Không gian với k lưới o bảo tồn bao đóng di truyền

Mục lục

Trang
2

Lời mở đầu
Đ1. Một số khái niệm cơ bản

4

Đ2. Các họ hữu hạn địa ph-ơng

11

Đ3. Một số không gian tôpô đặc biệt

13

Đ4. Không gian với k - l-ới - bảo tồn bao đóng di truyền

16

Đ5. Không gian với k - l-ới - bảo tồn bao đóng di truyền

23

Đ6. Không gian với cs - l-ới - bảo tồn bao đóng di truyền

27

Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32

1


Lời mở đầu
Kể từ những năm đầu thập niên 70 của thế kỷ XX, các vấn đề về phủ
của không gian tôpô đà thu hút đ-ợc nhiều sự quan tâm của các nhà toán học
trên toàn thế giới. Đặc biệt là những năm gần đây, các vấn đề về phủ đà đ-ợc
nghiên cứu sâu sắc hơn và từ các tính chất của chúng các nhà toán học đà tìm
ra đ-ợc những định lý quan trọng trong việc nghiên cứu không gian tôpô nh-:
Điều kiện để một không gian tôpô có thể mêtric hoá đ-ợc, hay về mối quan hệ
giữa các không gian tôpô đặc biệt. Chúng ta có thể kể tên những nhà toán học
đà dành nhiều tâm huyết trong việc nghiên cứu các vấn đề về phủ của không
gian t«p« nh-: Y. Tanaka, Shou Lin, L. Foged, Chuan Liu,…
Trong khoá luận này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về một loại phủ đặc
biệt, đó là họ k - l-ới - bảo tồn bao đóng di truyền ( - hereditarily closure preserving k - networks) mà ta viết ngắn gọn là là k - l-ới - HCP; các tÝnh chÊt
cđa kh«ng gian t«p« cã mét hä k - l-íi  - HCP, cịng nh- t×m hiĨu mèi quan hệ
giữa không gian này với một số không gian tôpô khác. Ngoài ra, khoá luận còn
đi nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian tôpô có một họ k - l-ới - HCP và
không gian tôpô có một họ cs - l-íi  - HCP. Víi mơc ®Ých nh- vậy, khoá luận
đ-ợc trình bày theo 6 phần nh- sau:
Đ1. Một số khái niệm cơ bản. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một
số khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại c-ơng để làm cơ sở cho các phần
sau. Ngoài ra, chúng tôi còn đ-a ra một số kết quả có chứng minh nh- mệnh

đề 1.6, mệnh đề 1.29.
Đ2. Các họ hữu hạn địa ph-ơng. Dựa trên khái niệm về họ hữu hạn điạ
ph-ơng, chúng tôi giới thiệu một số tính chất của họ này, những tính chất này
khá quan trọng trong việc nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian tôpô có
k - l-ới - HCP và các không gian tôpô khác.

2


Đ3. Một số không gian tôpô đặc biệt. Mục đích của phần này là giới
thiệu một số không gian tôpô đặc biệt, mối quan hệ giữa các không gian và
tính chất của các không gian đó, nhằm tạo tiền đề nghiên cứu các phần sau.
Đ4. Không gian với k - l-ới bảo tồn bao đóng di truyền. Trong phần
này, chúng tôi bắt đầu giới thiệu các khái niệm k - l-ới, khái niệm bảo tồn bao
đóng di truyền ( hereditarily closure - preserving) và viết ngắn gọn là HCP;
nghiên cứu mét sè tÝnh chÊt cđa kh«ng gian cã k - l-ới HCP và đ-a ra ví dụ về
không gian có một k - l-ới HCP.
Đ5. Không gian với k - l-ới - bảo tồn bao đóng di truyền. Trong phần
này, chúng tôi đ-a ra các tính chất của không gian cã mét k - l-íi  - HCP,
®ång thêi ®-a ra mét sè kh«ng gian t«p« cã k - l-ới - HCP.
Đ6. Không gian với cs - l-ới - bảo tồn bao đóng di truyền. Đây là phần
cuối cùng trong khoá luận này. ở đây chúng tôi đà nghiên cứu không gian tôpô
có một cs - l-ới - HCP, đặc biệt là đi nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian
có một k - l-ới - HCP và không gian có một cs - l-ới - HCP.
Tất cả các không gian tôpô đ-ợc giả thiết là không gian chính quy, các
ánh xạ đều toàn ánh, liên tục.
Sau khi kết thúc khoá luận, chúng tôi đà có những vấn đề gợi mở. Tuy
nhiên, do điều kiện thời gian cũng nh- những hạn chế về năng lực nên ch-a thể
giải quyết trọn vẹn. Do đó, chúng tôi xin giới thiệu vào phần cuối của khoá luận.
Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Trần Văn Ân, ng-ời đÃ

trực tiếp h-ớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các
thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, Tr-ờng Đại học Vinh đà quan tâm, giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập tại tr-ờng. Do điều kiện thời gian và những hạn
chế về năng lực nên khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong
nhận đ-ợc những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn.
Vinh, tháng 4 năm 2004
Tác giả

3


Đ1 Một số khái niệm cơ bản
1.1. Định nghĩa. Cho tËp X  . Hä  c¸c tËp con cđa X đ-ợc gọi là một tôpô
trên X, nếu nó thoả m·n:
(i)   X  
(ii) Víi mäi A, B   th× A  B  .
(iii) Víi mäi hä { A:   I }   th×

 A .

J

Khi đó, (X, ) đ-ợc gọi là không gian tôpô, mỗi phần tử của X gọi là
một điểm trong không gian tôpô ( X,

). Mỗi tập A gọi là một tập mở.

Phần bù của một tập mở đ-ợc gọi là tập đóng. Nếu không sợ nhầm lẫn các
tôpô trên X ta viết không gian X thay cho kh«ng gian ( X,  ).
1.2. NhËn xét. Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau:

(i) và X là các tập mở.
(ii) Giao của hai tập mở là một tập mở.
(iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là một tập mở.
1.3. Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X, ) và B , B đ-ợc gọi là cơ sở của
tôpô  nÕu víi mäi V   vµ víi mäi x  V, tån t¹i U  B sao cho x U V.
1.4. Định nghĩa. a. Cho không gian t«p« ( X, ), x  X. TËp U X đ-ợc gọi
là lân cận của điểm x, nếu tån t¹i V   sao cho x  U V.
b. Gọi u(x) là họ tất cả các lân cận của x. Khi đó, họ con B(x) của u(x)
đ-ợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x, nếu víi mäi V  u(x), tån t¹i U  B(x) sao
cho x  U  V.
4


1.5. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X . DÃy { xn : n N } đ-ợc gọi là
hội tụ về điểm x, nếu với lân cận V bất kỳ của x thì bắt đầu từ lúc nào đó, các
phần tử của dÃy {xn} đều nằm trong V.
Lúc đó, ta gọi x là điểm hội tụ của dÃy {xn}.
1.6. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô và { xn : n  N } lµ d·y trong X héi tơ
vỊ ®iĨm x  X. Khi ®ã, { xn : n  N }  {x} lµ tËp compact.
Chøng minh. Đặt A = { xn : n N }  {x}. Gi¶ sư { A:   I } là một phủ
mở của A, khi đó tồn tại 0  I sao cho x  A  0 . Mµ d·y {xn} héi tơ vỊ x
vµ A  0 là tập mở nên tồn tại n0 N sao cho xn  A  0 , víi mäi nn0 . Do ®ã
{xn: n  n0 }  {x} A 0 .
Bây giờ với mỗi xi A, i =1, 2, …, n0 - 1, ta chän Ai  { A:  I } sao
cho xi  Ai. Khi ®ã ta cã { xn : n  N }  {x}  (

n 1

 Ai

i 1

)  A  0 hay

{Ai : i = 1,2,…,n0 - 1, 0} là phủ mở hữu hạn của A, do đó A là tập compact.
1.7. Hệ quả. Cho không gian tôpô X vµ d·y { xn : n  N } héi tơ vỊ ®iĨm x. Khi
®ã, { xn : n m }  {x} lµ tËp compact, víi m  N nào đó.
1.8. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tôpô và A X . Giao của họ tất
cả các tập hợp đóng chứa A đ-ợc gọi là bao đóng của tập hợp A. Ký hiệu
A hay clA.

1.9. Nhận xét. Từ định nghĩa ta có
(i) A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A.
(ii) Tập A X là đóng khi và chỉ khi A = A.
(iii) NÕu A  B  X th× A  B .

5


1.10. Mệnh đề ([4]). Cho không gian tôpô X , A và B là những tập hợp con
của X. Khi ®ã
(i)  =  .
(ii) A  A .
(iii) A B = A  B .
(iv) (A)  A .
1.11. Hệ quả. Cho không gian tôpô X và họ {Ai: i = 1, 2, , n} là họ hữu hạn
các tËp con cđa X. Khi ®ã
n

n

i 1

i 1

 Ai  Ai .

1.12. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X và tập A X. Điểm x X đ-ợc gọi
là điểm giới hạn của tập A nếu mọi lân cận Ux của x đều chứa một điểm khác
x trong tập A.
Kí hiệu A' là tập hợp tất cả các điểm giới h¹n cđa X.
1.13. NhËn xÐt. (i) Nh- vËy x  X là điểm giới hạn của A nếu với mọi Ux là
lân cận của x thì (Ux\ {x}) A .
(ii) Một điểm x không là điểm giới hạn đ-ợc gọi là điểm cô lập .
1.14. Mệnh đề([3]). Tập con của không gian tôpô là đóng khi và chỉ khi nó
chứa mọi điểm giới hạn của nó.
1.15. Hệ quả. A = A A'.
1.16. Mệnh đề. Cho không gian tôpô X và hai tập hợp con A, B cđa X. Khi ®ã
(A  B)' = A'  B'.
Chøng minh. Tr-íc hÕt, ta thÊy r»ng nÕu A  B th× A'  B ' . Nh- vËy, A  (A B)
và B (A B) nên A'  (A  B)' vµ B'  (A  B)'. Do ®ã, A'  B'  (A  B)'.

6


B©y giê, ta chøng minh (A  B)'  A' B'. Với x (A B)', theo
định nghĩa ta cã x  A  B \ x mµ A  B \ x = A \ x  B \ x nên
x A' hoặc x B'. Do ®ã, (A  B)'  A'  B' .
Nh- vËy A'  B' = (A  B)' .
B»ng quy nạp, ta có kết quả sau:

1.17. Hệ quả. Cho X là không gian tôpô và {Ai : i = 1,2,, n} là họ hữu hạn
các tập con của X. Khi ®ã ta cã
'

 n 
'
 A i    A i  .
i 1
 i 1 
n

1.18 MƯnh ®Ị([4]). Cho không gian tôpô X, khi đó điểm x X là điểm cô lập
của X khi và chỉ khi {x} là tập mở.
1.19. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X.
(i) Không gian X đ-ợc gọi là T1 - không gian, nếu mỗi phần tử x X
thì {x} là tập đóng.
(ii) Không gian X đ-ợc gọi là T2 - không gian (Hausdoff) nếu mỗi cặp
điểm khác nhau x1, x2 X, tồn tại một lân cận U của x1 và một l©n cËn V cđa
x2 sao cho U  V = .
(iii) Không gian X đ-ợc gọi là không gian chính quy nếu với mỗi
điểm x X, mỗi tập đóng F sao cho x F, tồn tại các tập mở U vµ V sao
cho x  U, F  V và U V = .
(iv) Không gian X đ-ợc gọi là T3 - không gian nếu X là T1 - không gian và
chính quy.
1.20. Nhận xét. Nếu không gian tôpô X là T3 - không gian thì nó là T2 - không
gian và nếu X là T2 - không gian thì nó là T1 - không gian.

7

1.21. Mệnh đề ([4]). Cho không gian tôpô X. Khi đó X là không gian chính
quy khi và chỉ khi víi mäi x  X vµ U lµ tËp më chøa x, tån t¹i tËp më V  X
sao cho x V U.
1.22. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô và
của X đ-ợc gọi là cái mịn của
phần tử nào đó của phủ

U

là một phủ của X. Phủ

B

U nếu mỗi phần tử của phủ B đ-ợc chứa trong

U.

1.23. Định nghĩa. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là paracompact nếu nó là không
gian chính quy và mỗi phủ mở của nó có cái mịn hữu hạn địa ph-ơng mở.
1.24. Nhận xét. Không gian mêtric là không gian tôpô paracompact.
1.25. Mệnh đề. Giả sử Y là không gian con của không gian tôpô X với tôpô
cảm sinh và x0 là điểm hội tụ của dÃy {xn} các phần tử của Y đối với tôpô trên
X. Khi đó, nếu x0 Y thì x0 cũng là điểm hội tụ của dÃy {xn} theo tôpô cảm
sinh trên Y.
Chứng minh. Để tiện trong chứng minh, ta gọi

là tôpô trên X và hä c¸c tËp

U = {U  Y : U  } là tôpô cảm sinh trên Y. Giả sử x

0

là điểm hội tụ của dÃy

{xn} các phần tử của Y đối với tôpô. Gọi V là một lân cận mở bất kỳ của x0 đối với
tôpô

U. Khi đó, tồn tại l©n cËn U cđa x

0

trong X sao cho V = U Y. Vì x0 là điểm

hội tụ của dÃy {xn} theo tôpô nên tồn tại n0 N sao cho {xn : n  n0}  U. Do ®ã
{xn : n  n0}  U  Y = V. Vậy x0 là điểm hội tụ của dÃy {xn} đối với tôpô .

U

1.26. Định nghĩa. Cho X, Y là hai không gian tôpô.
a) ánh xạ f: X Y đ-ợc gọi là ánh xạ liên tục, nếu nghịch ảnh của
mỗi tập mở là một tập mở.

8


b) ánh xạ f: X Y đ-ợc gọi là ánh xạ đóng (mở), nếu với mỗi tập
đóng (mở) A X thì f(A) là tập đóng (mở) trong Y.
1.27. Mệnh đề([3]). Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f: X Y. Khi
đó, các mệnh đề sau t-ơng đ-ơng
(i) f liên tục.

(ii) f - 1(V) më trong X, víi mäi tËp V më trong Y.
(iii) f -1(V) ®ãng trong X, víi mäi tËp V ®ãng trong Y.
(iv) f( A )  f (A) , víi mäi tËp A  X.
(v) f 1 (B)  f 1 ( B) , víi mäi tËp B  Y.
1.28. NhËn xÐt. Trong mƯnh ®Ị 1.27, khi f : X  Y liªn tơc ta cã: f( A )  f (A) .
VËy khi nµo 2 tËp b»ng nhau. Ta có:
1.29. Mệnh đề. Nếu ánh xạ f : X Y từ không gian tôpô X vào không gian
tôpô Y là ánh xạ liên tục và đóng. Khi đó:
a) f( A ) = f (A) , víi mäi tËp A  X.
b) f 1 (B)  f 1 ( B) , víi mäi tËp B  Y.
Chøng minh. a) f( A ) = f (A) .
Do f liªn tơc nªn theo mƯnh ®Ị 1.27, ta cã: f( A )  f (A) .

(1)

Mặt khác, do A A dẫn đến f(A)  f( A ), suy ra f (A)  f (A) . Theo
giả thiết, f là ánh xạ đóng mà A là tập đóng nên f (A) cũng là tËp ®ãng, do ®ã
f (A)  f (A) . VËy f (A)  f (A)

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã: f( A ) = f (A) .
b) f 1 ( B) f 1 (B) .
Theo mệnh đề 1.27 và do f liªn tơc nªn f 1 (B)  f 1 ( B) .

9

(3)

Hơn nữa, theo câu a f (A) f (A) víi mäi A  X, lÊy A = f- 1(B), khi ®ã





f f 1 (B)  f (f

1

(B)) , hay B  f (f

1

(B)) , suy ra f 1 ( B)  f 1 (B) . (4)

Tõ (3) vµ (4) ta cã f 1 ( B)  f 1 (B) .
1.30. Mệnh đề([2]). Nếu X là không gian paracompact, Y là không gian tôpô
và f: X Y là ánh xạ toàn ánh, liên tục, đóng thì mỗi tập compact trong Y là
ảnh của một tập compact trong X.
1. 31. Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X, ). Trên X ta đ-a vào một quan hệ
t-ơng đ-ơng R. Khi đó, ta thu đ-ợc tập th-ơng X/ R = {[x] : x X }. Xét ánh xạ

: X X/ R
x [x]
Đặt R = { V :  1 (V) më trong X }. Khi ®ã, R là một tôpô trên X/ R. Ta
gọi R là tôpô th-ơng và (X/ R, R) đ-ợc gọi là không gian th-ơng.
Ký hiệu S1 là không gian th-ơng thu đ-ợc từ tổng tôpô của 1 dÃy hội tụ
không tầm th-ờng bằng cách đồng nhất tất cả các điểm giới hạn của 1 d·y ®ã.

10


Đ2 các họ hữu hạn địa ph-ơng
2.1. Định nghĩa. Họ

P

các tập con của không gian tôpô X đ-ợc gọi là hữu

hạn địa ph-ơng nếu với mỗi x X, tồn tại lân cận U của x sao cho U chỉ giao
với hữu hạn phần tử của họ P.
2.2. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X đ-ợc gọi là rời rạc,
nếu mỗi điểm của không gian có một lân cận cắt nhiều nhất một phần tử của
họ P.
2.3. Nhận xét. Từ định nghĩa, ta thấy
(i) Một họ rời rạc là một họ hữu hạn địa ph-ơng.
(ii) Một họ hữu hạn địa ph-ơng thì mọi họ con đều hữu hạn địa ph-ơng.
2.4. Mệnh đề([3]). Cho X là không gian tôpô và họ {U: I} là họ hữu hạn
địa ph-ơng. Khi đó, họ { U : I } cũng là họ hữu hạn địa ph-ơng.
2.5. Định nghĩa. Họ

P

các tập con của không gian tôpô X đ-ợc gọi là họ

- hữu hạn địa ph-ơng ( - rời rạc), nếu nó là hợp của đếm đ-ợc các họ hữu
hạn địa ph-ơng (rời rạc).
2.6. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô và họ {U: I} là một họ hữu hạn địa
ph-ơng của X. Khi ®ã ta cã

 A   A ,

 J

 J

trong ®ã J  I, A  U víi mỗi J.
Chứng minh: Theo hệ quả 1.15, ta sÏ chøng minh:


'

(A   A ' )   A 
 J
 J






11

 

   A  ,
   J 
 


tức là cần chứng minh x là điểm giới hạn của

A

khi và chỉ khi x là điểm

J

giới hạn của một tập A nào đó. Thật vậy, điều kiện cần là hiển nhiên, ta chứng
'



minh điều kiện đủ, nghĩa lµ víi x    A   tån t¹i 0  J sao cho x  A '0 .
 J 


'



Gi¶ sư x    A  , khi đó theo định nghĩa, với mọi lân cËn Vx cđa x th×
 J 



(Vx\ {x}) 

 A

 .

(1)

J

Theo giả thiết, {U: I} là họ hữu hạn địa ph-ơng, nên theo nhận
xét 2.3 họ {A; I} cũng là họ hữu hạn địa ph-ơng. Do đó, tồn tại lân cận
Vx0 của điểm x sao cho Vx0 chỉ giao với hữu hạn các phần tử của họ trên. Giả

sử họ đó là {Ai : i = 1, 2, , n}. Ta đặt A = {1, 2, …, n}. Ta sÏ chøng minh
mäi l©n cËn Vx cđa điểm x thì (Vx\ {x})

A

. Giả sử ng-ợc lại, tức

A

là tồn tại lân cận Vx1 của điểm x sao cho (Vx1 \ {x}) 

 A

= . Khi ®ã

A

xÐt V = Vx1  Vx0 , suy ra V cũng là một lân cận của điểm x và ta cã

(V\ {x}) 

 A  =  (Do V  Vx0 ),

  J,   A

(V\ {x}) 

 A = 

A

(V\ {x}) 

do ®ã,

(Do V  Vx1 ),

 A = .

(2)

J

Nh- vậy, từ (1) và (2) dẫn đến mâu thuẫn, tức là mọi lân cận Vx của điểm
,

n

x th× Vx\ {x}   A i  , tõ ®ã theo ®Þnh nghÜa, ta cã x    A i nên theo

i 1
i 1
hệ quả 1.17, x A'i0 nào đó. Đây chính là điều phải chứng minh.
n

2.7. Mệnh đề ([3]). Mọi không gian mêtric đều có một cơ sở rời rạc.

12


Đ3 Một số không gian tôpô đặc biệt
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu định nghĩa một số không gian tôpô
đặc biệt, các tính chất và mối quan hệ giữa các không gian đó.
3.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian thoả mÃn tiên đề
đếm đ-ợc thø nhÊt nÕu víi mäi x  X, tån t¹i cơ sở đếm đ-ợc tại x.
3.2. Nhận xét. Không gian mêtric là một không gian thoả mÃn tiên đề đếm
đ-ợc thứ nhất.
3.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian thoả mÃn tiên đề
đếm đ-ợc thứ hai nếu X có một cơ sở đếm đ-ợc.
3.4. Nhận xét. Không gian tôpô X thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ hai là
không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ nhất. Điều ng-ợc lại không đúng,
nh-ng nếu thêm điều kiện thì ta có:
3.5. Mệnh đề. Nếu X là không gian tôpô thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ nhất
và X có đếm đ-ợc phần tử thì X thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ hai.
3.6. Định nghĩa. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian Frechet, nếu với
mọi tËp A  X vµ mäi x  A , tån t¹i d·y {xn : n  N} trong A sao cho {xn}
héi tơ vỊ x.
3.7. MƯnh ®Ị. Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f: X Y liên tục,
toàn ánh và đóng. Khi đó, nếu X là không gian Frechet thì Y cũng vậy.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh Y là không gian Frechet. Thật vậy, giả sử

A Y và y A bÊt kú. Ta chøng minh tån t¹i d·y {yn : n  N}  A sao cho
{yn} héi tơ vỊ y.
Vì y A và f là toàn ánh nên tån t¹i x  f 1 (A) sao cho y = f(x).

13


Do f là ánh xạ liên tục và đóng nên theo mƯnh ®Ị 1.29, ta cã
f 1 (A)  f 1 (A) . Mà theo giả thiết, X là không gian Frechet, nên tồn tại dÃy

{xn : n N}  f-1(A), sao cho d·y {xn} héi tơ vỊ x f 1 (A) .
Bây giờ, với mỗi n N ta chän yn = f(xn). Khi ®ã, {yn: n N} là một dÃy
trong A. Hơn nữa, f là ánh xạ liên tục, dÃy {xn} hội tụ về x nên ta có {f(xn)} sẽ
hội tụ về f(x), tức là {yn: n  N} héi tơ vỊ y. VËy Y cũng là không gian Frechet.
Ta cũng dễ dàng chứng minh đ-ợc kết quả sau
3.8. Mệnh đề. Không gian con của không gian Frechet là không gian Frechet.
3.9. Mệnh đề. Nếu không gian tôpô X thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ nhất thì
X là không gian Frechet.
Chứng minh. Giả sử X là không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ nhất.
Theo định nghĩa, với mỗi x X sẽ tồn tại một cơ sở lân cận đếm đ-ợc

Bx = {Bn(x): n N} tại x. Ta giả sử A là tập con bất kỳ của X, khi đó với mỗi
x A , do

n

Bi (x ) là một lân cận của x, nên với mỗi n N,
i 1

n

 Bi (x )  A  .
i 1

Tõ ®ã, ta x©y dùng d·y {xn : n  N} trong A nh- sau
Với mỗi n N, xác định xn 

n

 Bi ( x )

 A. Ta sÏ chøng minh d·y

i 1

{xn} héi tơ vỊ x. ThËt vËy, víi U là lân cận bất kỳ của x, do

Bx là một cơ sở

lân cận tại điểm x nên tồn tại n0  N sao cho Bn 0 ( x )  U. Khi ®ã víi mäi
n > n0 , ta cã xn 

n

 Bi ( x )  B n
i 1

0

( x )  U, tøc lµ {xn} héi tơ vỊ x.

Nh- vậy X là không gian Frechet.
3.10. Định nghĩa. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian dÃy nếu mỗi tập
A X là tập đóng khi và chỉ khi kh«ng cã d·y {xn}  A héi tơ vỊ ®iÓm x  A.

14


3.11. Mệnh đề. Không gian con đóng của không gian dÃy là không gian dÃy.
Chứng minh. Giả sử (X, ) là không gian dÃy, (Y,

U ) là không gian con đóng của

(X,và tập A Y.

U ) thì A đóng trong (X, ), mà X là không gian

i) Nếu A đóng trong (Y,

dÃy nên theo định nghĩa không có dÃy {xn}  A héi tơ vỊ x  A.
ii) Gi¶ sử A là tập chứa tất cả các điểm hội tơ cđa d·y bÊt kú trong A ®èi víi

U. Ta sÏ chøng minh A ®ãng trong Y. Tr-íc hÕt ta chøng minh A ®ãng trong X.
LÊy d·y {xn}  A bÊt kú sao cho d·y {xn} héi tơ vỊ x ®èi víi . V× xn  A  Y
víi n = 1, 2, , (X, ) là không gian dÃy và Y đóng nên x Y. Theo mệnh đề
1.25 ta có {xn} hội tụ về x đối với

U và theo giả thiết về tập hợp A, ta có x  A.

Nh- vËy, A ®ãng trong X, tõ ®ã A đóng trong Y.

3.12. Định nghĩa. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian mêtric hoá
đ-ợc, nếu tồn tại một mêtric trên X, sao cho tôpô sinh bởi mêtric này trùng với
tôpô ban đầu của không gian X.
3.13. Định nghĩa. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian Lasnev nếu nó
là ảnh đóng của một không gian mêtric qua ánh xạ liên tục.
3.14. Mệnh đề([5]). Không gian S1 là một không gian Lasnev.
3.15. Định nghĩa. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian mêtric compact
nếu mọi dÃy trong X đều tồn tại một dÃy con hội tụ.

15


Đ4 Không gian với k - l-ới bảo tồn bao đóng di truyền
4.1. Định nghĩa. Họ

P

các tập con của không gian tôpô X đ-ợc gọi là

k - l-ới, nếu với mäi tËp compact K vµ mäi tËp më U cđa X sao cho K U,
tồn tại họ hữu hạn P * cña P sao cho K   P * U.
4.2. Mệnh đề. Mọi không gian tôpô đều cã mét k - l-íi.
Chøng minh. Gäi P = {P  X : P më trong X}. Gi¶ sư K lµ tËp compact vµ U
lµ tËp më trong X sao cho K U. Khi đó, tồn tại họ con {Pi : i  I} cña
cho K 

 Pi

P

sao

 U. Do đó, {Pi : i I} là một phủ mở của tập compact K nên

iI

tồn tại phủ con hữu h¹n {Pi : i = 1, 2, …, n} sao cho K 

n

 Pi

 U.

i 1

Nh- vËy, P lµ mét k - l-ới của không gian tôpô X.
4.3. Định nghĩa. a) Hä P = {A :   I} c¸c tập con của không gian tôpô X
đ-ợc gọi là bảo tồn bao đóng di truyền và viết tắt là HCP nÕu víi mäi hä
J  I vµ mäi tËp B A víi  J ta cã

 B   B .

J

J

b) Họ P các tập con của không gian tôpô X đ-ợc gọi là k - l-ới HCP nếu

P

là một k - l-íi vµ nã lµ mét hä HCP cđa X.

4.4. VÝ dơ. XÐt kh«ng gian t«p« X víi t«p« rời rạc trên nó. Khi đó, ký hiệu

P = {P : P ®ãng trong X} := {P   I}. Ta sÏ chøng minh P

lµ k - l-íi HCP

cđa X. Giả sử K là tập compact và U là tập më trong X sao cho K  U. Khi
®ã, ta có K là tập hữu hạn nên giả sử K = {x1, x2, …, xn}.
XÐt P ' = {{xi} : i = 1, 2, , n} thì P ' là họ con hữu hạn của P (do {xi} là
tập đóng víi i = 1, 2, …, n) vµ K   P '  U. Nh- vËy, P lµ mét k - l-íi.

16


Bây giờ, ta sẽ chứng minh

P

là một họ HCP của X. Thật vậy, giả sử

{A, J} là họ con bÊt kú víi J  I vµ A  P với mỗi J. Ta chứng minh
{A  :   J}  {A  :   J} .
 {A  :   J}  {A : J} .

Ta có

(1)

Mặt khác {A :  J}  { A  :  J}, suy ra
 {A  :   J}  {A : J}.

Hơn nữa, { A : J} là tập đóng (Do X là không gian tôpô rời rạc), nên
{A :  J}  {A  :   J} , do ®ã  {A  :   J}   {A  :   J}. (2)
 {A :   J}   {A  :   J} . VËy

Tõ (1) vµ (2) ta cã

P

lµ mét

k - l-ới HCP của không gian tôpô X.
4.5. Mệnh đề([5]). Cho

P

là họ HCP của không gian tôpô X. Khi đó họ

{ P : P  P } cịng lµ hä HCP cđa X.
4.6. NhËn xÐt. Nh- vËy, theo mƯnh ®Ị 4.5 nếu Plà một họ HCP của không gian
tôpô X, ta có thể giả sử rằng P là họ HCP gồm những tập con đóng của X.
4.7. Mệnh đề. Nếu P là một họ HCP của không gian tôpô X thì P0={P0:P P }
cịng lµ mét hä HCP cđa X, trong đó P0 = IntP.
Chứng minh. Đặt P = { P : I }. XÐt hä con { A  : J } P0, trong đó J I
và A P0 với mỗi J . Vì A P0 nên A P , mà P
họ HCP nên ta có

P và P

là

A A . Đây là điều phải chứng minh.

J

J

4.8. Mệnh đề. Cho P là một họ HCP các tập con đóng của không gian dÃy X.
Khi đó họ P ' = {P* : P* là họ con hữu hạn của P } cũng là một họ HCP của X.

17


Chứng minh. Để chứng minh P' là họ HCP của X, ta chứng minh bằng phản
chứng. Giả sử P' không phải là một họ HCP của X. Khi đó, tồn tại họ {P : I}
là họ các họ con hữu hạn của P , và với mỗi  I, tån t¹i A   P sao cho

 A   A .

I

I

Tõ ®ã suy ra

 A  không là tập đóng, mà X là không gian dÃy nên ta có

I

thể tìm đ-ợc dÃy {xn : n N} trong

 A  mµ d·y {xn} héi tơ vỊ x  X\  A  .

I

I

LÊy (n)  I sao cho xn A (n) và bằng cách chọn một dÃy con, giả sử rằng các
phần tử (n) phân biệt. Mặt khác, ta có thể chọn một dÃy {n(m): m  N}  N
sao cho

P( n ( m)) \  P( n ( k ))

 , do ®ã chän Pm 

k m

P( n ( m)) \  P( n ( k )) , khi đó
k m

các phần tử Pm phân biệt nhau. Vì xn(m) A(n(m)), A(n(m))

P(n(m))

và

Pm  P(n(m)) nªn xn(m)  Pm. Tõ tÝnh HCP cđa P suy ra {xn(m) : n  N} lµ mét

tËp đóng, điều này mâu thuẫn với tính hội tụ của dÃy {xn (m)}.
Vậy, P' là một họ HCP của không gian tôpô X.
4.9. Mệnh đề. Giả sử P là họ HCP các tập con đóng của không gian tôpô X vµ
Z = {zn; n N} lµ d·y trong X héi tơ vỊ x  X \ Z. Khi ®ã, tån t¹i m  N sao cho
{zn : n  m} P chỉ với hữu hạn phần tử P P.
Chứng minh. Giả sử ng-ợc lại, tức là không tồn tại m N thoả mÃn yêu cầu
của mệnh đề. Khi đó, với mỗi m N, {zn ; n m} có giao với vô hạn phần tư
P  P. B»ng quy n¹p, ta cã thĨ chän mét hä con {Pn : n  N} sao cho zn Pn.
Mặt khác, do

P

là HCP, nên ta có {zn; n N} là một tập đóng. Mà

theo giả thiết, dÃy {zn} hội tụ về x, do đó, tồn tại n0  N sao cho zn = x, víi
mäi n > n0. Nh-ng cịng theo gi¶ thiÕt, d·y Z héi tụ về x X\ Z nên các phần tử

18


zn phân biệt, suy ra mâu thuẫn. Do đó, tồn tại m N thoả {zn ; n m} P ,
chỉ với hữu hạn các phần tử P của họ P.
Cho P là một họ HCP các tập con đóng của không gian tôpô X. Với mỗi
x  X, ta ký hiÖu Px = {P  P : x  P}, Y = {x  X:  Px = {x}}. Khi ®ã ta cã
4.10. MƯnh ®Ị. Y là không gian con đóng, rời rạc của không gian t«p« X.
Chøng minh. XÐt Y = {x  X : Px = {x}}. Để chứng minh Y rời rạc, ta chứng
minh với mọi x Y tồn tại lân cËn Ux cđa x sao cho Ux chØ giao víi nhiều nhất
là một phần tử của Y. Thật vậy, với x Y, ta đặt U = X\ {P P : x  P}. Do

P

lµ hä HCP cđa X suy ra {P  P : x  P} lµ tập đóng nên U là một tập mở

và U chứa x. Do đó U là một lân cận của x.
Nếu y  U  Y, ta chøng minh y = x. Tr-íc hÕt, ta chøng minh víi
y  U  Y thì Px
Do z
z

Py

Px nên x

Py. Giả sử ng-ợc lại, khi đó tồn tại z ( Px) \ ( Py).

nên tồn tại P

P

sao cho y P mà z P. Mặt khác,

P. Nh- vËy y  U  (Py)  ( X \ P) P = . Điều

này mẫu thuẫn. Do ®ã x  

Px   Py = {y} suy ra x = y. Vì thế, Y là

không gian con rêi r¹c cđa X. Ta cịng cã thĨ chøng minh đ-ợc Y là không
gian con đóng của X.
Nh- vậy, Y là không gian con đóng, rời rạc của không gian tôpô X.

4.11. Định nghĩa. Phủ

P của không gian tôpô X đ-ợc gọi là phủ điểm đếm

đ-ợc (hữu hạn), nếu với mỗi x X, tồn tại không quá đếm đ-ợc (hữu hạn) tập
hợp của p chứa điểm x.
4.12. Mệnh đề. Giả sử

P

là một họ HCP của không gian dÃy X. Khi đó

D(P) = {x X : P không là phủ điểm hữu hạn tại x } là không gian con đóng,
rời rạc của X.

19


Chøng minh. XÐt D(P ) = {x  X :

P không là phủ điểm hữu hạn tại x}. Để

chứng minh D(P ) đóng, ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử D(P ) không là
tập đóng. Khi đó, do X là không gian dÃy, nên tồn tại dÃy {xn: n  N}  D(P )
sao cho {xn} héi tơ vỊ x mµ x  D(P ).
Mµ {xn: n  N} D(P ) nên

P

(1)

không là phủ điểm hữu hạn tại xn với

n = 1, 2,Mặt khác, P là họ HCP của X, nên {xn : n N} là tập ®ãng. Mµ ta
cã {xn} héi tơ vỊ x, suy ra x  {xn : n  N}  D(P ).

(2)

Tõ (1) và (2), suy ra mâu thuẫn. Nh- vậy, D(P) là tập đóng.
Bây giờ, ta chứng minh D(P) là không gian rời rạc, tức là chứng minh
mỗi phần tử của D(P) lµ mét tËp më. ThËt vËy:
i) NÕu x lµ điểm cô lập của X. Khi đó rõ ràng {x} là tập mở.
ii) Nếu x không là điểm cô lập. Giả sử {x} không là tập mở. Khi đó,
D(P)\ {x} không là tập đóng. Theo mệnh đề 3.11, vì X là không gian dÃy và
D(P) là tập đóng, suy ra D(P) là không gian dÃy. Vì D(P) \ {x} không là tập
đóng trong không gian dÃy D(P ), nên tồn t¹i d·y {xn : n  N}  D(P) \ {x}
sao cho {xn} héi tơ vỊ x. Tuy nhiªn, theo chứng minh trên thì x {xn : n N}
suy ra mâu thuẫn, do đó, {x} là tập mở.
Vậy, D(P) là không gian con đóng, rời rạc của không gian tôpô X.
4.13. Bổ đề. Cho X là không gian tôpô và { xn : n N } là d·y trong X héi tơ
vỊ ®iĨm x  X. Khi ®ã, tËp hỵp ({x}  {xn: n  N})  D(P ) là tập hữu hạn.
Chứng minh. Xét tập hợp A = ({x}  {xn: n  N})  D(P ). Theo mƯnh ®Ị 1.6
{x}  {xn: n  N} là tập compact và đóng. Mặt khác, ta thấy D( P ) là
không gian con đóng, rời rạc nên mỗi phần tử y A thì {y} là tập mở, do
đó {{y}: y A} là một phủ mở của tập compact A nên tồn tại phủ mở hữu
hạn {y1, y2, …, yn} phñ A. VËy, ({x}  {xn: n N}) D(P ) là tập hữu hạn.

20


4.14. Mệnh đề. Cho X là không gian dÃy và P là họ HCP các tập con đóng

của X. Nếu mọi không gian con đóng của X không đồng phôi víi S1 th× hä

F (P) = P \ D(P ) : P  P  {x} x  D(P )
lµ một phủ điểm - đếm đ-ợc của X .

F (P ) không là phủ điểm đếm đ-ợc của X. Khi
đó, tån t¹i x  X sao cho x   P \ D( P ) : P  P  , trong đó P' là một họ con
Chứng minh. Giả sử ng-ợc lại,

quá đếm đ-ợc của

P . Do đó, x P'. Vì P ' là tập quá đếm đ-ợc, hơn nữa,

P \ D( P ) P, do đó P ' không là phủ điểm hữu hạn tại x suy ra x  D(P).

Nh- vËy, x  P \ x với mỗi P P', do đó P \ {x} không là tập
đóng. Từ P \ {x} không là tập đóng của không gian dÃy X, suy ra tồn tại
dÃy {y n : n N} gồm các ®iĨm ph©n biƯt cđa P \ {x} sao cho {y n} hội tụ
về x. Vì D( P ) là không gian con đóng, rời rạc của X (theo mệnh đề 4.12)
vµ {y n : n  N}  {x} lµ tập compact (theo mệnh đề 1.6), nên dựa vào
bổ đề 4.13, ta cã {x} {yn : n  N}  D(P ) là tập hữu hạn, do đó
{yn : n N}\ D(P ) là tập vô hạn. Ta đặt {yn: n  N} \ D(P ) := {xn : n  N}.
Râ rµng d·y {x n} cịng héi tơ về x.
Bây giờ, với mỗi P P', tồn tại dÃy {x(P, n)} gồm các điểm phân biệt
của P \ D(P ) sao cho {x (P, n)} héi tơ vỊ x. Vì x(P, n) D(P ) nên

P là phủ

điểm hữu hạn tại x(P, n). Do đó với bất kỳ họ con đếm đ-ợc P'' của

P

thì

P ' \ {Q P' : x(P, n)  Q, P  P'', n N} vẫn không đếm đ-ợc. Bằng quy
nạp siêu hạn, ta có thể lấy đ-ợc họ con {P :  < 1} cña
x(P, n)  x(P, n) khi   .

21

P

' sao cho


§Ỉt Y = {x}  {x(P, n) :  < 1, n N}. Khi đó, vì

P

là HCP nên Y

là không gian con đóng của X và {{x} {x(P, n): n N}} P với mỗi
< . Vì Y đồng phôi với S1 nên điều này mâu thuẫn với giả thiết.

F

Vậy (P ) là phủ điểm - đếm đ-ợc của X.
4.15. Mệnh đề. Cho X là một không gian mêtric compact khi đó nếu

P là một

phủ đóng HCP của X thì tồn tại phủ con hữu hạn P * cña P sao cho P * phñ X.
Chøng minh. Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sư P là phủ đóng HCP của
X và không tồn tại một phủ con hữu hạn nào của

P

phủ X. Khi đó, ta x©y

dùng mét d·y {xn: n  N} nh- sau:
LÊy P0 P , do {P0} không phủ X nên tồn tại x1 X \ P0, mà do P phủ
X nên tồn tại P1 sao cho x1 P1. Vì P0 P1 không phủ X nên tồn tại
x2 X \ (P0 P1), mà P phủ X nên tån t¹i P2  P sao cho x2  P2.
Cø lý luận t-ơng tự nh- trên, ta thu đ-ợc dÃy {xn: n  N} cã c¸c tÝnh
chÊt sau: xn  X \

n 1

 Pi ,

xm  xn víi m  n vµ xi  Pi víi mäi i = 1, 2,

i 1

Do X là không gian mêtric compact và {xn: n N} là một dÃy trong X
nên tồn t¹i d·y con { x n k : k  N} cña d·y{xn: n  N} sao cho { x n k } hội tụ về
x X. Mặt khác, do x n k  Pn k  P, mµ P là một họ HCP nên tập { x n k ; k N}
là tập đóng. Mà dÃy { x n k } héi tơ vỊ x, nªn tån t¹i k0  N sao cho x n k = x,
với mọi nk > n k 0 . Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng dÃy { x n ; n N}.
Nh- vậy, tồn tại phủ con hữu h¹n P * cđa P sao cho P * phđ X.

22


Đ5 Không gian với k - l-ới - bảo tồn bao đóng di truyền
5.1. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X đ-ợc gọi là một k - l-íi

 - HCP nÕu P lµ mét k - l-ới và P =



Pn , trong đó Pn là một họ HCP với

n 1

mỗi n = 1, 2
5.2. Mệnh đề. Mọi không gian mêtric X đều có một k - l-íi  - HCP.
Chøng minh. Theo mƯnh ®Ị 2.7, mọi không gian mêtric đều có một sơ sở
- rời rạc. Do đó gọi
chứng minh

P

B = {Bn : n N} là cơ sở - rời rạc của X. Ta sÏ

= { B : B  B } lµ mét k - l-íi  - HCP cđa X.

Theo mệnh đề 2.4, mệnh đề 2.6 và định nghĩa 4.3 thì

P

là họ - HCP

của X. Ta còn phải chứng minh P là một k - l-ới. Giả sử K là một tập compact
trong không gian mêtric X và U lµ mét tËp më trong X sao cho K  U. Khi
đó, vì X là không gian chính quy nên theo mệnh đề 1.22, với mỗi x U tồn
tại tËp më Vx sao cho x  Vx  U. Mặt khác, theo giả thiết B là một cơ sở của
không gian mêtric X nên với Vx là tập mở trong X, tån t¹i hä con { B i x : ix  I}
cña

B

sao cho Vx =

 B ix .

Nh- vËy K 

xK

i x I

K

 Vx   Vx  U

hay

xK








B

B
   ix     ix   U nªn { B ix : ix  I, x  K} lµ phđ më
xK  i x I
 xK  i xI


cđa tËp compact K do ®ã tån tại phủ con hữu hạn { B i x : ix = 1, 2,…, n} tháa
m·n K 

n

n

 B ix   B ix

i 1

 U hay K 

i 1

n

 Bi x

U, từ đó

P

là một

i 1

k - l-ới của X. Nh- vËy P lµ mét k - l-íi  - HCP của không gian mêtric X.

23


5.3. Hệ quả. Nếu X là không gian mêtric hoá đ-ợc thì X đếm đ-ợc thứ nhất và
có một k - l-ới - HCP.
Chứng minh. Vì X là không gian mêtric hoá đ-ợc, nên X là không gian
mêtric. Theo nhận xét 3.2, X là không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ
nhất và nhờ mệnh đề 5.2 nên X cã mét k - l-íi  - HCP.
5.4. MƯnh đề. Cho f: X Y là ánh xạ toàn ánh, liên tục và đóng từ không
gian paracompact X vào không gian tôpô Y. Khi đó, nếu X có một k - l-íi

 - HCP th× Y cịng vËy.
Chøng minh. Gäi P =  {Pn : n  N} lµ mét k - l-íi  - HCP cđa kh«ng gian
t«p« X. Ta sÏ chøng minh f(P ) = {f(Pn) : n  N}, lµ mét k - l-íi  - HCP
cđa Y, trong ®ã f(Pn) = {f(P) : P  Pn}.
Tr-ớc hết, ta chứng minh mỗi f( Pn) là một hä HCP cđa Y. Gi¶ sư

{f(P) :   I} f(Pn), trong đó P Pn . Với mỗi họ J I, mỗi họ con bất kỳ
A f(P),   J, ta chøng minh

 A   A . Với mỗi A f(P),  J tån

J

J

t¹i B  P sao cho A = f(B). Do



J

B

Pn

là một họ HCP trong X nên








.Từ
đó

B
f
B

f
B

   
 

J
  J 
 J 

(1)

MỈt khác theo mệnh đề 1.29, vì ánh xạ f đóng nªn ta cã


f   B    f B   f B  ,
 J  J
J



(2)






f   B   f   B    f B  .
 J 
 J  J





(3)

 

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra

 f B    f (B )

J

J

24

hay

 A   A .

J

J

Vì thế f(Pn) là một họ HCP trong Y, do ®ã f(P ) = {f(Pn) : n  N} lµ mét
 - HCP cđa Y.
B©y giê, ta chøng minh f(P ) là một k - l-ới. Giả sử K là mét tËp
compact trong Y vµ U lµ tËp më trong Y sao cho K  U. Khi ®ã, theo mƯnh
®Ị 1.30 thì f - 1(K) là tập compact trong X. Hơn nữa, do f liên tục nên f - 1(U) lµ
tËp më trong X vµ f -1(K)  f - 1(U). Do

P

là k - l-ới trong X, nên tồn tại họ

hữu hạn P * của P sao cho f - 1(K)   P *  f -1(U), hay K  f( P *)  U,
mµ f( P *) =  f( P *), nªn K   f( P *) U, do đó f(P ) là một k - l-íi
cđa Y.
Nh- vËy, f(P ) lµ mét hä k - l-íi  - HCP cđa Y.
5.5. HƯ qu¶. NÕu X là ảnh đóng của không gian mêtric qua ánh xạ liên tục và
đóng, thì X là không gian Frechet vµ cã mét k - l-íi  - HCP.
Chøng minh. Ta đà biết một không gian mêtric là không gian Frechet. Giả sử
M là không gian mêtric và ánh xạ f: M X là toàn ánh, liên tục, đóng. Khi
đó, theo mệnh đề 3.7, X là không gian Frechet. Mặt khác, theo mệnh đề 5.2,
M có một k - l-íi  - HCP. VËy theo mƯnh ®Ị 5.4, X có một k - l-ới - HCP.
5.6. Định nghĩa. Không gian tôpô X đ-ợc gọi là - không gian nÕu X cã mét
k - l-íi  - h÷u hạn địa ph-ơng.
5.7. Nhận xét. Nếu không gian tôpô X là - không gian thì X có một
họ k - l-ới - HCP.
Chứng minh. Vì X là - không gian nên X có một họ k - l-ới - hữu hạn
địa ph-ơng P. Khi đó, theo mệnh đề 2.4, mệnh đề 2.6 và định nghĩa 4.3,
một k - l-íi - HCP. VËy X cã mét k - l-íi  - HCP.

25

P

lµ