Một số vấn đề về không gian co rút cơ bản tuyệt đối, không gian co rút lân cận cơ bản tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric compact

Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ
Lời nói đầu

Lý thuyết shape là một phần của lý thuyết tô pô vô hạn chiều, với
mục đích là phân loại các lớp không gian tô pô. Những khái niệm đầu tiên
của nó xuất hiện từ những năm 1968. Từ đó đến nay đà đ-ợc nhiều nhà
toán học trên thế giới quan tâm, nghiên cứu và phát triển nh-:
W.Holsztýnski; J.H.C. Whitehead; R.B.Sher
Các kết quả của nó đà trở thành một trong những tiền đề cho việc
nghiên cứu, xây dựng và phát triển ngành toán học hiện đại.
Trong lý thuyết shape không gian co rút cơ bản tuyệt đối và không
gian co rút lân cận cơ bản tuyệt đối là một trong những mảng nội dung
quan trọng đà đ-ợc nhiều ng-ời nghiên cứu toán quan tâm, nghiên cứu nó
trên các lớp không gian mêtric và đà đ-a ra đ-ợc nhiều kêt quả quan trọng
nh- các định lý từ (1.4) (1.14) mà chúng tôi đà trình bày trong ch-ơng 2
của luận văn và từ Đ6 - Đ12 trong tài liệu [1].
Trong phạm vi của luận văn, chúng tôi chỉ trình bày những nội dung
liên quan ®Ĩ phơc vơ cho viƯc chøng minh nh÷ng tÝnh chÊt cơ bản của
không gian co rút cơ bản tuyệt đối, không gian co rút lân cận cơ bản tuyệt
đối trên lớp các không gian mêtric compact.
Luận văn với tiêu đề: Một số vấn đề về không gian co rút tuyệt đối,
không gian co rút lân cận cơ bản tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric
compact, đó là sự kế thừa, tìm tòi và chứng minh một số tính chất cơ bản
đà đ-ợc trình bày trong tài liệu [1].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3
ch-ơng:
Ch-ơng 1: Chúng tôi chỉ trình bày những kiến thức cơ bản của lý
thuyết co rút, khái niệm và một số tính chất của co rút tuyệt đối (AR(M)
không gian), co rút lân cận tuyệt ®èi (ANR(M) – kh«ng gian), d·y co rót

1


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

cơ bản yếu, co rút lân cận cơ bản yếu nhằm phục vụ cho việc trình bày các
khái niệm, và chứng minh một số tính chất ở ch-ơng sau.
Ch-ơng 2: Chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất của không
gian co rút cơ bản tuyệt đối (FAR(M) không gian), không gian co rút
lân cận cơ bản tuyệt đối (FAR(M) không gian), dÃy cơ bản, dÃy co rút cơ
bản, chiều cơ bản và khái niệm shape.
Ch-ơng 3: Đây là nội dung chính của luận văn, chúng tôi chỉ trình bày
những khái niệm về không gian co rút cơ bản tuyệt đối, không gian co rút
lân cận cơ bản tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric compact và đi
chứng minh một số tÝnh chÊt cđa chóng nh- c¸c tÝnh chÊt tõ (1.4) (1.15)
và (2.1)-(2.4).
Luận văn đ-ợc hoàn thành với sự h-ớng dẫn tận tình của thầy giáo,
Tiến sĩ Tạ Khắc C- và sự góp ý của các thầy giáo trong Khoa toán, Khoa
sau đại học và tổ toán của Tr-ờng THPT Yên thành 2.
Chúng tôi chân thành cảm ơn tất cả các thầy giáo, cô giáo đà giúp đỡ
chúng tôi hoàn thành luận văn này.

2


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Ch-ơng 1
một số Kiến thức chuẩn bị
Đ1. R - ánh xạ và phép co rút

1.1.r - ánh xạ
Trong phần này chúng ta luôn giả thiết rằng X,Y,Z ... là các không gian
Hausdorff, f: X Y là ánh xạ liên tục.
1.1.1.Định nghĩa. ánh xạ f: X Y đ-ợc gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại ánh
xạ g : Y X sao cho fg : Y Y là ánh xạ đồng nhất trên Y.
Nếu f: X Y là r - ánh xạ thì Y đ-ợc gọi là r - ảnh của X.
1.1.2.Nhận xét. i) Mỗi phép đồng phôi là một r - ánh xạ.
ii) Hợp của hai r- ánh xạ là r - ánh xạ.

1.2. Phép co rút và cái co rút
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử Y X, ánh xạ f: X Y đ-ợc gọi là phép co rút
nếu f(x) = x với mọi x Y.
1.2.2. Định nghĩa. Tập con Y của không gian X đ-ợc gọi là cái co rót cđa
X nÕu tån t¹i phÐp co rót tõ X lên Y.
1.2.3.Mệnh đề. Mỗi cái co rút Y của X là đóng trong X.
1.2.4. Định nghĩa. Tập con X0 của không gian X đ-ợc gọi là cái co rút lân
cận cđa X nÕu tån t¹i tËp më U chøa X0 và U co rút về X0.
1.2.5. Định nghĩa.

Cho X0 là kh«ng gian con cđa X, f0 : X0  Y, khi đó

ánh xạ f: X Y đ-ợc gọi là thác triển liên tục của f0 nếu f X0 = f0.
1.2.6. Định lý. Tập con X0 của X là cái co rút của nó khi và chỉ khi mỗi
ánh xạ f0 : X0 Y luôn có thác triển f : X  Y.

3


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

1.3. Corút điểm và corút điểm địa ph-ơng
1.3.1. Định nghĩa. Hai ánh xạ f,g: X Y đ-ợc gọi là đồng luân với nhau
nếu tồn tại ¸nh x¹

: X0;1  Y sao cho:

x,0 = fx
(x,1) = g(x)
Khi đó ta viết f ~g trong X.
1.3.2. Định nghĩa. Tập A X đ-ợc gọi là co rút đ-ợc trong X vào tập
B X nếu ánh xạ nhúng i: A X đồng luân với ánh xạ f: A  X sao cho
f(A)  B .
NÕu i: X X đồng luân với f: X X mà f(x) = a víi a  X th× ta nãi X
là co rút điểm hay tự co rút.
1.3.3. Định lý. Nếu X co rút điểm thì r- ảnh của nó cũng co rút điểm.
1.3.4. Định nghĩa. Không gian X đ-ợc gọi là co rút điểm địa ph-ơng
tại x0 X nếu mỗi lân cận U của x0 chứa một lân cận U0 co rút theo U về
một điểm.
1.3.5.Mệnh đề. Mỗi tập lồi A trong không gian tuyến tính là co rút đ-ợc
trong chính nó.
1.3.6. Định lý. Nếu X là co rút đ-ợc thì mỗi r - ảnh của X cũng là co rút
đ-ợc.

1.4.Các định lý về thác triển ánh xạ
1.4.1. Định nghĩa. Cho A là một tập bất kỳ trong không gian tuyến tính Y.
Bao lồi của A viết là :
C(A) = y  Y : y =ti ai, ti 0; ti=1, ai A, i= 1...k.
1.4.2. Định lý Titlze. Mỗi hàm thực xác định trên tập con đóng của
không gian mêtric X luôn thác triển đ-ợc thành hàm thực liên tục trên toàn bộ
không gian X.

4


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

1.4.3. Định lý Dungunji. Giả sử A là tập con đóng của không gian mêtric
X và Y là không gian lồi địa ph-ơng. Khi đó ánh xạ f: A Y có thác triển
liên tục f: X Y. Hơn thế nữa các giá trị cđa f’ cã thĨ lÊy tõ bao låi C(f(A))
cđa f(A).
§Ĩ chứng minh định lý Dungunji cần sử dụng khái niệm sau
1.4.3.a. Định nghĩa. Giả sử X là không gian mêtric, G lµ tËp con më cđa X

vµ U   U  ,   M  lµ mét phđ của G. U đ-ợc gọi là phủ chính tắc của G ®èi
víi X nÕu tháa m·n hai ®iỊu kiƯn sau:
i) U là hữu hạn địa ph-ơng.
ii) Với mỗi a X\G và mỗi lân cận Va của a, tồn tại l©n cËn Wa cđa a sao
cho nÕu Wa U  thì U Va.
Chứng minh định lý Dungunji. Giả sử GM là phủ chính tắc của tập X\A.
Trong mỗi tập G lấy một x và cho t-ơng øng nã víi ®iĨm   A sao cho

(x,) < 2(x,A). Khi đó f() là một điểm của không gian lồi địa ph-ơng
Y. Xét hàm đ-ợc xác định bởi:

 ( x) 

 ( x, X \ G )
 ( x, X \ G )



M

ta thÊy nÕu x X\A thì các số (x) bằng 0 tất cả chỉ trừ ra một số hữu hạn các
chỉ số M. Vậy nếu đặt

f ( x)

f ( x)  ( x) f (a )


M
'

víi x A
víi x X \ A

thì hàm f : X Y là thác triển của f và có giá trị trong C(f(A)). Vấn đề còn lại
của định lý là chứng minh f liên tơc.

ThËt vËy, do phđ G M cđa tËp X\A lµ hữu hạn địa ph-ơng và A đóng,

nên với mỗi điểm p X\A tồn tại lân cận U X\A cđa ®iĨm p tháa m·n U chØ

5


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

cắt một số hữu hạn các tập {G,}, giả sử các tập đó là G1, G2, . . ., Gn. Khi đó
với mỗi x U tồn tại chỉ số i mà 1 i  n sao cho  =  i lµm cho (x) không
triệt tiêu.
Do các hàm 1, 2, . . . n liên tục và phụ thuộc vào x nên suy ra f liên
tục tại tất cả các điểm của X\A. Hơn thế nữa, f liên tục tại tất cả các điểm
trong của A. Việc còn lại là kiểm tra tính liên tục của f với những điểm
p A X \ A . ThËt vËy, víi V lµ mét lân cận của f(p) = f(p) trong Y, khi đó
tồn tại lân cận U0 của p trong X sao cho f(U0) V. Không mất tính tổng quát
có thể giả thiÕt r»ng V lµ låi trong X do X lµ không gian lồi địa ph-ơng.
Gọi K() là hình cầu mở trong X với tâm p và bán kính . Do f liên tục
trong A nên tồn tại số d-ơng sao cho f(AK()) V.

Vì G M là một phủ chính tắc nên ta suy ra rằng tồn tại một lân cËn U0

cña p trong X sao cho nÕu U0  K() và G U0 thì G K(1/3), do x  G
nªn ta cã  (p,   )   (p,x  ) +  (x  ,   ) < 1/3  + 2  (x  ,A) <  .
VËy f ’ (x) = f(x) V với AU0 và với những điểm x (X\A)U0 ta có thể
tìm đ-ợc các chỉ số 1, . . ., n sao cho x

n

G
i 1

i

và x không thuộc những G

nào mà i với 1 i  n. Khi ®ã i(x) > 0 víi i = 1,2, ..., n vµ (x) = 0 víi
mäi chØ sè  kh¸c. VËy ta cã f’(x) =

n

 i ( x). f (i ) .
i 1

Do x  GiU0 nªn suy ra r»ng f’(x) V. VËy f’(U0)  V, do ®ã f liên
tục.
1.4.4. Định lý Kuratowsky. Với mỗi không gian mêtric X tồn tại một không
gian định chuẩn Z và phép đồng phôi h:Xh(X) trong Z, h(X) đóng trong bao
lồi C(h(X)) cña h(X).

6


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Chứng minh. Với giả thiết rằng diam(X,) < 1. Xét tập Z gồm các hàm
thực bị chặn xác định trên X.
Đặt ( f1 , f 2 )  sup | f1 ( x)  f 2 ( x) | víi f1,f2Z
xX

vµ | f | sup | f ( x) | , khi ®ã Z với phép toán cộng và nhân vô h-ớng với
xX

hàm theo điểm là một không gian định chuẩn. Ta xây dựng phép đồng
phôi h : X h(X) Z nh- sau:
Với mỗi x X t-ơng ứng với nó với hàm fx Z cho bởi công thức
fx(y) = (x,y), khi đó fx là hàm thực trên (X,). Đặt h(x) = fx ta chứng minh h là
đẳng mêtric. Thật vậy, víi x1, x2  X ta cã:

 ( f x1 , f x2 )  |  ( x1 , x2 )   ( x2 , x2 ) |   ( x1 , x2 )

 ( f x1 , f x2 )   ( x1 , x2 )

suy ra

(1)

Mặt khác, y X ta có:
| f x1 ( y)  f x2 ( y) | |  ( x1 , y)   ( x2 , y) |  ( x1 , x2 ) suy ra

 ( f x1 , f x2 )   ( x1 , x2 )

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra  ( f x1 , f x2 )   ( x1 , x2 ) do đó h là phép đẳng cự.

Bây giờ ta chứng minh h(X) đóng trong bao lồi C(h(X)).
Gi¶ sư f  C(h(X)), f = lim f xn , ở đây f xn h(X ) . Ta sẽ chứng
n

minh f h(X), nghĩa là tồn tại a0, a1, ..., ak X và các số d-ơng 0,1, ... ,k
k

sao cho

f   i f ai ;
i 0

k



i = 1.

i 0

Ta cã thĨ xem ai  aj víi i j và 0 >

1
khi đó:
1 k

( f , f xn )  | f ( xn )  f xn ( xn ) |  | f ( xn ) | 0 f a0 ( xn )
Vì lim f ( xn ) f nên suy ra lim f ( xn )  a0 vµ
n

n

7

1
 ( a0 , x n )
k 1

f  f a0 h( X )


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Vậy h(X) đóng trong C(h(X)).
Từ định lý Kuratowsky suy ra rằng: Mỗi không gian mêtric có thể xem
nh- tập con đóng của không gian định chuẩn nào đó.
Đ2.ar(M) - không gian và anr(M ) - không gian

2.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản
Trong mục này, các không gian đ-ợc nói đến là không gian mêtric. Khi
viết X M, nghĩa là X mêtric hóa đ-ợc.
2.1.1. Định nghĩa. Không gian mêtric X đ-ợc gọi là co rút tuyệt đối đối
với một không gian mêtric Y M nếu X M và với mỗi phép đồng phôi
h : X h(X) , h(X) đóng trong Y thì h(X) là cái co rút của Y.
Khi đó ta viết: X AR(M).
2.1.2. Định nghĩa. Không gian mêtric X đ-ợc gọi là co rút lân cận tuyệt
đối đối với một không gian mêtric Y M nếu X M và với mỗi phép đồng
phôi h: X h(X), h(X) đóng trong Y thì h(X) là cái co rút lân cận của Y

Khi đó ta viết X ANR(M).
2.1.3. Định lý (Tính chất đặc tr-ng của AR(M)- không gian). Để X là
AR(M) - không gian, điều kiện cần: X là r - ảnh của tập con lồi của không
gian tuyến tính định chuẩn. Điều kiện đủ: X là r - ¶nh cđa tËp con låi trong
kh«ng gian tun tÝnh låi địa ph-ơng.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử X là AR(M) - không gian, theo định lý
Kuratowsky tồn tại phép đồng phôi h: X Y, với Y là tập con đóng của tập lồi
Q trong không gian định chuẩn Z, từ định nghĩa của AR(M) không gian,
tồn tại một ¸nh x¹ co rót r : Q  Y. Khi đó ánh xạ h-1r: Q X là một r
- ánh xạ, hay X là r - ảnh của tập con lồi Q trong không gian định chuẩn Z.

8


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Điều kiện đủ: Giả sử X là r - ảnh của tập con lồi Q của không gian lồi địa
ph-ơng Z, f: Q X là r-ánh xạ với nghịch phải g: X Q, h: X h(X), h(X)
đóng trong không gian mêtric X là phép đồng phôi. Khi đó theo định lý
Dungunji ánh xạ = g h-1: h(X) Q, có thác triển liên tục : X Q. Xét
ánh xạ r = hf’ : X’  h(X).
Khi ®ã víi y = h(x)  h(X) th× r(y) = hf’h(x) = hfgh-1h(x) = h(x) = y, hay
r là ánh xạ co rút từ X lên h(X) .
2.1.4. Hệ quả 1. Mỗi r - ảnh của AR(M) - không gian là AR(M) - không gian.

Chứng minh. Giả sử XAR(M) không gian, khi đó theo điều kiện cần
của định lý (2.1.3, ch-ơng 1) với mỗi Y là tập con lồi của không gian định
chuẩn Z, tồn tại r - ánh xạ f: Y X và X = f(Y). Giả sử h là một r - ánh xạ, theo

(1.1.2.ii, ch-ơng 1) ta có hf là r - ánh xạ. Do không gian định chuẩn là lồi địa
ph-ơng và Y là tập lồi của nó nên theo điều kiện đủ của (2.1.3, ch-ơng 1) thì
h(X) AR(M) không gian.
2.1.5. Hệ quả 2. Mỗi AR(M) - không gian là co rút đ-ợc trong chính nó.
Chứng minh. Theo (1.3.5, ch-ơng 1), mỗi tập con lồi Y trong không gian
định chuẩn là co rút đ-ợc trong chính nó, do đó nếu XAR(M) không gian
thì X = f(Y) víi f: Y  X lµ mét r - ánh xạ. Theo (1.3.6, ch-ơng 1) thì X là co rút
đ-ợc trong chính nó.
2.1.6. Định lý ( Tính chất đặc tr-ng của ANR(M) không gian). Để không
gian X là ANR(M) không gian, điều kiện cần: X là r - ¶nh cđa tËp con më
cđa tËp låi n»m trong kh«ng gian tuyến tính định chuẩn. Điều kiện đủ: X là r ¶nh cđa tËp con më cđa tËp låi trong không gian tuyến tính lồi địa ph-ơng.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử X là ANR(M ) không gian, theo
định lý Kuratowsky tồn tại phép đồng phôi h: X  h(X), h(X) ®ãng trong Q víi

9


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Q là tập con lồi trong không gian định chuẩn Z. Theo định nghĩa của ANR(M)
không gian tồn tại ánh xạ co rút r: U h(X) với U là lân cận mở của h(X)
trong Q . Khi đó h-1r: U X là r - ánh xạ, suy ra X = r(U) với U mở trong Q,
hay X là r - ảnh của tập con mở của tập lồi trong không gian định chuẩn.
Điều kiện đủ: Giả sử X là r - ảnh cđa tËp con më U  Q víi Q lµ tập lồi
trong không gian lồi địa ph-ơng.
Giả sử f: U X là r - ánh xạ với nghịch phải g: X U. Xét phép đồng
phôi h: X h(X), h(X) đóng trong không gian mêtric X khi đó theo định lý
Dungunji thì ánh xạ = gh-1: h(X) U, có thác triển liên tục : X Q.

Ký hiệu: U = -1(U), khi đó U là lân cận của h(X) trong X. Xét
ánh xạ r = hf :U h(X), khi đó với mỗi x X, víi y = h(x’)  h(X) th×:
r(y) = hf’h(x’) = hfgh-1h(x) = h(x) = y.
Vậy r là ánh xạ co rút, hay X là r - ảnh của tập con më cđa tËp låi trong
kh«ng gian tun tÝnh låi địa ph-ơng.
2.1.7. Hệ quả 1. Mỗi r - ảnh của ANR(M) không gian là ANR(M)
không gian.
2.1.8. Hệ quả 2. Mỗi cái co rút lân cận của ANR(M) không gian là
ANR(M) không gian.

2.1.9. Định lý. Đối với mỗi không gian X luôn tồn tại không gian
M AR(M) không gian chứa X nh- là một tập con đóng.
2.1.10. Định lý (Hanner 1). Mỗi tập con mở của ANR(M) không gian
là ANR(M) không gian.
2.1.11. Định lý (Hanner 2). Nếu X là hợp đếm đ-ợc của các không
gian Gi, i = 1,2, ..., Gi là ANR(M) không gian thì X là ANR(M) không gian.

10


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

2.2. Thác triển ánh xạ trong các AR(M) - không gian và ANR(M) - không
gian
2.2.1. Định lý. Giả sử X là không gian con đóng của không gian mêtric X ,
khi đó:
i) Nếu X là ANR(M) không gian thì tồn tại lân cận mở U của X trong X
sao cho ánh xạ tuỳ ý f: X Y có thác triển liên tục f : U Y.

ii) Nếu X là AR(M) không gian thì ánh xạ bất kỳ f: X Y có thác triển
liên tục f : X Y.
2.2.2. Định lý. Giả sử Y là không gian mêtric, khi đó:
i) Y là AR(M) không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X của
không gian mêtric X và mỗi ánh xạ f: X Y đều có thác triển liên tục f :
X Y.
ii) Y là ANR(M) không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X
của không gian mêtric X và mỗi ánh xạ f: X Y đều có thác triển liên tục lên
lân cận U của X trong X.

2.2.3. Định lý. Giả sử X1, X2 là các không gian metric, X = X1  X2 vµ X0=X1  X2
, khi đó:
i) Nếu X0, X1, X2 AR(M) không gian thì X AR(M) không gian.
ii) Nếu X0,X1,X2 ANR(M) không gian thì X ANR(M) không gian.
iii) Nếu X0,X AR(M) không gian thì X1,X2  AR(M) – kh«ng gian.
iv) NÕu X0,X  ANR(M) không gian thì X1, X2 ANR(M) không gian.
2.2.4. Định lý. Nếu X là một tập con đóng của hình hộp Hilbert Q thì với
mỗi lân cận U cđa X trong Q, tån t¹i tËp AANR(M) sao cho X  A  U.

11


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

2.3. Định nghĩa và một số tính chất của AR - không gian và ANR không gian
2.3.1. Định nghĩa. Không gian X đ-ợc gọi là co rút tuyệt đối hay AR
không gian nếu X là không gian metric compact và X là AR(M) không gian.
Khi đó ta viết XAR.

2.3.2. Định nghĩa. Không gian X đ-ợc gọi là co rút lân cận tuyệt đối hay
ANR không gian nếu X là không gian metric compact và X là ANR(M)
không gian.
Khi đó ta viết XANR
2.3.3. Định lý. Giả sử X là không gian metric, khi đó
(i). X là AR không gian khi và chỉ khi X là r - ảnh của hình hộp Hilbert Q.
(ii). X là ANR không gian khi và chỉ khi X là r - ảnh compact của tập
con mở của hình hộp Hilbert Q.
Chứng minh. (i). Giả sử XAR không gian, theo định lý Ur-xơn
([2].tr.94) Mỗi AR không gian có thể nhúng đồng phôi vào hình hộp Hilbert Q
cho nên tồn tại phép đồng phôi h:Xh(X) trong Q. Vì X là tập compact nên
h(X) là tập compact trong Q do đó h(X) đóng trong Q. Mặt khác, XAR(M))
không gian suy ra tồn tại phép co rút r:Qh(X). Khi đó ánh xạ h-1r:QX
là r - ánh xạ với nghịch phải là h.
Thật vậy, x X ta cã: h -1 rh(x) = h -1 (rh(x)) = h -1 h(x) = x. VËy h -1 r
lµ r - ánh xạ.
Ng-ợc lại, do hình hộp Hilbert Q là tập lồi trong không gian Hilbert nên
Q là AR(M) không gian và Q là tập compact do đó Q là AR không
gian vì vậy r-ảnh của Q cũng là AR không gian.
(ii).Xem ([7].tr.15).
2.3.4. Định lý. (i). Mỗi r - ảnh của AR không gian là AR – kh«ng gian.

12


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

(ii). Mỗi r - ảnh của ANR không gian là ANR không gian.

Chứng minh xem ([7].tr.17).
2.3.5. Định lý. Không gian metric compact X là ANR không gian khi và
chỉ khi mọi xX đều có lân cận là ANR không gian.
Chứng minh. Theo định lý (2.1.10,ch-ơng1)) thì mọi điểm của ANR(M)
không gian đều có lân cận U là ANR không gian.
Ng-ợc lại, giả sử rằng X là không gian metric compact sao cho với mọi
xX đều có lân cận Ux là ANR(M) không gian. Khi đó phần trong của lân
cận Ux cũng là ANR(M) không gian và là tập mở, các phần trong này phủ
X. Từ X là tập compact nên tồn tại một số hữu hạn các tập là ANR(M) phủ X.
Theo định lý (2.1.11, ch-ơng 1) ta suy ra X là ANR(M) không gian. Kết hợp
với X là tập compact ta có X là ANR không gian.
2.3.6.Định lý. Mỗi không gian mêtric compact là ảnh đồng phôi của tập
con đóng của AR - không gian.
2.3.7. Định lý. X AR - không gian khi và chỉ khi X là ảnh đồng phôi của
cái co rút của hình hộp Hilbert Q.
2.3.8. Định lý. XANR - không gian khi và chỉ khi X là ảnh đồng phôi của
cái co rút lân cận của hình hộp Hilbert Q.

Đ3. dÃy cơ bản yếu co rút cơ bản yếu

3.1 DÃy cơ bản yếu
3.1.2.Định nghĩa. Giả sử X, Y lần l-ợt nằm trong các AR(M) không gian
M, N, fk : X  Y, k = 1, 2, ... , là dÃy ánh xạ liên tục. Một dÃy cơ bản yÕu lµ

13


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

bộ ba gồm X, Y, fk, k =1,2,; thoả mÃn với mỗi không gian compact A  X cã
mét kh«ng gian compact B  Y sao cho mỗi lân cận Vcủa B trong N luôn tồn
tại lân cận U của A trong M sao cho:
fk/U ~ fk+1/U trong V với hầu hết k.
Khi đó ta ký hiÖu: F = { fk , X , Y } M,N là dÃy cơ bản yếu.
3.1.2. Định nghĩa. Giả sử X,Y lần l-ợt nằm trong các AR(M ) không gian
M,N, f: X Y là một ánh xạ liên tục. DÃy cơ bản yếu F = {fk,X,Y}M,N đ-ợc
gọi là dÃy cơ bản yếu sinh bởi ánh xạ f nÕu f k (x) = f(x) víi mäi
x  Y, k = 1,2 ...

3.2. DÃy co rút cơ bản yếu, cái co rút lân cận cơ bản yếu
3.2.1. Định nghĩa. Giả sử X, X là các tập con đóng của không gian M
và X X . Một dÃy cơ bản yếu R = { rk, X, X}M,M đ-ợc gọi là dÃy co rút cơ
bản yếu của X lên X nÕu rk(x) = x  x  X víi k = 1, 2, . . .
NÕu tån t¹i d·y co rút cơ bản yếu từ X lên X thì X đ-ợc gọi là cái co rút cơ
bản yếu của X’.
TËp con ®ãng X cđa mét tËp ®ãng X’ trong MAR(M)-không gian đ-ợc
gọi là cái co rút lân cận cơ bản yếu của X nếu tồn tại lân cận đóng V của X
trong X sao cho X là cái co rút cơ bản yếu của X.
3.2.2. Định lý. Nếu r: X ‘  X lµ phÐp co rót cđa tËp con đóng X lên X
trong M thì mọi dÃy cơ bản yếu R = { rk, X, X}M,M đ-ợc sinh ra bởi r là một dÃy
co rút cơ bản yếu của X lên X.
3.2.3. Định lý. Nếu X X  X’’ vµ nÕu R = { rk, X’, X}M,M và R = { rk, X, X}M,M là
các dÃy co rút cơ bản yếu thì RR = {rkrk, X,X}M,M là một dÃy co rút cơ bản yếu.
3.2.4. Định lý. Nếu M, N AR(M) không gian và nếu X là cái co rút
cơ bản yếu của X M thì mỗi cặp tập đóng (Y, Y) trong M và ®ång ph«i víi

14

Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

(X,X) thì Y là cái co rút cơ bản yếu của Y. (Cặp đóng (X,X) đ-ợc hiểu là X
đóng trong X và X đóng trong M).
Chøng minh. Gi¶ sư R = { r k , X ’ , X} M , M lµ d·y co rút cơ bản yếu
và h: (X ,X) (Y , Y) là phép đồng phôi. Vì X đóng trong M AR(M ) không gian và Y ®ãng trong N  AR(M ) - kh«ng gian do đó tồn
tại ánh xạ g: M N và g : N  M sao cho:
g(x) = h(x)  x X
g(y) = h-1(y) y Y
Đặt sk = grkg khi đó sk là một ánh xạ từ N vµo N víi k =1, 2, ... râ rµng
S = { sk, Y, Y}N,N là dÃy cơ bản yếu.
Mặt khác, với mỗi y Y ta có: s k(y) = gr kg’(y) = hh -1 (y) = y suy ra
S ={sk,Y,Y}N,N là dÃy co rút cơ bản yếu.
3.2.5. Định lý. Nếu X là cái co rút của X thì X là cái co rút cơ bản yếu
của X.
3.2.6. Định lý. Nếu X là cái co rút lân cận của X thì X là cái co rút lân cận
cơ bản yÕu cña X’.

15


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Ch-ơng 2
Co rút cơ bản tuyệt đối, co rút lân cận cơ bản

tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric

Đ1. far(M) không gian và fanr(M) không gian.
1.1.Định nghĩa. Không gian mêtric X đ-ợc gọi là co rút cơ bản tuyệt đối
đối với mọi không gian mêtric nếu với mỗi không gian X chứa X nh- là tập
con đóng thì X là cái co rút cơ bản yếu của X.
Khi đó ta viết: X FAR(M ).

1.2. Định nghĩa. Không gian mêtric X đ-ợc gọi là co rút lân cận cơ bản
tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric nếu với mỗi không gian X chứa X nhlà tập con đóng thì X là cái co rút lân cận cơ bản yếu của X
Khi ®ã ta viÕt: X  FANR(M).

1.3. NhËn xÐt. NÕu X FAR(M) không gian thì X FANR(M)
không gian.
Thật vậy, giả sử X FAR(M) không gian, khi đó với mỗi không gian
mêtric X chứa X nh- là tập con đóng thì X là cái co rút cơ bản yếu của X. Khi
đó ta chọn V = X, rõ ràng V là lân cận của X trong X do đó X là cái co rút lân
cận cơ bản yếu của X, hay X FANR(M) không gian.

1.4. Định lý. Mỗi không gian đồng phôi với FAR(M) không gian là
FAR(M) không gian.

16


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Chứng minh. Giả sử X FAR(M) - không gian, Y là tập con đóng của

không gian Y với Y đóng trong N AR(M) không gian và Y đồng phôi với X.
Bây giờ chøng minh Y  FAR(M) – kh«ng gian, hay chøng minh rằng
tồn tại dÃy cơ bản yếu S = {sk, Y,Y }N,N.
Thật vậy, giả sử h: Y X là ánh xạ đồng phôi khi đó theo Dungunji
tồn tại thác triển liên tục h của h lên toàn bộ Y bởi ánh xạ h: Y X thoả
mÃn h(y) = h(y)  y Y ta suy ra X = h’(Y). Đặt X = h(Y), vì h liên tục và
Y đóng trong Y’ suy ra X ®ãng trong X’. Do X FAR(M) không gian nên tồn
tại dÃy cơ bản yếu R = { rk, X’, X}M,M .
LËp d·y c¸c ¸nh x¹ sk: Y’  Y víi sk = h-1rk h’, k = 1,2,..., khi ®ã y Y ta
cã sk(y) = h-1[rkh’(y)] = h-1[h(y)] = y. Do ®ã S = {sk,Y’,Y}N,N là dÃy cơ bản
yếu trong N hay Y là cái co rút cơ bản yếu của Y từ đó suy ra Y FAR(M)
không gian.

1.5. Định lý. Mỗi không gian đồng phôi với FANR(M) không gian là
FANR(M) – kh«ng gian.
Chøng minh. Cho X  FANR(M) - kh«ng gian, Y là không gian mêtric và
Y đồng phôi với X. Ta chứng minh YFANR(M) - không gian, nghĩa là
chứng minh với mọi không gian Y' chứa Y nh- là tập con đóng thì Y là cái co
rút lân cận cơ bản yếu của Y'.
Thật vậy, từ định lý Kuratowsky ta cã thĨ gi¶ thiÕt r»ng X  Z víi Z
là một không gian định chuẩn và Y Y' N, với NAR(M) - không gian
và h: X Y là ánh xạ đồng phôi. Đặt g = h-1:Y X rõ ràng g là ánh xạ liên
tục. Theo định lý Dungunji về thác triển ánh xạ, tồn tại ánh xạ g*: Y' M là

17


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

thác triển liên tục của g lên toàn bộ Y', vì vậy g*(y) = g(y) = h-1(y) với mọi
yY, do đó X = g*(Y).
Đặt X' = g*(Y'), do g* liên tục và Y đóng trong Y' nên X sẽ đóng trong X'.
Theo giả thiết XFANR(M) - không gian nên X là cái co rút lân cận cơ
bản yếu của X', nghĩa là tồn tại một lân cận đóng W của X trong X' sao cho X
là cái co rút cơ bản yếu của W.
Đặt V = g*-1(W), vì g* liên tục nên V là lân cận đóng của Y trong Y'.
Giả sử R = {rk, W,X}Z,Z là dÃy co rút cơ bản yếu từ W lªn X theo Z, ta xÐt
d·y F = {fk,V,Y}N,N víi fk = hrkg* : V  Y , k = 1,2, ...là dÃy các ánh xạ liên
tục (vì các ánh xạ h, rk, g* liên tục) và khi đó với mäi yY ta cã:
fk(y) = h[rk(g*(y))] = h[rk(g(y))] = h[rk(h-1(y))] = h[h-1(y)] = y.
Vì vậy, F = {fk, V,Y}N,N là dÃy co rút cơ bản yếu từ V lên Y trong N hay
YFANR(M ) - không gian.

1.6. Định lý. i) Nếu X AR(M) không gian thì X FAR(M) không
gian.
ii) Nếu X ANR(M) không gian thì X FANR(M) không gian.
Chứng minh. i). Giả sử X là AR(M) không gian, khi đó mọi không gian
mêtric X chứa X nh- là tập con đóng thì tồn tại ánh xạ co rút r:X X.
Đặt R = rk =r, X’, XM,M, víi gi¶ thiÕt X’  M AR(M) không gian.
Với cách đặt nh- vậy thì R = rk = r, X’, XM,M lµ d·y co rút cơ bản yếu từ X
lên X sinh bởi ánh xạ co rút r, hay X FAR(M) không gian.
T-ơng tự ta cũng chứng minh đ-ợc ii).

1.7. Định lý. X FAR(M ) - không gian khi và chỉ khi X là cái co rút
cơ bản yếu của AR(M ) –kh«ng gian.

18

Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Chứng minh. Tr-ớc hết giả thiết rằng X là cái co rút cơ bản yếu cđa kh«ng
gian M  AR(M ) – kh«ng gian. Khi ®ã nÕu X chøa X nh- lµ mét tËp con
®ãng thì từ (2.1.9, ch-ơng 1) suy ra tồn tại một kh«ng gian N  AR(M) kh«ng gian chøa X’ nh- là một tập con đóng. Theo (3.2.4, ch-ơng 1), tồn tại
dÃy co rút cơ bản yếu S = sk,N,XN,N, đặt R = sk,X,XN,N thì R là dÃy co rút
cơ bản yếu từ X lên X trong N.
Mặt khác, với mỗi không gian X FAR(M ) -không gian theo
(2.1.9, ch-ơng 1) luôn tồn tại M AR(M ) - không gian chøa X nh- mét tËp
con ®ãng . Khi ®ã nÕu X FAR(M ) không gian thì X là cái co rút cơ bản
yếu của M .

1.8. Hệ quả. Mỗi cái co rút cơ bản yếu của FAR(M ) - không gian là
FAR(M) - không gian.

1 .9 . Định lý. X là FANR(M) không gian khi và chỉ khi X là cái co
rút cơ bản yếu của ANR(M) không gian.
Chứng minh. Giả sử X là FANR(M) không gian, khi đó mỗi N AR(M)
không gian chứa X nh- một tập con đóng thì X là cái co rút cơ bản yếu của N.
Ng-ợc lại, nếu X là cái co rút lân cận cơ bản u cđa mäi M ANR(M) –
kh«ng gian chøa nã, khi đó tồn tại lân cận đóng W của X trong M và X là cái co rút
của W.
Giả thiết rằng, i(X) = X là tập con đóng của không gian định chuẩn N nào
đó và NANR(M) không gian, với i: XX là ánh xạ đồng nhất trên X. Nhvậy ánh xạ lồng i:XN có thác triển liên tục h:MN.

19

Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Đặt W = h(W), do W đóng và h liên tục nên W đóng trong N và
XWN. Ta xét dÃy cơ bản yếu S = sk,N,XN,N từ N lên X. Khi đó dÃy thu
hẹp R = sk,W,XN,N là dÃy co rút cơ bản yếu từ W lên X trong N. Vậy X là cái
co rút cơ bản yếu của X trong N, hay X FANR(M ) - không gian.

1.10. Hệ quả. Mỗi cái co rút cơ bản yếu của FANR(M ) - không gian là
FANR(M) không gian.

1.11. Hệ quả. Mỗi cái co rút lân cận cơ bản yếu của ANR(M) không
gian là một FANR(M) - không gian.
Chứng minh. Giả sử X là cái co rút lân cận cơ bản yếu của không
gian M ANR(M) - không gian, khi đó X là tập con đóng của M, theo định
nghĩa của ANR(M) không gian tồn tại lân cận mở U của X trong M sao cho
X là cái co rút cơ bản yếu của U .Vì U ANR(M) - không gian nên từ
(1.9, ch-ơng 2) suy ra XFANR(M) không gian.

1.12. Định lý. Mỗi thành phần X0 của một FANR(M) - không gian X là
mở trong X.
Chứng minh. Giả thiết rằng X là tập con đóng của tập con lồi M trong
không gian Banach, khi đó tồn tại một lân cận X của X trong M và dÃy co rút
cơ bản yếu R = rk,,X,XM,M . Giả sử X0 là thành phần của X và điểm x0 X0, khi
đó trong M tồn tại lân cận mở G X của X0. Do M là tập con lồi của không
gian Banach nên suy ra thành phần G0 của G chứa X0 nh- là một tập mở liên
thông. Nếu x1G0X thì tồn tại tập A G0 chứa hai điểm x0, x1.
Vì R = rk,X,XM,M là dÃy cơ bản yếu nên tồn tại không gian compact

B X sao cho mỗi lân cận V cđa B trong M ®Õu chøa tËp rk(A) víi hÇu hÕt k.

20


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Nh-ng rk(A) là hợp vô hạn của x0 = rk(x0) và x1 = rk(x1), do đó x0, x1 cùng thuộc
một thành phần của không gian compact B, do đó rk(A) là một thành phần của
X. Nh- vËy chóng ta chØ ra r»ng mäi ®iĨm x1 của tập G0X đều thuộc X0, từ
G0X là mở trong X nên ta suy ra rằng X0 là mở trong X.

1.13. Hệ quả. Mỗi thành phần của FANR(M ) - không gian là
FANR(M) không gian.
Chứng minh. Giả sử X0 là một thành phần của không gian X FANR(M )
- không gian; khi đó, theo (1.12, ch-ơng 2), ta có X0 là mở trong X. Chọn
điểm x0 X0 và ¸nh x¹ r : XX0 sao cho:
r(x) =x

 x  X0.

r(x)= x0

 x  X\ X0 .

Râ rµng r lµ một phép co rút từ X lên X0 do đó X0 là cái co rút của X. Từ
(1.10, ch-ơng 2) ta suy ra X0  FANR(M) – kh«ng gian. 

1.14. §Þnh lý. NÕu Z = X  Y víi X, Y là các FANR(M) không gian rời
nhau và đóng trong Z thì Z FANR(M) không gian.
Chứng minh. Giả sử X, Y FANR(M) không gian, theo (1.9, ch-ơng 2) tồn tại
hai không gian X, Y ANR(M) không gian, đóng trong Z = X Y sao cho X là
cái co rút cơ bản yếu của X, Y là cái co rút cơ bản yếu của Y. Xét không gian
MAR(M) không gian chứa Z nh- là một tập con đóng. Khi đó tồn tại lân
cận đóng U của X trong M và lân cận đóng V của Y đóng trong M sao cho
UV = .
Bây giờ ta xét hai dÃy co rút cơ bản yếu R=rk,X,XM,M và S =sk,Y,YM,M. Với
mỗi k = 1,2,... ta đặt:

21


Nguyễn Đức Văn

r ( x)
rk ( x) k
sk ( x)

Luận văn thạc sĩ
với xU
với xV

ta đ-ợc dÃy ánh xạ rk: UV M. Vì UV là đóng trong M AR(M)
không gian nên có thể thác triển ánh xạ rk thành ánh xạ rk : M  M . DƠ
dµng thÊy r»ng  rˆk ,Z’,ZM,M là dÃy co rút cơ bản yếu của tập Z ANR(M)
không gian lên Z. Hay Z là cái co rút lân cận cơ bản yếu của Z .
Từ (1.9, ch-¬ng 2) ta suy ra r»ng ZFANR(M ) – không gian.

Đ2. DÃy cơ bản- dÃy co rút cơ bản
Trong mục này, các không gian đ-ợc nói đến đều là không gian metric compact.

2.1. Định nghĩa (DÃy cơ bản). Giả sử X, Y là hai không gian lần l-ợt
nằm trong các AR-không gian M, N, còn fk: XY ; k =1,2,3... là dÃy các ánh
xạ liên tục. Một bộ ba gồm: X, Y, fk; k=1,2,.. đ-ợc gọi là dÃy cơ bản từ X vào
Y nếu với mỗi lân cận V của Y trong N tồn tại lân cận U cña X trong M sao cho
fk/U ~ fk+1/U trong V với hầu hết k.
DÃy cơ bản ký hiệu là: F =  fk, X, YM,N hay F.
Ta nãi d·y c¬ bản F = fk, X, YM,N đ-ợc sinh bởi ¸nh x¹ f: X  Y
nÕu fk(x) = f(x)  x X.

2.2. Nhận xét.
a. DÃy cơ bản I = ik, X, XM,M đ-ợc gọi là dÃy cơ bản đơn vị của X,
với ik = iX:XX là ánh xạ đồng nhất trên X.
b. Với bY, đặt fk(x) = b x M, k=1,2, ... khi đó {fk, X, Y}M,N đ-ợc
gọi là dÃy cơ bản hằng.

22


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

2.3. Định nghĩa. Hai dÃy cơ bản F = fk,X,YM,N và G= gk, X, YM,N
đ-ợc gọi là đồng luân với nhau nếu đối với mỗi lân cận V của Y trong N, tồn
tại lân cận U cña X trong M sao cho:
fk/U ~
 gk/U trong V với hầu hết k.

G.
Khi đó ta ký hiệu là: F ~

Dễ dàng thấy rằng quan hệ đồng luân là quan hệ t-ơng đ-ơng. Vì vậy
quan hệ đồng luân chia các dÃy cơ bản thành những lớp đôi một không giao
nhau. Những lớp đó đ-ợc gọi là lớp cơ bản, lớp cơ bản với đại diện là F đ-ợc
ký hiệu: [F]: X Y.

2.4. Định nghĩa. Hai dÃy cơ bản F = fk, X, YM,N và G=gk, X, YM,N đ-ợc
gọi là liên hợp với nhau nếu fk(x) = gk(x) x  X; k=1,2,...

2.5. NhËn xÐt. NÕu F liªn hợp với G thì F đồng luân với G.
2.6. Định nghĩa.(DÃy co rút cơ bản) DÃy cơ bản R=rk,,X ,XM,M đ-ợc gọi
là dÃy co rút cơ bản từ không gian X lên không gian X trong M nếu x  X
th× rk (x) = x ; k = 1 ,2,3....
Nếu tồn tại dÃy co rút cơ bản từ X lên X thì X đ-ợc gọi là cái co rút cơ bản
của X.

2.7. Định nghĩa. Tập con đóng X của tập đóng X trong M AR - không
gian đ-ợc gọi là cái co rút lân cận cơ bản của X nếu tồn tại lân cận đóng W
của X trong X sao cho X là cái co rút cơ bản của W.

Đ3. t-ơng đ-ơng cơ bản, trội cơ bản

3.1 Định nghĩa. Hai không gian X và Y đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng
đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ f:X Y vµ g:Y  X sao cho gf ~ i X và
fg ~ iY.
Khi đó ta viết X Y..
h

23


Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

3.2. Định nghĩa. Ta nói không gian X là trội đồng luân đối với không
gian Y nếu tồn tại các ánh xạ f: X Y vµ g: Y  X sao cho fg ~
 iY

X Y .

Khi ®ã ta viÕt

h

3.3. NhËn xÐt. NÕu Y là cái co rút của X thì X là trội đồng luân của Y.
Chứng minh. Vì Y là cái co rút của X nên tồn tại ánh xạ co rút r: X Y
và ánh xạ nhúng j: Y X khi đó ánh xạ rj: Y Y là ánh xạ đồng nhất trên Y,
hay rj ~
iY . Vậy X Y ..
h

3.4. Định nghĩa. Giả sử X, Y lần l-ợt là các tập con đóng của các AR
không gian M, N. Ta nói X, Y là t-ơng đ-ơng cơ bản đối với M, N nếu tồn tại
các dÃy cơ bản F= fk, X, YM,N và G = gk, Y, XN,M sao cho GF ~
 IY,N.
 IX,M và FG ~
Khi đó ta viết X Y Rel M,N.

F

3.5. Định nghĩa. Giả sử X, Y lần l-ợt là các tập con đóng của các AR
không gian M, N. Ta nói X làm trội cơ bản của Y đối với M, N nếu tồn tại các
dÃy cơ bản F =  fk, X, YM,N vµ G =  gk, Y, XN,M sao cho FG ~
 IY,N
Khi ®ã ta viÕt X  Y Rel M, N.
F

3.6. NhËn xÐt.
a. NÕu X t-ơng đ-ơng đồng luân với Y thì X t-ơng đ-ơng cơ bản
với .
Chứng minh. Giả sử

X Y khi đó tồn tại hai ánh xạ liên tục f:X Y vµ
h

g: Y  X sao cho fg ~
 iY và gf ~
iX..
Giả sử F = fk, X, YM,N và G = gk, Y, XN,M lần l-ợt là các dÃy cơ bản sinh
IX và FG ~
IY hay X  Y Rel M, N.
bëi f vµ g. Khi đó rõ ràng GF ~
F

b. Nếu X là trội đồng luân của Y thì X là trội cơ b¶n cđa Y.

24

Nguyễn Đức Văn

Luận văn thạc sĩ

Chứng minh. Giả sử X Y khi đó tồn tại hai ánh xạ liên tơc f: X Y
h

vµ g: Y  X sao cho fg ~
iY. Xét hai dÃy cơ bản F = fk, X, YM,N
và G = gk, Y, XN,M lần l-ợt là các dÃy cơ bản sinh bởi f và g. Khi đó rõ ràng
FG ~
IY hay X Y Rel M,N.
F

c. Các quan hệ t-ơng đ-ơng đồng luân, t-ơng đ-ơng cơ bản là các quan
hệ t-ơng đ-ơng.

3.7. Định lý. Giả sử X, Y là các tập con đóng lần l-ợt nằm trong các AR
không gian M, N. Khi đó, nếu X đồng phôi với Y thì X t-ơng đ-ơng cơ bản với Y.
Chứng minh. Vì X đồng phôi với Y nên tồn tại các song ánh liên tơc
f: X Y vµ g = f -1 : Y X thoả mÃn fg~
Y , theo
i Y và gf~
i X. Do đó X
h
(3.6.a, ch-ơng 2) thì X Y Rel M,N.
F

3.8. Định lý. Nếu X là r - ảnh của Y thì X bị làm trội đồng luân bởi Y.

Chứng minh. Giả sử X là r-ảnh của Y, khi đó với r-ánh xạ f:X Y tồn tại
ánh xạ g: Y X sao cho fg = iY, suy ra fg ~ iY do ®ã X là trội cơ bản của Y.

3.9. Định lý. Mỗi ANR - không gian bị làm trội cơ bản bởi một khối đa
diện hữu hạn.

3.10. Định lý. Mỗi cái co rút cơ bản của không gian compact là không
gian compact.

Đ4. shape và các tính chất cơ bản của shape

4.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian compact, shape của X, ký hiệu:
Sh(X) là lớp gồm tất cả các không gian Y sao cho X t-ơng đ-ơng cơ bản với Y.
Nếu X chỉ gồm một điểm {a} thì ShX đ-ợc gọi là shape tầm th-ờng. Ký
hiệu là: Sh1.

25