CHUỖI lũy THỪA

CHUỖI LŨY THỪA


ĐỊNH NGHĨA
Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:


 an ( x  x0 ) , an  R

n 1

n

là giá trị cho trước

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:



n
D   x  R :  an ( x  x0 ) hộ
i tụ
n 1




n
a
X
Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành  n ,

n 1

nên khơng mất tính tổng qt ta chỉ xét chuỗi
này.


Định lý Abel

Nế
u



n
a
x
 n hộitụ tại x0  0 thì hộitụ

n 1

tuyệ
t đố
i trong   x0 , x0 
Hệ quả:

Nế
u



n
a
x
 n phân kỳtại x0 thì phân kỳ

n 1

tại mọi x    x0 , x0 


Nế
u

Chứng minh định lý



n
n
a
x
hộ
i
tụ
tạ
i
x

0
thì

lim
a
x
 n
0
n 0 0
n 

n 1

 M  0 :

an x 
n

n
an x0

n
an x0 

 M , n
n

x 
x
M

x0
 x0 

n

x
x    x0 , x0  :
1
x0


x
 
n  0 x0

n

hộ
i tụ





n 0

an x n hộ
i tụ


Bán kính hội tụ
SốR >0 sao cho



n
a
x
 n hộitụ trong  R , R 

n 1

vàphâ
n kỳbê
n ngoà
i  R , R  gọi làbá
n kính
hộ
i tụ củ
a chuỗ
i.

 R, R  gọi làkhoảng hộitụ của chu ỗi.
Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của
chuỗi chỉ cần xét thêm tại R


Trường hợp chuỗi tổng quát


 an ( x  x0 )

n 1


SoáR >0 sao cho

n

 an ( x  x0 ) hộitụ trong
n

n 1

 x0  R , x0  R  vàphân kỳbên ngoài  x0  R , x0  R 
gọi làbán kính hộitụ của chuỗi.

Khoảng hội tụ:

( x0  R , x 0  R )


Cách tìm bán kính hội tụ
Tính:   lim

n 

n

an

hoặc

an 1
  lim
n  an

0,   
 1
 R   , 0     (BKHT)

,   0
c  x0  cho chuoã
i TQ 
R  0 : MHT =0  hoaë

R   : MHT =  ,  


Lưu ý
1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau:
R  lim

n  n

1
an

an
hay R  lim
x  an 1

2. Trường hợp R = 0 hay R = , không
được gọi là bán kính hội tụ nhưng có
thể gọi tạm cho dễ sử dụng.


Ví dụ


(1) n
1 / Tìm miề
n hộ
i tụ 
x
n 1 n
R  lim

n  n

n

(1)
an 
n

n

1
n
 lim n  1  Khoảng ht: ( 1,1)
an n 



(1)n
x  1 : chuỗ
i trởthà
nh 
, ht theo tc L.
n 1 n
1
x  1: chuỗ
i trởthà
nh  , phâ
n kỳ
n 1 n
Vậ
y miề
n hộ
i tụ là
: D   1,1




2

(n !) n
2 / Tìm bá
n kính hộ
i tụ: 
x

n 1 (2n )!
2

(n !)
an 
(2n )!

an
R  lim
n  an 1

 lim

n 

(n !) 2
(2n )!

(n  1)!

2

(2n  2)!

(2n  1)(2n  2)
 lim
4
2
n 
(n  1)



( x  1)
3 / Tìm miề
n hộ
i tụ  2 n
n 1 n 2
R  lim

n  n

n

1
an  2 n
n 2

1
n 2 n
 lim n 2  2
an n 

 Khoảng ht: (1  2,1  2)  ( 1,3)




(2)

(1)
x  1:  2 n   2 , ht theo tc L.
n 1 n 2
n 1 n


n

n



n

2
1
x  3 :  2 n   2 ht .
n 1 n 2
n 1 n

 D   1,3




( x  3)
4 / Tìm miề
n hộ
i tụ 
n

5
n 1




n

n

( x  3)
x  3

 n    5  : chuỗicấp sốnhân

5
n 1
n 0 
n

x 3
 1  8  x  2
Điều kiện hội tụ:
5
Vậ
y miề
n hộ
i tụ là
: D   8,2 

Tính chất của chuỗi lũy thừa
Cho chuỗ
i lũ
y thừ
a



n
a
x
 n cóbán kính

n 1

hộ
i tu ï R , gọi S ( x ) làtổ
n g c huỗ
i.

1/ S ( x ) liê
n tục trê
n miề
n hộ
i tụ.

2 / S( x ) 



n 1
na
x
, x   R , R 
 n

n 1
x
S
(
t
)
dt
0

3/ 



an n 1

x ,   R , R 
n 1 n  1


Chú ý
1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định

2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân)

của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích
phân) tương ứng.
3.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi
tích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu.

S(x ) 



n
a
x
 n  S( x ) 

n 0



n 1
na
x
 n

n 1


Ví dụ áp dụng: tính tổng chuỗi
Nhắc lại:


1
 x  1 x ,
n 0
n

Điều kiện: |x| < 1



x
 x  1 x
n 1
n




n

x
1 / S(x)  
n 1 n
S( x ) 



x

n 1

MHT: D   1,1



n 1



x

n

n 0

1

, x   1,1
1 x

dt
 S ( x )  S (0)  
  ln(1  x ), x   1,1
0 1 t
x

Do S (0)  0  S ( x )   ln(1  x ), x  1

S (1)  lim S ( x )   ln 2
x 1

2 / S(x ) 



 (n  1)x

n

n 1



0 S(t )dt  n1 x
x

n 1

MHT: D   1,1

, x   1,1



 x  x , x   1,1
n

n 1

2

x

, x   1,1
1 x

2
2
 x 
2x  x
 S(x)  
,
x


1,1


 
2
(1  x )
1  x 


3 / S(x ) 



 nx

MHT: D   1,1

n

n 1



S ( x )  x  nx

n 1

n 1

  n 
x 

 xx   x
, x   1,1



1  x 
 n 1 

x

,
x



1,1


2
(1  x )




1
4/S   n
n 1 2 .n.(n  1)


 1

1
S   n 
n
(n  1).2 
n 1 n.2
Xét chuỗi lũy thừa



n

x
S(x)  

n
n 1

1
MHT D   1,1 
2
Trong VD1 ta có: S ( x )   ln(1  x ), x  1




xn
S(x )  
  ln(1  x ), x  1
n
n 1

 1

1
S   n 
n
(n  1).2 
n 1 n.2




n 1




n 1

1 / 2 

n

n

1 / 2 
n



 2

1 / 2 

n 1

n



 2

n 2

n 1

n 1

1 / 2 

n

n

1

 S 1 / 2   2 S 1 / 2      ln 2  1
2





(1)
4/S   n
n 0 3 (2n  1)
n



2n 1

(1) x
Xét chuỗi lũy thừa S ( x )  

2n  1
n 0
1
MHT: D   1,1 
3
S ( x ) 



 (1) x
n

n 0

2n

n





 ( x

2 n

)

n 0

1
1


, x   1,1
2
2
1  ( x ) 1  x


1

S
(
x
)

arctan
x
,
x


1,1
S ( x ) 
,
x


1,1





2
1 x


(1)n
S  n
n 0 3 (2n  1)


(1)  1 
 3
 
n 0 2n  1 3 
n

2n 1

1 


 3.arctan    3.
6
 3


CHUỖI TAYLOR

Nhận xét: vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa
có cùng khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên
tổng chuỗi lũy thừa là hàm khả vi vô hạn trong
khoảng htụ.

f ( x )  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )2 

 an ( x  x0 )n 

f ( x )  a1  2.a2 ( x  x0 )  3.a3 ( x  x0 ) 2 

f

(n )

( x )  n !an  (n  1)!an 1 ( x  x0 ) 


f ( x0 )  a0 , f ( x0 )  a1, f ( x0 )  2!a2 ,
  (n )
f ( x0 )  n !an ,...
a0  f ( x0 ), a1  f ( x0 )

f ( x0 )
a2 
2!


...



f ( n ) ( x0 )
,...
an 

n!

,


Định nghĩa
Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0
khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là


f ( n ) ( x0 )
n
(
x

x
)
 n!
0
n 0
Chuỗi Taylor trong lân cận x0 = 0 gọi là
chuỗi Maclaurin.