de thi hsg cap truong toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 9 VÒNG 1 Năm học 2013 – 2014 Môn : Toán Thời gian làm bài 90 phút (Không kể thời gian giao đề ). Bài 1 (6 điểm) A. 2 x 9  x  5 x 6. x  3 2 x 1  x  2 3 x .. Cho biểu thức a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . b) Rút gọn biểu thức A . . c) Tìm x thuộc Z để A thuộc Z x 6 1 . x  3 A thuộc Z. d) Tìm x thuộc Q để P= Bài 2 (4điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . 1 1 M  x y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :. Bài 3 (4 điểm) 2 x 2  2 x. . 2 2. x 2. x.  2. Cho phương trình : . a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . b) Giải phương trình . Bài 4 (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB  BD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB a) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG . b) Chứng minh GF  EF . HẾT.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giải Bài 1 (6 điểm) A. 2 x 9  x  5 x 6. x  3 2 x 1  x  2 3 x .. Cho biểu thức c) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . d) Rút gọn biểu thức A . Điều kiện : x 0; x 4; x 9 A =. =. =. =. 2 x 9  x  5 x 6. x  3 2 x 1  x  2 3 x. 2 x 9. . x 3. . 2 x  9. x 2. . . x 3. . . x  3 2 x 1  x 2 x 3. . x  3  2 x 1.  . x 3. . . x 2.  x  2. x 1 x 3. x 2. . . 2 x  9  x  9  2x  x  4 x  2. . x 3. . x 2.   x  3  x  2   x. x 2. . .  x  3  x 1. x 2. Bài 3 (4 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . 1 1 M  x y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :. Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0  x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0  (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0  (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*) Vì. x. 2. 2.  1 –  x  1  y  1   y  1  1 2. 1 3 2   =   x  1   y  1    y  1  1  0 2 4   Nên (*)  x + y + 2 = 0  x + y = - 2 1 1 x y 2 1 2 2 Ta có : M      x  y  4 xy  4 4 xy  1   2 x y xy xy vì xy xy .  Vậy MaxM = -2 x = y = -1 .. Bài 3 (4 điểm) 2 x 2  2 x. . 2 2. x 2. x.  2. Cho phương trình : . a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . b) Giải phương trình . a) điều kiện : 0  x 4.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 x. b). 2  2 x . 2 x 2 42 x. 2.  . x. 2. 2. 2. x. 2. x. 4 2 x.  2. 2 (1). Đặt 4  2 x = a ; 4  2 x = b ( a ; b  0) . a 2  b 2 8  Ta có :  a 2 b2  2  2  a 2  b  a 2  b 2 8  2 2  2  a  b   ab  a  b  8  4  a  b   2ab a 2  b 2 8   a  b   ab  4   2  ab  4  0 2 2 a  b 8  (I)  a  b  2   ab  4  0. Vì ab + 4 > 0 nên :  a  b  2  2ab 8   I   a  b 2 2  b  a    a  2 2 a .  ab 2   a  b 2. 2  b   a  a 2  2a  2 0 . 2  b   a    a 1  3    a 1  3 (loai vì a  0) .  4  2 x  3 1  a  3  1     x 3 b  3  1  4  2 x  3  1. Bài 4 (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB  BD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB c) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG . d) Chứng minh GF  EF . ABCD : AB // CD ; CD > AB ; B A AB  BD . AB  BD ; AG = CE ; BG = DF . X // G. \\. Chứng minh : a) FDG ~ ECG . b) GF  EF. X D. F. C. E.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chứng minh : BG GD DF GD    AG GC , mà AG = CE ; BG = DF CE GC a) Ta có AB // CD DF GD    ; GDF GCE 900  FDG ~ ECG ( c-gXét FDG và ECG có : CE GC . c)     b) Ta có FDG ~ ECG  GFD GEC  GFCE nội tiếp  GCE GFE cùng 0 0    chắn GE mà GCE 90  GFE 90  GF  FE.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>