bài tập LÝ THUYẾT NHÓM có đáp án

LÝ THUYẾT NHÓM
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Thanh Tùng


Nhóm trình bày
Bài tập 1.2 c :
Bài tập 1.2 d :
Bài tập 1.8 :
Bài tập 1.9 :
Bài tập 1.13 :
Bài tập 1.14 :


Bài tập 1.2/ Trong các phép tốn hai ngơi cho sau đây trên tập hợp được
chỉ ra, hãy kiểm tra tính kết hợp, giao hốn và tìm phần tử đơn vị nếu có.
 
c. tập với phép tốn (x,y,z)* (x’,y’,z’)
= (xy’,yy’,yz’);
+ Tính kết hợp:
A(a’,a’’,a’’’), B(b’,b’’,b’’’), C(c’,c’’,c’’’)
(A*B)*C= (a’b’’,a’’b’’,a’’b’’’)*(c’,c’’,c’’’)
= ( a’b’’c’’,a’’b’’c’’,a’’b’’c’’’)
A*(B*C)= (a’,a’’,a’’’)*(b’c’’,b’’c’’,b’’c’’’)
= (a’b’’c’’,a’’b’’c’’,a’’b’’c’’’)
=> (A*B)*C = A*(B*C). Vậy ,*) có tính kết hợp


+ Giao hoán
A(a’,a’’,a’’’), B(b’,b’’,b’’’)
A*B= (a’b’’,a’’b’’,a’’b’’’)
B*A= (b’a’’, b’’a’’, b’’a’’’)

=> A*BB*A. Vậy ,*) khơng có tính giao hốn.
+ Phần tử đơn vị
Gọi e(e’,e’’,e’’’) là dạng tổng quát của phần tử đơn vị
A(a’,a’’,a’’’)
e*A= (e’a’’, e’’a’’,e’’a’’’)
A*e= (a’e’’, a’’e’’, a’’e’’’)
=> e*A A. Vậy ,*) không tồn tại phần từ đơn vị e

 


d. tập M khơng có ít hơn 2 phần tử, với phép tốn a  b = b
+ Tính kết hợp

 

a,b,c M
Ta có :(ab)c= bc=c và a (bc)=ac=c
=> (ab)c= a (bc). Vậy (M,  ) có tính kết hợp
+ Giao hốn
a,b M
Ta có (ab)=b và (ba)=a
=> (ab) (ba). Vậy (M,  ) khơng có tính giao hốn
+ Phần tử đơn vị e
a M
Ta có (ae) e mà (ea)=a => e=a( loại). Vậy (M,  )không tồn tại phần tử đơn vị e


Bài tập 1.8. Giả sử X là tập gồm các cặp số thực (a,b) trong đó a, ta
định nghĩa phép tốn * sau:

(a,b)*(c,d)= (ac,bc+d)
Chứng minh rằng X là một nhóm và X khơng Abel

 

i) Vì (1,2) X=> X

 

ii) Rõ ràng (a,b),(c,d) X(a,b,c,d , athì (ac,bc+d) X
 (a,b)*(c,d) X. Vậy phép tốn * trên X là phép tốn 2 ngơi.

iii) A(a,b), B(c,d), C(e,f) X , ta có:
(A*B)*C= (ac,bc+d)*(e,f)= (ace, bce+de+f)
A*(B*C)= (a,b)* (ce,de+f)=(ace, bce+de+f)
Vậy (X,*) có tính kết hợp ((A*B)*C=A*(B*C))


iv) Gọi e(e’,e’’) là phần tử đơn vị của (X,*)
A(a,b) X thì
Vậy e(1,0) là phần tử đơn vị
v) Gọi A’(a’,b’) là phần tử nghịch đảo của (X,*)
A(a,b) X thì

 

Vậy A’(,là phần tử nghịch đảo

X là nhóm

vi) Giao hốn
A(a,b), B(c,d) X , ta có:
A*B= (ac,bc+d)

 B*A = (ca, da+b)

A*BB*A. Vậy (X,*) khơng có tính giao hốn

X là nhóm khơng Abel


Bài tập 1.9. Chứng minh rằng tập hợp G={(a,b): a,b, bcùng với phép
tốn * xác định bởi
là một nhóm.
Chứng minh rằng H={ (a,1): alà một nhóm con của G
i) Vì (2,3) G => G

 

 

ii) Rõ ràng (a,b),(a’,b’) G (a,b,a’,b’ , b,b’ thì
() G
 (a,b)*(a’,b’) G. Vậy phép tốn * trên G là phép tốn 2 ngơi.
iii) A(a,b), B(a’,b’), C(a’’,b’’) G , ta có:
(A*B)*C= (ab’+a’,bb’)*(a’’,b’’)= (abb’’+a’b’’+a’’,bb’b’’)
A*(B*C)=(a,b)* (a’b’’+a’’,bb’’)= (abb’’+a’b’’+a’’,bb’b’’)
Vậy (G,*) có tính kết hợp ((A*B)*C=A*(B*C))

iv) Gọi e(e’,e’’) là phần tử đơn vị của (G,*)
A(a,b) G thì
Vậy e(0,1) là phần tử đơn vị
v) Gọi A’(a’,b’) là phần tử nghịch đảo của (G,*)
A(a,b) G thì

 

Vậy A’(,là phần tử nghịch đảo

(G,*) là nhóm


i’)Vì (2,1) H => H
a,b, b

(a,1)(a,b) mà (a,1) H và (a,b) G
=> H là con của G.
i’’) A(a,1) và B(b,1) H ( a,b R)
Ta có A*B= (a,1)*(b,1)= (a+b,1) H
A(a,1) H ( a R)
Ta có A*A’= (a,1)*(a’,1)=(a+a’,1)= (0,1)
=> a’=-a => A’(-a,1) H.

 

HG

 

Bài tập 1.13. Giả sử X là nhóm với phần tử đơn vị là e. Chứng minh
rằng nếu với mọi aX, ta có =e thì X là nhóm Abel
i) Vì e X => X

 

ii) a,b X
= abab = aabb = mà =e và =e => =e.e=e X
Vậy phép toán trên X là phép tốn hai ngơi.
iii) a,b,c X ta có =e, =e, =e

= e = ee==e
= e = ee==e
=>= . Vậy X có tính kết hợp


iv) Rõ ràng e là phần tử đơn vị của X
v) a X thì =e
aa’=a’a=e mà e==aa => aa’=a’a=aa => a’=a
Vậy a’=a là phần từ nghịch đảo
X là nhóm
vi) a,b X
= ab.ab=e
=> ab = =
= ba.ba=e
=> ba= =
Vậy X có tính giao hốn (ab =ba)

 

X là nhóm Abel


 

Bài tập 1.14. Chứng minh rằng tập con khác rỗng A của nhóm cộng
các số nguyên Z là nhóm con của Z khi và chỉ khi A=mZ với mZ.
Chứng minh : A=mZ với m Z thì A Z. 
i) Rõ ràng tập A=mZ ( m là con của tập Z

0.m mZ => mZ hay A
ii) A,B mZ
n’,n’’ : A=mn’ và B= mn’
A+B= mn’+mn’’=m(n’+n’’) mZ
A’= -mn’=m(-n’) mZ
Vậy A Z


Chứng minh Athì A=mZ ( m Z)
+ A= A= 0Z ( m=0)
+A:
a A là các số nguyên khác 0 :
=> mZ là con của A ( m A) . Do đó A=mZ
a A là một số nguyên
Ta có: a= mq+r (1) với r=0 hoặc .
Từ (1) => r=a-mq A . Khi r=0 thì a=mq A
Vậy A là con của mZ
Tóm lại A=mZ