Tài liệu Tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình pptx

Chương 4. Các tính chất cơ bản của hàm
chỉnh hình



Nguyễn Thủy Thanh

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 287-309.


Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Định lý Liouville, Hàm chỉnh hình,
Chuỗi Taylor, Không điểm, Thác triển giải tích, Nguyên lý modun cực đại. Điểm
bất thường cô lập, Tập hợp mờ, Nguyên lý acgumen.


Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.





Chu
.

o
.
ng 4
C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
ah`am
chı
’
nh h`ınh
4.1 C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan
Cauchy......................... 279
4.1.1 D
-
i

.
nh l´y gi´a tri
.
trungb`ınh ..............279
4.1.2 D
-
i
.
nhl´yLiouville ...................280
4.1.3 D
-
i
.
nh l´y Weierstrass vˆe
`
chuˆo
˜
i h`am hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u ...284
4.1.4 T´ınh chˆa
´
tdi
.
aphu

.
o
.
ng cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh. Chuˆo
˜
i
Taylor.........................288
4.1.5 C´ac quan diˆe
’
m kh´ac nhau trong viˆe
.
c xˆay du
.
.
ng l´y
thuyˆe
´
t h`am chı
’
nhh`ınh................305
4.2 T´ınh chˆa
´
t duy nhˆa
´
tcu
’

a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . 310
4.2.1 Khˆong d
iˆe
’
m (0-diˆe
’
m) cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . 310
4.2.2 T´ınh chˆa
´
t duy nhˆa
´
tcu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . . 313
4.2.3 Nguyˆen l´y th´ac triˆe
’
n gia
’
it´ıch............317
4.2.4 Nguyˆen l´y mˆod
un cu
.

.
cd
a
.
i..............320
4.3 D
-
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cˆo lˆa
.
p .............. 326
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 279
4.3.1 Chuˆo

˜
iLaurent ....................326
4.3.2 D
-
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cˆo lˆa
.
pd
o
.
n tri
.
...........337
4.3.3 D´ang d
iˆe
.
ucu
’
a h`am ta
.
idiˆe
’
m vˆo c`ung . . . . . . . . 348

4.3.4 Phˆan loa
.
i h`am chı
’
nhh`ınh..............350
4.4 T´ınh bˆa
´
tbiˆe
´
ncu
’
atˆa
.
pho
.
.
pmo
.
’
.......... 354
4.4.1 Nguyˆen l´y acgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.4.2 D
-
i
.
nhl´yRouch´e....................360
4.4.3 T´ınh bˆa
´
tbiˆe
´

ncu
’
atˆa
.
pho
.
.
pmo
.
’
...........363
4.5 B`ai tˆa
.
p......................... 365
Trong chu
.
o
.
ng tru
.
´o
.
c, ta d
˜ach´u
.
ng minh d
i
.
nh l´y co
.

ba
’
ncu
’
al´y thuyˆe
´
t h`am
chı
’
nh h`ınh - d
i
.
nh l´y Cauchy. Di
.
nh l´y n`ay k´eo theo mˆo
.
t loa
.
thˆe
.
qua
’
quan
tro
.
ng. D
˘a
.
cbiˆe
.

t l`a n´o cho ph´ep ta x´ac lˆa
.
pmˆo
´
i liˆen hˆe
.
nhˆa
´
tdi
.
nh gi˜u
.
a c´ac gi´a
tri
.
cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh ta
.
ic´acd
iˆe
’
m trong cu
’
amiˆe
`
nchı
’

nh h`ınh v´o
.
i c´ac gi´a
tri
.
biˆen cu
’
ah`amd
´o. Mˆo
´
i liˆen hˆe
.
d´odu
.
o
.
.
cmˆota
’
trong cˆong th´u
.
c t´ıch phˆan
co
.
ba
’
nth´u
.
hai cu
’

a Cauchy. D
´o l`a cˆong th´u
.
c trung tˆam cu
’
al´ythuyˆe
´
t h`am
chı
’
nh h`ınh.
4.1 C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy
O
.
’
mˆo
.
tm´u
.
cd

ˆo
.
nhˆa
´
tdi
.
nh, mo
.
idi
.
nh l´y cu
’
amu
.
cn`aydˆe
`
ul`ahˆe
.
qua
’
cu
’
a cˆong
th´u
.
c t´ıch phˆan Cauchy.
4.1.1 D
-
i
.

nh l´y gi´a tri
.
trung b`ınh
D´ol`adi
.
nh l´y sau dˆay.
D
-
i
.
nh l´y 4.1.1. Gia
’
su
.
’
f(z) l`a h`am liˆen tu
.
c trong h`ınh tr`on d
´ong S(R)=
{z ∈ C : |z − z
0
|  R} v`a chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on S(R). Khi d´o ta c´o
280 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´

tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
d˘a
’
ng th´u
.
c
f(z
0
)=
1
2π
2π

0
f(z
0
+ re
it
)dt,
t´u
.
c l`a gi´a tri

.
cu
’
a h`am ta
.
i tˆam h`ınh tr`on b˘a
`
ng trung b`ınh cˆo
.
ng c´ac gi´a tri
.
cu
’
a
n´o trˆen d
u
.
`o
.
ng tr`on.
Ch´u
.
ng minh. Theo cˆong th´u
.
c t´ıch phˆan Cauchy ta c´o
f(z
0
)=
1
2πi


∂S(R)
f(ζ)
ζ − z
0
dζ.
Thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i theo cˆong th´u
.
c
ζ = z
0
+ Re
it
, 0  t  2π
ta thu d
u
.
o
.
.

c
f(z
0
)=
1
2πi
2π

0
f(z
0
+ Re
it
)
Re
it
idt
Re
it
=
1
2π
2π

0
f(z
0
+ Re
it
)dt.

4.1.2 D
-
i
.
nh l´y Liouville
D
-
i
.
nh l´y 4.1.2. (Liouville
1
) Nˆe
´
u h`am chı
’
nh h`ınh trˆen to`an m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c
f(z) c´o mˆod
un bi
.
ch˘a
.
nth`ın´odˆo
`
ng nhˆa

´
th˘a
`
ng sˆo
´
,t´u
.
cl`af (z) ≡ const ∀z ∈ C.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
|f(z)|  M<∞∀z ∈ C. Ta s˜e ´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c
t´ıch phˆan Cauchy cho d
a
.
o h`am f

(z)v`ah`ınh tr`on S(R)v´o
.
i tˆam ta
.
id

iˆe
’
m z
v`a b´an k´ınh R.Tac´o
f

(z)=
1
2πi

∂S(R)
f(ζ)
(ζ − z)
2
dζ.
1
I. Liouville (1809-1882) l`a nh`a to´an ho
.
c Ph´ap
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 281

T`u
.
d
´o
|f

(z)| 
1
2π
M
R
2
2πR =
M
R
·
Vˆe
´
tr´ai cu
’
abˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c n`ay khˆong phu
.
thuˆo

.
c R,c`onvˆe
´
pha
’
idˆa
`
nd
ˆe
´
n0khi
R t˘ang vˆo ha
.
n. T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng |f

(z)| =0v`af

(z)=0∀ C.Dod´o f(z) ≡
const trong C.
Nhu
.
vˆa
.
yl´o
.

p c´ac h`am chı
’
nh h`ınh trong to`an m˘a
.
t ph˘a
’
ng v`a bi
.
ch˘a
.
nchı
’
gˆo
`
m c´ac h`am tˆa
`
mthu
.
`o
.
ng (c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
).
D
i
.
nh l´y Liouville v`u
.

ach´u
.
ng minh c´o thˆe
’
kh´ai qu´at du
.
´o
.
ida
.
ng
D
-
i
.
nh l´y 4.1.3. Nˆe
´
u h`am f(z) chı
’
nh h`ınh trong to`an m˘a
.
t ph˘a
’
ng v`a tho
’
a
m˜an d
iˆe
`
ukiˆe

.
n |f(z)  M|z|
n
, M<∞ v`a n l`a sˆo
´
nguyˆen du
.
o
.
ng th`ıd
´ol`ada
th´u
.
cbˆa
.
c khˆong cao ho
.
n n.
2
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
z
0
l`a diˆe
’

mt`uy ´y cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c. T`u
.
cˆong th´u
.
c
t´ıch phˆan Cauchy d
ˆo
´
iv´o
.
id
a
.
o h`am cˆa
´
p cao ta c´o
f
(n+1)
(z
0
)=
(n + 1)!

2πi

∂S(R)
f(z)
(z − z
0
)
n+2
dz, S(R)={z : |z − z
0
| <R}
v`a do d
´o
|f
(n+1)
(z
0
)| 
M|z|
n
R
n+1
(n + 1)!.
V`ı |z|  |z
0
| + R nˆen qua gi´o
.
iha
.
n khi R →∞ta thu d

u
.
o
.
.
c f
(n+1)
(z
0
)=0.
Do z
0
l`a diˆe
’
mt`uy ´y cu
’
a C nˆen f
(n+1)
(z) ≡ 0. T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng f
(n)
(z) ≡ const
v`ı
f
(n)
(z) − f

(n)
(z
0
)=
z

z
0
f
(n+1)
(z)dz ≡ 0,
t´u
.
cl`af
(n)
(z) ≡ f
(n)
(z
0
) = const ... B˘a
`
ng c´ach lˆa
.
p luˆa
.
nnhu
.
vˆa
.
y, dˆe

˜
d`ang
thu d
u
.
o
.
.
cd
iˆe
`
u kh˘a
’
ng d
i
.
nh cu
’
adi
.
nh l´y.
2
Khi n =0th`ıtathudu
.
o
.
.
cdi
.
nh l´y 12.1

282 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
Di
.
nh l´y Liouville c`on c´o thˆe
’
ph´at biˆe
’
udu
.
´o
.
ida
.
ng
D
-

i
.
nh l´y 4.1.2
∗
. Nˆe
´
u h`am f(z) chı
’
nh h`ınh trˆen to`an m˘a
.
t ph˘a
’
ng mo
.
’
rˆo
.
ng
C
th`ı n´o d
ˆo
`
ng nhˆa
´
th˘a
`
ng sˆo
´
.
Ch´u

.
ng minh. V`ı h`am f chı
’
nh h`ınh ta
.
id
iˆe
’
m ∞ nˆen lim
z→∞
f(z)tˆo
`
nta
.
iv`ah˜u
.
u
ha
.
n. T`u
.
d
´o suy ra f(z)bi
.
ch˘a
.
n trong lˆan cˆa
.
n n`ao d´o U(∞)={z : |z| >R}
cu

’
ad
iˆe
’
m ∞. Gia
’
su
.
’
f(z)|  M
1
, ∀ z ∈U(∞). M˘a
.
t kh´ac, do h`am f chı
’
nh
h`ınh (v`a do d
´o n´o liˆen tu
.
c) trong h`ınh tr`on d´ong S(R)={z : |z|  R} nˆen
n´o bi
.
ch˘a
.
n trong h`ınh tr`on d
´o. Gia
’
su
.
’

|f(z)|  M
2
, z ∈ S(R). Nhu
.
ng khi d
´o
h`am f bi
.
ch˘a
.
n trong to`an m˘a
.
t ph˘a
’
ng: f(z)| <M= max(M
1
,M
2
) ∀ z ∈ C.
V`ı h`am f chı
’
nh h`ınh trˆen C nˆen theo d
i
.
nh l´y 4.1.2 ta c´o f ≡ const.
Bˆay gi`o
.
ta ´ap du
.
ng d

i
.
nh l´y Liouville dˆe
’
ch´u
.
ng minh d
i
.
nh l´y Gauss - di
.
nh
l´y co
.
ba
’
ncu
’
ad
a
.
isˆo
´
.
D
-
i
.
nh l´y 4.1.4. (Gauss) Mo
.

id
ath´u
.
cd
a
.
isˆo
´
bˆa
.
c m  1 v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
ph´u
.
cd
ˆe
`
u
c´o m nghiˆe
.
mnˆe
´
umˆo
˜
i nghiˆe
.

md
u
.
o
.
.
c t´ınh mˆo
.
tsˆo
´
lˆa
`
nb˘a
`
ng bˆo
.
icu
’
a n´o.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
P
m
(z)=a
m

z
m
+ a
m−1
z
m−1
+ ···+ a
1
z + a
0
,a
m
=0,m 1.
Ta ch´u
.
ng minh b˘a
`
ng pha
’
nch´u
.
ng: gia
’
su
.
’
P
m
(z) khˆong c´o nghiˆe
.

m trong
C.Tax´et h`am
f(z)=
1
P
m
(z)
·
H`am f(z) c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau d
ˆay
(i) H`am f(z) ∈H(C)v`ı P
m
(z) =0 ∀ z ∈ C.
(ii) H`am f(z) c´o mˆod
un bi
.
ch˘a
.
n, t´u
.
cl`a|f(z)|  M ∀ z ∈ C. Thˆa
.
tvˆa
.
y,
v`ı lim
z→∞
P

m
(z)=∞ nˆen lim
z→∞
1
P
m
(z)
=0. T`u
.
d
´o ∃ R>0 sao cho ∀ z : |z| >R
ta c´o
|f(z)| < 1.
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 283
Trong h`ınh tr`on d´ong |z|  R h`am f(z) c´o mˆodun bi
.
ch˘a
.
n, t´u
.

cl`a|f (z)|  m
∀ z ∈{|z|  R}.T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng |f(z)| <m+1=M, ∀ z ∈ C.Nhu
.
vˆa
.
y
h`am f(z) ∈H(C)v`a|f(z)  M ∀ z ∈ C,t´u
.
c l`a tho
’
a m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a
d
i
.
nh l´y Liouville. Do d´o f(z) ≡ const trˆen C.T`u
.
d
´o suy r˘a

`
ng P
m
(z
≡
const.
Nhu
.
ng d
iˆe
`
ud´o khˆong thˆe
’
xa
’
yrav`ı a
m
=0v`am  1.
Nhu
.
vˆa
.
ytˆo
`
nta
.
i gi´a tri
.
α
1

∈ C sao cho
P (α
1
)=0.
Do d
´o P
m
(z)=(z − α
1
)P
m−1
(z), P
m−1
(α
1
) = 0. Nhu
.
ng P
m−1
(z)c˜ung l`a da
th´u
.
cd
a
.
isˆo
´
bˆa
.
c m − 1nˆen∃ α

2
∈ C sao cho P
m−1
(z)=(z − α
2
)P
m−2
(z),
P
m−2
(α
2
) = 0. Nhu
.
vˆa
.
y
P
m
(z)=(z − α
1
)(z − α
2
)P
m−2
(z),...
Tiˆe
´
ptu
.

clˆa
.
p luˆa
.
nnhu
.
vˆa
.
ytathud
u
.
o
.
.
cd
˘a
’
ng th´u
.
c
P
m
(z)=a
m
(z − α
1
)(z − α
2
)···(z − α
m

).
D
˘a
’
ng th´u
.
c n`ay ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng α
1
,α
2
,...,α
m
l`a nghiˆe
.
m v`a ngo`ai ch´ung ra da
th´u
.
c P
m
(z) khˆong c`on nghiˆe
.
m n`ao kh´ac. Thˆa
.
tvˆa

.
ynˆe
´
u β l`a nghiˆe
.
m β = α
i
∀ i = 1,m cu
’
adath´u
.
c P
m
(z)th`ı
P
m
(β)=a
m
(β − α
1
)(β − α
2
)···(β − α
m
)=0.
D
iˆe
`
u n`ay ch´u
.

ng to
’
r˘a
`
ng mˆo
.
t trong c´ac th`u
.
asˆo
´
pha
’
ib˘a
`
ng 0, t´u
.
cl`a
β − α
i
=0,i=1, 2,...,m
⇐⇒ β = α
i
,i=1, 2,...,m.
Di
.
nh l´y v`u
.
ach´u
.
ng minh c`on c´o tˆen go

.
il`ad
i
.
nh l´y vˆe
`
tru
.
`o
.
ng d
´ong da
.
isˆo
´
.
284 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’

nh h`ınh
4.1.3 D
-
i
.
nh l´y Weierstrass vˆe
`
chuˆo
˜
i h`am hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u
Trong 1.4 ta d˜a tr`ınh b`ay kh´ai niˆe
.
m chuˆo
˜
i h`am hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u trong miˆe
`
n D v`a
hˆo

.
itu
.
d
ˆe
`
utrˆen t`u
.
ng comp˘a
´
c cu
’
amiˆe
`
n D c`ung mˆo
.
tsˆo
´
t´ınh chˆa
´
t h`am cu
’
a
chuˆo
˜
ihˆo
.
itu
.
d

ˆe
`
u. Bˆay gi`o
.
ta ch´u
.
ng minh d
i
.
nh l´y quan tro
.
ng cu
’
a Weierstrass
vˆe
`
su
.
.
ba
’
o to`an t´ınh chı
’
nh h`ınh cu
’
atˆo
’
ng cu
’
a chuˆo

˜
i trong ph´ep qua gi´o
.
iha
.
n
d
ˆe
`
u v`a ph´ep da
.
o h`am t`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng cu
’
a chuˆo
˜
i h`am chı
’
nh h`ınh hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`

u.
D
-
i
.
nh l´y 4.1.5. (Weierstrass) Gia
’
su
.
’
:
1) u
n
(z) n ∈ N l`a nh˜u
.
ng h`am chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n D;
2) chuˆo
˜
i h`am
u
1
(z)+u
2
(z)+···+ u
n
(z)+... (4.1)

hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
utrˆent`u
.
ng comp˘a
´
ccu
’
amiˆe
`
n D d
ˆe
´
n h`am (h˜u
.
uha
.
n) f(z).
Khi d
´o
1) Tˆo
’
ng f(z) cu
’
a chuˆo

˜
i l`a h`am chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n D.
2) Chuˆo
˜
ic´othˆe
’
d
a
.
oh`amt`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng d
ˆe
´
ncˆa
´
pt`uy´y
u
(m)
1
(z)+u
(m)

2
(z)+···+ u
(m)
n
(z)+··· = f
(m)
(z); m =1, 2,... (4.2)
3) Mo
.
i chuˆo
˜
i (4.2) d
ˆe
`
u l`a chuˆo
˜
ihˆo
.
itu
.
dˆe
`
utrˆent`u
.
ng comp˘a
´
ccu
’
amiˆe
`

n
D.
Ch´u
.
ng minh. 1) Lˆa
´
y h`ınh tr`on S(R)bˆa
´
tk`y b´an k´ınh R v´o
.
i biˆen γ(R) sao
cho
S(R) ⊂ D.Trˆendu
.
`o
.
ng tr`on γ(R)(γ(R) l`a tˆa
.
pho
.
.
pd
´ong n˘a
`
m trong D)
chuˆo
˜
i (4.1) hˆo
.
itu

.
d
ˆe
`
udˆe
´
n h`am f(z). Do d´o h`am
f(ζ)=u
1
(ζ)+u
2
(ζ)+···+ u
n
(ζ)+...; ζ ∈ γ(R) (4.3)
liˆen tu
.
c trˆen γ(R). Nhˆan (4.3) v´o
.
i h`am
v(ζ)=
1
2πi
1
ζ − z
,ζ∈ γ(R),z∈ S(R).
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro

.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 285
H`am n`ay bi
.
ch˘a
.
n trˆen γ(R). Do d´o chuˆo
˜
ithudu
.
o
.
.
c sau khi nhˆan (4.3) v´o
.
i
v(ζ)vˆa
˜
nhˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u trˆen γ(R) v`a c´o thˆe

’
t´ıch phˆan t`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng theo γ(R).
Tathud
u
.
o
.
.
c
1
2πi

γ(R)
f(ζ)
ζ − z
dζ =
1
2πi

γ(R)
u
1
(ζ
ζ − z

dζ + ···+
1
2πi

γ(R)
u
n
(ζ)
ζ − z
dζ + ...
T´ıch phˆan o
.
’
vˆe
´
tr´ai l`a t´ıch phˆan da
.
ng Cauchy. Do d
´ovˆe
´
tr´ai l`a h`am chı
’
nh
h`ınh trong h`ınh tr`on S(R). Ta k´y hiˆe
.
uh`amd
´ol`af
R
(z).
´

Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c
t´ıch phˆan Cauchy cho c´ac h`am u
n
(ζ)t`u
.
biˆe
’
uth´u
.
c trˆen ta thu d
u
.
o
.
.
c
f
R
(z)=u
1
(z)+u
2
(z)+···+ u
n
(z)+... (4.4)
Nhu

.
vˆa
.
y chuˆo
˜
id
u
.
o
.
.
c x´et hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
udˆe
´
n h`am f
R
(z)chı
’
nh h`ınh trong h`ınh
tr`on S(R). Nhu
.
ng trong S(R) h`am f
R
(z)tr`ung v´o

.
i f(z). Ngh˜ıa l`a f(z)l`a
h`am chı
’
nh h`ınh trong S(R). V`ımˆo
˜
id
iˆe
’
m z cu
’
amiˆe
`
n D dˆe
`
u thuˆo
.
cmˆo
.
th`ınh
tr`on S(R),
S(R) ⊂ D n`ao d´o nˆen h`am f(z)chı
’
nh h`ınh trong D.
C´ac lˆa
.
p luˆa
.
ntrˆend
ˆay chı

’
d´ung nˆe
´
umiˆe
`
n D khˆong ch´u
.
ad
iˆe
’
m ∞. Gia
’
su
.
’
miˆe
`
n D ∞. T a s ˜e x ´e t “ h `ınh tr`on” S
R
(∞)={z : |z| >R} v´o
.
i
b´an k´ınh R d
u
’
l´o
.
n sao cho to`an bˆo
.
biˆen ∂D d

ˆe
`
un˘a
`
m trong du
.
`o
.
ng tr`on
γ
R
(∞)={z : |z| = R}.Lˆa
.
p luˆa
.
nnhu
.
trˆen v`a thay cho chuˆo
˜
i (4.4) theo d
i
.
nh
l´y 3.2.13 ta thu d
u
.
o
.
.
cd

˘a
’
ng th´u
.
c
f
R
(z)=[u
1
(z) − u
1
(∞)] + [u
2
(z) − u
2
(∞)] + ...
+[u
n
(z) − u
n
(∞)] + ...
hay l`a
f
R
(z)=[u
1
(z)+···+ u
n
(z)+...]
− [u

1
(∞)+u
2
(∞)+···+ u
n
(∞)+...].
Chuˆo
˜
i trong dˆa
´
u ngo˘a
.
c vuˆong th´u
.
hai o
.
’
vˆe
´
pha
’
ihˆo
.
itu
.
d
ˆe
´
n f(∞) v`a do d´o
f

R
(z)+f (∞)=u
1
(z)+u
2
(z)+···+ u
n
(z)+...
286 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
O
.
’
d
ˆay f
R
(z)+f(∞)=f(z) ∀ z ∈ S

R
(∞) v`a h`am f
R
(z)+f(∞)chı
’
nh h`ınh
trong S
R
(∞). Do vˆa
.
y h`am f chı
’
nh h`ınh trong lˆan cˆa
.
ndiˆe
’
m ∞.
2) Nˆe
´
u nhˆan chuˆo
˜
i (4.3) v´o
.
i h`am
v
m
(ζ)=
m!
2πi
1

(ζ − z)
m+1
,z∈ S(R)
bi
.
ch˘a
.
n trˆen γ(R) v`a t´ıch phˆan t`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng theo γ(R) th`ı thay cho (4.4) ta
thu d
u
.
o
.
.
cchuˆo
˜
i
f
(m)
R
(z)=u
(m)
1
(z)+u

(m)
2
(z)+···+ u
(m)
n
(z)+...
V`ı f
R
(z)=f (z) ∀ z ∈ D nˆen t`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c (4.2).
3) D
ˆe
’
ch´u
.
ng minh phˆa
`
nth´u
.
ba cu
’
ad
i

.
nh l´y ta phu
’
tˆa
.
pho
.
.
pd
´ong t`uy ´y
E ⊂ D bo
.
’
ihˆe
.
c´ac h`ınh tr`on S

sao cho S

⊂ D.Nˆe
´
utˆa
.
pho
.
.
p E  z = ∞ th`ı
ta c´o thˆe
’
lˆa

´
y h`ınh tr`on l`a tˆa
.
pho
.
.
p S

(∞)={z : |z| >R>0}, S

(∞) ⊂ D.
T`u
.
hˆe
.
c´ac h`ınh tr`on n`ay ta c´o thˆe
’
cho
.
nmˆo
.
tphu
’
con gˆo
`
mmˆo
.
tsˆo
´
h˜u

.
uha
.
n
c´ac h`ınh tr`on. Ho
.
.
pmo
.
i h`ınh tr`on d
´ong n`ay du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aE
∗
. Gia
’
su
.
’
δ l`a
khoa
’
ng c´ach t`u
.
E

∗
dˆe
´
n biˆen miˆe
`
n D: δ = dist{E
∗
,∂D}.
D
ˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
i h`ınh tr`on S

cu
’
aphu
’
h˜u
.
nha
.
n ta du
.
.
ng h`ınh tr`on S d
ˆo

`
ng tˆam
v´o
.
i b´an k´ınh l´o
.
nho
.
n b´an k´ınh cu
’
a S

mˆo
.
tda
.
ilu
.
o
.
.
ng b˘a
`
ng
δ
2
(d
ˆo
´
iv´o

.
i S

(∞)
th`ı cˆa
`
nlˆa
´
y b´an k´ınh b´eho
.
n
δ
2
). Chu tuyˆe
´
n L cu
’
a c´ac h`ınh tr`on n`ay lˆa
.
p
th`anh tˆa
.
pho
.
.
pd
´ong Γ ⊂ D.Dod´o chuˆo
˜
idu
.

o
.
.
cx´et

n≥1
u
n
(z)hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u trˆen
Γ, ngh˜ıa l`a
∀ ε>0, ∃ N ∈ N : ∀ n>N, ∀ p ∈ N, ∀ ζ ∈ Γ ⇒



n+p

k=n+1
u
k
(ζ)



<ε.

Gia
’
su
.
’
z l`a d
iˆe
’
mt`uy ´y cu
’
a E v`a gia
’
su
.
’
n´o thuˆo
.
c h`ınh tr`on S

cu
’
aphu
’
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa

´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 287
h˜u
.
uha
.
n. Khi ζ ∈Lv`a z ∈ S

th`ı |ζ − z| 
δ
2
.Dod
´o



n+p

k=n+1
u
(m)
k
(z)



=




n+p

k=n+1
m!
2πi

L
u
k
(ζ)
(ζ − z)
m+1
dζ




m!
2π

L



n+p

k=n+1
u

k
(ζ)



|ζ − z|
m+1
ds

m!
2π
·
ε

δ
2

m+1
2πR
∗
trong d´o R
∗
l`a b´an k´ınh cu
’
a h`ınh tr`on S tu
.
o
.
ng ´u
.

ng. Nhu
.
vˆa
.
yd
ˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
i
d
iˆe
’
m z ∈ E ta c´o



n+p

k=n+1
u
(m)
k
(z)






Rm!ε

δ
2

m+1
trong d´o

R l`a b´an k´ınh l´o
.
n nhˆa
´
t trong c´ac b´an k´ınh cu
’
a c´ac h`ınh tr`on S
cu
’
aphu
’
h˜u
.
uha
.
n. T`u
.
d
´o suy ra su
.
.

hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
ucu
’
a chuˆo
˜
ida
.
o h`am trˆen t`u
.
ng
comp˘a
´
ccu
’
a D.
Nhˆa
.
nx´et 4.1.1. Trong gia
’
i t´ıch thu
.
.
c khˆong c´o d
i

.
nh l´y tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
d
i
.
nh l´y
Weierstrass. Thˆa
.
tvˆa
.
y, trong gia
’
i t´ıch thu
.
.
c ta biˆe
´
tr˘a
`
ng tˆo
’
ng S(x)cu

’
a chuˆo
˜
i
h`am thu
.
.
c (biˆe
´
n thu
.
.
c) kha
’
vi

n≥1
u
n
(x)hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u trˆen khoa
’
ng n`ao d´o c´o thˆe
’
l`a h`am khˆong kha

’
vi. Ho
.
nthˆe
´
n˜u
.
anˆe
´
u ∃ S

(x) th`ı ho`an to`an khˆong nhˆa
´
t
thiˆe
´
t pha
’
ic´od
˘a
’
ng th´u
.
c S

(x)=

n1
u


n
(x).
Nhˆa
.
nx´et 4.1.2. Nˆe
´
u c´o d˜ay h`am

f
n
(z)

n1
cho trong miˆe
`
n D th`ı chuˆo
˜
i
f
1
(z)+[f
2
(z) − h(z)] + ···+[f
n
(z) − f
n−1
(z)] + ...
c´o tˆo
’
ng riˆeng th´u

.
n l`a S
n
(x)=f
n
(x). T`u
.
d
´omo
.
idiˆe
`
u kh˘a
’
ng di
.
nh vˆe
`
chuˆo
˜
i
d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
ph´at biˆe
’
udˆo
´

iv´o
.
i d˜ay v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
i. T`u
.
d
´ov`adi
.
nh l´y 4.1.3 ta r´ut
ra
288 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’

nh h`ınh
D
-
i
.
nh l´y 4.1.6. (Weierstrass; vˆe
`
d˜ay h`am chı
’
nh h`ınh hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u)
Nˆe
´
u d˜ay c´ac h`am

f
n
(z)

n1
chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n D hˆo

.
itu
.
dˆe
`
utrˆen
t`u
.
ng comp˘a
´
ccu
’
amiˆe
`
n D d
ˆe
´
n h`am h˜u
.
uha
.
n f(z) th`ı f(z) l`a h`am chı
’
nh h`ınh
trong D v`a d˜ay c´ac d
a
.
o h`am

f

(m)
n
(z)

n1
; m =1, 2,... hˆo
.
itu
.
dˆe
`
utrˆen t`u
.
ng
comp˘a
´
ccu
’
a D d
ˆe
´
n h`am f
(m)
(z).
T`u
.
d
i
.
nh l´y Weierstrass 4.1.3 v`a di

.
nh l´y Abel r´ut ra
Hˆe
.
qua
’
4.1.1. Tˆo
’
ng cu
’
a chuˆo
˜
il˜uyth`u
.
a

n0
a
n
(z − a)
n
l`a h`am chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
cu
’
a n´o v`a trong h`ınh tr`on hˆo

.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y t´ıch phˆan v`a d
a
.
oh`amt`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng mˆo
.
tsˆo
´
lˆa
`
n t`uy ´y,
d
ˆo
`

ng th`o
.
iph´ep d
a
.
o h`am v`a t´ıch phˆan t`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng khˆong l`am thay d
ˆo
’
i b´an
k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i.
4.1.4 T´ınh chˆa
´
tdi
.
aphu
.

o
.
ng cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh.
Chuˆo
˜
i Taylor
Trong 2.1 ta d˜a c h ´u
.
ng minh r˘a
`
ng tˆo
’
ng cu
’
achuˆo
˜
il˜uy th`u
.
a l`a h`am chı
’
nh h`ınh
trong h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
cu

’
a n´o. Bˆay gi`o
.
nh`o
.
cˆong th´u
.
c t´ıch phˆan Cauchy ta
c´o thˆe
’
ch´u
.
ng minh mˆo
.
t t´ınh chˆa
´
t quan tro
.
ng n˜u
.
acu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh - d
´o
l`a t´ınh chˆa
´
td
i

.
aphu
.
o
.
ng: mˆo
˜
i h`am chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on d
ˆe
`
ubiˆe
’
udiˆe
˜
n
d
u
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng tˆo

’
ng cu
’
a chuˆo
˜
il˜uy th`u
.
a. Cu
.
thˆe
’
ta ch´u
.
ng minh d
i
.
nh l´y sau
D
-
i
.
nh l´y 4.1.7. (Cauchy - Taylor
3
)
Nˆe
´
u h`am f(z) chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`

n D th`ı ta
.
i lˆan cˆa
.
ncu
’
amˆo
˜
id
iˆe
’
m
z
0
∈ D h`am f(z) biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng chuˆo

˜
il˜uyth`u
.
a
f(z)=

n≥0
a
n
(z − z
0
)
n
(4.5)
v´o
.
i b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
R khˆong b´e ho
.
n khoa
’
ng c´ach d t`u
.
d
iˆe
’
m z

0
dˆe
´
nbiˆen ∂D
cu
’
amiˆe
`
n D (d = dist(z
0
,∂D).
3
B. Taylor (1685-1731) l`a nh`a to´an ho
.
c Anh
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 289
Ch´u
.
ng minh. Gia
’

su
.
’
f ∈H(D)v`az
0
l`a diˆe
’
mt`uy ´y cu
’
amiˆe
`
n D.Tak´y
hiˆe
.
u S(z
0
,d)={z ∈ D : |z − z
0
| <d} v`a gia
’
su
.
’
z l`a d
iˆe
’
mt`uy ´y cu
’
a
S(z

0
,d):z ∈ S(z
0
,d). X´et h`ınh tr`on S(z
0
,δ)dˆo
`
ng tˆam v´o
.
i h`ınh tr`on S(z
0
,d)
v´o
.
i b´an k´ınh δ tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n0<δ<dsao cho diˆe
’
m z n˘a
`
m trong D.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u

.
c t´ıch phˆan Cauchy ta c´o
f(z)=
1
2πi

γ(δ)
f(ζ)
ζ − z
dζ =
1
2πi

γ(ρ)
f(ζ)dζ
(ζ − z
0
)

1 −
z − z
0
ζ − z
0

, (4.6)
trong d
´o γ(δ)=ζ : |ζ − z
0
| = δ}.

D
ˆo
´
iv´o
.
id
iˆe
’
m z ∈ S(z
0
; δ)cˆo
´
di
.
nh ta c´o bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c



z − z
0
ζ − z
0




= q<1,ζ∈ γ(δ).
Do d
´obiˆe
’
uth´u
.
c
1
1 −
z − z
0
ζ − z
0
c´o thˆe
’
xem nhu
.
tˆo
’
ng cu
’
acˆa
´
psˆo
´
nhˆan
1
1 −
z − z

0
ζ − z
0
=

n0

z − z
0
ζ − z
0

n
. (4.7)
Chuˆo
˜
i (4.7) hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u trˆen γ(ρ) nˆen ta c´o thˆe
’
thu
.
.
chiˆe
.

n ph´ep t´ıch phˆan t`u
.
ng
sˆo
´
ha
.
ng v`a t`u
.
(4.6) v`a (4.7) ta thu d
u
.
o
.
.
c
f(z)=

n0

1
2πi

γ(δ)
f(ζ)dζ
(ζ − z
0
)
n+1


(z − z
0
)
n
=

n≥0
a
n
(z − z
0
)
n
, (4.8)
trong d
´o
a
n
=
1
2πi

γ(δ)
f(ζ)dζ
(ζ − z
0
)
n+1
,n=0, 1,... (4.9)
290 Chu

.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
Dˆe
’
´ydˆe
´
n cˆong th´u
.
c t´ıch phˆan Cauchy d
ˆo
´
iv´o
.
id
a
.
o h`am cu
’

a h`am chı
’
nh
h`ınh ta c´o
a
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
; n =0, 1, 2,... (4.10)
V`ıd
ˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
id
iˆe
’
m z cˆo
´
di
.
nh thuˆo
.

ch`ınh tr`on {|z − z
0
| <δ} chuˆo
˜
io
.
’
vˆe
´
pha
’
icu
’
a (4.7) hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
udˆo
´
iv´o
.
i ζ ∈ γ(δ) c`on c´ac hˆe
.
sˆo
´
a
n

khˆong phu
.
thuˆo
.
c
v`ao δ trong khoa
’
ng 0 <δ<dnˆen b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
R cu
’
achuˆo
˜
i

n0
a
n
(z−z
0
)
n
khˆong b´e ho
.
n d. Thˆa
.
tvˆa
.

ynˆe
´
u R<dth`ı mˆau thuˆa
˜
nv´o
.
id
i
.
nh ngh˜ıa b´an
k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
achuˆo
˜
id
´ov`ıc´othˆe
’
lˆa
´
y δ l`a sˆo
´
l´o
.
nho
.
n R.D

i
.
nh l´y du
.
o
.
.
cch´u
.
ng
minh.
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 291
H`ınh IV.1
Chuˆo
˜
i (4.8) v´o
.
ihˆe
.
sˆo

´
biˆe
’
udiˆe
˜
n qua h`am chı
’
nh h`ınh f(z) theo c´ac cˆong
th´u
.
c (4.9) hay (4.10) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`achuˆo
˜
i Taylor v´o
.
i tˆam ta
.
id
iˆe
’
m z
0
hay khai

triˆe
’
n Taylor ta
.
i lˆan cˆa
.
nd
iˆe
’
m z
0
cu
’
a h`am f(z).
Hˆe
.
qua
’
4.1.2. Mo
.
i chuˆo
˜
il˜uyth`u
.
ad
ˆe
`
u l`a chuˆo
˜
i Taylor cu

’
atˆo
’
ng cu
’
a n´o.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
trong h`ınh tr`on n`ao d
´o
f(z)=

n0
a
n
(z − z
0
)
n
. (4.11)
Thay z = z

0
ta c´o f(z
0
)=a
0
,da
.
o h`am t`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng chuˆo
˜
i (4.11) rˆo
`
i thay
z = z
0
ta t`ım du
.
o
.
.
c f

(a)=a
1
.T´ınh da

.
oh`amt`u
.
ng sˆo
´
ha
.
ng liˆen tiˆe
´
p chuˆo
˜
i
(4.11) rˆo
`
i thay z = z
0
ta c´o f

(z
0
)=2!a
2
, f
(3)
(z
0
)=3!a
3
,...,f
(n)

(z
0
)=n!a
n
v`a do d´o a
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
.Dod
´ochuˆo
˜
i (4.11) l`a chuˆo
˜
i Taylor cu
’
a h`am f(z).
Hˆe
.
qua
’
4.1.3. Gia
’
su
.
’

M(r) = max
ζ∈γ(r)
|f(ζ)|. Khi d´oc´achˆe
.
sˆo
´
a
n
cu
’
a chuˆo
˜
i
Taylor tho
’
a m˜an c´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
|a
n
| 
M(r)
r
n
,n=0, 1,... (4.12)

trong d
´o r l`a sˆo
´
bˆa
´
tk`yb´eho
.
n b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i. C´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
(4.12) d
u
.
o
.
.
cgo

.
i l`a c´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c Cauchy d
ˆo
´
iv´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
cu
’
a chuˆo
˜
i Taylor.
292 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.

ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
Ch´u
.
ng minh. T`u
.
c´ac cˆong th´u
.
c (4.9) v`a (4.10) ta c´o
a
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
=
1
2πi

γ(r)
f(ζ)
(ζ − z

0
)
n+1
dζ.
T`u
.
d
´o´apdu
.
ng cˆong th´u
.
cu
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng t´ıch phˆan trong miˆe
`
nph´u
.
ctathud
u
.
o
.
.

c
|a
n
| 
1
2π
·
M(r)
r
n+1
· 2πr =
M(r)
r
n
Dˆe
’
r´ut ra hˆe
.
qua
’
tiˆe
´
p theo ta nˆeu ra
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.1.1. 1) D
iˆe
’

m z = a du
.
o
.
.
cgo
.
il`ad
iˆe
’
m ch´ınh quy cu
’
a h`am f(z)
nˆe
´
u h`am f(z)chı
’
nh h`ınh trong mˆo
.
t lˆan cˆa
.
nn`aod
´ocu
’
adiˆe
’
m a.
2) D
iˆe
’

m z = a du
.
o
.
.
cgo
.
il`ad
iˆe
’
mbˆa
´
t thu
.
`o
.
ng cu
’
a h`am f(z)nˆe
´
u n´o khˆong
l`a d
iˆe
’
mch´ınh quy dˆo
´
iv´o
.
i h`am f(z)nhu
.

ng trong lˆan cˆa
.
nbˆa
´
tk`ycu
’
an´od
ˆe
`
u
c´o d
iˆe
’
mch´ınh quy cu
’
a h`am.
Hˆe
.
qua
’
4.1.4. B´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i Taylor v´o
.

i tˆam ta
.
id
iˆe
’
m z = a
b˘a
`
ng khoa
’
ng c´ach t`u
.
d
iˆe
’
m a dˆe
´
ndiˆe
’
mbˆa
´
t thu
.
`o
.
ng gˆa
`
n nhˆa
´
tcu

’
a h`am f(z).
Ch´u
.
ng minh. V`ıc´acd
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng d
ˆe
`
ul`adiˆe
’
m biˆen dˆo
´
iv´o
.
imiˆe
`
nchı
’
nh
h`ınh cu
’
a h`am nˆen theo d

i
.
nh l´y Cauchy - Taylor b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i
Taylor thu d
u
.
o
.
.
c khˆong b´e ho
.
n khoa
’
ng c´ach d t`u
.
d
iˆe
’
m a dˆe
´
ndiˆe
’

mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng
gˆa
`
n nhˆa
´
tcu
’
a h`am, t´u
.
cl`aR  d.Nhu
.
ng b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
khˆong thˆe
’
l´o
.
nho
.
n
khoa
’

ng c´ach d
´ov`ınˆe
´
u R>dth`ı c´o ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
tdiˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cu
’
a h`am f
ro
.
i v`ao h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
,m`ad
iˆe
`
ud´o l a
.
i khˆong thˆe

’
xa
’
y ra do tˆo
’
ng cu
’
a chuˆo
˜
i
l˜uy th`u
.
a l`a h`am chı
’
nh h`ınh trong to`an bˆo
.
h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
.Dod
´o R = d.
Cˆong th´u
.
ctˆo
’
ng qu´at (4.9) hay (4.10) d
ˆo
´
iv´o

.
ihˆe
.
sˆo
´
Taylor thu
.
`o
.
ng khˆong
tiˆe
.
nlo
.
.
i trong t´ınh to´an. Trong mˆo
.
tsˆo
´
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ta c´o thˆe
’
´ap du
.

ng c´ac
phu
.
o
.
ng ph´ap d
o
.
n gia
’
nho
.
nd
ˆe
’
khai triˆe
’
n h`am th`anh chuˆo
˜
il˜uy th`u
.
a.
Nˆe
´
u f(z)l`ah`amh˜u
.
uty
’
thu
.

.
csu
.
.
th`ı ta c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nn´odu
.
´o
.
ida
.
ng tˆo
’
ng
h˜u
.
uha
.
n c´ac phˆan th´u
.
ctˆo
´
i gia
’
nda

.
ng
1
z − a
hay
1
(z − a)
k
(k>1). Khi d´o
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 293
phˆan th´u
.
c
1
z − a
khai triˆe
’
n th`anh chuˆo
˜
icˆa

´
psˆo
´
nhˆan, c`on phˆan th´u
.
c
1
(z − a)
k
(k>1) khai triˆe
’
n th`anh chuˆo
˜
ithudu
.
o
.
.
cb˘a
`
ng ph´ep d
a
.
o h`am liˆen tiˆe
´
p k − 1
lˆa
`
n chuˆo
˜

icˆa
´
psˆo
´
nhˆan.
Nˆe
´
u f(z) l`a biˆe
’
uth´u
.
cvˆoty
’
hay siˆeu viˆe
.
t th`ı c´o thˆe
’
´ap du
.
ng c´ac khai
triˆe
’
n Taylor d
ˆo
´
iv´o
.
i h`am e
z
, sin z, cos z, ln(1 + z), (1 + z)

α
,... (go
.
i l`a c´ac
khai triˆe
’
nba
’
ng)thud
u
.
o
.
.
cb˘a
`
ng c´ach t´ınh tru
.
.
ctiˆe
´
p c´ac d
a
.
o h`am cu
’
a c´ac h`am
ˆa
´
y.

I. e
z
=

n0
z
n
n!
, z ∈ C
II. cos z =

n0
(−1)
n
z
2n
(2n)!
, z ∈ C
III. sin z =

n0
(−1)
n
z
2n+1
(2n + 1)!
, z ∈ C
IV. ln(1 + z)=

n1

(−1)
n−1
n
z
n
, |z| < 1
V.
(1 + z)
α
=1+

n1

α
n

z
n
=1+αx +
α(α − 1)
2
z
2
+ ...
+
α(α − 1)···(α − n +1)
n!
z
n
+ ..., α∈ R, |z| < 1,


α
0

=1,

α
n

=
α(α − 1)···(α − n +1)
n!
,

α
n

= C
α
n
nˆe
´
u α ∈ N
VI
1
.
1
1 − z
=


n0
z
n
, |z| < 1
VI
2
.
1
1+z
=

n0
(−1)
n
z
n
, |z| < 1.
..........
294 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’

a h`am chı
’
nh h`ınh
Tru
.
´o
.
c khi ´ap du
.
ng c´ac khai triˆe
’
nba
’
ng ta cˆa
`
nbiˆe
´
nd
ˆo
’
iso
.
bˆo
.
h`am d
˜a cho.
Ta minh ho
.
ad
iˆe

`
ud´ob˘a
`
ng mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.
sau dˆay.
V´ı d u
.
1. Khai triˆe
’
n h`am
f(z)=
1
(1 − z
2
)(z
2
+4)
th`anh chuˆo
˜
i Taylor ta
.
i lˆan cˆa
.
nd
iˆe

’
m z =0.
Gia
’
i. H`am d
˜a cho c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng:
f(z)=
1
5

1
1 − z
2
+
1
z
2
+4


=
1
5

1
1 − z
2
+
1
4

1+
z
2
4


·
Bˆay gi`o
.
´ap du
.
ng khai triˆe
’
nVI
1
1
1 − t
=


n0
t
n
, |t| < 1
ta c´o
f(z)=

n0
1
5

1+
(−1)
n
4
n+1

z
2n
, |z| < 1.
V´ı d u
.
2. T`ım khai triˆe
’
n Taylor cu
’
a h`am
f(z)=e
z

· cos z.
Gia
’
i. Ta
.
i lˆan cˆa
.
nd
iˆe
’
m z =0tac´othˆe
’
nhˆan hai chuˆo
˜
iv´o
.
i nhau. Tuy
nhiˆen, trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay, tiˆe
.
nlo
.
.
iho

.
nca
’
l`a su
.
’
du
.
ng d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
e
z
· cos z = e
z

e
iz
+ e
−iz
2

=
1
2

[e
(1+i)z
+ e
1−i)z
].
V`ı1+i =
√
2 · e
i
π
4
;1− i =
√
2 · e
−i
π
4
nˆen ´ap du
.
ng khai triˆe
’
n (II) ta c´o:
e
z
· cos z =

n0
2
n
2

· e
i
πn
4
+2
n
2
· e
−i
πn
4
2
z
n
=

n0

2
n
2
cos
πn
4

· z
n
,z∈ C.
4.1. C´ac kˆe
´

t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 295
V´ı du
.
3. Khai triˆe
’
n h`am f(z)=
1
1+z
+ e
−z
th`anh chuˆo
˜
i Taylor v´o
.
i tˆam
a = 0 v`a chı
’
ra b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu

’
a chuˆo
˜
i.
Gia
’
i. Ta c´o
1
1+z
=1− z + z
2
− z
3
+ ···+(−1)
n
z
n
+ ...
e
−z
=1− z +
z
2
2!
−
z
3
3!
+ ···+(−1)
n

z
n
n!
+ ...
T`u
.
d
´ob˘a
`
ng c´ach cˆo
.
ng c´ac chuˆo
˜
i ta thu du
.
o
.
.
c
f(z)=[1− z + z
2
−···+(−1)
n
z
n
+ ...]
+

1 − z +
z

2
2!
−···+(−1)
n
z
n
n!
+ ...

=2− 2z +

1+
1
2!

z
2
−

1+
1
3!

z
3
+ ...
+(−1)
n−1

1+

1
(n − 1)!

z
n−1
+ ...
=

n1
(−1)
n−1

1+
1
(n − 1)!

z
n−1
.
D
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng gˆa
`

ngˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
nhˆa
´
tl`az = −1. Do d´o b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a
chuˆo
˜
il`aR =1.
V´ı d u
.
4. Khai triˆe
’
n h`am
f(z)=
z
2
− 2z +19
(z − 3)
2

(2z +5)
th`anh chuˆo
˜
i Taylor v´o
.
i tˆam ta
.
id
iˆe
’
m a =0v`achı
’
ra b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
cu
’
a
chuˆo
˜
ithud
u
.
o
.
.
c.
Gia
’

i. V`ı f(z) l`a phˆan th´u
.
ch˜u
.
uty
’
thu
.
.
csu
.
.
nˆen ta c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nn´o
du
.
´o
.
ida
.
ng tˆo
’
ng c´ac phˆan th´u
.
ctˆo

´
i gia
’
n:
f(z)=
1
2z +5
+
2
(z − 3)
2
·
296 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
Tiˆe
´
p theo ta c´o

1
2z +5
=
1
5
·
1
1+
2z
5
=

n1
(−1)
n
2
n
5
n+1
z
n
.
V`ıd
iˆe
’
m z = −
5
2
l`a d
iˆe

’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng gˆa
`
ngˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
nhˆa
´
tnˆen b´an k´ınh hˆo
.
i
tu
.
R
1
cu
’
a chuˆo
˜
ithudu

.
o
.
.
cl`aR
1
=
5
2
.
D
ˆe
’
khai triˆe
’
n h`am
2
(z − 3)
2
th`anh chuˆo
˜
i Taylor ta
.
i lˆan cˆa
.
ndiˆe
’
m a =0ta
s˜e ´ap du
.

ng hˆe
.
qua
’
cu
’
ad
i
.
nh l´y Weierstrass. Ta c´o

2
z − 3


= −
2
(z − 3)
2
2
z − 3
= −
2
3
·
1
1 −
z
3
= −2


n0
1
3
n+1
z
n
, |z| < 3.
v`a do d
´o
2
(z − 3)
2
=2

n1
nz
n−1
3
n+1
=2

n0
(n +1)z
n
3
n+2
, |z| < 3.
Cˆo
.

ng c´ac chuˆo
˜
ithud
u
.
o
.
.
ctac´o
f(z)=

n0

(−1)
n
2
n
5
n+1
+
2(n +1)
3
n+2

z
n
, |z| <
5
2
·

V´ı du
.
5. Khai triˆe
’
n nh´anh logarit nhˆa
.
n gi´a tri
.
2πi ta
.
id
iˆe
’
m z
0
= 1 th`anh
chuˆo
˜
i Taylor trong lˆan cˆa
.
nd
iˆe
’
m a =2.
Gia
’
i. Tru
.
´o
.

chˆe
´
t ta cˆa
`
n x´ac d
i
.
nh nh´anh n`ao (trong vˆo sˆo
´
nh´anh cu
’
a h`am
logarit) l`a nh´anh tho
’
am˜and
iˆe
`
ukiˆe
.
ncu
’
a b`ai to´an. Ta c´o
ln z = ln[2 + (z − 2)] = ln

2

1+
z − 2
2


= ln 2 + ln

1+
z − 2
2

.
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 297
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng
ln z = ln 2 + ln

1+
z − 2
2


+2πi
l`a nh´anh cˆa
`
n t`ım. Nh´anh n`ay chı
’
nh h`ınh trong miˆe
`
n
C\R
−
.V`ı dist (2; ∂D)=
2 nˆen trong h`ınh tr`on {z : |z − 2| < 2} theo IV nh´anh d
u
.
o
.
.
ccho
.
n khai triˆe
’
n
d
u
.
o
.
.
c th`anh chuˆo
˜

i Taylor da
.
ng
ln z =ln2+2πi +

n1
(−1)
n−1
n2
n
(z − 2)
n
,
v´o
.
i b´an k´ınh hˆo
.
itu
.
R =2.
V´ı d u
.
6. Khai triˆe
’
n h`am f(z)=
3
√
z,
3
√

−8=−2 th`anh chuˆo
˜
i Taylor trong
lˆan cˆa
.
nd
iˆe
’
m a = −8.
Gia
’
i. Nhu
.
trong v´ıdu
.
5 ta c´o
3
√
z =
3

−8+(z +8)=
3
√
−8

1 −
z +8
8


1/3
v`a do d´o nh´anh tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
n b`ai to´an l`a
f(z)=−2

1 −
z +8
8

1/3
.
Tiˆe
´
p theo, ´ap du
.
ng cˆong th´u
.
cVtac´o
f(z)=−2

1 −

n1



1
3
n


1
8
n
(z +8)
n

V`ı z =0l`ad
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cu
’
a h`am gˆa
`
nd
iˆe
’
m a = −8 nhˆa
´
tnˆenR =

dist(0;−8) = 8.
D
-
i
.
nh l´y 4.1.8. Gia
’
su
.
’
chuˆo
˜
i c´ac h`am chı
’
nh h`ınh

k1
u
k
(z) hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u trong
h`ınh tr`on S(a; R)={z : |z − a| <R} d
ˆe
´
ntˆo

’
ng f(z):
f(z)=

k1
u
k
(z) (4.13)
298 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh
Khi d´oc´achˆe
.
sˆo
´
Taylor a
n
(f) cu

’
a h`am f(z) x´ac di
.
nh bo
.
’
i (4.13) l`a b˘a
`
ng c´ac
tˆo
’
ng cu
’
ac´achˆe
.
sˆo
´
Taylor c`ung sˆo
´
hiˆe
.
u a
n
(u
k
) cu
’
a c´ac h`am u
k
(z),t´u

.
cl`a
a
n
(f)=

k1
a
n
(u
k
). (4.14)
Ch´u
.
ng minh. T´ınh chı
’
nh h`ınh cu
’
a h`am tˆo
’
ng f(z)d
u
.
o
.
.
c suy ra t`u
.
d
i

.
nh l´y
Weierstrass (4.1.3). C˜ung theo d
i
.
nh l´y Weierstrass ta c´o
f
(n)
(z)=

k1
u
(n)
k
(z)
Thay z = a ta thu d
u
.
o
.
.
c
f
(n)
(a)
n!
=

k1
u

(n)
k
(a)
n!
hay l`a
a
n
(f)=

k1
a
n
(u
k
).
Ta x´et v´ıdu
.
sau dˆay.
Ta x´et tˆo
’
ng cu
’
a chuˆo
˜
i h`am
F (z)=

n0
z
n

1 − z
n
·
Tru
.
´o
.
chˆe
´
t ta nhˆa
.
nx´et r˘a
`
ng c´ac sˆo
´
ha
.
ng cu
’
a chuˆo
˜
id
ˆe
`
u l`a nh˜u
.
ng h`am
chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on d

o
.
nd
o
.
nvi
.
.
Ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh r˘a
`
ng chuˆo
˜
id
˜a c h o h ˆo
.
itu
.
dˆe
`
u trˆen t`u
.
ng comp˘a
´
ccu
’
a

h`ınh tr`on d
o
.
nvi
.
U. Thˆa
.
tvˆa
.
y, nˆe
´
u K l`a tˆa
.
pho
.
.
pd
´ong trong U v`a δ>0l`a
khoa
’
ng c´ach t`u
.
K d
ˆe
´
ndu
.
`o
.
ng tr`on d

o
.
nvi
.
th`ı
|z|  1 − δ = ρ<1 ∀z ∈ K.
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 299
Do d´o



z
n
1 − z
n




ρ

n
1 − ρ
n

ρ
n
1 − ρ
·
Nhu
.
ng v`ı chuˆo
˜
i

n0
ρ
n
1 − ρ
hˆo
.
itu
.
, nˆen chuˆo
˜
id
˜a cho hˆo
.
itu
.
dˆe

`
u trˆen K.
D
ˆe
’
x´ac di
.
nh hˆe
.
sˆo
´
Taylor cu
’
a z
k
trong khai triˆe
’
n Taylor cu
’
a h`am f(z)ta
cˆa
`
ncˆo
.
ng c´ac hˆe
.
sˆo
´
Taylor cu
’

a z
k
trong mo
.
i khai triˆe
’
n
σ
n
=
z
n
1 − z
n
= z
n
+ z
2n
+ z
3n
+ ...
Ta k´y hiˆe
.
uhˆe
.
sˆo
´
Taylor cu
’
a σ

n
l`a A
k
(σ
n
). Ta c´o
A
k
(σ
n
)=



1, nˆe
´
u k chia hˆe
´
tchon,
0, nˆe
´
u k khˆong chia hˆe
´
tchon.
Do d
´o h ˆe
.
sˆo
´
cˆa

`
n t`ım cu
’
a z
k
b˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac do
.
nvi
.
v´o
.
isˆo
´
lu
.
o
.
.
ng b˘a
`
ng sˆo
´
c´ac
u
.
´o

.
ctu
.
.
nhiˆen cu
’
asˆo
´
k.Nˆe
´
utak´yhiˆe
.
u ϕ(k) l`a sˆo
´
d
´o, th`ı ϕ(1) = 1; ϕ(2) = 2;
ϕ(3) = 2; ϕ(4) = 3,... v`a ta c´o
F (z)=

k1
ϕ(k)z
k
D´o l`a khai triˆe
’
nmuˆo
´
n t`ım. H`am F (z)chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on do
.

nvi
.
(theo d
i
.
nh l´y Weierstrass) nˆen chuˆo
˜
idang x´et hˆo
.
itu
.
trong h`ınh tr`on do
.
nvi
.
.
D
-
i
.
nh l´y 4.1.9. Gia
’
su
.
’
f(z) l`a h`am ho
.
.
pcu
’

a z
f(z)=F [ϕ(z)] = F (w),w= ϕ(z)
v`a c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
nsaudˆay du
.
o
.
.
c tho
’
a m˜an
1
+
. h`am w = ϕ(z) chı
’
nh h`ınh trong lˆan cˆa
.
ndiˆe
’
m z = a;
2
+
. h`am F (w) chı
’
nh h`ınh trong lˆan cˆa
.

ndiˆe
’
m w = b = ϕ(a).
Khi d
´o: 1) h`am f = F ◦ ϕ chı
’
nh h`ınh ta
.
i lˆan cˆa
.
ndiˆe
’
m z = a;
2) Khai triˆe
’
n Taylor cu
’
a h`am f(z) v´o
.
i tˆam ta
.
id
iˆe
’
m z = a thu du
.
o
.
.
cb˘a

`
ng
ph´ep thˆe
´
chuˆo
˜
i theo l˜uy th`u
.
acu
’
a z − a d
ˆo
´
iv´o
.
i h`am ϕ(z) v`ao chuˆo
˜
i theo l˜uy
300 Chu
.
o
.
ng 4. C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’

a h`am chı
’
nh h`ınh
th`u
.
acu
’
a w − b d
ˆo
´
iv´o
.
i h`am F (w);o
.
’
d
ˆay c´ac hˆe
.
sˆo
´
Taylor cu
’
a h`am f(z)
d
u
.
o
.
.
c t`ım b˘a

`
ng c´ach thu
.
.
chiˆe
.
n c´ac ph´ep nhˆan chuˆo
˜
iv`acˆo
.
ng c´ac hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a
c´ac l˜uy th`u
.
ac`ung bˆa
.
c.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
ϕ(z)=b +


m1
a
m
(z − a)
m
, |z − r| <r (4.15)
F (w)=

n0
A
n
(w − b)
n
, |w − b| <R. (4.16)
trong d
´o c´ac hˆe
.
sˆo
´
a
m
, A
n
d˜a b i ˆe
´
t.
V`ı ϕ(z) → b khi z → a nˆen ∃ ρ = ρ(R), 0 <ρ r sao cho khi |z − a| <ρ
th`ı
|ϕ(z) − b| <R.

Do d
´o khi |z| <ρ,diˆe
’
m w = ϕ(z) thuˆo
.
c h`ınh tr`on hˆo
.
itu
.
cu
’
a chuˆo
˜
i (4.16).
V`ı F (w)chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on |w − b| <R, c`on ϕ(z)chı
’
nh h`ınh trong
h`ınh tr`on |z − a| <ρv`a gi´a tri
.
cu
’
a n´o thuˆo
.
ch`ınh tr`on |w− b| <Rnˆen h`am
ho
.
.
p

f(z)=F [ϕ(z)]
chı
’
nh h`ınh trong h`ınh tr`on |z − a| <ρ.T`u
.
d
´o theo di
.
nh l´y Cauchy - Taylor
h`am f(z) khai triˆe
’
nd
u
.
o
.
.
c th`anh chuˆo
˜
il˜uy th`u
.
a trong h`ınh tr`on |z − a| <ρ.
Ta cˆa
`
nt`ımhˆe
.
sˆo
´
cu
’

a chuˆo
˜
id
´o.
X´et khai triˆe
’
n
f(z)=F [ϕ(z)] =

n0
A
n
[ϕ(z) − b]
n
=

n0
A
n


m1
a
m
(z − a)
m

n
(4.17)
hˆo

.
itu
.
khi |z − a| <ρ.
4.1. C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy 301
Dˆe
’
c´o thˆe
’
du
.
.
a v`ao t´ınh hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
ucu

’
a n´o ta thay ρ bo
.
’
isˆo
´
khˆong l´o
.
nho
.
n
n´o l`a 0 <ρ

 ρ sao cho trong h`ınh tr`on |z − a| <ρ

th`ı
|ϕ(z) − b| <
R
2
·
V`ı chuˆo
˜
i (4.16) hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u khi |w − b| <

R
2
nˆen chuˆo
˜
i (4.17) hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u khi
|z − a| <ρ

.Dod´ohˆe
.
sˆo
´
cu
’
a z
k
trong khai triˆe
’
n Taylor cu
’
a f(z) c´o thˆe
’
t`ım d
u

.
o
.
.
cb˘a
`
ng c´ach lˆa
´
ytˆo
’
ng c´ac hˆe
.
sˆo
´
c`ung sˆo
´
hiˆe
.
u trong khai triˆe
’
ncu
’
amˆo
˜
i
h`am u
n
(z)=A
n
[ϕ(z) − b]

n
.Dˆe
’
t`ım khai triˆe
’
n Taylor dˆo
´
iv´o
.
i u
n
(z) ta cˆa
`
n
thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep nhˆan liˆen tiˆe
´
p c´ac chuˆo
˜
i

m1
a
m
(z− a)
m

v´o
.
ich´ınh n´o. Chuˆo
˜
i

n0
u
n
(z)hˆo
.
itu
.
dˆe
`
uv`agˆo
`
mt`u
.
c´ac h`am chı
’
nh h`ınh nˆen c´o thˆe
’
´ap du
.
ng d
i
.
nh
l´y 4.1.6. T`u

.
d
´o v `a t `u
.
t´ınh duy nhˆa
´
tcu
’
a khai triˆe
’
n h`am th`anh chuˆo
˜
il˜uy
th`u
.
a suy ra c´ach x´ac d
i
.
nh c´ac hˆe
.
sˆo
´
Taylor cu
’
a h`am f.Di
.
nh l´y du
.
o
.

.
cch´u
.
ng
minh.
V´ı d u
.
. T`ım bˆo
´
nsˆo
´
ha
.
ng dˆa
`
u tiˆen cu
’
a khai triˆe
’
n h`am f(z)=e
sin z
th`anh
chuˆo
˜
i Taylor v´o
.
i tˆam a =0.
Gia
’
i. Thay t = sin z v`ao d

˘a
’
ng th´u
.
c
e
t
=1+
t
1!
+
t
2
2!
+ ···=
t
n
n!
+ ...
ta thu d
u
.
o
.
.
c
e
sin z
=1+
sin z

1!
+
sin
2
z
2!
+ ···+
sin
n
z
n!
+ ...
T`u
.
d
´o ta c´o
e
sin z
=1+

z −
z
3
3!
+ ...

+
1
2!


z −
z
3
3!
+ ...

2
+
1
3!

z −
z
3
3!
+ ...

2
+ ···=