Xác định hệ số của hàm số nhất biến khi biết bảng biến thiên (Chuyên đề Toán học lớp 12)

NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

XÁC ĐỊNH HỆ SỐ CỦA HÀM SỐ NHẤT BIẾN
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hàm số f  x  

ax  1
bx  c

 a , b, c   

có bảng biến thiên

như sau:

Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương?
A. 2.

B. 3.
C. 1.
Phân tích hướng dẫn giải

D. 0.

1. DẠNG TỐN: Đây là bài tốn ở dạng vận dụng: Từ bảng biến thiên xác định dấu các hệ số a, b và c
ax  1
của hàm số f  x  
.
bx  c

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
ax  b
Cho hàm số f  x  
cx  d
Đồ thị hàm số f  x  

ax  b
d
có tiệm cận đứng là đường thẳng x   .
cx  d
c

Đồ thị hàm số f  x  

ax  b
a
có tiệm cận ngang là đường thẳng y  .
cx  d
c

Đạo hàm của hàm số f  x  

ax  b
ad  bc
là f '  x  
.
2
cx  d
 cx  d 

3. HƯỚNG GIẢI:

ax  1
chỉ ra phương trình đường thẳng của tiệm cận đứng, tiệm
bx  c
cận ngang và cơng thức tính đạo hàm của nó.
B1: Từ cơng thức của hàm số f  x  

B2: Từ bảng biến thiên chỉ ra tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và chiều biến thiên của
hàm số đó.
B3: Thay các dữ kiện ở bước 1 vào bước 2 ta sẽ xác định được dấu của các hệ số a, b và c.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C

LINK NHÓM: />
Trang1


NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

Đồ thị hàm số f  x  
là đường thẳng y 

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

ax  1
c
có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x   và đường tiệm cận ngang
bx  c

b

a
.
b

 c
 b  2
c
 a  b   (1)
Từ bảng biến thiên ta có: 
2
a 1
 b
ac  b
Mặt khác: f '  x  
.
2
 bx  c 
Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  2;   nên
f ' x 

ac  b

 bx  c 

2

 0  ac  b  0 (2)

c2 c
  0  c 2  c  0  0  c  1 .
2 2
Suy ra c là số dương và a, b là số âm.
Thay (1) vào (2), ta được: 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 1
Câu 1.

Cho hàm số f  x  

ax  m 2  4
bx  c
x 

3



+

f  x
f  x

 a, b, c, m    có bảng biến thiên như sau:
+


1

1


Trong các số a , b và c có bao nhiêu số dương?
A. 2.

B. 3.

C. 1.
Lời giải

D. 0.

Chọn C
c
Tiệm cận đứng: x  3  0    0  bc  0 .
b
a
Tiệm cận ngang: y  1  0   0  ab  0 .
b

Câu 2.

m2  4
 0 a0 b0
Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x  3  0  
a
 c  0.
ax  9
Cho hàm số f  x  

 a, b, c    có bảng biến thiên như sau:
bx  c

LINK NHÓM: />
Trang2


NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

x



2



f  x
f  x

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

–

–

3



3



Trong các số a , b và c có bao nhiêu số dương?
A. 2.

B. 3.

C. 1.
Lời giải

D. 0.

Chọn B
c
Tiệm cận đứng: x  2  0    0  bc  0 .
b
a
Tiệm cận ngang: y  3  0   0  ab  0 .
b

Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x  2  0  

9
 0 a 0 b 0
a

 c  0.
Câu 3.

ax  b
 a, b, c, d  , a  0  có bảng biến thiên như sau:
cx  d
x


1

Cho hàm số f  x  

f  x
f  x

Câu 4.

–

–



2


2

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
A. b  0 , c  0 , d  0 .
B. b  0 , c  0 , d  0 .

C. b  0 , c  0 , d  0 .
D. b  0 , c  0 , d  0 .
Lời giải
Chọn A
a
Tiệm cận ngang: y  2  0   0 , mà a  0  c  0 .
c
d
d
Tiệm cận đứng: x  1  0    0   0 , mà c  0  d  0 .
c
c
b
b
Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x  1  0    0   0  b  0 .
a
a
ax  b
Cho hàm số f  x  
 a, b, c, d  , a  0 có bảng biến thiên như sau:
cx  d

LINK NHÓM: />
Trang3


NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

x

Câu 5.



1



+

f  x
f  x

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

+


2

2


Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
A. b  0 , c  0 , d  0 .
B. b  0 , c  0 , d  0 .
C. b  0 , c  0 , d  0 .
D. b  0 , c  0 , d  0 .
Lời giải
Chọn D

a
Tiệm cận ngang: y  2  0   0 , mà a  0  c  0 .
c
d
d
Tiệm cận đứng: x  1  0    0   0 , mà c  0  d  0 .
c
c
b
b
Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x  1  0    0   0  b  0 .
a
a
ax  2
Cho hàm số f  x  
 a, b, c, m    có bảng biến thiên như sau:
bx  c
x 

1
+

f  x
f  x

+


1

1


Trong các số a , b và c có bao nhiêu số dương?
A. 2.

B. 3.

C. 1.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
c
Tiệm cận đứng: x  1  0    0  bc  0 .
b
a
Tiệm cận ngang: y  1  0   0  ab  0 .
b

Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x  1  0 

2
 0 a 0 b 0
a

 c  0.
Câu 6.

Cho hàm số f  x  

ax  2020
 a, b, c    có bảng biến thiên như sau:
bx  c

LINK NHÓM: />
Trang4


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

x





4

y
y

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

+



+



1
3





1
3

Kết quả nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0.

B. a  0, b  0, c  0.

C. a  0, b  0, c  0.

D. a  0, b  0, c  0.
Lời giải

Chọn B

c
+ Tiệm cận đứng: x  4  0    0  bc  0
b
1
a
+ Tiệm cận ngang: y    0   0  ab  0

3
b
+ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm x  4  x  0  
Câu 7.

2020
0 a 0b 0c 0.
a

Cho hàm số y  ax4  bx2  c a  0 có bảng biến thiên dưới đây:

Tính P  a  2b  3c.
A. P  3.
B. P  6 .

C. P  2 .
Lời giải

D. P  2 .

Chọn C
x  0
Ta có y  4ax  2bx  2 x(2ax  b) , y   0   2
.
x   b
2a

3

2

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy a  0 ; b  0 , hàm đạt cực đại tại x   1 và y  1  2 , hàm
 b
 2a  1
a  1


đạt cực tiểu tại x  0 và y  0   1 . Suy ra, a  b  c  2  b  2 .
c  1
c  1



Do đó: P  a  2b  3c   2 .

Câu 8.

Cho đồ thị hàm số f  x   ax 4  bx 2  c như hình vẽ.

LINK NHĨM: />
Trang5


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

x
y





TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

1
0

0
0
3







1
0





y

0

0

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0 .

B. a  0, b  0, c  0 .

C. a  0, b  0, c  0 .

D. a  0, b  0, c  0 .
Lời giải

Chọn A
Ta có: lim y   nên a  0 .
x  

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm  0;3 do đó c  3  0 .
Câu 9.

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên: ab  0  b  0 .
Cho hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d  a, b, c, d  , a  0, d  0  có bảng biến thiên như sau:

Trong các số a , b và c có bao nhiêu số dương?
A. 2.

B. 3.

C. 1.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
Từ dạng đồ thị suy ra a  0 .
Ta có y   3ax 2  2bx  c
Vì hàm số có 2 cực trị nên y   0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .


2b
 x1  x2  

3a
Nên theo cơng thức Vi-ét ta có: 
.

c
 x1.x2 
3a

 2b
  0
b  0
3a
 
Dựa vào hoành độ 2 điểm cực trị ta có: 
.

 c
c  0
  0
 3a
Câu 10. Cho hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d  a, b, c, d  , a  0  có bảng biến thiên như sau:

LINK NHĨM: />
Trang6


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Trong các số a , b và c có bao nhiêu số âm?
A. 2.

B. 3.

C. 1.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
Từ dạng đồ thị suy ra a  0 .
x  0  y  d  1  d  0 .
Ta có y   3ax 2  2bx  c
Vì hàm số có 2 cực trị nên y   0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .


2b
 x1  x2  

3a

Nên theo công thức Vi-ét ta có: 
.

c
 x1.x2 
3a

 2b
  0
b  0
 3a
 
Dựa vào hoành độ 2 điểm cực trị ta có: 
.
 c
c  0
  0
 3a
Câu 11. Cho hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d  a, b, c, d  , a  0  có bảng biến thiên như sau:

Trong các số a , b và c có bao nhiêu số dương?
A. 2.

B. 3.

C. 1.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
Từ dạng đồ thị suy ra a  0 .
x0 yd 0.
Ta có y   3ax 2  2bx  c
Vì hàm số có 2 cực trị nên y   0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .


2b
 x1  x2  
3a
Nên theo công thức Vi-ét ta có: 
.


c
 x1.x2 
3a


LINK NHĨM: />
Trang7


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

 2b
  0
b  0

 3a
 
Dựa vào hồnh độ 2 điểm cực trị ta có: 
.
 c
c  0


  0
 3a
Câu 12. Cho hàm số y 

ax  b
có đồ thị như hình vẽ bên.
xc

y

O

x

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. a  0, b  0, c  0 .

B. a  0, b  0, c  0 .

C. a  0, b  0, c  0 .

D. a  0, b  0, c  0 .

Lời giải
Chọn D
 Từ hàm số y 

ax  b
suy ra:
xc

+ Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng có phương trình x  c .
+ Tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng có phương trình y  a .
 b 
+ Giao điểm với trục hoành là A   ; 0  , a  0 .
 a 
b

+ Giao điểm với trục tung là B  0;   , c  0 .
c


 Từ đồ thị hàm số ta có:
+ Đường tiệm cận đứng nằm bên trái Oy nên c  0 .
+ Đường tiệm cận ngang nằm trên Ox nên a  0 .
+ Giao điểm với trục Ox có hồnh độ dương nên 

b
 0 . Vì a  0 nên b  0 .
a

ax  1

 a, d  , ad  1  0  có đồ thị như hình bên.
xd
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a  0
a  0
A. 
B. 
d  0
d  0

Câu 13. Cho hàm số y 

a  0
C. 
d  0

a  0
D. 
d  0

Lời giải
Chọn A
LINK NHÓM: />
Trang8


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

+ Phương trình tiệm cận đứng: x  d . Dựa vào đồ thị ta có d  0  d  0
+ Phương trình tiệm cận ngang: y  a . Dựa vào đồ thị ta có a  0
Câu 14. Cho hàm số y  f  x   ax3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ ở bên. Mệnh đề nào
sau đây đúng?

A. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
C. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .

B. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
D. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
Lời giải

Chọn C
Ta có y  3ax 2  2bx  c
Dựa vào đồ thị ta thấy nhánh cuối cùng bên phải hướng lên trên suy ra a  0 .
Đồ thị cắt trục tung tại điểm x  1  d  1  0 .
Hàm số có 2 điểm cực trị x1  1  0 , x2  3  0  x1  x2  0  
x1 x2  0 

2b
 0  b  0.
3a

c
0  c  0.
3a

Vậy a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
Câu 15. Đồ thị hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. a  0; b  0; c  0; d  0 .

B. a  0; b  0; c  0; d  0 .

C. a  0; b  0; c  0; d  0 .

D. a  0; b  0; c  0; d  0 .

LINK NHÓM: />
Trang9


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Lời giải
Chọn A
Có a  0 do điểm cuối đồ thị có hướng đi xuống.

d  0 do giao điểm của đồ thị với Oy nằm phía trên Ox .
Đồ thị có 2 cực trị trái dấu nên 3a.c  0  c  0 .
Hoành độ điểm uốn dương nên 

b
 0b  0.
3a

Câu 16. Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c  a, b, c    có đồ thị như hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a  0; b  0; c  0.

B. a  0; b  0; c  0.

C. a  0; b  0; c  0.

D. a  0; b  0; c  0.

Lời giải
Chọn D
+ Dựa vào dạng đồ thị ta thấy: a  0 .
+ Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên: ab  0  b  0 .
+ Với x  0 ta có: y  0   c  0 .
Câu 17. Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c  a, b, c    có đồ thị như hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a  0; b  0; c  0.

B. a  0; b  0; c  0.

C. a  0; b  0; c  0.

D. a  0; b  0; c  0.

Lời giải
Chọn B
+ Dựa vào dạng đồ thị ta thấy: a  0 .
+ Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên: ab  0  b  0 .
+ Với x  0 ta có: y  0   c  0 .

Câu 18. Cho hàm số f  x   ax 4  bx 2  c với a  0 có đồ thị như hình vẽ:

LINK NHÓM: />
Trang10


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. a  0 ; b  0 ; c  0 .
C. a  0 ; b  0 ; c  0 .

B. a  0 ; b  0 ; c  0 .
D. a  0 ; b  0 ; c  0 .
Lời giải

Chọn A
Ta có nhánh bên phải đồ thị đi xuống, suy ra a  0 .
Mặt khác do đồ thị có ba cực trị suy ra ab  0 mà a  0  b  0 .
Mà giao điểm của đồ thị với trục Oy tại điểm có tung độ y  c  0 .
Vậy chọn đáp án A
Câu 19. Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?

A. a  0, b  0, c  0, d  0 .

B. a  0, b  0, c  0, d  0 .

C. a  0, b  0, c  0, d  0 .

D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Lời giải

Chọn A
Do nhánh cuối của đồ thị đi lên nên ta có a  0 .
Ta có y  3ax 2  2bx  c . Do cực tiểu của hàm số thuộc trục tung và có giá trị âm nên d  0
và x  0 là nghiệm của phương trình y  0  c  0 .
x  0
2b
Lại có 3ax  2bx  0 

 0  a  0, b  0 .
2
b
x  
3a
3a

2

LINK NHÓM: />
Trang11


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Câu 20. Cho hàm số bậc ba f  x   x3  bx 2  cx  d . Biết đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ.
Giá trị của

c
là:
b
y

x
O

1

1

3

2

1
A.  .
3

B.

3
.
4

2

C.

1
.
3

3
D.  .
4

Lời giải
Chọn D
Tập xác định D   .
Đạo hàm cấp 1 f   x   3ax 2  2bx  c
Dựa vào đồ thị của hàm số y  f   x  ta có bảng thiên của hàm số f  x 

 1  3a
 3  27 a
Ta có f    
 b  c và f    
 3b  c .
4
2 4
2

3a  4b  4c  0
27a  36b  36c  0

Dựa vào bảng biến thiên ta có 

.
27a  12b  4c  0 27a  12b  4c  0
 24b  32c  0 

Vậy

c
3
 .
b
4

c
3
 .
b
4

LINK NHÓM: />
Trang12


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 2
 Mức độ 3
Câu 21. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f  ( x) , biết rằng đồ thị của hàm số f  ( x) như hình vẽ. Biết

f (a)  0 , hỏi đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 1

Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số f  ( x) , ta có bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) như sau:

Vì f (a)  0 nên ta xét các trường hợp sau:
・ Nếu f  c   0 thì tồn bộ đồ thị hàm số nằm ở phía trên trục hồnh, do đó đồ thị hàm số
khơng cắt trục hồnh.
・ Nếu f (c)  0 thì đồ thị hàm số và trục hồnh có một điểm chung duy nhất
・ Nếu f (c)  0 thì đồ thị hàm số và trục hồnh có hai điểm chung
Vây đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hoành nhiều nhất tại hai điểm.
Câu 22. Cho hàm số y  f ( x ) 

ax  b
có đồ thị hàm số f   x  như trong hình vẽ dưới đây:
cx  d

LINK NHÓM: />
Trang13

NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Biết rằng đồ thị hàm số f ( x ) đi qua điểm A  0; 4  . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. f 1  2 .

B. f  2  

11
.
2

C. f 1 

7
.
2

D. f  2   6 .

Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm số f ( x ) đi qua A  0; 4  nên b  4d 1 .
Ta có: f   x  

ad  bc

 cx  d 

2

.

d
 1  c  d  2  .
c
ad  bc
Đồ thị hàm số f   x  đi qua (0; 3) nên
 3  ad  bc  3d 2  3  .
d2

Căn cứ theo đồ thị hàm số f   x  ta có 

Thay 1 ,  2  vào  3  ta được ad  4 d 2  3d 2  a  7d

 d  0  vì nếu d  0

thì a  b  c

 d  0 (vơ lí ).
7 dx  4 d 7 x  4
Do đó f  x  
.

dx  d
x 1
Vậy f  2   6 .
Câu 23. Cho hàm số y  f  x  

ax  b a b c d   c  0 d  0
,( , , ,
,
,
) có đồ thị  C  . Đồ thị của hàm
cx  d

số y  f   x  như hình vẽ dưới đây. Biết  C  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . Tiếp
tuyến của  C  tại giao điểm của  C  với trục hồnh có phương trình là
y
-2

-1
O

1

-3

A. x  3 y  2  0 .

B. x  3 y  2  0 .

C. x  3 y  2  0 .

D. x  3 y  2  0 .

Lời giải
Chọn B
LINK NHÓM: />

Trang14


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA
2

 ad  bc  .
ax  b
Xét hàm số y  f  x  
có f   x  
2
cx  d
 cx  d 
b
 2  b  2d
d
d
. Từ đồ thị y  f   x  nhận đường thẳng x  1 làm tiệm cận đứng nên   1  d  c
c

Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên f  0   2 

 f  x 

ad  2d 2

 dx  d 

2



a  2d
d  x  1

2

.

Mặt khác ta lại có đồ thị y  f   x  đi qua điểm

 2; 3

nên f   2   3 

a  2d
 3
d

 a  d .
Vậy f  x  

 dx  2d  x  2
.

dx  d
x 1

1
Đồ thị  C  cắt trục Ox tại điểm  2;0  và f   2    .
3

Vậy phương trình tiếp tuyến của  C  tại giao điểm của  C  và trục Ox là y  

1
 x  2
3

 x  3y  2  0 .

Câu 24. Xác định a , b , c để hàm số y 

ax  1
có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?
bx  c

A. a  2, b  1, c  1.

B. a  2, b  1, c  1.

C. a  2, b  2, c  1.

D. a  2, b  1, c  1.
Lời giải

Chọn A
Nhận xét: đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x 
 b

 c 1

a
Dựa vào đồ thị ta có   2

b
ax  1

 M  0;1   C  : y  bx  c


Câu 25. Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số y 

b
a
và tiệm cận ngang y  .
c
b


b  c  0

 a  2b 
 1
1 
c


b  c  0


 a  2b 
c  1


a  2b  2

b  c  1 .
c  1


ax  2
với a , b , c là các số thực.
cx  b

LINK NHÓM: />
Trang15


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  1 ; b  2 ; c  1 . B. a  1 ; b  2 ; c  1 . C. a  1 ; b  1 ; c  1 . D. a  2 ; b  2 ; c  1 .
Lời giải:
Chọn A
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có tọa độ  2;0 nên ta có:

2a  2
 0  a  1 . Vậy loại D

2c  b
a
 1  c  a  1 . Vậy loại C
c
b
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x  2    2  b  2c  2 .
c
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng y  1 

3
2
Câu 26. Cho hàm số y  ax  bx  cx  d có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Mệnh đề nào

sau đây đúng?
y

O

A. a  0 , c  0 , d  0 .
C. a  0 , c  0 , d  0 .

x

B. a  0 , c  0 , d  0 .
D. a  0 , c  0 , d  0 .
Lời giải:

Chọn B
Dựa vào hình dạng đồ thị: đồ thị hàm bậc ba có hệ số a  0 , đồ thị cắt trục tung tại điểm có
tung độ dương nên d  0 .

2

Ta có: y  3ax  2bx  c . Đồ thị có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung nên
y   0 có 2 nghiệm dương phân biệt.
LINK NHĨM: />
Trang16


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

a  0
b 2  3ac  0
a  0

b 2  3ac  0


Suy ra   2b  0

.
b

0
3
a


c

c  0
 0
 3a
Câu 27. Cho hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Tính tổng S  a  b  c  d .
A. S  4 .
B. S  2 .

C. S  0 .

D. S  6 .

Lời giải:
Chọn C
Ta có f   x   3ax 2  2bx  c . Hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d liên tục trên  ; đồ thị hàm
số có hai điểm cực trị là  2; 2  và  0; 2 
 f  2   2
8a  4b  2c  d  2
a  1


b  3
12a  4b  c  0

 f   2  0


 S  0.


d  2
c  0
 f 0  2
c  0
 d  2
f 0 0
  
3
2
Câu 28. Cho hàm số y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0 .

B. a  0, b  0, c  0, d  0 .

C. a  0, b  0, c  0, d  0 .

D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Lời giải:

Chọn A
LINK NHÓM: />
Trang17


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

y  ax3  bx2  cx  d  y  3ax2  2bx  c .
 x1  0  x2
Từ đồ thị ta có: hàm số có hai điểm cực trị 
, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ
 x1  x2
âm và lim y   .
x 

a  0
d  0
a  0

d  0


2
b
Suy ra  x1  x2    0  
.
3a

b  0

c
c  0
0
 x1.x2 
3a

Câu 29. Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c ( a  0) và có bảng biến thiên như hình sau:

.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. a  0 và b  0 .
B. a  0 và b  0 .

C. a  0 và b  0 .

D. a  0 và b  0 .

Lời giải:
Chọn C

.
Dựa vào bảng biến thiên  a  0 .
Hàm số có một cực trị  a.b  0  b  0 . Vậy KĐ “ a  0 và b  0 ” là đúng.
4
2
Câu 30. Cho hàm số y  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ sau.

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0 .
B. a  0, b  0, c  0 .

C. a  0, b  0, c  0 . D. a  0, b  0, c  0 .

Lời giải:
Chọn A
LINK NHÓM: />
Trang18

NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

3
Ta có y  4ax  2bx  0 .

Dựa vào đồ thị ta thấy a  0 và y   0 có 3 nghiệm phân biệt nên.

x  0


b
2
với a  0, b  0 loại B và C.
y  0  2 x  2ax  b   0   x 
2a


b
x  
2a

Thay x  0  y  c  0 loại D.

Câu 31. Cho hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d có đạo hàm là hàm số y  f   x  với đồ thị như
hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số y  f  x  tiếp xúc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ
âm. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là bao nhiêu?

A. 4.

C. 4 .

B. 1.

D. 2.

Lời giải
Chọn C

x  0
Nhìn đồ thị ta thấy y   0  
. Do đó, hàm số y  f  x  đạt cực trị tại x  0 và
 x  2
x  2 .
Đồ thị hàm số y  f  x  tiếp xúc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ âm nên suy ra hàm số

y  f  x  đạt cực trị bằng 0 tại điểm có hoành độ âm  f  2   0 . (1)
Mặt khác f   x   3ax 2  2bx  c .
Đồ thị hàm số y  f   x  đi qua các điểm có tọa độ  0;0 ,  2;0  ,  1;  3 . (2)
c  0
a  1
12a  4b  c  0
b  3


 f  x   x 3  3x 2  4 .
Từ (1), (2) lập được hệ phương trình 


3a  2b  c  3
c  0
 8a  4b  2c  d  0
d  4
Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ y  f  0 = - 4 .

LINK NHÓM: />
Trang19


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

ax  1
có tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  2 và đi qua điểm
cx  d
ax  1
A  2; 3 . Lúc đó hàm số y 
là hàm số nào trong bốn hàm số sau:
cx  d
3 2 x  1
2x 1
2 x  1
2x 1
A. y  .
B. y 
.
C. y 

D. y 
.
.
.
5 x 1
1 x
x 1
x 1
Lời giải:
Chọn B

Câu 32. Cho hàm số y 

Đồ thị hàm số y 

a x 1
d
a
có tiệm cận đứng x   , tiệm cận ngang y 
c
c
cxd

a
c  2
 a  2c
a  2c  0
a  2

 d




 d  2c
 2c  d  0
 c  1
Theo đề bài ta có   2
 c



2a  1  6c  3d
2a  6c  3d  1  d  1
 a.2  1
 c.2  d  3

Câu 33. Cho hàm số y 

mx  1
. Các đồ thị nào dưới đây có thể là đồ thị biểu diễn hàm số đã cho? Hãy
xm

chọn đáp án sai?

A. Hình (I) và (III).

B. Hình (III).

C. Hình (I).

D. Hình (II).

Lời giải
Chọn D
Hàm số y 
Ta có y ' 

mx  1
có tập xác định D   \ m .
xm
m2  1

 x  m

2

m  1
2
, y '  0  m 1  0  1  m  1; y '  0  m2  1  0  
. Hình
 m  1

1
(I) có m     1;1 nên y '  0 suy ra hàm số nghịch biến, do đó Hình (I) đúng. Hình (II) có
2
3
m    1 nên y '  0 suy ra hàm số đồng biến, do đó Hình (II) sai. Hình (III) có
2
m  2  1 nên y '  0 suy ra hàm số đồng biến, do đó Hình (III) đúng.

LINK NHĨM: />
Trang20


NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

Câu 34. Hàm số y 

bx  c
xa

 a  0;

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

a, b, c    có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là

đúng?
y

O

x

A. a  0, b  0, c  ab  0.

B. a  0, b  0, c  ab  0.

C. a  0, b  0, c  ab  0.

D. a  0, b  0, c  ab  0.

Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  a  0 ; tiệm cận ngang y  b  0.
Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng xác
định của nó nên y   c  ab2  0, x  a 
 c  ab  0.
x  a
Vậy a  0, b  0, c  ab  0. .
Câu 35. Cho hàm số y  f  x   ax3  bx 2  cx  d  a  0  có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình f  f  x    0 có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 3.

B. 7.

C. 5.

D. 9.

Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị hàm số đã cho trong hình vẽ ta có phương trình f  x   0 có ba nghiệm phân biệt x1 ,

 x  x1
x2 và x3 thuộc khoảng  2; 2  hay f  x   0   x  x2 với x1 , x2 và x3 thuộc khoảng
 x  x3

 2; 2  .

 f  x   t1
t  t1


Đặt t  f  x  ta có f  t   0  t  t2 hay  f  x   t 2 với t1 , t2 và t3 thuộc khoảng  2; 2 

t  t3
 f  x   t3
LINK NHÓM: />
Trang21


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Dựa vào đồ thị ta thấy ba đường thẳng phân biệt y  t1 , y  t2 và y  t3 mỗi đường thẳng luôn
cắt đồ thị hàm số tại ba điểm.
Vậy phương trình f  f  x    0 có 9 nghiệm.
Câu 36. Cho hàm số y  f  x  mx 4  nx 3  px 2  qx  r , trong đó m, n, p, q, r   . Biết hàm số

y  f   x

có

đồ

thị

như

hình

bên

dưới.

Số

nghiệm

của

phương

trình

f  x   16m  8n  4 p  2q  r là

A. 4.

B. 5.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Chọn A
* Dựa vào đồ thị ta có m  0 và

f   x  4m(x  1)(x1)(x 4)  4mx3 16mx 2  4mx  16m.


16
n   m

3

3
2
* Mà f   x  4mx  3nx  2 px  q . Suy ra  p  2m .

q  16m


* Phương trình f  x  16m  8n  4 p  2q  r .
16 3
128
mx  2mx 2  16mx  r  16m 
m  8m  32m  r
3
3

16
8
 m  x 4  x3  2 x 2  16 x    0

3
3

 mx 4 

x  2

.
  3 10 2 26
4
x  x  x   0

3
3
3

Phương trình x 3 

10 2 26
4
x  x   0 có 3 nghiệm phân biệt khác 2 .
3
3
3

Vậy phương trình f  x  16m  8n  4 p  2q  r có 4 nghiệm.
Câu 37. Cho các hàm số

f  x   mx 4  nx3  px 2  qx  r

 m, n, p, q, r, a, b, c, d   

và

g  x   ax3  bx 2  cx  d

thỏa mãn f  0   g  0  . Các hàm số y  f   x  và g   x  có đồ thị

như hình vẽ bên.

LINK NHĨM: />
Trang22


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Tập nghiệm của phương trình f  x   g  x  có số phần tử là
A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Lời giải:
Chọn B
+ Từ đồ thị hàm số y  f   x   m  0 .
+ f  0  g  0  r  d .
+ Ta có f   x   g   x   4mx3  3  n  a  x 2  2  p  b  x  q  c 1 .

Mặt khác từ đồ thị hai hàm số y  f   x  và g   x  ta có f   x   g   x   4m  x  1 x  1 x  2 
hay f   x   g   x   4mx3  8mx 2  4mx  8m  2  .

3  n  a   8m

Từ 1 và  2  ta suy ra 2  p  b   4m .
q  c  8m

+ Phương trình f  x   g  x   mx 4  nx3  px 2  qx  r  ax3  bx 2  cx  d

 mx 4  nx3  px 2  qx  ax3  bx 2  cx
8m 2


x  2mx  8m   0
 x  mx 3   n  a  x 2   p  b  x  q  c   0  x  mx 3 
3


x  0
 3 8 2

.
 mx  x  x  2 x  8   0   3 8 2
 x  x  2x  8  0
3


3


8
Phương trình x3  x 2  2 x  8  0 có đúng một nghiệm thực khác 0.
3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt.

Câu 38. Cho hàm số f ( x)  ax 4  bx3  cx 2  dx  e có đồ thị của hàm số y  f ( x) như hình vẽ bên.
1
Phương trình f ( x)  f   có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
2

LINK NHĨM: />
Trang23


NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

A. 4 .

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

B. 1.

D. 2 .

C. 3 .
Lời giải:

Chọn A
Ta có f ( x)  4ax3  3bx 2  2cx  d là một đa thức bậc ba có đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm
có hồnh độ lần lượt -1;1;2. Vì vậy f ( x)  4ax3  3bx 2  2cx  d  4a( x  1)( x  1)( x  2).

Mặt khác f (0)  2  4a (0  1)(0  1)(0  2)  2  a 

1
.
4

Vậy ta có f ( x)  4ax3  3bx 2  2cx  d  ( x  1)( x  1)( x  2), x

 4ax3  3bx 2  2cx  d  x3  2 x 2  x  2, x
 4a  1
3b  2
1
2
1

1 2 1 

 (a; b; c; d )   ;  ;  ; 2   f ( x)  x 4  x3  x 2  2 x  e
4
3
2
4 3 2 
 2c  1
 d  2
1
2
1
155
1
Khi đó f ( x)  f    x 4  x3  x 2  2 x 

 0  4 nghiệm. Chọn đáp án
4
3
2
192
2

Câu 39. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương  a; b  để hàm số y 

A.

2x  a
có đồ thị trên 1;    như
4x  b

hình vẽ dưới đây?

A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 1 .

Chọn D

LINK NHÓM: />
Trang24

NHĨMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Hàm số không xác định tại điểm x 

b
. Theo đồ thị ta có tiệm cận đứng nhỏ hơn 1 
4

b
 1  b  4 . Do b nguyên dương nên b  1, 2,3 .
4
4a  2b
Ta có y 
. Hàm số nghịch biến nên 4a  2b  0  b  2a . Do a là số nguyên
2
4x  b
dương và b  1, 2,3 nên ta có một cặp  a, b  thỏa mãn là 1,3
Câu 40. Cho hàm số y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d  a, b, c, d  , a  0  có đồ thị là  C  . Biết rằng đồ
thị  C  đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số y  f '( x ) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị
H  f (4)  f (2) ?

A. H  64 .

B. H  51 .

C. H  58 .

D. H  45 .

Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo bài ra y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d  a, b, c, d  , a  0  do đó y  f   x  là hàm bậc hai
có dạng y  f   x   ax 2  bx  c .

c  1
a   3


Dựa vào đồ thị ta có: a  b  c  4  b  0  y  f   x   3 x 2  1 .
a  b  c  4
c  1


Gọi S là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f   x  , trục Ox , x  4, x  2 .
4

Ta có S    3 x 2  1 dx  58 .
2
4

4

Lại có: S   f   x  dx  f  x   f  4   f  2  .
2

2

Do đó: H  f  4   f  2   58 .
Câu 41. Cho hàm số y 

ax  b
có đồ thị như hình dưới.
x 1

LINK NHĨM: />
Trang25