SKKN: KHAI THÁC VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ỨNG DỤNG THỰC TẾ THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA VÀO GIẢNG DẠY MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG.

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Về mặt lý luận
Trí thơng minh là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ
như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc
trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết
đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. Chính vì vậy, Nghị
quyết của Bộ chính trị về cải cách giáo dục đã nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí
thơng minh cho học sinh THPT. Nghị quyết đã chỉ ra rất rõ yêu cầu “Phát triển
tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách
thông minh những điều đã học”.
Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng
việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trị là người giúp
các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động,
sáng tạo. Chú trọng đến hoạt động tự học của học sinh và để học sinh chiếm
lĩnh được tri thức, áp dụng vào trong thực tế. Chính vì vậy, việc phát triển trí
thơng minh cho các em học sinh ở cấp THPT thông qua mơn Tốn là hết sức
cần thiết.
Về mặt thực tiễn
Phấn đấu để dạy tốt các mơn học nói chung và mơn Tốn nói riêng là
nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán
là khoa học suy diễn trừu tượng nhưng Toán học THPT lại mang tính trực quan,
cụ thể bởi vì mục tiêu của mơn Tốn ở trung học là hình thành những biểu tượng
toán học ban đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư
duy và phương pháp cho học sinh sau này. Một mặt khác tốn học cịn có tính
thực triễn. Các kiến thức tốn học đều bắt đầu từ cuộc sống. Mỗi mơ hình tốn
học là khái qt từ nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học tốn học ở trung
học là hồn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại
Trang 1

một cách chính thức các kiến thức tốn học bằng ngơn ngữ và các kí hiệu tốn
học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới,
vận dụng một cách sáng tạo nhất, thơng minh nhất trong việc học tốn trong
cuộc sống sau này. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực,
trí thơng minh của học sinh thơng qua giờ học tốn.
Những năm gần đây trong chương trình các mơn học nói chung và mơn
Tốn nói riêng, nội dung kiến thức được đánh giá là quá tải với học sinh. Hơn
nữa những áp lực thi cử, học thêm quá nhiều. Học sinh thường học toán theo
khẩu lệnh, lắp ráp máy móc các kiến thức có sẵn mà thiếu chủ động nghiên cứu
tìm tịi tốn rất hạn chế. Sự say mê tìm hiểu kiến thức cơ bản để hiểu sâu và nhớ
kỹ đặc biệt là sự vận dụng kiến thức trong thế chủ động tự giác còn hạn chế.
Trong thực tế luôn đặt ra cho chúng ta giải quyết các vấn đề nhằm đáp ứng
nhu cầu cuộc sống của con người. Mỗi vấn đề đó ln liên quan và gắn chặt với
một hoặc nhiều bài toán của các ngành khoa học, đặc biệt là tốn học. Chính vì
lẽ đó, bài tốn thực tế mặc nhiên có mặt và ngày càng xuất hiện với tần xuất
nhiều hơn trong các đề thi THPT QG và đề thi học sinh giỏi với mức độ tương
đối khó. Học sinh phải đối mặt với rất nhiều dạng toán của bài toán thực tế mà
phương pháp giải chúng lại chưa được hệ thống đầy đủ trong Sách giáo khoa. Vì
vậy để giải được dạng tốn này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây
dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại tốn.
Mỗi bài tốn thực tế hình học khơng gian đều quy chiếu về bài tốn hình
học khơng gian mà bài tốn hình học khơng gian lại trở về cách giải quyết bản
chất của một bài tốn hình học phẳng nào đó. Hay nói một cách khác “mỗi bài
tốn hình học không gian luôn chứa đựng và quy về một bài tốn hình phẳng
tương ứng”. Khi đứng trước một bài tốn thực tế hình học khơng gian học sinh
thường lúng túng và chưa biết định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu. Để giúp
học sinh định hướng tốt hơn trong q trình giải tốn thực tế hình học khơng
gian, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài tốn dưới nhiều
góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài tốn để tìm lời giải.

Trang 2


Thêm vào nữa, người giáo viên ngoài việc nắm chắc các dạng tốn về
hình học khơng gian và các phương pháp giải chúng, cần phải biết thiết kế các
bài toán khác nhau làm tư liệu giảng dạy, ra các đề thi, đề kiểm tra nhằm đánh
giá năng lực của học sinh và tránh hiện tượng cóp nhặt, trùng lặp trong các sách.
Cơ sở của cách xây dựng đó cũng hệ thống phương pháp giải một số lớp các bài
toán mới về hình học khơng gian, từ đó học sinh nắm chắc và rèn kỹ năng giải
Toán, phát triển tư duy Toán học.
Thêm vào nữa, khi giảng dạy trên lớp 12A1 và 12A4 trường THPT Bến
Tre về dạng tốn hình học khơng gian, đặc biệt các bài tốn hình học khơng gian
gắn với thực tế, tơi thấy học sinh cịn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập,
hay định hướng cách làm, đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình. Thực
hiện việc kiểm tra một vài bài tập về giải tốn hình học khơng gian ở các lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng (trước tác động) cho thấy:
Số lượng

Điểm giỏi

Điểm khá

Điểm TB

Điểm yếu

Điểm kém

80

3

20

40

15

2

(Bảng điểm có phụ lục I kèm theo)
Tìm hiểu và trao đổi với các đồng nghiệp ở các trường THPT trên địa bàn
Thành phố Phúc n khi giảng dạy bài tốn hình học khơng gian ở các trường
bạn, chúng tôi cũng nhận được sự phản hồi về kết quả rất thấp của học sinh khi
làm bài toán dạng này. Trước vấn đề trên chúng tôi thấy việc cần thiết phải
hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải chủ đạo về bài tốn hình học
không gian thông qua việc thiết kế, xây dựng bài tốn đó là một việc cần thiết
cho học sinh, để giúp học sinh có thêm kiến thức và làm tốt bài tập dạng này.
Từ những suy nghĩ trên tôi mạn phép trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp
và các em học sinh sáng kiến kinh nghiệm “ Khai thác và xây dựng một số bài
tốn hình học khơng gian ứng dụng thực tế thường sử dụng trong kỳ thi
THPT QG vào giảng dạy mơn tốn ở trường THPT ” nhằm góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học bộ mơn Tốn ở trường THPT. Phần nghiên cứu của
chúng tơi đã sử dụng để giảng dạy cho lớp 11 và 12, các lớp bồi bưỡng HSG
Trang 3


Tốn 11, 12, đặc biệt là học sinh ơn thi THPT QG trong năm học 2017 – 2018
và năm học 2018 - 2019.
Lý do chọn sáng kiến kinh nghiệm của tôi xuất phát từ những trải nghiệm

sau:
*) Sáng kiến kinh nghiệm này đưa ra một số cách thức xây dựng và khai
thác hướng giải các bài tốn hình học khơng gian mới gắn với bài toán thực tế
từ các bài tốn hình học phẳng đã biết mà cơ sở của phương pháp này chính là
con đường sáng tạo ra những dạng toán trên. Hướng thứ nhất, sáng kiến kinh
nghiệm này xây dựng các bài tốn mới hình học khơng gian mới gắn với bài
toán thực tế từ các bài toán hình học phẳng. Hướng thứ hai, sáng kiến sẽ khai
thác cách giải bài tốn hình học khơng gian gắn với bài tốn thực tế với mục
đích chuyển đổi bài tốn từ lạ về quen, về các bài tốn hình học phẳng đã biết
kết quả. Cả hai hướng đều nhắm tới mục đích sử dụng các yếu tố đặc trưng bài
tốn của hình học hình học phẳng, đưa ra cách giải quyết, khai thác mở rộng cho
bài toán, phát triển bài tốn hình học phẳng thành bài tốn hình học khơng gian,
trên cơ sở các dữ kiện bài toán đã cho. Sau đó ta sẽ phân tích ngược lại từ tính
chất của hình học khơng gian và hình học trên hình phẳng để định hướng tìm lời
giải bài tốn hình học không gian.
*) Giúp học sinh biết cách giải một số lớp bài tốn về hình học khơng
gian nhìn nhận dưới góc độ hình học phẳng dựa trên việc khai thác các tính chất
hình học phẳng để quy bài tốn hình học khơng gian về bài tốn hình học phẳng
rồi định hướng tìm lời giải bài tốn hình học khơng gian. Biết quy những bài
toán mới về bài toán quen thuộc đã được giải quyết. Trên cơ sở phương pháp đã
được định hướng đối với mỗi bài toán cụ thể, các em có thể hình thành tổng hợp
phương pháp giải và xây dựng các bài toán tương tự.
*) Nghiên cứu các dạng tốn này cịn giúp học sinh biết được việc phân
tích bản chất của bài tốn hình học phẳng để chỉ ra điểm mấu chốt của bài toán
và bổ trợ cho việc giải bài tốn hình học khơng gian. Qua đó giúp các em chủ
động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối
các bài tốn hình học khơng gian. Đồng thời rèn kỹ năng sáng tạo Toán cho học
Trang 4

sinh sao cho mọi nơi mọi lúc các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng
tạo của mình.
*) Giúp cho các bạn đồng nghiệp một tài liệu tham khảo trong q trình
giảng dạy bộ mơn Tốn của mình. Qua sáng kiến kinh nghiệm này, tơi hy vọng
các bạn đồng nghiệp sẽ thiết kế được nhiều hơn các lớp bài tốn hình học khơng
gian ứng dụng thực tế càng sát thực với các đề thi THPT QG và thi chọn học
sinh giỏi toán và truyền sự say mê này đến các học sinh của mình.
2. Tên sáng kiến:
Khai thác và xây dựng một số bài tốn hình học không gian ứng dụng
thực tế thường sử dụng trong kỳ thi THPT QG vào giảng dạy mơn tốn ở
trường THPT.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Dương Ngọc Anh.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bến Tre - thị xã Phúc Yên –
tỉnh Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0976520928. E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Dương Ngọc Anh - Trường THPT Bến Tre - thị xã Phúc Yên – tỉnh Vĩnh
Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Lĩnh vực giáo dục, cấp THPT, bộ mơn Tốn.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Từ 01/02/2017 đến 02/02/2019.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:

Trang 5


KHAI THÁC VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG

GIAN ỨNG DỤNG THỰC TẾ THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG KÌ THI
THPT QG VÀO GIẢNG DẠY MƠN TỐN Ở TRƯỜNG THPT
I. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1) Một số kết quả của phần quan hệ vng góc trong khơng gian
1. Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng ta có thể theo các
định lí , hệ quả sau :
0

 a  b   a ; b   90 .








b / / c
 a  b.

a  c
 
 
a  b  a  b  0 .Nếu a , b lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai
đường thẳng a và b
Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình
học phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo … để
chứng minh chúng vng góc .
a  ( ) 
 a b ;

b  ( ) 



a / / 
b a
b 



a '  hch  a  
a '  hch  a  


b     b  a' ;
b b a .
b  a 
b  a ' 

ABC ; a  AB 
  a  BC
a  AC 
2. Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một
trong các định lí , hệ quả sau :









a    a  b  

a  b  

a  c    a   .
b  c  O

a / /b    a   .
 / /  a  a   .
AB     M | MA  MB (  là mặt phẳng trung trực của AB).

Trang 6


ABC   





MA  MB  MC   MO    .
OA  OB  OC 



 P   Q  

a   P    a  Q 


a  c   P    Q 



 P   R

 Q    R   a   R 
 P    Q   a 

3. Chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau ta có thể sử dụng một
trong các định lí , hệ quả sau :
0

  P    Q    P  ,  Q   90









 P   a 
   P   Q 
a   Q  
 R    Q  
   P   Q  .
 P  / /  R 

4. Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:




Cách 1: (theo phương pháp hình học)

Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng)
qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai
đường thẳng đã cho

Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt
nhau tại O .

Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính
là góc bù với góc đã tính .
Cách 2 : 
(theo
 phương pháp véc tơ)

Tìm u1 , u2 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
 1  và   2 
 
u1  u2
 

Khi đó cos  1 ,  2   cos u1 , u2    .
u1  u2





5.Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp :


a     a
,  900 ;

 

Trang 7


 a / /
0

a     a ,   0 ;

a    
 

  a ,   a , a '
a '  hch a 
o Để tìm a '  hch a ta lấy tùy ý điểm M  a , dựng MH    tại H , suy ra

hch a  a '  AH ,  A  a      a

,  MAH


 

 



6. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp :


Cách 1 : Dùng định nghĩa :




a   P  
P  ,  Q   a
, b trong đó :


b   Q  

  

p

R

P

Cách 2 : Dùng nhận xét :
 R        P    Q 

P  ,Q   
p,q .
 R    P   p   
 R   Q   q 
Cách 3 : Dùng hệ quả :
M  Q 


 
H  hch P  M
   P  ,  Q   MNH .

HN  m   P    Q  

  





Q

q





7.Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải
đi tìm đoạn vng góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong
hai cách sau :


Cách 1 :
 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vng góc với (P) .
 Xác định m   P    Q  .
 Dựng MH  m   P    Q  ,

 MH   P 
suy ra MH là đoạn cần tìm .
Cách 2: Dựng MH / /  d    
o Chú ý :
 Nếu MA / /    d  M ,     d  A ,    .


Trang 8




Nếu MA     I 

d  M ,   
d  A ,   



IM
IA

8.Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:
a   P 
 Khi 
 d  a , P   0 .
 a   P 
 Khi a / /  P 

 d  a ,  P    d  A ,  P   với A   P  .
9. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
 P    Q 
 Khi 
 d  P  ,Q   0 .
P

Q





 Khi  P  / /  Q 

 d   P  , Q    d  M ,  Q  
với A   P  .

10. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
      '
 Khi 
 d     ,   '   0 .



'





 Khi    / /   '   d     ,   '    d  M ,   '    d  N ,     với


M     , N    ' .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
 Đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
(a)

   và   '
  '


là đường thẳng  a  cắt    ở M và cắt

M

ở N đồng thời vng góc với cả    và   '  .

(D')

Đoạn MN được gọi là đoạn vng góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau    và   ' .



(D)

N

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vng góc chung của hai đườngthẳng đó .

Phương pháp :


Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b
.Tính khoảng cách từ b đến mp(P) .



Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .
Trang 9




Cách 3 : Dựng đoạn vng góc chung và tính độ dài đoạn đó .

Cách dựng đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :


Cách 1: Khi a  b


Dựng một mp  P   b ,  P   a tại H .



Trong (P) dựng HK  b tại K .



Đoạn HK là đoạn vuông góc
chung của a và b .



Cách 2:
 Dựng  P   b ,  P  / / a .
 Dựng a '  hch P  a , bằng cách lấy M  a
dựng đoạn MN    , lúc đó a’ là
đường thẳng đi qua N và song song a .
 Gọi H  a ' b , dựng HK / / MN
 HK là đoạn vng góc chung cần tìm .

2) Thể tích của khối đa diện:
Các cơng thức thể tích của khối đa diện:

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG
TRỤ:
V= B.h
với B là diện tích đáy, h là chiều
cao

h
B

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a, b, c là ba kích thước

c
b

a

b) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:

a

a

a

1

3

V= Bh

h

với B là diện tích đáy, h là chiều
cao

B

Trang 10


3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’,
B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt
thuộc SA, SB, SC ta có:

S
C'
A'

A

VSABC
VSA ' B ' C '

B'

SA SB SC

SA ' SB ' SC '

C
B

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
CỤT:

V

h
B  B' BB'
3



A'

B'
C'



A

với với B, B’ là diện tích hai đáy,
h là chiều cao

B

C

II. PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN THIẾT KẾ
1. Tổng quan:
1.1. Xây dựng một bài tốn hình học khơng gian ứng dụng thực tế có thể được
tiến hành theo một trong hai phương pháp chính sau đây:
Phương pháp 1: Xây dựng bằng kiến thức hình học khơng gian.
Phương pháp 2: Sử dụng các kiến thức và yếu tố của hình học phẳng và hình học
khơng gian sau đó phát triển bài tốn hình học phẳng để hình thành lên bài tốn
hình học khơng gian ứng dụng thực tế.
Mỗi phương pháp xây dựng đều có những ưu điểm riêng cho từng bài
toán cụ thể. Tuy nhiên phương pháp 2 thường hiệu quả hơn trực quan hơn và
cho chúng ta có cái nhìn hệ thống hơn. Bằng cách phân tích trên hình phẳng
tương ứng với bài tốn (trong khơng gian hai chiều), định hướng theo bản chất
hình học phẳng của bài tốn hình học khơng gian để thu lại cấu trúc của bài
tốn, hình thức của bài tốn và các mối quan hệ giữa các yếu tố tạo nên bài tốn
(trong khơng gian ba chiều). Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích bài tốn
hình học khơng gian dựa trên bài tốn hình phẳng tương ứng, một mặt giúp học
Trang 11


sinh hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác giúp học sinh biết cách định
hướng trong việc tìm lời giải bài toán.
Các bước tiến hành xây dựng bài toán:
Bước 1: Thiết kế bài tốn hình học khơng gian.
Xuất phát điểm từ bài tốn hình học phẳng, trên cơ sở phân tích các yếu tố
và dữ kiện hình phẳng, phát triển và mở rộng hình phẳng từ khơng gian hai
chiều sang không gian ba chiều, thiết lập các yêu cầu của bài tốn mới như

chứng minh tính vng góc, song song hoặc tính thể tích của các khối đa diện,...
Từ đó, ta nhận được bài tốn hình học khơng gian tương ứng với bài tốn hình
học phẳng đã cho.
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài tốn.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ đã chỉ ra.
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả.
1.2. Khai thác một bài tốn hình học khơng gian ứng dụng thực tế có thể được
tiến hành như sau:
Sử dụng các kiến thức và yếu tố của hình học phẳng và hình học khơng gian qui
bài tốn lạ bài tốn hình học khơng gian ứng dụng thực tế về bài tốn hình học
phẳng quen thuộc.
Bằng cách phân tích bản chất của bài tốn hình học khơng gian ứng dụng
thực tế để đưa về bài tốn hình phẳng tương ứng với bài tốn hình học khơng
gian. Từ việc phân tích bài tốn hình học khơng gian chuyển đổi về bài tốn
hình phẳng tương ứng, một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán,
mặt khác cũng giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải bài
tốn.
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Xây dựng các bài toán thực tế liên quan đến thể tích khối đa diện và khối
trịn xoay:
Trang 12


1.1. Bài tốn 1.1.
Bước 1: Xây dựng bài tốn hình học khơng gian.
*) Bài tốn hình phẳng:
Xét hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5m, cạnh BC = 1m. Trên các cạnh
AD, AB, CD, GH lần lượt lấy các điểm E, G, H, F sao cho
AE=GB=CH=GF=0,1m. Ta thấy diện tích của hình vng là S ABCD  5m 2 và
S AGEF , S BCHG cũng tính được.

H

D

C

F
E
A

G

B

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:
Như vậy, nếu phát triển bài tốn hình học trên từ khơng gian hai chiều
(tức là bài tốn hình học trong mặt phẳng) thành bài tốn hình học trong khơng
gian ba chiều (tức là bài tốn hình học khơng gian), ta thêm các dữ kiện như sau:
Gắn với thực tiễn bằng cách gắn thêm không gian ba chiều bằng cách bổ sung
chiều cao bằng 2m vào hình chữ nhật ở trên để có được khối hộp chữ nhật biết
ba kích thước. Ta được bài toán: Một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật
trong một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần
lượt là 5m, 1m, 2m, chỉ xây 2 vách (hình vẽ dưới đây). Biết mỗi viên gạch có
chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất
bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít
nước?

Trang 13

1dm

VH'
1dm

VH

2m
1m
5m

Bài tốn tính thể tích khối hộp chữ nhật VH , VH ' , thể tích của mỗi viên
gạch, thể tích của khối hộp to bao quanh, từ đó tính được số gạch cần sử dụng và
thể tích thực của bồn tắm.
Vậy ta có bài tốn hình học khơng gian, như sau:
“ Một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết
chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m, 1m, 2m, chỉ xây
2 vách (hình vẽ bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm,
chiều cao 5cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó
và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát
không đáng kể).
1dm

VH'
1dm

VH

2m

1m
5m

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài tốn.
+) Viết cơng thức tính thể tích tính thể tích khối hộp chữ nhật VH , VH ' .
+) Tính thể tích của mỗi viên gạch.
+) Tính thể tích của khối hộp to bao quanh.
+) Từ đó suy ra số viên gạch cần sử dụng và thể tích thực của bồn tắm.
Trang 14


Bước 3. Trình bày lời giải bài tốn theo các bước đã chỉ ra ở bước 2
Gọi V là thể tích khối hộp chữ nhật
Ta có : V  5m.1m.2m  10m3 VH  0,1m.4,9m.2m  0,98m3 VH  0,1m.1m.2m  0,2m3
VH  VH  1,18m3

Thể tích mỗi viên gạch là VG  0,2m.0,1m.0,05m  0,001m3
Số viên gạch cần sử dụng là
VH  VH 1,18

 1180 viên
VG
0,001

Thể tích thực của bồn là : V   10m3  1,18m3  8,82m3  8820dm3  8820 lít
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. (Kết quả đúng).
1.2. Bài toán 1.2.
Bước 1: Xây dựng bài tốn hình học khơng gian.
*) Bài tốn hình phẳng:
Xét hình trịn có bán kính bằng R = 6cm, khi đó có thể tính được bất kỳ độ

dài của một cung trịn nào, nếu biết số đo của góc ở tâm chắn cung đó nhờ cơng
thức l   .R . Từ một cung trịn đó quấn thành một đường trịn, ta có thể tính
được bán kính của đường trịn nhờ biết chu vi của đường trịn.
*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:
Như vậy, nếu phát triển bài tốn hình học trên từ khơng gian hai chiều
(tức là bài tốn hình học trong mặt phẳng) thành bài tốn hình học trong khơng
gian ba chiều (tức là bài tốn hình học khơng gian), ta thêm các dữ kiện như sau:
Cho một miếng tơn hình trịn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn
làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình trịn này và gấp phần
cịn lại thành hình nón ( Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta
cắt cung trịn của hình quạt bằng bao nhiêu.

Trang 15


Bài tốn tìm thể tích khối nón khi biết chu vi đáy và đường sinh.
Vậy ta có bài tốn hình học khơng gian như sau:
“ Cho một miếng tơn hình trịn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn

làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình trịn này và gấp phần
cịn lại thành hình nón ( Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta
cắt cung trịn của hình quạt bằng bao nhiêu.”
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
+) Gọi x (x>0) là chiều dài cung trịn của phần được xếp làm hình nón.
+) Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2 r  x  r 

x
.
2

+) Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =
R2  r 2 

R2 

x2
.
4 2
1
3

+) Thể tích của khối nón: V   r 2 .H 

 x 


3  2 

2

R2 

x2
.
4 2

+) Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta tính được V lớn nhất khi và chỉ khi
x2
x2
2


R

8 2
4

x

2
R 6  x  6 6
3
I

r

N

M

h

R

S

Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2
+) Gọi x (x>0) là chiều dài cung trịn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình trịn sẽ là đường sinh của hình nón và đường trịn
đáy của hình nón sẽ có độ dài là x.
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2 r  x  r 

2

x
.
2
2

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = R  r 
1
3

Thể tích của khối nón: V   r 2 .H 

 x 


3  2 

2

Trang 16

R2 

x2
.
4 2

x2
R 

.
4 2
2


Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:
 x2
x2
x2
2


R

2
2
2
2
2 
4 x
x
x
4 8 2 8 2
4 2
V2 
. 2 . 2 (R 2 
)

2
9 8 8

4
9 
3



Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi

x2
x2
2

R

8 2
4

x

3


 4 2 R 6
.
 
9 27




2
R 6  x  6 6
3

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. (Kết quả đúng).
1.3 Bài toán 1.3.
Bước 1: Xây dựng bài tốn hình học khơng gian.
*) Bài tốn hình phẳng:
Xét hình vng ABCD có cạnh bằng a. Nếu chia hình vng đó thành ba
hình chữ nhật bằng nhau thì diện tích của hình vng ban đầu khơng đổi so với
tổng diện tích của ba hình chữ nhật con.
*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài tốn:
Cũng phát triển bài tốn hình học phẳng như ở trên thành bài tốn hình
học trong khơng gian, ta xây dựng như sau:
Cho hình vng ABCD, ta tạo thành các hình trụ (khơng đáy) theo hai cách
sau:
Cách 1: gị hai mép hình vng để thành mặt xung quanh của một hình
trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1
Cách 2: cắt hình vng ra làm ba hình chữ nhật bằng nhau và gị thành
mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V 2. So sánh V1
với V 2.
Vậy ta có bài tốn hình học khơng gian như sau:
“ Có một miếng nhơm hình vng, cạnh là 3dm, một người dự tính tạo thành

các hình trụ (khơng đáy ) theo hai cách sau:
Cách 1: gị hai mép hình vng để thành mặt xung quanh của một hình
trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1
Cách 2: cắt hình vng ra làm ba hình chữ nhật bằng nhau và gò thành
mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V 2.”
Trang 17

Khi đó, tỉ số

V1
là bao nhiêu.
V2

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài tốn.
+) Tính R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, suy ra là V1 .
+) Tính R2 là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, suy ra là V2 .
Suy ra tỉ số thể tích.
Bước 3. Trình bày lời giải bài tốn theo các bước đã chỉ ra ở bước 2
+) Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có
2R 1  3  R1 

3
27
 V1  R 12h 
2
4

+) Gọi R2 là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, có
2R 2  1  R1 

1
9
 V2  3R12 h 
2
4

+) Từ đó suy ra tỉ số đó bằng 3.
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. (Kết quả đúng).
1.4. Bài toán 1.4.
Bước 1: Xây dựng bài toán hình học khơng gian.
*) Bài tốn hình phẳng:
Trang 18


Cho tam giác OAB cân tại O, có chiều cao OH bằng 3 lần cạnh đáy BC.
Trên đường cao OH lấy điểm H’sao cho OH=3OH’. Khi đó AH, A’H’ hồn tồn
tính được, nếu biết HH’.
H

A

A'

H'

O

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài tốn:
Mở rộng bài tốn hình học phẳng ở trên thành bài tốn hình học trong
khơng gian, như sau:
Gắn tam giác OAB cân với khối nón có OA là đường sinh, AB là đường
kính đáy, HH’ với hình trụ trịn xoay nội tiếp khối nón. Khối nón và khối trụ có
sự liên hệ giữa chiều cao với chiều cao, bán kính đáy với nhau. Nếu biết thể tích
của khối trụ trịn xoay đó thì có thể tính được diện tích xung quanh của khối nón
tương ứng. Ta có bài tốn hình học khơng gian như sau:

“Cho một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có đáy), đựng đầy nước. Biết

rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một
khối trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngồi là

16
(dm3 ) . Biết rằng một mặt
9

của khối trụ nằm trên mặt đáy của nón (như hình dưới) và khối trụ có chiều cao
bằng đường kính đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh Sxq của bình
nước.”

Trang 19


Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
- Gọi bán kính đáy hình nón là R , chiều cao h . Ta có h  3R
- Tính chiều cao của khối trụ là h1  2R , bán kính đáy là r
- Trong tam giác OHA có H ' A '/ /HA


r H ' A ' OH ' 1
R


 r 
R HA OH 3
3

- Tính thể tích khối trụ V và tính được R.
- Suy ra đường sinh của hình nón
- Từ đó tính được diện tích xung quanh Sxq của bình nước.
H

A

A'

H'

O

Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2
- Gọi bán kính đáy hình nón là R , chiều cao h . Ta có h  3R
- Chiều cao của khối trụ là h1  2R , bán kính đáy là r
- Trong tam giác OHA có H ' A '/ /HA


r H ' A ' OH ' 1
R


 r 
R HA OH 3
3

- Thể tích khối trụ là V   r 2 h1 

2 R 3 16


R 2
9
9

- Đường sinh của hình nón là l  OA  OH 2  HA2  9R 2  R 2  2 10
Trang 20


- Diện tích xung quanh Sxq của bình nước Sxq   Rl  4 10
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. (Kết quả đúng).
Sau đây là một kết quả đã biết về hình học phẳng và phát triển sang bài
tốn hình học khơng gian.
1.5. Bài tốn 1.5.
Bước 1: Xây dựng bài tốn hình học khơng gian.
*) Bài tốn hình phẳng:
Trong các hình chữ nhật có cùng đường chéo thì hình vng có diện tích
lớn nhất.
*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài tốn:
Mở rộng bài tốn hình học phẳng ở trên thành bài tốn hình học trong
khơng gian, như sau:
Gắn hình chữ nhật với thiết diện của khối hộp chữ nhật nội tiếp khối trụ
cắt bởi mặt phẳng song song với đáy của khối trụ. Ta cũng có kết quả là trong
các khối hộp chữ nhật nội tiếp trong khối trụ trịn xoay thì khối hộp chữ nhật có
đáy là hình vng có thể tích lớn nhất. Ta có bài tốn hình học khơng gian như
sau:
“Người ta phải cưa một thân cây hình trụ có đường kính 1m , chiều dài 8m để

được một cây xà hình khối chữ nhật như hình vẽ. Hỏi thể tích cực đại của khối
gỗ sau khi cưa xong là bao nhiêu?”

Trang 21


Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
+) Gọi x , y(m) là các cạnh của thiết diện. Theo Định lí Pitago ta có: x2  y 2  12 .
Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của thiết diện là cực đại.
+) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy ra thể tích khối gỗ sau khi cưa xong.
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2
+) Gọi x , y(m) là các cạnh của thiết diện. Theo Định lí Pitago ta có: x 2  y 2  12
(đường kính của thân cây là 1m ). Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích
1
2

của thiết diện là cực đại, nghĩa là khi x.y cực đại. Ta có: x2  y 2  2 xy  xy  .
Dấu "  " xảy ra khi x  y 

1
.
2

+) Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong: V 

1
2



1
2

 8  4m3 (thiết diện là hình

vng).
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. (Kết quả đúng).
Hoàn toàn tương tự cách làm như trên chúng ta có thể chọn các bài
tốn hình phẳng gốc rồi phát triển thành các bài tốn hình học khơng gian
được ra dưới dạng trắc nghiệm khách quan sau đây :
Bài 1.6. (Đề thi KSCĐ lần 1 –
THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc
năm 2017 - 2018). Cho mô ̣t tấ m
tôn hı̀nh chữ nhâ ̣t ABCD có
AD  60cm . Ta gâp̣ tấ m tôn theo

2 cạnh MN và QP vào phía trong
sao cho BA trùng với CD để
được lăng trụ đứ ng khuyế t hai
đáy. Khối lăng tru ̣ có thể tı́ch lớ n
nhấ t khi x bằ ng bao nhiêu?
A. x  20cm
B. x  22,5cm
C. x  25cm
D. x  29cm
Bài 1.7. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Lê Văn Hưu - Thanh Hóa năm 2017 2018). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vng góc
Trang 22


với đáy SA  2a. Gọi M , N là lượt là trung điểm của SB , SC. Thể tích khối đa diện
ABCMN là:
A.

a3 3
.
8

B.

a3 3
.
12

C.

a3 3
.
3

D.

3a 3 3
.
4

Bài 1.8. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Lương Tài – Bắc Ninh năm 2017 - 2018).
Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2017, trường THPT A có tổ chức cho học sinh
các lớp tham quan dã ngoại ngồi trời, trong số đó có lớp 12A1. Để có thể có
chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A1 đã dựng trên mặt
đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là
12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung
điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của

tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ). Tìm x để khoảng khơng gian
phía trong lều là lớn nhất?

A. x  4

B. x  3 3

C. x  3

D. x  3 2

Bài 1.9. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018).
Cho lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có hình chóp A '. ABCD là một hình chóp tứ giác
đều với cạnh đáy là 2a . Cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy một góc 450 . Tính
thể tích V của lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' .
A. V  4 2a 3

B. V  4a3

C. V 

4 2a 3
3

D. V 

4a 3
3

Bài 1.10. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc năm 2017 2018).

Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi M
là trung điểm của cạnh BC, góc giữa A ' M và đáy (ABC) bằng 300 . Tính thể tích
V của lăng trụ ABC. A ' B ' C ' ?
Trang 23


A. V 

3a3
24

B. V 

3a3
12

C. V 

3a3
8

D. V 

3a3
4

Bài 1.11. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc năm 2017 2018).
  600 , cạnh SC =
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh là 3a, góc BAC

4a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể
tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V 

3 21a3
2

B. V 

3 21a3
4

C. V 

15 3a3
2

D. V 

15 3a3
4

Bài 1.12. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Chuyên Hưng Yên năm 2017 - 2018).
Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = 2BC, góc
giữa hai mặt phẳng  AA 'B và  AA ' C  bằng 300 . Hình chiếu vng góc của A '
trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của cạnh AB, gọi K là trung điểm AC.
Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' A và HK bằng a 3 . Tính thể tích V
của lăng trụ ABC. A ' B ' C ' ?
A. V 

8 3a 3
3

B. V  8 3a 3

C. V 

4 3a 3
3

D. V  4 3a 3

Bài 1.13. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Chuyên Thái Bình năm 2017 - 2018).
Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu
là 2000 lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng
bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
A. 1m và 2m
B. 1dm và 2dm
C. 2m và 1m
D. 2dm và 1dm
Bài 1.14. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018).
Bạn Loan là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một
chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tơn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:

Trang 24


Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tơn để làm được chiếc thùng
có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tơn lần lượt là:
A. 35 cm; 25 cm

B. 40 cm; 20 cm
C. 50 cm;10 cm
D. 30 cm; 30 cm
Bài 1.15. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
cạnh AC  2 2 . Biết AC ' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60 0 và AC '  4 . Tính
thể tích V của khối đa diện ABC. A ' B 'C ' .
A) V 

8
3

B) V 

16
3

C) V 

8 3
3

D) V 

16 3
3

Bài 1.16. (Đề thi KSCĐ lần 3 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018).
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B 'C ' có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều
cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

A) V 

a 2 h
9

B) V 

a 2 h
3

C) V  3a 2 h

D) V  a 2 h

Bài 1.17. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018).
Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vng tại B, cạnh bên SA vng góc với
đáy. Biết SA  3a , BA = 2a, BC = a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC?
A. V  3a 3

B. V  a 3

C. V  6a 3

D. V  4a 3

2. Xây dựng một số bài toán nâng cao:
2.1. Bài tốn 2.1.
Bước 1: Xây dựng bài tốn hình học khơng gian.
*) Bài tốn hình phẳng:
Xét hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD,

gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.

Trang 25