Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp vectơ

Khoá luận tốt nghiệp
PhầnI : MỞ ĐẦU
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

K

hái niệm quỹ tích trong hình học phẳng hay không gian liên hệ chặt
chẽ với khái niệm tập hợp và các phép tốn trên tập hợp. Khái niệm
quỹ tích là khái niệm trừu tượng của toán học, nhiều em học sinh gặp khó
khăn khi giải bài tốn này, đặc biệt là phần đảo. Đối với một bài tốn quỹ
tích thì có rất nhiều phương pháp để giải như: phương pháp tổng hợp,
phương pháp toạ độ, phương pháp biến hìnhv..v. Tuy nhiên có một phương
pháp khá mới mẻ đối với các em học sinh đó là phương pháp véctơ. Hiện
nay chưa có một tài liệu nào đi sâu nghiên cứu việc sử dụng phương pháp
véctơ để giải một bài toán quỹ tích.
Mặt khác, việc đưa phương pháp véctơ vào chương trình học ở bậc phổ
thơng hiện nay vừa nhằm hiện đại hố chương trình, vừa đáp ứng mục tiêu
đào tạo ở nhà trường phổ thông Việt Nam, vừa cập nhật với nền toán học
trong giai đoạn phát triển hiện nay. Phần véctơ là một trong những phần
quan trọng nhất của sách giáo khoa hình học lớp 10 hiện nay. Và đây cũng
là phần gây cho học sinh nhiều hứng thú nghiên cứu, tìm tịi. Chủ đề véctơ
có ý nghiã vơ cùng quan trọng bởi vì nó là cơ sở để xây dựng một số phương
pháp khác như: phưong pháp toạ độ, một số phép biến hình như phép vị tự,
phép tịnh tiến và nó là một trong những cơng cụ để giải toán hữu hiệu. Hơn
nữa phương pháp véctơ được đưa vào chương trình phổ thơng cũng là dịp
để học sinh làm quen với các ngơn ngữ của tốn cao cấp và học sinh sẽ
được trang bị thêm một công cụ mới để giải toán và suy nghĩ về các vấn đề
toán học theo một phương pháp mới, khác với phương pháp quen thuộc từ
trước đến nay.
Với ý nghĩa quan trọng của phương pháp véctơ thì đã có nhiều cơng
trình khoa học và rất nhiều sách tham khảo nghên cứu cứu về véctơ như:

ứng dụng tích vơ hướng để giải tốn, các bài tốn về phương pháp toạ độ,
quy trình giải các bài tốn hình học bằng phương pháp véctơ v..v. Nhưng
chưa có tài liệu nào viết sâu về quy trình sử dụng phương pháp véctơ để giải

1


Khố luận tốt nghiệp
bài tốn quỹ tích. Vì những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứa
là:"Quy trình giải bài tốn quỹ tích bằng phuơng pháp véctơ".
II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Xây dựngvà vận dụng quy trình vào giải các bài tốn quỹ tích.
- Nêu các biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình.
- Xây dựng hệ thống các bài toán rèn luyện kỹ năng giải bài tốn quỹ tích
bằng véctơ.
- Góp phần nâng cao chất lượng việc dạy học phần véctơ ở chương trình
tốn phổ thơng.
III- GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

Nếu biết xây dựng được các quy trình giải bài tốn quỹ tích bằng phương
pháp véctơ , đồng thời đề xuất được hệ thống bài tập thích hợp vận dụng
quy trình thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học véctơ ở trường phổ
thông.
IV-BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN

Phần I:
IIIIIIPhần II:

Mở đầu
Lý do chọn đề tài

Mục đích nghiên cứu
Giả thuyết nghiên cứu
NỘI DUNG

CHƢƠNG I: Một số nét đại cƣơng về lơgic trình bày kiến thức ở SGK

hình học 10
IMục đích, nội dung cuả việc trình bày chƣơng véctơ ở SGK hình
học lớp 10
IINội dung kiến thức véctơ trình bày trong sgk hình học lớp 10 PTTH
và các yêu cầu dạy học nội dung trên
CHƢƠNG II: Quy trình giải bài tốn quỹ tích bằng phƣơng pháp véctơ
và
các biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình
IQuy trình giải bài tốn quỹ tích bằng phƣơng pháp véctơ
I.1. Quy trình là gì?
2


Khố luận tốt nghiệp
I.2. Quy trình giải bài tốn quỹ tích bằng phƣơng pháp véctơ
II- Biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình
PHẦN PHỤ LỤC:

Thực nghiệm sƣ phạm
IMục đích thực nghiệm
IINội dung thực nghiệm
III- Tổ chức thực nghiệm
IV- Đánh giá kết quả thực nghiệm

PHẦN III: KẾT LUẬN

3


Khoá luận tốt nghiệp
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG I:
MỘT SỐ NÉT ĐẠI CƢƠNG VỀ LƠGIC TRÌNH BÀY KIẾN THỨC
VÉCTƠ TRONG SGK HÌNH HỌC HIỆN NAY
Kiến thức véctơ đƣợc trình bày ở chƣơng I và chƣơng II sách giáo
khoa hình học 10 -sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000.
I. - Mục đích, nội dung của việc trình bày chƣơng véctơ ở sách giáo
khoa lớp 10.
Mục đích:
Chƣơng véctơ đƣợc đƣa vào chƣơng trình sách giáo khoa lớp 10 phổ thơng
với mục đích sau:
1- Phƣơng pháp véc tơ cho phép tiếp cận những kiến thức tốn học phổ
thơng một cách gọn gàng, sáng sủa (nhƣ chứng minh định lý Pitago, định lý
côsin, hệ thức lƣợng trong tam giác v..v). Đồng thời phƣơng pháp véctơ cịn
là phƣơng pháp giải tốn có hiệu quả một cách nhanh chóng, tổng qt đơi
khi khơng cần đến hình vẽ. Mặt khác, nó cịn có tác dụng tích cực phát triển
tƣ duy trừu tƣợng, năng lực phân tích tổng hợp.
2 - Từ phƣơng pháp véctơ có thể xây dựng chặt chẽ phƣơng pháp tiên đề
theo tinh thần toán học hiện đại, từ đó với phƣơng pháp tiên đề có thể xây
dựng lý thuyết hình học cũng nhƣ cơng cụ giải tốn, cho phép giới thiệu
cách đại số hố hình học và hình học hố đại số
3- Việc nghiên cứu véctơ góp phần mở rộng nhân quan tốn học cho học
sinh, nhƣ tạo khả năng cho học sinh làm quen với những phép tốn trênđói
tƣợng khơng phải số, nhƣng lại có tính chất tƣơng tự. Điều đó sẽ dẫn đến sự

hiểu biết về tính thống nhất của tốn học, về các phép toán đại số, các cấu
trúc đại số. Đặc biệt là nhóm và khơng gian véctơ một trong những khái
niệm quan trọng nhất của tốn học hiện đại
4-Véctơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó cơng cụ véctơ tạo
điều kiện thực hiện mối quan hệ bên trong trƣờng phổ thông.
4


Khố luận tốt nghiệp
5 - Hiện nay nhiều phân mơn toán ở trƣờng đại học và cao đẳng đƣợc xây
dựng trên cơ sở véctơ nhƣ hình học, giải tích, đại số tuyến tính, hình học vi
phân... Vì thế nắm vững kiến thức véctơ ở phổ thông sẽ tạo điều kiện thuận
lợi để học sinh tiếp tục không đột ngột nắm chƣơng trình tốn cao đẳng, đại
học.
Nội dung:
Nội dung chƣơng véctơ là nội dung mới đối với đối tƣợng là học sinh
lớp 10. Nội dung véctơ là nội dung khó, trừu tƣợng đối với các em. Chƣơng
véctơ là chƣơng quan trọng nhất của chƣơng trình hình học lớp 10, bởi vì nó
khơng những làm giảm nhẹ một số vấn đề lý thuyết mà những vấn đề đó
trình bày hoặc chứng minh bằng con đƣờng tổng hợp khá cồng kềnh mà nó
cịn cung cấp phƣơng pháp giải tốn khá hiệu quả, ngồi ra nó cịn là cơ sở
để xây dựng các phƣơng pháp khác vv...
II -Nội dung kiến thức véctơ trình bày trong sách giáo khoa hình học 10
PTTH và các yêu cầu dạy học nội dung trên.
Nội dung:
Véctơ đƣợc trình bày trong sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000
với nội dung cơ bản sau:
Định nghĩa véctơ: Véctơ là một đoạn thẳng đã định hƣớng, nghĩa là đã chỉ
rõ diểm mút nào của đoạn thẳng đó là điểm đầu và điểm mút nào là điểm
cuối.

Có nhiều cách định nghĩa véctơ nhƣ định nghĩa theo lớp tƣơng đƣơng, định
nghĩa theo hệ tiên đề. Tuy nhiên sách giáo khoa đã định nghĩa theo cách
truyền thống tức là định nghĩa dựa trên đoạn thẳng định hƣớng. Sự lựa chọn
cách định nghĩa đó là phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh.
Định nghĩa phƣơng, hƣớng và độ dài của véctơ:
- Hai véctơ gọi là có cùng phƣơng (hoặc nói gọn là cùng phƣơng) nếu
chúng lần lƣợt nằm trên hai đƣờng thẳng song song với nhau (hoặc trùng
nhau)
- Cho hai véctơ cùng phƣơng AB và CD , khi đó chúng có thể cùng hoặc
ngƣợc hƣớng.
Sách giáo khoa đã đƣa các hình ảnh trực quan để làm sáng tỏ điều vừa
5


Khoá luận tốt nghiệp
nêu
- Độ dài của véctơ AB là độ dài của đoạn thẳng A:
 AB = A=A
 Định nghĩa hai véctơ bằng nhau:
- Hai véctơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hƣớng và cùng độ dài
 Các phép toán véctơ :
Sách giáo khoa đã giới thiệu 3 phép toán ở chƣơng I là phép cộng các
véctơ, phép trừ hai véctơ và phép nhân véctơ với một số và một phép toán ở
chƣơng II là phép nhân một véctơ với một véctơ (tích vơ hƣớng của hai
véctơ).
Phép cộng xuất phát từ định nghĩa có tính chất kiến thiết về tổng hai véctơ
(chỉ ra cách xác định véctơ tổng), từ đó định nghĩa phép cộng hai véctơ.
- Định nghĩa phép cộng hai véctơ: Cho hai véctơ a và b . Từ một điểm A
nào đó vẽ véctơ AB = a , rồi lại từ điểm  vẽ vectơ BC = b . Khi đó véctơ AC
đƣợc gọi là tổng của hai véctơ a và b và ta viết AC = a + b

Sau đó sách giáo khoa đã giới thiệu quy tắc thực hiện phép toán: quy tắc 3
điểm, quy tắc đƣờng chéo của hình bình hành.
Phép trừ đƣợc đƣa ra dựa trên khái niệm phép cộng các vectơ và khái niệm
véctơ đối của một véctơ.
- Định nghĩa phép trừ hai véctơ: Hiệu của véctơ a và véctơ b là tổng của
véctơ a và véctơ đối của véctơ b . Nói cách khác, hiệu của véctơ a và b
là a +(- b )
Phép nhân véctơ với một số cũng có tính chất kiến thiết:
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: Tích của véctơ a với một số thực k
(hoặc tích của số thực k với véctơ a ) là một véctơ kí hiệu là k a (hoặc a k)
đƣợc xác định nhƣ sau:
 Véctơ k a cùng hƣớng với a nếu k0 và ngƣợc hƣớng với a nếu k<0
 Độ dài của véctơ k a bằng k nhân với độ dài của véctơ a , nghĩa là:
 ka  =  k  .  a .
Đặc biệt từ các cách xác định véctơ tổng, véctơ hiệu, véctơ ka ta có các
cơng thức quan trọng nhƣ: cơng thức về sự phân tích một véctơ thành tổng
hoặc hiệu hai véctơ, cơng thức hình bình hành:
6


Khoá luận tốt nghiệp
AB = AO + OB
AB = OB - OA ;Với O là điểm bất kì.
AC = AB + AD ;Với ABCD là hình bình hành.

Với điểm O bất kì ta có:
2 OI = OA + OB , trong đó I là trung điểm của đoạn
thẳng AB.
 Tích vơ hƣớng của hai véctơ:
- Định nghĩa tích vơ hƣớng của hai véctơ: Tích vơ hƣớng của hai véctơ a

và b là một số, kí hiệu là a . b đƣợc xác định bởi công thức:
a . b =  a  . b  .cos( a , b ).
Từ đó, hai véctơ a và b vng góc với nhau khi và chỉ khi a . b =0
 Tính chất của các phép toán véctơ:
Phép cộng:
- Với mọi véctơ a ta có:
a +0 =0 +a = a
- Với hai véc tơ a và b bất kỳ, tacó:
a + b = b + a
- Với ba véctơ a , b , c bất kỳ, ta có:
( a + b )+ c = a +( b + c )
Phép trừ: Xây dựng trên phép cộng nên có đầy đủ các tính chất của phép
cộng
Phép nhân véctơ với một số:
Với mọi véctơ a , b và mọi số thực k, l ta có:
+)
k(l a ) = (kl) a
+)
(k+l) a = ka+la
+)
k( a + b ) = k a + k b
+)
1. a = a , 0. a =0, k. 0 = 0
Tích vơ hƣớng của hai véctơ:
Với mọi véctơ a , b , c và mọi số thực k ta có:
+) a . b = b . a (Tính chất giao hốn)
+) a .( b + c ) = a . b + a . c (Tính chất phân phối).
+) (k. a ). b = k.( a . b ) (Tính chất kết hợp)
7

Khố luận tốt nghiệp
Mục đích u cầu:
- Học sinh nắm vững các định nghĩa
- Học sinh nắm đƣợc các phép tốn và tính chất của các phép tốn
- Học sinh biết vận dụng các kiến thức véctơ vào giải toán
3 -Thực tiễn vận dụng kiến thức trong việc giải các bài tốn quỹ tích
Thực sự ta phải thừa nhận rằng trong sách giáo khoa phổ thông việc vận
dụng véctơ để giải các bài tốn quỹ tích cịn rất nhiều hạn chế.
Sách giáo khoa chỉ giới thiệu bài tốn tìm quỹ tích ở dạng tìm tập hợp điểm
thoả mãn đẳng thức về tích vơ hƣớng hoặc độ dài:
Bài 1: Cho 2 điểm A,B cố định và một số dƣơng k không đổi. Tìm quỹ tích
những điểm M sao cho: MA . MB =k
(Bài 6 trang 44 sách giáo khoa lớp10- chỉnh lý hợp nhất năm 2000 )
ài 2: Cho tam giác AC. Tìm quỹ tích điểm M sao cho:
MA+M+MC= k. trong đó k lá một số cho trƣớc
(Bài 3c trang 64 SGK hình học 10- Chỉnh lý hợp nhất 2000)
Ngồi ra cịn có một dạng tốn cơ bản mà việc sử dụng phƣơng pháp
véctơ để giải rất hữu hiệu sách giáo khoa đã khơng giới thiệu đó là: Tìm quỹ
tích những điểm thoã mãn một đẳng thức véctơ hoặc một đẳng thức về
mơdul.
Ví dụ: Cho A và  là 2 điểm cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn :
- MA + MB =  MA - MB MA +2 MB = 0
Tuy nhiên đã có những tài liệu tham khảo khắc phục đƣợc ít nhiều khó khăn
trên nhƣ:
-Các sách : Tốn nâng cao cho học sinh hình học 10 của tác giả Phan Huy
Khải, tốn chọn lọc hình học lớp 10 của tác giả Trịnh Bằng Giang, toán nâng
cao hình học 10 của nhóm tác giả Nguyễn Minh Hà- Nguyễn Xn Bìnhvv...
- Một số bài của báo tốn học tuổi trẻ, các tạp chí giáo dục vv...

8


Khố luận tốt nghiệp
CHƢƠNG II
QUY TRÌNH GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH BẰNG PHƢƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ
CÁC BIỆN PHÁP KHẮC SÂU THỰC HIỆN QUY TRÌNH.
I -QUY TRÌNH GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH BẰNG PHƢƠNH PHÁP VÉCTƠ .

I.1-Quy trình là gì ?
Theo các tác giả thì quy trình là một tổ hợp các bƣớc có thứ tự để thực
hiện một cơng việc nào đó .
Theo từ điển Tiếng Việt _ NXB KHXH _ 1992 thì : Quy trình là trình tự
phải tuân theo để tiến hành một cơng việc nào đó.
Ví dụ 1: Quy trình để giải một phƣơng trình bậc hai một ẩn : a x+ b x+c= 0
Bƣớc 1: Tìm biệt số delta ().
Bƣớc 2: So sánh biệt số delta () với 0
Bƣớc 3: Kết luận nghiệm của phƣơng trình.
Ví dụ 2: Quy trình để dựng đƣờng vng góc chung của hai đƣờng thẳng
chéo nhau a và b là:
Bƣớc 1: Dựng mặt phẳng qua b ( hoặc a ) và song song với a
( hoặc b) là (P) .
Bƣớc 2: Dựng hình chiếu
vng góc a’ của
a (hoặc b’ của b)
lên mặt phẳng (P).
Bƣớc 3:Tìm giao điểm của
a’ với b (hoặc b’ với a)
là N
Bƣớc 4: Qua N dựng đƣờng

thẳng vuông góc với
(P) là d.
Bƣớc5: Kết luận d là đƣờng vng
góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b .

9


Khố luận tốt nghiệp
Đối với một cơng việc nói chung và đối với việc giải các lớp bài tốn nói
riêng đều có quy trình thực hiện .Đối với lớp bài tốn quỹ tích giải bằng
phƣơng pháp véctơ cũng vậy nó cũng có một quy trình cơ bản để thực hiện.
I.2- Quy trình giải bài tốn quỹ tích bằng phƣơng pháp véctơ.
2.1 Quy trình giải bài tốn.
Để giải một bài tốn, chúng ta phải lập đƣợc một lƣợc đồ xác định và
mạch lạc những thao tác .(Lơgic,tốn học hay thực tiễn) bắt đầu từ giả thiết
và kết thúc bằng kết luận,dẫn dắt từ các sự kiện đến ẩn,từ cac sự kiện mà ta
có trong tay đến các đối tƣợng mà ta muốn đạt tới.
Quy trình giải là quy trình sơ đồ các thao tác,hệ thống các kết luận, kết
thúc bằng việc tìm ra ẩn trong bài tốn.
(Trích sáng tạo tốn học của G.Polia-Tập II)
2.2 -Bài tốn quỹ tích giải bằng phương pháp véctơ được tiến hành theo
quy trình cơ bản sau:
Bƣớc 1: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngơn ngữ hình học tổng hợp
sang ngơn ngữ véctơ
Bƣớc 2: Giải bài tốn trong ngơn ngữ véctơ nhằm đƣa bài tốn về dạng quỹ
tích cơ bản
Bƣớc 3: Dịch các kết luận véctơ sang tính chất hình học tổng hợp và kết
luận
2.3- Cách thức thực hiện các bước:

Để có thể giải đƣợc các bài tốn quỹ tích bằng phƣơng pháp véctơ bƣớc
đầu tiên đó là phiên dịch các dữ kiện của bài tốn từ ngơn ngữ hình học tổng
hợp sang ngơn ngữ véctơ. Một dữ kiện của bài tốn từ ngơn ngữ hình học
tổng hợp có thể phát triển bằng chuyển đổi tƣơng đƣơng với nhiều hệ thức
véctơ khác nhau. Chẳng hạn: A=CD đó là một đẳng thức hình học đƣợc
diễn đạt bằng ngơn ngữ hình học tổng hợp khi chuyển đổi sang ngôn ngữ
véctơ sẽ là  AB  = CD  hoặc AB = CD . Cho A  CD là vị trí tƣơng đối
của hai đƣờng thẳng A và CD đƣợc viết bằng ngơn ngữ hình học tổng hợp
khi

10


Khố luận tốt nghiệp
phiên dịch sang ngơn ngữ véc tơ là AB . CD =0. Hoặc cho 0 là trung điểm
của A là cho dƣới dạng ngơn ngữ của hình học tổng hợp nhƣng khi chuyển
đổi sang ngôn ngữ véctơ là AO = OB hoặc OA + OB = 0 hoặc là  OA  = OB 
v..v. Tuy nhiên sự phiên dịch từ ngơn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ
véctơ không phải lúc nào cũng dễ dàng. Bởi vậy ta cần xây dựng, tích luỹ
thành lập “từ điển véctơ” cho mình một cách phong phú thì mới giúp chúng
ta có sự phiên dịch ngơn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ một
cách dễ dàng.
Một số yếu tố hình học cơ bản đƣợc chuyển đổi nhƣ:
Khi cho yếu tố độ dài diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp thì
chuyển đổi sang ngơn ngữ véctơ sẽ tƣơng đƣơng với yếu tố môdul của
véctơ, hoặc khi cho hai đƣờng thẳng vng góc là ngơn ngữ hình học tổng
hợp khi phiên dịch sang ngôn ngữ véctơ là tích vơ hƣớng của hai véctơ chỉ
phƣơng của hai đƣờng thẳng đó bằng khơng, cho hai đƣờng thẳng song song
là ngơn ngữ hình học tổng hợp khi chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ ta đƣợc
hai véctơ chỉ phƣơng của hai đƣờng thẳng đó cộng tuyến với nhau vv...

Ví dụ 1: Cho tứ diện ACD có góc tam diện vng
đỉnh B. Biết AB=1, BC=BD, CD=2 2 . Gọi M, N lần lƣợt
là
trung điểm của cạnh BC và CD. Tính độ dài đƣờng vng góc chung
của AM và BN là EF.
Đây là một bài tốn hồn cho bởi ngơn ngữ hình học tổng hợp nhƣng để giải
nó bằng phƣơng pháp véctơ thì ta phải phiên dịch các dữ kiện đã biết và dữ
kiện cần tìm của bài tốn sang ngơn ngữ của bài tốn sang ngơn ngữ véctơ.
AB=1, BC=BD, CD=2 2 . Vì  BCD
vng cân tại B nên BC=BD=2 là các yếu
tố độ dài cho dƣới dạng ngơn ngữ hình
học tổng hợp khi dịch sang ngôn
véctơ là:  AB =1,  BC = BD  =2và  CD =2 2 .
M là trung điểm của BC khi chuyển sang
ngôn ngữ véctơ là BM =1/2 BC , N là
trung điểm của CD thì chuyển
sang ngơn ngữvéctơ ta đƣợc CN =1/2 CD hoặc
11


Khoá luận tốt nghiệp
CN = ND hoặc là BN =1/2( BC + BD )

Và A,M,E thẳng hàng hoặc E thuộc đƣờng thẳng AM
 Chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ là xR để AE =x. AM .
F thuộc đƣờng thẳng BN hay B, N, F thẳng hàng. Suy ra khi chuyển
đổi sang ngôn ngữ véctơ ta đƣợc yR để BF = yBN .
Giả thiết bài tốn cịn cho EF  AM, EF  BN và tứ diện ABCD có góc tam
diện vuông tại đỉnh B là các dữ kiện cho bởi ngơn ngữ hình học tổng hợp ta
“phiên dịch” các dữ kiện đó sang ngơn ngữ véctơ là:

EF . AM =0, EF . BN =0, BA . BC =0
BA . BD =0 và BC . BD =0
Kết luận của bài toán cũng cho dƣới dạng ngơn ngữ hình học tổng hợp đó là
tính độ dài đƣờng vng góc chung EF ta chuyển đổi sang ngơn ngữ véctơ
Là: Tính EF  hoặc tính EF 2.
Ví dụ 2: Cho ABC. Tìm tập hợp điểm M của khơng gian, thoả mãn đẳng
thức:
MA2+MB2=MC2.
Bài tốn đƣợc cho bởi ngơn ngữ hình học tổng hợp để giải bằng phƣơng
pháp véctơ thì ta phải phiên dịch từ ngơn ngữ tổng hợp sang các dữ kiện của
bài tốn ngơn ngữ véctơ. Ta tiến hành nhƣ sau:
Bài toán đã cho: MA2+MB2=MC2 là đẳng thức hình học viết
dƣới dạng ngơn ngữ hình học tổng hợp ta chuyển đổi sang ngơn ngữ
véctơ là MA 2+ MB 2= MC 2.
Ví dụ 3: Cho tam giác vng ABC(C=90). Tìm tập hợp điểm M sao cho:
2MC2= MA2 +MB2
Tƣơng tự với ví dụ 2 thì ví dụ 3 cũng là một bài tốn cho bằng ngơn ngữ
hình học tổng hợp. Muốn giải nó bằng phƣơng pháp véctơ thì ta phải dịch dữ
kiện của bài tốn sang ngôn ngữ véctơ . Cụ thể: 2MC2=MA2+MB2 chuyển
sang ngôn ngữ véctơ sẽ là 2 MC 2= MA 2+ MB 2 và bài tốn cịn cho tam giác
ABC vng tại C nên dữ kiện này đƣợc dịch sang ngôn ngữ véctơ là CA . CB
=0.
Qua các ví dụ trên chúng ta một phần nào biết cách chuyển đổi ngơn
ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ. Tuy nhiên một dữ kiện hình
12


Khố luận tốt nghiệp
học tổng hợp có thể chuyển đổi tƣơng đƣơng với nhiều hệ thức véctơ khác
nhau. Do đó tuỳ vào mỗi bài tốn cụ thể mà ta có sự chuyển đổi thích hợp

sao cho với sự chuyển đổi này bài toán sẽ đƣợc giải quyết dễ dàng và chính
xác nhất.
Ví dụ: Cho một nửa đƣờng trịn đƣờng kính AB=2R. Gọi C là một
điểm chuyển động trên nửa đƣờng tròn. Trên tia đối của tia CA lấy một điểm
D sao cho CD= CA. Tìm quỹ tích điểm D.
- Để giải bài toán này trƣớc hết ta chuyển bài toán từ ngơn ngữ hình học
tổng hợp về ngơn ngữ véctơ. Đó là AB=2R sẽ tƣơng đƣơng với  AB  =2R
hoặc AB 2= 4R2, C là một điểm chuyển động trên nửa đƣờng trịn đƣờng
kính AB chuyển đổi sang ngơn ngữ véctơ sẽ là:
2
2
2
CA . CB =0 hoặc BC + AC = AB .
Bài tốn cịn cho CD=CA hay C là trung điểm của AD đƣợc chuyển đổi
sang ngôn ngữ véctơ là:
DC = CA hay DC =

1
1
DA hoặc là BC = ( BD + BA ).
2
2

Tuy nhiên theo yêu cầu của bài tốn là tìm quĩ tích của điểm D nên ta tìm
mối liên hệ giữa điểm D với một điểm cố định nào đó, ở đây là A và B. Nhìn
vào sự chuyển đổi trên ta nên lựa chọn sự chuyển đổi phù hợp đó là giả thiết
của bài toán cho C là trung điểm của đoạn AD ta sẽ dịch sang ngôn ngữ
1
2

véctơ bởi hệ thức BC = ( BD + BA ).
Từ đó ta giải bài tốn nhƣ sau:
1
2

Từ BC = ( BD + BA )
 BD =2 BC - BA = BC + AC
2

2

2

 BD = BC + AC +2 BC . AC

Vì theo giả thiết của bài toán cho CA . CB =0  BC . AC =0 và
2
2
2
BC + AC = AB
2
2
2
 BD = AB =4R .
Do đó ta có mối liên hệ giữa điểm biến thiên D với điểm cố định B bằng một
hệ thức BD 2=4R2.

13

Khố luận tốt nghiệp
 Kết luận: Quỹ tích điểm D là nửa đƣờng trịn tâm B bán kính bằng 2R (Vì

C chạy trên nửa đƣờng trịn).
Sau khi phiên dịch bài tốn quỹ tích từ ngơn ngữ hình học tổng hợp
sang ngơn ngữ véctơ một cách phù hợp thì bƣớc tiiếp theo là ta phải giải bài
tốn trên ngơn ngữ véctơ để đƣa bài tốn quỹ tích về các dạng quỹ tích cơ
bản . Từ u cầu đó ta phải nắm vững các phép tốn véctơ và các tính chất
của phép tốn véctơ, ngồi ra ta cần nắm vững đƣợc các dạng của quỹ tích
cơ bản quen thuộc nhƣ : Quỹ tích là đƣờng thẳng,quỹ tích là đƣờng trịn.
Khi đó từ cácc hệ thức véctơ đã đƣợc chuyển đổi chúng ta phải bằng kỹ
năng tốn học của mình biến đổi các hệ thức véctơ đã đƣợc phiên dịch về hệ
thức véctơ cơ bản của các dạng quỹ tích cơ bản.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm M thoả mãn đẳng thức:
MA2+MB2=2MC2
Bƣớc 1:Phiên dịch các dữ kiện của bài tốn từ ngơn ngữ hình học tổng
hợp sang ngơn ngữ véctơ là MA 2+ MB 2=2 MC 2
Bƣớc 2: Giải bài tốn trong ngơn ngữ véctơ đã đƣợc phiên dịch đó qua
các phép biến đổi véctơ. Nếu nhìn bài tốn đã cho với 4 điểm M,A,B,C thì ta
sẽ khơng giải bài toán bằng phƣơng pháp véctơ đƣợc mà phải xét bài tốn
với những điểm đặc biệt nào đó có thể liên quan đến tam giác ABC. Chẳng
hạn nhƣ trọng tâm G, tâm đƣờng tròn ngoại tiếp O, trực tâm, tâm đƣờng trịn
nội tiếp.vv... Từ đó ta có thể giải bài tốn trong ngơn ngữ véctơ nhƣ sau:
Gọi O là tâm đƣờng trịn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Khi đó: OA = OB = OC =R. Trong đó R là bán kính đƣờng trịn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Mặt khác: MA 2=( OM - OA )2
2
2
MB =( OM - OB )

2
2
MC =( OM - OC )
2
2
2
MA + MB =2 MC
Từ :


( OM - OA )2+( OM - OB )2=2( OM - OC )2

2 OM ( OA + OB + OC -3 OC )=0

OM ( OA + OB + OC -3 OC )=0 (1)

14


Khố luận tốt nghiệp
Mà ta có tổng OA + OB + OC nên ta phải nghĩ ngay đến một điểm đặc biệt
của tam giác ABC đó là trọng tâm G. Vì OA + OB + OC =3 OG .
Do đó :
(1)  OM (3 OG -3 OC )=0
 3 OM . CG =0
 OM . CG =0
 OMCG.
Vậy quỹ tích điểm M là đƣờng thẳng vng góc với trung tuyến của tam
giác ABC vẽ từ đỉnh C và đi qua tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cuối cùng là sau khi giải đƣợc bài tốn trên ngơn ngữ véctơ để đƣa bài tốn

về dạng quỹ tích cơ bản,ta phải chuyển cá kết luận véctơ sang tính chất hình
học tổng hợp tƣơng ứng.
Ví dụ: AM . BC =0 trong đó M là điểm biến thiên A,B,C là các điểm cố
định thì quỹ tích điểm M là đƣờng thẳng đi qua A và vng góc với đƣờng
thẳng BC.
Hoặc OM 2=k2 trong đó O là một điểm cố định, k là hằng số. Khi đó quỹ tích
điểm M là đƣờng trịn tâm O, bán kính k .
Hoặc MA =k MB trong đó A và B là hai điểm cố định, k là một số thực thì
quỹ tích điểm M là đƣờng thẳng AB.
2.3.1 Một số ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho đƣờng trịn tâm O đƣờng kính AB cố định.Gọi C là 1 điểm
chuyển động trên đƣờng trịn (O) .Tìm quỹ tích tâm I của đƣờng trịn ngoại
tiếp tam giác OAC.
Giải:
Bƣớc1: Phiên dịch các dữ kiện của bài tốn
từ ngơn ngữ hình học tổng hợp sang
ngơn ngữ véctơ . Từ O tâm của đƣờng
trịn đƣờng kính AB và C là một điểm
chuyển động trên đƣờng trịn ta chuyển
đổi sang ngơn ngữ véctơ sẽ đƣợc: OA = BO
hay BO =

1
2
2
2
BA , AC . CB =0 hoặc CA + CB = AB
2

15

Khố luận tốt nghiệp
và I là tâm của đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác OAC
nên phiên dịch sang ngôn ngữ véctơ là:
 IA  = IO  = IC 
Bƣớc 2: Giải bài tốn trên ngơn ngữ véctơ
Vì BO =

1
BA mà A, B cố định nên
2

O là một điểm cố định .
Mặt khác :  IA  = IO 
Bƣớc 3: Từ  IA  = IO  và A và O là hai điểm cố định ta kết luận tập hợp
hay quỹ tích điểm I là đƣờng trung trực d của đoạn thẳng OA
Ví dụ 2: Cho đƣờng trịn tâm(O,R) và một dây cung BC cố định., A là điểm
di động trên cung lớn BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC
Giải:
Bƣớc 1: Phiên dịch các dữ kiện của bài tốn
từ ngơn ngữ hình học tổng hợp sang ngơn ngữ véctơ.
Bài tốn đã cho A, B, C là 3 điểm thuộcđƣờng
trịn tâm O bán kính R nên ta chuyển sang
ngôn ngữ véctơ là:
 OA  = OB  = OC = R
2
2
2
2

OA = OB = OC = R
hay
G là trọng tâm của tam giác ABC ta chuyển sang ngôn ngữ véctơ là
GA + GB + GC = 0
Bƣớc 2:
Bằng kĩ năng toán học và sử dụng các hệ thức véctơ đã đƣợc
chuyển đổi ta sẽ giải bài tốn quỹ tích này bằng phƣơng pháp véctơ. Cụ thể:
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó :
MG =

1
MA
3

Từ G kẻ GK AO (KOM)
Vì GK//AO nên ta đƣợc
MG
MA

=

MK
MO

=

KG
OA

=

1
3

Vì B, C là hai điểm cố định nên trung
điểm của đoạn thẳng BC cũng là điểm cố định
 M là điểm cố định.
16


Khoá luận tốt nghiệp
1
3

Mặt khác: MK = MO và M, O là hai điểm
cố định nên K là điểm cố định.
Ta lại có:
1
OA
3
R 2
2 1
2 1 2
 KG = OA = R =( )
9
9
3

KG =

Bƣớc 3: Kết luận tập hợp điểm G là đƣờng trịn tâm K bán kính

R
.
3

Ví dụ 3: Gọi A là một điểm cố định nằm trong đƣờng tròn (O, R) và M là
một điểm chuyển động trên đƣờng trịn đó. Tìm quỹ tích trung điểm I của
đoạn AM.
Giải:
Bƣớc 1:
Chuyển dữ kiện của bài tốn từ ngơn
ngữ hình học tổng hợp sang ngơn ngữ
véctơ :
M là một điểm nằm trên đƣờng trịn ta
chuyển đổi sang ngơn ngữ véctơlà:  MO  =R
hay MO 2= R2
I là trung điểm của AM nên chuyển đổi sang
ngôn ngữ véctơ ta đƣợc IA + IM = 0
Bƣớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ .
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AO
 KA =

1
OA .
2

Vì A và O là hai điểm cố định nên K cũng là một điểm cố định.
Từ đó :
1

1
OA - MA .
2
2
1
1
 KI = ( OA - MA )= MO
2
2
R 2
2 1
2 1 2
 KI = MO = R =( ) .
4
4
2

KI = KA + AI =

17


Khoá luận tốt nghiệp
R 2
) và K là một điểm cố định ta kết luận quỹ tích điểm I là
2
R
đƣờng trịn tâm K bán kính
.
2

Bƣớc 3: KI 2 =(

II. BIỆN PHÁP KHẮC SÂU THỰC HIỆN QUY TRÌNH.

Một bài tốn quỹ tích ở trong chƣơng trình phổ thơng muốn giải đƣợc
đều phải đƣa về các dạng quỹ tích cơ bản. Để có thể giải đƣợc bài tốn quỹ
tích bằng phƣơng pháp véctơ ta phải nắm đƣợc các quỹ tích cơ bản ở các
dạng véctơ. Do đó biện pháp đầu tiên là:
II.1.Biện pháp 1:
Chuyển các bài tốn quỹ tích cơ bản ở ngơn ngữ hình học tổng hợp
sang ngơn ngữ véctơ.
1.1. Quỹ tích là đường thẳng.
1.1.1.Tập hợp điểm M là đường thẳng AB.
Khi đó theo ngơn ngữ hình học tổng hợp là: Với mọi điểm M ba điểm
A, B , M tổng hợp thẳng hàng phiên dịch sang ng
Khi đó theo ngơn ngữ hình học tổng hợp là: Với mọi điểm M ba điểm A, B ,
M tổng hợp thẳng hàng phiên dịch sang ngôn ngữ véctơ sẽ là:
AM =k AB hoặc OM =x OA +y OB ;Với O và x+y=1.
1.1.2. Tập hợp điểm M là đoạn thẳng AB.
Khi đó AM =k AB với 0k1 hoặc O ta có OM =x OA +y OB ;x+y=1
và 0 x,y
1.1.3 Tập hợp điểm M là tia OA.
Khi đó OM =t OA với t 0.
1.1.4. Quỹ tích những điểm M cách đều hai điểm cố
định A và B là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Với ngơn ngữ hình học tổng hợp tổng hợp
quỹ tích này đƣợc diễn đạt nhƣ sau:
A và B là hai điểm cố định
và MA=MB. Khi đó.

Quỹ tích M là đƣờng trung trực của đoạn thẳng AB.

18


Khố luận tốt nghiệp
Quỹ tích này đƣợc chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ là
A và B là hai điểm cố định và MA = OM  MA 2= MB 2.
Khi đó quỹ tích của điểm M là
đƣờng trung trực của đoạn thẳng AB
Ví dụ 1: Cho một góc vng
xOy và một điểm A cố định nằm
trong góc đó. Một góc vng có đỉnh là A và quay quanh A cắt Ox tại B và
cắt
Oy
tại
C. Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng BC
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC khi đó độ dài
MA = MB = MC (*)
Mặt khác: tam giác BOC vuông tại O và M là
trung điểm của BC nên MB = MC = MO (**)
Từ (*) và (**) ta có: MA = MO mà A và O là
Hai điểm cố định nên quỹ tích điểm M là một phần
đƣờng trung trực của đoạn thẳng OA.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A và B cố định. Tìm quỹ tích tâm O của những
đƣờng trịn mà từ A và B ta có thể vẽ đƣợc hai tiếp tuyến AM và BN bằng
nhau
(M và N là các tiếp điểm).
Hƣớng dẫn giải:

Trƣớc hết ta phiên dịch các dữ kiện của bài tốn từ ngơn ngữ hình học
tổn hợp sang ngơn ngữ véctơ. Vì AM và BN là các tiếp tuyến của đƣờng
tròn và M, N là các tiếp điểm nên AM OM và BN ON. Ta chuyển sang
ngôn ngữ véctơ sẽ đƣợc kết quả tƣơng đƣơng là MO = NO và MA . MO =0
và ON . NB =0.
Tiếp theo bằng các hệ thức véctơ vừa đƣợc
phiên dịch ta tìm mối liên hệ giữa điểm biến thiên
là tâm O và các điểm cố định là A và B.
Ta có:
OA = OM + MA
 OA 2= OM 2+ MA 2+2 OM . MA .
Vì OM . MA =0 nên  OA 2= OM 2+ MA 2.
19


Khoá luận tốt nghiệp
Tƣơng tự: OB = ON + NB
 OB 2= ON 2+ NB 2+2 ON . NB
Vì ON . NB =0 nên  OB 2= ON 2+ NB 2.
Mặt khác:
OM = ON
 OM 2= ON 2
NB =

MA

 NB = MA 2
2

 OM 2+ MA 2= ON 2+ NB 2  OA 2= OB 2  OA=OB.

Bây giờ ta phải chuyển kết quả thu đƣợc sang tính chất hình học tƣơng ứng.
Đó là quỹ tích tâm O là đƣờng trung trực của đoạn thẳng AB.
1.1.5. Quỹ tích những điểm M cách đều hai cạnh Ox và Oy của góc xOy là
đường phân giác Oz của góc xOy .
Quỹ tích này đƣợc cho đƣới dạng ngơn ngữ hình học tổng hợp là:
Kẻ MH vng góc với Oy và MK vng góc với Ox, H và K là hai điểm
lần lƣợt thuộc Oy và Ox. Khi đó tập hợp điểm M thỗ mãn MH=MK là
đƣờng phân giác Oz của góc xOy .
Quỹ tích đó đƣợc chuyển sang ngơn ngữ véctơ là:
MH . OH =0 và MK . OK =0 và MH = MK
(KOx, HOy).
 Quỹ tích của điểm M là đƣờng
phân giác Oz của góc xOy .
Ví dụ: Cho hai đƣờng thẳng a và b cắt nhau tại A.
Tìm quỹ tích tâm O của các đƣờng tròn tiếp xúc
với hai đƣờng thẳng đó.
Giải:
Gọi M và N lần lƣợt là các tiếp điểm của
đƣờng thẳng a và đƣờng thẳng b với đƣờng trịn (O).
Khi đó ta có:
OM = ON và OM . AM =0 và ON . NA =0
do đó theo quỹ tích cơ bản của đƣờng phân giác
20


Khố luận tốt nghiệp
ta kết luận quỹ tích tâm O là các đƣơng phân giác
của góc tạo bởi hai đƣờng thẳng a và b.
1.1.6. Quỹ tích những điểm M cách đều hai đường thẳng song song d 1 và d2

là đường thẳng xy song song với d1 và d2 đồng thời cách đều hai đường
thẳng d1 và d2.
Quỹ tích này diễn đạt bằng ngơn ngữ hình học tổng hợp là: Gọi H vầ K lần
lƣợt là chân đƣờng vng góc của M tới d1 và d2 và điểm M thoã mãn:
MH  d1, MK  d2 và MH = MK.
 Quỹ tích của điểm M là đƣờng thẳng xy
song song với d1 và d2 đồng thời cách đều d1 và d2.
Nhƣng khi dịch sang ngôn ngữ véctơ ta đƣợc:
Gọi P và Q lần lƣợt là các điểm thuộc d1 và d2
khác hai điểm H và K. Điểm M thoã mãn điều kiện
MH . HP = 0 và MK . KQ = 0 và MH = MK
 Quĩ tích của điểm M là đƣờng thẳng xy song song với d 1 và d2 đong thời

cách đều d1 và d2.
Ví dụ1: Cho hai đƣờng thẳng d1 và d2 song song với nhau. Gọi A và B là hai
điểm di động trên d1 và d2. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Giải:
Dựng IH vng góc với đƣờng thẳng d1 và
IK vng góc với đƣờng thẳng d2. Trong đó:
H và K lần lƣợt thuộc đƣờng thẳng d1 và d2.
Khi đó IH . HA =0 và IK . BK =0.
Ta lại có  IHA= IKB  IH=IK hay IH = IK . Do đó quỹ tích trung
điểm I là đƣờng thẳng d song song với d 1 và d2 đồng thời cách đều hai
đƣờng thẳng d1 và d2.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, đỉnh A của tam giác di
chuyển trên đƣờng thẳng d cố định song song với BC. Tìm quỹ tích trọng
tâm G của tam giác ABC
Giải:
Gọi M là trung điểm

21


Khoá luận tốt nghiệp
Của đoạn thẳng BC
 G  AM và AG =

2
AM hay
3

AG =2 GM .

Gọi N là trung điểm của AG thì:
AN = NG = GM .
Từ điểm A dựng AH vng góc
với BC , H  BC thì AH =h khơng đổi.
Lần lƣợt qua G và N ta dựng các đƣờng thẳng d 2 và d1 cùng song song với
BC lần lƣợt cắt AH tại K và I. Khi đó:
AI = IK và IK = KH
 AI = IK = KH =

1
AH .
3



= KH = h.

AI =

IK

1
3

Nói cách khác: Bốn đƣờng thẳng d,d1,d2và BC là những đƣờng thẳng song
song và cách đều nhau một khoảng

1
h không đổi.
3

Do vậy, quỹ tích điểm G là đƣờng thẳng d2 song song với BC và cách BC
một khoảng không đổi

1
h ( h là khoảng cách của đƣờng thẳng d và đƣờng
3

thẳng BC).
1.1.7.Quỹ tích những điểm M cách đường thẳng xy một khoảng không đổi d
là hai đường thẳng là hai đường thẳng d1 và d2 song song với xy và cách
đều xy một khoảng d khơng đổi.
Ngơn ngữ hình học tổng hợp của dạng quỹ tích này là:
MH  xy và MH=d
 Nếu điểm M thỗ
mãn điều kiện đó
thì quỹ tích của điểm M

là hai đƣờng thẳng d1 và d2
song song với nhau và song song
với đƣờng thẳng xy đồng thời cách
đều xy một khoảng không đổi d.

22


Khố luận tốt nghiệp
ta chuyển dạng ngơn ngữ hình học tổng hợp của dạng quỹ tích trên sang
ngơn ngữ véctơ là:
Gọi N là điểm bất kỳ thuộc đƣờng thẳng xy, khi đó điểm M thỗ mãn:

= d. Thì quỹ tích những điểm M thỗ mãn điều
kiện đó là hai đƣờng thẳng d1và d2 cùng song song với xy và cách đều xy
một khoảng khơng đổi d.
Ví dụ:
Tìm quỹ tích tâm của các đƣờng
trịn có bán kính R khơng đổi và
tiếp xúc đƣờng thẳng cho trƣớc.
Giải:
Gọi O là tâm của đƣờng trịn có
bán kính khơng đổi và với đƣờng thẳng tiếp xúc
với đƣờng thẳng xy cho trƣớc. Gọi P là tiếp điểm
của đƣờng thẳng xy với đƣờng tròn và Q là một
điểm bất kỳ thuộc đƣờng thẳng xy. Khi đó ta có
OP . PQ =0 và
OP =R.
MH .

HN =0 và

MH

Vậy quỹ tích tâm O của đƣờng trịn là hai đƣờng thẳng d và d 1 song song với
xy và cách xy một khoảng khơng đổi R.
1.1.8.Quỹ tích những điểm M cách đều
hai đường thẳng giao nhau d1 và d2 là hai
đường thẳng 1 và 2 vng góc với nhau
và là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2.
Quỹ tích cơ bản này cho dƣới dạng ngơn ngữ hình học tổng hợp là:
Quỹ tích điểm M thỗ mãn d1  d2 =O
MH  d1, MK  d2 và MH=MK
Là hai đƣờng thẳng 1 và 2 với 1 và 2 là
hai đƣờng phân giác vng góc với nhau của
các góc lập bởi d1 và d2.
23


Khố luận tốt nghiệp
Bài tốn quỹ tích cơ bản cho dƣới dạng
ngơn ngữ hình học tổng hợp đƣợc phiên
dịch sang dạng ngơn ngữ véctơ là:
Tìm quỹ tích những điểm M thoã mãn điều kiện
d1  d2 =O, MH . OH =0, MK . OK =0
MK = MH . Khi đó quỹ tích điểm M thỗ mãn điều kiện trên là hai
đƣờng thẳng 1 và 2 , trong đó 1 và 2 là hai đƣờng phân giác vng góc
với nhau của các góc tạo bởi d1 và d2.
2.Quỹ tích những điểm M là tam giác ABC .
với O, ta có OM =x OA +y OB +z OC ;x+y+z=1; 0 x,y,z .

3.Quỹ tích là đƣờng trịn .
Một loại quỹ tích cơ bản nữa vơ cùng quan trọng cho q trình giải các bài
tốn quỹ tích nói chung và các bài tốn quỹ tích bằng phƣơng pháp véctơ nói
riêng. Nhƣng để sử dụng quỹ tích cơ bản này vào quy trình giải các bài tốn
quỹ tích bắng phƣơng pháp véctơ thì ta phải chuyển đổi ngơn ngữ hình học
tổng hợp của loại quỹ tích cơ bản này sang ngơn ngữ véctơ.
Ngơn ngữ hình học tổng hợp của dạng quỹ tích cơ bản này là: “Quỹ tích của
một điểm chuyển động cách một điểm
cố định cho trƣớc một khoảng cách cho
trƣớc là đƣờng tròn có tâm là điểm cố
định cho trƣớc và bán kính là khoảng
cách cho trƣớc ” .
(Trích sách “ Quỹ tích” –Hứa Thuần
Phỏng 1994 )
Ta chuyển đổi từ ngơn ngữ hình học
tổng hợp sang ngơn ngữ véctơ của quỹ
tích này nhƣ sau:
Nếu gọi điểm cố định cho trƣớc là
điểm O.
Điểm chuyển động là M và khoảng
cách cho trƣớc là R.

24


Khố luận tốt nghiệp
Thì dạng véctơ của quỹ tích cơ bản này nhƣ sau:
Nếu điểm M thoã mãn OM = R thì tập hợp điểm M
đƣờng trịn tâm O bán kính R. Ngơn ngữ hình học tổng
hợp của quỹ tích cơ bản đƣờng trịn này cịn có thể

hiện dƣới dạng khác là: “Quỹ tích đỉnh của một góc vng chuyển động có
hai cạnh góc vng ln ln đi qua haiđiểm cố định cho trƣớc là một
đƣờng trịn có đƣờng kính bằng khoảng cách giữa hai điểm cố định ấy”
(Trích sách “Quỹ tích” –Hứa Thuần Phỏng 1994)
Ta gọi hai điểm cố định cho trƣớclà A và B, và điểm chuyển động là M
thì ta chuyển đổi dạng quỹ tích đó sangngơn ngữ véctơ là:
Nếu MA . MB =0 thì quỹ tích của điểm M là đƣờng trịn đƣờng kính AB
Ví du 1: Một đoạn thẳng AP có đầu A là một điểm cố định nằm trong
đƣờng trịn tâm O bán kính R cho trƣớc.
Tìm quỹ tích trung điểm của AP khi P chuyển động trên đƣờng tròn tâm O.
Giải:
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Khi đó
Ta cần tìm quỹ tích của điểm M.
Ta giải bài tốn này theo phƣơng pháp véctơ. Cụ thể :
Bƣớc 1: Chuiyển đổi các giả thiết kết luận bài tốn
sang ngơn ngữ véctơ.
- Nối O với P thì ta có :  OP  = R
Gọi N là trung điểm của đoạn OA khi đó
N là điểm cố định vì A và O là hai điểm cố định cho trƣớc
Bƣớc 2: Giải bài toán trong ngơn ngữ véctơ.
Ta có: MN = MA + AN =
= -

1
1
PA + AO
2
2

1

1
AP + AO
2
2

1
1
( AO - AP ) = PO
2
2
1
1
  MN  =  PO  = R.
2
2

=

Bƣớc 3: Dịch kết luận véctơ sang
tính chất hình học tƣơng ứng
25