K vectơ trên không gian với tích vô hướng luận văn tốt nghiệp đại học

LờI NóI ĐầU
Các phép toán về tenxơ có ứng dụng rộng rÃi trong các ngành kỹ thuật, nó
cũng là công cụ cho các nghiên cứu của các ngành trong vật lý nh tĩnh học, môi trờng liên tục, các trạng thái biến đổi không gian.
Trong khoá luận này, chúng tôi tập hợp trình bày và chứng minh chi tiết các
tính chất về tenxơ, tenxơ phản ứng và một số tính chất của k-vectơ trên không gian
giả ơclit.
Khoá luận đợc chia làm 3 bài:
Bài 1: Tenxơ
Bài 2: Tenxơ phản ứng
Bài 3: K-vectơ trên không gian với tích vô hớng.
Trong bài 1, chúng tôi trình bày khái niệm về tenxơ, các phép toán của
tenxơ, đồng thời chứng minh một số tính chất liên quan nh: phép đổi chỉ số, tính
chất tích tenxơ.
Trong bài 2, chúng tôi trình bày khái niệm về tenxơ phản ứng các ánh xạ
phản xứng hoá, tính ngoài của 2 tenxơ phản xứng. Chứng minh một số tính chất
của ánh xạ phản xứng hoá, tích ngoài và chứng minh đợc cơ sở của không gian các
tenxơ phản xứng.
Trong bài 3, chúng tôi trình bày khái niệm tích vô hớng đối với k-vectơ đơn
và một số tính chất của k-vectơ đơn trên không gian với tích vô hớng.
Khoá luận đợc hoàn thành vào tháng 5 năm 2011 tại trờng Đại học Vinh dới
sự hớng dẫn của thầy giáo T.S Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này chúng tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Chúng tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa
toán, bạn bè và gia đình đà tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành khoá luận này.
Xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện: LÃ Thị Quế
Bài 1: Tenxơ
1.1. Định nghĩa
Cho V, W là các không gian trên trờng K, V* là không gian đối ngẫu của V.
ánh xạ (r + s) tuyến tÝnh
f:

V * V * .....V * V V .....V  W

r - lÇn

s - lÇn

1


Gọi là tenxơ r - lần phản biến, s- lần hiệp biến hay tenxơ kiểu (r , s ) trên V
nhận giá trị trong W. Kí hiệu:
Tsr V ,W = {f, f là tenxơ kiểu (r,s) trên V, nhận giá trị trong W}
Tsr V , | R = Tsr V 
Tsr V  = Ts (V ) ; T0r V  = T r V 
Tsr V  cùng với hai phép toán: cộng ánh xạ và nhân vô hớng ánh xạ với một số thực

là một không gian vectơ.
Tenxơ Ts (V ) gọi là hiệp biÕn ®èi xøng nÕu
 (v1 ,...., vs )  (v (1) ,....., v ( s ) )

Víi v1 .... v s  V, mäi phÐp thÕ  cña tËp {1, 2, ....s}
Tơng tự ta có khái niệm tenxơ phản biến đối xứng
Tenxơ Ts (V ) gọi là hiệp biến phản đối xứng nếu:
(v1 ,...., v s ) sign . (v (1) ,....., v ( s ) )

Gi¶ sử u1, ......ur là một hệ vectơ trong không gian V.
1 ,........., s là một hệ vectơ trong không gian V*

Khi đó, phần tử u1 ...... ur   1 .........   s lµ 1 ánh xạ (r + s) tuyến tính.
Xác định bởi: u1  ......  ur   1 .........   s ( b1 ,......b r , v1 ,.......v r ) =

b1  u1 ......b1  u r  1  v1 ........ 1  v s 

Víi v1 .... v s  V, b1 .........b r  V*
Ta gäi u1  ......  ur   1 .........   s là một vectơ đơn kiểu (r,s)
Phép tính ở trên ta có tính chất đa tuyến tính.
1.2. Ví dụ:
i. T10 (V ) = {f: V  R, f tuyÕn tính } = V*
Mỗi phần tử của V* (còn gọi là đối vectơ) là 1 tenxơ kiểu (0, 1)
ii. T10 (V ) = {f: V*  R, f tuyÕn tÝnh} = (V*)* V
Mỗi vectơ thuộc V là tenxơ kiểu (0,1)
iii. Tenxơ T11 (V ) xác định bởi

:

V * V  R
( f , v )  f (v )

Gọi là tenxơ Delta Kronecker.
iv. T20 (V ) = {f: V V R, f song tuyến tính)
Mỗi dạng song tuyến tính trên V là một tenxơ kiểu (0, 2)
2


Nếu f là dạng song tuyến tính đối xứng trên V thì f là tenxơ 2-lần hiệp biến đối
xứng.
1.3. Mệnh đề
Giả sử e1 ......en là cơ sở của không gian V, e1 ......e n là cơ sở đối ngẫu của

e1 ......en , tức là e i e j  ij .
Khi ®ã tËp  ei  ...... ei  e j  ..... e js , i1.......,ir , j1......., js  1, n

(1) lµ cơ sở của

1

1

r

Tsr V . Từ đó suy ra dim Tsr V  = n r s
.......,i
j
 .....  e j
NÕu T  Tsr V  th× T  T ji .......,
j ei  ... ei  e
1

r

1

s

s

1

s

r

j
j
.......,i
Trong ®ã: T ji .......,
j = T (ei ,....ei ,.e ,....., e )  R
1

r

1

s

s

1

s

r

.......,i
Bé hƯ sè T ji .......,
j gäi lµ toạ độ của tenxơ T đối với cơ sở (1) hay gọi là toạ độ của
1

r

1

s

tenxơ T đối với cơ së  e1 ......en  cđa V.
Chøng minh:
j
.......,i
j
Gi¶ sư: T  T ji .......,
j ei  ... ei  e  .....  e = 0; i1......., ir , j1 ......., j s 1, n

T



i1 ......., ir
j1 ......., j s

1

r

1

s

1

1

s

r

ei1  ... eir  e js  .....  e js (e k1 ,.....e kr , el1 .......,els ) = 0

Víi e k ,.....e kr  V*, el ......., els  V; k1......., k r , l1......., ls 1, n
1

1

......., ir k1
kr
j1
js
 T  T ji11.......,
j s e (ei1 ).....e (eir )e (el1 )....e (el s ) 0
1 ...... k r
 Tl1k......
0 ;  k1 ......., k r , l1 ......., l s 1, n
ls

.......,ir
= 0;  i1......., ir , j1......., js 1, n
 T ji11.......,
js

VËy hƯ (1) lµ hƯ độc lập tuyến tính
Mặt khác, với T Tsr V  ,  1 ,.........,  r  V*, v1 ......., v s  V. Ta cã:
js

j1
1 i1
r ir
T ( 1 ,.........,  r , v1 ......., vs ) = T(   i1 e ,......,   ir e ,   1 e j1 ,......,   s e js )
i1

=


= T
=

T

1
i1

r1

j1

js

...... irr 1j1 ..... sjs T (e i1 ,...., eir , e j1 ,....., e js )

i1 .......,ir
j1 ......., js

 

 

 1 eiỴi ..... r eiỴi e j1  v1 ......, e js  v s 



i1 .......,ir
j1 ......., js iỴi

e .....  eiỴi  e j1  ......  e js  1 ,....., r , v1 ...., vs



1
r
  ,.....,  , v1...., vs





i ......., i
j
j
 T=  T j11......., jrs eiỴi .....  eiỴi  e 1  ......  e s

VËy hƯ (1) là cơ sở của hệ Tsr V dim Tsr V  = n r s
1.4. MƯnh ®Ị
3

Cho V là không gian hữu hạn chiều. Khi đó:
i.

T11 V  L(V,V)
T210 V  L (V,V*)

ii.

Tsr V   Tsr11 (V)

Tsr V   Tsr11 (V)

Chøng minh;
i. f: V  V tuyÕn tÝnh, f  L(V,V)
LÊy f  T11 V  ; f : V* x V  R
(a,v) f (a,v) = a(f(v))
Xét ánh xạ: : L (V,V) T11 V
f

f

Ta chứng minh là đẳng cÊu tuyÕn tÝnh
LÊy f, g  L(V,V) = f  g (a, v)
= a (f  g )(v) 
=

a   v    g  v  

=  .a( f (v)  a( g (v))

=  . f  a, v    g  a, v 
= ( ( f )   ( g ))(a, v) ; (a, v) V * V
  (f  g )  ( f )   ( g )

Vậy là ánh xạ tuyến tính
Lấy f,g L(V,V). Gi¶ sư  ( f )  ( g )
 f g
 f (a, v) g (a, v) ; (a, v ) V * V
 a ( f (v)) a ( g (v))
 f(v) = g(v)

; v  V

 f=g

Vậy đơn ánh
Mặt khác dimL(V,V) = dim T11 V = n2
Suy ra, là đẳng cấu tuyến tính  L(V,V)  T11 V 
* LÊy   T2 (V )

,:

V V  |R

 u, v 
f  L(V ,V * ) , f :

;

   u, v 

V  V*
4


u f (u )

Xét ánh xạ :

T2 (V )  L(V ,V * ) . Trong ®ã  (u ), (v)  (u , v)

   ( )

Ta chứng minh là đẳng cấu tuyến tính
Lấy  ,  T2 (V ) ;  ,   R. Ta cã:
    (u )(v )

=    (u )(v)
=    (u )(v)
=   u, v     u, v 
=   u  v      u  v 
=     u  v 

; u, v V

=         u  v 

; u, v V

         

là ánh xạ tuyến tính

Lấy ,  T2 (V ) vµ   . Khi ®ã,  u, v  V V sao cho"
  u , v    u , v     u  v    u  v 
    u  v     u  v 
   

Vậy đơn ánh.
Mặt khác, dim T2 (V ) = dim LV ,V *  n 2
VËy  là đẳng cấu tuyến tính T2 (V ) LV ,V *
ii. Ta cần chứng minh bổ đề: Cho V là không gian hữu hạn chiều, V * là không gian
đối ngẫu của V. Khi đó, V V*
V là không gian với tích vô hớng
Xét ánh xạ: f :

V  V*
u

Trong ®ã:

fu

fu  R

v  u.v
Ta chøng minh f là đẳng cấu tuyến tính
Với u1, u2 V,  ,   R. Ta cã:
f (u1  u 2 )(v)

= f  u   u (v )

1

2

= (u1  u 2 )(v)
5


= u1v  u 2 v
=  fu1 (v)   fu 2 (v)
= ( fu1   fu 2 )(v)
= ( f (u1 )   f (u 2 )(v) ; v V
 f (u1  u 2 )(v) =  f (u1 )   f (u 2 )
 f tun tÝnh

LÊy u1, u2  V. Gi¶ sư f (u1 ) = f (u 2 )
 f u1 (v )  f u 2 (v) ; v  V
 u1v u 2 v


 u1 

u 2 v 0

 u1 = u2

Vậy f là đơn ánh
Mặt khác, dimV = dim V* = n
Vậy f là đẳng cấu tuyến tính  V  V*
- Víi f  Tsr V  , xét g Tsr11 (V). Xác định bởi:

g ( 1 ,...., r , vs , v1 ,....,vs  1 )  f ( 1 ,...., r , vs , v1 ,....,vs )

Trong ®ã:

 vs :

v R
u  u. vs

XÐt ¸nh x¹:  :

Tsr V   Tsr11 (V)

f  ( f ) g
Ta chứng minh là đẳng cÊu tuyÕn tÝnh
+ LÊy f1, f2  Tsr11 (V).  ,   R;  ( f1 ) g1 ;  ( f 2 )  g 2
 (f1  f 2 )( 1 ....., r , vs , v1 ,...., vs ) = g ( 1 .....,  r ,  v , v1 ,...., vs )
s

= (f1  f 2 )( 1 ....., r , v1 ,...., vs )
= (f1 )( 1 .....,  r , v1 ,...., vs )  ( f 2 )( 1 .....,  r , v1 ,...., vs )
= f1 ( 1.....,  r , v1 ,...., vs )  f 2 ( 1.....,  r , v1 ,...., vs )
= g1 ( 1....., r , v , v1 ,....,vs  1 )   g 2 ( 1 ....., r , v , v1 ,....,vs  1 )
s

s

= ( ( f1 )   ( f 2 ))( 1.....,  r ,  v , v1 ,...., vs )
s

;  11 ,....., r , v1 ,...., vs

=  (f1  f 2 )  ( f1 )   ( f 2 )
6


LÊy f1, f2  Tsr V  . Gi¶ sư f1 f2 khi đó tồn tại ( 1 ....., r , v1 ,...., v s ) sao
cho:
f1 ( 1....., r , v1 ,...., vs )  f 2 ( 1 ....., r , v1 ,...., vs )
 g1 ( 1 ....., r , vs , v1 ,...., vs  1 ) g 2 ( 1 ....., r , vs , v1 ,...., vs  1 )
  ( f1 )( 1.....,  r ,  vs , v1 ,...., vs  1 )  ( f 2 )( 1.....,  r ,  vs , v1 ,...., vs  1 )
  ( f1 ) =  ( f 2 )

Vậy đơn ánh.
Mặt khác, dim Tsr V = dim Tsr11 (V) = n r s
VËy  lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh  Tsr V   Tsr11 (V)
Chøng minh t¬ng tù ta cã: Tsr V   Tsr11 (V)
1.5. Nhận xét
i. Khi V là không gian hữu hạn chiều, một tenxơ có thể có nhiều cách thể hiện khác
nhau.
Tsr V đợc xem nh là 1 phần tử của Ts (V, Tr(V))

Mỗi phần tử

(Hoặc là phần tử của Tr (V, Ts (V)). Xác định bởi
(v1 ,...., vs )( 1 .....,  r ) =  ( 1 .....,  r , v1 ,...., vs )

Mỗi phần tử Trr ' (V ) đợc xem nh là một phần tử của Tr(V), Tr'(V)
Xác định bëi:
 (v1 ,......vr )(u1 ,...., u r ' ) =  (v1 ,......vr , u1 ,...., u r ' )

i ......i
i
ii. NÕu  ,   Tsr V  cã toạ độ tơng ứng là ij ......
...... j ; j ...... j
1

1

r

1

s

1

e

s



Khi đó:
i
i ......i
Tổng + có toạ ®é:  ij ......
...... j   j ...... j
1

1

r

1

s

1

i
Víi R, có toạ độ ij ......
...... j
1

1

e

s



r

s

1.6. Mệnh đề
k1 ...... k r
i
Giả sử ij ......

...... j và p1 ...... ps là toạ độ của tenxơ tơng ứng với 2 cơ sở {e 1....,en} và
1

r

1

s

 1 ,..... n  cđa V. Khi ®ã:
ir
 ij11......
...... js =



( k )( l )

k1 ......k r
p1 ...... ps

a ki11 .....a kirr1 b lj11 .....b ljss

Trong ®ã, A =( aij ) lµ ma trËn chun tõ {e1....,en}    1 ,..... n 
B = A-1 = ( bi j )
Chøng minh:
7


Giả sử {e1....,en}, 1 ,..... n tơng ứng là 2 cơ sở đối ngẫu của {e1....,en} và   1 ,..... n 

Do A lµ ma trËn chuyÓn tõ {e1....,en}    1 ,..... n 
n

  i  aik e k
k 1

B = A-1 lµ ma trËn chuyÓn tõ {e1....,en}    1 ,..... n 
n

  i  bik e k
k 1

V× 

i1 ......ir
j1 ...... j s

là toạ độ của đối với cơ së {e1....,en}

js
i1 ......ir
j1
     j1 ...... js ei1  .....  eir  e  ....  e ; i1 ,....., ir ; j1 ,....., j s 1, n
( k )( l )

(1)

lk11........lsk r là toạ ®é cđa ®èi víi c¬ së   1 ,..... n 
k1 ....k r
l1

ls
     l1 ....ls  k1  ..... kr   .....  
( k )( l )

=
=



( k )( l )

k1 ....k r
l1 ....ls

 

( k )(l ) ( i )( j )

( aki11 ei1 )  ....  ( akirr eie )  ( a lj11 e js )  ....  ( a ljss e js )
i1

k1 ....k r
l1 ....l s

ir

j1

jr

aki11 ......akirr b lj11 ..........b ljss (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra:


i1 ......ir
j1 ...... js

l
k ....k
i
i
l
=   l ....l ak ......ak b j .......b j
1

( k )( l )

1

r

s

1

r

1

s

1

r

1

s

1.7. NhËn xÐt
Theo c«ng thøc 1.6 ta cã:
i
+  i  j b j là công thức biến đổi toạ độ của tenxơ kiểu (0,1)
i, j

j
j j
+ bi là công thức đổi toạ độ của tenxơ kiểu (1,0)
i, j

i j
+ ij kl bk bl là công thức đổi toạ độ của dạng song tuyến tính
i, j

1.8. Định nghĩa:
Giả sử Tsr V , Tl k (V ) , tích tenxơ và là một tenxơ mới kí hiệu là
Tsrl k (V ) . Xác định bởi:

( 1 ,..., r k , v1 ,...., vs l ) =  ( 1 ,..., r , v1 ,...., vs ). ( r 1 ,..., r k , vs 1 ,...., vs l )

Gi¶ sư  , 1 , 2  Tsr V  ,  ,1 , 2  Tl k (V ) . Khi đó tích tenxơ có nh÷ng tÝnh chÊt sau:
( 1   2 )   1    2 

  (1  2 )  1    2 ( )    ( )   ,   Ø | R
8


1.9. VÝ dơ:
i.   T11 (V ) th×   ij ei  e j ,  ij  (ei , e j )
ii.   T12 (V ) , V cã c¬ së {e1, e2}; V* cã c¬ së {e1, e2}
 2e1  e1  e1  3e1  e1  e 2  4e1  e2  e1  6e1  e2  e 2
 3e2  e1  e1  e2  e1  e 2  2e2  e2  e1  5e2  e2 e 2

Khi đó có toạ độ đối với cơ sở {e1, e2} của V là (2;3;4;6; 3;1; 2;5)
iii. Cho V là không gian n chiều có cơ sở {e 1,.....,en}. Khi đó V* có cơ sở đối ngÉu t¬ng øng {e1,....,en}
n

n

i 1

i 1

g,h  V*, g  g i e i , h  hi e i
LÊy   T 2 (V ) ,  : V*  V*  R
n

(g,h)   ( g , h)  g i hi
i 1

  T11 (V ) ,  :

V*  V*  R

Khi ®ã,   :

(f,v)  f(v)
V*  V* V*  V  R
n

(g,h,f,v) 

 g h f (v )
i i

i 1

Bài 2: Tenxơ phản xøng
9


2.1. Định nghĩa
Giả sử V là không gian hữu hạn chiều Tenxơ Tk (V ) gọi là phản øng ®èi
xøng nÕu:
 (v1 ,...., vi ,....., v j ,....vk )   (v1 ,...., vi ,....., v j ,....vk )

Ký hiÖu:  k V {  T k (V ) , phản đối xứng}
Anh xạ phản ứng hoá: Altk: Tk (V ) k V xác định bëi
Alt k ( )(v1 ,..., vk ) 

1
 sign (v (1) ,....,v ( k ) )
k!  Sk

 lµ phÐp thế của tập {1, ....,k}, Sk là nhóm các phép thế bậc k.

Cho 2 tenxơ phản ứng k V ,    l V . TÝch ngoài của và là một tenxơ
phản đối xứng kí hiệu

k l

V và đợc xác định bởi:

(v1 ,....vk , vk 1 ,....., vk l )

=

(k  l )! k l
Alt (   )(v1 ,....vk , vk 1 ,....., vk l )
k!l!

=

1
 sign (v (1) ,....,v ( k ) ). (v ( k 1) ,....,v ( k l )
k!l!  Sk l

2.2. Mệnh đề
i. k V thì Alt k ( ) 

ii.   Tk (V ) th× Alt k ( Alt k ( ))  Alt k ( )
iii.   Tk (V ) ;   Tl (V )
NÕu Alt l (  ) 0 th× Alt k l (    )  Alt k l (   ) 0
Alt k l ( Alt k (   )  Alt k l (   )
Alt k l ( Alt k   Alt k  )  Alt k l (   )

iv. Alt(    )  Alt( Alt(    )) alt (  alt ( ))
Chứng minh:
i. Giả sử (ij) là phép hoán vị các số i, j và để nguyên các số còn lại. Với S k , đặt
'  (ij ) . Khi ®ã:
Alt k ( )(v1 ,..., vi ,....., v j ,...., vk ) 

=

1
 sign . (v (1) ,.....,v ( j ) ,....., v (i ) ,...., v ( k ) )
k!  Sk

1
 sign . (v '(1) ,.....,v '(i ) ,....., v '( j ) ,...., v '( k )
k!  Sk
10


1
 sign . (v '(1) ,.....,v '(i ) ,.....,v '( j ) ,...., v '( k )
k!  'Sk

=

= - Alt k ( )(v1 ,......v(i ) ,....., v( j ) ,...., v( k ) )
VËy Alt k ( )   k V
NÕu    k V , khi ®ã víi (v1 ,...., vk )  V,   S k th×
 (v (1) ,..., v ( k ) ) sign (v1 ,..., vk )

Do ®ã: Alt k ( )(v1 ,..., vk )

=

1
 sign (v (1) ,......., v ( k ) )
k!  Sk

=

1
( sign ) 2  (v1 ,......., vk )

k!  Sk

=  (v1 ,......., vk )

; v1 ,..........vk  V

 Alt ( ) 

ii. Suy tõ i.
k l
 (v ....v ) (v
iii. Alt (   )(v1 ,....., vk l )  

S
(1 )

(k)

( k 1 )

.....v ( k l ) )

k l

Gäi G  S k l là tập các phép thế sao cho:
1
2............k
k+1..........k+l


(1)

 (2)

 (k )

k+1..........k+l

Khi ®ã:

 sign . (v

(1)

,.....v ( k ) ). (v ( k 1) ,.....v ( k l ) )

 S k l



=


 sign . (v

'S k l

'(1)


,.....v '( k ) ). (v '( k 1) ,.....v '( k l ) )


Giả sử: 0 G . Đặt Go   . 0 :   G

vµ v (1) ,....., v ( k l )   w1 ,....., wk l  . Khi ®ã:
0



0



=  sign 0   (v '(1) ,.....v '( k ) ). (v '( k 1) ,.....v '( k l ) ) = 0




 'G

Ta thÊy G  G  v× lÊy   G  G . Khi ®ã   '. 0 ,  ' G
0

0

Suy ra,  0  ( ' ) 1 G (Mâu thuẫn với giả sư  0 G )
TiÕp tơc chia S k l thành các tập con không giao nhau mà tổng lấy theo mỗi
tập đó đều bằng 0 cho nên tổng:

sign . (v

 S k l

(1)

,.....v ( k ) ). (v ( k 1) ,.....v ( k l ) ) = 0 ;

vi V
11


 Alt (    ) 0

Chøng minh t¬ng tù ta cã: Alt (   ) 0
+ Víi   S k , mäi   Tk (V ) . Đặt (v1 ,...., vk ) = (v (1) ,....., v ( k ) )
Ta cã:
Alt ( )(v1 ,...., vk )

= Alt ( )(v (1) ,....., v ( k ) ) ;
=

1
 sign (v 2 (1) ,......., v 2 ( k ) )
k!  Sk

=

1
 (sign ) 2  (v (1) ,......., v ( k ) )
k!  Sk

= sign . Alt ( )(v1 ,....., vk )

; (v1 ,....., vk )  V

 Alt ( ) signAlt ( )

; Alt ( )   ( sign ) .

Ta cã: Alt k l (   )

= Alt k l  

 S k

 1


( sign ) .    

  k!  Sk


 1



= Alt k l    ( sign ( .    
  k!  S
 
k

=

1
 (sign Alt k l    
k!  Sk

Víi   S k . lÊy  ' S k l sao cho:

Khi ®ã:

 (i )  ' (i )
 ' (i ) i

nÕu

i k
ik

sign sign ' vµ     ' (   )

VËy: sign . Alt k l (   ) sign ' Alt k l  ' (   )
 Alt k l ( Alt k    ) =

=

1
 sign ' Alt k l '    
k!  Sk
1
sign ' sign '.Alt k l    

k!  Sk

1
= 





k l

1. Alt    
k!  
S k



= Alt k l    
Chøng minh t¬ng tù: Alt k l  Alt k  Alt l   = Alt k l    
iv. Ta cã: Alt  Alt            Alt       Alt      0
12


Theo (iii)

= Alt    Alt           

0

= Alt   Alt       Alt       
VËy Alt ( Alt (   ))  Alt (    )  Alt (  Alt (   ))
2.3. MÖnh ®Ò
Cho    k V ,    l V , m V
i. ánh xạ  :  k V   l V   k l V
  

   
lµ song tuyÕn tÝnh
ii.    =   1 kl   

iii.             
Chøng minh:

i. LÊy  , 1 ,  2   k V ,  , 1 ,  2   l V

 1   2  

 =

 k  l ! Alt k l  

=

 k  l ! Alt k l 

k!l!

k!l!





1

1

2    
   2   

(k  l )!
[ Alt k l ( 1   )  Alt k l ( 2   )]
k!l!

(k  l )!
(k  l )!
Alt k l (1   ) 
Alt k l ( 2   )
k!l!
k!l!

1     2  

Chøng minh t¬ng tù ta cã
  ( 1   2 )   1     2
( )     ( )   

VËy

lµ ¸nh x¹ song tuyÕn tÝnh



ii. XÐt

R

 0  S k l

1

2............k

k+1..........k+l

0 

13


k+1 k+2........k+l
sign 0 ( 1) kl .

Khi ®ã:

1 ...........k

Nh vËy:

Alt (   )(v1 ,...., vk l ) 

1
 sign (v (1) ,....., v ( k ) ). (v ( k 1) ,....., v ( k l ) )
(k  l )!  S k l

1
 sign '  (v '(1) ,....., v '( k ) ). (v '( k 1) ,....., v '( k l ) )
( k  l )!

=

(Víi  '  . 0 )
(  1) kl Alt (    )(v1 ,....., vk l )

=

;

 v1 ,....., vk l  V

    (  1) kl   

iii.

  (   ) =

( k  l  m)!
Alt (  (   ))
k!(l  m)!

= (k  l  m)!. (l  m)! Alt (  Alt (   ))
k!(l  m)!

l!m!

=

(k  l  m)!
. Alt (  (    ))
k!l!m!

=

(k  l  m)!
. Alt (     )
k!l! m!

T¬ng tù

(   )   =

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

(1)

(k  l  m)!
. Alt (     )
k!l! m!

(2)

  (    ) = ( )

2.4. Định lý
Giả sử.{ e1 ..., e n } là cơ sở của V * khi đó cơ sở của k V

là {

e i1 .....  e ik ,1 i1  .....  ik n } Tõ ®ã suy ra dim  k V Cnk

Chøng minh
Gi¶ sư:

a



i1 ........ik

a

i1 ........ik

e i1  .......  e ik (e j1 ,........, e jk ) 0

a

i1 ........ik

e i1 (e j1 )......e ik (e jk ) 0

(i )



e i1  .......  e ik 0, ai1 ........ik  R,1 i1  .....  ik n

(i )

14

 a j1 ........ jk 0 ; 1  j1  ....  jk n

 ai1 ........ik 0 ; 1 i1  ....  ik n

VËy hƯ (1) ®éc lËp tuyÕn tÝnh
NÕu   k V    Tk (V )


a

i1 ........i k

ei1  .....  ei k

j
j
Do   Alt ( )  ai ........i Alt e  .....  e
1

(i )

1

k

; ai ........i  (ei .....ei )
1

k

k

1

k



V× mỗi tích ngoài e j .... e j kh¸c víi Alt e i .....  e i  tơng ứng bởi 1 hằng số nên
1

k

1

k

{ e i .....  e i ,1 i1  .....  ik n } lµ hƯ sinh cđa  k V
1

k

VËy { e i  .....  e i ,1 i1  ..... ik n } là cơ sở của
1

k

k

V

dim k V C nk

2.5 Định nghĩa
Giả sử V là không gian n chiều, tenxơ gọi là phản đối xøng nÕu:
 ( 1 ,..., i ,..... j ,..., k )   ( 1 ,..., i ,..... j ,..., k )

Từ định nghĩa ta có T k (v) phản đối xứng nếu
( 1 ....... k ) sign (  (1) ...... ( k ) )
 lµ phÐp thÕ cña tËp {1,2,...,k};  1 ....... k V *

Đặt ={ T k (v), phản đối xứng}
ánh xạ phản xứng hoá Alt k : T k (V ) k V xác định bởi
Alt k ( )(u 1 ......u k ) 

1
 sign (u (1) .....u ( k ) )
k! Sk

 lµ phÐp thÕ cđa tập {1,2,...k}

Cho 2 tenxơ phản xứng k V ,    l V . TÝch ngoµi của và là một tenxơ phản
xứng thuộc k l V , ký hiƯu    vµ xác định bởi:
(u 1 ,......., u k , u k 1 ,.....u k l ) 

=

(k  l )! k l

Alt (   )(u 1 ,......., u k , u k 1 ,.....u k l )
k!l!

1
 sign (u (1) .....u ( k ) ). (u ( k 1) ,.....u ( k l ) )
k!l! Sk l

2.6. Nhận xét.
Giả sử V là không gian hữu hạn chiều v1 ,...., vk V .Tích ngoài của k vectơ v1,..... , vk đợc xác định bởi.
15


v1  ......  vk   sign.v (1)  ........ v( k )
S k

Víi v1 ,...., vk V vµ

v1 ...... vk

đợc gọi là k - vectơ đơn

2.7 MƯnh ®Ị.
Cho

l
m
   k V ,    V , V .Khi đó :

i, ánh x¹:  :  k V  l V   k l V lµ song tuyÕn tÝnh.
( ,  )    

ii,    ( 1) kl   
iii,   (   ) (   )  
Chøng minh.
T¬ng tù nh mƯnh đề 2.3
2.8 Định lý.
Giả sử { e1 ,...., en } là cơ sở của V. khi đó k V cã c¬ së
{ ei1  ...  eik ,1 i1  ...  ik n }. Tõ ®ã suy ra : dim  k V = Cnk
Chøng minh.
T¬ng tù nh định lý 2.4
2.9 Mệnh đề.
Các vectơ v1 ,....., v k v là hệ độc lập tuyến tính khi và chØ khi v1  ......  vk 0.
Chøng minh.
NÕu v1  ......  vk 0. ta chøng minh { v1 ,......, vk . } độc lập tuyến tính.
Giả sử { v1 ,......, vk . } lµ hƯ phơ thc tun tính khi đó, tồn tại một vectơ biểu
diễn đợc qua các vectơ còn lại chẳng hạn:
v k 1v1 ....  k  1v k  1
 v1  .....  vk v1  ......  (1v1  .....  k  1vk  1 ) 0 (m©u thuÉn)

VËy v1  ......  vk 0. th× hƯ { v1 ,......, vk . } độc lập tuyến tính. Mặt khác, giả sư {
v1 ,......, vk } ®éc lËp tun tÝnh. Gäi { y 1 ,..., y k } là đối ngẫu cđa { v1 ,......, vk } khi ®ã:
y1  .....  y k (v1  .....  vk ) 

y1 (v1 )..... y1 (vk )
y k (v1 )..... y k (vk )

0

Do ®ã : v1  ......  vk 0.
VËy v1  ......  vk 0.  { v1 ,......, vk . } ®éc lËp tuyÕn tÝnh.

16


Bài 3. K-VECTƠ TRÊN KHÔNG GIAN VớI TíCH VÔ HƯớNG
3.1. Định nghĩa
Cho V là không gian vectơ thực và g: V V R là một dạng song tuyến tính đối
xứng trên V.
Giả sử { e1 ,....en } là cơ së cña V , u =( u1 ,....u n ), v (v1 ,...vn ). V
Ta cã: g (u, v)  g ij ui v j
i, j

g ij  g (ei , e j )

( g ij ) gäi lµ ma trận của dạng song tuyến tính g đối với cơ sở { e1 ,....en }

Nếu g là dạng song tuyến tính đối xứng thì ( g ij ) là ma trận đối xứng.
Dạng song tuyến tính g đợc gọi là:
Xác định dơng nếu g (u, u ) 0, u 0 V .
Xác định âm nếu g (u, u )  0, u 0  V .
Mét d¹ng song tuyến tính đối xứng gọi là không suy biến nếu ma trận của nó đối
với một cơ sở là không suy biến.
Một dạng song tuyến tính đối xứng, không suy biến trên V gọi là một tích vô hớng
trên V, Ta kí hiệu tích vô hớng của các vectơ u,v là u.v hay (u,v).
Giả sử V là không gian với tích vô hớng và u V, khi đó u | u, u | 1 thì u đợc
gọi là vectơ đơn vị của V.
Tích vô hớng g xác định dơng đợc gọi là tích vô hớng ơclit, tích vô hớng g
không xác định dơng đợc gọi là tích vô hớng giả ơclit.
Giả sử V là không gian với tích vô hớng g,chỉ số k (k= 0, n ) và { e1 ,....en } là
cơ sở của V sao cho.
0

nếu i j
17


g (ei , e j ) =

-1

nÕu 0 i  j k

1

nÕu k 1 i  j n

{ e1 ..., en } gọi là cơ sở trực chuẩn của V.
Cho V là không gian với tích vô hớng g, khi đó không gian con W của V gọi
là không suy biến nếu g/W là không suy biến.
Giả sử V là kh«ng gian n chiỊu víi tÝch v« híng <,> khi đó k V là không
gian với tích vô hớng đợc cảm sinh từ tích vô hớng trên V và đợc xác định bởi:
u1v1 ..... u1vk
u1  .....  v1 , v1  .....  vk .......
 u k v1  .....u k vk 

Víi u1 ,......, u k , v1 ,......, vk V .
vµ mở rộng tuyến tính đối với 2 phần tử bất kỳ thuộc k V
ánh xạ g: k V k V R là dạng song tuyến tính, ®èi xøng
( ,  )   ,  

3.2 Mệnh đề.
Cho V là không gian với tích vô hớng n chiỊu, chØ sè  . Khi ®ã  k V là

không gian với tích vô hớng C nk chiều vµ cã cã chØ sè lµ

2 p 1

 C

.Cnk ( 2 p  1)

2 p  1X

Trong ®ã: X {2p - 1 N : 2p - 1  ,2p - 1 k, k - (2p - 1) n - }
Chøng minh.
Giả sử { e1 ,....en } là cơ sở trực chuẩn của V khi đó, k V có cơ së

{

ei1  ...., eik , 1 i1  ....  ik n }

ta cã .  ei  ...., ei , e j  ...., e j 
1

k

1

k

0

nÕu (i1 ...., ik ) ( j1 ,..., jk )

1

nÕu (i1...., ik ) ( j1 ,..., jk )

 ei1  ...., eik , ei1  ...., eik  1 = -1  Trong vectơ ei1 ,...., eik có 1 số lẻ các vectơ

ei sao cho: e i ,e i  1 . T¬ng ứng với mỗi số lẻ 2 p 1 k , 2 p 1 các vectơ ei thoả
mÃn e i ,e i  1 th× cã k  (2 p 1) các vectơ ei thoả mÃn e i ,e i 1 trong n vectơ
còn lại.
Vậy tơng ứng với mỗi số lẻ (2 p 1) có thì số k- vectơ đơn đơn vị ei ...., ei
1

k

mà trong đó có (2 p 1) vectơ bình phơng lên bằng -1 là C 2 p 1 : C nk ( 2 p  1)
§iỊu kiƯn: 2 p  1  , 2 p  1 k , k  (2 p  1) n  
18


§Ỉt X ={ 2 p  1 n , 2 p  1  , (2 p  1) k , k  (2 p  1) n   }
Số k vectơ đơn vị của k V thoả m·n  ei  ....  ei , ei  ....  ei 1
1

lµ

2 p 1

 C

k

1

*

k

.Cnk ( 2 p  1)

2 p  1X

2 p 1
k  ( 2 p  1)
Hay kh«ng gian  k V cã chØ sè lµ :  C .Cn 
2 p  1X

3.3. Hệ quả
Nếu V là không gian xác định dơng thì k V là không gian các định dơng.
Nếu V là không gian xác định âm thì k V là không gian xác định dơng nếu
k chẵn và xác định âm nếu k lẻ.
Chứng minh.
V xác định dơng k V xác định dơng ( hiển nhiên).
V xác định âm , khi đó không gian V có chỉ sè  n
NÕu k ch½n  X {2p - 1 N : 2p - 1 n, 2p - 1 k,2p - 1 k}
X

Tức là không tồn tại k-vectơ đơn đơn vị

ei1 .... eik

sao cho

ei1 ....  eik , ei1  ....  eik  1

Vậy k V xác định dơng.
Nếu k lẻ X {2p - 1 N : 2p - 1 n, 2p - 1 k,2p - 1 k}
 X {2p - 1 N : 2p - 1 k n} {k}

Theo mÖnh đề 3.2 thì k V có chỉ số là

C

2 p  1X

2 p 1
n

.C00 C nk = dim  k V .

Vậy k V xác định âm.
3.4 Bất đẳng thức Schwart trong V.
Cho V là không gian với tích vô hớng <,> ánh xạ.
b: v v trong ®ã b(u ) : V  R .
u  b(u )

v u, v

là đẳng cấu tuyến tính. Mở rộng, ta có đẳng cấu tuyến tính. b : k V ( k V )* :
xác định bëi: b(v1  ,....  v k ) b(v1 )  .....  b(v k ); v1 ,....v k  V .

khi ®ã, víi u , v  v ta có đẳng thức.
u , v 2 u  v, u  v u , u  .  v, v 

Chøng minh.
19


Ta cã: b(v1  ,....  v k )(v1  ,....  v k ) b(v1 )  .....  b(v k ); v1 ,....vk
b(v1 )(v1 ).....b(v1 )(vk )

 v1 , v1  ...  v1 , vk 

= .......... .

 .........
b(vk )(v1 )......b(vk )(vk )  vk , v1  ....  vk , vk 

=  v1  ......vk , v1  .....  vk 
Víi u, v  v ta cã:
 u  v, u  v  = b(u  v)(u  v) b(u )  b(v)(u  v )

= b(u )(u ).b(v)(v)  b(u )(v).b(v)(u )
=  u , u  .  v, v    u , v  2
 u  v, u  v    u, v  2 u , u  .  v, v  .

Từ hệ quả 3.3 suy ra nếu V xác định dơng hoặc xác định âm thì
u,v 2

u , u  .  v, v  (1)

BÊt đẳng thức (1) gọi là bất đẳng thức Schwart trong V.
3.5 Mệnh đề.
Cho V là không gian với tích vô híng g , v1 ,....vk  V vµ v1  .... .vk o đặt
W v1 .,...., vk là không gian sinh bởi các vectơ v1 ,... vk , khi ®ã, W suy biÕn
 v1  ...  vk , v1  .....vk o .

Chøng minh.
W suy biÕn  g/ W suy biÕn  Ma trËn cđa g ®èi với cơ sở bất kỳ của V là
suy biến.
Mặt khác v1  ...  vk o  {v1 ,..., vk } độc lập tuyến tính
{v1 ,..., vk } là c¬ së cđa W

VËy g|( v ,...,v )| suy biÕn i, j 1, k
1

k

 ( g (vi , v j ) ) lµ ma trËn suy biÕn i, j 1, k

 v1 , v1  ...  v1 , vk 
 ................

0

 vk , v1  ....  vk , vk 
  v1  ...  vk , v1 .....vk o

3.6 Mệnh đề
Cho V là không gian với tích vô hớng <,> W k V là không gian con không
chiều không suy biến.

Đặt X W k V Định hớng và không suy biến}.
20