Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết

C. M. Tapr.

HPATHWI RYPC
TEOPETMLUECHOWH
MEXAHMRHM
Wanarenecrso

ôHaynaằ

ơ..


hư

WLAN

XM.lag

: -.

Giáo trình giản yéu
cơ học lú thuuết Phạm

Huyển

_

Dich tir bdn tiéng Nga.

Nha xuat ban

~ dai hoc

vàtrung học
chuyên nghệp
HàNội

Nha xuat ban«Mir»
Matxcơova


Ha

6

BbeTHAMCKOM

A3bIKe

©BAn dich ting Vide. NR xuat ban <Mir>. 1979


MUC LUC:
Lời tựa cho lần xuât bản thứ nhật
Lời tựa cho lần xuât bản thứ ba...
Lời tựa cho lần xuât bản thử sáu.
Mở đầu .

"1
12
13

15

Phân

TINH

thứ. nhật

HOC

VAT

RAN

Chương I. Cac khái niệm và tiên để cơ bản của tĩnh học...
§
1. Đơi tượng ca tnh hc.
Đ
2
Lue.
.
ơ
Đ
3. Cỏc tiờn tnh hc N
ee
Đ
4. Liộn két va phan luc liénm kt. 2.
2.

§

5.

Chương
OP UO? COD CO) COP CO) Q02 c0 c0 c0

§

§
§
§
> {02 {02

lực.

Hệ

lực

đồng

quy

...............

Ốc

6.
Hợp lực bằng phương pháp hình học. Hợp lựcc của à hệ lực đồng quy.
7.

Phân luc... ..
De
Vk
VƠ 2
§. - Hình chiêu của lực trên một trục và trên mặt phẳng.
¬

9.
10.
II.

Phương pháp biểu diễn lực bằng giải tích.............
Phương pháp hợp lực bằng giải tích........ Kà q TT
Ta
Cân bằng của hệ lực đồng quy..............

12.

Các

13.

14.
15.

16"
17.

18.
19.

20.

Chương

COP

Lo

Tiên để liên kết

II. Hợp

Chương
§

J9
20
22
25
28

21.
22.
23.
24.

hệ

tĩnh

định

và

siêu

tính................

Giải các bài tốn tĩnh học...

Lo

ee

Mémen cha lực đôi với một tâm (hay | một điểm),
Định lý Varinhông về mơmen của hợp lực.....................

Phương

III.

trình mơmen

của hệ lực đồng quy.....-........

Hệ lực song song và hệ ngẫu trên một mặt phẳng .

Hợp

và

phân

các

lực

song

song...............

Loe

Ngẫu lực Mômen ngẫu “Ha...
Sự tương đương của các ngdu luc...
2.
1. ee ee
Hợp các ngẫu cùng nằm trên một mặt phẳng. Điều kiện cân bằng các ngẫu.
IV.

Hệ

lực

phân

bồ bât

kỳ

trên

mặt

phẳng.

..........

.

Định lý về chuyển dịch song song của lực. . . . . Vy Ha
ky
Thu gọn hệ lực phẳng về một tâm.
.....
Loe
ae
Các trường hợp thu hệ lực phẳng về dạng tôi giản „
.
Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng tùy ý. Trường hợp các lực song song.
“

29
29
31
34
35
37
38
40.
4I

49
50
5]
52
52
54
56
59
60
6061
63
65


MỤC
2 {02 Q02 OA

6
25.

Cách

Cân

bằng của hé vat .

27*
28*

Xác

Các

định ứng lực
lực phân b6.

26.

CO? (OA OP WOR OP

Chương

§
§

§
§
§
§

tơn 202 072 (02 Q02 002 WO

.

TH

trong +
. 2...

V. Cơ sở của tĩnh học đồ thị.

NHA
Co
..

2.

68
75
79
80

aggaga

ee

.............

.

32.
33.

Điều kiện cân bằng hệ lực phẳng bằng đồ thị. Loe
ee
Xác định các phản lve cla gOi tua...
.. 7...

3I.

Xác định ngẫu

VI.

34.

Cách
Khai

35*
36*

tính các

niệm

tổng bằng dé thi.

giản

VII.

Ma

Các

38.
39.
40*
41*

st...

định

83
83
84
86
86
87

lực.

KT

TT

Ta

................

¬"

về giàn. Tính giàn phẳng bằng phương prin aii tich.

Tính giàn phẳng bằng đồ thị
Biểu đồ Măäcxoen — Crémén

37.

Chương

tứ? UP CƠ

toán

Đa giác lực và đa giác dây. Thu hệ lực phẳng về hai
Xác định hợp lực bng th.

Chuong
Đ

bi

29.
30.

Chng
Đ

gii cỏc

LC

lut

..............
. .
oe

........
v ma

ơ

Ta.

Phan lc liờn kờt nhỏm. Góc ma SÁI......... ee.
Cân bằng khi có ma sat 2...)
ee en
Ma sat cha day dOi vOi mat tu... . 2...
Ma sat lAn va ma sét xoay. .. 2.2...

(Or SP

(2 0Œ

. 98-

101
102

VIII. Hệ ngẫu lực và hệ kực phân bỗ bât kỳ trong không ¿ gian.

42.
43.
44.
45.

Mômen

Mômen
Hệ thức
Mémen

47.
48*
49.

Thu hệ lực không gian về một tâm .............
Các trưởng hợp thu gọn hệ lực không gian về dạng tôi gián .
Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian bât kỳ. Trường hợp

50.
51.

Định lý Varinhông vể mômen của hợp lực _ với một trục.
.
Những bài toán về cân bằng của vật thể dưới tác dụng của hệ lực không gian.

46*

của lực đồi với
của lực đôi với
giữa mômen của
cla ngẫu lực là

tâm là một vectơ...............
trục...............
ko ae
lực đôi với tâm và đổi. với trục.

một vecto
. 2.)
2 ee

Hop cac ng4u lye trong khéng gian. Điều kiện cân bằng của các ngẫu.

song song
2 6. ee

52*_

La

Tọa độ trọng tâm của các vật đồng chat Lo

56.
57.

Các phương pháp xác định tọa độ trọng tâm của các vật..........
Trọng tâm của một sô vật đồng chầt................

Phan

5S.

en

eee

thw hai

DONG HOC DIEM VA VAT RAN
Chương

các lực

Lee

Điều kiện cân bằng của vật rắn không tự do. Khái niệm về tinh Ổn định của
cân bằng.................... Ta.

55.

%.

Động

Mở

học

đểm

đầu về động học

ww

ee

ee

88
88
92
93
95
95
97

daiaiaẳaiaiaẳaaa

sát trượt.

Chương IX. Trọng tâm. ................
¬
53. Tâm của các lực song song. .........
Ce
54. Trong tam cha vat rfn. 2...
ee

§

.

104
104
106
109
110
IH

114
116
118
119
120
128
130
130
131
132
133
136


7

9 t0

(2 c0

G02 (02 CƠ

G22

WO? GO) Ls

LO

cœ

cor

MỤC LỤC
59.
60*
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71*
721

Các phương pháp xác định chuyến động của một điểm. Quy dao.
Chuyển từ phương pháp cho chuyển động bằng tọa độ sang phương pháp
tự nhiên. ...............
¬—

Vectơ vận tơc của điểm...
Vectơ gia tơc của điểm. ................
Định

Le

Xác định vận tôc và gia tôc của điểm theo phương pháp tọa độ........

GiẢi các bài toán động học điểm

..................

Xác định van téc của điểm theo phương pháp tự nhiên..........
Gia tôc tiềp tuyền và gia tôc pháp tuyên của đểm............

Một sô trường hợp riêng về chuyển động của điểm..............
Các biểu đồ chuyển động, vận tôc và gia tốc của điểm.............

Cách giải các bài tốn
Vận

tơc

trong

tọa

độ

...........

cực...

Khảo sát chuyển động của điểm bằng để thị Ce

Chương XI. Chuyển động tỉnh
§ 73. Chuyén déng tinh

§ 74, Chuyén déng quay
§ 75. Chuyển động quay
§ 76. Vận tôc và gia tôc

ee

tiền và chuyển động quay của vậtrắn. ............

tim

2...

ee

cia vat rin. Van téc goc va gia tc gic...
.
u v chuyn

MUNN
MUIR

82.
83."
84.
85*

Chng

Đ

86.

Đ

88.

Đ

87+

chuyn

ng

tnh

ca cỏc im thuc vt quay

tiờn

v chuyn

...................

ng

Đ

Đ

89.
90.
91*
92.

quay

thnh
ee

ơ

nh lý về hình chiều các vận tơc của hai điểm trong vật thể........
Xác định vận tôc của các điểm trong vật thể theo tâm vận tôc tức thời.
Khái niệm về đường tâm tích....................

Cách giải các bài tốn...
Téc d6 2 we

Xác định gia tôc các điểm của vat the.

Tâm
XIII.

_

gia tôc tức

n

thời.........

.

.

Q

2.

Ce
en
re

QO TQ

.

. .Q

Q1

. ..
ki.

Chuyển động của vật rắn quanh điểm cô định và chuyển động của vật rin

n

.--d

da
.

Ĩ&%Ÿä

Chuyển động của vật rắn có một điểm cơ định.
Vận tơc và gia tơc của các điểm thuộc vẬt..-...............

Trường

hợp tổng quát của chuyển động của vật rắn tự do

.........

144
145
147
149
150
151
155
156
159
162
164
167
168
171
171

173

176

177
181

động

Xác định quỹ đạo của các điểm của vật thể...............
Xác định vận tôc của các điểm của vật th. ...............

Chương XIV. Chuyển động phức hợp của điểm.

§
§

.

động quay biên đổi đều........

Chương XII. Chuyển động song phẳng của vật rắn..........
§ 71. Phương trình chuyển động song phẳng. Phân tích chuyển
78.
79.
80.
81.

ee

lý về hình chiêu của đạo hàm của vedơ...............

141

=5

:.....

Chuyển động tương đôi, chuyển động kéo theo và chuyển động tuyệt đồi.
Hop van téc.
II
-aaAaIÍI

Hop gia tdc. 2.
Q Gv
g v
Cach gidi cc bai toan 2 Te
ee
XYV. Chuyển động phức hợp ca vt
\ t rn ơ

v

an

k

Chng
Đ 93. Hp cỏc chuyn ng tịnh tền.................
§ 94, Hợp các chuyển động quay quanh hai truc song song. .... . Si.

§ 95.7 Hệ truyền động bằng bánh răng trụ...............

181
183
184
186
187
“191
195
197
204


MỤC LỤC
§

9%6.* Hợp

§ 971%
§ 98%

các chuyển động quay

quanh các trục đồng quy...........

Các phường trình dộng học ỚỞile........ Q0
Hợp chuyển động tịnh tiền với chuyển động quay.
q
' Chuyển

Phần

thw

ba

Các

định

luật động

động vít.

ĐỘNG LỰC HỌC ĐIÊM
Nụ

hở

: owe
:

lừ

Chương

§ 99.
§ 100.
§ 101.

§ 102.
§ 103.

_Chương

XVL.

Mở

đầu

động

Các
Hé
Các
Giải

học.

XVIH.

OV)

§ 108.
chuone

§ 109.
§ 110.
§ 111.

§ 112.
§ 113.
§ 114.
§ H5.
§ 116.
§ 117

hoc.

.

.

.

|.

Các phương trình vì phân chuyển động của điểm và các tích phân của
2.

QOQ

Chuyển động thẳng của diém
Cách giải các bài tán...

Q

Q

.

oo

. . . . . . ơ

Đ 105.
Đ 106* Vt ri trong mơi trường cản
§ 107. Chuyển động cong của điểm.
FL

lye

định luật động lực
học............ Qua
don vi. 2...V. ..
bài toán động lực học đối: với chât điểm tự đo và khong tự do.
.
bài toán thứ nhât của động lực học (xác định lực theo chuyển động)

ching...

§ 104.

lực

Các khái niệm và định nghĩa cơ bản...

(trong

khơng

¬
khí).

¬"

ee

Chuyển động của điểm trong trường trọng lực đồng nhật. ¬

XVII.

Các

định

lý tổng

quát

của

động

lực

học

điểm.

¬

ee

............

Động lượng và động năng của điểm......................
Xung

lượng của luc...
. .

Định

lý về sự

biền

thiên

TL.

động

lượng của

điểm „ ¬

Cơng của lực. Cơng su...
.........

Các thí dụ về phép tính cơng. ........

Và

ee

NV

Định lý về biền thiên động năng của điểm.

Cách gidi cdc bai toan . . 2...
ee
Dinh lý biên thiên mômecn động lượng của điểm (định ý các mômen).
Chuyển động dưới tác dụng của lực xuyên tầm. Định luật các điện tích.

Chương XIX. Chuyển động khơng tự do của điểm................

§ 118.
§ 119.

Chương

§ 120.
§ 121.

§ 122%
Chương

§ 123.
§ 124.

§ 125.

Chương

§ 126.

Phương

trình

chuyển

Xac dinh cac phan Ic
XX.

Chuyển

Phương

động
trình

động

tương
chuyển

của

điểm

lien k@t.

đơi của
động

trên đường

2.

điểm

và đứng

cong

cô

định.

............
yên

tương

đồi

của

điểm

Ảnh hưởng của chuyển động quay của trái đầt đồi với cân bằng và chuyển
déng cha cac vat. 2. 2.
xa
Độ lệch của điểm rơi so với ¡ phương
XXI.

Dao

động

thing

cha

dim

2

thẳng đứng do sự quay của trái dat,

2...

Dee

Các dao động tự do khơng có lực cẩn.............
Các đao động tự do có lực cản tỷ lệ với vận tôc (các dao động tắt

Dao

XXII*

động cưỡng
Chuyên

Chuyển

nằm

bức. Cộng

động của vật trong trường

động của chât điểm

dan).

hưởng......................

được

phóng

lực hút của trái ‘ait.
nghiêng một

ngang ở trong trường lực hút của trai dat

¬

góc so với đường

242
242
244
246
247
247

250
250
253
258
261
262
265
265
266
267
268
272
275
2716
283
285
287
287
289
292
292

295
298
300
300
306
308
318

318


MỤC
§ 127.
§ 128.

LỤC

Vé tinh nhan tao cla trai dat. Quy daoclip .. 2...
Khai niém vé khong trong lwong .. .. 2...
0 ee
ee
Phần

"
§
§
§
§

129.

130.
131.
132.

§ 133*

ye

WD

^)

Mở

đầu về động lực học hệ. Mơmen

Cơ hệ. Lực
Khơi lượng
Mơmen qn
Mơmen qn
Mơmen

qn tính của vat

rin...

.

.

ngồi vả lực trong..........
. te,
....
của hệ Khơi tâm. ..................
tính của vật thể đồi với một trục. Bán kinh quán tính...
tính của vật thể đồi với các trục song song. Định lý Huyghen

quán

ly tâm.

Chương XXIV. Định lý về chuyển động khơi tâm của hệ ...............

343

động

tính chính
của

của

Phương

§ 136.
§ 137.

Định luật bảo tồn chuyển động của khơi tâm..........
Cach gidi cac bai toam 2 ee
-

Định

chuyển

qn

§ 134.

§ 135.

vi phân

Trục

332

332
333
334
338
340

trình

tỉnh

hệ..............

343

lý về chuyển động của khơi tâm................

lý về

biên

thiên

động

lượng

của

344

....

345
341

"
._

§ 139.

Định

hệ ....................

§ 140.
§ 141.
§ 142*

Định luật bảo tồn động lượng..............
QC Qui.
Cachgidicacbaitoan.
2... 2... ee,
.
Vật thể có khơi lượng biền đổi. Chuyển động của tênlửa.. :......

Chương XXVI. Định lý về biên thiên mômen động lrợng của hệ Vay
ee
§ 143. Mơmen chính của động lượng củahệ....................
§ 144. Định lý về biên thiên mơmen chính của động lượng của hệ
.

353
354
357
360
360

Chương XXVII. Định lý về biền Yhiên động năng củahệ.................

369

147.
148.

149.
150.

§ 152,
§:153.

Chương

Q2.

352

362

§
§
§
§

(định lý các mơmen)..............

351
351

ko

§ 145.
§ 146.

§ 151.

Dinh luat bao todn mémen chinh chad6nglrgng
Cachgidicacbaitodn.
2...
2... 2.

. ......
2... .
ee

369
373
375
378

Thé nang .....,.... ¬
Định luật bảo toản cơ năng...

386
387

Trường lực có thề và hàm lực
XXYVIII.

........
. . So
Q

Q Q Q Q2

Ứng dụng các định lý tổng quát cho động lực học vậtrắn

§ 155.

Conl&cvatlhy.

§ 157*

Lý thuyêt gần đúng về hiện tượng gyrôscôp (con quay)...............

Chương

2...

Chuyển động song phẳng củavậtfn

..

.......

Chuyến động quay của vẬậtrẪn...

§ 158*

364
367

Déngnangebahé.
....
2...

2...
ee
Métsdtrronghoptinhcéng.
. 2... 2... ee
Định lý về biên thiên động năng của hệ.................
Cách giải các bải tốn...
. ee

§ 154.
§ 156.

&

XXIII.

Chuong XXV. Định lý về biền thiên động lượng của hệ...
§ 138.
D6ng lvong cha hé. . 2. 2 2 2 ot ee

ˆ

®

thứ: tứ

vật thể. ....

,

;

322
326

ĐỘNG LỰC HỌC HỆ VÀ VẬT RẤN

& ) Chương

(®

9

da.

. . Q Q Q Q2
.aaa

a

&g

.................

Chuyển động của vật rắn quanh một điểm cô định và chuyển động của
vatrantudo.
2. 6
XXIX.

Ứng đụng các định lý tổng quát vào ly thuyt va cham

|.

|

ws.

383
389

389
391

394
401

406
410


10

MỤC
§
§
§
§
§

159.
160.

161.
162.
163.

§ 164.

§ 165*
X⁄
x

Phương trình cơ bản của lý thuyềt vachạm..................
. Những định lý tổng quát của lý thuyêt vachạm........... oe
HésSphychéivacham ...........-0.02..220-.
Va chạm của vật với vật cản cô định....................
Va chạm xuyên tâm thẳng của hai vật (va chạm của các khôicẩu) .....
Sự mầt động năng khi hai vật va chạm khơng đàn hồi. Định lý Cacn6d

Vacham vao vắtquay.

..

2...

ee

.

410
411
413

414
416
.

418

420

Chương XXX. Ngun lý Đalămbe. Ấp lực lên trục của vật quay.................. „424
§ 166. NgunlyDalimbe............0.2..--2
0022058.
424
§ 167. Vecto chính và mơmen chính của các lực quán tỉnh của vậtrắn ..... .'.' 426
§ 168. Cách giải cácbàitốn........... gan HH
kg
Ha
428
§ 169* Phản lực động của vật quay tác đụng lên trục . Cân bằng động các khơi
I0.

xX

LỤC

Chương

§ 170.
§ 171.
§ 172.

§ 173.

XXXI.

--((44a
.ẼẼ...
-

Ngun ly dé dei kha di va phworng trinh téng quat cha d6ng lyrc hoc

Dodsikhddichahé.Sébictrdo ... 2.0.0.0.
008%
Nguyên lý độ dời khảđi........ Ta
Cách giải các bài toán...

QC

Phương trình tổng quát của độnglựchọc

Chương XXXII* Điều kiện cân bằng và các phương
trong các tọa đỘSHuYyFTỘN
2...

Là và ki.

..............
trình chuyển

433

.

438

438
440
441

446

động của hệ

§ 174. Tọa độ suy rộng và vận tơc suyrộng..................
co
§ 175. LựcSuyrỘộng........
. cà
KV
§ 176. Diéu kién can bang cha hé tronghétoadésuyréng ........2.~.
§ 177. Phwongtrinh Lagring. . 2... 2...
ee
§ 178. Cachgidicdcbaitodn . 2...
ee
ee
Bangtracttundidung.......
2... 2. ee ee
ee

450

450

453
457
458
461
469


1]

LOI TWA

CHO

LAN XUAT

BAN THU’ NHAT

Giáo trình cơ hoc lp thuyét nay. viét cho đơi tượng chính là học sinh các trường
dai hoc kỹ thuật (hệ chính quy và hệ tại chức) theo chương trình thu gon. Vi chương
trình học tập rât khác nhau, nên khi viêt giáo trình này, trước hêt chúng tơi cỗ gắng

để nó. được trọn vẹn và trình bầy được đây đủ các phương pháp cơ bản của cơ học
mà các kỹ sư cần biềt và các lĩnh vực ứng dụng của nó. Ngồi ra giáo trình phải phục
vụ được cả các chương trình giản yêu nhật cũng như' các chương trình mở rộng hơn.

Về nội dụng cuồn sách, bạn đọc có thể xem trong phần mục lục. Mặc dù giáo trình

là giản yêu, nhưng ở đây ở mức độ tơi thiểu có xét cả các bài toán chuyển động trong
trường lực hút (vệ tỉnh nhân tạo và quỹ đạo elip), chuyển động của các vật có khỗi
lượng biên đổi (chuyển động tên lửa), lý thuyềt sơ giản về hiện tượng con quay, v.v...

Đây là những vẫn đề hiện dại cần phải được trình bẩy trong cả các giáo trình rúi gọn.

Khi viêt, dựa vào kừuh nghiệm sâu sắc của nhiều năm giảng dậy, chúng tôi thây
rằng giáo trình giản yêu cần được trình bày theo phương pháp đi từ trường hợp riêng
. tới trường hợp chung, Do đó, trong sách chúng tơi trình bẩy tĩnh học phẳng trước
phân tĩnh học không gian, nghiên cứu động lực học điểm trước phân động lực học hệ,
nghiên cứu chuyển động thẳng trước phần chuyên động cong, v.v... Phương pháp

này giúp cho học sinh hiểu và tiềp thu vân để nhanh và sâu sắc hơn, do đó làm cho quả
trình học tập. được hiển nhiên và có trình tự.

'

Trong giáo trình, ngồi phương pháp hình học và giải tích, đã dùng phương pháp

vectơ là phương pháp hiện dang sử“ dụng rộng rãi, có nhiều wu điểm và xem nhự
là phương pháp cơ bản. Nhưng ở đây mới sử dụng những phép tính vectơ có tỉnh
chất giơng như' các phép tính trên các đại hượng vơ hướng và khơng địi hỏi ở bạn dọc
"những khải niệm mới.
Giáo trình cũng dành nhiêu trang cho các ví dụ và các phương pháp giải bài tập.
Khôi lượng bài tập chiêm trên một phần ba tổng sỗ trang sách. Khi chọn các bài tập,

chúng tôi tập trung chủ ý sao cho chúng làm sảng tỏ các hiện tượng cơ học, và chỉ xét
những dạng bài tập chính giải được bằng một trong các phương pháp trình bày trong

giáo trình. Những lời chỉ dẫn cách giải bài tập rât bé ich cho cdc hoc sinh tự học, do đó sách này có thể phục vụ cho học sinh của mọi chuyên ngành và nhật là đôi với các
học sinh tại chức

và tự học.

12

LOI TWA CHO LAN XUAT BAN THU BA

Khi đọc sách này, cần chủ y là các tiềt mục đánh dầu sao khi cẩn có thể bỏ qua (mà
khơng ảnh hưởng đền quả trình học tập tồn bộ phần cịn lại) ; tuy nhiên giữa các tiêt,
mục này vẫn có thê có các chủ giải liên quan. Các cơng thức trong mỗi phần được đánh

số một cách liên tục, các công thức được sử: dụng trong cùng một phần được ghi bằng
sô thứ: tự của chúng, khi dùng trong các phần khác nhau, ta viềt kèm theo chỉ sỗ của
tiét hay đê mục có các cơng thức đó.
Tác giả xin cảm ơn các 6ng F. R. Ganmakhe, A. Iu. Islinxki va G. N. Xvénhicép
vi đã góp nhiều ý kiền bổ ích cho giáo trình. Tác giả cũng xin cảm ơn các bạn đồng nghiệp
đã lưu ý tới giáo trình và chỉ cho nhiều ý kiền thích đáng. Tác giả cũng mong các bạn
đọc gửi cho nhà xuât bản ý kiền phê bình hoặc nguyện vọng.
*

LOI

TU'A

CHO

LAN

XUAT

BẢN

THỨ

BA

Lân xuât bản thứ ba cuén Giáo trình giản u cơ học lý thuyềt có khác với sách
cũ ở' chỗ có một sơ bơ sung, sửa chữa và thay đổi trong hầu hêt các chương.

Phẩn bê sung cơ bản là thêm các mục về chuyển động của vật rắn xung quanh một

điểm cỗ định (các phương trình động học và động lực học Ởle), và chương cơ sở: của
phương pháp tọa độ suy rộng (phương trình Lagrăng). Sở: dĩ có sự bê sung ti liệu
này, là vì giáo trình phải phục vụ yêu cầu đào tạo cán bộ chuyên môn cho nhiêu lĩnh vực

khác nhau. Trong sách vẫn trình-bảy một ÍL ly thuyềt cơ bản về gyrơscơp ( con quay)

và những văn đê cấp thiềt hiện nay như chuyên động trong trường trọng lực (các quỹ
đạo elip và các cuộc bay vũ trụ) và chuyển động của các vật có khơi lượng biên đổi (chuyển

động của tên lửa). Trong giáo trình cịn bỗ sung thêm một tiềt về khải niệm khơng trọng
lượng. ĐỀ có khái niệm về nội dung toàn bộ cuồn sách cũng như thứ" tự' trình bày, bạn

đọc có thể xem ở: phần mục lục.

Cũng nhự Ò' các lần xuất bản trướ‹c, lần này cũng chú ý đền nhiều ví dụ và các phương
pháp giải bải tập với khôi lượng chiêm tới trên một phần ba cuồn sách. Khi chọn ví
đụ, chúng i xI phái từ yêu cầu làm sáng tỏ thực chât của các hiện tượng cơ học
và hướng dẫn cách sử dụng các phương pháp trình bày trong giáo trình. Ngồi vi du,

trong sách cịn có tới 176 bài tập với các chỉ dẫn cách giải nhằm giúp học sinh tự học.

Đo đó cuồn sách có thể phục vụ cho học sinh của mọi ngành chuyên môn, nhật là đổi
với các học sinh hệ tại chức và những người tự học.
Sách được soạn để phục vụ cho công tác giảng đậy theo chương trình rút gọn cũng
nhw các chương trình mở' rộng. Do đó, khi cân có thể bỏ qua tồn bộ các chương,
tiềt và đê mục có đánh dầu sao, nhưng cũng cần chú ý rằng giữa các tiềt và các để mục

này vẫn có sự: liên quan nhàt định. Mặc di trong sách sử dụng rộng rãi các ký hiệu

vectơ, nhưng để đọc các tiềt và để mục khơng có dầu sao thì khơng địi hỏi bạn đọc
phải có kiên thức về dại số vectơ.


LỞI TỰA

CHO LẦN XUAT BAN THỨ SÁU

13

Các công thức trong bồn phần của cuồn sách đêu được đánh sồ thứ tự: liên tục.

Khi trích dẫn cơng thức trong cùng một phần, chỉ viêt số thứ" tự của chúng. Chỉ những
công thức của các phần khác mới được ghỉ chú thêm mục trích dẫn.
MATXCOVA

X. TARG

Thang 5 ndm 1963

LỞI TỰA CHO LAN XUAT BAN THU’ SAU

Trong lén xudt ban thir 6 ndy Gido trinh gidn yéu co hoc lý thuyêềt cũng có một
sô thay đổi, bội sung và sửa chữa nhỏ nhưng khơng ảnh hưởng đền nội dụng cơ bản
và trình tự' cn sách, Chỉ có các tiệt § 91 và § 128 thuộc phần thứ hai là có những thay đổi đáng kẻ,
Khi bỗ sung và sửa chữa, chúng tôi đã chủ ý tới các ÿ kiên phê bình và đề nghị do
các bạn đọc gửi tới. Túc giả chân thành cám ơn các bạn đọc đó.
Thang I năm 1968

X. TARG


GỬI

CÁC

BẠN

ĐỌC

VIỆT

NAM

Cuén sách này là sách giáo khoa 0iềt cho sinh uiên các trường đại học, song nó

cũng bộ ích cho cả những cán bộ chuy ên môn nào thấy cần phải ôn vd bd sung cho minh
những kiên thức 0ễ cơ học. .
Cơ học là khoa học oề sự cân bằng nà chuyên động của vat thé. N6é lam phon
phú thêm kiền thức của chúng ta uề hàng loạt quy luật cơ bản của thiên nhiên, oề các

phương pháp nghiên cứu nhiều hiện tượng trong thê giới xung quanh ta. Nó giúp ta

bắt các hiện tượng đó phục tụ con người, tạo cho ta khẻ năng phát triển tư duy nà
xấy dựng thê giới quan đúng đắn,

Môn khoa học này có ý nghĩa đặc biệt đơi uới người kỹ sư tương lai. Nó là cơ

sở lý thuyêt uững chắc của hầu hệt các lĩnh tực của nên kỹ thuật đã đạt tới những quy
mồ to lớn bà còn đang tiễp tục phát triển, nà không chỉ kỹ thuật dân dụng.

nhà
phá
kiện
đọa
đẩn

Ngay từ thê kỳ XVI, từ buôi đầu của sự phát triển học thuyệt bề chuyển động,
bác học nỗi tiềng thời đó, đồng thời là nhà yêu nước — Nikalo Tartalia, đã khám
ra oột thê được phóng đi (đạn đại bác) chuyên động-như thê nào uà trong điểu
nào thì cự lụ bay sẽ lớn nhất. Khi đó Tơ quốc Vênêxi của ông đang bị quần thù đe
tẳn công. Ông đã quyêt định giới thiện phát mình của minh cho œnỗi người cơng
chân chính, làm cho mỗi người ẩược 0ũ trang tốt hơn để bảo uệ Tơ quốc của mình.»
Trong những thê kỳ uừa qua, cơ học đã phát triển thành môn khoa học cơ sở

mạnh mẽ nà ý nghĩa của những kiền thức mà nó đem lại cho ta đã tăng lên không thể
kê hêt được. Nhưng trau giỗi bắt kỳ kiên thức cơ sở nào 0à biết sử dung ching bao
giờ cũng địi hồi sự lao động miệt mài ồ nhiều sức lực.
Vì oậy những dì quyết tâm học tập để trẻ thành một cán bộ chun mơn có ích

cho đất nước mình đều phải sẵn sàng lao động nhw vay.
Đừng tiệc sức lực, hãy trau giỏi những kiền thức 0ì những kiên thức đó sẽ giúp

các bạn, những cán bộ chuyên môn tương lai, cùng uới nhân dân Việt Nam anh hing
xdy dựng một tương lai xán lạn cho Tô quốc tươi đẹp của các bạn!

X. TARG


15”

MỞ

ĐẦU

Sw phat trién của kỹ thuật hiện dại dang đặt ra cho các kỹ sư: nhiều vần đề có liên

quan đền tỉnh tốn cơng trình (nhà cửa, cầu cơng, kênh đập v.v...), thiềt kề, sản xuầt
và sử: dụng các máy móc, thiềt bị, động cơ, kê cả các phương tiện vận tải như' ôtô,
xe lửa, tâu thủy, máy bay, tên lửa, các con tầu vũ trụ v.v... Các vần đề đó tuy nhiều vẻ,
nhưng lại có thê giải quyét bằng những nguyên lý, những cơ sở khoa học chung. Đây
là vì phần lớn các bài tốn này đêu nghiên cứu các quy luật chuyển động và cân bằng

của các vật thé.

Khoa học nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyên động và cân bằng của các
tật và về sự tương tác giữa chúng với nhau gọi là cơ học lý thuyêt (hay cơ học đại
cương). Cơ học lý thuyềt là một trong các cơ sử: khoa học của các ngành kỹ thuật
hiện đại.
Cơ học theo nghĩa rộng, là khoa học nhằm giải quyềt các bài toán về chuyển động hay cân
bằng của các vật thể và sự: tương tác của chúng. Cơ học lý thuyềt là phần cơ học nghiên cứu

về các quy luật chung

của chuyên động và sự tương tác của các vật thể, tức là về các quy

luật có thể áp dụng được cho cả chuyển động của trải đât xung quanh mặt trời cũng như: chuyển

động của tên lửa và các quả đạn v.v... Phần khác của cơ học bao gồm các chuyên ngành kỹ

thuật khác nhau có nhiệm vụ thiềt kê và tỉnh tốn các cơng trình cũng như các máy móc, các
cơ câu và chỉ tiềt cụ thể. Tôi cả các chuyên ngành kỹ thuật này đếu đặt cơ sở trên các định

luật và phương pháp của cơ học ly. thuyềt.
Trong cơ: học, chuyển động được
vị trí tương đỗi của các vật thé trong
các vật là sự tương tác mà kêt quả
hoặc hình dáng của các vật (sự biên

bọc của các vật gọi là lực.

xem là chuyên động cơ học, tức là sự thay déi
không gian theo thời gian. Tác động cơ học giữa
thể hiện ở sự' thay đổi trạng thải chuyến động
dạng). Đại lượng dịnh lượng sự tương tác cơ

Nhiệm vụ chính của cơ học lý thuyêt là nghiên cứu các quy luật tổng quát của
chuyển động và cán bằng của các vật thê dưới tác dụng của lực đặt lên chúng.
Theo tỉnh chất của bài toản, người ta phân cơ học lý thuyêt thành tĩnh học, động

học và động lực học. Trong tĩnh học nghiên cứu các lực và điểu kiện cân bằng của
các vật thê dưới tác dụng của lực. T rong động học nghiên cứu các tính chât hình học
tơng quát của chuyến động, còn trong động lực học sẽ nghiên cứu các quy luật chuyên

động của các vật thê dưới tác dụng của lực. .


16

MỞ

ĐẦU

Theo tính chât của đỗi tượng nghiên cứu, người ta phân cơ bọc lý thuyềt thành :
a) cơ học chất điểm (vật điểm) và cơ học hệ chất điểm, trong đó chất điểm được xem
như một vật thể có kích thước không đáng kẻ khi nghiên cứu chuyển động (hay cân

bằng) của nó ; b) cơ học vật rắn là các vật thê có biền dạng khơng đáng kẻ khi nghiên

- cứu
vật
thay
lỏng

chuyển động
thể mà khôi
đổi, d) cơ
(thủy động

hoặc cân bằng ; c) cơ
lượng của nó thay đổi
học các vật biền dạng
lực học) và e) cơ bọc

học
theo
(lý
chat

các vật thể có khơi lượng biền đổi (các
thời gian do thành phần cầu tạo của nó
thuyềt đàn hổi và đẻo); đ) cơ hoc chat
khí (khí động lực bọc).

Trong giáo trình cơ học lý thuyềt thường chỉ nghiên cứu cơ học chât điểm và vật

rắn và những quy luật tổng quát về chuyển động của hệ chât điểm.

Cơ học lÿ thuyêt là một môn khoa học tự nhiên dựa trên những định luật rút ra
từ kinh nghiệm đã tích lũy được về một lớp các hiện tượng thiên nhiên có liên quan

tới chuyển động của các vật thể. Bởi vậy, vai trò và ý nghĩa của cơ học lý thuyềt khơng
những chỉ ở chỗ nó là cơ sở khoa học của nhiêu ngành kỹ thuật hiện đại, mà cịn ở
chỗ có thể dùng các định luật và phương pháp cơ học đẻ nghiên cứu và giải thích nhiều
hiện tượng quan trọng trong thê giới xung quanh ta, góp phần thúc dẫy sự' phát triển
của tồn bộ kiên thức về tự nhiên cũng như' xây dựng thê giới quan. duy vật dúng dắn.

Cơ học ) đã xuât hiện và phát triển cùng với lịch sử: phát triển của các lực lượng

sản xuât xã hội, có quan bệ chặt chẽ với trình độ sản xuât và kỹ thuật trong mỗi giai

đoạn phát triển.

Ở thời cỗ đại, yêu cầu của sản xuât cơ bản là nhằm thỏa mãn cho nh cẩu xây

dựng

cơng trình, nên mới phát triển lý thuyềt về các máy đơn giản (như rong roc,

đôn bẩy, tời, mặt phẳng nghiêng) và về sự: cân bằng của các vật (tĩnh học). Cơ sở: của

tĩnh học đã được trình bày trong các cơng trình của nhà bác học vĩ đại thời cổ đại
Acsimet (287— 212 trước công nguyên).
Động lực học thì mãi về sau này mới được phát triển. Sự' xuất hiện và phát triển

các quan hệ tư bản chủ nghĩa ở các nước Tây Âu và Trung Au trong cdc thé ky 15
— ló đã thúc đẩy các ngành thủ công nghiệp, thương nghiệp, hàng hải và kỹ thuật
quân sự phát triển mạnh (như: đã xuất hiện súng), cũng như: thúc đây những phát kiền
quan trọng trong thiên văn học. Tât cả những cải đó đã tạo điều kiện tích lũy, hệ thơng

hóa và tổng hợp các kiên thức thực tề và dẫn đền
động lực học vào thê kỷ 17. Những người có cơng
là các nhà bác học thiên tài Galilêơ Galilê (1564
1727). Trong cơng trình « Cor sé tốn học của triêt

những phát mình các định luật của
xây dựng cơ sở cho động lực học
— 1642) và lxắc Niuton (1643 —
học tự: nhiên » xuât bản ndm 1687,

Nhươn đã trình bày một cách có hệ thơng những định luật cơ bản của cơ học cỗ điển
(các định luật Niutơn). Các định luật này đã được tiềp tục kiểm nghiệm trong thực

1) Danh tw «co hoc » lần đầu xt hiện trong cơng trình của nhà triềt học cổ đại vĩ đại
Aristôten (384 — 322 trước công nguyên). Nó bắt nguồn ti chir Hy lap pyyovy, ma ngày

nay có nghĩa là (cơng trình »,

(máy móc », « phat minh ».


Sty

Ma
té va đã được gấu

MỞ ĐẦU

17

hoại động thực tiễn của sản xuât xã hội của loài người khẳng

định. Điều này cho phép chúng ta khẳng định những kiên thức cơ học xây dựng trên
cơ sở: các định luật Nhơn là những kiên thức đúng đắn mà các kỹ sư có thể mạnh

dạn sử dụng trong hoạt động thực tiễn của minh ').

Trong thê kỷ 18, các phương pháp giải tích trong cơœ học bắt đầu phát triển mạnh
mẽ. Các phương pháp này dựa trên cơ sở các phép tính vị phân và tích phân. Nhà
tốn học và cơ học vĩ dại L. le (1707 —— 1783) đã vạch ra các phương pháp giải

các bài toán động lực học điểm và vật rắn bằng cách thiệt lập và tích phân các phương
trình vi phân chuyển động.

Trong sơ những cơng trình nghiên cứu khác

về lĩnh vực

này, thì các cơng trình của hai nhà bác học lỗi lạc Pháp có giá trị hơn cả đổi với sự
phát triển của cơ học : D. Đalămbe (1717 — 1783) đã dé xuÃt nguyên lý cơ học mới
và Œ. Lagrðng (1736 — 1813) đã đê ra phương pháp giải tích tổng quát trong động
lực học dựa trên nguyên lý Đalămbe và nguyên lý độ dời khả dĩ. Ngày nay phương

pháp giải tích là phương pháp cơ bản trong động lực học.

Động học là phần cơ học mới được tách riêng vào nửa đầu thê kỷ 19 do yêu cầu
của ngành chê tạo máy dang phat triển. Hiện nay động học đã có vai trị độc lập tương
xứng trong công tác nghiên cứu chuyển động của các cơ chu va may móc.

Các cơng trình của nhà bác học, nhà tự tưởng thiên tài M. V. Lômônôxôp (1711
— 1765) và các tác phẩm của L. Ơle là người đã sơng và làm việc nhiều năm ở
Pêtecbua đã có ảnh hướng lớn dên sự phát triển cơ bọc đầu tiên ở' nước Nga. Trong
sô các nhà bác học của Nga có cơng phát triển các lĩnh vực cơ học lý thut, trước

hềt phải kế đền M. V. Ơstrơgratxki (1801 — 1861) có nhiêu cơng trình nghiên cứu

quan trọng về phương pháp gidi tich trong co hoc; P. L. Tsébwsep (1821 — 1894)
đã dé ra phương hướng mới trong việc nghiên cứu chuyển động của các cơ cu ;

X. V. Côvalepxkaia (1850 — 1891) giải một trong số các bài tốn khó nhật của động

lực học vật rắn; A. M. Liapunôp (1857 — 1918) dé ra các phương pháp mới nghiên
cứu tinh én dinh cia chuyén déng ; I. V. Méserxki (1859 — 1935) đặt nên móng cho

cơ học các vật thé cd khéi lweng bién déi; K. E. Xiéncépxki (1857 — 1935) 06 nhiéu

phat minh co bản về lý thuyêt chuyển động phản lực; A. N. Crưlôp (1863 — 1945)
để ra lý thuyêt tàu thủy và phát triển lý thut về các thiềt bị gyrưscơp (con quay).
Những

cơng

trình của ( Người

khai sinh ngành

hàng không

Ngo»

N. E Giu-

côpxki (1847 —- 1921) và của học trị gần gũi của ơng là XY. A. Tsaplwgyn (1869 —

1942) đã có tác dụng to lớn đơi với sự phát triển sau này của cơ học, Đặc điểm sáng

1) Những phát minh khoa học về sau cho biêt, chuyển động của các vật có vận tơc gần
bằng töc độ ánh sáng, tuân theo quy luật cơ học của lý thuyêt tương đồi, còn chuyển động
của các hạt vi mơ (hạt điện tử, ...) thì theo các định luật cơ học lượng tử. Các phát minh

này chỉ làm sáng tỏ thêm phạm vi ứng dụng của cơ học cổ điển và khẳng định một lần nữa
sự đúng đắn của các định luật cơ học cổ điển đồi với các chuyển động của các vật không

phải là vi mô và có vận tưc khơng gần bằng vận tơc ánh sáng. Đây là các chuyển động đã

và đang có ý nghĩa thực tiễn to lớn trong k

2—7äI

g cơ học thiên thể,
ee

a

i

%


18

MỞ

ĐẦU

tạo của Giucôpxki là ứng dụng các phương pháp cơ học để giải quyềt các nhiệm vụ

kỹ thuật cấp thiêi. Những ý kiên của Giucơpxki đã có ảnh hưởng lớn cả trong việc
giảng dạy cơ hoc ly thuyét & các trường dại học kỹ thuật của Liên xô.
Ngày nay, khoa học và kỹ thuật phải gúp phần vào việc phái triển và bồn thiện

khơng ngừng nên sản xt xã hội chủ nghĩa và áp dụng kỹ thuật mới vào sản xit.

Mn vậy địi hỏi phải tiềp tục nâng cao chỗit lượng dào tao can bộ kỹ thuật và mổ:

rộng thêm cơ sở lý thuyềt trong kiền thức của họ. Một trong những nội dụng và
phương pháp dễ giải quyề! nhiệm vụ này là nghiên cứu có' học lÿ thuyềt — một trong

. những cơ sở khoa học của nên kỹ thuật hiện dại.

-


PHAN

THỨ

TINH HOC

NHẤT

ly

VAT RAN

CHƯƠNG

ï

NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC
§ 1. Đồi tượng của tĩnh học. 7ï học là phần cơ học trình bày lý

_ thut tơng quát về các lực và nghiên cứu các điều kiện cân bằng của các

vật thể dưới tác dụng của lực.

Cân bằng được hiểu là trạng thái đứng yên của vật thể này đơi với

các vật thể khác. Nều có thể bỏ qua được chuyển động của vật thể dùng

làm vật chuẩn để xét cân bằng thì cân bằng được quy ước gọi là cân bằng
tuyệt đơi, cịn

trong trường

hợp

ngược

lại ta có cân

bằng

tương

đôi.

Trong tĩnh học chỉ khảo sát các trường hợp cân bằng tuyệt đơi của vật

thể. Trong thực tê tính tốn kỹ thuật, ta có th xem cân bằng đơi với trải

đầt hoặc đôi với các vật trên trái đầt là can bằng tuyệt đổi. Trong phần
động lực học ta sẽ chứng minh sự đúng đắn của điều khẳng định này, ở
đầy ta sẽ có khải niệm chặt chẽ hơn về cân bằng tuyệt đôi, đồng thời cũng

khảo sát cả bài tốn về cân bằng tương đơi của các vật.

Điều kiện cân bằng của vật thể chủ yêu phụ thuộc vào việc chúng là
vật rắn, chât lỏng hay chât khí. Cân bằng của chât lỏng và chât khi là đôi
tượng

nghiên cứu trong các giáo trình thủy và khí tĩnh lực học. Trong

cơ học lý thuyêt thường chỉ xét các bài toán về cân bằng của các vật rắn.
Tât cả các vật rắn trong tự nhiên đều ít nhiều bị biên dạng khi chịu
các tác động bên ngoài. Độ biên dạng của chúng phụ thuộc vào vật liệu,
vào hình dáng và kích thước của các vật và vào lực tác dụng. Do đó để
tạo độ bền cho các cơng trình kỹ thuật, người ta phải chọn vật liệu va

kích thước cho các chỉ tiềt sao cho
bị lực tác dụng 1). Do đó, khi nghiên
có thê bỏ qua các biên dạng nhỏ của
vật thê khơng biên dạng hay vật rắn

) Thí dụ, người

độ biên dạng của chúng khá nhỏ khi
cứu điều kiện cân bằng, ta hồn tồn :
các vật rắn đó, xem chúng như những
tuyệt đôi. Vậy vật rắn tuyệt đổi là vật

ta chọn vật liệu và kích thước

các thanh trong kêt: cầu, sao cho khi

chịu lực độ đân hoặc độ co không được lớn hơn một phẩn nghìn chiều dài ban đầu. Đôi
với các biên dang uôn vả xoăn v.v... cũng quy định độ cho phép tương tự.

ye


20

NHỮNG

KHÁI

NIỆM

VÀ TIỀN ĐỀ CƠ

BẢN CỦA

TĨNH

HỌC

Ch. 1

mả khoảng cách giữa hai điểm bãt kỳ nào đó của nó ln ln khơng đổi.

Sau này, khi giải các bài toán tĩnh học, ta sẽ coi tât cả các vật là vật rắn
tuyệt đôi mà nhiều khi để nói gọn ta chỉ gọi chúng là vậtrán '). Chẳng hạn

& cudi

§3, ta có thế áp dụng điểu kiện cân bằng đôi với vật rắn tuyệt đơi

cho cả các vật thể ít biên dạng và bât kế các vật thể biên hình nào. Như
vậy, lĩnh vực ứng dụng thực tê của tĩnh học vật rắn khá rộng rãi.

Khi tính tốn độ bền của các chỉ tiêt cơng trình hoặc máy móc, chúng

ta phải tính đền sự bién dang cia cdc vật. Những vần để này được đề
cập tới trong các giáo trình sức bền vật liệu và lý thuyêt đàn hồi.

Để vật rắn được cân bằng (hay đứng yên) khi chịu lực, thì các lực

phải thỏa mãn các điểu kiện nhât định về cân bằng hệ lực. Tìm ra các điều
kiện nảy là một trong những nhiệm vụ cơ bản của tĩnh học. Nhưng để tìm
ra các điều kiện cân bằng của hệ lực cũng như để giải các bài toán cơ học,
ta cần biêt cộng các lực tác dụng lên vật thể, biêt thay thê hệ lực này bằng
hệ lực khác, biêt đưa hệ lực khảo sát về dạng đơn giản nhât. Bởi vậy trong
tĩnh học vật rắn, cẩn phải xét hai vân để cơ bản sau đây: 1) hợp lực và
đưa các lực tác dụng lén vật rắn về dạng tôi giản ; 2) xác định điều kiện
cân bằng của các hệ lực tác dụng lên vật rắn
Ta có thể giải bài tốn tĩnh học bằng cách xây dựng các đồ thị (phương
pháp hình học hay đồ thị) hoặc bằng các phép tính bằng sư (phương pháp
giải tích). Trong

giáo trình nảy sẽ trình bây cả hai phương

pháp

nảy,

nhưng cần chú ý rằng phương pháp đổ thị bao giờ cũng đóng vai trị đặc
biệt trong việc giải các bài tốn cơ học.

§ 2. Lực. Trạng thái cân bằng hay chuyên động của vật thể khảo

sát phụ thuộc
vật thể khác,
phải chịu khi
tương tác cơ

vào tính chât tương
tức là phụ thuộc vào
có tương tác. Trong
học giữa các vật thể

tác cơ học giữa vật thể này với các
áp lực, sức hút hoặc sức đẩy mà vật
cơ học, đại lượng định lượng cho sự
gọi là lực.

Ta có thể phân các đại lượng khảo sát trong cơ học thành các đại
lượng vơ hướng (hồn tồn xác định được bằng trị sỐ) và đại lượng vectơ
(các đại lượng ngồi trị sơ cịn có cả chiều trong khơng gian).
Lực là đại lượng vectơ. Tác đụng của lực lên vật thể được xác định

bởi: 1) tri sé hay médun cha he, 2) hướng của lực, 3) điểm đặt lực.

Có thể xác định trị sơ của lực bằng cách so sánh lực này với một lực
được dùng làm đơn vị. Trong cơ học người ta lây đơn vị lực là {| Niutơn

(1M) hay 1 kilôgam lực (1k G), trong dod 1kG = 9,81 N (xem cu thé trong
1) Cũng cịn gọi là cơ thể (N.D.).