Tài liệu Mặt biến phức và Hàm biến phức doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1013.9 KB, 97 trang )
Mặt biến phức và Hàm biến phức
Chương 1. Mặt phẳng phức và hàm biến phức
Nguyễn Thủy Thanh
Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 10-104.
Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Mặt phẳng phức, Khai căn số phức,
Môđun, Acgumen, Topo trên mặt phẳng phức, Phần trong và phần ngoài, Điểm
tụ, Điểm biên, Tập compact, Tập liên thông, Phép đồng luân, Ánh xạ đơn diệp,
Tính liên tục, Tính liên tục đều, Chuỗi trong miền phức, Hàm argz.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho
mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép,
in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất
bản và tác giả.
Chu
.
o
.
ng 1
M˘a
.
tph˘a
’
ng ph´u
.
cv`ah`am biˆe
´
n
ph´u
.
c
1.1 Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c........ 11
1.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c ................. 12
1.1.2 Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c............... 16
1.1.3 Ph´ep tr`u
.
v`a ph´ep chia sˆo
´
ph´u
.
c ........... 18
1.1.4 M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c ................... 19
1.1.5 Mˆodun v`a acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c .......... 20
1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo
´
ph´u
.
c................ 28
1.1.7 Da
.
ng m˜u cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c ................ 29
1.1.8 Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
m˘a
.
t ph˘a
’
ng mo
.
’
rˆo
.
ng ......... 30
1.1.9 Khoa
’
ng c´ach trˆen C ................. 33
1.2 C´ac kh´ai niˆe
.
m tˆopˆo co
.
ba
’
n trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c
3
5
1.2.1 Tˆopˆo trˆen C ..................... 36
1.2.2 Phˆa
`
n trong v`a phˆa
`
nngo`ai.............. 38
1.2.3 D
-
iˆe
’
mtu
.
........................ 39
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 11
1.2.4 Biˆen cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p................... 40
1.2.5 Tˆa
.
pho
.
.
p comp˘a
´
c ................... 41
1.2.6 Tˆa
.
pho
.
.
pliˆenthˆong.................. 42
1.2.7 H`am ph´u
.
cbiˆe
´
n thu
.
.
c. Tuyˆe
´
nv`ad
u
.
`o
.
ng cong . . . . 46
1.2.8 Ph´ep dˆo
`
ngluˆan.................... 53
1.2.9 Miˆe
`
ndo
.
n liˆen v`a d
aliˆen............... 56
1.3 H`am biˆe
´
nph´u
.
c.................... 59
1.3.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa h`am biˆe
´
nph´u
.
c ............. 59
1.3.2 C´ac v´ı du
.
vˆe
`
´anh xa
.
do
.
ndiˆe
.
p............ 62
1.3.3 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
ah`am .................. 64
1.3.4 T´ınh liˆen tu
.
c v`a liˆen tu
.
cd
ˆe
`
u ............ 67
1.4 L´y thuyˆe
´
t d˜ay v`a chuˆo
˜
i trong miˆe
`
nph´u
.
c .... 72
1.4.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜ayd
iˆe
’
m................ 72
1.4.2 Chuˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c v`a su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
an´o......... 75
1.4.3 D˜ay v`a chuˆo
˜
ih`am .................. 79
1.4.4 Chuˆo
˜
il˜uyth`u
.
a.................... 85
1.4.5 Su
.
.
hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u trˆen t`u
.
ng comp˘a
´
c .......... 92
1.5 H`am arg z ....................... 95
1.5.1 T´ınh liˆen tu
.
ccu
’
a h`am arg z ............. 95
1.5.2 Sˆo
´
gia cu
’
a acgumen do
.
c theo d
u
.
`o
.
ng cong . . . . . 96
1.5.3 Nh´anh do
.
n tri
.
liˆen tu
.
ccu
’
a h`am arg z ....... 98
1.6 B`ai tˆa
.
p......................... 100
1.1 Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
tph˘a
’
ng ph´u
.
c
Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c c´o hai cˆa
´
utr´uc: cˆa
´
utr´uc d
a
.
isˆo
´
cu
’
amˆo
.
t tru
.
`o
.
ng v`a d
ˆo
`
ng
th`o
.
i n´o c´o cˆa
´
utr´uc tˆopˆo cu
’
amˆo
.
t khˆong gian (khˆong gian Euclide hai chiˆe
`
u,
12 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
t´u
.
c l`a m˘a
.
t ph˘a
’
ng). Do d
´otˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
ph´u
.
c c´o ca
’
t´ınh chˆa
´
td
a
.
isˆo
´
lˆa
˜
n
t´ınh chˆa
´
t tˆopˆo. Trong mu
.
c n`ay ta s˜e nghiˆen c´u
.
u c´ac t´ınh chˆa
´
td
a
.
isˆo
´
cu
’
atˆa
.
p
ho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c.
1.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c
Ta x´et phu
.
o
.
ng tr`ınh
x
2
+1=0.
R˜o r`ang l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay khˆong c´o nghiˆe
.
m thuˆo
.
c R v`ı x
2
+1 1, ∀ x ∈ R.
Do d
´omˆo
.
tvˆa
´
ndˆe
`
tu
.
.
nhiˆen d
˘a
.
t ra l`a t`ım mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p (ta k´yhiˆe
.
ul`aC) tho
’
a
m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
n sau dˆay:
1. C l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng;
2. R ⊂ C;
3. Phu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
+ 1 = 0 c´o nghiˆe
.
m trong C.
V`ıtˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
thu
.
.
c R l`a mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p con cu
’
a C nˆen khi x´ac d
i
.
nh c´ac
ph´ep t´ınh sˆo
´
ho
.
cco
.
ba
’
n trˆen c´ac sˆo
´
ph´u
.
ctacˆa
`
nd
`oi ho
’
ir˘a
`
ng khi ´ap du
.
ng cho
c´ac sˆo
´
thu
.
.
c c´ac ph´ep to´an d
´odu
.
ala
.
ikˆe
´
t qua
’
nhu
.
kˆe
´
t qua
’
thu d
u
.
o
.
.
c trong sˆo
´
ho
.
c c´ac sˆo
´
thu
.
.
c. M˘a
.
t kh´ac, nˆe
´
u ta mong muˆo
´
n c´ac sˆo
´
ph´u
.
c c´o nh˜u
.
ng ´u
.
ng
du
.
ng trong c´ac vˆa
´
nd
ˆe
`
cu
’
a gia
’
i t´ıch th`ı ta cˆa
`
nd`oi ho
’
ir˘a
`
ng c´ac ph´ep to´an co
.
ba
’
nd
u
.
o
.
.
cd
u
.
a v`ao d
´o pha
’
i tho
’
a m˜an c´ac tiˆen dˆe
`
thˆong thu
.
`o
.
ng cu
’
asˆo
´
ho
.
c c´ac
sˆo
´
thu
.
.
c.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.1. Mˆo
˜
ic˘a
.
psˆo
´
thu
.
.
c c´o th´u
.
tu
.
.
(a, b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R d
u
.
o
.
.
c
go
.
i l`a mˆo
.
t sˆo
´
ph´u
.
c nˆe
´
u trˆen tˆa
.
pho
.
.
p c´ac c˘a
.
pd
´o quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau, ph´ep
cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan d
u
.
o
.
.
cd
u
.
a v`ao theo c´ac d
i
.
nh ngh˜ıa (tiˆen dˆe
`
) sau dˆay:
I. (a, b)=(c, b) ⇔
a = c
b = d.
II. Ph´ep cˆo
.
ng: (a, b)+(c, d)
def
=(a + c, b + d)
1
v`a c˘a
.
p(a + c, b + d)du
.
o
.
.
c
go
.
il`atˆo
’
ng cu
’
a c´ac c˘a
.
p(a, b)v`a(c, d).
1
Def. l`a c´ach viˆe
´
tt˘a
´
tcu
’
at`u
.
tiˆe
´
ng Anh definition (di
.
nh ngh˜ıa)
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 13
III. Ph´ep nhˆan: (a, b)(c, d)
def
=(ac − bd, ad + bc) v`a c˘a
.
p(ac − bd, ad + bc)
d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`at´ıch cu
’
a c´ac c˘a
.
p(a, b)v`a(c, d).
IV. C˘a
.
p(a, 0) d
u
.
o
.
.
cd
ˆo
`
ng nhˆa
´
tv´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c a, ngh˜ıa l`a
(a, 0)
def
≡ a.
Tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aC.
Nhu
.
vˆa
.
ymo
.
i phˆa
`
ncu
’
ad
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
cd
ˆe
`
udu
.
o
.
.
c ph´at biˆe
’
ub˘a
`
ng ngˆon
ng˜u
.
sˆo
´
thu
.
.
c v`a c´ac ph´ep to´an trˆen ch´ung.
Trong d
i
.
nh ngh˜ıa n`ay ba tiˆen dˆe
`
dˆa
`
u thu
.
.
cchˆa
´
tl`ad
i
.
nh ngh˜ıa c´ac kh´ai
niˆe
.
m kh´ac nhau: d
i
.
nh ngh˜ıa kh´ai niˆe
.
mb˘a
`
ng nhau, tˆo
’
ng v`a t´ıch c´ac sˆo
´
ph´u
.
c.
Do d
´oviˆe
.
cdˆo
´
i chiˆe
´
u c´ac tiˆen dˆe
`
d´ov´o
.
i nhau s˜e khˆong dˆa
˜
nd
ˆe
´
nbˆa
´
tc´u
.
mˆau
thuˆa
˜
n n`ao. D
iˆe
`
u duy nhˆa
´
t c´o thˆe
’
gˆay ra dˆoi ch´ut lo nga
.
i l`a tiˆen dˆe
`
IV. Vˆa
´
n
d
ˆe
`
l`a o
.
’
chˆo
˜
:vˆo
´
n d˜ı c´ac kh´ai niˆe
.
mb˘a
`
ng nhau, tˆo
’
ng v`a t´ıch c´ac sˆo
´
thu
.
.
cc´o´y
ngh˜ıa ho`an to`an x´ac d
i
.
nh v`a do d´onˆe
´
u c´ac kh´ai niˆe
.
m n`ay khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch
v´o
.
inh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
md
u
.
o
.
.
cd
ˆe
`
cˆa
.
pdˆe
´
n trong c´ac tiˆen dˆe
`
I - III khi x´et c´ac sˆo
´
thu
.
.
cv´o
.
itu
.
c´ach l`a c´ac c˘a
.
pda
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
t th`ı buˆo
.
c pha
’
i loa
.
itr`u
.
tiˆen d
ˆe
`
IV.
Do d
´o ta cˆa
`
ndˆo
´
i chiˆe
´
u tiˆen dˆe
`
IV v´o
.
i c´ac tiˆen d
ˆe
`
I, II v`a III.
1) I - IV. Gia
’
su
.
’
hai sˆo
´
thu
.
.
c a v`a b b˘a
`
ng nhau nhu
.
nh˜u
.
ng c˘a
.
pda
.
ng
d
˘a
.
cbiˆe
.
tdˆo
`
ng nhˆa
´
tv´o
.
ich´ung: (a, 0) = (b, 0). Khi d
´o theo tiˆen dˆe
`
Itac´o
(a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b,t´u
.
cl`anˆe
´
uch´ung b˘a
`
ng nhau theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
2) II - IV. Theo tiˆen d
ˆe
`
II, tˆo
’
ng hai sˆo
´
thu
.
.
c a v`a c d
u
.
o
.
.
cx´et nhu
.
nh˜u
.
ng
c˘a
.
p(a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a
`
ng c˘a
.
p(a + c, 0+0)=(a + c, 0). Nhu
.
ng theo tiˆen d
ˆe
`
IV th`ı (a + c, 0) ≡ a + c.Nhu
.
vˆa
.
y
(a, 0)+(c, 0)=(a + c, 0+0)=(a + c, 0) ≡ a + c
t´u
.
cl`ad
ˆo
`
ng nhˆa
´
tb˘a
`
ng tˆo
’
ng a + c theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
3) III - IV. Theo tiˆen d
ˆe
`
III, t´ıch c´ac sˆo
´
thu
.
.
c a v`a b d
u
.
o
.
.
cx´et nhu
.
nh˜u
.
ng
c˘a
.
p(a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a
`
ng c˘a
.
p
(ac − 0 · 0,a· 0+0· c)=(ac, 0)
14 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
v`a theo tiˆen dˆe
`
IV ta c´o (ac, 0) ≡ ac.Nhu
.
vˆa
.
y
(a, 0)(c, 0)
(III)
=(ac, 0)
(IV)
= ac
t´u
.
cl`ad
ˆo
`
ng nhˆa
´
tb˘a
`
ng t´ıch a v´o
.
i c theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
Nhu
.
vˆa
.
y tiˆen d
ˆe
`
IV tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i c´ac tiˆen d
ˆe
`
I, II v`a III.
Ta c˜ung lu
.
u ´y cˆong th´u
.
csaud
ˆay du
.
o
.
.
c suy tru
.
.
ctiˆe
´
pt`u
.
III v`a IV:
m(a, b)=(ma, mb),m∈ R.
Thˆa
.
tvˆa
.
yt`u
.
IV v`a III ta c´o
m(a, b)=(m, 0)(a, b)=(ma − 0 · b, mb +0· a)
=(ma, mb).
Nˆe
´
u m ∈ N th`ı theo II ta c´o
(a, b)+(a, b)=(2a, 2b);
(2a, 2b)+(a, b)=(3a, 3b),...
t´u
.
cl`a(ma, mb)l`akˆe
´
t qua
’
cu
’
a ph´ep cˆo
.
ng liˆen tiˆe
´
p m sˆo
´
ha
.
ng b˘a
`
ng (a, b).
D
iˆe
`
ud´oph`uho
.
.
pv´o
.
ibiˆe
’
utu
.
o
.
.
ng thˆong thu
.
`o
.
ng l`a ph´ep nhˆan v´o
.
isˆo
´
tu
.
.
nhiˆen
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng m sˆo
´
ha
.
ng b˘a
`
ng nhau.
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng c´ac tiˆen d
ˆe
`
II v`a III l`a tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i nhau v`a c´ac
quy luˆa
.
t thˆong thu
.
`o
.
ng cu
’
a c´ac ph´ep t´ınh thu
.
.
chiˆe
.
n trˆen c´ac sˆo
´
vˆa
˜
nd
u
.
o
.
.
c
ba
’
o to`an khi chuyˆe
’
n sang sˆo
´
ph´u
.
c(d
u
.
o
.
ng nhiˆen pha
’
ic˘a
´
tbo
’
mo
.
i quy luˆa
.
tc´o
quan hˆe
.
t´o
.
idˆa
´
u >).
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.2. Gia
’
su
.
’
z =(a, b) ∈ C. Khi d
´o s ˆo
´
ph´u
.
c(a,−b)d
u
.
o
.
.
cgo
.
i
l`a sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z v`a d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
z:
z =(a,−b).
Ta c´o d
i
.
nh l´y sau dˆay:
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 15
D
-
i
.
nh l´y 1.1.1. Tˆa
.
pho
.
.
p C lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng tho
’
a m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
1. C ⊃ R;
2. C ch´u
.
a phˆa
`
ntu
.
’
i v´o
.
it´ınh chˆa
´
t i
2
= −1; phˆa
`
ntu
.
’
i n`ay d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`a
d
o
.
nvi
.
a
’
o.
Ch´u
.
ng minh. 1. C l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng.Hiˆe
’
n nhiˆen, phˆa
`
ntu
.
’
d
o
.
nvi
.
cu
’
a C l`a c˘a
.
p
(1, 0) v`ır˘a
`
ng (a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0,a· 0+b · 1) = (a, b); v`a phˆa
`
ntu
.
’
-
khˆong cu
’
a C l`a c˘a
.
p(0, 0) v`ı r˘a
`
ng (a, b)+(0, 0) = (a +0,b+0)=(a, b).
D
ˆe
’
ch´u
.
ng to
’
C l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng ta chı
’
cˆa
`
nkiˆe
’
m nghiˆe
.
msu
.
tˆo
`
nta
.
i phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d
a
’
o (viˆe
.
ckiˆe
’
m nghiˆe
.
m c´ac tiˆen dˆe
`
c`on la
.
idˆo
´
iv´o
.
imˆo
.
t tru
.
`o
.
ng l`a hiˆe
’
n
nhiˆen). Gia
’
su
.
’
z =(a, b) =(0, 0) (t´u
.
cl`aa
2
+ b
2
> 0). Ta s˜e t`ım z
=(a
,b
)
sao cho
(a, b)(a
,b
)=(1, 0).
T`u
.
I v`a III suy ra
aa
− bb
=1,
ba
+ ab
=0.
T`u
.
d
´or´ut ra a
=
a
a
2
+ b
2
, b
= −
b
a
2
+ b
2
.Nhu
.
vˆa
.
y
z
=
a
a
2
+ b
2
,−
b
a
2
+ b
2
,
v`a r˜o r`ang l`a
z · z
=(a, b)
a
a
2
+ b
2
,−
b
a
2
+ b
2
=
a
2
+ b
2
a
2
+ b
2
,−
−ab + ab
a
2
+ b
2
=(1, 0).
Vˆe
`
sau phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d
a
’
o z
cu
’
a z thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`az
−1
.
2. R ⊂ C. X´et c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a, 0). Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng tˆa
.
pho
.
.
p R
=
{(a, 0),a∈ R} lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng con cu
’
a C.Tax´et ´anh xa
.
t`u
.
R v`ao R
a → (a, 0).
16 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng nˆe
´
u(a, 0) = (a
, 0) th`ı a = a
v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
i, d
ˆo
`
ng th`o
.
i
a + b → (a + b, 0)=(a, 0)+(b, 0),
ab → (ab, 0) = (a, 0)(b, 0).
Do d
´o ´anh xa
.
v`u
.
a x´et l`a mˆo
.
td
˘a
’
ng cˆa
´
ugi˜u
.
a R v`a R
v`a ph´ep d˘a
’
ng cˆa
´
u n`ay
cho ph´ep ta xem R nhu
.
l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng con cu
’
a C.
3. Phu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
+ 1 = 0 c´o nghiˆe
.
m trong C,t´u
.
cl`aC ch´u
.
a phˆa
`
ntu
.
’
i
m`a i
2
= −1.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
x =(a, b) ∈ C. Khi d
´o trong C phu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
+1=0
c´o da
.
ng:
(a, b)(a, b)+(1, 0) = (0, 0),
hay l`a
a
2
− b
2
+1=0,
2ab =0.
T`u
.
d
´or´ut ra a =0,b =1v`aa =0,b = −1. Ta k´y hiˆe
.
u hai nghiˆe
.
md´ol`a
i =(0, 1) v`a −i =(0,−1).
1.1.2 Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay
D
-
i
.
nh l´y 1.1.2. Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b) ∈ C d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng
z =(a, b)=a + ib.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o
z =(a, b)=(a, 0)+(b, 0)(0, 1) = a + ib.
Ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b)du
.
´o
.
ida
.
ng a + ib d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng d
a
.
i
sˆo
´
hay da
.
ng Descartes cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c. Sˆo
´
a d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aphˆa
`
n thu
.
.
c cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 17
z v`a k´y hiˆe
.
ul`aa =Re[z], sˆo
´
b du
.
o
.
.
cgo
.
il`aphˆa
`
na
’
o cu
’
an´ov`ak´yhiˆe
.
ul`a
b =Im[z].
2
Nˆe
´
u z =Re[z]th`ız l`a mˆo
.
tsˆo
´
thu
.
.
c. Nˆe
´
u z = iIm [z]th`ız l`a mˆo
.
t sˆo
´
thuˆa
`
na
’
o.V´o
.
i quan d
iˆe
’
m c´ac ph´ep to´an trong tru
.
`o
.
ng c´ac sˆo
´
ph´u
.
c, sˆo
´
thuˆa
`
n
a
’
o bi c´o thˆe
’
hiˆe
’
unhu
.
l`a t´ıch cu
’
asˆo
´
thu
.
.
c b v´o
.
id
o
.
nvi
.
a
’
o i v`a mˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c
a + ib nhu
.
l`a tˆo
’
ng cu
’
asˆo
´
thu
.
.
c a v´o
.
isˆo
´
thuˆa
`
na
’
o ib.
Do d
´o trong c´ach xˆay du
.
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c n`ay ta d
˜asu
.
’
du
.
ng c´ac k´yhiˆe
.
uc´o
mˆo
.
t ´y ngh˜ıa ho`an to`an cu
.
thˆe
’
v`a v`ı thˆe
´
tr´anh d
u
.
o
.
.
c t´ınh h`ınh th´u
.
cdok´y
hiˆe
.
ud
o
.
nvi
.
a
’
o i mang la
.
i.
Hˆe
.
qua
’
. Gia
’
su
.
’
z = a + ib ∈ C. Khi d
´osˆo
´
ph´u
.
cliˆen ho
.
.
p
z c´o thˆe
’
biˆe
’
u diˆen
du
.
´o
.
ida
.
ng
z = a − ib.
Ph´ep chuyˆe
’
nt`u
.
sˆo
´
ph´u
.
cd
˜a cho sang sˆo
´
ph´u
.
cliˆen ho
.
.
pv´o
.
in´od
u
.
o
.
.
cgo
.
il`a
ph´ep lˆa
´
y liˆen ho
.
.
p.
D
-
i
.
nh l´y 1.1.3. Gia
’
su
.
’
z, z
1
v`a z
2
∈ C. Khi d´o
1.
z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
;
2.
z
1
z
2
= z
1
· z
2
, αz = αz, ∀ α ∈ R;
3.
z = z.
Ch´u
.
ng minh. 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o
z
1
+ z
2
=(a
1
+ a
2
) − i(b
1
+ b
2
)
=(a
1
− ib
1
)+(a
2
− ib
2
)=z
1
+ z
2
.
2. Tu
.
o
.
ng tu
.
.
z
1
z
1
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
) − i(a
1
b
2
+ a
2
b
1
)
=(a
1
− ib
1
)(a
2
− ib
2
)=z
1
· z
2
.
3. Hiˆe
’
n nhiˆen.
2
C´ac k´y hiˆe
.
u Re v`a Im xuˆa
´
thiˆe
.
n do viˆe
.
cviˆe
´
tt˘a
´
t c´ac t`u
.
tiˆe
´
ng Ph´ap Reel (thu
.
.
c) v`a
Imaginaire (a
’
o)
18 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
Mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
ctr`ung v´o
.
isˆo
´
liˆen ho
.
.
pv´o
.
i n´o khi v`a chı
’
khi n´o l`a sˆo
´
thu
.
.
c.
Dˆe
˜
thˆa
´
y ´anh xa
.
t`u
.
tˆa
.
pho
.
.
ptˆa
´
tca
’
c´ac sˆo
´
ph´u
.
c v`ao tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
ph´u
.
c
liˆen ho
.
.
pv´o
.
ich´ung:
C z →
z ∈ C
l`a mˆo
.
ttu
.
.
d
˘a
’
ng cˆa
´
ucu
’
a C (Ba
.
ndo
.
c h˜ay tu
.
.
kiˆe
’
m tra !).
1.1.3 Ph´ep tr`u
.
v`a ph´ep chia sˆo
´
ph´u
.
c
C´ac ph´ep to´an tr`u
.
v`a chia d
u
.
o
.
.
cd
i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
c´ac ph´ep to´an ngu
.
o
.
.
cv´o
.
i
ph´ep cˆo
.
ng v`a nhˆan. D
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep tr`u
.
ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 1.1.4. Gia
’
su
.
’
z
1
v`a z
2
∈ C. Khi d´otˆo
`
nta
.
imˆo
.
t v`a chı
’
mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
c
z sao cho z
1
+ z = z
2
,cu
.
thˆe
’
l`a z =(−z
1
)+z
2
.
Ch´u
.
ng minh. 1. Ta c´o z
1
+((−z
1
)+z
2
)=(z
1
+(−z
1
)) + z
2
=0+z
2
= z
2
v`a nhu
.
vˆa
.
y z =(−z
1
)+z
2
tho
’
am˜and`oi ho
’
icu
’
adi
.
nh l´y.
2. Ngu
.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
´
u z
1
+ z = z
2
th`ı (−z
1
)+(z
1
+ z)=(−z
1
)+z
2
.T`u
.
d
´o
z =(−z
1
)+z
2
v`a nhu
.
vˆa
.
yd
i
.
nhl´ydu
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh.
Sˆo
´
ph´u
.
c z =(−z
1
)+z
2
du
.
o
.
.
cgo
.
il`ahiˆe
.
u cu
’
a c´ac sˆo
´
ph´u
.
c z
2
v`a z
1
. Thˆong
thu
.
`o
.
ng hiˆe
.
ud
´odu
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
z = z
2
− z
1
,
v`a nˆe
´
u z
1
= a
1
+ ib
1
, c`on z
2
= a
2
+ ib
2
th`ı
z = z
2
− z
1
=(a
2
− a
1
)+i(b
2
− b
1
).
D
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep chia ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 1.1.5. Gia
’
su
.
’
z
1
v`a z
2
∈ C, z
2
=0. Khi d´otˆo
`
nta
.
imˆo
.
t v`a chı
’
mˆo
.
t
sˆo
´
ph´u
.
c z sao cho z
2
z = z
1
,cu
.
thˆe
’
l`a: z = z
−1
2
z
1
.
Ch´u
.
ng minh. 1. Nˆe
´
u z = z
−1
2
z
1
th`ı z
2
z = z
2
(z
−1
2
z
1
)=z
1
.
2. Nˆe
´
u z
2
z = z
1
⇒ z = z
−1
2
(z
2
z)=z
−1
2
z
1
.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 19
Nhu
.
vˆa
.
ysˆo
´
z
−1
2
z
1
l`a thu
.
o
.
ng cu
’
a ph´ep chia z
1
cho z
2
.
Sˆo
´
thu
.
o
.
ng thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
z
1
z
2
ho˘a
.
c z
1
/z
2
.
Gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o ta c´o thˆe
’
viˆe
´
t:
z =
z
1
z
2
=
z
1
· z
2
z
2
· z
2
=
(a
1
+ ib
1
)(a
2
− ib
2
)
a
2
2
+ b
2
2
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
2
+ b
2
2
+ i
a
2
b
1
− a
1
b
2
a +2
2
+ b
2
2
·
Nhu
.
vˆa
.
y
z =
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
2
+ b
2
2
+ i
a
2
b
1
− a
1
b
2
a
2
2
+ b
2
2
·
V`a t`u
.
d
´o suy ra r˘a
`
ng ph´ep chia cho sˆo
´
ph´u
.
c z =0bˆa
´
tk`y l`a luˆon luˆon thu
.
.
c
hiˆe
.
nd
u
.
o
.
.
c.
1.1.4 M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c
Gia
’
su
.
’
trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng R
2
cho hˆe
.
to
.
adˆo
.
Descartes vuˆong g´oc xOy.Nhu
.
d
˜a
biˆe
´
t, hai d
iˆe
’
mdu
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh bo
.
’
i c´ac to
.
ad
ˆo
.
Descartes vuˆong g´oc tr`ung nhau
khi v`a chı
’
khi ch´ung c´o ho`anh d
ˆo
.
b˘a
`
ng nhau v`a tung dˆo
.
b˘a
`
ng nhau. Do d´o
ta c´o thˆe
’
x´ac lˆa
.
pmˆo
.
tph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
tgi˜u
.
a c´ac d
iˆe
’
mcu
’
a
m˘a
.
t ph˘a
’
ng R
2
v´o
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
ccu
’
a C, trong d
´omˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c z = x+iy ∈ C s˜e
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v`o
.
id
iˆe
’
m ho`an to`an x´ac di
.
nh M(x, y) ∈ R
2
v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
imˆo
˜
id
iˆe
’
m
M(x, y) ∈ R
2
s˜e tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c ho`an to`an x´ac d
i
.
nh z = x + iy ∈ R
2
.
Nhu
.
vˆa
.
y ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
R
2
(x, y) → x + iy ∈ C
l`a d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. T`u
.
d
´o ta thˆa
´
yr˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ph´u
.
cd
ˆe
`
uc´othˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n
bo
.
’
id
iˆe
’
mcu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng v`a nhu
.
vˆa
.
y c´ac thuˆa
.
tng˜u
.
“sˆo
´
ph´u
.
c z”v`a“d
iˆe
’
m z”
d
u
.
o
.
.
cd`ung nhu
.
nh˜u
.
ng t`u
.
d
ˆo
`
ng ngh˜ıa.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.3. M˘a
.
t ph˘a
’
ng v´o
.
i ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t
R
2
(x, y) → x + iy ∈ C
20 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
nhu
.
d
˜a m ˆo t a
’
o
.
’
trˆen d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`am˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a c˜ung d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aC.
C´o thˆe
’
n´oi mˆo
.
t c´ach kh´ac: m˘a
.
t ph˘a
’
ng m`a c´ac d
iˆe
’
mcu
’
an´odu
.
o
.
.
c d`ung
d
ˆe
’
mˆo ta
’
sˆo
´
ph´u
.
cgo
.
i l`a m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c. C´ac sˆo
´
thu
.
.
cd
u
.
o
.
.
c mˆo ta
’
bo
.
’
i c´ac
d
iˆe
’
m trˆen tru
.
c Ox nˆen tru
.
cd´odu
.
o
.
.
cgo
.
il`atru
.
c thu
.
.
c. C´ac sˆo
´
thuˆa
`
na
’
od
u
.
o
.
.
c
mˆo ta
’
bo
.
’
i c´ac d
iˆe
’
m trˆen tru
.
c Oy nˆen tru
.
c Oy du
.
o
.
.
cgo
.
il`atru
.
ca
’
o.
Ta c˜ung c´o thˆe
’
x´ac lˆa
.
p ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng gi˜u
.
a c´ac phˆa
`
n thu
.
.
c v`a phˆa
`
na
’
o
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cv´o
.
i c´ac to
.
ad
ˆo
.
cu
’
a vecto
.
v´o
.
igˆo
´
c, ch˘a
’
ng ha
.
n, ta
.
igˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
.Su
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng gi˜u
.
a c´ac sˆo
´
ph´u
.
c v`a c´ac vecto
.
trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
cv´o
.
igˆo
´
cta
.
i
O l`a mˆo
.
tph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. Do d
´o s ˆo
´
ph´u
.
c z c`on c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nbo
.
’
imˆo
.
t vecto
.
v´o
.
igˆo
´
cta
.
i O v`a d
ˆa
`
um´ut ta
.
idiˆe
’
m z v`a ta c´o thˆe
’
su
.
’
du
.
ng thuˆa
.
tng˜u
.
“sˆo
´
ph´u
.
c z”v`a“vecto
.
z”nhu
.
nh˜u
.
ng thuˆa
.
tng˜u
.
d
ˆo
`
ng ngh˜ıa.
Nh`o
.
c´ach minh ho
.
a vecto
.
d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
c, vˆe
`
m˘a
.
th`ınh ho
.
c ta c´o thˆe
’
thu
.
.
chiˆe
.
nph´ep cˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac sˆo
´
ph´u
.
c theo c´ac quy t˘a
´
ccˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac
vecto
.
.
1.1.5 Mˆodun v`a acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
Bˆay gi`o
.
ta x´et c´ac to
.
ad
ˆo
.
cu
.
.
ccu
’
ad
iˆe
’
mbiˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c z b˘a
`
ng c´ach cho
.
n
gˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
l`am gˆo
´
c-cu
.
.
c v`a phˆa
`
ndu
.
o
.
ng cu
’
a tru
.
c thu
.
.
c l`am tru
.
ccu
.
.
c.
Nhu
.
ta biˆe
´
t, c´ac to
.
ad
ˆo
.
cu
.
.
ccu
’
ad
iˆe
’
mgˆo
`
m c´o b´an k´ınh vecto
.
cu
’
a n´o (b˘a
`
ng
khoa
’
ng c´ach t`u
.
d
iˆe
’
m z dˆe
´
ngˆo
´
ccu
.
.
c) v`a g´oc cu
.
.
cta
.
onˆenbo
.
’
ihu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng
cu
’
a tru
.
ccu
.
.
c v`a vecto
.
d
it`u
.
cu
.
.
cd
ˆe
´
ndiˆe
’
m z.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.4. D
ˆo
.
d`ai cu
’
a b´an k´ınh-vecto
.
cu
’
ad
iˆe
’
mbiˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
z d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆod
un cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cv`ak´yhiˆe
.
ul`a|z|.
R˜o r`ang l`a nˆe
´
u z = a + ib th`ı
|z| =
√
zz =(a
2
+ b
2
)
1/2
.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z ∈ C bˆa
´
tk`y mˆod
un cu
’
a n´o x´ac di
.
nh mˆo
.
tc´achdo
.
n tri
.
.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p khi z l`a sˆo
´
thu
.
.
c th`ı mˆod
un cu
’
a z tr`ung v´o
.
i gi´a tri
.
tuyˆe
.
t
d
ˆo
´
icu
’
a n´o.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 21
D
-
i
.
nh l´y 1.1.6. Mˆodun cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau d
ˆay:
1. |z| 0, |z| =0⇔ z =0;
2. |z
1
z
2
| = |z
1
||z
2
|,
3. |z
1
+ z
2
| |z
1
| + |z
2
| (bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c tam gi´ac).
Ch´u
.
ng minh. 1. D
u
.
o
.
.
c suy t`u
.
d
i
.
nh ngh˜ıa.
2. Ta c´o |z
1
z
2
|
2
= z
1
z
2
· z
1
z
2
= z
1
z
1
· z
2
z
2
= |z
1
|
2
|z
2
|
2
.Dod´o |z
1
z
2
| =
|z
1
||z
2
|.
3. Ta c´o
|z
1
+ z
2
|
2
=(z
1
+ z
2
)(z
1
+ z
2
)=|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+ 2Re(z
1
z
2
).
Do d
´o, dˆe
’
´ydˆe
´
nbˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c
−|z
1
z
2
| Re(z
1
z
2
) |z
1
z
2
|
ta suy ra
|z
1
+ z
2
|
2
|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+2|z
1
z
2
| =(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
)
2
th`anh thu
.
’
|z
1
+ z
2
| |z
1
| + |z
2
|
Nhˆa
.
n x´et. T`u
.
d
i
.
nh l´y v`u
.
ach´u
.
ng minh suy ra r˘a
`
ng
|z
1
− z
2
| = d(z
1
,z
2
)
l`a khoa
’
ng c´ach gi˜u
.
a hai d
iˆe
’
m z
1
v`a z
2
v`a da
.
ilu
.
o
.
.
ng |z| l`a d
ˆo
.
d`ai cu
’
a b´an
k´ınh-vecto
.
z.
Hˆe
.
qua
’
a) |z
1
− z
2
| |z
1
| + |z
2
|;
b) |z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
|;
c) |z
1
− z
2
| |z
1
|−|z
2
|;
d) |z
1
+ z
2
|
|z
1
|−|z
2
|
;
e) |z
1
− z
2
|
|z
1
|−|z
2
|
.
22 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
Ch´u
.
ng minh. a) Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ı |z
2
| = |−z
2
| nˆen
|z
1
− z
2
| = |z
1
+(−z
2
)| |z
1
| + |−z
2
| = |z
1
| + |z
2
|.
b) D
ˆe
’
ch´u
.
ng minh b) ta ´ap du
.
ng a) cho
z
1
=(z
1
+ z
2
) − z
2
.
Ta c´o
|z
1
| |z
1
+ z
2
| + |z
2
|⇒|z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
|.
c) |z
1
− z
2
| = |z
1
+(−z
2
)| |z
1
|−|−z
2
| = |z
1
|−|z
2
|.
d) Ta c´o |z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
| v`a |z
1
+ z
2
| |z
2
|−|z
1
|.Dod´o
−|z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
| |z
1
+ z
2
|⇔
|z
1
|−|z
2
|
|z
1
+ z
2
|.
e) Bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c e) thu d
u
.
o
.
.
ct`u
.
d) sau khi thay z
2
bo
.
’
i −z
2
.
T`u
.
bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c tam gi´ac, dˆe
˜
d`ang suy ra r˘a
`
ng
n
k=1
z
k
n
k=1
|z
k
|. (1.1)
T`u
.
bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c n`ay v`a a) suy ra
|z
1
+ z
2
+ ···+ z
n
| |z
1
|−|z
2
+ z
3
+ ···+ z
n
|
|z
1
|−|z
2
|−···−|z
n
|. (1.2)
C´o thˆe
’
xem c´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c (1.1) v`a (1.2) nhu
.
nh˜u
.
ng bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
tˆo
’
ng qu´at d
ˆo
´
iv´o
.
ibˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c tam gi´ac v`a bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c a).
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe
’
n sang d
i
.
nh ngh˜ıa acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib =0.
Ta d
˘a
.
t r = |z| =
√
a
2
+ b
2
.V`ı a
2
r
2
, b
2
r
2
nˆen
a
r
1v`a
b
r
1.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 23
Nhu
.
ta biˆe
´
t, v´o
.
imo
.
i x ∈ [0, 1] tˆo
`
nta
.
imˆo
.
t v`a chı
’
mˆo
.
tsˆo
´
y ∈
0,
π
2
sao
cho sin y = x.T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng tˆo
`
nta
.
isˆo
´
α
0
sao cho
a) 0 α
0
π
2
, b) sin α
0
=
b
r
.
Nhu
.
ng v`ı
a
r
2
+
b
r
2
=1
nˆen
a
r
= ± cos α
0
,
b
r
= ± sin α
0
.
D
˘a
.
t α = α
0
.Nˆe
´
u a<0 th`ı thay α b˘a
`
ng π − α.Nˆe
´
u b<0 th`ı thay α
b˘a
`
ng −α.Dod
´o ta thu du
.
o
.
.
csˆo
´
α tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n
a
r
= cos α,
b
r
= sin α. (1.3)
Ta c´o d
i
.
nh ngh˜ıa sau dˆay.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.5. Sˆo
´
thu
.
.
c α tho
’
a m˜an hˆe
.
(1.3) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aacgumen cu
’
a
sˆo
´
ph´u
.
c z v`a d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
u l`a Arg z.
T`u
.
d
i
.
nh ngh˜ıa n`ay dˆe
˜
d`ang nhˆa
.
n thˆa
´
yr˘a
`
ng acgumen cu
’
a z l`a g´oc ta
.
onˆen
gi˜u
.
ahu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng cu
’
a tru
.
c thu
.
.
cv´o
.
i vecto
.
z nhˆa
.
nhu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
cchiˆe
`
u kim
d
ˆo
`
ng hˆo
`
l`am hu
.
´o
.
ng biˆe
´
n thiˆen du
.
o
.
ng.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
z = 0 acgumen khˆong c´o gi´a tri
.
x´ac d
i
.
nh v`a d´oc˜ung l`a diˆe
’
m
duy nhˆa
´
t c´o acgumen khˆong x´ac d
i
.
nh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, z =0⇔ Re z =Imz =0,
do d
´ot`u
.
(1.3) suy ra arg 0 khˆong x´ac d
i
.
nh.
Acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh khˆong do
.
n tri
.
. Ta s˜e n´oi r˜o d
˘a
.
cdiˆe
’
m
cu
’
a t´ınh d
a tri
.
cu
’
a acgumen.
Gia
’
su
.
’
ϕ
0
l`a gi´a tri
.
b´e nhˆa
´
tcu
’
a acgumen cu
’
a z du
.
o
.
.
c t´ınh theo hu
.
´o
.
ng
du
.
o
.
ng. Sau khi thu
.
.
chiˆe
.
nmˆo
.
tsˆo
´
v`ong quay to`an phˆa
`
n vecto
.
z xung quanh
cu
.
.
c theo hu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng ta s˜e d
idˆe
´
n gi´a tri
.
acgumen l`a ϕ
0
+ k · 2π, trong d´o
k ∈ Z, k 0 l`a sˆo
´
v`ong quay vecto
.
z.Sˆo
´
d
odo
.
n gia
’
n nhˆa
´
tcu
’
a acgumen theo
24 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
hu
.
´o
.
ng ˆam s˜e l`a −(2π− ϕ
0
)=ϕ
0
−2π.Dod´o n ˆe
´
u thu
.
.
chiˆe
.
ntiˆe
´
p s v`ong quay
vecto
.
z xung quanh cu
.
.
c theo hu
.
´o
.
ng ˆam th`ı ta s˜e d
idˆe
´
n gi´a tri
.
acgumen l`a
ϕ
0
− (s + 1)2π, s 0. Do d´o, tˆa
´
tca
’
c´ac gi´a tri
.
c´o thˆe
’
c´o cu
’
a acgumen cu
’
a
z s˜e d
u
.
o
.
.
cchobo
.
’
i cˆong th´u
.
c ϕ = ϕ
0
+2kπ, k ∈ Z.Nhu
.
vˆa
.
y, mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c
z =0d
ˆe
`
u c´o vˆo sˆo
´
gi´a tri
.
acgumen liˆen hˆe
.
v´o
.
i nhau mˆo
.
t c´ach d
o
.
n gia
’
n: hai
gi´a tri
.
bˆa
´
tk`ycu
’
a acgumen kh´ac nhau mˆo
.
tbˆo
.
i nguyˆen cu
’
a2π.
Tac´othˆe
’
tr´anh d
u
.
o
.
.
ct´ınhd
a tri
.
cu
’
a acgumen nˆe
´
ud˘a
.
t thˆem diˆe
`
ukiˆe
.
n
d
ˆe
’
t´ach mˆo
.
t trong c´ac gi´a tri
.
c´o thˆe
’
c´o cu
’
a acgumen, ch˘a
’
ng ha
.
nd
iˆe
`
ukiˆe
.
n
0 ϕ<2π, ho˘a
.
c −π<ϕ π.
Gi´a tri
.
cu
’
a acgumen cu
’
a z tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
nv`u
.
anˆeud
u
.
o
.
.
cgo
.
il`agi´a
tri
.
ch´ınh cu
’
a acgumen v`a d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
u l`a arg z. Thˆong thu
.
`o
.
ng ta s˜e x´et gi´a
tri
.
acgumen tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n
−π<arg z π.
Tr`u
.
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p z = 0, c`on d
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z bˆa
´
tk`y luˆon luˆon tˆo
`
nta
.
i gi´a
tri
.
duy nhˆa
´
tcu
’
a acgumen tho
’
am˜and
iˆe
`
ukiˆe
.
nv`u
.
a nˆeu.
T`u
.
d
i
.
nh ngh˜ıa gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a arg z ta c´o hˆe
.
th´u
.
c
arg z =
arctg
b
a
, khi a>0
arctg
b
a
+ π, khi a<0,b 0,
arctg
b
a
− π, khi a<0,b<0.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ı gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a arctg
b
a
thuˆo
.
c khoa
’
ng
−
π
2
,
π
2
nˆen ta c´o:
a) nˆe
´
ud
iˆe
’
m z n˘a
`
m trong g´oc phˆa
`
ntu
.
th´u
.
I v`a IV (a>0) th`ı arg z =
arctg
b
a
;
b) nˆe
´
ud
iˆe
’
m z n˘a
`
m trong g´oc phˆa
`
ntu
.
th´u
.
II (a<0,b 0) th`ı
−
π
2
< arctg
b
a
0
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 25
v`a
arg z = arctg
b
a
+ π;
c) cuˆo
´
ic`ung nˆe
´
u z n˘a
`
m trong g´oc phˆa
`
ntu
.
th´u
.
III th`ı 0 < arctg
b
a
<
π
2
v`a
arg z = arctg
b
a
− π.
Nhˆa
.
nx´et. Nˆe
´
u0 arg z<2π v`a −
π
2
< arctg
b
a
<
π
2
l`a nh˜u
.
ng gi´a tri
.
ch´ınh th`ı tu
.
o
.
ng tu
.
.
ta c´o
arg(a + ib)=
arctg
b
a
nˆe
´
u a>0,b > 0,
arctg
b
a
+2π nˆe
´
u a>0,b < 0,
arctg
b
a
+ π nˆe
´
u a<0.
V´o
.
i kh´ai niˆe
.
m mˆod
un v`a acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c ta c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
co
.
’
mˆo
.
tda
.
ng kh´ac tiˆe
.
nlo
.
.
iho
.
n trong viˆe
.
c thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep nhˆan v`a ph´ep
chia.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.6. Gia
’
su
.
’
z ∈ C v`a z =0;r = |z|. α = arg z. Khi d
´ot`u
.
(1.3) ta c´o
z = r(cos α + i sin α). (1.4)
Hˆe
.
th´u
.
c (1.4) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z.
D
-
i
.
nh l´y 1.1.7. Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =0d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng
gi´ac, trong d
´o r = |z| x´ac di
.
nh do
.
n tri
.
, c`on Arg z, z =0x´ac d
i
.
nh v´o
.
isu
.
.
sai
kh´ac mˆo
.
tsˆo
´
ha
.
ng bˆo
.
i nguyˆen cu
’
a 2π.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su
.
’
z = a + ib = 0. Khi d
´o
z = a + ib = |z|
a
|z|
+ i
b
|z|
= r(cos α + i sin α).
26 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
Nˆe
´
u cho hai da
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac cu
’
asˆo
´
z l`a: r(cos α
1
+ i sin α
1
)=r(cos α
2
+
i sin α
2
)th`ı khi z = 0 ta c´o r =0v`adod´o cos α
1
= cos α
2
v`a sin α
1
= sin α
2
.
Do d
´o
α
1
= α
2
+2kπ, k ∈ Z.
Vˆe
`
sau, thay v`ıviˆe
´
t α
1
= α
2
+2kπ, k ∈ Z ta s˜e viˆe
´
t
α
1
≡ α
2
(mod 2π).
D
iˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a hiˆe
.
u α
1
− α
2
chia hˆe
´
tcho2π.
D
-
i
.
nh l´y 1.1.8. Gia
’
su
.
’
z
1
= ρ
1
(cos ϕ
1
+i sin ϕ
1
) v`a z
2
= ρ
2
(cos ϕ
2
+i sin ϕ
2
).
Khi d
´o
1. z
1
= z
2
⇔ ρ
1
= ρ
2
v`a ϕ
1
≡ ϕ
2
(mod 2π).
2. z
1
z
2
= ρ
1
ρ
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)].
3.
z
1
z
2
=
ρ
1
ρ
2
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)], z
2
=0.
Ch´u
.
ng minh. Ph´ep ch´u
.
ng minh d
u
.
o
.
.
c suy tru
.
.
ctiˆe
´
pt`u
.
cˆong th´u
.
c (1.4).
Hˆe
.
qua
’
.
1. |z
1
z
2
| = |z
1
||z
2
|,
arg(z
1
z
2
) ≡ arg z
1
+ arg z
2
(mod 2π).
2.
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
,
arg
z
1
z
2
≡ arg z
1
− arg z
2
(mod 2π).
B˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap quy na
.
p, cˆong th´u
.
c 1) trong hˆe
.
qua
’
dˆe
˜
d`ang d
u
.
o
.
.
c
kh´ai qu´at cho tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pmˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
uha
.
n n th`u
.
asˆo
´
.Cu
.
thˆe
’
ta c´o
|z
1
z
2
···z
n
| = |z
1
|·|z
2
|···|z
n
|,
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 27
arg(z
1
z
2
...z
n
) ≡ arg z
1
+ arg z
2
+ ···+ arg z
n
(mod 2π).
Bˆay gi`o
.
gia
’
su
.
’
z
1
= z
2
= ··· = z
n
= z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´o
dˆe
˜
thˆa
´
y l`a: |z
n
| = |z|
n
, arg(z
n
) ≡ narg z(mod2π)[ρ(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
=
ρ
n
(cos nϕ + i sin nϕ). Khi ρ = 1 ta thu du
.
o
.
.
c cˆong th´u
.
c Moivre:
(cos ϕ + i sin ϕ)
n
= cos nϕ + i sin nϕ.
Cˆong th´u
.
c Moivre vˆa
˜
n c`on d
´ung ca
’
khi n =0v`an l`a sˆo
´
nguyˆen ˆam. V´o
.
i
n =0,d
´ol`adiˆe
`
uhiˆe
’
n nhiˆen v`ı (cos ϕ + i sin ϕ)
0
= cos 0 + i sin 0 = 1. Bˆay
gi`o
.
d
˘a
.
t k = −n, n ∈ N.
Ta c´o
(cos ϕ + i sin ϕ)
k
= (cos ϕ + i sin ϕ)
−n
=
1
(cos ϕ + i sin ϕ)
n
=
1
(cos nϕ + i sin nϕ)
=
(cos nϕ − i sin nϕ)
(cos
2
nϕ + sin
2
nϕ)
= cos(−nϕ)+i sin(−nϕ) = cos kϕ + i sin kϕ.
Nhu
.
vˆa
.
y cˆong th´u
.
c Moivre d
´ung v´o
.
imo
.
i n ∈ Z.
Nhˆa
.
nx´et 1. T`u
.
d
i
.
nh l´y 1.1.8 suy r˘a
`
ng ph´ep nhˆan sˆo
´
ph´u
.
c z
1
v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c
z
2
du
.
o
.
.
cdˆa
˜
nvˆe
`
ph´ep quay vecto
.
z
1
xung quanh gˆo
´
cto
.
adˆo
.
mˆo
.
t g´oc b˘a
`
ng
arg z
2
v`a tiˆe
´
pdˆe
´
n l`a ph´ep gi˜an |z
2
| lˆa
`
n(nˆe
´
u |z
2
| > 1) ho˘a
.
cco|z
2
| lˆa
`
n vecto
.
z
1
(nˆe
´
u |z
2
| < 1).
2. Ph´ep chia z
1
cho z
2
du
.
o
.
.
c xem nhu
.
ph´ep nhˆan z
1
v´o
.
i1/z
2
. Bˆay gi`o
.
ta
nˆeu ra su
.
.
gia
’
i th´ıch h`ınh ho
.
cph´ep to´an w =1/z.
Gia
’
su
.
’
|z| < 1. T`u
.
d
iˆe
’
m z ta ke
’
du
.
`o
.
ng vuˆong g´oc v´o
.
i tia Oz c˘a
´
td
u
.
`o
.
ng
tr`on d
o
.
nvi
.
{|z| =1} ta
.
id
iˆe
’
m ζ.T`u
.
d
iˆe
’
m ζ ta ke
’
tiˆe
´
p tuyˆe
´
nv´o
.
id
u
.
`o
.
ng
tr`on d
o
.
nvi
.
v`a gia
’
su
.
’
tiˆe
´
p tuyˆe
´
nd
´oc˘a
´
t tia Oz ta
.
idiˆe
’
m ω.Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng
arg ω = arg z, |ω| =
1
|z|
.
Nhu
.
vˆa
.
ysˆo
´
ω liˆen ho
.
.
pv´o
.
i1/z: ω =1/
z.Bu
.
´o
.
c chuyˆe
’
nt`u
.
d
iˆe
’
m z dˆe
´
n
d
iˆe
’
m1/z du
.
o
.
.
cgo
.
il`aph´ep d
ˆo
´
ix´u
.
ng qua d
u
.
`o
.
ng tr`on d
o
.
nvi
.
. Bˆay gi`o
.
d
ˆe
’
thu
d
u
.
o
.
.
c1/z ta chı
’
cˆa
`
nx´acd
i
.
nh diˆe
’
mdˆo
´
ix´u
.
ng v´o
.
i ω qua tru
.
c thu
.
.
c.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p |z| > 1 th`ı ph´ep du
.
.
ng d
˜a mˆo ta
’
cˆa
`
ntiˆe
´
n h`anh theo
th´u
.
tu
.
.
ngu
.
o
.
.
cla
.
i.
28 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo
´
ph´u
.
c
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe
’
n sang x´et ph´ep khai c˘an c´ac sˆo
´
ph´u
.
c. D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c
z ∈ C cho tru
.
´o
.
c, ta gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh z = w
n
.Tˆa
.
pho
.
.
p c´ac nghiˆe
.
mcu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
n
√
z v`a go
.
id´ol`ac˘an bˆa
.
c n cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z.
D
-
i
.
nh l´y 1.1.9. Gia
’
su
.
’
z ∈ C v`a n ∈ N. Khi d
´otˆo
`
nta
.
id´ung n gi´a tri
.
cu
’
a
c˘an bˆa
.
c n cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c kh´ac 0: z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). C´ac gi´a tri
.
d
´o d u
.
o
.
.
c
cho bo
.
’
i cˆong th´u
.
c
n
√
z = ρ
1/n
cos
ϕ +2kπ
n
+ i sin
ϕ +2kπ
n
, (1.5)
trong d
´o gia
’
thiˆe
´
t k nhˆa
.
n c´ac gi´a tri
.
, ch˘a
’
ng ha
.
n 0, 1, 2,...,n− 1.
Ch´u
.
ng minh. 1. Ta s˜e t`ım w du
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac w = r(cos α + i sin α).
Khi d
´od˘a
’
ng th´u
.
c w
n
= z du
.
o
.
.
cviˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng
r
n
[cos nα + i sin nα]=ρ(cos ϕ + i sin ϕ).
T`u
.
d
i
.
nh l´y 1.1.8 suy ra
r
n
= ρ
nα ≡ ϕ(mod 2π)
⇒
r =
n
√
ρ,
α ≡
ϕ +2kπ
n
,k∈ Z.
Do d
´o c´ac c˘an bˆa
.
n n cu
’
asˆo
´
z tˆo
`
nta
.
iv`adu
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th´u
.
c
w
k
= ρ
1/n
cos
ϕ +2kπ
n
+ i sin
ϕ +2kπ
n
(1.6)
v´o
.
i k ∈ Z bˆa
´
tk`y.
2. Bˆay gi`o
.
ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng w
k
1
= w
k
2
⇔ k
1
≡ k
2
(mod n). Thˆa
.
tvˆa
.
y
w
k
1
= w
k
2
⇔
ϕ +2k
1
π
n
=
ϕ +2k
2
π
n
+2πm, m ∈ Z.
Nhu
.
ng d
˘a
’
ng th´u
.
cv`u
.
aviˆe
´
tla
.
itu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
id
˘a
’
ng th´u
.
c
k
1
− k
2
n
= m ∈ Z ⇒ k
1
= k
2
(mod n).
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 29
Nhu
.
vˆa
.
y
w
k
1
= w
k
2
⇔ k
1
= k
2
(mod n).
3. V`ı hai sˆo
´
nguyˆen kh´ac nhau cu
’
a d˜ay sˆo
´
0, 1,...,n− 1d
ˆe
`
uc´ohiˆe
.
u (lˆa
´
y
sˆo
´
l´o
.
ntr`u
.
cho sˆo
´
b´e) b´e ho
.
n n v`a do d
´o khˆong chia hˆe
´
tchon.Dod´o ta t`ım
d
u
.
o
.
.
ctˆa
´
tca
’
c´ac gi´a tri
.
kh´ac nhau cu
’
a w
k
nˆe
´
u k =0, 1,...,n− 1.
V´ı du
.
. Ta c´o 1 = cos 0 + i sin 0, t`u
.
d
´o c˘an bˆa
.
c n cu
’
ado
.
nvi
.
d
u
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
n
bo
.
’
i cˆong th´u
.
c
ε
k
= cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,k=0, 1,...,n− 1. (1.7)
Vˆe
`
phu
.
o
.
ng diˆe
.
n h`ınh ho
.
c, c´ac d
iˆe
’
m w
0
,w
1
,...,w
n−1
ch´ınh l`a c´ac dı
’
nh cu
’
a
mˆo
.
td
a gi´ac dˆe
`
u n ca
.
nh nˆo
.
itiˆe
´
p trong du
.
`o
.
ng tr`on b´an k´ınh R = ρ
1/n
. Thˆa
.
t
vˆa
.
y mˆod
un cu
’
amo
.
i w
k
, k =0, 1,...,n− 1dˆe
`
ub˘a
`
ng nhau v`a khi chuyˆe
’
nt`u
.
w
k
dˆe
´
n w
k+1
acgumen du
.
o
.
.
c t˘ang lˆen 2π/n. Sau n lˆa
`
n chuyˆe
’
nnhu
.
thˆe
´
ta tro
.
’
la
.
i gi´a tri
.
c˘an d
ˆa
`
u tiˆen rˆo
`
i sau d´ola
.
i nhˆa
.
ndu
.
o
.
.
c c´ac gi´a tri
.
cu
’
an´om`atad
˜a
lˆa
.
p.
1.1.7 Da
.
ng m˜u cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
Dˆe
’
do
.
n gia
’
n c´ach viˆe
´
t c´ac sˆo
´
ph´u
.
ctad
˘a
.
t
cos ϕ + i sin ϕ
def
= e
iϕ
. (1.8)
(D
ˆe
’
´yr˘a
`
ng dˆe
´
n bˆay gi`o
.
ta chu
.
ad
i
.
nh ngh˜ıa ph´ep to´an nˆang mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
clˆen
l˜uy th`u
.
aa
’
o. Trong chu
.
o
.
ng II ta s˜e ch´u
.
ng to
’
su
.
.
d
´ung d˘a
´
ncu
’
a cˆong th´u
.
c
(1.8)).
T`u
.
(1.8) ta c´o
z = ρe
iϕ
. (1.9)
D
´ol`ada
.
ng sˆo
´
m˜u cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c.
Dˆe
˜
d`ang ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u z
1
= ρ
1
e
iϕ
1
v`a z
2
= ρ
2
e
iϕ
2
th`ı
30 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
1. z
1
z
2
= ρ
1
ρ
2
e
i(ϕ
1
+ϕ
2
)
2.
z
1
z
2
=
ρ
1
ρ
2
e
iϕ
1
−ϕ
2
)
.
3. z
n
= ρ
n
e
inϕ
.
4. w
k
=
n
√
z =
n
√
ρe
i
ϕ+2kπ
n
,k=0, 1,...,n− 1.
Tu
.
(1.8) v`a (1.9) v`a b˘a
`
ng c´ach thay ϕ bo
.
’
i −ϕ ta c´o
cos ϕ =
1
2
(e
iϕ
+ ie
−iϕ
),
sin ϕ =
1
2i
(e
iϕ
− e
−iϕ
).
(1.10)
C´ac cˆong th´u
.
c (1.10) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`acˆong th´u
.
c Euler.
1.1.8 Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
m˘a
.
t ph˘a
’
ng mo
.
’
rˆo
.
ng
Trong khˆong gian Euler ba chiˆe
`
uv´o
.
ihˆe
.
to
.
ad
ˆo
.
Descartes vuˆong g´oc (ξ, η, ζ)
ta x´et m˘a
.
tcˆa
`
uv´o
.
i tˆam ta
.
id
iˆe
’
m
0, 0,
1
2
v´o
.
i b´an k´ınh b˘a
`
ng
1
2
(h`ınh I.1)
S =
(ξ,η,ζ):ξ
2
+ η
2
+
ζ −
1
2
2
=
1
4
sao cho n´o tiˆe
´
px´uc v´o
.
im˘a
.
t ph˘a
’
ng z ta
.
igˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
v`a tru
.
c thu
.
.
ccu
’
am˘a
.
t
ph˘a
’
ng z tr`ung v´o
.
i tru
.
c {η =0,ζ =0}, c`on tru
.
ca
’
o th`ı tr`ung v´o
.
i tru
.
c
{ξ =0,ζ =0}.
Ta x´et ph´ep chiˆe
´
u π v´o
.
icu
.
.
cb˘a
´
cta
.
id
iˆe
’
m P (0, 0, 1). Gia
’
su
.
’
z ∈ C l`a d
iˆe
’
m
t`uy ´y. Nˆo
´
id
iˆe
’
m z ∈ C v´o
.
icu
.
.
cb˘a
´
c P b˘a
`
ng d
oa
.
n th˘a
’
ng. D
oa
.
n th˘a
’
ng n`ay c˘a
´
t
m˘a
.
tcˆa
`
u S ta
.
id
iˆe
’
m A(z). V`a ngu
.
o
.
.
cla
.
i, gia
’
su
.
’
A ∈ S l`a mˆo
.
td
iˆe
’
mt`uy ´y cu
’
a
m˘a
.
tcˆa
`
u. Khi d
´o tia PA s˜e c˘a
´
tm˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
cta
.
id
iˆe
’
m z.Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng
d
´o l `a m ˆo
.
tph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 31
H`ınh I.1
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.7. Ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
π : C z → A(z) ∈ S
nhu
.
d
˜a mˆo ta
’
o
.
’
trˆen d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aph´ep chiˆe
´
unˆo
’
i v´o
.
icu
.
.
cta
.
id
iˆe
’
m P .Diˆe
’
m
A(z) ∈ S d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aa
’
nh nˆo
’
i hay l`a a
’
nh cˆa
`
u cu
’
ad
iˆe
’
m z.
D
-
i
.
nh l´y 1.1.10. Trong ph´ep chiˆe
´
unˆo
’
i
π : C z → A(z) ∈ S
d
iˆe
’
m x = x + iy ∈ C s˜etu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
id
iˆe
’
m A(z) ∈ S c´o to
.
adˆo
.
l`a
ξ =
x
1+|z|
2
,η=
y
1+|z|
2
,ζ=
|z|
2
1+|z|
2
· (1.11)
Cˆong th´u
.
c (1.11) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`acˆong th´u
.
ccu
’
aph´ep chiˆe
´
unˆo
’
i.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ıbad
iˆe
’
m P (0, 0, 1), A(z)=(ξ, η, ζ)v`az =(x, y, 0)
c`ung n˘a
`
m trˆen mˆo
.
td
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng nˆen c´ac to
.
ad
ˆo
.
cu
’
ach´ung pha
’
i tho
’
a m˜an
hˆe
.
th´u
.
c
ξ − 0
x − 0
=
η − 0
y − 0
=
ζ − 1
0 − 1
,
hay l`a
x =
ξ
1 − ζ
,y=
η
1 − ζ
,z=
ξ + iη
1 − ζ
· (1.12)
D
ˆe
’
´yr˘a
`
ng
|z|
2
=
ξ
2
+ η
2
(1 − ζ)
2
v`a ξ
2
+ η
2
+
ζ −
1
2
2
=
1
4
ta thu d
u
.
o
.
.
c
|z|
2
=
ζ
1 − ζ
,
32 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
v`a do d´o ζ =
|z|
2
1+|z|
2
.Thˆe
´
gi´a tri
.
ζ v`ao (1.12) ta t`ım du
.
o
.
.
c
ξ =
x
1+|z|
2
,η=
y
1+|z|
2
·
Hiˆe
’
n nhiˆen trong ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i π,diˆe
’
m P (0, 0, 1) khˆong tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i
d
iˆe
’
m z n`ao cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng C. Bˆay gi`o
.
ta x´et sˆo
´
ph´u
.
c“l´ytu
.
o
.
’
ng” z = ∞ v`a
“bˆo
’
sung” cho m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c C b˘a
`
ng c´ach thˆem cho n´o d
iˆe
’
m xa vˆo c`ung
duy nhˆa
´
t (go
.
it˘a
´
t d
iˆe
’
mvˆoc`ung)tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = ∞.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.8. Tˆa
.
pho
.
.
plˆa
.
pnˆent`u
.
m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c C v`a d
iˆe
’
mvˆoc`ung
(k´y hiˆe
.
ul`a∞)d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`am˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
cmo
.
’
rˆo
.
ng v`a k´yhiˆe
.
ul`a
C.
Nhu
.
vˆa
.
y
C = C∪{∞} v`a C khˆong pha
’
il`amˆo
.
t tru
.
`o
.
ng. T`u
.
d
i
.
nh l´y 1.1.10
suy r˘a
`
ng ph´ep chiˆe
´
unˆo
’
i π x´ac lˆa
.
psu
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
tgi˜u
.
a c´ac
d
iˆe
’
mcu
’
a C v`a c´ac diˆe
’
mcu
’
a S \{P}.
Hiˆe
’
n nhiˆen khi |z|→∞th`ı d
iˆe
’
m A(z)s˜edˆa
`
ndˆe
´
ndiˆe
’
m P (0, 0, 1). Thˆa
.
t
vˆa
.
y, t`u
.
t´ınh d
ˆo
`
ng da
.
ng cu
’
a hai tam gi´ac zOP v`a AP O suy r˘a
`
ng
AP =
1
1+|z|
2
v`a do d´o AP → 0 khi |z|→∞.
T`u
.
su
.
.
l´y luˆa
.
nd
´o t a r ´ut ra kˆe
´
t luˆa
.
nr˘a
`
ng ph´ep chiˆe
´
unˆo
’
i π : C → S \{P}
c´o thˆe
’
th´ac triˆe
’
n v`ao
C th`anh
π
∗
: C → S
b˘a
`
ng c´ach d
˘a
.
t
π
∗
C
= π, z ∈ C
v`a
π(∞)=P (0, 0, 1).
