua thực tế dạy học, chúng tôi nhận thấy:

11


Số tiết học ở trên lớp còn hạn chế, khối l-ợng tri thức cần truyền đạt thì
nhiều, đồng thời phải đúng lịch trình quy định, nên việc mở rộng, khai thác,
ứng dụng sáng tạo các khái niệm, tính chất, định lý... ch-a đ-ợc triệt để sâu
sắc. Điều này hạn chế ®Õn viƯc huy ®éng vèn kiÕn thøc cđa häc sinh, hạn chế
đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập cđa häc sinh trong häc tËp.
HƯ thèng bµi tËp sau mỗi phần, mỗi ch-ơng nhằm khắc sâu, ứng dụng
ngay khái niệm, định lý còn rất ít, ch-a phong phú về các dạng, ch-a có hệ
thống những ứng dụng khác nhau cđa tri thøc. Tõ ®ã häc sinh vËn dơng tri
thøc học đ-ợc vào việc giải toán còn lúng túng, ch-a rèn luyện đầy đủ về kỹ
năng giải toán, ch-a kích thích học sinh ham mê tìm tòi, khám phá, dễ dẫn
đến học sinh tiếp thu kiến thức một cách hình thức và hời hợt.
Để khắc phục phần nào tình trạng trên, chúng tôi cho rằng: giáo viên
phải tận dụng tối đa giờ trên lớp, phải chuẩn bị hệ thống bài tập mới bổ sung
cho SGK, giáo viên phải huy động mọi ph-ơng pháp để tạo ra môi tr-ờng
hoạt động tích cực, giúp học sinh nắm vững hệ thống kiến thức một cách cơ
bản vững chắc. Từ những yếu tố ban đầu, giáo viên đ-a ra những tình huống
có vấn đề ®Ĩ häc sinh cã thĨ ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, khả năng t- duy độc lập,
rèn luyện năng lực, huy động tri thức đà đ-ợc học và vận dụng tốt vào giải
quyết vấn đề. Từ đó, gây đ-ợc niềm tin, say mê, hứng thú tìm tòi, nghiên cứu,
độc lập suy nghĩ, tự mình phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.
3.3. Cơ sở về xu thế đổi mới ph-ơng pháp dạy học.
Trong những năm gần đây, khối l-ợng tri thức khoa học tăng lên một
cách nhanh chóng. Theo các nhà bác học, cứ 8 năm nó lại tăng lên gấp đôi.
Dòng thông tin tăng lên nhu vũ bÃo dẫn đến chỗ, khoảng cách giữa tri thức
khoa học tổng cộng và bộ phận tri thức đ-ợc lĩnh hội trong các tr-ờng phổ
thông và các tr-ờng đại học cứ mỗi năm lại tăng lên thêm.. Mặt khác, thời
gian học tập ở các nhà tr-ờng thì có hạn. Để hoà nhập và phát triển với xà hội,

con ng-ời phải tự học tập, trau dåi tri thøc, ®ång thêi biÕt tù øng dơng kiến
thức và kỹ năng đà tích luỹ đ-ợc trong nhà tr-ờng vào nhịp độ sôi nổi của
cuộc sống.
Tr-ớc tình trạng đó, các nhà tâm lý s- phạm, các nhà giáo dục trên thế
giới (và cả trong n-ớc) trong các ch-ơng trình nghiên cứu của mình đà khẳng
định nên cải tiến và đổi mới ph-ơng pháp dạy học nhằm giải quyết nhiƯm vơ:

12


- Nhiệm vụ thứ nhất: Rút ngắn tối đa khoảng cách giữa khoa học và
việc dạy học ở nhà tr-ờng phổ thông cả về mặt số l-ợng và cả về mặt chất
l-ợng. Nhiệm vụ này đ-ợc thực hiện bằng con đ-ờng hiện đại hoá các ch-ơng
trình học tập ở phổ thông.
- Nhiệm vụ thứ hai: Là gắn liền với việc đổi mới tính chất dạy học. Các
nhà tâm lý học s- phạm và giáo dục đà và đang nghiên cứu một số ph-ơng
h-ớng đổi mới đó. Chẳng hạn, các nhà tâm lý s- phạm (Liên Xô cũ) đà đ-a ra
các biện pháp thực hiện nhiệm vụ thứ hai này là:
+ Tăng c-ờng một cách hợp lý việc dạy học, đặc biệt là gắn liền với
việc cải tổ những quan niệm cổ truyền về những khả năng trí tuệ theo lứa tuổi
của học sinh với việc tìm tòi những tiềm năng phát triển trí tuệ của chúng.
+ Trong quá trình dạy học bằng mọi cách hình thành ở học sinh t- duy
tích cực, độc lập, sáng tạo, năng lực hoạt động nhận thức độc lập, tự trau dồi
học vấn và khả năng ứng dụng kiến thức sau khi ra tr-ờng ([16]).
Trong "Tri thức và t- duy" của U.Cruliăc ([21]) đà viết:
Có một vấn đề nổi lên đặc biệt gay gắt, đó là việc giáo dục tính tích cực
cho học sinh trong hoàn cảnh khối l-ợng tri thức tăng lên nh- vũ bÃo và vai
trò của t- duy khái quát và trừu t-ợng cũng tăng lên. Vì vậy nhà tr-ờng phải vũ
trang cho học sinh của mình kỹ năng không ngừng tự mình bổ sung và đổi mới
tri thức, phát triển kỹ năng tích cực học tập của học sinh, biết tự mình thu thập

tri thức và vận dụng tri thức một cách sáng tạo. Nh- vậy là ta đà chuẩn bị cho
học sinh độc lập giải quyết các vấn đề nảy sinh trong hoạt động lao động của
học sinh.
Điều đó có nghĩa là dạy học nhằm rèn luyện năng lực t- duy độc lập
cho học sinh chính là một bộ phận trong việc dạy học theo tinh thần "ph-ơng
pháp tích cực".
Riêng ở n-ớc ta:
Bộ Giáo dục và các ngành liên quan đà tổ chức nhiều hội nghị khoa
học, các hội thảo chuyên đề đổi mới ph-ơng pháp giảng dạy ở phổ thông. Các
nhà nghiên cứu giáo dục và s- phạm đà đ-a ra quan điểm đổi mới ph-ơng
pháp dạy học nh- "Phát huy vai trò tích cực và chủ động của học sinh", quan
điểm "Biến quá trình đạo tạo thành tự đào tạo", t- t-ởng "Lấy học sinh làm
trung tâm" với nội dung là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh trên
cơ sở tự giác, tự do khám phá trong học tập, độc lập giải quyết các vấn ®Ị n¶y
13


sinh trong hoạt động học tập. Đặc biệt, Nghị quyết hội nghị lần thứ 2 của Ban
chấp hành TW Đảng khoá VIII đà chỉ rõ con đ-ờng phải đổi mới giáo dục,
đào tạo phải bằng "Đổi mới mạnh mẽ các ph-ơng pháp giáo dục đào tạo,
khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t- duy sáng tạo của
ng-ời học... phát triển mạnh phong trào tự học, tự đào tạo th-ờng xuyên và
rộng khắp trong toàn dân, nhất là thanh niên".
Hiện nay, trong các tr-ờng THPT đà có ý thức đổi mới ph-ơng pháp
dạy và học. Trên lớp, giáo viên đà kết hợp đ-ợc các ph-ơng pháp dạy học,
đ-a học sinh vào tình huống có vấn đề phần nào đà phát huy đ-ợc tính tích
cực của học sinh. Nh-ng do thời gian hạn chế, khối l-ợng kiến thức cần
truyền đạt thì nhiều và phải dạy đúng lịch phân phối ch-ơng trình nên còn
ch-a phát huy đ-ợc tính độc lập của học sinh, ch-a tạo đ-ợc môi tr-ờng để
học sinh độc lập khám phá, độc lập tìm tòi và độc lập nghiên cứu.

Để rèn luyện năng lực t- duy độc lập của học sinh tr-ớc hết phải tạo
cho học sinh có môi tr-ờng hoạt động tích cực nh- đ-a học sinh tham gia vào
hoạt động xây dựng hệ thống các kiến thức, hệ thống các kỹ năng cơ bản
vững chắc trên cơ sở SGK. Từ đó học sinh có niềm tin say mê, hứng thú tự
giác học tập, độc lập tìm tòi, khám phá, độc lập nghiên cứu hơn nữa, thể hiện
khả năng tự mình phát hiện ra vấn đề, tự mình phát hiện ra ph-ơng h-ớng tìm
cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt đ-ợc trên cơ sở
gợi ý, định h-ớng và tổ chức của thầy giáo.
IV. Kết luận.

Trong ch-ơng này, chúng tôi đà phân tích, làm rõ các vấn đề nh- sau:
4.1. Các khái niệm: "Năng lực", "năng lực toán học", "t- duy". Chia
năng lực thành 2 loại (năng lực chung, năng lực riêng biệt) và 3 mức độ (năng
lực, tài năng, thiên tài). Hệ thống các quan điểm về t- duy.
4.2. Mối quan hệ giữa các khái niệm "t- duy tích cực", "t- duy độc lập",
"t- duy sáng tạo".
4.3. Các cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các nguyên tắc dạy học
(cơ sở triết học, cơ sở thực tiễn, cơ sở về xu thế đổi mới ph-ơng pháp d¹y häc).

14


Ch-ơng II:

Các biện pháp nhằm góp phần rèn luyện năng lực t- duy độc lập
của học sinh trong quá trình dạy học giải một số dạng bài toán
hình học không gian
I. Các nguyên tắc của việc đề ra các biện pháp rèn luyện
năng lực t- duy độc lập.

Trên cơ sở và thực tiễn phân tích ở ch-ơng I, t- t-ởng các biện pháp có
điểm tựa trên các nguyên tắc sau:
1.1. Nguyên tắc 1: Dạy học theo định h-ớng rèn luyện năng lực t- duy
độc lập tr-ớc hết phải đáp ứng đ-ợc mục đích của việc dạy, học toán trong
nhà tr-ờng phổ thông.
Xuất phát điểm của nguyên tắc này là: để đạt đ-ợc mục đích của việc
dạy, học toán trong nhà tr-ờng phổ thông, chúng ta đà đ-a ra các ph-ơng
pháp dạy học sau để thực hiện (thuyết trình, đàm thoại, trực quan, ôn tập,
luyện tập, kiểm tra). Do đó, dạy học theo định h-ớng rèn luyện năng lực tduy độc lập tr-ớc hết cũng phải đạt đ-ợc mục đích của việc dạy toán trong
nhà tr-ờng là:
Giúp học sinh lĩnh hội, phát triển và rèn luyện một hệ thống kiến thức,
kỹ năng, thói quen cần thiết cho:
- Cuộc sống hàng ngày với những đòi hỏi đa dạng của cá nhân, của gia
đình trong cộng đồng.
- Tiếp tục học tập, tìm hiểu toán học d-ới bất kỳ hình thức nào của giáo
dục th-ờng xuyên.
- Học tập, tìm hiểu các bộ môn khoa học hoặc các lĩnh vực khác.
- Hình thành và phát triển các phẩm chất t- duy cần thiết của một con
ng-ời có học vấn trong xà hội hiện đại (t- duy lôgic, t- duy thuật toán, t- duy
hình t-ợng...) cùng những phẩm chất, thói quen khác nh- đầu óc duy lý, tính
chính xác...
- Góp phần quan trọng trong việc thực hiện hoá khả năng hình thành
thế giới quan khoa học qua học toán, hiểu đ-ợc bức tranh toàn cảnh của khoa
học cũng nh- khả năng hình thành một số phẩm chÊt kh¸c.
- HiĨu râ ngn gèc thùc tiƠn cđa to¸n học và vai trò của nó trong quá
trình phát triển văn hoá, văn minh nhân loại cùng với những tiến bé khoa häc,
kü thuËt.
15

Nguyên tắc này cũng dựa trên cơ sở học sinh nắm vững các kiến thức
cơ bản và các kỹ năng cơ bản mới có thể bồi d-ỡng và rèn luyện năng lực tduy độc lập.
1.2. Nguyên tắc 2: Dạy học theo định h-ớng rèn luyện năng lực t- duy
độc lập phải đảm bảo sự tôn trọng và kế thừa ch-ơng trình SGK hiện hành.
Ch-ơng trình và SGK môn toán đ-ợc xây dựng trên cơ sở kế thừa
những kinh nghiệm tiên tiÕn ë trong vµ ngoµi n-íc, theo mét hƯ thèng quan
điểm nhất quán về ph-ơng diện toán học cũng nh- về ph-ơng diện s- phạm,
đà thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và đ-ợc
điều chỉnh nhiều lần cho phù hợp với thực tiễn giáo dục ở n-ớc ta.
Vì vậy, dạy học theo h-ớng rèn luyện năng lực t- duy độc lập cho học
sinh muốn đ-ợc thực thi phải phù hợp với ch-ơng trình và SGK, hay nói cách
khác dạy học theo h-ớng rèn luyện năng lực t- duy độc lập cho học sinh phải
đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa một cách tối -u ch-ơng trình và SGK hiện
hành. Khai thác triệt để những tình huống còn ẩn tàng trong SGK để thực hiện
mục đích của giờ dạy.
Nguyên tắc này dựa trên cơ sở khi học sinh đà có kiến thức vững chắc,
có kỹ năng giải các dạng bài tập toán. Từ đó học sinh cã niỊm tin, høng thó
trong häc to¸n.
VÝ dơ 2.1: Sau khi học sinh đà biết kết quả: "Nếu hai mặt phẳng phân
biệt lần l-ợt đi qua hai đ-ờng thẳng song song th× giao tun cđa chóng (nÕu
cã) song song víi hai đ-ờng thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đ-ờng
thẳng đó.".
- Giáo viên có thể ra thêm một số bài toán nhằm áp dụng kết quả trên
và khắc sâu thêm phần lý thuyết.
Bài toán 2.1: Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là một hình
bình hành. Tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng (SAB) và SCD).

S

d
A
D

Xây dựng lời giải:
- Giáo viên yêu cầu học sinh
xác định dạng bài toán.

16

B
C


- Học sinh nhận thấy đây là bài toán xác định giao tuyến của hai mặt
phẳng.
- Giáo viên yêu cầu học sinh tìm các con đ-ờng xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Học sinh sẽ phát biểu:
+ Tìm hai điểm chung M, N của hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó giao
tuyến là đ-ờng thẳng đi qua A và B.
+ Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và (Q). Sau đó tìm
ph-ơng của đ-ờng thẳng giao tuyến.
Từ đó, học sinh định ra h-ớng giải bài toán:
Dễ thấy S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Giáo viên đặt vấn đề: Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có liên quan gì
đến giả thiết bài toán ?
Học sinh sẽ đi đến:
AB  (SAB); CD  (SCD). Mµ AB // CD.
NhËn xÐt: Từ cách xây dựng lời giải ta nhận thấy giao tuyến của hai

mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đ-ờng thẳng d đi qua S và có ph-ơng là AB.
Ví dụ 2.2: Khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng có thể áp dụng
chứng minh các điểm cùng thuộc một đ-ờng thẳng.
Bài toán 2.2: Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng () cắt các cạnh
SA, SB, SC lần l-ợt tại A', B', C' sao cho B'C' cắt BC tại D, C'A' cắt CA tại E,
A'B' cắt AB tại F. Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Xây dựng lời giải:
Giáo viên đặt câu hỏi:
Ngoài các kiến thức đà biết tr-ớc đây nói về ba điểm A, B, C thẳng
hàng ( AB k.AC , ...) còn có kiến thức nào nữa không ?
Học sinh sẽ trả lời:
Ba điểm A, B, C cùng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt () vµ ().
A, B, C  d = ()  ()
17


S

Giáo viên đặt câu hỏi:

B'

HÃy chỉ ra cách xác định hai
A'

mặt phẳng () và () để chúng cùng
đi qua ba điểm A, B, C ?
Tìm các đ-ờng thẳng chứa các
điểm A, B, C. Từ đó sẽ xác định đ-ợc
các mặt phẳng () và ().

B
E

A
C'
C
D

D = B'C' BC D  (A'B'C'); D  (ABC)

Ta cã:

T-¬ng tù

F

D  (ABC)  (A'B'C')
E  (ABC)  (A'B'C'); F  (ABC)  (A'B'C')

VËy ba ®iĨm D, E, F thc giao tun cđa hai mặt phẳng (ABC) và
(A'B'C') nên chúng thẳng hàng.
1.3. Nguyên tắc 3: Dạy học theo định h-ớng rèn luyện năng lực t- duy
độc lập phải dựa trên định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học hiện nay.
Để rèn luyện năng lực t- duy độc lập của học sinh, tr-ớc hết phải đổi
mới nhận thức về vai trò, chức năng của ng-ời giáo viên trong quá trình dạy
học. Giáo viên phải biết h-ớng dẫn, tổ chức cho học sinh tự mình khám phá
kiến thức mới, dạy cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả ph-ơng pháp học,
trong đó cốt lõi là ph-ơng pháp tự học.
Định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học hiện nay là: "Học tập trong

hoạt động và bằng hoạt động" bao hàm một loạt những ý t-ởng lớn đặc tr-ng
cho ph-ơng pháp dạy học hiện đại ([12]. Nguyễn Bá Kim), đó là:
+ Xác lập vị trí chủ thể của ng-ời học, đảm bảo tính tự giác tích cực là
chủ thể chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ chứ không
phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo lệnh của thầy giáo. Hoạt động tự
giác, tích cực của ng-ời học thể hiện chỗ học sinh học tập thông qua những
hoạt động h-ớng đích và gợi động cơ để biến nhu cầu của xà hội chuyển hoá
thành nhu cầu nội tại của chính bản thân mình.
+ Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và
kiến thức sẵn có của ng-êi häc.
18


+ Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học.
Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học
tập: ở tri thức và kỹ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc
học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá trình
học tập một cách hiệu quả.
+ Dạy tự học trong quá trình dạy học. Dạy tự học đ-ơng nhiên chỉ có
thể thực hiện đ-ợc trong một cách dạy học mà ng-ời học là chủ thể, tự họ
hoạt động để đáp ứng nhu cầu của xà hội đà chuyển hoá thành nhu cầu của
chính bản thân họ.
+ Xác định vai trò mới của ng-ời thầy với t- cách ng-ời thiết kế, ủy
thác, điều khiển và thể chế hoá.
Thiết kế là lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học cả về mục đích,
nội dung ph-ơng pháp, ph-ơng tiện và hình thức tổ chức.
ủy thác là biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ học tập tự nguyện, tự
giác của trò, chuyển giao cho trò không phải những tri thức d-ới dạng sẵn có
mà là những tình huống để trò hoạt động và thích nghi.
Điều khiển, kể cả điều khiển về mặt tâm lý, bao gồm sự động viên,

h-ớng dẫn trợ giúp và đánh giá.
Thể chế hoá là xác nhận những kiến thức mới phát hiện, đồng nhất hoá
những kiến thức riêng lẻ mang màu sắc cá thể, phụ thuộc hoàn cảnh và thời
gian của từng học sinh thành tri thức khoa học của xà hội, định thể chế cho tri
thức mới đ-ợc chiếm lĩnh, h-ớng dẫn khả năng vận dụng và cách ghi nhớ
hoặc cho phép giải phóng khỏi trí nhớ.
Vì vậy, dạy học theo h-ớng rèn luyện năng lực t- duy độc lập cho học
sinh phải dựa trên định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học hiện nay.
1.4. Nguyên tắc 4: Tạo cho học sinh có một môi tr-ờng hoạt động tích
cực, tự giác.
Thầy giáo tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát
hiện vấn đề, hoạt động tự giác để giải quyết vấn đề và thông qua đó lĩnh hội
tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt đ-ợc những mục đích học tập khác. Kiểu
dạy học này phù hợp với tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi đ-ợc hoạt
động học tập mà chủ thể đ-ợc h-ớng đích, gợi động cơ trong quá trình phát
hiện và giải quyết vấn đề. Tác dụng giáo dục của kiểu dạy học này là ở chỗ
19


nó dạy cho học sinh học cách khám phá, tức là nó rèn luyện cho học sinh
cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học, đồng
thời nó góp phần bồi d-ỡng ng-ời học những đức tính cần thiết của ng-ời lao
động sáng tạo nh- tính chủ động, tích cực, kiên trì v-ợt khó, tính kế hoạch và
thói quen tự kiểm tra...
Nguyên tắc này chỉ đạo ng-ời giáo viên phải huy động một hệ thống
ph-ơng pháp tác động liên tục nhằm khêu gợi t- duy học sinh, tổ chức hoạt
động nhận thức của học sinh theo quy trình. Từ đó, học sinh có ý thức tự giác,
chủ động học tập, có tinh thần ham hiểu biết, tìm tòi, khám phá.
A

Ví dụ 4.1: Từ kết quả:
"Trong một tứ diện, các đoạn
nối hai trung điểm của các cặp cạnh
đối đồng quy tại một điểm G (G đ-ợc
gọi là trọng tâm tứ diện ABCD), và G
là trung điểm của mỗi đ-ờng".

I


G

D

B
J
C

Bài toán 4.1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tứ diện, A1 là
trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh A, G, A1 thẳng hàng.
Xây dựng lời giải:

A

Vì G là trọng tâm tứ diện
ABCD, nên G là trung điểm đoạn IJ.
Trong đo I - trung điểm AB; J - trung
điểm CD.

Q

I
G
D



Học sinh tìm tòi và khám phá:
- Có thể xem ba điểm A, G, A1
là các điểm chung của hai mặt phẳng
phân biệt. Cụ thể là: gọi P, Q lần l-ợt
là trung điểm của BC và AD. Vì G



B

A1

J

P
C

thuộc trọng tâm ABCD nên G PQ. Suy ra G  (APD). T-¬ng tù: G  (ABJ).
Mặt khác: A1 là trọng tâm BCD A1 = BJ  DP. Hay A1  (APD) vµ
A1  (ABJ).
Do ®ã A; G; A1 thuéc (ABJ)  (APD). Suy ra A, G, A1 thẳng hàng.
20

- Có thể xét riêng mặt phẳng
(ABJ). áp dụng định lý Mênêlauyt
cho tam giác BIJ và ba điểm A, G, A1
ta cã:
AI A1 B GJ
1
.
.
 .2.1  1;
AB A1 J GA
2

A

I
G
B

Do đó A, G, A1 thẳng hàng.

J

A1

Từ đó, học sinh có thể nêu ra bài toán mới:
"Trong một tứ diện, các đ-ờng thẳng nối từ một đỉnh đến trọng tâm mặt
đối diện đồng quy" (điểm đồng quy này là trọng tâm tứ diện).
Ví dụ 4.2: Khai thác từ một kết quả:
"Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tứ diƯn th× ta cã:
GA  GB  GC  GD 0 ".

Bài toán 4.2: Cho tứ diện ABCD. Gọi m a là độ dài đoạn trọng tuyến
nối từ đỉnh A đến trọng tâm A1 của BCD. Tính độ dài ma theo ai (i = 1,6 )
(a1 = AB; a2 = AC; a3 = AD; a4 = BC; a5 BD; a6 = CD).
Xây dựng lời giải:
Với mọi điểm M trong không gian ta có biểu thức vectơ:
MG

1
( MA MB  MC  MD )
4

(* )

Tr-íc hÕt gỵi cho học sinh chứng minh một kết quả:
Với mọi điểm M trong không gian thì:
1
1 6 2
2
2
2
2
a i 
MG = (MA +MB +MC +MD ) 4
16  i1

2

(**)

Muèn xuất hiện yếu tố "MG2", ta sẽ bình ph-ơng hai vÕ cđa biĨu thøc
(*), ta cã:

16MG2 = MA2+MB2+MC2+MD2+2 MA.MB +2 MA.MC
+2 MB.MC +2 MB.MD + MC.MD

Để không còn "dấu vectơ" trong biĨu thøc ta sư dơng c«ng thøc tÝch
v« h-íng:
1
MA.MB = (MA2+MB2-AB2)
2
21


DÉn ®Õn:

 6

16MG2 = 4(MA2+MB2+MC2+MD2) -   a i 2 
 i 1


Hay:

1  6 2 
1
2
2
2
2

MG = (MA +MB +MC +MD ) ai 
16  i 1
4

2

Nh- vËy, biểu thức (**) đ-ợc chứng minh.

A

Ta đà biết, nếu G là trọng tâm tứ
3
3
diện ABCD thì: AG = AA1 = ma.
4
4
Muốn xuất hiện "ma", ta phải làm xuất
hiện "AG".
Do đó, tõ biĨu thøc (**) cho ®iĨm

a3
a1
a2
B

M trïng víi ®iĨm A, ta cã:

a4

1

1  6 2 
2
2
2
AG = (AB +AD +AC ) ai 
16  i 1
4


G

A1

a5

D

a6

C

2

=

3 2
1 2
(a 1+ a22+ a23) (a 4+ a25+ a26)
16
16

3
Thay "AG" bëi " ma", suy ra:
4
9
3 2
1 2
ma2 =
(a 1+ a22+ a23) (a 4+ a25+ a26)
16
16
16

Hay:

m2a =

1 2
1
(a 1+ a22+ a23) - (a24+ a25+ a26)
3
9

Chó ý: Tõ biĨu thøc (**) nÕu cho ®iĨm M trïng với điểm O tâm mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta cã:
OG 

1
(OA  OB  OC  OD)
4

Vµ sư dụng OG 2 O thì ta lại có thêm mét kÕt qu¶:
 6 2
  a i   16R2 (R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diƯn ABCD)


 i 1


(DÊu "=" x¶y ra khi tø diƯn ABCD là tứ diện gần đều)
22


1.5. Nguyên tắc 5: Dạy học theo h-ớng rèn luyện năng lực t- duy độc
lập phải chú trọng đến việc học sinh tự do khám phá, độc lập tìm tòi phát
hiện vấn đề và độc lập giải quyết vấn đề.
Đây là hình thức kích thích các em tiếp tục quá trình nghiên cứu, củng
cố và phát hiện những kiến thức míi mỴ sau giê häc. Lóc cã thêi gian, häc
sinh nghiền ngẫm, kiểm nghiệm cũng nh- tổng hợp lại toàn bộ kiến thức thu
nhận đ-ợc từ SGK, từ t- liệu, từ bạn bè và từ thầy giáo. Kết quả một giờ học
không chỉ đ-ợc đánh giá ở việc học sinh thu nhận đ-ợc khối l-ợng tri thức
phong phú, sâu sắc, mà quan trọng hơn là khả năng vận dụng những tri thức
đó vào tình huống cụ thể. Chỉ khi nào học sinh biết biến hoá, nhào nặn những
tri thức đà thu nhận đ-ợc, biết điều khiển sử dụng nó, giải quyết tốt một vấn
đề thì khi đó học sinh mới thực sự hiểu thấu đáo vấn đề và làm chủ tri thức
của mình. Thông qua hình thức này, năng lực của học sinh đ-ợc bộc lộ toàn
diện và quan trọng hơn là sự bộc lộ này không cần những gợi ý h-ớng dẫn
của giáo viên mà hoàn toàn do sự tự huy động của học sinh.
Để giúp học sinh vận dụng kiến thức tốt, giáo viên đ-a ra những vấn ®Ị
võa mang tÝnh kh¸i qu¸t, võa mang tÝnh hÊp dÉn gợi tò mò, hứng thú, để học

sinh tự do khai thác, suy nghĩ tìm tòi, phát hiện những vấn đề mới và tự mình
giải quyết những vấn đề đó.
Ví dụ 5.1: Xuất phát từ hai công thức tính thể tích cđa tø diƯn ABCD:
V =

1
1
1
1
h1.S1 = h2.S2 = h3.S3 = h4.S4
3
3
3
3

(1)

Trong đó: hi (i = 1,4 ) lần l-ợt là các đ-ờng cao của tứ diện kẻ từ các
đỉnh A, B, C, D. Và Si (i = 1,4 ) lần l-ợt là diện tích của bốn mặt (BCD), (CDA),
(DAB), (ABC).
Và:

V =

1
r.Stp (2)
3

Trong đó: r là bán kính mặt cầu nội tiÕp tø diƯn vµ Stp = S1+S2+S3+S4.
Häc sinh cã thĨ tự biến đổi từ hai công thức (1) và (2) nh- sau:

Tõ (1) suy ra:

hi =

3V
Si

(i = 1,4 )

23


Tõ (2) suy ra:

r =

3V
S tp

Tõ ®ã, häc sinh sÏ tự thiết lập đ-ợc mối quan hệ giữa bán kính mặt cầu
nội tiếp với các đ-ờng cao của tứ diện. Dẫn đến bài toán:
Bài toán 5.1: Gọi hi (i = 1,4 ) là các đ-ờng cao lần l-ợt kẻ từ đỉnh A, B,
C, D và r là bán kính mặt cÇu néi tiÕp cđa tø diƯn ABCD. Chøng minh r»ng:
1
1
1
1
1
+
+

+
=
r
h1
h2
h3
h4

D-íi sự h-ớng dẫn của giáo viên, học sinh biến đổi kết quả bài toán 5.1
nh- sau:
Nếu gọi A1, B1, C1, D1 lần l-ợt là chân các đ-ờng cao kẻ từ A, B, C, D
tới các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC); I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện và
H1, H2, H3, H4 lần l-ợt là hình chiếu vuông góc của I xuống các mặt (BCD),
(CDA), (DAB), (ABC). Thì kết quả của bài toán 5.1 t-ơng đ-ơng với hệ thức:
A

IH1 IH2 IH3 IH 4



1
AA1 BB 1 CC1 DD1

Tõ hÖ thøc trên, giáo viên gợi ý
với học sinh cho điểm I trùng với trực
tâm H đối với tứ diện trực tâm. Khi
®ã: A1  H1, B1  H2, C1  H3, D1 H4.
Dẫn đến bài toán:

I

B

A1

D

H1
C

Bài toán 5.2: Cho tứ diện trực tâm ABCD. Gọi H là trực tâm của tứ
diện; A1, B1, C1, D1 lần l-ợt là chân các ®-êng cao kỴ tõ A, B, C, D. Chøng
minh r»ng:
HA1 HB1 HC1 HD1



1
AA1 BB 1 CC1 DD1

A

Häc sinh cã thÓ tự kiểm tra kết quả đó nh- sau:
Giả sử H = AA1  BB1

J

B1

H

Gäi I = AB1  CD  AI CD
(ĐL 3 đ-ờng vuông góc) BI CD
A1 BI (vì A1 là trực tâm BCD).
24

D

B
A1

I
C