DE THI CHON HOC SINH GIOI TOAN 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD – ĐT QUẢNG TRẠCH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS QUẢNG MINH LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012 -----------*&*---------MÔN THI:TOÁN Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 1trang có 5 câu) Câu 1:(2,5đ) a) Chứng minh rằng với mọi số ngyên x,y ta có: x 5 y − xy5 chia hết cho 30 b) Giải phương trình : x 2+ y 2 + z 2= y (x + z ) Câu 2:(2,5đ) a) Cho a+b=1.Tìm GTNN của biểu thức A= a(a2 +2 b)+ b(b 2 − a). a+b +c b) Cho tam giác có nửa chu vi p= 2 với a,b,c là độ dài ba cạnh . 1 1 1 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c. (. CMR:. ). Câu 3:(1,5đ) Một người đi xe đạp một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ A glần lượt lúc 8 giờ , 9 giờ và 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h ;30km/h;50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy.? Câu 4.(2đ) cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác .Đường thẳng đi qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N.Chứng minh rằng : a) Δ ABC và Δ ABI đồng dạng. b). AM AI = BN BI. 2. ( ). Câu 5(1,5đ) :. 1 Cho hình bình hành ABCD .Điểm E thuộc canh BC sao cho BE= 3 BC , F là trung điểm cạnh CD .Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K.Tính diện tích Δ AIK , biết diện tích hình bình hành ABCD là 48 cm 2 .. ------------HẾT------------Chú ý : Giám thị không giải thích gì thêm. PHÒNG GD – ĐT QUẢNG TRẠCH. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TRƯỜNG THCS QUẢNG MINH -----------*&*----------. LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012. MÔN THI:TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu 1:. a) Ta có: 5. 5. 5. 5. x y − xy =x y − xy − xy + xy=xy ( x −1)( x +1)− xy ( y − 1)( y+1) 5 5 => x y  xy chia hết cho 6 (1) Ta lại có: x5 y − xy5=x 5 y − xy − xy5 + xy=xy(x −1)(x+ 1)( x 2 +1) − xy ( y − 1)( y+ 1)( y 2 +1) xy (x −1)(x+1) [( x 2 − 4)+5 ] − xy ( y −1)( y+ 1) [( y 2 − 4)+5 ] xy (x −1)(x+1)( x − 2)( x+2)− 5 xy ( x − 1)( x +1)− xy ( y −1)( y +1)( y − 2)( y +2)− 5 xy ( y −1)( y +1) => x 5 y − xy5 chia hết cho 5 (2). Từ (1) và (2):ta được 5 5 x y − xy chia hết cho 5 và 6 mà (5,6)=1 Nên x 5 y − xy5 chia hết cho 30 b) 2. 2. 2. x + y + z = y (x + z) 2 <=> x + y 2 + z 2 − xy − yz=0 => 2 x 2+ 2 y 2 +2 z 2 −2 xy −2 yz=0 ¿ y − z ¿2+ x2 + z 2=0 ¿ x − y ¿2 +¿ <=> ¿. => Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=0 Vậy x=y=z=0 Câu 2:. a) Ta có: a+b=1 => b=1-a (1) 2 2 3 3 A = a(a +2 b)+ b(b − a)=a +2 ab+ b − ab=a3 +b 3+ ab Thay (1) vào (2) ta được: 2 1− a ¿3 +a (1− a)=2 a2 −2 a+1=( √ 2a − √ 0,5 ) + 0,5 A= 3 a +¿ 1 => MinA=0,5 khi a=b= 2. 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A=0,5 khi a=b= 2 1 1. 4. b) áp dụng bất đẳng thức phụ x + y ≥ x+ y ta được: +) +) +). 1 1 4 4 + ≥ = p − a p −b p −a+ p − b a 1 1 4 4 + ≥ = p − a p −c p − a+ p −c b 1 1 4 4 + ≥ = p − b p −c p − b+ p −c c. Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên:. (2) 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1 1 1 1 1 => 2 p − a + p − b + p −c ≥ 4 a + b + c. (. ) ( ) 1 1 1 1 1 1 => p − a + p −b + p − c ≥ 2 ( a + b + c ) (ĐPCM) 1 1 1 1 1 1 Vậy p − a + p −b + p − c ≥ 2 ( a + b + c ) Câu 3:. Gọi thời gian để ô tô cách đều xe máy và xe đạp là: t (h) Quãng đường xe đạp đi được trong khoảng (t+2) (h)là:10(t+2)km Quãng đường ô tô đi được trong khoảng t (h) là: 50t km Quãng đường xe máy đi được trong khoảng 30(t+1) km Vì đi trong thời gian t (h) thì vị trí của ô tô cách đều xe đạp và xe máy nên ; ta có pt 50t-10(t+2)=30(t+1)-50t <=> 60t =50 => t. 5. = 6 (h) Vậy đến 10h 30 phút thì ... Câu 4:. a) ta có; ^ C (tính chất góc ngoài của tam giác) (3) 2 o ^ ∠ ABC=180 − ^ A −C ^ ^ Mà => 1 ^A=90O − A − C (1) 2 2 2 ^ A ^B Δ AIBcó: ∠ AIB=180O − − (2) 2 2 0. ∠ AMI=90 +. Thay (1) vào (2) ta được: ∠ AIB=90O +. ^ C 2. (4).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Từ (3) và (4) : ∠AMI =∠ AIB Xét Δ AIM và Δ ABI có:. ∠ AMI =∠ AIB ∠ BAI=∠ IAC (TH2) } => Δ AIM ~ ΔABI b) Δ MIC và Δ ABI có:   MIC NIC 90O     MCI NCI  MIC NIC ( g .c.g )  ICchung    => IMC INC (2 góc tương ứng ) O    => AMI INB (180  IMC ). Mà ∠ AMI =∠ AIB   => AIB INB Xét Δ ABI và Δ IBN có: ABI IBN     ABI IBN  INB  AIB  BI AB = => => BI2 =AB . BN (*) BN BI AI AM = ⇒ AI 2=AB . AM Từ Δ AIM ~ Δ ABI => AB AI Từ (*) và (**) ta được: AB . AM AI2 AM AI2 = ⇔ = (ĐPCM) AB . BN BI 2 BN BI 2 AM AI 2 Vậy BN = BI. ( ). (**).

<span class='text_page_counter'>(5)</span>