Phan loai va phuong phap giai toan 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.61 MB, 171 trang )

(1)www.VNMATH.com. SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TÂY NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI ---------------------------------------. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 10 Theo chuẩn kiến thức kĩ năng-Ban cơ bản. TÂY NINH THÁNG 3 NĂM 2011.

(2) www.VNMATH.com. Lời nói đầu Trong chương trình môn Toán lớp 10, khi giảng dạy chúng tôi nhận thấy rằng học sinh chưa tiếp cận tốt vấn ñề, nhất là kĩ năng giải toán. ðiều ñó dẫn ñến học sinh chưa có hứng thú trong học toán, ñặc biệt nó sẽ ảnh hưởng rất lớn cho những năm học tiếp theo. Nhằm giúp các em lấy lại căn bản và nâng cao chất lượng học tập môn Toán theo chương trình cải cách của Bộ giáo dục và ñào tạo, chúng tôi biên soạn bộ tài liệu : “ Phân loại và phương pháp giải toán lớp 10 ”. Bộ tài liệu gồm hai phần : Hình học và ðại số. Nội dung tài liệu bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Toán 10 (chương trình chuẩn) và dựa trên chương trình Chuẩn kiến thức, kĩ năng của Bộ giáo dục và ñào tạo vừa ban hành. Mỗi bài học trong bộ tài liệu này ñược trình bày như sau : A. Kiến thức cần nhớ. B. Phương pháp giải toán. C. Bài tập ñề nghị. Phần kiến thức cần nhớ chúng tôi tóm tắt lại nội dung chính của bài học trên nền Chuẩn kiến thức, kĩ năng. Phần phương pháp giải toán gồm nhiều vấn ñề, trong mỗi vấn ñề có nêu phương pháp giải quyết và một số bài tập cơ bản có hướng dẫn giải chi tiết. Phần bài tập ñề nghị giúp các em tự ôn lại kiến thức trong mỗi bài học. Chúng tôi hy vọng bộ tài liệu này sẽ giúp các em vững bước và tự tin hơn trên con ñường học vấn của mình. Chúc các em học tập tiến bộ và thành công !. Mặc dù rất cố gắng trong quá trình biên soạn nhưng khó tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của các thầy cô và các em học sinh ñể tài liệu ñược bổ sung, ñiều chỉnh ngày một hoàn thiện hơn. Tây Ninh, tháng 3 năm 2011 Tổ Toán, trường THPT Nguyễn Văn Trỗi. 1.

(3) www.VNMATH.com. PHẦN 1. ðẠI SỐ y 8 y = −x −1. y = x2 − 4x − 5. 6 4 2. x -8. -6. -4. -2. 2. 4. 6. 8. -2 -4 -6 -8. 2.

(4) www.VNMATH.com. CHƯƠNG I. MỆNH ðỀ - TẬP HỢP §1. MỆNH ðỀ. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. MỆNH ðỀ-MỆNH ðỀ CHỨA BIẾN 1.1. Mệnh ñề Mỗi mệnh ñề (lôgíc) phải ñúng hoặc sai. Mỗi mệnh ñề không thể vừa ñúng vừa sai. Kí hiệu mệnh ñề bởi các chữ cái in hoa : P, Q, A, B… 1.2. Mệnh ñề chứa biến: “ n chia hết cho 4” là mệnh ñề chứa biến. Chú ý : Với mỗi giá trị của biến x thuộc tập hợp nào ñó, mệnh ñề chứa biến P ( x) trở thành một mệnh ñề. 2. PHỦ ðỊNH CỦA MỘT MỆNH ðỀ Cho mệnh ñề P . Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P là mệnh ñề P , ta có: P ñúng khi P sai và P sai khi P ñúng. 3. MỆNH ðỀ KÉO THEO Mệnh ñề “Nếu P thì Q ” ñược gọi là mệnh ñề kéo theo. Kí hiệu: P ⇒ Q . Mệnh ñề P ⇒ Q chỉ sai khi P ñúng và Q sai (trong các trường hợp khác P ⇒ Q ñều ñúng) Các ñịnh lí toán học là những mệnh ñúng và có dạng P ⇒ Q . Khi ñó ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của ñịnh lí, hoặc P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc Q là ñiều kiện cần ñể có P .. 4. MỆNH ðỀ ðẢO-HAI MỆNH ðỀ TƯƠNG ðƯƠNG Mệnh ñề Q ⇒ P ñược gọi là mệnh ñề ñảo của mệnh ñề P ⇒ Q . Nếu cả hai mệnh ñề P ⇒ Q và Q ⇒ P ñều ñúng thì ta nói P và Q tương ñương. Kí hiệu: P ⇔ Q . ðọc là:. P tương ñương Q , hoặc. P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q .. 3.

(5) www.VNMATH.com. 5. KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃. Kí hiệu ∀ ñọc là với mọi. Kí hiệu ∃ ñọc là tồn tại ít nhất một (hay có ít nhất một). B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Cách xác ñịnh mệnh ñề Phương pháp : Cần nắm vững khái niệm mệnh ñề ,mệnh ñề chứa biến từ ñó rút ra kết luận. Bài tập 1. Xét xem các câu sau , câu nào là mệnh ñề, câu nào là mệnh ñề chứa biến và câu nào không là mệnh ñề ? a/ 2x-3>7. b/ 5-9=3. c/ ∀ x, x2 =25. d/ Hôm nay trời mưa quá!.. Giải a/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề. b/ Là mệnh ựề.đó là mệnh ựề sai. c/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề. d/ Không là mệnh ñề.Vì không khẳng ñịnh ñược tính ñúng hoặc sai. Bài tập 2. Với mỗi câu sau , hãy tìm giá trị thực của x ñể ñược mệnh ñề ñúng, mệnh ñề sai ? a/ 5x2-14x+9=0. b/ 5x-1>x+11. c/ | x+3|= 5. d/ x2+4=0.. Giải 2. a/ Giải phương trình : 5x - 14x + 9 = 0 .Ta ñược nghiệm x = 1 v x = 9/5. •. Với x = 1 v x = 9/5 thì ñược mệnh ñề ñúng.. •. Với x ≠ 1 và x ≠ 9 / 5 thì ñược mệnh ñề sai.. b/Giải bất phương trình .Ta ñược x > 3 •. Với x > 3 thì ñược mệnh ñề ñúng.. •. Với x ≤ 3 thì ñược mệnh ñề sai.. x + 3 = 5 x = 2 c/ Giải phương trình x + 3 = 5 ⇔  ⇔  x + 3 = −5  x = −8 •. Với x=2 hoặc x = - 8 thì ñược mệnh ñề ñúng.. •. Với x ≠ 2 và x ≠ −8 thì ñược mệnh ñề sai.. d/ Phương trình x2 + 4 = 0 vô nghiệm. Vậy với mọi giá trị của x ñều ñược mệnh ñề sai. Không có mệnh ñề ñúng.. Vấn ñề 2. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Dùng kí hiệu ∀, ∃ viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó. Phương pháp: 1. " ∀x ∈ P ; x coù tính chaát T" có mệnh ñề phủ ñịnh là "∃x ∈ P ; x khoâng coù tính chaát P" . 2. " ∃x ∈ P ; x coù tính chaát T" có mệnh ñề phủ ñịnh là "∀x ∈ P ; x khoâng coù tính chaát P" .. 4.

(6) www.VNMATH.com Bài tập. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó. a/ ∀x ∈ R : x2 =-5. b/ ∀x ∈ R : x2 +4x ≥ 0. c/ ∃x ∈ Z : x2 =3. d/ ∃x ∈ ℤ : x 2 ⋮ 5. Giải a/ “ Với mọi số thực ñều có bình phương bằng -5” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃x ∈ R : x2 ≠ -5 b/ “Với mọi số thực x ta có x2+4x ñều lớn hơn hoặc bằng 0” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃x ∈ R : x2 +4x<0 c/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương bằng 3” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀x ∈ Z : x2 ≠ 3 d/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương chia hết cho 5” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀x ∈ Z : x2 khoâng chia heát cho 5 . Vấn ñề 3. Lập mệnh ñề ñảo của ñịnh lý – ñịnh lý ñảo Phương pháp : Dùng kiến thức, các ñịnh nghĩa , ñịnh lý ñã học ñể nhận xét ñánh giá rồi kết luận.. Bài tập. Trong các trường hợp sau ñây, hãy phát biểu mệnh ñề ñảo của ñịnh lý và xét xem nó có phải là ñịnh lý ñảo của ñịnh lý ấy hay không? a/Trong tam giác vuông thì ñường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy. b/Một số tự nhiên tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 5. Giải a/ Mệnh ñề ñảo : “Một tam giác có ñường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác ñó bằng tam giác vuông” ðể biết mệnh ñề trên có phải là ñịnh lý ñảo hay không thì ta phải chứng minh mệnh ñề. A. Do AM = MB, AM = MC nên tam giác MAB, MAC cân tại M suy ra : góc B = A1; góc C = A2. 1 2. C B. M. Mà tổng các góc B, A1, A2, C bằng 1800 nên góc A1 + A2=900, suy ra tam giác ABC vuông tại A. Vậy mệnh ñề trên là ñịnh lý ñảo.. b/Mệnh ñề ñảo là : “Một số tự nhiên chia hết cho 5 thì tận cùng bằng 0” Mệnh ñề này sai vì 15 chia hết cho 5 mà tận cùng không bằng 0. Vậy mệnh ñề không là ñịnh lý ñảo. Chú ý : Không phải ñịnh lý nào cũng có ñịnh lý ñảo của nó.. 5.

(7) www.VNMATH.com Vấn ñề 4. ðiều kiện cần, ñiều kiện ñủ, ñiều kiện cần và ñủ Phương pháp : 1/Dạng: P ⇒ Q . Khi ñó : P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc Q là ñiều kiện cần ñể có P .. 2/ Dạng: P ⇔ Q : P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q .. Bài tập 1. Phát biểu các ñịnh lý sau ,sử dụng khái niệm “ðiều kiên cần”, “ðiều kiện ñủ”: a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau. b/Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. c/ Nếu a=b thì a2=b2. Giải a/+ ðể hai tam giác bằng nhau, ñiều kiện cần là chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau. + ðể hai tam giác có ít nhất một cạnh bằng nhau, ñiều kiện ñủ là hai tam giác bằng nhau. b/+ ðể một số tự nhiên chia hết cho 6, ñiều kiện cần là nó chia hết cho 3. + ðể một số tự nhiên chia hết cho 3, ñiều kiện ñủ là nó chia hết cho 6. c/ + ðể a=b ,ñiều kiện cần là a2=b2. + ðể a2=b2, ñiều kiện ñủ là a=b Bài tập 2. Cho hai tam giác ABC và A′B′C ′ . Với hai mệnh ñề : P : " Tam giác ABC và tam giác A′B′C ′ bằng nhau". ′ ′C ′ có diện tích bằng nhau" Q : " Tam giác ABC và tam giác AB. a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề P ⇒ Q . b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề Q ⇒ P . c) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề P ⇔ Q . Giải ′ ′C ′ bằng nhau thì tam giác a/ Ta có mệnh ñề P ⇒ Q : “Nếu tam giác ABC và tam giác AB ABC và tam giác A′B′C ′ có diện tích bằng nhau” , mệnh ñề này hiển nhiên ñúng. ′ ′C ′ có diện tích bằng nhau thì b/Ta có mệnh ñề Q ⇒ P : “Nếu tam giác ABC và tam giác AB. tam giác ABC và tam giác A′B′C ′ bằng nhau” là mệnh ñề sai. c/ Do P ⇒ Q ñúng nhưng Q ⇒ P sai nên P ⇔ Q là mệnh ñề sai.. 6.

(8) C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ. www.VNMATH.com. Bài 1. Trong các câu sau ñây thì câu nào là mệnh ñề? Nếu là mệnh ñề thì nó ñúng hay sai? a) “10 là số nguyên tố” b) "123 là một số chia hết cho 3". c) " Ngày mai trời sẽ nắng" d) " Hãy ñi ra ngoài!" Bài 2. Nêu mệnh ñề phủ ñịnh của các mệnh ñề sau và cho biết tính ñúng sai của mỗi mệnh ñề phủ ñịnh ñó ? a) "Số 11 là số nguyên tố" b) Số 111 chia hết cho 3" Bài 3. Xét hai mệnh ñề: P : " π là số vô tỉ" và Q : " π không phải là số nguyên" a) Hãy phát biểu mệnh ñề P ⇒ Q . b) Phát biểu mệnh ñề ñảo của mệnh ñề trên. c) Xem xét tính ñúng, sai của các mệnh ñề trên. Bài 4. Xét hai mệnh ñề: P : " 24 là số chia hết cho 2 và 3". Q : " 24 là số chia hết cho 6".. a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề P ⇒ Q . b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề Q ⇒ P . c) Mệnh ñề P ⇔ Q ñúng hay sai ?. 7.

(9) www.VNMATH.com §2. TẬP HỢP. A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. KHÁI NIỆM TẬP HỢP 1.1. Tập hợp và phần tử Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học. Thông thường mỗi tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hay một vài tính chất. Tập hợp thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái in hoa: A, B, C ,... phần tử của tập hợp ñược kí hiệu là các chữ cái thường: a, b, c... a là phần tử của tập hợp A , viết là a ∈ A. b không là phần tử của tập hợp B ,. viết là b ∉ B . 1.2. Cách xác ñịnh tập hợp Có 2 cách:. a) Liệt kê các phần tử của nó. b) Chỉ rõ tính chất ñặc trưng cho các phần tử của tập hợp ñó.. Người ta thường minh họa tập hợp bằng. B. một hình phẳng ñược bao quanh bởi một ñường kín ñược gọi là biểu ñồ Ven.. 1.3. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu: ∅ . 2. TẬP HỢP CON Nếu mọi phần tử của tập hợp A ñều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là tập hợp con của B . Kí hiệu: A ⊂ B (ñọc là A chứa trong B ) hay B ⊃ A (ñọc là B chứa A ). Tính chất: a) A ⊂ A với mọi tập hợp A . b) A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C c) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A .. 3. HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B .. 8.

(10) www.VNMATH.com. B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn ñề 1. Viết tập hợp dưới dạng liệt kê phần tử. Phương pháp: Kỹ năng giải phương trình, bất phương trình,...tính toán, suy luận. Bài tập 1. Viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê phần tử a/ A = { x ∈ N / x < 5}. b/ B = { x ∈ Z / − 2 < x ≤ 4}. c/ C = { x / x = 3k; k ∈ Z vaø -1<k < 6}. 1 1  d/ D =  x / x = k với k ∈ N và x ≥ } 2 8  f/ F={x ∈ N / x là số chính phương bé hơn 100}.. e/ E = { x ∈ R /( x − 2)(3 x2 − 5 x + 2) = 0}. Giải a/ A = {0;1; 2;3; 4}. b/ B = {−1; 0;1;2;3; 4}. c/ C = {0;3;6; 9;12;15}. 1 1 1 d/ D =  ; ; ;1} 8 4 2. 2 e/ E =  ;1;2} 3. f/ F={0 ;1 ;4 ;9 ;16 ;25 ;36 ;49 ;64 ;81}.. Bài tập 2. Tập hợp nào sau ñây là tập rỗng. a/ A = { x ∈ R / x2 + 4 = 5}. b/ B = {n ∈ N / 3n + 9 = 6} . Giải. a/Giải phương trình x2+4=5 ñược nghiệm x= -1 ; 1 nên A={-1 ;1}.. n ∈ N n ∈ N b/ n ∈ B ⇔  vậy B = ∅ ⇔ 3n + 9 = 6  n = −1. Vấn ñề 2. Xác ñịnh tập con của tập hợp. Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa về tập hợp con, tính toán, suy luận. Bài tập 1. a/ Viết tập hợp con gồm hai phần tử của A={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}. b/ Viết tập hợp con gồm ba phần tử và luôn có số 0 của B={0 ;1 ;2 ;3 ;4 }. Giải a/ Tập con gồm hai phần tử của A là : {1 ;2},{1 ;3},{1 ;4},{1 ;5},{1 ;6},{2 ;3},{2 ;4},{2 ;5},{2 ;6},{3 ;4},{3 ;5},{3 ;6},{4 ;5},{4 ;6 },{5 ;6}. b/ Tập con gồm ba phần tử luôn chứa số 0 của B là : {0 ;1 ;2},{0 ;1 ;3},{0 ;1 ;4},{0 ;2 ;3},{0 ;2 ;4},{0 ;3 ;4}.. 9.

(11) www.VNMATH.com. Bài tập 2. Tìm tất cả tập hợp X thỏa mãn {1 ;2 ;3} ⊂ X ⊂ {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6} Giải Các tập hợp thỏa mãn ñề toán là : •. X={1 ;2 ;3}. •. Ghép thêm vào X một phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược {1 ;2 ;3 ;4},{1 ;2 ;3 ;5},{1 ;2 ;3 ;6}. •. Ghép thêm vào X hai phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược {1 ;2 ;3 ;4 ;5},{1 ;2 ;3 ;4 ;6},{1 ;2 ;3 ;5 ;6}. •. Ghép thêm vào X ba phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1.Viết tập hợp sau theo cách liệt kê các phần tử :. {. }. a) A = x ∈ R ( x2 − 2 x + 1)( x − 3) = 0 . b) B = { x ∈ N x ≤ 30; x là bội của 3 hoặc của 5} . c) C = {m ∈ Z / 2 ≤ m ≤ 15, m và 15 không có ước chung khác 1} . d) D = { x / x = 2 k 2 + 3 với k ∈ N và x ≤ 30} . e) E = { x ∈ N / x(3 x − 2)(3 x2 − 5 x + 2) = 0} . Bài 2.Tìm tất cả các tập con của X={a ;b ;c ;d ;e ;f}. Bài 3. Tìm tất cả tập hợp X thỏa mãn {1 ;2 ;a ;b} ⊂ X ⊂ {1 ;2 ;a ;b ;c ;d ;e}.. 10.

(12) www.VNMATH.com. §3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP. A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A. A. B. vừa thuộc B ñược gọi là giao của A và B . A∩ B. Kí hiệu: A∩ B . Ta có: A∩ B = { x x ∈ A vaø x ∈ B} .. 2. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A A. hoặc thuộc B ñược gọi là hợp của A và B . Kí hiệu: A∪ B .. B. A∪ B. {. }. Ta cĩ: A ∪ B = x x ∈ A hoặc x ∈ B .. 3. HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B ñược gọi là hiệu của A và B .. A. Kí hiệu: C = A \ B . Ta có: A \ B = { x x ∈ A vaø x ∉ B}. A\B. B. B. A. C AB. *Chú ý: Khi B ⊂ A thì A \ B là phần bù của B trong A. Kí hiệu là: C AB . B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề. Xác ñịnh tập hợp. Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa giao của hai tập hợp, hợp của hai tập hợp, hiệu, bù của. hai tập hợp.. Bài tập 1. Cho hai tập hợp A={0 ;1 ;2 ;5 ;7 ;8 ;9} B={1 ;2 ;6 ;8 ;10}. Tìm A ∪ B; A∩ B; A \ B; B \ A . Giải 11.

(13) www.VNMATH.com. Ta có :. A ∪ B = {0;1;2;5;6; 7;8;9;10} A ∩ B = {1; 2;8} A \ B = {0;5; 7;9} B \ A = {6;10} Bài tập 2. Cho A là tập hợp bất kỳ. Hãy xác ñịnh các tập hợp sau : a/ A ∪ A. b/ A ∩ A. c/ A \ A. d/ A ∪ ∅. e/ A ∩ ∅. f/ A \ ∅. g/ ∅ \ A. h/ C A A. k/ C A ∅ .. Giải a/ A ∪ A = A. b/ A ∩ A. c/ A \ A = ∅. d/ A ∪ ∅ = A. e/ A ∩ ∅ = ∅. f/ A \ ∅ = A. g/ ∅ \ A = ∅. h/ C A A = ∅. k/ C A ∅ = A .. Bài tập 3. Cho tập hợp A. Có thể nói gì về tập B nếu :. a/ A∩B = A d / A ∪B = B. b / A∩B = B e/A\B =∅. c / A∪B = A g / A \ B = A. Giải. a/ B⊂ A d / A⊂ B. b / A⊂ B e/ A ⊂ B. c/ B⊂ A g / A∩ B = ∅. Bài tập 4. Mỗi học sinh lớp 10C1 ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 30 bạn chơi bóng ñá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10C1 có bao nhiêu học sinh ? Giải Gọi A là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng ñá. Gọi B là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng chuyền. Vì mỗi bạn ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền, nên A ∪ B là tập các học sinh của lớp.. 10 A. B. Số phần tử của A ∪ B là 30 + 20 – 10 = 40 Vậy lớp 10C1 có tất cả 40 học sinh.. 12.

(14) www.VNMATH.com. C.BÀI TẬP ðỀ NGHỊ. Bài 1. Dùng biểu ñồ Ven biểu diễn giao, hợp, hiệu của hai tập hợp A và B bất kì. Bài 2. Cho A = {1;2; 4; 6; 7;9} và B = {2;3; 4;5; 7;8} . C={2 ;5 ;4 ;5 ;8 ;9 ;10} Tìm ( A ∪ B) ∩ C; ( A ∩ B) ∪ C; ( A \ B) ∩ C; B \ ( A∩ C ) . Bài 3. Liệt kê các phần tử của tập hợp A các ươc số tự nhiên của 18 và của tập hợp B các ước số tự nhiên của 30. Xác ñịnh :. a / A∩ B. b / A∪ B. c / A\ B. d / B \ A. .. 13.

(15) www.VNMATH.com. §4. CÁC TẬP HỢP SỐ A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. CÁC TẬP HỢP SỐ ðÃ HỌC 1 ) Tập hợp số tự nhiên : ℕ = {0;1;2;3...} 2) Tập hợp số nguyên :. ℤ = {... − 3; −2; −1; 0;1;2;3...}. m  3) Tập hợp số hữu tỉ : ℚ =  m ∈ Z , n ∈ N *  n . 4) Tập hợp các số thực : ℝ. 2 .CÁC TẬP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R. ( a; b) = { x ∈ R a < x < b}. Khoảng :. (a; +∞) = { x ∈ R a < x} ( −∞; b) = { x ∈ R x < b}. ðoạn :. [a; b] = { x ∈ R a ≤ x ≤ b}. Nữa khoảng :. [a; b) = { x ∈ R a ≤ x < b} ( a; b] = { x ∈ R a < x ≤ b}. {. [a; +∞) = x ∈ R a ≤ x. }. (-∞; b] = { x ∈ R x ≤ b}. B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề .Thực hiện các phép toán về tập hợp. Xác ñịnh tập hợp. Phương pháp: Kỹ năng biểu diễn tập hợp số thực trên trục số.. Bài tập 1. Cho các tập hợp A=[-3 ;1] ; B=[-2 ;2] ; C=[-2;+∞) . a/ Trong các tập trên , tập nào là tập hợp con của tập hợp nào ? Tìm phần bù của chúng. b/ Tìm : A ∩ B. ;A ∪ B. ; A ∪C. ;A \ B. B \C 14.

(16) www.VNMATH.com Giải a/ Tập B là tập con của tập hợp C. Phần bù của B trong C là CC B=(2;+∞) . b/ A ∩ B = [−2;1]. ; A ∪ B = [−3;2]. ; A ∪C = [−3; +∞) ; A \ B = [−3; −2) B \ C = ∅. Bài tập 2. Cho các tập hợp :. A = {x ∈ R / − 5 ≤ x ≤ 4} ; B = {x ∈ R / 7 ≤ x < 14} ; C = {x ∈ R / x > 2} ; D = {x ∈ R / x ≤ 4} . a/ Dùng ký hiệu ñoạn, khoảng ,nửa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên. b/ Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số. c/ Xác ñịnh A ∩ B , A ∪ B , A ∪ C , A \ B , B \ C , A ∩ D . Giải a/ A=[-5 ;4], B=[7 ;14), C = (2; +∞) , D = (−∞;4] . b/ A=[-5 ;4] : B=[7 ;14) : C = (2; +∞) :. [. ]. -5. 4. [. ). 7. 14. ( 2. D = (−∞;4] :. ] 4. c/ A ∩ B = ∅, A ∪ B = [−5; 4] ∪ [7;14], A ∪ C =  −5; +∞ ) A\B = [−5; 4] B \ C = (2;7) ∪ (14; +∞) A ∩ D = [−5; 4]. Bài tập 3. Cho a, b, c, d là các số thực với a < b < c < d. Xác ñịnh các tập hợp sau :. a / (a; b ) ∩ (c ; d ) c / (a; d ) \ (b ; c ). b / (a; c ] ∩ [b ; d ) d / (b ; d ) \ (a; c ). Giải. a / (a; b ) ∩ (c ; d ) = ∅ c / (a; d ) \ (b ; c ) = (a; b ] ∪ [c ; d ). b / (a; c ] ∩ [b ; d ) = [b ; c ] d / (b ; d ) \ (a; c ) = [c ; d ).. 15.

(17) www.VNMATH.com. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ. Bài 1. Cho các tập hợp: A = [ − 3;1]; B = [ − 2;2]; C = [ − 2; +∞) . a) Trong các tập hợp trên tập hợp nào là tập con của tập nào? Tìm phần bù của chúng? b) Tìm A ∩ B; A ∪ B; A ∪ C; A \ B; B \ C . Bài 2. Cho các tập hợp :. A = {x ∈ R / 2 x + 3 > 0} B = {x ∈ R / 8 − 2 x < 0} C = {x ∈ R / x + 2 ≥ 0} . a/ Dùng ký hiệu ñoạn,khoảng ,nữa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên. b/ Biểu diễn các tập hợp A,B,C,D trên trục số. c/ Xác ñịnh : A∩ B. ; A∪ B. ; A∪ C. ; A\ B. B\ C. Bài 3. Sắp xếp các tập hợp số sau ñây ℕ * ; ℤ; ℕ; ℝ; ℚ theo thứ tự tập hợp trước là tập con của tập hợp sau.. 16.

(18) www.VNMATH.com. §5. SỐ GẦN ðÚNG - SAI SỐ. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho a là số gần ñúng của số ñúng a . 1. ∆ a = a − a ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a . 2. Nếu ∆ a ≤ d thì d ñược gọi là ñộ chính xác của số gần ñúng a và quy ước viết gọn là a = a±d . 3. Cách quy tròn số gần ñúng căn cứ vào ñộ chính xác cho trước : Cho số gần ñúng a với dộ chính xác d (tức là a = a ± d ). Khi ñược yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ là quy tròn ñến hàng nào thì ta quy tròn a ñến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một ñơn vị của hàng ñó. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm sai số tuyệt ñối của một số gần ñúng. Phương pháp :. Cho a là số gần ñúng của số ñúng a .. ∆ a = a − a ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a . Bài tập 1. Cho ba giá trị gần ñúng của 8/17 là 0,4 ; 0,47; 0,471. Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này. Giải 8 1.2 8 0.01 8 0.007 − 0.4 = < 0.08 ; − 0.47 = < 0.001 ; − 0.471 = < 0.0005 17 17 17 17 17 17. Ta có:. Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.4 là 0.08. Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.47 là 0.001 Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.471 là 0.0005. Bài tập 2. Cho ba giá trị gần ñúng của 23/7 là 3,28 và 3,286 . Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này. Giải Ta có :. 23 − 3.28 < 0, 006 7. ;. 23 − 3.286 < 0, 0003 . 7. Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.28 là 0.006. Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.286 là 0.0003.. 17.

(19) www.VNMATH.com Vấn ñề 2 . Cách viết chuẩn số gần ñúng. Phương pháp :. Nếu ∆ a ≤ d thì d ñược gọi là ñộ chính xác của số gần ñúng a và quy ước viết gọn là a = a±d . Nếu ñộ chính xác của số gần ñúng a ñến hàng nào thì ta quy tròn a ñến hàng kề trước nó. Bài tập 1. Cho số a = 27975421 ± 150 . Hãy viết số quy tròn của số 27 975 421. Giải Vì ñộ chính xác ñến hàng trăm nên ta qui tròn số 27 975 421 ñến hàng nghìn. Vây số quy tròn là : 27 975 000. Bài tập 2. Biết số gần ñúng a=257,4593 có sai số tuyệt ñối không vượt quá 0,01. Viết số quy tròn cùa a. Giải Vì sai số tuyệt ñối không vượt quá. 1 nên số quy tròn của a là 257,5. 100. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Cho biết 3 = 1.7320508... .Viết số gần ñúng 3 theo quy tắc làm tròn ñến hai,ba,bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt ñối trong mỗi trường hợp. Bài 2. Dùng máy tính cầm tay tìm giá trị gần ñúng a của 3 13 (kết quả làm tròn ñến hàng phần nghìn). Ước lượng sai số tuyệt ñối của a. Bài 3. ðộ cao của một ngọn núi là h = 1856, 7m ± 0,1m .Hãy viết số quy tròn của số 1856,7. Bài 4.Thực hiện các phép tính trên máy tính cầm tay. a/ 15.(0.13)3 làm tròn kết quả ñến 4 chữ số thập phân. b/. 3. 5 : 7 làm tròn kết quả ñến 6 chữ số thập phân.. Bài 5. Cho số a = 13, 6481 a) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần trăm. b) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần chục.. 18.

(20) www.VNMATH.com. CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1. HÀM SỐ. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Một hàm số có thể cho bằng: Bảng, Biểu ñồ, Công thức, ðồ thị. Khi cho hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác ñịnh của nó thì ta qui ước tập xác ñịnh D của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. 2. Hàm số y = f(x) gọi là ñồng biến (hay tăng) trên khoảng ( a; b ) nếu. ∀x1 , x 2 ∈ ( a; b ) : x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) . 3. Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng ( a; b ) nếu. ∀x1 , x 2 ∈ ( a; b ) : x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 ) . 4. Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng dồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả ñược tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên. 5. Hàm số y = f(x) với tập xác ñịnh D gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì − x ∈ D và f ( − x) = f (x). ðồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục ñối xứng. 6. Hàm số y = f(x) với tập xác ñịnh D gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì − x ∈ D và f ( − x) = −f (x). ðồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ làm tâm ñối xứng. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm tập xác ñịnh của hàm số Phương pháp : Tìm tập xác ñịnh của hàm số y = f(x) là tìm tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.. Bài tập. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số a) y =. 2x − 1 3x + 2. c) y = 4x − 2 + 5 − x. b) y =. 1 − 2x 2x − 5x + 2. d) y =. x + 2x + 4 x −1. 2. 19.

(21) www.VNMATH.com Giải a) Hàm số xác ñịnh khi 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ −. 2 3.  2 Vậy tập xác ñịnh D = ℝ \ −   3 x ≠ 2  b) Hàm số xác ñịnh khi 2x − 5x + 2 ≠ 0 ⇔  1  x ≠ 2 2.  1 Vậy tập xác ñịnh D = ℝ \  2;   2. 1  4x − 2 ≥ 0 x ≥ c) Hàm số xác ñịnh khi  ⇔ 2 5 − x ≥ 0  x ≤ 5. 1  Vậy tập xác ñịnh D =  ;5 2  x − 1 ≠ 0 x ≠ 1 d) Hàm số xác ñịnh khi  ⇔ 2x + 4 > 0  x > −2. Vậy tập xác ñịnh D = ( −2; +∞ ) \ {1}. Vấn ñề 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. Phương pháp : Hàm số y = f(x) :. ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D + Chẵn trên D nếu  f (− x) = f (x) ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D + Lẻ trên D nếu  f (− x) = f (x). Bài tập. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) f (x) = x 4 − 3x 2 + 1. b) f (x) = −2x 3 + x. c) f (x) = x + 2 − x − 2. d) f (x) = ( x − 1). 2. 20.

(22) www.VNMATH.com Giải a) f (x) = x 4 − 3x 2 + 1. c) f (x) = x + 2 − x − 2. Tập xác ñịnh : D = ℝ. Tập xác ñịnh : D = ℝ. ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D. ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D. f (− x) = (− x)4 − 3(− x)2 + 1. f (− x) = − x + 2 − − x − 2. = x − 3x + 1 = f (x) 4. = − ( x − 2) − − ( x + 2). 2. = x−2 − x+2 = −( x + 2 − x − 2 ). Vậy hàm số là hàm số chẵn.. = −f (x) Vậy hàm số là hàm số lẻ. d) f (x) = ( x − 1). b) f (x) = −2x 3 + x. 2. Tập xác ñịnh : D = ℝ. Tập xác ñịnh : D = ℝ. ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D. Lấy x = 1 ∈ D. f (− x) = −2(− x)3 + (− x). f (−1) = ( −1 − 1) = 4 2. = 2x 3 − x. f (1) = (1 − 1) = 0 2. = − ( −2x + x ) 3. ⇒ f (−1) ≠ ± f (1). = −f (x). Vậy hàm số không chẵn không lẻ. Vậy hàm số là hàm số lẻ.. Vấn ñề 3. Tìm ñiều kiện ñể một ñiểm thuộc ñồ thị hàm số Phương pháp : ðiểm M ( x 0 ; y 0 ) thuộc ñồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi y 0 = f (x 0 ). Bài tập. Những ñiểm sau ñây, ñiểm nào thuộc ñồ thị hàm số y =. x +1 ?. A ( −1;0 ) , B ( 4; 2 ) , C ( 0;0 ) , D ( −5; −2 ) Giải + ðiểm A (−1;0) thuộc ñồ thị hàm số y =. x + 1 vì 0 =. −1 + 1. + ðiểm B (4; 2) không thuộc ñồ thị hàm số y =. x + 1 vì 2 ≠ 4 + 1. + ðiểm C (0; 0) không thuộc ñồ thị hàm số y =. x + 1 vì 0 ≠ 0 + 1. + ðiểm D ( −5; −2 ) không thuộc ñồ thị hàm số y = ñịnh của hàm số.. x + 1 vì x 0 = −5 không thuộc tập xác. 21.

(23) www.VNMATH.com C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài tập 1. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau: a) y =. c) y =. − 3x x+2. b) y = x + 2 + 7 − x. x+2. d) y = x + 2 +. 2. x − 4x + 3. e) y = x + 3 +. 1 4−x. f) y =. 1 2. x −4. x +1 (x − 3) 2x − 1. Bài tập 2. Xác ñịnh tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) y = 4x 3 + 3x. b) y = x 4 − 3x 2 − 1. c) y = 2x − 1 + 2x + 1. d) y = (1 − 2x ). e) y = 2x 2 + x + 2. f) y = −. 2. 1 x +3 2. 22.

(24) www.VNMATH.com §2. HÀM SỐ y = ax + b. A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số bậc nhất y = ax + b, ( a ≠ 0 ) Tập xác ñịnh D = ℝ ; Bảng biến thiên a >0: x. −∞. a<0:. +∞. x. +∞. +∞. +∞. y. −∞. y −∞. −∞. ðồ thị là một ñường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa ñộ. ðể vẽ ñường thẳng y = ax + b ta chỉ cần xác ñiịnh hai ñiểm khác nhau của nó. 2. Hàm số hằng y = b Tập xác ñịnh D = ℝ ; Hàm số hằng là hàm số chẵn; ðồ thị là một ñường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại ñiểm có tọa ñộ (0;b). 3. Hàm số y = x Tập xác ñịnh D = ℝ ; Hàm số hằng là hàm số chẵn; Hàm số ñồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) và nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 ) .. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Vẽ ñồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0 ) Phương pháp : Xác ñịnh hai ñiểm khác nhau trên ñồ thị.. 23.

(25) www.VNMATH.com Bài tập 1. Vẽ ñồ thị của các hàm số a) y = 3x + 4. b) y = 3 −. 1 x 2. c) y = 4 .. Giải a) y = 3x + 4 x =0⇒ y=4 x = −1 ⇒ y = 1. ðồ thị:. y 6. y = 3x + 4. 4 2 x -4. -2. 2. 4. 6. -2 -4 -6. b) y = 3 −. ðồ thị :. 1 x 2. x =0⇒y=3 x =2⇒ y=2. y. 4 2. 1 y = 3− x 2 x. -4. -2. 2. 4. 6. -2. 24.

(26) www.VNMATH.com. c) y = 4. ðồ thị: y 6 y=4. 4. 2 x -6. -4. -2. 2. 4. 6. -2. Vấn ñề 2 . Viết phương trình của ñường thẳng y = ax + b Phương pháp :. ðường thẳng ñi qua hai ñiểm Thay tọa ñộ hai ñiểm ñó vào phương trình y = ax + b giải hệ phương trình tìm a, b và thay vào phương trình y = ax + b .. ðường thẳng qua một ñiểm và song song với ñường thẳng y = a’x + b’ Tương tự qua hai ñiểm ta lập ñược một phương trình. Do ñường thẳng y = ax + b song song với ñường thẳng y = a’x + b’ nên ta có a = a ' , b ≠ b '. ðường thẳng qua một ñiểm và vuông góc với ñường thẳng y = a’x + b’ Tương tự qua hai ñiểm ta lập ñược một phương trình. Do ñường thẳng y = ax + b vuông góc với ñường thẳng y = a’x + b’ nên ta có a.a’ = −1 .. Bài tập 2. Viết phương trình ñường thẳng (d): y = ax + b biết: a) ðường thẳng (d) qua hai ñiểm A (2;3) và B (−1; −3) b) ðường thẳng (d) qua M (1; −1) và song song ñường thẳng d’: y = −3x − 4 25.

(27) www.VNMATH.com c) ðường thẳng (d) qua N (2;1) và vuông góc ñường thẳng d’: y =. 1 x+3 2. Giải a) Do ñường thẳng (d) qua hai ñiểm A (2;3) và B (−1; −3) nên ta có hệ phương trình: 3 = a.2 + b 2a + b = 3 a = 2 ⇔ ⇔  −3 = a.(−1) + b −a + b = −3 b = −1. Vậy d: y = 2x − 1 b) Do ñường thẳng (d) qua M (1; −1) nên ta có phương trình: −1 = a.1 + b ⇔ a + b = −1 (1) Do ñường thẳng (d) song song ñường thẳng d’: y = −3x − 4 nên ta có a = −3 . Thay vào (1) ta ñược b = 2. Vậy d : y = −3x + 2 c) Do ñường thẳng (d) qua N (2;1) nên ta có phương trình: 1 = a.2 + b ⇔ 2a + b = 1 (1) Do ñường thẳng (d) vuông góc ñường thẳng d’: y =. 1 1 x + 3 nên ta có a. = −1 ⇔ a = −2 . 2 2. Thay vào (1) ta ñược b = 5. Vậy d: y = −2x + 5. Vấn ñề 3. Vẽ ñồ thị hàm số cho bằng nhiều biểu thức Phương pháp : Ta vẽ ñồ thị trên từng khoảng, ñoạn hay nửa khoảng ñược chia.. Bài tập 3. Vẽ ñồ thị hàm số. 3x, với x ≥ 0 a) y =   x − 1, với x < 0. b) y = x − 2 + 1. Giải. 26.

(28) www.VNMATH.com. 3x, với x ≥ 0 a) y =   x − 1, với x < 0. ðồ thị : y. Xét trên [ 0; +∞ ) :. 3. x =0⇒y=0. 1. Xét trên ( −∞; 0 ) : x = −1 ⇒ y = −2 x = −2 ⇒ y = −3. y = x −1. 2. x =1⇒ y = 3. x -3. -2. -1. 1. 2. 3. -1 -2. y = 3x. -3. b) y = x − 2 + 1. ðồ thị :.  x − 2 + 1, với x − 2 ≥ 0 = − x + 2 + 1, với x − 2 < 0. y 5.  x − 1, với x ≥ 2 = − x + 3, với x < 2. 4. y = −x + 3. y = x −1. 3. Xét trên [ 2; +∞ ) :. 2. x = 2 ⇒ y =1 x =3⇒ y = 2 Xét trên ( −∞; 2 ) :. x =1⇒ y = 2 x =0⇒ y=3. 1 x -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. -1 -2. 27.

(29) www.VNMATH.com C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ. Bài tập 1. Vẽ ñồ thị hàm số: x +1 2. a) y = x + 2. b) y =. c) y = −2 x + 1. d) y = − 3. Bài tập 2. Xác ñịnh a, b ñể ñồ thị hàm số y = ax + b a) ði qua hai ñiểm A(0;1) và B ( 2; −3) 2 b) ði qua C ( 4; −3) và song song ñường thẳng y = − x + 1 3 1 2. c) ði qua E(4;2) và vuông góc ñường thẳng y = − x + 5. Bài tập 3. Vẽ ñồ thị hàm số sau: − x + 2, với x ≥ 1 a) y =  2x + 2, với x < 1. b) y = −2x + 3 − 1. 28.

(30) www.VNMATH.com §3. HÀM SỐ BẬC HAI. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c, ( a ≠ 0 ) có tập xác ñịnh D = ℝ . 2. ðồ thị hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c là một ñường parabol có ñỉnh là ñiểm. b ∆  b I  − ; −  , có trục ñối xứng là ñường thẳng x = − . 2a  2a 4a  Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0. 3. ðể vẽ ñường parabol y = ax 2 + bx + c , ( a ≠ 0 ) ta thực hiện các bước sau: ∆  b Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh I  − ; −  ;  2a 4a  Vẽ trục ñối xứng d là ñường thẳng x = −. b 2a. Xác ñịnh giao ñiểm của parabol với các trục tọa ñộ (nếu có). Xác ñịnh thêm một số ñiểm thuộc ñồ thị. Chẳng hạn, ñiểm ñối xứng với giao ñiểm của ñồ thị với trục tung qua trục ñối xứng của parabol. Dựa vào kết quả trên, vẽ parabol. 4. Bảng biến thiên : a > 0: x. a<0:. −∞. −. b 2a. +∞. +∞. x. −∞. +∞. y. −. −. b 2a. +∞. ∆ 4a. y. −. ∆ 4a. −∞. −∞. 29.

(31) www.VNMATH.com Vấn ñề 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số bậc hai y = ax 2 + bx+ c, ( a ≠ 0 ) Phương pháp: + Tìm tập xác ñịnh: D = ℝ. ∆  b + Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh I  − ; −   2a 4a  + Xác ñịnh trục ñối xứng x = −. b 2a. + Xác ñịnh giao ñiểm của ñồ thị với các trục tọa ñộ (nếu có) + Tìm ñiểm ñối xứng với giao ñiểm của ñồ thị với trục tung qua trục ñối xứng của parabol. + Từ các dữ liệu tìm ñược, lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số.. Bài tập 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số : a) y = 3x 2 − 4x + 1. b) y = −3x 2 + 2x − 1. c) y = 4x 2 − 4x + 1 .. Giải a) y = 3x 2 − 4x + 1 Tập xác ñịnh: D = ℝ. ðồ thị:.  2 1 Tọa ñộ ñỉnh: I  ; −   3 3. 7. y. 6 2 Trục ñối xứng: x = 3. 5. Giao ñiểm của ñồ thị với trục Oy là A(0;1).. 3. Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox. 2. 1  là B(1;0), C  ; 0  . 3 . 1. 4  ⇒ A’  ;1 ñối xứng A qua trục ñối xứng 3 . y = 3x 2 − 4 x + 1. 4. -3. -2. -1. -1 -2. x 1. 2. 3. 4. 5. 2 x= 3. -3. 30.

(32) www.VNMATH.com Bảng biến thiên : x. 2 3. −∞. +∞. +∞. +∞. y −. 1 3. b) y = −3x 2 + 2x − 1 Tập xác ñịnh: D = ℝ. ðồ thị: y. 1 2 Tọa ñộ ñỉnh: I  ; −  3 3 Trục ñối xứng: x =. 2 1. 1 3. -5. -4. -3. -2. -1. x=. 1 3. 1. Giao ñiểm của ñồ thị với trục Oy là A(0;1).. -1. Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox là không có.. -2. x 2. 3. y = −3x 2 + 2x − 1 -3. 2  ⇒ A’  ; −1  ñối xứng A qua trục ñối xứng. 3 . -4 -5. Bảng biến thiên: x. 2 3. −∞ −. y −∞. +∞. 2 3. −∞. 31.

(33) www.VNMATH.com c) y = 4x − 4x + 1 2. Tập xác ñịnh: D = ℝ. ðồ thị: y. 1  Tọa ñộ ñỉnh: I  ;0  2  6. 1 Trục ñối xứng: x = 2. y = 4x2 − 4x + 1. Giao ñiểm của ñồ thị với trục Oy là A(0;1).. 4. Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox là 1  B  ;0  2 . 2. ⇒ A’ (1;1) ñối xứng A qua trục ñối xứng.. x -4. -2. 2 x=. 4. 1 2. Bảng biến thiên: x. −∞. 1 2. +∞. +∞ +∞. y 0. 32.

(34) www.VNMATH.com Vấn ñề 2. Xác ñịnh hàm số bậc hai. Phương pháp :. Biết ñồ thị qua một ñiểm.Thay tọa ñộ ñiểm vào phương trình hàm số ta ñược một phương trình. Biết ñồ thị có trục ñối xứng x = x 0 . Suy ra −. b = x0 . 2a.  b − 2a = x 0 Biết ñỉnh I ( x 0 ; y0 ) .Suy ra  − ∆ = y 0  4a. Biết hoành ñộ ñỉnh là x 0 . Suy ra − Biết tung ñộ ñỉnh là y 0 . Suy ra −. b = x0 2a. ∆ = y0 4a. Từ các giả thiết ñề bài cho, ta thành lập hệ phương trình.. Bài tập 2. Xác ñịnh hàm số bậc hai y = 2x 2 + bx + c , biết rằng ñồ thị của nó: a) Có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 1 và cắt trục tung tại ñiểm (0;4). b) Có ñỉnh là I ( −1; −2 ) . c) ði qua hai ñiểm A ( 0; −1) , B ( 4; 0 ) . d) Có hoành ñộ ñỉnh là 2 và ñi qua ñiểm M (1; −2 ) .. Giải a) Do ñồ thị có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 1 nên ta có: −. b = −1 ⇔ b = −2a = −4 2a. Do ñồ thị cắt trục tung tai ñiểm (0;4) nên ta có: 4 = 2.0 + b.0 + c ⇔ c = 4 Vậy hàm số cần tìm là : y = 2x 2 − 4x + 4  b b = 2a − 2a = −1 b = 4  ⇔  4ac − b 2 ⇔ b) Do ñồ thị có ñỉnh là I ( −1; −2 ) nên ta có:  =2 c = 0 − ∆ = −2   4a  4a Vậy hàm số cần tìm là : y = 2x 2 + 4x . 33.

(35) www.VNMATH.com. c) Do ñồ thị ñi qua hai ñiểm A ( 0; −1) , B ( 4; 0 ) nên ta có hệ phương trình:.  c = −1 −1 = 2.0 + b.0 + c  c = −1  ⇔ ⇔  31 0 = 2.16 + 4.b + c 32 + 4b + c = 0 b = − 4 Vậy hàm số cần tìm là : y = 2x 2 −. 31 x −1 . 4. d) Do ñồ thị có hoành ñộ ñỉnh là 2 nên ta có −. b = 2 ⇔ b = −8 2a. Do ñồ thị ñi qua ñiểm M (1; −2 ) nên ta có: −2 = 2.1 + b.1 + c ⇔ −2 = 2 − 8 + c ⇔ c = 4 Vậy hàm số cần tìm là : y = 2x 2 − 8x + 4 .. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài tập 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: a) y = 2x 2 + 4x − 6 c) y =. 1 2 x + 2x + 1 2. b) y = −3x 2 − 6x + 4 d) y = −2x 2 − 2. Bài tập 2. Xác ñịnh hàm số bậc hai y = ax 2 − 4x + c , biết rằng ñồ thị của nó a) ði qua hai ñiểm A (1; −2 ) và B ( 2;3) . b) Có ñỉnh là I ( −2; −1) . c) Có hoành ñộ ñỉnh là −3 và ñi qua ñiểm P(−2;1) . d) Có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại ñiểm M(3;0).. Bài tập 3. Xác ñịnh parabol y = ax 2 + bx + 1 biết parabol ñó: a) Qua A (1; 2 ) và B ( 2;3) . b) Có ñỉnh là I (1;0 ) . c) Qua M(1;6) và có trục ñối xứng có phương trình là x = −2 . d) Qua N(1;4) và có tung ñộ ñỉnh là 0.. 34.

(36) CHƯƠNG III. www.VNMATH.com PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH. §1. ðẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn: Phương trình ẩn x là một mệnh ñề chứa biến dạng f ( x) = g( x) , trong ñó f ( x) và g( x) là các biểu thức của x . 2. ðiều kiện xác ñịnh của phương trình ðiều kiện xác ñịnh của phương trình (gọi tắt là ñiều kiện của phương trình) là những ñiều kiện của ẩn x ñể các biểu thức của phương trình ñiều có nghĩa. 3. Nghiệm của phương trình-giải phương trình Nếu f ( x0 ) = g( x0 ) thì x0 ñược gọi là nghiệm của phương trình f ( x) = g( x) Giải phương trình là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). 4. Phương trình nhiều ẩn Ngoài các phương trình một ẩn còn có các phương trình nhiều ẩn. Nghiệm của phương hai ẩn x, y là cặp số thực ( x0 ; y0 ) thỏa mãn phương trình ñó, còn nghiệm của một phương trình ba ẩn x, y, z là một bộ ba số thực ( x0 ; y0 ; z0 ) thỏa mãn phương ñó. II. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ðƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương ñương: Hai phương trình f ( x) = g( x) (1) và f1 ( x) = g1 ( x) (2) ñược gọi là tương ñương nếu chúng có cùng tập nghiệm (có thể là tập rỗng). Kí hiệu: (1) ⇔ (2) . 2. Phép biến ñổi tương ñương: Nếu thực hiện các biến ñổi sau ñây trên một phương trình mà không làm thay ñổi ñiều kiện xác ñịnh của nó thì ta ñược một phương trình tương ñương. a) Cộng hay trừ hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác không. b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng biểu thức luôn có giá trị khác 0. 3. Phương trình hệ quả Nếu mỗi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2) thì ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). Kí hiệu: (1) ⇒ (2) . n. n. Chẳng hạn, với số nguyên dương n tùy ý ta có: f ( x) = g( x) ⇒  f ( x)  =  g( x) Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại lai, nghiệm ñó không phải là nghiệm của phương trình ban ñầu. ðể loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại nghiệm tìm ñược vào phương trình ban ñầu.. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm ñiều kiện của ẩn ñể phương trình có nghĩa Phương pháp : Tìm ñiều kiện của ẩn x ñể các biểu thức của phương trình ñiều có nghĩa.. 35.

(37) www.VNMATH.com Bài tập 1. Tìm ñiều kiện của các phương trình sau: 3x x+2 a) 2 = 4−x b) = 2−x x −1 x−3 Giải  x2 − 1 ≠ 0  x ≠ ±1 a) ðiều kiện của phương trình là:  . ⇔ x ≤ 4 4 − x ≥ 0. x − 3 > 0 x > 3 b) ðiều kiện của phương trình là:  ⇔ ⇔ x ∈∅ . 2 − x ≥ 0 x ≤ 2 Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình. Chú ý: Khi không có giá trị nào của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình thì phương trình ñã cho vô nghiệm. Bài tập 2. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm 2x −1 = x−4 ; a) b) x − 5 + x = 3 + 5 − x . −x + 3. Giải − x + 3 > 0 x < 3 ⇔ ⇔ x ∈∅ . Do ñó: không có giá trị nào a) ðiều kiện của phương trình là:  x − 4 ≥ 0 x ≥ 4 của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình. Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. x − 5 ≥ 0 x ≥ 5 ⇔ ⇔ x = 5 . Giá trị này không thỏa mãn b) ðiều kiện của phương trình là:  5 − x ≥ 0 x ≤ 5 phương trình. Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. Vấn ñề 2. Biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả phương trình; Xác ñịnh quan hệ tương ñương, hệ quả của các phương trình. Phương pháp : 1) Nếu thực hiện các biến ñổi sau ñây trên một phương trình mà không làm thay ñổi ñiều kiện xác ñịnh của nó thì ta ñược một phương trình tương ñương. a) Cộng hay trừ hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng biểu thức luôn có giá trị khác 0. 2) Nếu mỗi nghiệm của phương trình f ( x) = g( x) (1) cũng là nghiệm của phương trình f1 ( x) = g1 ( x) (2) thì ta nói phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). Kí hiệu: (1) ⇒ (2) . Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại lai, nghiệm ñó không phải là nghiệm của phương trình ban ñầu. ðể loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại nghiệm tìm ñược vào phương trình ban ñầu.. 36.

(38) www.VNMATH.com ðể phép bình phương trở thành phép biến ñổi tương ñương ta phải thêm ñiều kiện hai vế cùng dấu và thỏa mãn ñiều kiện của phương trình.. Bài tập 1. Giải các phương trình sau: b) x − 4 − x = 2 + x − 4 Giải a) ðiều kiện của phương trình là: x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2 . Ta có: a). x+2 + x = 4+ x+2 ;. x+2 + x = 4+ x+2 ⇔ x = 4+ x+2 − x+2 ⇒x=4 Giá trị x = 4 thỏa mãn ñiều kiện x ≥ −2 và là nghiệm ñúng của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình ñã cho là: x = 4 . b) ðiều kiện của phương trình là: x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 . Ta có:. x−4 − x = 2+ x−4 ⇔ −x = 2 + x − 4 − x − 4 ⇒ x = −2 Giá trị x = −2 không thỏa mãn ñiều kiện x ≥ 4 . Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. Bài tập 2. Giải các phương trình sau: 2x +1 2 x2 x+2 a) = ; b) = x−3 x−3 x +1 Giải a) ðiều kiện của phương trình là x > 3 . Với ñiều kiện ñó, ta có x+2 x+2 2x +1 2x +1 = ⇔ . x−3 = . x−3 x−3 x−3 x−3 x−3 ⇒ 2x +1 = x + 2. 8. x +1. ⇒ x =1 Giá trị x = 2 không thỏa mãn ñiều kiện x > 3 nên bị loại. Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. b) ðiều kiện của phương trình là x > −1 . Với ñiều kiện ñó, ta có 2 x2 8 2 x2 8 = ⇔ . x +1 = . x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 ⇒ 2 x2 = 8  x = −2 ⇒ x = 2 Giá trị x = −2 không thỏa mãn ñiều kiện x > −1 nên bị loại. Giá trị x = 2 thỏa mãn ñiều kiện x > −1 và nghiệm ñúng phương trình. Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là x = 2 .. 37.

(39) www.VNMATH.com C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Nêu ñiều kiện xác ñịnh của các phương trình sau: a). x2 + 3 x = x + 1 ;. b). x −1 =2 x+2 . x +1 Bài 2. Giải các phương trình 2x −1 x +1 ; a) +2= x −1 x −1. x −1 +1 = 1− x + x ;. c). (. b) x + 2 −. ). c). x − 2 x2 − 3 x − 4 = 0 ;. e). x2 − 4 + x + 3 = 4 − x2 +. d). x x −1. =2;. x −1 = 8 − x ;. 5x : 2. Bài 3. Trong các cặp phương trình sau, hãy chỉ ra các cặp phương trình tương ñương: a) x2 − 3 x = 4 và x2 − 3 x − 4 = 0 ; b) 6 x − 12 = 0 và x = 2 ; 2 2 c) x( x + 2) = 3( x + 2) và x = 3 ; d) x − 1 = 3 và ( x − 1)2 = 0 ; e) x − 2 = 4 và ( x + 2)2 = 16 .. 38.

(40) www.VNMATH.com §2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẬC HAI A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1). Hệ số a≠0. a=0. ax + b = 0 (1). Phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = −. b≠0. Phương trình (1) vô nghiệm. b=0. Phương trình (1) nghiệm ñúng với ∀x ∈ ℝ. b a. Khi a ≠ 0 phương trình (1) ñược gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2). Biệt thức. Kết luận. ∆ = b 2 − 4 ac ∆>0. Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =. ∆=0. ∆<0. −b ± ∆ 2a. Phương trình (2) có nghiệm kép x = −. b 2a. Phương trình (2) vô nghiệm. 3. ðịnh lí Vi-et b c Nếu phương trình (2) có hai nghiệm x1 , x2 thì x1 + x2 = − , x1 . x2 = . a a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x2 − Sx + P = 0 (ñiều kiện: S2 − 4 P ≥ 0 ). 4. Phương trình trùng phương Có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) .. Cách giải: ñặt t = x2 ( t ≥ 0 ) và ñưa về phương trình bậc hai at 2 + bt + c = 0 . 5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt ñối Có thể khử dấu giá trị tuyệt ñối trong phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt ñối nhờ sử dụng ñịnh nghĩa: a neáu a ≥ 0 a2 = a =  −a neáu a < 0 ðặc biệt, ta có: 2 2  f ( x) = g( x) f ( x) = g( x) ⇔  * f ( x) = g( x) ⇔ f ( x) = g( x) hoặc .  f ( x) = − g( x). 39.

(41) www.VNMATH.com *.  f ( x) > 0 (hay g( x) > 0). f ( x) = g( x) ⇔ .  f ( x) = g( x). ;. *.  g( x) > 0 . 2  f ( x) = g ( x). f ( x) = g( x) ⇔ . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 . Phương pháp : * a ≠ 0 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = −. b . a. * a = 0 : Phương trình trở thành ax = − b + b ≠ 0 : Phương trình vô nghiệm + b = 0 : Phương trình có vô số nghiệm x ∈ ℝ. Bài tập. Giải và biện luận phương trình (m − 1)(m − 3) x + 3 − m = 0 (1) Giải (m − 1)(m − 3) x + 3 − m = 0 ⇔ (m − 1)(m − 3) x = m − 3 (1′). m − 1 ≠ 0 m ≠ 1 ⇔ * (m − 1)(m − 3) ≠ 0 ⇔  : phương trình (1′) có nghiệm duy nhất: m − 3 ≠ 0 m ≠ 3 m−3 1 x= = (m − 1)(m − 3) m − 1. m = 1 * (m − 1)(m − 3) = 0 ⇔  m = 3 + Với m = 1 : Phương trình (1′) trở thành 0 x = −2 (phương trình vô nghiệm) + Với m = 3 : Phương trình (1′) trở thành 0 x = 0 (phương trình có vô số nghiệm x ∈ ℝ ). Vậy * Với m ≠ 1 và m ≠ 3 : Phương trình (1) có nghiệm duy nhất x =. 1 . m −1. * Với m = 1 : Phương trình (1) vô ngiệm. * Với m = 3 : Phương trình (1) có vô số nghiệm x ∈ ℝ . Vấn ñề 2. Giải phương trình có ẩn ở mẫu số ñơn giản Phương pháp : Bước 1: ðặt ñiều kiện của phương trình (Chú ý ñiều kiện ñể mẫu số khác 0). Bước 2: Quy ñồng, khử mẫu và tìm nghiệm của phương trình. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm ñược với ñiều kiện. Nếu nghiệm ñó thỏa mãn ñiều kiện thì nó là nghiệm của phương trình, ngược lại nó không phải là nghiệm.. Bài tập. Giải phương trình sau: 2 x + 3 +. x2 + 3 4 = x −1 x −1. Giải a) ðiều kiện của phương trình: x ≠ 1 . Với ñiều kiện ñó, ta có: 4 x2 +3 2x + 3 + = ⇔ (2 x + 3)(x − 1) + 4 = x 2 + 3 x −1 x −1. 40.

(42) www.VNMATH.com  x = 1 (loại) ⇔ x2 +x −2 = 0 ⇔   x = −2 (nhaän ) Vậy nghiệm của phương trình là: x = −2 . Vấn ñề 3. Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) . Phương pháp : ðặt t = x2 ( t ≥ 0 ) và ñưa về phương trình bậc hai at 2 + bt + c = 0 .. Bài tập. Giải phương trình x4 − 5 x2 + 4 = 0 Giải ðặt t = x , t > 0 . Khi ñó phương trình ñã cho trở thành: 2.  t = 1 (nhaän ). t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ .  t = 4 (nhaän ) Với t = 1 , ta ñược: x = 1 ⇔ x = ±1 . Với t = 4 ⇔ x = ±2 . Vậy phương trình ñã cho có 4 nghiệm: x = ±1; x = ±2 . 2. Vấn ñề 4. Giải phương trình dạng: A = B ; A = B; A = B; A = B . Phương pháp : Sử dụng các công thức. A= B A= B ⇔ ;  A = −B  A ≥ 0 (hay B ≥ 0). A= B ⇔ . A= B. Bài tập. Giải các phương trình sau: a) x − 3 = 2 x + 1 ; c). 2x − 3 = x − 3 ;. ;. B ≥ 0  A = B ⇔  A = B ;  A = −B .   B ≥ 0 . A= B⇔  2  A = B. b) 2 x − 1 = −5 x − 2 ; c). x2 + x − 2 = − x + 1 .. Giải. 41.

(43) www.VNMATH.com 2 x + 1 ≥ 0  a) x − 3 = 2 x + 1 ⇔   x − 3 = 2 x + 1   x − 3 = −2 x − 1   1 x ≥ − 2  ⇔ −  x = 4  3 x = 2.  2 x − 1 = −5 x − 2 b) 2 x − 1 = −5 x − 2 ⇔  2 x − 1 = 5 x + 2  7 x = −1 ⇔  −3 x = 3  1 x=−  ⇔ 7   x = −1.  1 x ≥ − 2  ⇔   x = −4  2  x =   3 2 ⇔ x= 3 Vậy nghiệm của phương trình là: x =. Vậy nghiệm của phương trình là:. 1 7. x = − ; x = −1 .. 2 3.  x − 3 ≥ 0 c) 2 x − 3 = x − 3 ⇔  2 2 x − 3 = ( x − 3)  x ≥ 3 ⇔ 2 2 x − 3 = x − 6 x + 9  x ≥ 3 ⇔ 2  x − 8 x + 12 = 0 x ≥ 3  ⇔   x = 2 (loại)   x = 6 (nhaän )  ⇔ x=6 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 6. − x + 1 ≥ 0 d) x2 + x − 2 = − x + 1 ⇔  2  x + x − 2 = − x + 1  x ≤ 1 ⇔ 2  x + 2 x − 3 = 0 x ≤ 1  ⇔   x = 1 (nhaän )   x = −3 (nhaän )  x = 1 ⇔  x = −3 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1; x = −3. 42.

(44) www.VNMATH.com Vấn ñề 5. Vận dụng ñịnh lí Vi-et vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Phương pháp : a) Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) . + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1 , nghiệm còn lại x2 =. c . a. + Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = −1 , nghiệm còn lại x2 = −. c a. b) Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x2 − Sx + P = 0 (ñiều kiện: S2 − 4 P ≥ 0 ).. Bài tập 1. Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) x2 − 6 x + 5 = 0 ; b) 3 x2 − 6 x − 9 = 0 . Giải 5 = 5. 1 −9 = 3. b) Vì 3 − (−6) − 9 = 0 nên phương trình có một nghiệm x1 = −1 , nghiệm kia x2 = − 3 Bài tập 2. Tìm hai số có tồng bằng 18 và tích bằng 45. Giải x = 3 Hai số cần tìm là nghiệm nghiệm của phương trình: x2 − 18 x + 45 = 0 ⇔  .  x = 15 Vậy hai số cần tìm là: 3 và 15. a) Vì 1 + (−6) + 5 = 0 nên phương trình có một nghiệm x1 = 1 , nghiệm kia x2 =. Vấn ñề 6. Giải các bài toán thực tế ñưa về giải phương trình bậc nhất, bậc hai bằng cách lập phương trình. Phương pháp : Bước 1: ðặt ẩn số và xác ñịnh ñiều kiện của ẩn. Bước 2: Từ yêu cầu ñề bài xây dựng phương trình. Tìm nghiệm của phương trình ñó. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm ñược với ñiều kiện và kết luận. Bài tập. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất ñưa sang rổ thứ hai 1 thì số quả quýt ở rổ thứ hai bằng của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả 3 quýt ở mỗi rổ lúc ban ñầu là bao nhiêu? Giải Gọi x là số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban ñầu. ðiều kiện: x :nguyên dương và x > 30 . 2 1 Theo ñề bài ta có phương trình: x + 30 = ( x − 30 ) 3  x = 45 (loại) x2 − 63 x + 810 = 0 ⇔   x = 18 (nhaän ) Vậy số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban ñầu là 45 quả.. 43.

(45) www.VNMATH.com C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Giải và biện luận phương trình sau: m( x − 2) = 3 x + 1 Bài 2. Tìm hai số có tổng bằng 15 và tích bằng -34. Bài 3. Giải các phương trình sau: 2x 1 a) 2 − = 2; b) ( x2 + 2 x)2 − (3 x + 2)2 = 0; x −1 x +1 Bài 4. Giải các phương trình sau:. c) x4 − 8 x2 − 9 = 0. a/ 2 x +1 = x − 3. b/ |x2 − 2x| = |x2 − 5x + 6|. c/ |x + 3| = 2x + 1. d/ |3x2 − x − 2 | = x − 2. Bài 5. Giải các phương trình sau:. a/ 3x 2 − 9 x +1 = x − 2 c/ x − 2 x + 7 = 4. b/ x − 2 x − 5 = 4 d/ x + x −1 = 13. Bài 6. Một người dùng 300000ñ ñầu tư cho sản xuất thủ công. Mỗi sản phẩm người ñó ñược lãi 1500 ñồng. Sau một tuần, tính cả vốn lẫn lãi người ñó có 1050 nghìn ñồng. Hỏi trong tuần ñó, người ấy sản xuất ñược bao nhiêu sản phẩm? Bài 7. Một công ty vận tải dự ñịnh ñiều ñộng một số ô tô cùng loại ñể chuyển 22,4 tấn hàng. Nếu mỗi ô tô chở thêm 1 tạ so với dự ñịnh thì số ô tô giảm ñi 4 chiếc. Hỏi số ô tô công ty dự ñịnh ñiều ñộng ñể chở hết số hàng trên là bao nhiêu?. 44.

(46) www.VNMATH.com §3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c , trong ñó a, b, c là các số thực ñã cho và a, b không ñồng thời bằng 0; x, y là ẩn số. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn  a x + b1 y = c1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng  1 , trong ñó cả hai phương  a2 x + b2 y = c2 trình ñều là phương trình bậc nhất hai ẩn. * Có hai cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc a) Phương pháp thế: Từ một phương trình nào ñó của hệ, biểu thị một ẩn qua ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ñể ñược phương trình bậc nhất một ẩn. b) Phương pháp cộng: Biến ñổi hệ số của một ẩn nào ñó trong hai phương trình là hai số ñối nhau rồi cộng từng vế hai phương trình lại ñể ñược phương trình bậc nhất một ẩn. II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 1. Phương trình bậc nhất ba ẩn Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng ax + by + cz = d , trong ñó a, b, c, d là các số thực ñã cho và a, b, c không ñồng thời bằng 0; x, y, z là ẩn số. 2. Hệ ba phương trình bậc nhất hai ẩn a) Dạng tam giác của hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là:  a1 x + b1 y + c1 z = d1  a1 x = d1   = d2 (2) b2 y + c2 z = d2 (1) hoặc a2 x + b2 y    c3 z = d3   a3 x + b3 y + c3 z = d3 Cách giải: Từ phương trình cuối của hệ (1) tính ñược z , thế giá trị z vừa tìm ñược vào phương trình thứ hai ñể tính ñược y rồi thế cả y, z tìm ñược vào phương trình ñầu tính ñược x . Từ phương trình ñầu của hệ (2) tính ñược x , thế giá trị x vừa tìm ñược vào phương trình thứ hai ñể tính ñược y rồi thế cả x, y tìm ñược vào phương trình thứ ba tính ñược z .  a1 x + b1 y + c1 z = d1  b) Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn x, y, z có dạng a2 x + b2 y + c2 z = d2 , trong ñó cả ba a x + b y + c z = d 3 3 3  3. phương trình ñều là phương trình bậc nhất ba ẩn. Cách giải: (theo phương pháp Gau-xơ): Khử dần ẩn số ñể ñưa về hệ phương trình dạng tam giác.. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Giải và biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp : + Cho phương trình ax + by = c (a 2 + b 2 > 0) ; c − ax0 + Giả sử b ≠ 0 , cho x = x0 ta có: y0 = ;. b. 45.

(47) www.VNMATH.com  c − ax0 + Tập nghiệm của phương trình là  x0 ; b .  . . Bài tập. Giải phương trình 2 x + 3 y = 5 Giải 5 − 2 x0 5 − 2x . Cho x = x0 ta ñược: y0 = 3 3  5 − 2 x0  Vậy nghiệm của phương trình là:  x0 ;  3  . Ta có: 2 x + 3 y = 5 ⇔ y =. Vấn ñề 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn ñơn giản Phương pháp : Theo phương pháp Gau-xơ Khử dần ẩn số ñể ñưa về hệ phương trình dạng tam giác. Bài tập. Giải các hệ phương trình sau:.  x − 6 y = −9 a)  4 x + y = 14;.  x + 3y + 2 z = 8  b) 2 x + 2 y + z = 6 3 x + y + z = 6 . . Giải  x − 6 y = −9  x − 6 y = −9 a)  ⇔ 4 x + y = 14  25 y = 50  x − 6 y = −9 ⇔ y = 2 x = 3 ⇔ y = 2 x = 3 Vậy nghiệm của hệ phương là  y = 2.  x + 3y + 2 z = 8  x + 3y + 2 z = 8   b) 2 x + 2 y + z = 6 ⇔  − 4 y − 3z = −10 3 x + y + z = 6 .  − 8 y − 5z = −18    x + 3y + 2 z = 8 x = 1   ⇔  − 4 y − 3z = −10 ⇔  y = 1  z = 2 z=2   x = 1  Vậy nghiệm của hệ phương là  y = 1 z = 2 . Vấn ñề 3. Giải một số bài toán có nội dung thực tế bằng cách ñưa về việc lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. Phương pháp : Bước 1: ðặt ẩn số và xác ñịnh ñiều kiện của ẩn. Bước 2: Từ yêu cầu ñề bài xây dựng hệ phương trình. Tìm nghiệm của hệ phương trình ñó. Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm ñược với ñiều kiện và kết luận. Bài tập 1. Hai bạn Vân và Lan ñến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17 800 ñồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam với giá tiền là 18 000 ñồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và cam là bao nhiêu? 46.

(48) www.VNMATH.com Giải Gọi x là giá tiền mỗi quả quýt. y là giá tiền mỗi quả cam. ðiều kiện: x, y > 0 . Theo ñề bài ta có hệ phương trình: 10 x + 7 y = 17 800  x = 800 ⇔  12 x + 6 y = 18 000  y = 1400 Vậy giá mỗi quả quýt là 800 ñồng và giá mỗi quả cam là 1 400 ñồng, Bài tập 2. Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán ñược 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5 349 000 ñồng. Ngày thứ hai bán ñược 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5 600 000 ñồng. Ngày thứ ba bán ñược 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 349 000 ñồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần, mỗi váy là bao nhiêu?. Giải Gọi x là giá bán mỗi áo. y là giá giá bán mỗi cái quần. z là giá bán mỗi váy. ðiều kiện: x, y, z > 0 . Theo ñề bài ta có hệ phương trình: 12 x + 21y + 18z = 5 349 000  x = 98 000   16 x + 24 y + 12 z = 5 600 000 ⇔  y = 125 000 24 x + 15 y + 12 z = 5 259 000  z = 86 000   Vậy giá bán mỗi áo là 98 000 ñồng, giá bán mỗi quần là 125 000 ñồng và giá bán mỗi váy là 86 000 ñồng. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình 3 x + y = 7 . 3 x − 2 y = 6 Bài 2. Giải hệ phương trình  . 9 x + 4 y = −6 Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 3 x + 4 y − 5z = 8  a)  6y + z = 9 ;  z = 21 . x + y + z = 2  b)  x + y + 3z = 1 2 x + y + 3 x = −1 . Bài 4. Một đồn xe gồm 13 xe tắc xi tải chở 36 tấn xi măng cho một cơng trình xây dựng. ðồn xe chỉ gồm có hai loại: xe chở 3 tấn và xe chở 2,5 tấn. Tính số xe mỗi loại. Bài 5. Ba máy trong một giờ sản xuất ñược 95 sản phẩm. Số sản phẩm máy III làm trong 2 giờ nhiều hơn số sản phẩm máy I và máy II làm trong 1giờ là 10 sản phẩm. Số sản phẩm máy I làm trong 8 giờ ñúng bằng số sản phẩm máy II làm trong 7 giờ. Hỏi trong một giờ, mỗi máy sản xuất ñược bao nhiêu sản phẩm.. 47.

(49) CHƯƠNG IV. www.VNMATH.com BẤT ðẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH. §1. BẤT ðẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC Các mệnh ñề dạng: " a > b "," a b và b > c ⇒ a > c . 2. a > b ⇔ a + c > b + c. 3. Nếu c > 0 thì a > b ⇔ ac > bc;. Nếu c < 0 thì a > b ⇔ ac < bc. 4. a > b và c > d ⇒ a + c > b + d . 5. a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd . 6. Với ab > 0 ta có : a > b ⇔. 1 1 < . a b. 7. Với a, b ≥ 0, n ∈ ℕ* : a > b ⇔ a 2 n > b 2 n . 8. Với a, b và n ∈ ℕ* : a > b ⇔ a 2 n +1 > b 2 n +1. 9. a > b ≥ 0 ⇔ a > b . 10. a > b ⇔ 3 a > 3 b .. III. BẤT ðẲNG THỨC CÔ-SI 1) Bất ñẳng thức Cô-si cho hai số không âm Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có : a + b ≥ 2 ab . ðẳng thức xảy ra ⇔ a = b. 2) Bất ñẳng thức Cô-si cho ba số không âm Cho a ≥ 0 , b ≥ 0 và c ≥ 0, ta có : a + b + c ≥ 3 3 abc . ðẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c.. IV. BẤT ðẲNG THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI 1. x ≥ 0; x ≥ x ; x ≥ − x . 2. Với a > 0 , ta có:. 48.

(50) www.VNMATH.com x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a. x ≥ a ⇔ x ≥ a hoặc x ≤ − a .. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Chứng minh bất ñẳng thức bằng cách dùng tính chất của bất ñẳng thức hoặc dùng phép biến ñổi tương ñương Phương pháp :. Biến ñổi bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với một bất ñẳng thức ñã biết. Sử dụng một bất ñẳng thức ñã biết, biến ñổi ñể dẫn ñến bất ñẳng thức cần chứng minh. Một số bất ñẳng thức thường dùng: + A2 ≥ 0 + A2 + B2 ≥ 0 + A.B ≥ 0 với A, B ≥ 0. Một số hằng ñẳng thức thường dùng:. (a ± b). 2. = a 2 + b 2 ± 2ab ;. (a + b + c). 2. + A2 + B2 ≥ 2 AB. = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca. Bài tập 1. Cho a, b ∈ ℝ . Chứng minh các bất ñẳng thức sau: b) ( a + b ) ≥ 4ab 2. a) a 2 + b 2 ≥ 2ab c) 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b ). d) 2 ( a 4 + b 4 ) ≥ ( a 2 + b 2 ). 2. 2. Giải a) a 2 + b 2 ≥ 2ab (1) ⇔ a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0 ⇔ ( a − b ) ≥ 0 (luôn ñúng) 2. Vậy bất ñẳng thức (1) ñược chứng minh. b) ( a + b ) ≥ 4ab ( 2 ) ⇔ a 2 + b 2 + 2ab ≥ 4ab ⇔ a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0 ⇔ ( a − b ) ≥ 0 (luôn ñúng) 2. 2. Vậy bất ñẳng thức (2) ñược chứng minh. c) 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b ) ( 3) ⇔ 2a 2 + 2b 2 ≥ a 2 + b 2 + 2ab ⇔ a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0 2. ⇔ ( a − b ) ≥ 0 (luôn ñúng) 2. Vậy bất ñẳng thức (3) ñược chứng minh. d) 2 ( a 4 + b 4 ) ≥ ( a 2 + b 2 ) ( 4 ) ⇔ 2a 4 + 2b 4 ≥ a 4 + b 4 + 2a 2b 2 ⇔ ( a 2 − b 2 ) ≥ 0 (luôn ñúng) 2. 2. Vậy bất ñẳng thức (4) ñược chứng minh.. 49.

(51) www.VNMATH.com Bài tập 2. Cho a, b, c ∈ ℝ . Chứng minh các bất ñẳng thức sau: a) a 2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca. b) a 2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b. c) a 2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c). d) a 2 + b2 + c 2 ≥ 2(ab + bc − ca). Giải a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (1) ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca. (. ) (. ) (. ). ⇔ a 2 + b 2 − 2ab + b 2 + c 2 − 2bc + c 2 + a 2 − 2ca ≥ 0. ⇔ ( a − b ) + (b − c ) + (c − a ) ≥ 0 (luôn ñúng) 2. 2. 2. Vậy bất ñẳng thức (1) ñược chứng minh.. (. ). ) (. ). b) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b ( 2 ) ⇔ 2 a 2 + b 2 + 1 ≥ 2 ( ab + a + b ). (. ) (. ⇔ a 2 + b 2 − 2ab + b 2 + 1 − 2b + a 2 + 1 − 2a ≥ 0. ⇔ ( a − b ) + (b − 1) + ( a − 1) ≥ 0 (luôn ñúng) 2. 2. 2. Vậy bất ñẳng thức (2) ñược chứng minh. c). (. ) (. ) (. ). a 2 + b 2 + c 2 + 3 ≥ 2(a + b + c ) ( 3 ) ⇔ a 2 + 1 − 2a + b 2 + 1 − 2b + c 2 + 1 − 2c ≥ 0. ⇔ ( a − 1) + (b − 1) + (c − 1) ≥ 0 (luôn ñúng) 2. 2. 2. Vậy bất ñẳng thức (3) ñược chứng minh. d) a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2(ab + bc − ca ) ( 4 ) ⇔ a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2bc + 2ca ≥ 0. ⇔ ( a − b + c ) ≥ 0 (luôn ñúng) 2. Vậy bất ñẳng thức (4) ñược chứng minh.. Bài tập 3. Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a 2 + b2 ≥ 2 ab (1). Áp dụng chứng minh các bất ñẳng thức sau: a) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 4 abcd. b) (a 2 + 1)(b2 + 1)(c 2 + 1) ≥ 8abc. Giải. 50.

(52) www.VNMATH.com. a) Ta có: a + b ≥ 2a b ; c + d ≥ 2c 2 d 2 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 2 ( a 2b 2 + c 2 d 2 ) . 4. 4. 2 2. 4. 4. Mặc khác: a 2b 2 + c 2 d 2 ≥ 2abcd ⇒ a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 2.2abcd = 4abcd (ñpcm) b) Ta có: a 2 + 1 ≥ 2a ; b 2 + 1 ≥ 2b ; c 2 + 1 ≥ 2c . Nhân vế theo vế của 3 bất ñẳng thức ta suy ra ñiều phải chứng minh.. Vấn ñề 2. Chứng minh bất ñẳng thức bằng cách dùng bất ñẳng thức Cô-si Phương pháp :. Bất ñẳng thức Cô-si cho hai số không âm Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có : a + b ≥ 2 ab . ðẳng thức xảy ra ⇔ a = b.. Bất ñẳng thức Cô-si cho ba số không âm Cho a ≥ 0 , b ≥ 0 và c ≥ 0, ta có : a + b + c ≥ 3 3 abc . ðẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c.. Bài tập 1. Cho a, b > 0. Chứng minh: a). a b + ≥ 2. ðẳng thức xảy ra khi nào ? b a. 1 1 b) ( a + b )  +  ≥ 4. ðẳng thức xảy ra khi nào ? a b c) ( a + b )(1 + ab ) ≥ 4ab. ðẳng thức xảy ra khi nào ? d). bc ca ab + + ≥ a + b + c . ðẳng thức xảy ra khi nào ? a b c Giải. a) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương. a b , , ta có : b a. a b a b a b a b + ≥ 2 . ⇔ + ≥ 2 (ñpcm). ðẳng thức xảy ra ⇔ = ⇔ a = b. b a b a b a b a b) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai cặp số dương a, b và. a + b ≥ 2 ab. 1 1 , ta có : a b. (1). 51.

(53) www.VNMATH.com . 1 1 1 + ≥2 ( 2) a b ab. 1 1 1 Nhân (1), (2) vế theo vế ta ñược : ( a + b )  +  ≥ 2 ab .2 ab a b. 1 1 ⇔ ( a + b )  +  ≥ 4 (ñpcm). a b. a = b  ðẳng thức xảy ra ⇔  1 1 ⇔ a = b  a = b c) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số cặp số dương a, b và 1, ab ta có :. a + b ≥ 2 ab. (1). 1 + ab ≥ 2 ab ( 2 ) Nhân (1), (2) vế theo vế ta ñược :. ( a + b )(1 + ab ) ≥ 2. ab .2 ab ⇔ ( a + b )(1 + ab ) ≥ 4ab (ñpcm). a = b ⇔ a = b =1. ðẳng thức xảy ra ⇔  1 = ab d) Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si ta có :. . bc ca bc ca + ≥2 . = 2 c 2 = 2c (1) a b a b. . ca ab ca ba + ≥2 . = 2 a 2 = 2a (2) b c b c. . ab bc ab bc + ≥2 . = 2 b 2 = 2b (3) c a c a. Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta ñược :  bc ca ab  bc ca ab 2  + +  ≥ 2 (a + b + c ) ⇔ + + ≥ a + b + c (ñpcm) c  a b c  a b. 52.

(54) www.VNMATH.com  bc ca a = b   ca ab ⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b = c . ðẳng thức xảy ra ⇔  = c b  ab bc c = a  2. 1 1 Bài tập 2. Cho Cho a, b > 0. Chứng minh: ( a + b ) +  +  ≥ 8. a b 2. ðẳng thức xảy ra khi nào ?. Giải Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si, ta có : a + b ≥ 2 ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab 2. (1). 2. 1 1 1 4 1 1 + ≥2 ⇒ +  ≥ a b ab  a b  ab. (2). Cộng (1), (2) vế theo vế ta ñược : 2. 1 1 4 2 ( a + b ) +  +  ≥ 4ab + ab a b. (3). Tiếp tục áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số 4ab và. 4ab +. 4 4 ≥ 2 4ab. =8 ab ab. 4 , ta có : ab. (4) 2. 1 1 Từ (3) và (4) ⇒ ( a + b ) +  +  ≥ 8. a b 2. ðẳng thức xảy ra ⇔ a = b = 1 .. Vấn ñề 3. Tìm giá trị lớn nhất(GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN) của hàm số Phương pháp :. Số M ñược gọi là GTLN của f(x) trên D nếu:. ∀x ∈ D : f ( x ) ≤ M và ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M . Số m ñược gọi là GTNN của f(x) trên D nếu:. 53.

(55) www.VNMATH.com ∀x ∈ D : f ( x ) ≥ m và ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m + Nếu x, y > 0 có S = x + y không ñổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y. + Nếu x, y > 0 có P = x y không ñổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y..  x+ y + x, y > 0, ta có : xy ≤    2 . 2.  x+ y+ z  + x, y, z > 0, ta có : xyz ≤   3  . 3. Bài tập 1. Cho x > 2 . Tìm GTNN của biểu thức f ( x ) = x +. 3 . x−2. Giải f ( x) = x +. 3 3 = x−2+ +2 x−2 x−2. Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương x − 2,. f ( x) = x +. 3 3 = x−2+ +2≥2 x−2 x−2. ðẳng thức xảy ra ⇔ x − 2 =. Vậy f ( x ) = x +. ( x − 2). 3 , ta có : x−2. 3 +2=2 3+2 x−2. x = 2 + 3 3 2 ⇔ ( x − 2) = 3 ⇔  ⇔ x = 2 + 3 (do x > 2) x−2  x = 2 − 3. 3 ñạt GTNN bằng 2 3 + 2 khi x = 2 + 3 . x−2. Bài tập 2. Cho x > 0 . Tìm GTNN của biểu thức y =. x 2 + 3x + 9 . x. Giải y=. x 2 + 3x + 9 9 = x + 3+ x x. Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho hai số dương x,. y=. 9 , ta có : x. x 2 + 3x + 9 9 9 = x + + 3 ≥ 2 x. + 3 = 9 . x x x 54.

(56) www.VNMATH.com ðẳng thức xảy ra ⇔ x =. Vậy y =. x = 3 9 ⇔ x2 = 9 ⇔  ⇔ x = 3 (do x > 0) x  x = −3. x 2 + 3x + 9 ñạt GTNN bằng 9 khi x = 3 . x. Bài tập 3. Cho y = x(6 – x) , với 0 ≤ x ≤ 6 . Tìm GTLN của y. Giải Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6), ta có : 2.  x+6− x  y = x (6 − x) ≤   = 9. 2   ðẳng thức xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3 Vậy y ñạt GTLN bằng 9 khi x = 3.. Bài tập 4. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , −. 1 5 ≤ x ≤ . Tìm GTLN của y. 2 2. Giải y = 3(2x + 1)(5 – 2x). 1 5 Áp dụng bất ñẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,  − ≤ x ≤  , ta có :  2. 2. 2.  2x + 1 + 5 − 2x  y = 3(2x + 1)(5 – 2x) ≤ 3   = 27 2   ðẳng thức xảy ra ⇔ 2 x + 1 = 5 − 2 x ⇔ 4 x = 4 ⇔ x = 1 Vậy y ñạt GTLN bằng 27 khi x = 1.. Bài tập 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + 3 + 6 − x . Giải x + 3 ≥ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 6 nên TXð D = [ −3; 6] y xác ñịnh khi  6 − x ≥ 0. Ta có y 2 = 9 + 2. ( x + 3)( 6 − x ). Ta có : y 2 ≥ 9 ⇒ y ≥ 3. ðẳng thức xảy ra ⇔ x = −3 hoặc x = 6 . Vậy y ñạt GTNN bằng 3 khi x = −3 hoặc x = 6. 55.

(57) www.VNMATH.com 2. y = 9+2. ( x + 3)( 6 − x ) ≤ 9 + ( x + 3) + ( 6 − x ) = 18 ⇒ y ≤ 3. ðẳng thức xảy ra ⇔ x + 3 = 6 − x ⇔ x = Vậy y ñạt GTLN bằng 3 2 khi x =. 2. 3 2. 3 . 2. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Baøi 1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:. a). a 3 + b3 2. 3. a+b ≥  ; với a, b ≥ 0  2 . b) a 4 + b 4 ≥ a3 b + ab3. c) a 4 + 3 ≥ 4 a. d) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc , với a, b, c > 0.. Baøi 2. Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:. b) (a + b + c)(a 2 + b2 + c 2 ) ≥ 9abc. a) (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 8abc c) (1 + a )(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc ). 3. d) a 2 (1 + b2 ) + b2 (1 + c2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ≥ 6 abc. Baøi 3. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh :. 1 1 1 a) ( a + b + c )  + +  ≥ 9 a b c. b). a b c 3 + + ≥ . b+c c+a a+b 2. Baøi 4. Áp dụng BðT Cô–si ñể tìm GTNN của các biểu thức sau:. a) y =. x 18 + ; x> 0. 2 x. b) y =. c) y =. 3x 1 + ; x > −1 . 2 x +1. d) y =. x 2. x 3. +. 2 ; x > 1. x −1. +. 5 1 ; x> 2x −1 2. Baøi 5. Áp dụng BðT Cô–si ñể tìm GTLN của các biểu thức sau:. a) y = ( x + 3)(5 − x); − 3 ≤ x ≤ 5 c) y = ( x + 3)(5 − 2 x); − 3 ≤ x ≤ Baøi 6. Cho y =. x3 + 1 x2. b) y = x (9 − x ); 0 ≤ x ≤ 9 5 2. d) y = (2 x + 5)(5 − x); −. 5 ≤ x≤5 2. , x > 0 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.. Baøi 7. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số. a) y = x − 1 + 3 − x. b) y = 2 x − 4 + 8 − x. c) y = 7 − 2 x + 3 x + 4. d) y = 3 2 x + 1 + 2 8 − 3 x. 56.

(58) www.VNMATH.com §2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Khái niệm bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn x là mệnh ñề chứa biến có dạng. f ( x ) < g ( x ) hoặc f ( x ) ≤ g ( x ) (*) trong ñó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Người ta cũng gọi f(x) và g(x) tương ứng là vế trái và vế phải của bất phương trình (*). Số thực x0 sao cho f ( x0 ) < g ( x0 ) hoặc. f ( x0 ) ≤ g ( x0 ) là mệnh ñề ñúng ñược gọi là nghiệm của bất phương trình (*). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.. II. ðiều kiện của bất phương trình ðiều kiện của một bất phương trình là ñiều kiện của ẩn số x ñể các vế của bất phương trình có nghĩa.. III. Hai bất phương trình tương ñương Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) ñược gọi là tương ñương ñương với nhau khi chúng có cùng tập nghiệm.. IV. Các phép biến ñổi bất phương trình Kí hiệu D là tập các số thực thỏa mãn ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình P ( x) < Q ( x) . 1) Phép cộng : P ( x ) < Q ( x ) ⇔ P ( x ) + f ( x ) < Q ( x ) + f ( x ) . 2) Phép nhân :. Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) > 0 thì P ( x ) < Q ( x ) ⇔ P ( x ) . f ( x ) < Q ( x ) . f ( x ) . Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) < 0 thì P ( x ) < Q ( x ) ⇔ P ( x ) . f ( x ) > Q ( x ) . f ( x ) . 3) Phép bình phương : Nếu ∀x ∈ D, P ( x ) ≥ 0 và Q ( x ) ≥ 0 thì P ( x ) < Q ( x ) ⇔ P 2 ( x ) < Q 2 ( x ) .. 57.

(59) www.VNMATH.com B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của một bất phương trình Phương pháp :. Cần chú ý các ñiều kiện sau :. A có nghĩa ⇔ A ≥ 0 ; A có nghĩa ⇔ B ≠ 0 ; B A có nghĩa ⇔ B > 0 . B Bài tập 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình sau : a). 2x − 4 ≥ 3 − x +1. b). 2x +1 1 < −1 x −1 x. Giải 2 x − 4 ≥ 0 x ≥ 2 a) ðiều kiện :  ⇔ ⇔ 2 ≤ x ≤ 3. 3 − x ≥ 0 x ≤ 3 x −1 ≠ 0 x ≠ 1 b) ðiều kiện :  ⇔ . x > 0 x > 0. Bài tập 2. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của bất phương trình sau : a) 2 x + x − 6 ≥ 1 −. 2 x − 15 2. b). x−2 1 > −1 3x − 3 2x − 6. Giải x ≥ 6  x − 6 ≥ 0 a) ðiều kiện :  2 ⇔ ⇔ x ≥ 6.  x ≠ ±5  x − 25 ≠ 0. x − 2 ≥ 0 x ≥ 2   b) ðiều kiện : 3 x − 3 ≠ 0 ⇔  x ≠ 1 ⇔ x > 3. 2 x − 6 > 0 x > 3  . 58.

(60) www.VNMATH.com Vấn ñề 2. Xét sự tương ñương hai bất phương trình Phương pháp : Ta so sánh hai tập nghiệm của hai bất phương trình và dựa vào ñịnh nghĩa ñể xét sự tương ñương của chúng.. Bài tập 1. Hai bất phương trình sau có tương ñương không ? Vì sao ? a) (x + 7)(2x + 1) > (x + 7)2 (1) và 2x + 1 > x + 7 (2). b). 3x − 5 > 7 (3) và 3x - 5 > 7(x2 + 1) (4). x2 + 1. Giải a) Bất phương trình (1) và (2) là không tương ñương vì x = -8 là một nghiệm của (1) nhưng x = -8 không là nghiệm của bất phương trình (2). b) Hai bất phương trình (3) và (4) là tương ñương vì từ bất phương trình (3) ta nhân hai vế với biểu thức x2 + 1 > 0 ta ñược bất phương trình (4). Bài tập 2. Hai bất phương trình sau có tương ñương không ? Vì sao ? a). x − 2 ≤ 0 ( 5 ) và x − 2 ≤ 0 ( 6 ) .. b) x 2 + x + 1 < 0 ( 7 ) và x 2 − x + 1 < 0 ( 8 ) . a) ( 5 ) ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ S1 = {2}. Giải. ( 6 ) ⇔ x ≤ 2 ⇒ S2 = ( −∞; 2] ≠ S1 . Vậy (5) và (6) không tương ñương với nhau. 2. 1 3  b) ( 7 ) ⇔  x +  + < 0 ⇒ ( 7 ) vô nghiệm ⇒ S1 = ∅. 2 4 . ( 8) ⇔  x −. 2. 1 3  + < 0 ⇒ ( 8 ) vô nghiệm ⇒ S 2 = ∅ = S1. 2 4  Vậy (7) và (8) tương ñương nhau. Vấn ñề 3. Giải bất phương trình, hệ bất phương trình Phương pháp :. ðặt ñiều kiện cho bất phương trình, hệ bất phương trình; Biến ñổi bất phương trình, hệ bất phương trình ñã cho về bất phương trình, hệ bất phương trình ñơn giản hơn; Giải bất phương trình, hệ bất phương trình ñó; So sánh với ñiều kiện và kết luận tập nghiệm. 59.

(61) www.VNMATH.com Lưu ý : Có thể dựa vào ñiều kiện của bất phương trình ñể nhận xét về sự vô nghiệm, vô số nghiệm của bất phương trình.. Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau: a) x − 1 ≥ 1 − x (1). b). x −2 x −4. ≤. 4. x −4. (2). Giải x 1 0 x 1 − ≥ ≥   a) ðK :  ⇔ ⇔ x = 1. 1 − x ≥ 0 x ≤ 1 Thay x = 1 vào (1) ta ñược 1 − 1 ≥ 1 − 1 ( ñúng) nên x = 1 là nghiệm của (1). b) ðK : x > 4. ( 2 ) ⇒ x − 2 ≤ 4 ⇔ x ≤ 6. Kết hợp với ñiều kiện x > 4 ta ñược 4 < x ≤ 6 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình (2) là S = ( 4; 6] .. Bài tập 2. Giải các hệ bất phương trình sau:.  15 x − 8 8 x − 5 > 2 a)  2(2 x − 3) > 5 x − 3 4 .  4x − 5 < x +3  b)  7  3x + 8 ≥ 2 x − 5  4 Giải.  15x − 8 x > 2 8x − 5 > 2  16 x − 10 > 15x − 8 x > 2 a)  ⇔ ⇔ ⇔ 21 ⇔ x ∈∅ 16 x − 24 > 20 x − 3 4 x < −21 x < − 2(2 x − 3) > 5x − 3  4  4 Vậy hệ bất phương trình ñã cho vô nghiệm ( S = ∅ ).  4x − 5  26 x >−  7 < x +3  4 x − 5 < 7x + 21 3x > −26 3 ⇔ − 26 < x ≤ 28 . b)  ⇔ ⇔ ⇔ 3 5 5x ≤ 28  3x + 8 ≥ 2 x − 5 3x + 8 ≥ 8x − 20 x ≤ 28 5  4   26 28  Vậy hệ bất phương trình ñã cho có tập nghiệm S =  − ;  .  3 5. 60.

(62) www.VNMATH.com C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Tìm ñiều kiện xác ñịnh của các bất phương trình sau :. a) c). e). x ≤ −x. x+3 1− x. 2. ≥ 1+. b) x + x − 4 < 1 + x − 4. 1. ( x − 2 )2. x −3 ≥ 16 − 2 x x +1. d). 2− x + x < 2+ x. f). 1 3 x +1 + ≤ . x − 1 ( x − 3)( x + 4 ) 6− x. Bài 2. Các cặp bất phương trình sau có tương ñương không ? Vì sao ?. a). 3 7 > và 3 ( 2 x + 3) > 7 (1 − x ) 1− x 2x + 3. b) x +. 3 3 <7+ và x < 7 3− x 3− x. c) x 2 − 2 x + 7 ≤ 0 và x 2 + 1 < 0 d). x − 1 ≥ x và ( x + 1) x − 1 ≥ x ( x + 1). Bài 3. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm :. a). x − 6 + 3 − x ≥ −4. c). x2 + 1 +. 4 2. x +1. <4. (. ). b) ( x − 3) − x − 10 > x 4 + 1 d). x 2 − 16. 4. x + 1 + x 2 − x + 1 < 2 x3 + 1 .. Bài 4. Giải các bất phương trình :. a). x −1 < 3 + x −1. c) ( x + 5 ). ( x − 3) ( x 2 − 10 x + 25 ) > 0. b). d). (10 − x ). x−4. x−4. >4. x+2 ≤ x .. Bài 5. Giải các hệ bất phương trình sau :.  2 x − 3 3x + 1  4 < 5 a)  3 x + 5 < 8 − x 2 3 .  3 x − 1 3( x − 2) 5 − 3x −1 >  4 − 8 2 b)  x x x 4 1 1 4 5 − − − 3 − > −  18 12 9. Bài 6. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau :.  5 6 x + 7 > 4 x + 7 a)   8 x + 3 < 2 x + 25  2.  1 15 x − 2 > 2 x + 3 b)  . 2( x − 4) < 3 x − 14 2  61.

(63) www.VNMATH.com §3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất ñối với x là biểu thức có dạng f ( x ) = ax + b , trong ñó a, b là hai số thực ñã cho, với a ≠ 0 .. II. Dấu của nhị thức bậc nhất Cho nhị thức bậc nhất f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0 ).  b  f ( x ) cùng dấu với hệ số a ⇔ x ∈  − ; +∞  .  a  b  f ( x ) trái dấu với hệ số a ⇔ x ∈  −∞; −  . a  Bảng xét dấu: x. −∞. −. b a. +∞. a>0. -. 0. +. a<0. +. 0. -. ax + b. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Xét dấu biểu thức Phương pháp :. Biến ñổi biểu thức f(x) về tích, thương các nhị thức Tìm các nghiệm của các nhị thức có trong biểu thức f(x) Lập bảng xét dấu các nhị thức và suy ra dấu của biểu thức f(x). Bài tập 1. Xét dấu các nhị thức : a) f ( x ) = 3x − 5. b) f ( x ) = −5 x − 6. (. ). c) f ( x ) = m 2 + 1 x − 2m. Giải 62.

(64) www.VNMATH.com 5 a) Ta có : 3 x − 5 = 0 ⇔ x = . 3. Bảng xét dấu : 5 3. −∞. x. -. f(x). 0. +∞ +. 5 5   Vậy : f ( x ) > 0 ⇔ x ∈  ; +∞  ; f ( x ) < 0 ⇔ x ∈  −∞;  3 3   6 b) Ta có : −5 x − 6 = 0 ⇔ x = − . 5 Bảng xét dấu :. −∞. x. 6 5. − +. f(x). 0. +∞ -. 6  Vậy : f ( x ) > 0 ⇔ x ∈  −∞; −  ; 5 .  6  f ( x ) < 0 ⇔ x ∈  − ; +∞  .  5 . (. ). c) Ta có : m 2 + 1 x − 2m = 0 ⇔ x =. 2m m2 + 1. Hệ số a = m 2 + 1 > 0, ∀m ∈ ℝ. Bảng xét dấu :. x f(x). 2m. −∞. +∞. m2 + 1 -. 0. +. 2m   Vậy : f ( x ) < 0 ⇔ x ∈  −∞; 2  ; m +1  . 63.

(65) www.VNMATH.com  2m  f ( x ) > 0 ⇔ x ∈  2 ; +∞  .  m +1 . Bài tập 2. Xét dấu các biểu thức sau : 2   b) f ( x ) = 1 −  (9 − 2x ) .  3x − 4 . a) f ( x ) = ( − x − 1)( 3 x + 4 ). Giải a) Ta có : − x − 1 = 0 ⇔ x = −1 ; 3 x + 4 = 0 ⇔ x =. −3 . 4. Bảng xét dấu :. x. −∞. −. -1. 3 4. +∞. - x -1. +. 0. -. |. -. 3x + 4. -. |. -. 0. +. f(x). -. 0. +. 0. -. 3  Vậy : f ( x ) > 0 ⇔ x ∈  −1; −  ; 4 .  3  f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪  − ; +∞  .  4 . ( 3x − 6 )( 9 − 2 x ) 2   b) f ( x ) = 1 −  (9 − 2x ) = 3x − 4  3x − 4  Ta có : 3 x − 6 = 0 ⇔ x = 2; 9 9 − 2x = 0 ⇔ x = ; 2 4 3x − 4 = 0 ⇔ x = . 3. 64.

(66) www.VNMATH.com Bảng xét dấu : 4 3. −∞. x. 9 2. 2. +∞. 3x - 6. -. |. -. 0. +. |. +. 9 – 2x. +. |. +. |. +. 0. -. 3x - 4. -. 0. +. |. +. |. +. f(x). +. ||. -. 0. +. 0. -. 4  9  Vậy : f ( x ) > 0 ⇔ x ∈  −∞;  ∪  2;  ; 3  2 . 4  9  f ( x ) < 0 ⇔ x ∈  ; 2  ∪  ; +∞  . 3  2 . Vấn ñề 2. Giải bất phương trình Phương pháp :. Chuyển hết các số hạng sang cùng một vế và ñưa chúng về tích, thương các nhị thức, gọi vế ñó là vế trái (VT) của bất phương trình. Lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình. Dựa vào bảng xét dấu kết luận tập nghiệm của bất phương trình.. Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau : a) ( x + 1)( x − 1)(3 x − 6) > 0 (1). b) (2 x − 7)(4 − 5x ) ≤ 0 (2). Giải a) Ta có : x + 1 = 0 ⇔ x = −1;. x − 1 = 0 ⇔ x = 1; 3x − 6 = 0 ⇔ x = 2 .. 65.

(67) www.VNMATH.com Bảng xét dấu : −∞. x. -1. 1. +∞. 2. x+1. -. 0. +. |. +. |. +. x-1. -. |. -. 0. +. |. +. 3x - 6. -. |. -. |. -. 0. +. VT(1). -. 0. +. 0. -. 0. +. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −1;1) ∪ ( 2; +∞ ) . 7 b) Ta có : 2 x − 7 = 0 ⇔ x = ; 2 4 − 5x = 0 ⇔ x =. 4 . 5. .. Bảng xét dấu :. x. 4 5. −∞. 7 2. +∞. 4 − 5x. +. 0. -. |. -. 2x − 7. -. |. -. 0. +. VT(2). -. 0. +. 0. -. 4 7   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  −∞;  ∪  ; +∞  . 5 2  . Bài tập 2. Giải các bất phương trình sau : a). 2x − 5 ≥ −1 2−x. b). 2 3 ≤ 1− x 2x +1. Giải a). 2x − 5 2x − 5 x −3 ≥ −1 ⇔ +1 ≥ 0 ⇔ ≥ 0 (3) 2−x 2−x 2−x. Ta có : x − 3 = 0 ⇔ x = 3;. 2 − x = 0 ⇔ x = 2.. 66.

(68) www.VNMATH.com Bảng xét dấu : x. −∞. 2. +∞. 3. x −3. -. |. -. 0. +. 2−x. +. 0. -. 0. -. VT(3). -. ||. +. 0. -. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 2;3] . b). 2 3 2 3 7x −1 ≤ ⇔ − ≤0⇔ ≤ 0 (4) 1 − x 2x + 1 1 − x 2x + 1 (1 − x )( 2 x + 1). 1 Ta có : 7x − 1 = 0 ⇔ x = ; 7 1− x = 0 ⇔ x = 1 ; 1 2x +1 = 0 ⇔ x = − . 2 Bảng xét dấu : x. −∞. −. 1 7. 1 2. +∞. 1. 7x −1. -. |. -. 0. +. |. +. 1− x. +. |. +. |. +. 0. -. 2x +1. -. 0. +. |. +. |. +. VT(4). +. ||. -. 0. +. ||. -.  1 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  − ;  ∪ (1; +∞ ) .  2 7. Vấn ñề 3. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt ñối Phương pháp : 1) Với a > 0, ta có :. f ( x ) ≤ a ⇔ −a ≤ f ( x ) ≤ a f ( x ) ≥ a ⇔ f ( x ) ≥ a hoặc f ( x ) ≤ −a .. 67.

(69) www.VNMATH.com 2) Áp dụng công thức :. f ( x) ≤ g ( x) ⇔ −g ( x) ≤ f ( x) ≤ g ( x) f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) hoặc f ( x ) ≤ − g ( x ) .. Bài tập 1. Giải các bất phương trình sau : a) 2x − 8 ≤ 7. b) 3 x − 2 > 7. Giải.  15 x ≤ 2 1 15 2 x − 8 ≤ 7 a) 2x − 8 ≤ 7 ⇔  ⇔ ⇔ ≤x ≤ 2 2  2 x − 8 ≥ −7 x ≥ 1 2   1 15  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S =  ;  . 2 2  x > 3  3x − 2 > 7 ⇔ b) 3x − 2 > 7 ⇔  5 x < −  3x − 2 < − 7  3 5  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S =  −∞; −  ∪ ( 3; +∞ ) . 3 . Bài tập 2. Giải các bất phương trình sau : a) 2 x + 1 ≤ x. b) x − 2 > x + 1. Giải  x ≤ −1  2 x + 1 ≤ x a) 2 x + 1 ≤ x ⇔  ⇔ 1 (vô lí) x x + ≥ − 2 1 x ≥ −   3 Vậy bất phương trình vô nghiệm.. 1 x − 2 > x + 1  −2 > 1 b) x − 2 > x + 1 ⇔  ⇔ ⇔x < 2 1 2 1 − < − − < x x x 2   1  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S =  −∞;  . 2 . 68.

(70) www.VNMATH.com Chú ý : Ta có thể giải các bất phương trình trên bằng cách sử dụng ñịnh nghĩa ñể khử dấu giá trị  A, A ≥ 0 . tuyệt ñối , A =  − A, A < 0. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau :. a) f ( x ) = ( −2 x + 1)( 4 x − 3)( x − 3). b) f ( x ) =. 1 4 + 2 x − 5 8 − 3x. Bài 2. Giải các bất phương trình sau:. a) (2 x + 1)(x − 1) > 0 c). b) (−2 x − 7)(4 − 5x ) ≥ 0. (2 x − 5)( x + 2) >0 −4 x + 3. d). 2 5 . ≤ x −1 2x −1. Bài 3. Giải các bất phương trình sau:. a). 1 1 1 + > x −1 x − 2 x − 2. b). 4x − 3 3x − 4 ≥7− x−2 x+3. c). x3 − 2 x 2 + 4 x x 2 − x − 12. ≤0.. Bài 4. Giải các bất phương trình sau:. a) 5 x − 12 < 3. b) 3 x + 15 ≥ 3. c) 2x + 1 ≤ 4 − x. d) 2 x − 5 ≤. x +1 2. .. 69.

(71) www.VNMATH.com §4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. ðịnh nghĩa : Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by < c hoặc ax + by ≤ c hoặc ax + by > c hoặc ax + by ≥ c (*), trong ñó a, b, c là các số thực ñã cho và a, b không ñồng thời bằng 0 còn x, y là các ẩn số. Trong mặt phẳng tọa ñộ 0xy, tập hợp các ñiểm có tọa ñộ là nghiệm của bất phương trình (*) ñược gọi là miền nghiệm của nó. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm miền nghiệm chung của chúng.. 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c (1), trong ñó a, b là hai số không ñồng thời bằng 0 : Bước 1 : Trên mặt phẳng tọa ñộ 0xy, vẽ ñường thẳng ∆ :ax + by = c . Bước 2 : Lấy một ñiểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∉ ∆ (ta thường lấy gốc tọa ñộ 0). Bước 3 : Tính ax0 + by0 và so sánh với c. Bước 4 : Kết luận :. Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ là ∆ chứa ñiểm M 0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ là ∆ không chứa ñiểm M 0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c ax + by ≤ c Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn  . a ' x + b ' y < c '. Vẽ các ñường thẳng ∆ : ax + by = c và ∆ ' : a ' x + b ' y = c ' . Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng. II. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng F = ax + by , trong ñó (x; y) nghiệm ñúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ñã cho.. 70.

(72) www.VNMATH.com Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình ñã cho, ñó thường là một miền ña giác. Tính giá trị của F ứng với (x;y) là tọa ñộ các ñỉnh của miền ña giác này rồi so sánh các kết quả. Từ ñó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Xác ñịnh miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp :. Xem phần kiến thức cần nhớ Chú ý : Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c bỏ ñi bờ ∆ : ax + by = c .. Bài tập 1. Xác ñịnh miền nghiệm của bất phương trình 2 x − y ≤ 2 . Giải Vẽ ñường thẳng ∆ : 2 x − y = 2 .. 2. Lấy ñiểm O ( 0;0 ) ∉ ∆ . Ta có : 2.0 − 0 < 2 .. 1. y. Vậy miền nghiệm của bất phương trình. ∆ : 2x − y = 2. x -2. -1. là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa ñộ 0 (kể cả bờ ∆ : 2 x − y = 2 ). đó là miền không bị gạch chéo.. O. 1. 2. -1. -2. Bài tập 2. Xác ñịnh miền nghiệm của bất phương trình x + y > 4 − x . Giải Ta có : x + y > 4 − x ⇔ 2 x + y > 4. y 4. Vẽ ñường thẳng ∆ : 2 x + y = 4 .. 2. ∆ : 2x + y = 4. Lấy ñiểm O ( 0;0 ) ∉ ∆ . Ta có : 2.0 + 0 < 4 .. x -4. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa ñộ 0 (không kể bờ ∆ : 2 x + y = 4 ). đó là miền không bị gạch chéo.. -2. 0. 2. 4. -2. -4. 71.

(73) www.VNMATH.com Vấn ñề 2. Xác ñịnh miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp :. Xác ñịnh miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ và gạch bỏ phần còn lại. Sau khi ñã xác ñịnh hết tất cả các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ thì miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ.. x + y ≤ 3  Bài tập. Xác ñịnh miền nghiệm của hệ bất phương trình 3x − y ≥ −3 . x − 3y ≤ 3  Giải y. Vẽ các ñường thẳng : 4. d1 : x + y = 3 ;. 3. d 2 : 3 x − y = −3 ;. 2. d1 ∩ d 2 = A ( 0;3) ;. d1 : x + y = 3. d 2 : 3 x − y = −3. d3 : x − 3 y = 3 .. Ta có :. A. 1. B -4. -3. -2. -1. C. d1 ∩ d3 = B ( 3; 0 ) ;  3 3 d 2 ∩ d3 = C  − ; −  .  2 2. O -1. 1. 2. 3. x 4. 5. d3 : x − 3 y = 3. -2. -3. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (kể cả bờ tức các cạnh của tam giác ABC). Vấn ñề 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by , với (x;y) nghiệm ñúng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước Phương pháp :. Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình, thường là một ña giác. Tính giá trị của F ứng với (x;y) là tọa ñộ các ñỉnh của ña giác. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F lần lượt là số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các giá trị tìm ñược.. 72.

(74) www.VNMATH.com Bài tập. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F = 25 x − 40 y + 5 với (x;y) là nghiệm của. x + y ≤ 3  hệ bất phương trình 3x − y ≥ −3 . x − 3y ≤ 3  Giải y. Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch chéo (kể cả các cạnh của tam giác ABC). 4. Tại A ( 0;3) , F = 25.0 − 40.3 + 5 = −115 ;. 3. A. 2. Tại B ( 3;0 ) , F = 25.3 − 40.0 + 5 = 80 ;. d1 : x + y = 3. d 2 : 3 x − y = −3 1.  3 3 Tại C  − ; −   2 2. B -4. -3. -2. -1. C. 55  3  3 F = 25  −  − 40  −  + 5 = . 2  2  2. O -1. 1. 2. 3. x 4. 5. d3 : x − 3 y = 3. -2. -3. Vậy GTLN của F là 80 ñạt ñược khi x = 3, y = 0. GTNN của F là -115 ñạt ñược khi x = 0, y = 3.. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Tìm miền nghiệm của các bất phương trình :. a) 2 x + 5 ≥ 2 y − 8. b) x − 8 y < 4 x − 6. Bài 2. Tìm miền nghiệm của các hệ bất phương trình :. 3 − y < 0 a)  2 x − 3 y + 1 > 0. 2 x − y ≤ 2 b)  3 x + y ≥ 9. 2 x − 1 ≤ 0 c)   −3 x + 5 < 0. 3 x + y ≤ 6 x + y ≤ 4  d)  x ≥ 0  y ≥ 0. Bài 3.. a) Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình :. x + y + 2 ≤ 0 ( H )  x − y − 1 ≤ 0 2 x − y + 1 ≥ 0  b) Tìm x, y thỏa (H) sao cho F = 2 x + 3 y − 4 ñạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 73.

(75) www.VNMATH.com §5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Dấu của tam thức bậc hai Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) , ∆ = b 2 − 4ac . Nếu ∆ < 0 thì f ( x ) cùng dấu với hệ số a, ∀x ∈ ℝ .  b Nếu ∆ = 0 thì f ( x ) cùng dấu với hệ số a, ∀x ∈ ℝ \ −  .  a Nếu ∆ > 0 thì f ( x ) = 0 có hai nghiệm x1, x2 (quy ước x1 < x2). Khi ñó f ( x ) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 , trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 . Bảng xét dấu : x. f ( x). −∞. x1 cùng dấu với a. 0. x2 trái dấu với a. +∞. 0 cùng dấu với a. 2. Một số ñiều kiện tương ñương Nếu ax 2 + bx + c là một tam thức bậc hai ( a ≠ 0 ) thì : 1) ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm ⇔ ∆ = b 2 − 4ac ≥ 0 ; 2) ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 ;  ∆ ≥ 0  c 2 3) ax + bx + c = 0 có hai nghiệm dương ⇔  > 0 a  b −  a > 0  ∆ ≥ 0  c 4) ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm âm ⇔  > 0 a  b −  a < 0 a > 0 5) ax 2 + bx + c > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆  < 0. a > 0 6) ax 2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆  ≤ 0. a < 0 7) ax 2 + bx + c < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆  < 0. 74.

(76) www.VNMATH.com a < 0 8) ax 2 + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆  ≤ 0.. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Xét dấu biểu thức Phương pháp : Áp dụng ñịnh lí về dấu của tam thức bậc hai.. Biến ñổi biểu thức f(x) về tích, thương các nhị thức, tam thức bậc hai. Tìm các nghiệm của các nhị thức, tam thức có trong biểu thức f(x). Lập bảng xét dấu các nhị thức, tam thức và suy ra dấu của biểu thức f(x).. Bài tập 1. Xét dấu các tam thức bậc hai : a) f ( x ) = x 2 + x + 1. b) f ( x ) = x 2 − 4 x + 4. c) f ( x ) = 4 x 2 + x − 5 .. Giải a) Ta có : ∆ = 12 − 4.1.1 = −3 < 0 mà a = 1 > 0 ⇒ f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ . b) Ta có : ∆ = 42 − 4.1.4 = 0 ⇒ f ( x ) có nghiệm kép x = 2 mà a = 1 > 0. ⇒ f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ \ {2} . x =1 c) Ta có : 4 x + x − 5 = 0 ⇔  . x = − 5  4 2. Bảng xét dấu : x. f ( x). −∞. − +. 5 4 0. 5  Vậy : f ( x ) > 0 ⇔ x ∈  −∞; −  ∪ (1; +∞ ) ; 4 . +∞. 1 -. 0. +.  5  f ( x ) < 0 ⇔ x ∈  − ;1 .  4 . 75.

(77) www.VNMATH.com Bài tập 2. Xét dấu các biểu thức sau :. (. )(. a) f ( x ) = x − 9 x + 14 − x + 5 x − 4 2. 2. ). b) f ( x ) =. ( x − 7 ) ( x2 + x − 2) 2 x2 − x + 3. .. Giải x = 2 a) Ta có : x 2 − 9 x + 14 = 0 ⇔  ; x = 7 x = 1 − x2 + 5x − 4 = 0 ⇔  . x = 4 Bảng xét dấu :. −∞. x. 1. 2. 4. +∞. 7. x 2 − 9 x + 14. +. |. +. 0. -. |. -. 0. +. − x2 + 5x − 4. -. 0. +. |. +. 0. -. |. -. f ( x). -. 0. +. 0. -. 0. +. 0. -. Vậy : f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ (1; 2 ) ∪ ( 4; 7 ) ;. f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; 4 ) ∪ ( 7; +∞ ) . b) Ta có : x − 7 = 0 ⇔ x = 7 ;. x =1 ; x2 + x − 2 = 0 ⇔   x = −2 2 x 2 − x + 3 = 0 (vô nghiệm). Bảng xét dấu : x. −∞. -2. 1. +∞. 7. x−7. -. |. -. |. -. 0. +. x2 + x − 2. +. 0. -. 0. +. |. +. 2x2 − x + 3. +. |. +. |. +. |. +. f ( x). -. 0. +. 0. -. 0. +. Vậy : f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −2;1) ∪ ( 7; +∞ ) ; 76.

(78) www.VNMATH.com. f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ (1; 7 ) . Vấn ñề 2. Giải bất phương trình Phương pháp :. Chuyển hết các số hạng sang cùng một vế và ñưa chúng về tích, thương các nhị thức, tam thức bậc hai, gọi vế ñó là vế trái (VT) của bất phương trình. Lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình. Dựa vào bảng xét dấu kết luận tập nghiệm của bất phương trình.. Bài tập 1. Giải các bất phương trình : a) − x2 + 6x − 9 > 0 (1). b) −12x2 + 3x +1 < 0 (2).. Giải a) Ta có : − x2 + 6x − 9 = 0 ⇔ x = 3 (nghiệm kép) Bảng xét dấu :. −∞. x. +∞. 3 -. VT(1). 0. -. Vậy bất phương trình ñã cho vô nghiệm.. x =1 b) Ta có : −12x + 15x - 3 = 0 ⇔  x = 1 4  2. Bảng xét dấu : x VT(2). 1 4. −∞ -. 0. +∞. 1 +. 0. -. 1  Vậy bất phương trình ñã cho có tập nghiệm S =  −∞;  ∪ (1; +∞ ) . 4  Bài tập 2. Giải các bất phương trình : 6 x2 − 7 x − 3 a) (2x − 8)(x2 − 4x + 3) ≥ 0 (3) b) 2 ≤1 3x − 2 x − 5 Giải a) Ta có : 2 x − 8 = 0 ⇔ x = 4 ;. 77.

(79) www.VNMATH.com x = 1 . x2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  x = 3 Bảng xét dấu : −∞. x. 1. 3. +∞. 4. 2x − 8. -. |. -. |. -. 0. +. x2 − 4x + 3. +. 0. -. 0. +. |. +. VT(3). -. 0. +. 0. -. 0. +. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [1;3] ∪ [ 4; +∞ ) . b). 6x2 − 7 x − 3 6 x2 − 7 x − 3 3x 2 − 5 x + 2 ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ 0 ⇔ ≤ 0 (4). 3x 2 − 2 x − 5 3x 2 − 2 x − 5 3x 2 − 2 x − 5. x = 1 Ta có : 3 x − 5 x + 2 = 0 ⇔  2; x = 3  2.  x = −1 3x − 2 x − 5 = 0 ⇔  5 . x = 3  2. Bảng xét dấu :. x. −∞. 2 3. -1. 5 3. 1. +∞. 3x 2 − 5 x + 2. +. |. +. 0. -. 0. +. |. +. 3x 2 − 2 x − 5. +. 0. -. |. -. |. -. 0. +. VT(4). +. ||. -. 0. +. 0. -. ||. +. 2  5   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  −1;  ∪ 1;  . 3  3  . 3x 2 − 10 x + 3 ≥ 0 (1)  Bài tập 3. Giải hệ bất phương trình :  x − 2 . ≥ 0 ( 2)  5 − x Giải. 78.

(80) www.VNMATH.com Giải (1) : x = 3 1 2 Ta có : 3 x − 10 x + 3 = 0 ⇔  1 ⇒ 3 x − 10 x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ hoặc x ≥ 3 x = 3 3  2. 1  ⇒ tập nghiệm của bất phương trình (1) là S1 =  −∞;  ∪ [3; +∞ ) . 3  x−2 Giải (2) : ≥0⇔2≤ x<5 5− x ⇒ tập nghiệm của bất phương trình (2) là S2 = [ 2;5 ) . Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = S1 ∩ S2 = [ 3;5 ) . Trong thực hành ta thường giải hệ trên bằng phép biến ñổi tương ñương như sau :  1 x ≤  1   3 3 x 2 − 10 x + 3 ≥ 0  x≤3  x ∈∅    ⇔ ⇔  2 ≤ x < 5 ⇔  ⇔ 3≤ x < 5. x−2 x≥3 3≤ x <5  ≥0    5 − x   x ≥ 3 2 ≤ x < 5  2 ≤ x < 5 Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = [3;5 ) .. Vấn ñề 3. ðịnh m ñể f ( x ) = ax 2 + bx + c có dấu không ñổi Phương pháp :. Áp dụng hệ quả của dấu tam thức (phần 2) với chú ý rằng khi a chứa tham số, ta phải xét trường hợp a = 0. Bài tập 1. Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình sau vô nghiệm. ( m − 2 ) x 2 + 2 ( 2m − 3) x + 5m − 6 = 0 (1) . Giải. Trường hợp m − 2 = 0 ⇔ m = 2 :. (1) ⇔ 2 x + 4 = 0 ⇔ x = −2 , phương trình (1) có nghiệm. Trường hợp m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 : m ≠ 2 m ≠ 2 m ≠ 2 (1) vô nghiệm ⇔  ⇔ ⇔  2 2 − m + 4m − 3 < 0 ∆ ' < 0 ( 2m − 3) − ( m − 2 )( 5m − 6 ) < 0. 79.

(81) www.VNMATH.com m ≠ 2 m < 1  ⇔ m < 1 ⇔  . 3 > m    m > 3 m < 1 . Vậy phương trình vô nghiệm ⇔  m > 3. Bài tập 2. Cho bất phương trình ( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 ≥ 0 (2). Tìm các giá trị của tham số m ñể bất phương trình (2) vô nghiệm . Giải Trường hợp m + 1 = 0 ⇔ m = −1 : (2) ⇔ 4 x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≥. 3 , bất phương trình (2) có nghiệm. 2. Trường hợp m ≠ −1 : m < −1 m + 1 < 0 m < −1 (2) vô nghiệm ⇔  ⇔ ⇔ 2 2 −2m − 2m + 4 < 0 ∆ ' < 0 ( m − 1) − ( m + 1)( 3m − 3) < 0. m < −1  ⇔   m < −2 ⇔ m < −2 .  m > 1 Vậy bất phương trình vô nghiệm ⇔ m < −2 .. Bài tập 3. Cho bất phương trình m ( m − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x + 1 ≥ 0 (3). Tìm các giá trị của tham số m ñể bất phương trình (3) nghiệm ñúng ∀x ∈ ℝ . Giải. Trường hợp m ( m − 1) = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = 1 : Với m = 0 , (3) ⇔ −2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤. 1 , (3) không nghiệm ñúng ∀x ∈ ℝ . 2. Với m = 1 , (3) ⇔ 1 ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ , (3) nghiệm ñúng ∀x ∈ ℝ . Trường hợp m ( m − 1) ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ 1 :. m ( m − 1) > 0 a > 0  m2 − m > 0 ⇔ ⇔ (3) nghiệm ñúng ∀x ∈ ℝ ⇔   2  −m + 1 ≤ 0 ∆ ' ≤ 0 ( m − 1) − m ( m − 1) ≤ 0. 80.

(82) www.VNMATH.com m < 0  ⇔   m > 1 ⇔ m > 1 . m ≥ 1  Vậy m ≥ 1 , bất phương trình nghiệm ñúng ∀x ∈ ℝ .. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau :. a) 2 x 2 + 5 x + 2. b) 4 x 2 − 3 x − 1. d) f ( x ) = (3 x 2 − 10 x + 3)(4 x − 5). c) −3 x 2 + 5 x + 1. e) f ( x ) =. 10 − x 5 + x2. −. 1 2. Bài 2. Giải bất phương trình :. a) −2 x2 + 3 x − 7 ≥ 0 d). −3 x 2 − x + 4. x2 + 3 x + 5. b) 3 x2 − 4 x + 4 ≥ 0. >0. e). 4 x2 + 3 x − 1. x2 + 5 x + 7. c) x2 − x − 6 ≤ 0. >0. f). 5 x2 + 3 x − 8. x2 − 7 x + 6. <0.. Bài 3. Giải hệ bất phương trình :. x 2 − 9 ≥ 0 a)  2 4 x − x − 3 < 0. x 2 + 4 x + 3 ≥ 0 b)  2 2 x − x − 10 < 0. c) −4 ≤. x2 − 2x − 7 x2 + 1. ≤ 1.. Bài 4. Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm. a) (m − 5) x2 − 4 mx + m − 2 = 0. b) (m − 2) x2 + 2(2 m − 3) x + 5m − 6 = 0 .. Bài 5. Tìm m ñể các phương trình sau vô nghiệm. a) (3 − m) x2 − 2(m + 3) x + m + 2 = 0. b) (1 + m) x2 − 2 mx + 2 m = 0 .. Bài 6. Tìm m ñể các bất phương trình sau vô nghiệm. a) (m + 2) x2 − 2(m − 1) x + 4 < 0. b) (m − 3)x 2 + (m + 2)x − 4 ≥ 0 .. Bài 7. Tìm m ñể các bất phương trình sau nghiệm ñúng với mọi x. a) 2 x 2 + (m − 2)x − m + 4 ≥ 0. b) mx2 + (m − 1) x + m − 1 < 0 .. 81.

(83) www.VNMATH.com THỐNG KÊ. CHƯƠNG V. §1. BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tần số Tần số của giá trị xi là số lần lập lại của giá trị xi trong cuộc ñiều tra. Tần số của giá trị xi ñược kí hiệu là ni .. 2. Tần suất Tần suất của giá trị xi là tỷ số giữa tần số của giá trị xi với tổng số n các phần tử ñiều tra. Tần suất của giá trị xi kí hiệu là fi. Như vậy: f i =. ni . n. 3. Bảng phân bố tần số và tần suất Từ số liệu ban ñầu ta lọc ra các giá trị xi và tần số ni tương ứng của chúng, rồi sắp xếp thành một bảng phân bố tần số - tần suất và ñược trình bày như sau: Bảng 1 Giá trị của xi Tần số ni Tần suất fi (%) x1 n1 f1 x2 n2 f2 x3 n3 f3 x4 n4 f4 ….. ….. ….. xm nm fm Tổng n Tổng 100%. 4. Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp Khi mẫu ñiều tra có kích thước lớn (nhiều phần tử) người ta thường nhóm các giá trị ñó thành từng lớp và lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp ñược trình bày như sau: Bảng 2 Giá trị của xi [x1; x2) [x2; x3) [x3; x4) [x4; x5) ….. [xm-1;xm]. Tần số ni Tần suất fi (%) n1 f1 n2 f2 n3 f3 n4 f4 ….. ….. nm fm Tổng n Tổng 100% 82.

(84) www.VNMATH.com B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Lập bảng phân bố tần số và tần suất. Phương pháp :. Xác ñịnh các giá trị xi ; ðếm số lần xuất hiện các giá trị xi ( tần số ni ) ; Tính : f i =. ni . n. Bài tập . Chiều cao của một nhóm 30 học sinh( ñơn vị : m ) lớp 10 ñược liệt kê ở bảng sau : 1.45 1.58 1.51 1.52 1.52 1.67 1.50. 1.60. 1.65. 1.55. 1.55. 1.64. 1.47. 1.70. 1.73. 1.59. 1.62. 1.56. 1.48. 1.48. 1.58. 1.55. 1.49. 1.52. 1.52. 1.50. 1.60. 1.50. 1.63. 1.71. Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất.. 83.

(85) www.VNMATH.com Giải Bảng phân bố tần số - tần suất: Chiều cao 1.45 1.47 1.48 1.49 1.50 1.52 1.55 1.56 1.58 1.59 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.67 1.70 1.71 1.73. Tần số 1 1 2 1 3 4 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n=50. Tần suất 3.33 3.33 6.67 3.33 10.0 13.33 10.0 3.33 6.67 3.33 6.67 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33. Vấn ñề 2. Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp. Phương pháp:. Xác ñịnh các lớp ghép theo yêu cầu của ñề bài; ðếm số phần tử của mỗi lớp ghép ( tần số của lớp ); n Tính tần suất của mỗi lớp: f i = i . n Bài tập 1. Chiều cao của một nhóm 30 học ( ñơn vị: m ) lớp 10 ñược liệt kê ở bảng sau : 1.45. 1.58. 1.51. 1.52. 1.52. 1.67. 1.50. 1.60. 1.65. 1.55. 1.55. 1.64. 1.47. 1.70. 1.73. 1.59. 1.62. 1.56. 1.48. 1.48. 1.58. 1.55. 1.49. 1.52. 1.52. 1.50. 1.60. 1.50. 1.63. 1.71. 84.

(86) www.VNMATH.com Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp với các lớp là: [1.45 ; 1.55) ; [ 1.55 ; 1.65) ; [ 1.65 ; 1. 75].. Giải Tần số của lớp 1 : [1.45 ; 1.55 ) là n1 = 12 ; tần suất f1 =. n1 12 = = 40 %. n 30. Tần số của lớp 2 : [1.55 ; 1.65 ) là n2 = 13 ; tần suất f 2 =. n2 13 = ≈ 43.33 %. n 30. Tần số của lớp 3 : [1.65 ; 1.75 ] là n3 = 5 ; tần suất f 3 =. n3 5 = ≈ 16.67 %. n 30. Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp : Lớp chiều cao (m) [ 1.45 ; 1.55) [ 1.55 ; 1.65) [ 1.65 ; 1.75] Cộng. Tần số 12 13 5 30. Tần suất (%) 40.00 43.33 16.67 100 %. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài tập 1. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau: thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (ñơn vị: phút) 42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50 a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất; b) Trong 50 công nhân ñược khảo sát, những công nhân có thời gian hòan thành một sản phẩm từ 45 phút ñến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?. Bài tập 2. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau: thời gian (phút) ñi từ nhà ñến trường của bạn A trong 35 ngày. 21 22 24 19 23 26 25 22 19 23 20 23 27 26 22 20 24 21 24 28 25 21 20 23 22 23 29 26 23 21 26 21 24 28 25 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, với các lớp: [19 , 21) ; [21 , 23) ; [ 23 , 25) ; [25 , 27) ; [27 , 29). b) Trong 35 ngày ñược khảo sát, những ngày bạn A có thời gian ñi ñến trường từ 21 phút ñến dưới 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm ? 85.

(87) www.VNMATH.com §2. BIỂU ðỒ. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Biểu ñồ tần suất hình cột Cách vẽ biểu ñồ hình cột: •. Vẽ hai ñường thẳng vuông góc. Trên ñường thẳng nằm ngang ( dùng làm trục số) ta ñánh dấu các khoảng xác ñịnh lớp. • Tại mỗi khoảng ta dựng lên một hình cột chữ nhật, với ñáy là khoảng ñó, còn chiều cao bằng tần suất của lớp mà khoảng ñó xác ñịnh. 2. ðường gấp khúc tần suất Cách vẽ ñường gấp khúc tần suất : Ta vẽ hai ñường thẳng vuông góc ( như vẽ biểu ñồ hình cột). Trên mặt phẳng tọa ñộ xác ñịnh các ñiểm ( ci ; fi ) , i = 1, 2,….,n sau ñó vẽ các ñoạn thẳng nối các ñiểm ( ci ; fi ) với các ñiểm ( ci+1; fi+1 ), i = 1,2,…, n ta thu ñược một ñường gấp khúc. ðường gấp khúc này gọi là ñường gấp khúc tần suất.. 3. Biểu ñồ hình quạt. Cách vẽ biểu ñồ hình quạt : Vẽ hình tròn, chia hình tròn thành những hình quạt. mỗi lớp tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của lớp ñó.. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Vẽ biểu ñồ tần suất hình cột. Phương pháp:. Vẽ hai ñường thẳng vuông góc. Trên ñường thẳng nằm ngang ( dùng làm trục số) ta ñánh dấu các khoảng xác ñịnh lớp. Tại mỗi khoảng ta dựng lên một hình cột chữ nhật, với ñáy là khoảng ñó, còn chiều cao bằng tần suất của lớp mà khoảng ñó xác ñịnh. Bài tập 1. Thống kê ñiểm toán cuả 40 học sinh cuả một lớp người ta thu ñược mẫu số liệu ban ñầu như sau : 5 4 2 8. 6 5 1 7. 6 7 3 2. 5 5 3 1. 7 6 6 8. 1 8 4 6. 2 10 6 4. 4 5 5 4. 6 5 5 6. 9 7 9 5 86.

(88) www.VNMATH.com a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp như sau: [1;2] ; [3;4] ; [5;6] ; [7;8] ; [9;10]. b) Vẽ biểu ñồ hình cột tần số.. Giải ðiểm toán [1;2] [3;4] [5;6] [7;8] [9;10]. Tần số 6 7 17 7 3. Tần suất % 15 17,5 42,5 17,5 7,5. Biểu ñồ tần số. tần số. 17. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0. [1;2] [3;4] [5;6]. 7. 6. 7. [7;8] [9;10]. 3. ñiểm. Bài tập 2. Doanh thu của 20 công ty sản xuất ô tô trong năm vừa qua ñược cho như sau: ( ñơn vị triệu ñô la) 8. 32. 54. 12. 50. 80. 90. 64. 54. 52. 20. 43. 70. 56. 20. 12. 7. 14. 22. 35. a) Hãy lập bảng phân bồ tần số -tần suất ghép lớp với các lớp như sau: [0 ; 20) ; [20 ; 40) ; [40;60) ; [60 ; 80) ; [80 ; 100) b) Vẽ biểu ñồ tần số hình cột. 87.

(89) www.VNMATH.com Giải a) Bảng phân bồ tần số -tần suất ghép lớp : Lớp doanh thu [0 ; 20) [20 ; 40) [40 ; 60) [60 ; 80) [80 ; 100). Tần số 5 5 6 2 2. Tần suất (%) 25 25 30 10 10. b) Biểu ñồ tần số hình cột :. tần số. Biểu ñồ tần số [0 ; 20). 6. 6 5. 5. [20 ; 40). 5. [40;60) [60 ; 80). 2. [80 ; 100). 2. 2 0. triệu ñô la. Vấn ñề 2. Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần số , tần suất ghép lớp. Phương pháp:. Ta vẽ hai ñường thẳng vuông góc ( như vẽ biểu ñồ hình cột). Trên mặt phẳng tọa ñộ xác ñịnh các ñiểm ( ci ; fi ) , i = 1, 2,….,n sau ñó vẽ các ñoạn thẳng nối các ñiểm ( ci ; fi ) với các ñiểm ( ci+1; fi+1 ), i = 1,2,…, n ta thu ñược một ñường gấp khúc.. Bài tập. Thống kê ñiểm toán cuả 40 học sinh cuả một lớp người ta thu ñược mẫu số liệu ban ñầu như sau: 5 6 6 5 7 1 2 4 4 5 7 5 6 8 10 5 2 1 3 3 6 4 6 5 8 7 2 1 8 6 4 4 a/ Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp như sau:. 6 5 5 6. 9 7 9 5. [1;2] ; [3;4] ; [5;6] ; [7;8] ; [9;10] b/ Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần suất.. Giải. 88.

(90) www.VNMATH.com a/ Bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp : ðiểm toán [1;2] [3;4] [5;6] [7;8] [9;10]. Tần số 6 7 17 7 3. Tần suất % 15 17,5 42,5 17,5 7,5. b/ Vẽ biểu ñồ ñường gấp khúc tần suất : tần suất. Biểu ñồ ñường gấp khúc tần suất. 45. 42.5. 40 35 30 25 20 15. 17.5. 17.5. 15. 10. 7.5. 5. ñiểm. 0 [1;2]. [3;4]. [5;6]. [7;8]. [9;10]. Vấn ñề 3. Vẽ biểu ñồ hình hình quạt. Phương pháp:. Vẽ hình tròn; Chia hình tròn thành các hình quạt; Mỗi lớp ñược vẽ tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của của lớp ñó. Bài tập 1. Vẽ biểu ñồ hình quạt thống kê chiều cao của 36 học sinh(ñơn vị : cm) nam của một trường trung học phổ thông ñược cho bởi bảng phân bố tần số - tần suất sau: Nhóm 1 2 3 4 5. Lớp [160; 162] [163; 165 ] [166; 168 ] [169; 171 ] [172; 174 ]. Tần số 6 12 10 5 3 n=36. Tần suất 16,7 33,3 27,8 13.9 8,3 100%. 89.

(91) www.VNMATH.com Giải. Biểu ñồ tần suất hình quạt 8.3 % 13.9 %. 16.7 %. 33.3 %. 27.8 %. 1. 2. 3. 4. 5. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Cơ cấu các loại ñất Việt Nam năm 2000 cho bởi bảng sau: Loại ñất. ðất nông nghiệp. ðất lâm nghiệp. ðất chuyên dùng và thổ cư. ðất chưa sử dụng. Tỉ lệ %. 28,4. 35,2. 6,0. 30,4. Vẽ biểu ñồ cơ cấu các loại ñất Việt nam năm 2000?. Bài 2. Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, ng−ời ta thu đ−ợc số liệu sau về chiều cao (đơn vị lµ milimÐt) cña c¸c c©y hoa ®−îc trång: Nhãm ChiÒu cao Số cây đạt đ−ợc 1 Từ 100 đến 199 20 2 Từ 200 đến 299 75 3 Từ 300 đến 399 70 4 Từ 400 đến 499 25 5 Từ 500 đến 599 10 a) LËp b¶ng ph©n bè tÇn suÊt ghÐp líp cña mÉu sè liÖu trªn. b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột . c) Hãy tính số trung bình cộng , phương sai , độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê. 90.

(92) www.VNMATH.com Bài 3. Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền. Lớp chiều cao ( cm ). Taàn soá. [ 168 ; 172 ). 4. [ 172 ; 176 ). 4. [ 176 ; 180 ). 6. [ 180 ; 184 ). 14. [ 184 ; 188 ). 8. [ 188 ; 192 ]. 4. Coäng. 40. a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ? b) Nêu nhận xét về chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền kể trên ? c) Tính số trung bình cộng , phương sai , độ lệch chuẩn ? d) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu 1.. 91.

(93) www.VNMATH.com §3. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG – SỐ TRUNG VỊ - MỐT. A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Số trung bình cộng Trường hợp bảng phân bố tần số tần suất x=. 1 ( n1 x1 + n2 x2 + ..... + nk xk ) = f1 x1 + f 2 x2 + .... + f k xk n. ( 1). Trong ñó ni, fi lần lượt là tần số , tần suất của giá trị xi, n là các số liệu thống kê ( n = n1 + n2 + …+ nk ) Trường hợp bảng phân bố ghép lớp x=. 1 ( n1c1 + n2 c2 + ..... + nk ck ) = f1c1 + f 2 c2 + .... + f k ck n. (2). Trong ñó ci, ni, fi lần lượt là giá trị ñại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i , n là số các số liệu thống kê ( n = n1 + n2 + …+ nk ).. 2. Mốt Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và ñược kí hiệu là M0 .. 3. Số trung vị. Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành một dãy không giảm. Số ñứng giữa của dãy sắp thứ tự này là số trung vị , kí hiệu là Me. Giả sử mẫu có N số liệu. Nếu N là một số lẻ thì số liệu ñứng thứ. N +1 là số trung vị. 2. Nếu N là số chẵn , ta lấy số trung bình cộng của hai số liệu ñứng thứ. N N và +1 làm số 2 2. trung vị.. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tính số trung bình Phương pháp : Xác ñịnh xem là bảng phân bố rời rạc hay ghép lớp. Nếu là bảng rời rạc thì dùng công thức (1), nếu là bảng ghép lớp thì dùng công thức (2).. 92.

(94) www.VNMATH.com Bài tập 1. ðiểm thi học kì II môn toán của một tổ học sinh lớp 10A ( quy ước rằng ñiểm kiểm tra học kì có thể làm tròn ñến 0,5 ñiểm) ñược liệt kê như sau : 2 ; 5; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10. Tính ñiểm trung bình của 10 học sinh ñó ( chỉ lấy ñến một chữ số thập phân sau khi ñã làm tròn). Giải ðiểm trung bình của 10 học sinh là: x=. 1 64,5 = 6,5 . ( 2 + 2.5 + 7,5 + 8 + 7 + 6,5 + 9 + 4,5 + 10 ) = 10 10. Bài tập 2. Thu nhập gia ñình/ năm của hai nhóm dân cư ở hai xã của một huyện ñược cho trong bảng sau: ( thu nhập tính theo ñơn vị triệu ñồng). Thu nhập / năm. Số gia ñình. Lớp. Nhóm 1. Nhóm 2. [ 12,5; 13,0 ). 4. 2. [ 13,0; 13,5 ). 40. 20. [ 13,5; 14,0 ). 73. 42. [ 14,0 ; 14,5 ). 0. 10. [ 14,5 ; 15,0 ]. 3. 16. a/ Tìm số trung bình của thu nhập gia ñình / năm của nhóm 1. b/ Tìm số trung bình của thu nhập gia ñình / năm của nhóm 2. Hỏi nhóm nào có thu nhập cao hơn.. Giải a/ Số trung bình của thu nhập gia ñình / năm của nhóm 1 x1 = =. 1 ( n1c1 + n2 c2 + ..... + nk ck ) n. 1 ( 4.12, 75 + 40.13, 25 + 73.13, 75 + 0.14.25 + 3.14.75 ) =13,575. 120. 93.

(95) www.VNMATH.com b/ Số trung bình thu nhập gia ñình trên năm của nhóm 2 x2 =. 1 ( n1c1 + n2 c2 + ..... + nk ck ) = 13,85. n. Do ñó nhóm 2 có thu nhập cao hơn.. Vấn ñề 2. Tính Mốt Phương pháp:. Lập bảng phân bố tần số của dấu hiệu. Xác ñịnh giá trị có tần số lớn nhất là mốt. Bài tập 1. ðiểm ñiểu tra vế chất lượng sản phẩm mới ( thang ñiểm 100) như sau: 80 65. 51. 48. 45 61. 75 72. 61. 50. 65. 30. 35. 84. 83 60 58. 75. 72. 68. 39. 41. 54. 61. 72. Tìm mốt của bảng số liệu trên.. Giải Lập lại bảng phân bố tần số: ðiểm. 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80. 83. 87. Tần số. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 3. 2. 1. 3. 2. 1. Bảng trên có 2 số có tần số lớn nhất là 61 và 72 Vậy phân bố trên có hai mốt là M0 = 61, M0 = 72.. Bài tập 2. Số lượng giày bán ra của một cửa hàng các tháng trong năm 2010 ñược cho bởi bảng sau ( số lượng tính theo ñôi). Tháng. 1. 2. 3. Số lượng. 430. 560. 450. 4. 5. 550 760. 6. 7. 8. 9. 430 525 410 635. 10. 11. 12. 450. 800. 950. Tính mốt của bảng số liệu trên.. 94.

(96) www.VNMATH.com Giải Sắp xếp lại bảng số liệu trên như sau : Số lượng. 410. 430. 450. Tần số. 1. 2. 2. 525 550 1. 560 635 760 800. 1. 1. 1. 1. 950. 1. 1. Suy ra mốt là 2 số : 430 và 450.. Vấn ñề 3. Tính số trung vị Phương pháp : Xác ñịnh số liệu phân bố n là chẳn hay lẻ. Nếu n lẻ thì số trung vị là số ñứng thứ. n +1 ; 2. Nếu n chẳn thì số trung vị là số trung bình cộng của hai số liên tiếp ñứng thứ. n n và + 1 . 2 2. Bài tập 1. ðo chiều cao của 36 học sinh của một trường, ta có mẫu số liệu sau, sắp xếp theo thứ tự tăng ( ñơn vị cm) 160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174 Tìm số trung vị của mẫu số liệu này.. Giải Vì n = 36 là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai số liệu ñứng thứ 18 và 19 Do vậy số trung vị là : M e =. 165 + 166 = 165,5 2. Bài tập 2. ðiểm ñiểu tra vế chất lượng sản phẩm mới ( thang ñiểm 100) như sau: 80 65 51 48 45 61 75 72 61 50 65. 30. 35. 84. 83 60 58. 75. 72. 68. 39. 41. 54. 61. 72. Tính số trung vị của dãy số liệu trên.. Giải Sắp xếp lại số liệu trên theo thứ tự tăng dần của ñiểm số ðiểm. 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 87. Tần số. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 3. 2 1. 3. 2. 1. 1. 1. 95.

(97) www.VNMATH.com Vì n = 25 là số lẻ nên số trung vị là số ñứng ở vị trí thứ 13 Dó ñó số trung vị là : M e = 61. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài tập 1. Số lượng giày bán ra ( tính theo ñôi) của một cửa hàng ở các tháng trong năm 2009 ñược cho bởi bảng sau: Tháng. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Số lượng. 430. 560. 450. 550. 760. 430. 525. 410. 635. 450. 800. 950. Tính số trung bình, số trung vị và mốt.. đáp số Số trung bình :579,17 Số trung vị : 537,5 Mốt là : 430 và 450.. Bài tập 2. ðiều tra một số người bằng cách cho ñiểm sản phẩm mới ( thang ñiểm 100), kết quả như sau: 80 65 51 48 45 61 41 84 72 60 58 75 72 68 39 35 61 75 72 61 50 65 30 54 83 Tìm số trung bình, số trung vị, mốt.. đáp số Số trung bình 60,2 Số trung vị: 61. Mốt 61 và 72.. 96.

(98) www.VNMATH.com §4. PHƯƠNG SAI VÀ ðỘ LỆCH CHUẨN. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương sai dùng ñể ño mức ñộ biến ñộng, chênh lệch giữa các giá trị của dấu hiệu. kí hiệu sx . 2. Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất : sx2 =. (. 1 n1 x1 − x n . (. = f1 x1 − x. ). 2. ). 2. (. + n2 x2 − x. (. + f 2 x2 − x. ). 2. ). 2. (. ). 2 + ... + nk xk − x  . (. + ... + f k xk − x. ). 2. Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp: sx2 =. (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. ). 2 2 2 2 2 2 1 n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk ck − x  = f1 c1 − x + f 2 c2 − x + ... + f k ck − x .  n . Trong ñó ni, fi , ci lần lượt là tần số , tần suất ,giá trị ñại diện của lớp thứ i ; n là số các số liệu thống kê ; x là số trung bình cộng của các số liệu thống kê ñã cho.. (). Chú ý : Có thể tính phương sai theo công thức sx2 = x 2 − x Với x 2 =. 2. 1 ( n1 x12 + n2 x22 + ... + nk xk 2 ) = f1 x12 + f 2 x22 + ... + fk xk 2 n ( ñối với bảng phân bố tần số tần suất ).. x2 =. 1 ( n1c12 + n2 c22 + ... + nk ck 2 ) = f1c12 + f 2 c22 + ... + f k ck 2 n ( ñối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp).. 2. Căn bậc hai của phương sai ñược gọi là ñộ lệch chuẩn, kí hiệu là sx : sx = sx2 .. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn ñối với bảng phân bố tần số, tần suất. Phương pháp. Lập bảng phân bố tần số tần suất ; 1 Áp dụng công thức sx2 =  n1 x1 − x n . (. ). 2. (. + n2 x2 − x. ). 2. (. ). 2 + ... + nk xk − x  . . 97.

(99) www.VNMATH.com Bài tập 1. Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới. người ñiều tra yêu cầu cho ñiểm sản phẩm (thang ñiểm 100), kết quả như sau: 80 65 51 48 45 61 30 35 84 83 60 58 75 72 68 39 41 54 61 72 75 72 61 50 65 . Tìm phương sai và ñộ lệch chuẩn. Nhận xét gì về các kết quả nhận ñược.. Giải Ta lập bảng phân bố tần số như sau: ðiểm. 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 84. Tần số. 1. Ta có : x =. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 3. 2 1. 3. 2. 1. 1. 1. 1 ( n1 x1 + n2 x2 + ..... + nk xk ) = 60, 2 . n. Phương sai : sx2 =. (. 1 n1 x1 − x n . ). 2. (. + n2 x2 − x. ). 2. (. ). 2 + ... + nk xk − x  = 216,8. . ðộ lệch chuẩn :. sx = sx2 = 216,8 =14,724. Nhận xét : mức ñộ chênh lệch ñiểm giữa các giá trị là khá lớn. Bài tập 2. Sản lượng lúa ( ñơn vị tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích ñược trình bày trong bảng tần số sau ñây: Sản lượng. 20. 21. 22. 23. 24. Tần số. 5. 8. 11. 10. 6. a/ Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng; b/ Tìm phương sai và ñộ lệch chuẩn.. Giải a/ Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là: x=. 1 ( 5.20 + 8.21 + 11.22 + 10.23 + 6.24 ) = 22,1 (tạ ). 5 + 8 + 11 + 10 + 6. Phương sai: S2x = 1,54 .. ðộ lệch chuẩn: Sx = 1,24 ( tạ).. 98.

(100) www.VNMATH.com Vấn ñề 2. Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn ñối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp. Phương pháp :. Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, xác ñịnh giá trị ñại diện; Áp dụng công thức : 2 2 2 2 2 2 1 sx2 =  n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk ck − x  = f1 c1 − x + f 2 c2 − x + ... + f k ck − x .  n . (. ). (. ). (. (. ). ). (. ). (. ). Bài tập 1. Bảng phân bố sau ñây cho biết chiều cao ( tính bằng cm ) của 500 học sinh trong một trường THCS. Chiều cao. [150 ; 154). [154; 158). [158; 162). [162; 166). Tần số. 25. 50. 200. 175. [166; 170] 50. Tính : a/ Số trung bình x . b/ Tính phương sai và ñộ lệch tiêu chuẩn.. Giải Lớp chiều cao. Giá trị ñại diện. Tần số. [ 150; 154). 152. 25. [ 154 ; 158). 156. 50. [ 158 ; 162 ). 160. 200. [ 162 ; 166 ). 164. 175. [ 166 ; 170 ]. 168. 50. a/ Số trung bình: x = b/ Phương sai :. 1 (152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50 ) = 161, 4 . 500. s2x = 14,48 .. ðộ lệch chuẩn : sx = 14, 48 = 3,85.. 99.

(101) www.VNMATH.com Bài tập 2. Trên hai con ñường A và B, trạm kiểm soát ñã ghi lại tần số của 30 chiếc ô tô trên mỗi con ñường như sau : Con ñường A : 60. 65. 70. 68. 62. 75. 80. 83. 82. 69. 73. 75. 85. 72. 67. 88. 90. 85. 72. 63. 75. 76. 85. 84. 70. 61. 60. 65. 73. 76. Con ñường B : 76. 64. 58. 82. 72. 70. 68. 75. 63. 67. 74. 70. 79. 80. 73. 75. 71. 68. 72. 73. 79. 80. 63. 62. 71. 70. 74. 69. 60. 63. a)Tìm số trung bình , số trung vị, phương sai, ñộ lệch chuẩn của tốc ñộ trên mỗi con ñường A, B . b)Theo em thì xe chạy trên con ñường nào thì an toàn hơn.. Giải. xA = 73,55. xB = 70,81. M e = 73. M e = 71. S A2 = 77,14. S B2 = 37, 73. S A = 8, 78. S B = 6,11. Chạy trên ñường B an toàn hơn.. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Chiều cao của 50 học sinh lớp 5 ( tính bằng cm ) ñược ghi lại như sau : 102. 102. 113. 138. 111. 109. 98. 114. 101. 103. 127. 118. 111. 130. 124. 115. 122. 126. 107. 134. 108. 118. 122. 99. 109. 106. 109. 104. 122. 133. 124. 108. 102. 130. 107. 114. 147. 104. 141. 103. 108. 118. 113. 138. 112. a) Lập bảng phân bố ghép lớp [ 98 ;103); [103 ;108); [108 ; 113 );[113 ; 118 );[118 ;123 ); [123 ; 128 ); [128 ;133 ); [133 ; 138 ); [138 ;143 ); [143 ;148]. b) Tính số trung bình cộng. 100.

(102) www.VNMATH.com c) Tính phương sai và ñộ lệch chuẩn.. Bài 2. Số tiết tự học tại nhà trong 1 tuần (tiết/tuần) của 20 học sinh lớp 10 trường THPT Nguyễn Văn Trỗi được ghi nhận như sau : 9 15 11 12 16 12 10 14 14 15 16 13 16 8 9 11 10 12 18 18. a) Laäp baûng phaân bố taàn soá , tần suất cho daõy soá lieäu treân. b) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc theo tần số biểu diễn bảng phân bố trên. c) Tính soá trung bình coäng vaø phöông sai và ñộ lệch chuẩn cuûa giaù trò naøy.. 101.

(103) www.VNMATH.com GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. CHƯƠNG VI. §1. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Quan hệ giữa ñộ và rañian 0. π.  180  1 = rad; 1 rad =   . 180  π  2. ðộ dài của cung tròn ðộ dài của cung tròn có số ño a rad và bán kính bằng R l = Rα 3. Số ño của cung lượng giác Số ño của cung lượng giác có ñiểm ñầu là A ñiểm cuối là B 0. ↷ sñ AB = α + k2π , k ∈ ℤ . Trong ñó α là số ño của một cung lượng giác tùy ý có ñiểm ñầu A ,ñiểm cuối B, mỗi giá trị của k ứng với một cung. Nếu viết số ño bằng ñộ thì ta có:. ↷ sñ AB = a 0 + k360 0 , k ∈ ℤ 4. Biểu diễn cung lượng giác trên ñường tròn lượng giác ðể biểu diễn cung lượng giác có số ño α trên ñường tròn lượng giác ta chọn ñiểm A (1;0) làm ñiểm ñầu của cung. Ta xác ñịnh ñiểm cuối M của cung trên ñường tròn lượng giác sao cho ↷ có sñ AM = α . cung AM 5. Góc lượng giác. ↷. Mỗi cung lượng giác CD ứng với một góc lượng giác (OC, OD) và ngược lại. Số ño của cung lượng giác và số ño của góc lượng giác tương ứng trùng nhau.. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. ðổi ñơn vị góc từ ñộ sang rañian và ngược lại. Phương pháp: 1) ðổi ñơn vị góc từ ñộ sang rañian : Nhân góc cần ñổi với 2) ðổi ñơn vị góc từ rañian sang ñộ : Nhân góc cần ñổi với. π 180 180. π. Bài tập 1. ðổi các góc sau sang rañian a) 135 0 b) 45030′ .. π. 3π a) 1350 = 135. = . 180 4. Giải. 102.

(104) www.VNMATH.com. 91π 180 360 Bài tập 2. ðổi các cung sau sang ñộ, phút, giây. 5 π a) b) . 12 4 Giải 0 π π 180 a) = . = 150 . 12 12 π 0 5 5 180 b) = . ≈ 710 37′11′′ 4 4 π Vấn ñề 2. Tính ñộ dài cung tròn. Phương pháp : Sử dụng công thức tính ñộ dài cung tròn: l = R α . Chú ý: Nếu số ño của cung là ñộ ta phải ñổi sang rañian sau ñó tính ñộ dài cung.. b) 45030′ = 450 + 0.50 = 45,50 = 45.5.. π. =. Bài tập. Một ñường tròn có bán kính 10 cm. Tìm ñộ dài của các cung trên ñường tròn có số ño a). π. b) 450 .. 18. a ) l = R.α = 10.. π 18. b) Ta có : 450 =. l = 10.. π 4. Giải. ≈ 1.76 cm .. π 4. ≈ 7.85 cm .. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. ðổi các góc sau sang rañian a) -230 0 b) 135030′ c) 12 015′ d) 1370 . Bài 2. Một ñường tròn có bán kính 15 cm. Tìm ñộ dài của các cung trên ñường tròn có số ño 3π a) b) 1350 c) 720 0 d) 1,5; 4. 103.

(105) www.VNMATH.com §2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. ↷. ↷. 1. Trên ñường tròn lượng giác gốc A, cho cung AM có sñ AM = α . Tung ñộ của M là sin α , sin α cos α hoành ñộ của M là cosα . tan α = (nếu cos α ≠ 0 ), cot α = (nếu sin α ≠ 0 ). cos α sinα 2. −1 ≤ sin α ≤ 1; −1 ≤ cos α ≤ 1 với mọi α . 3. tan α xác ñịnh khi và chỉ khi α ≠ 4. cot α xác ñịnh khi α ≠ kπ , k ∈ ℤ . 5. Dấu của các giá trị lượng giác. π. + kπ , k ∈ ℤ .. 2. Góc phần tư I. II. III. IV. + + + +. + -. + +. + -. Giá trị lượng giác sin α cos α tan α cot α. 6. Giá trị lượng giác các cung ñặc biệt. α. 0. π. π. π. π. 6. 4. 3. 2. sin α. 0. 1 2. 2 2. 3 2. 1. cos α. 1. 3 2. 2 2. 1 2. 0. tan α. 0. 1 3. 1. 3. ||. cot α. ||. 3. 1. 1 3. 0. Kí hiệu: || là không xác ñịnh.. 104.

(106) www.VNMATH.com 7. Hằng ñẳng thức lượng giác sin 2 α + cos2 α = 1 1 1 + tan 2 α = cos2 α 1 1 + cot 2 α = sin 2 α tan α. cot α = 1. 8. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan ñặc biệt a. Cung ñối nhau : α và −α sin(−α) = − sin α cos ( − α ) = cosα tan( − α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α. c. Cung hơn kém π : α và α + π sin(α + π ) = − sin α cos(α+π ) = −cosα tan(α+π ) = tan α cot(α + π ) = cot α d. Cung phụ : α và. π 2. −α. π  sin  − α  = cosα 2  π  cos  − α  = sin α 2  π  tan  − α  = cot α 2  π  cot  − α  = tan α. 2 . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Xác ñịnh dấu của các giá trị lượng giác của một cung Phương pháp: Tìm vị trí ñiểm cuối của cung xem nằm ở phần tư nào, sau ñó dựa vào bảng dấu của các giá trị lượng giác ñể xác ñịnh. Bài tập. Cho 0 < α <. π  a) sin  α +  2 . π 2. . Xác ñịnh dấu của các giá trị lượng giác :.  3π  b) tan  −α .  2 . 105.

(107) www.VNMATH.com a) Ta có 0 < α <. π. , do ñó. 2. π 2. <α+. π 2. Giải. <π. π  Vậy sin  α +  > 0 . 2  b) Ta có 0 < α <. π 2. , do ñó −. π 2. < −α < 0 nên π <. 3π 3π −α < 2 2.  3π  Vậy tan  − α  > 0.  2  Vấn ñề 2. Tính các giá trị lượng giác của một góc. Phương pháp : Vận dụng hằng ñẳng thức lượng giác ñể tính toán các giá trị lượng giác.. Bài tập 1. Tính các giá trị lượng giác của góc α biết 1 3π a) sin α = − và π < α < . 3 2 2 3π b) cos α = và < α < 2π . 3 2 Giải 2.  1 8 a) Ta có cos α = 1 − sin α = 1 −  −  =  3 9 2. 2. 8 2 2 =± 9 3. ⇒ cos α = ± Do π < α <. 3π nên cos α < 0 2. Vậy cos α= −. 2 2 . 3. sin α tan α = = cosα cot α =. − −. 1 3. 2 2 3. =. 2 4. 1 1 = =2 2. tan α 2 4 2. 5 2 b) Ta có sin α = 1 − cos α = 1 −   = 3 9 5 5 ⇒ sin α = ± =± 9 3 3π Do < α < 2π nên sin α < 0 2 2. 2. 106.

(108) www.VNMATH.com Vậy sin α = −. 5 . 3. 5 3 =− 5 2 2 3 1 1 −2 5 cot α = . = = tan α 5 5 − 2 Bài tập 2. Tính các giá trị lượng giác của góc α biết : π 13 a) tan α = và 0 < α < . 8 2 π 19 b) cot α = − và < α < π . 2 7 Giải 1 1 1 64 a) Ta có 1 + tan 2 α = ⇒ cos2 α = = = 2 2 2 233 cos α 1 + tan α  13  1+    8 8 ⇒ cos α = ± 233 sin α = tan α = cosα. Vì 0 < α <. π 2. Vậy cos α =. −. nên cosα>0. 8 233 8. 13 13 = 233 233 8. sin α = cos α.tanα = cot α =. 1 8 = tan α 13. b) Ta có 1 + cot 2 α =. ⇒ sin α = ± Vì. π 2. .. 1 1 ⇒ sin 2 α = = 2 sin α 1 + cot 2 α. 1  19  1+  −   7 . 2. =. 49 410. 7 410. < α < π nên sin α > 0. Vậy sin α =. 7 410. cosα=sinα.cotα= − tan α =. 19 410. 1 7 =− . cot α 19 107.

(109) www.VNMATH.com Vấn ñề 3. Chứng minh ñẳng thức, rút gọn các biểu thức ñơn giản Phương pháp : Vận dụng các hằng ñẳng thức lượng giác cơ bản giữa các giá trị lượng giác ñể chứng minh, rút gọn các hệ thức ñơn giản. Bài tập1. Chứng minh các ñẳng thức sau: a) sin 2 x − tan 2 x = sin 2 x.tan 2 x . b) sin 4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x . Giải sin x  1  a ) VT = tan 2 x − sin 2 x = − sin 2 x = sin 2 x  − 1 2 2 cos x  cos x  2. = sin 2 x(1 + tan 2 x − 1) = tan 2 x.sin 2 x = VP b) sin 4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x VT = sin 4 x − cos4 x = (sin 2 x)2 − (cos2 x)2. = (sin 2 x + cos2 x)(sin 2 x − cos2 x) = 1 − cos2 x − cos2 x = 1 − 2 cos2 x = VP Bài tập 2. Rút gọn các biểu thức sau : A = (t anx+cotx)2 − (t anx − cotx)2. B = (1 − sin 2 x ) cot 2 x + 1 − cot 2 x . Giải A = (tanx + cot x) −(tan x − cot x) = (tan x + cot x − tanx + cot x)(tan x + cot x + tan x − cot x) = 4 tan x .cot x = 4 . B = (1 − sin 2 x ) cot 2 x + 1 − cot 2 x = cot 2 x − cot 2 x .sin 2 x + 1 − cot 2 x 2. =−. 2. cos2 x .sin 2 x + 1 = 1 − cos2 x = sin 2 x . 2 sin x. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Cho. π. 2. < α < π . Xác ñịnh dấu của các giá trị lượng giác :.  3π  a) sin  −α  2 .  3π  b) tan  −α  2 . π  c) cos  α+  2 . 3π . Xác ñịnh dấu của các giá trị lượng giác : 2 π π   3π   a) sin  α −  b) tan  c) cos  α+  −α 2 2   2   Bài 3. Tính các giá trị lượng giác của góc α biết : 2 3π a) sin α = − và π < α < . 3 2. π  d) cot  α −  . 2 . Bài 2. Cho π < α <. d) cot ( α + π ) .. 108.

(110) 4 3π b) cosα= và < α < 2π . 5 2 c) tan α = 3 và 0 < α < b) cot α = −4 và. π 2. π. 2. www.VNMATH.com. .. <α<π .. Bài 4. Chứng minh các ñẳng thức sau : sin 3 α + cos3 α a) = 1 − sin α cos α. sin α + cos α sin 2 α − cos2 α tan α − 1 b) = . 1 + 2 sin α cos α tan α + 1 c ) sin 4 α + cos4 α − sin 6 α − cos6 α = sin 2 α cos2 α. Bài 5. Rút gọn các biểu thức : sin 2 α − tan 2 α . A= cos2 α − cot 2 α B = (1 + cot 2 α)sin 3 α + (1 + tan α) cos3 α. (sin α + cos α)2 − 1 . cot α − sin α cos α D = sin 2 (1800 − α) + tan 2 (180 0 − α) tan 2 (2700 + α) + sin(90 0 + α)cos(α -3600 ).. C =. 109.

(111) www.VNMATH.com §3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Công thức cộng. sin(a + b ) = sin a cos b + cos a sin b sin(a − b ) = sin a cos b − cos a sin b cos(a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b ) = cos a cosb + sin a sin b tan a + tan b 1 − tan a tan b tan a − tan b tan(a − b ) = 1 + tan a tan b. tan(a + b ) =. 2. Công thức nhân ñôi sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2 a − sin 2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a 2 tan a 1 − tan 2 a 3. Công thức hạ bậc 1 + cos 2a cos2 a = 2 1 − cos 2a sin 2 a = 2 1 − cos 2a tan 2 a = 1 + cos 2a tan 2a =. 4. Công thức biến ñổi tích thành tổng 1 sin a.sin b =  cos(a − b ) − cos(a + b ) 2 1 sin a.cos b = sin(a − b ) + sin(a + b ) 2 1 cos a. cos b =  cos(a − b ) + cos(a + b ) 2 5. Công thức biến ñổi tổng thành tích u +v u −v sin u + sinv = 2 sin cos 2 2 u +v u −v sin u − sinv = 2 cos sin 2 2. cos u + cosv = 2 cos. u +v. cos. u −v. 2 2 u +v u −v cos u − cosv = −2 sin sin . 2 2. 110.

(112) www.VNMATH.com B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tính các giá trị lượng giác. Phương pháp : Sử dụng công thức lượng giác ñưa giá trị lượng giác cần tính về các giá trị lượng giác ñã biết. Bài tập 1. Tính cos105 0 , tan150 . Giải * Ta có cos105 = cos(45 + 60 ) = cos 45 cos 60 0 − sin 450 sin 60 0 0. 0. 0. 0. 2 1 2 3 − 6+ 2 = . − . 2 2 2 2 4 0 0 0 * Ta có tan15 = tan(45 − 30 ) =. tan 450 − tan 30 0 = 2− 3 1 + tan 450 tan 30 0 Vấn ñề 2. Rút gọn biểu thức lượng giác, chứng minh ñẳng thức lượng giác. Phương pháp : Sử dụng công thức lượng giác ñể rút gọn, chứng minh. =. Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức sau : sin 2a + sin a ; A= 1 + cos 2a + cos a B = sin 5x − 2 sin x (cos 4 x + cos 2 x ). Giải. sin 2a + sin a 1 + cos 2a + cos a 2 sin a cos a + sin a sin a (2 cos a + 1) = = = tan a. 2 1 + 2 cos a − 1 + cos a cos a(2 cos a + 1) • B = sin 5x − 2 sin x (cos 4 x + cos 2 x ) •A =. = sin 5x − 2 sin x cos 4 x − 2 sin x cos 2 x = sin 5x − (sin 5x − sin 3x ) − (sin 3x − sin x ) = sin x .. Bài tập 2. Chứng minh các ñẳng thức sau : 1 a ) sin 4 x + cos4 x = 1 − sin 2 2x . 2 4 4 b ) cos x − sin x = cos 2x . Giải a )VT = sin x + cos x = (sin x + cos x ) − 2 sin 2 x cos2 x 4. 4. 2. 2. 2. 1 = 1 − 2(sin x cos x )2 = 1 − sin 2 x =VP . 2. 111.

(113) www.VNMATH.com 4. 4. 2. 2. b )VT = cos x − sin x = (cos x ) − (sin 2 x )2 = (cos2 x + sin 2 x )(cos2 x − sin 2 x ) = cos 2 x . C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Tính cos75 0 , sin(− 1050 ) , cot150 , sin. π. 12 Bài 2. Rút gọn các biểu thức : tan 2α π A= ; B = 1 + sin α − 1 − sin α , 0 < α < 2 tan 4α − tan 2α 3 − 4 cos α + cos4α sin α + sin 3α + sin 5α ; D= . C = 3 + 4 cos α + cos4α cosα+cos3α+cos5α. Bài 3. Chứng minh : π  π  1 a ) cos x cos  − x  cos  + x  = cos3x ; 3  3  4 b ) sin 3x = 3sin x − 4 sin 3 x ;. c ) cos3x = 4 cos3 x − 3 cos x ; 3 tan x − tan 3 x ; d ) tan 3x = 1 − 3 tan 2 x sin 4 x ; 4 π  π  f ) tan x tan  − x  tan  + x  = tan 3x . 3  3 . e ) cos3 x sin x − sin 3 x cos x =. 112.

(114) www.VNMATH.com. PHẦN 2. HÌNH HỌC y M(x ; y) I b. O. a. R. x. 113.

(115) CHÖÔNG I. www.VNMATH.com VECTÔ. §1. CAÙC ÑÒNH NGHÓA. A. KIẾN KI N THỨC TH C CẦN C N NHỚ NH 1. Để xác định một vectơ cần biết một trong hai điều kiện sau: - Điểm đầu và điểm cuối của vectơ. - Độ dài và hướng. 2. Hai vectơ a và b được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ a và b cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 3. Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. 4. a = b khi và chỉ khi a = b và a , b cùng hướng.. 5. Với mỗi điểm A ta gọi AA là vectơ – không. Vectơ – không được kí hiệu là 0 và quy ước rằng 0 = 0 vectơ 0 cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ. vectô. Phöông phaùp: Để xác định vec tơ a ≠ 0 ta cần biết a và hướng của a hoặc biết điểm đầu và điểm a cuoá i cuû a . Chaú n g haï n ,vớ i hai ñieå m phaâ n bieä t A vaø B ta coù hai vec tô khaù c vec tô 0 laø . -. AB vaø BA. Vec tơ a là vec tơ – không khi và chỉ khi a = 0 hoặc a = AA với A là điểm bất kì.. -. Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau. Phương pháp: Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta có thể dùng một trong ba cách sau: . .   ⇒a =b . a và b cùng hướng . a =b. * . * Tứ giác ABCD là hình bình hành AB = DC và BC = AD . * Neáu a = b , b = c thì a = c. 114.

(116) . . www.VNMATH.com. Baøi 1. Cho hai vectô AB vaø AC cuøng phöông. Keát luaän gì veà ba ñieåm A, B, C ?. Giaûi Hai vec tô AB vaø AC cuøng phöông vaø coù ñieåm A chung neân chuùng cuøng naèm trên một đường thẳng . Vậy A, B, C thẳng hàng. Baøi 2. Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC vaø N laø trung ñieåm AC .. a). Ta có AB = AC đúng hay sai?. b). Các vectơ nào cùng hướng với AB ? Các vectơ nào ngược hướng với BC ? c). Caùc vectô naøo baèng nhau?. Giaûi a). Hai vectô AB,AC khoâng cuøng phöông neân khoâng baèng nhau . b). Ta coù MN noái trung ñieåm hai caïnh BC vaø AC neân MN song song AB. Vậy NM cùng hướng với AB . Ba điểm B, C, M thẳng hàng nên các vectơ ngược hướng với BC là: CB, CM, MB . c).Ta có các cặp vec tơ sau đây bằng nhau vì cùng hướng và có độ dài bằng nhau. BM = MC , CM = MB , AN = NC , CN = NA. Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho AM=CN.Chứng minh rằng AN = MC và MD = BN .. Giaûi Ta coù: AM=CN ( gt) AM CN ( vì AB CD). Do đó AMCN là hình bình hành ⇒ AN = MC Tương tự BMDN là hình bình hành ⇒ MD = BN. C. BAØI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Cho tam giác đều ABC. Các đẳng thức sau đây đúng hay sai ?. a). AB = AC. b). AB = BC. c). AB = BC = CA. Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Tìm trên. 115.

(117) www.VNMATH.com . hình vẽ các vectơ lần lượt bằng các vectơ: IK, BJ và IJ .. Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. CMR: DE = EF = FB . Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của C qua D . CMR: AE = EF = FB .. §2. TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VEC TÔ. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . • Định nghĩa: Cho AB = a ; BC = b . Khi đó AC = a + b. • Tính chất : * Giao hoán : a + b = b + a * Kết hợp ( a + b ) + c = a + (b + c ) * Tính chaát vectô –khoâng a + 0 = a Quy taéc 3 ñieåm : Cho A, B ,C tuøy yù, ta coù : AB + BC = AC. . . Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình haønh thì AB + AD = AC .. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Daïng 1: Tìm toång cuûa hai vectô vaø toång cuûa nhieàu vectô.. Phöông phaùp: Duøng ñònh nghóa toång cuûa hai vectô, quy taéc ba ñieåm, quy taéc hình bình haønh. vaø caùc tính chaát cuûa toång caùc vectô.. Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của hai vectơ. Phöông phaùp: + Veõ AB = a , AC = b ⇒ a − b = CA + Vận dụng quy tắc OB − OA = AB với ba điểm O, A, B bất kì.. 116.

(118) www.VNMATH.com. Dạng 3: Tính độ dài của a + b , a − b Phương pháp: Đầu tiên tính a + b = AB , a − b = CD . Sau đó tính độ dài các đoạn thẳng AB và CD bằng cách gắn nó vào các đa giác mà ta có thể tính được độ dài các cạnh của nó hoặc bằng phương pháp tính trực tiếp khác. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vectơ. vectô. Phương pháp: Mỗi vế của một đẳng thức vectơ gồm các vectơ được nối với nhau bởi các phép. toán vectơ.. + Dùng quy tắc tìm tổng, hiệu của hai vectơ, tìm vectơ đối để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau. + Biến đổi đẳng thức vectơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ được công nhận là đúng.. Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=2a, AC=a. Tính độ dài của các vectơ: AB + AC vaø AB − AC .. Giaûi Veõ hình bình haønh ABDC.. Theo qui taéc hình bình haønh ta coù: AB + AC = AD với AD là đường chéo của hbh ABCD Mà A= 90 0 nên ABCD là hình chữ nhật. Do đó AD=BC AÙp duïng ñònh lyù Pitago trong tam giaùc vuoâng ABC ta coù: BC 2 = AB 2 + AC 2 = 4a 2 + a 2 = 5a 2 Vaäy: AB + AC = AD = AD = BC = a 5 Theo qui taéc hieäu vec tô ta coù: AB − AC = CB Vaäy AB − AC = CB = BC = a 5 . Bài 2. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng: AC + BD + EF = AF + BC + ED .. Giaûi. 117.

(119) www.VNMATH.com Theo quy taéc ba ñieåm ta coù: AC = AF + FC BD = BC + CD EF = ED + DF Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được: AC + BD + EF = AF + BC + ED . ( vì FC + CD + DF = 0) Baøi 3. Cho hình bình haønh ABCD taâm O. CMR : a). BD − BA = OC − OB b). BC − BD + BA = 0 .. Giaûi a). Theo quy taéc hieäu hai vec tô ta coù: BD − BA = AD vaø OC − OC = BC Maø AD = BC ( vì ABCD laø hình bình haønh ) Neân: BD − BA = OC − OB . b). Ta coù: BC − BD = DC maø DC = − BA ⇒ BC − BD + BA = 0. C. BAØI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài 1. Chứng minh rằng với bốn điểm bất kỳ A, B, C, D ta luôn có AC + BD = AD + BC . Baøi 2. Cho boán ñieåm A, B, C, D. Tìm caùc vec tô toång sau ñaây: a). DC + AB + BD b). AB + CD + BC + DA. Baøi 3. Cho boán ñieåm A, B, C, D. CMR: AB + CD = AD + CB vaø AB − CD = AC − BD . Bài 4. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng: AD + BE + CF = AE + BF + CD .. Bài 5. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của vec tơ tổng AB + AC . Baøi 6. Cho hình bình haønh ABCD, M laø moät ñieåm tuøy yù. CMR: MA + MC = MB + MD .. 118.

(120) www.VNMATH.com §3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. • Cho k∈R , k a là 1 vectơ được xác định: * Nếu k ≥ 0 thì k a cùng hướng với a ; k < 0 thì k a ngược hướng với a * Độ dài vectơ k a bằng k . a . • Tính chaát : a) k(m a ) = (km) a b) (k + m) a = k a + m a c) k( a + b ) = k a + k b. d) k a = 0 ⇔ k = 0 hoặc a = 0 . . . . . . • b cuøng phöông a ( a ≠ 0 ) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa b =k a .. . . • Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho AB =k AC .. • Cho b khoâng cuøng phöông a , ∀ x ta coù x = m a + n b ( m, n duy nhaát ). • Neáu I laø trung ñieåm cuûa AB vaø M laø ñieåm tuøy yù ta coù : MA + MB = 2 MI . • G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 .. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Daïng 1: Xaùc ñònh vectô k a .. . Phương pháp: Dựa vào định nghĩa vectơ k a * ka = k a .. - Nếu k > 0, k a và a cùng hướng . - Nếu k < 0, k a và a ngược hướng .. 119.

(121) 0.a = 0, ∀a * 1.a = a; ( −1) a = − a k 0 = 0, ∀k ∈ ℝ *. www.VNMATH.com. * Cho ñieåm A vaø cho a . Coù duy nhaát ñieåm M sao cho AM = a . * AB = AC ⇔ B ≡ C , A1B = AB ⇔ A1 ≡ A . Daïng 2: Phaân tích (bieå phöông. (bieåu thò) moät vec tô theo hai vec tô khoâng cuøng phöông. Phöông phaùp : Dùng qui tắc 3 điểm đế biến đổi một vectơ thành tổng hay hiệu hai vectơ khác AC = AB + BC ; AC = OC − OA . Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ. ( Xem phần trước). Bài 1. Cho tam giác ABC. Trên các đoạn AB, BC và CA lần lượt lấy các điểm M, N, P. 1 1 1 sao cho: AM= AB , BN = BC , CP= CA. 3 3 3 CMR:AN + BP + CM = 0 ..  1   1 AN = AB + BN = AB + BC  do BN= BC  3 3     1  1  Ta coù: BP = BC + CP = BC + CA  do CP= CA  3 3     1   1 CM = CA + AM = CA + AB  do AM= AB  3 3    4 4 ⇒ AN + BP + CM = AB + BC + CA = 0 = 0 ( ñpcm ) . 3 3. (. ). 2 Baøi 2. Cho tam giaùc ABC. Goïi D laø ñieåm sao cho BD = BC vaø I laø trung ñieåm cuûa AD. 3 2 Goïi M laø ñieåm thoûa maõn AM = AC . 5 a). Tính BI theo BA vaø BC ; b). Tính BM theo BA vaø BC .. Giaûi 120.

(122) www.VNMATH.com. a). Do I laø trung ñieåm cuûa AD neân ta coù: 1 1  2  1 1 BI = BA + BD =  BA + BC  = BA + BC 2 2 3 3  2 2 2 b). Ta coù: AM = AC ⇔ BM − BA = BC − BA 5 5 3 2 ⇒ BM = BA + BC 5 5. (. ). (. ). C. BAØI TẬP ĐỀ NGHỊ Baøi 1. Cho hình bình haønh ABCD taâm O, goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. a ). CMR: AB + AC = 3AG .. . . b ). CMR: AB + AC + AD = 4AO . . . c ). Cho M là điểm tùy ý, chứng minh : MA + MB + MC + MD = 4MO . Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD . CMR: AB + CD = 2MN . Bài 3. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'.. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'. CMR: AA ' + BB ' + CC ' = 3GG '. Baøi 4. Cho tam giaùc ABC troïng taâm G. Tính AB theo GB vaø GC . Baøi 5. Cho tam giaùc ABC troïng taâm G. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AG. CMR: AB + AC + 6GI = 0 . Bài 6. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. CMR: AD + BC = AC + BD = 2MN . Baøi 7. 7 Cho tam giaùc ABC, M laø moät ñieåm thoûa maõn MB = 2MC .. 1 2 CMR: AM = AB + AC . 3 3. 121.

(123) www.VNMATH.com §4. TRỤC TỌA ĐỘ VAØ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ NHỚ. . • Trục là đường thẳng trên đó xác định điểm O và 1 vectơ i có độ dài bằng 1.. . Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox. • A,B nằm trên trục (O; i ) thì AB = AB i . Khi đó AB gọi là độ dài đại số của AB • Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục Ox ⊥ Oy. Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ) • Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì (x;y) là toạ độ của a . Kyù hieäu a = (x;y) • Cho a = (x;y) ; b = (x’;y’) ta coù a ± b = (x ± x’;y ± y’) k a =(kx ; ky) ; ∀ k ∈ R b cuøng phöông a ( a ≠ 0 ) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa x’=kx vaø y’= ky • Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta coù : +. P laø trung ñieåm MN thì xp =. xM + x N y + yN vaø yP = M 2 2. + MN = (xM – xN ; yM – yN) + Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì xG =. y + yB + yC x A + xB + xC vaø yG = A 3 3. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Xác định tọa độ của vectơ và của điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.. Phương pháp: Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của vectơ và tọa độ của một điểm trên mặt. phẳng tọa độ Oxy. a = ( a1 , a2 ) ⇔ a = a1 .i + a2 . j. . . . A( x, y) ⇔ OA = x.i + y. j. 122.

(124) www.VNMATH.com. . AB = ( x B − x A ; y B − y A ) .. Dạng 2: Tìm tọa độ của các vec tơ u + v ; u − v ; k .u. Phöông phaùp: Tính theo các công thức tọa độ của u + v ; u − v ; k .u . . . ma + nb + pc = ( ma1 + nb1 + pc1 , ma2 + nb2 + pc2 ) Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song bằng tọa độ.. Phương pháp: Sử dụng các điều kiện cần và đủ sau: + Ba ñieåm phaân bieät A, B, C thaúng haøng ⇔ AB = k AC . + a , b cùng phương b ≠ 0 ⇔ có số k để a = k .b ⇔ a1b2 − a2b1 = 0. (. ⇔. a1 b1 = a2 b2. ). ( với a , b 2. 2. ≠ 0). Dạng 4: Tính tọa độ trung điểm của mộ một đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam giác. Phương pháp: Sử dụng các công thức sau: + P laø trung ñieåm MN thì xp =. xM + x N y + yN vaø yP = M 2 2. + G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì xG =. y + yB + yC x A + xB + xC vaø yG = A . 3 3. Bài 1. Cho a = (1, −2), b = ( 3, 4 ) , c = ( 5, −1) .Tìm tọa độ vec tơ u = 2a + b − c .. Giaûi Ta coù : u = 2a + b − c = ( 2.1 + 3 − 5; 2.(−2) + 4 − (−1) ) = ( 0; 1) . Baøi 2. Cho a = (1; −1), b = ( 2;1) . Haõy phaân tích vectô c = (4; −1) theo a vaø b .. Giaûi Giả sử c = k a + hb = ( k + 2 h ; − k + h )  k + 2h = 4 k = 2 Tacoù:  . Vaäy c = 2a + b . ⇔  − k + h = −1  h = 1. 123.

(125) www.VNMATH.com Bài 3. Cho A(2, 0), B(0, 4), C(1, 3). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tọa độ troïng taâm cuûa tam giaùc ABC.. Giaûi.  2+0 x = 2 = 1 ⇒ I (1, 2). Goïi I (x , y ) laø trung ñieåm AB, ta coù :  + 0 4 y = =2  2  2 + 0 +1 =1  xG =  7 3 ⇒ G 1,  . Goïi G (x G , y G ) laø troïng taâm ∆ABC, ta coù:   3 y = 0 + 4 + 3 = 7 G  3 3. Baøi 4. Moãi caëp vectô sau, caëp naøo cuøng phöông ? 1). a = (1, 2) vaø b = (−1, 3); 2). a = (1, 0) vaø b = (2010; 0); 3). a = (1, 2) vaø b = (−3; −6).. Giaûi 1 2 ≠ ⇒ a, b khoâng cuøng phöông. −1 3 2). b = 2010b ⇒ a, b cuøng phöông .. 1). ta coù :. 3).. 1 2 ≠ ⇒ a, b khoâng cuøng phöông . −3 −6. C. BAØI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài 1. Cho tam giác ABC với A( -5 ; 6) ; B (-4 ; -1) và C(4 ; 3). Tìm D để ABCD là hình bình haønh. Bài 2. Cho tam giác ABC có A(1 ; 2) ; B( 5 ; 2) và C(1 ; -3). Tìm tọa tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. . . . . . Bài 3. Cho a =(1 ; 2) và b = (3 ; 4). Tìm tọa độ của vectơ m = 2 a +3 b .. . . . . Baøi 4. Cho a =3 i -4 j vaø b = i - j . Tìm : 124.

(126) a)  a . www.VNMATH.com b)  b  c) a - b. d) a + 3b. Bài 5 . Cho tam giác ABC . Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác . Bài 6 . Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Bài 7. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), trong đó O là trung điểm BC, i cùng hướng với OC , j cùng hướng OA . a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC. c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 8. Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết: a) AD – 2 BD + 3 CD = 0 . b) AD – 2 AB = 2 BD + BC . c) ABCD hình bình haønh. d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD. Bài 9 . Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB a) Tìm tọa độ của A, B. b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B. c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6). Baøi 10. Cho a =(2; 1) ; b =( 3 ; 4) vaø c =(7; 2). a) Tìm tọa độ của vectơ u = 2 a - 3 b + c ; b) Tìm tọa độ của vectơ x thỏa x + a = b - c ; c) Tìm caùc soá m ; n thoûa c = m a + n b .. 125.

(127) www.VNMATH.com TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG. CHƯƠNG II. §1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ðẾN 1800. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC. y. 1. Trong mặt phẳng Oxy, với mỗi góc α ( 00 ≤ α ≤ 1800 ). tan α =. y0 ( x0 ≠ 0 ) ; x0. cot α =. M(x0;y0). y0. ta xác ñịnh ñiểm M trên nửa ñường tròn ñơn vị = α , giả sử ñiểm M có toạ ñộ M ( x ; y ) . sao cho : xOM 0 0 Khi ñó : sin α = y0 ; cosα = x0 ;. α O. x0. x. x0 ( y0 ≠ 0 ) y0. Và các giá trị sin α ; cos α ; tan α ; cot α ñược gọi là các giá trị lượng giác của góc α . Lưu ý: 1) Nếu α là góc tù thì cosα < 0, tan α < 0, cot α < 0 . 2) tan α xác ñịnh khi α ≠ 900 và cot α xác ñịnh khi α ≠ 00 và α ≠ 1800 2. Tính chất. Góc phụ nhau :. sin(90 0 − α ) = cos α cos(90 0 − α ) = sin α tan(90 0 − α ) = cot α cot(90 0 − α ) = tan α 3. Giá trị lượng giác của các góc ñặc biệt. sin(180 0 − α ) = sin α cos(180 0 − α ) = − cos α tan(180 0 − α ) = − tan α cot(180 0 − α ) = − cot α. 00. 300. 450. 600. 900. 1800. sinα. 0. 1 2. 2 2. 3 2. 1. 0. cosα. 1. 3 2. 2 2. 1 2. 0. –1. tanα. 0. 3 3. 1. 3. ||. 0. cotα. ||. 3. 1. 3 3. 0. ||. 126.

(128) www.VNMATH.com II. GÓC GIỮA HAI VECTƠ Cho hai vectơ a; b ñều khác vectơ 0 , từ một ñiểm O bất kỳ ta vẽ OA = a; OB = b . Khi ñó góc 00 ≤ AOB ≤ 1800 gọi là góc giữa hai vectơ a; b . Kí hiệu: ( a; b ). Lưu ý: ( a; b )=( b; a ) B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tính giá trị lượng giác của một số góc ñặc biệt, cho biết một giá trị lượng giác của một góc, rồi tìm các giá trị lượng giác còn lại có góc ñó. Phương pháp : Dựa vào bảng giá trị lượng giác ñặc biệt, và các công thức liên quan Các hệ thức cơ bản : sin α tan α = (cos α ≠ 0) cos α cos α cot α = (sin α ≠ 0) sin α tan α . cot α = 1 (sin α .cos α ≠ 0) sin 2 α + cos2 α = 1 1 1 + tan 2 α = (cos α ≠ 0) cos2 α 1 1 + cot 2 α = (sin α ≠ 0). sin 2 α Chú ý: 0 ≤ sin α ≤ 1; − 1 ≤ cos α ≤ 1 .. Bài tập 1. Tính A = 3sin1350 + cos600 + 4 sin1500 . Giải 0 0 0 A = 3sin 45 + cos60 + 4sin 30 =3. 2 1 1 3 2 +5 + + 4⋅ = 2 2 2 2. Bài tập 2. Cho góc tù x, biết s inx =. 1 . Hãy tính các giá trị lượng giác của góc x. 5 Giải. Ta có : cos 2 x + sin 2 x = 1 Suy ra : cos x = − 1 − sin 2 x = − 1 −. 1 2 6 =− (Do x là góc tù nên cosx < 0) 25 5. s inx 1 6 =− =− ; cos x 12 2 6 cosx + cot x = = −2 6 sin x + tan x =. Bài tập 3. Cho góc x nhọn, với cos x =. 1 . Tính các giá trị lượng giác của góc x. 3 Giải. Ta có: cos 2 x + sin 2 x = 1. 127.

(129) www.VNMATH.com Suy ra: sin x = 1 − cos 2 x = 1 −. 1 2 2 = 9 3. s inx 1 = =2 2; cos x 2 2 cosx 2 = + cot x = sin x 4 Vấn ñề 2. Tính góc giữa hai vectơ, ñộ dài của vectơ Phương pháp : ðể tính góc giữa hai vectơ ta ñưa về tính góc giữa hai vectơ có cùng ñiểm ñầu. + tan x =. Bài tập. Cho tam giác ABC ñều cạnh a, ñường cao AH. Tính góc giữa các cặp vectơ sau: a ) AB, BC ; b) AC , CB ; c) AH , BC .. (. ). (. ). (. ). A. Giải ' = 1200 Ta vẽ BA ' = AB , khi ñó : AB, BC = BA ', BC = CBA. (. ) (. ). (Vì góc ABC = 600 , A, B, B’ thẳng hàng) ' = 1200 Tương tự: ta vẽ CC ' = AC , khi ñó: AC , CB = CC ', CB = BCC C ⇒ AH , BC = 900 .. (. (. ). ) (. ). B H. A’. C’. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:. a) a sin 0 0 + b cos 0 0 + c sin 90 0. b) a cos 90 0 + b sin 90 0 + c sin180 0 .. c) 4 a 2 sin 2 450 − 3(a tan 450 )2 + (2 a cos 450 )2. d) cos2 12 0 + cos2 780 + cos2 10 + cos2 890 .. Baøi 2. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:. a) sin β =. 1 , β nhọn. 4. b) cos α = −. 1 3. c) tan x = 2 2. Baøi 3. Cho tam giác ñều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa :. . . . a) AB và AC. . . b) AB và BC. . . . c) AG và BC. . . e) GA và AC .. d) GB và GC. Baøi 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Xác ñịnh góc giữa các cặp vectơ sau:. (. . a) AB , AC. ). (. . b) AC ,CB. ). (. . ). c) AB , BC .. Baøi 5. Cho tam giác ABC ñều cạnh bằng a. Xác ñịnh góc giữa các cặp vectơ sau:. a) AB , AC. (. ). b) AC ,CB. (. ). c) AB , BC .. (. ). 128.

(130) www.VNMATH.com §2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.ðịnh nghĩa tích vô hướng a.b = a b cos a; b ; với a ≠ 0; b ≠ 0 Lưu ý: 1) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì a.b = 0 . 2) Với a ≠ 0; b ≠ 0 , ta có: a.b = 0 ⇔ a ⊥ b . 2. Biểu thức toạ ñộ của tích vô hướng Cho hai vectơ a = ( a1; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) , khi ñó: a.b = a1b1 + a2b2. ( ). 3. Ứng dụng của tích vô hướng a) ðộ dài của vectơ a = ( a1 ; a2 ) ñược tính như sau: a = a12 + a22 b) Góc giữa hai vectơ a = ( a1; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) ñều khác vectơ 0 , khi ñó: a.b a1b1 + a2b2 cos a; b = = 2 a b a1 + a22 b12 + b22. ( ). c) Khoảng cách giữa hai ñiểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) ñược tính theo công thức: 2 2 AB = AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) .. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ Phương pháp : Dùng ñịnh nghĩa : a.b = a b cos a; b .. ( ). Bài tập. Cho tam giác ñều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tính các tích vô hướng: AB.CA; GA.GB theo a; Tính : sin GA, GB ; cot AB, BC .. (. ). (. ). C'. Giải Áp dụng công thức tích vô hướng: a.b = a b cos a; b. ( ). Ta có : a2 AB.CA = a 2 cos AB; AC ' = a 2 cos1200 = − . 2 GA.GB = GA GB cos AGB .. (. A. ). Gọi ñường cao xuất phát từ ñỉnh A, B, C là hA , hB , hC , a 3 2 Do G là trọng tâm tam giác ñều ABC cạnh a nên:. khi ñó: hA = hB = hC =. a. G G. C. B. B’ 129.

(131) www.VNMATH.com GA = GB =. 2 a 3 hA = 3 3 2.  a 3  a2 0 cos120 ⇒ GA.GB =  = −  3  6   Ta có: GA, GB = AGB = 1200 ; AB, BC = BB ', BC = B ' BC = 1200. ( ) ⇒ sin ( GA, GB ) = sin120. (. ) ( ) 3 ; cot ( AB, BC ) = cot120 2. 3 . 3 Vấn ñề 2. Tính ñộ dài vectơ, khoảng cách giữa hai ñiểm, góc giữa hai vectơ Phương pháp : Sử dụng các công thức sau : Cho hai vectơ a = ( a1; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) , khi ñó: a.b = a1b1 + a2b2 . ðộ dài của vectơ a = ( a1 ; a2 ) ñược tính như sau: a = a12 + a22 . Góc giữa hai vectơ a = ( a1; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) ñều khác vectơ 0 , khi ñó: a.b a1b1 + a2b2 cos a; b = = a b a12 + a22 b12 + b22 0. =. 0. =−. ( ). Khoảng cách giữa hai ñiểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) ñược tính theo công thức: 2 2 AB = AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) .. Bài tập 1. Cho tam giác ABC có A (10;5) , B ( 3; 2 ) , C ( 6; −5 ) . Tính chu vi tam giác ABC. Tam giác ABC là tam giác gì ? Giải Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai ñiểm : Ta có: AB =. AC =. ( −7 ) + ( −3) 2. 2. ( −4 ) + ( −10 ) 2. = 58 ; 2. = 116 ;. BC = 32 + ( −7 ) = 58 2. chu vi tam giác ABC: 58 + 58 + 116 Ta có: BA = ( 7;3) ; BC = ( 3; −7 ) Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ : BA.BC 7.3 + 3.(−7) =0. cos BA; BC = 58. 58 BA . BC. (. ). Suy ra ABC = 900 . Mà AB = BC Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.. 130.

(132) www.VNMATH.com. Bài tập 2. Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau : a) a = ( 3; 4 ) , b = ( 4; −3) b/ a = ( 3; 2 ) , b = ( 5; −1) c) a = −2; −2 3 , b = 3; 3. (. ) (. ). Giải 3.4 + ( −3 ) .4 a.b a) cos a; b = = = 0 ⇒ a, b = 900. 2 a b 2 2 + ( −3 ) . 6 2 + 4 2 3.5 + 2. ( −1) a.b 13 13 2 b) cos a; b = = = = = ⇒ a, b = 450. 2 2 13. 26 13 2 a b 32 + 22 . 52 + ( −1) −2.3 + −2 3 . 3 −12 −12 −3 − 3 a.b = = = = c) cos a; b = = 2 2 2 2 16. 12 8 3 2 3 2 a b ( −2 ) + −2 3 . 3 + 3 ⇒ a, b = 1500.. ( ). ( ). ( ). ( ). (. ( ). (. ). ). ( ). ( ). C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:. . a) AB. AC. . . b) AC .CB. c) AB.BC. Baøi 2. Cho tam giác ABC ñều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:. . Baøi 3. Baøi 4. Baøi 5.. a) b) c) d) e) Baøi 6.. . . a) AB. AC b) AC .CB c) AB.BC Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D ñể ABDC là hình bình hành. Cho AB =(2x - 5 ; 2) ; AC =(3 – x; -2). ðịnh x ñể A , B , C thẳng hàng. Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2). Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng; Tìm tọa ñộ ñiểm D ñể ABCD là hình bình hành ; Tìm ñiểm M ∈ trục x’Ox ñể tam giác ABM vuông tại B; Tam giác ABC là tam giác gì ? Tìm tọa ñộ trực tâm H của tam giác ABC. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.. . a) Tính AB. AC , rồi suy ra giá trị của góc A.. . b) Tính CACB . .. . c) Gọi D là ñiểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB . Baøi 7. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).. a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.. . . . b) Tìm toạ ñộ ñiểm M biết CM = 2 AB − 3 AC . c) Tìm tâm và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Baøi 8. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).. . a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.. 131.

(133) www.VNMATH.com b) Tìm tâm và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Tìm toạ ñộ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. e) Tìm toạ ñộ ñiểm M trên Oy ñể B, M, A thẳng hàng.. §3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. ðịnh lý côsin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a; CA = b; AB = c ta có: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A; b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ; Từ ñó ta có công thức tính góc của tam giác ABC bất kỳ, khi biết ñộ dài các cạnh: b2 + c2 − a2 cos A = ; 2bc a2 + c2 − b2 cos B = ; 2ac a 2 + b2 − c2 cos C = ; 2ab Tính ñộ dài trung tuyến của tam giác bất kỳ Cho tam giác ABC các cạnh BC = a; CA = b; AB = c . Gọi ma , mb , mc là ñộ dài các ñường trung tuyến lần lượt từ các ñỉnh A, B và C, ta có: 2(b 2 + c 2 ) − a 2 ma2 = ; 4 2 a 2 + c2 − b2 2 mb = ; 4 2 a 2 + b2 − c 2 2 mc = ; 4 2. ðịnh lý sin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a; CA = b; AB = c và R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp, a b c ta có: = = = 2R sin A sin B sin C 3. Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC bất kì với BC = a; CA = b; AB = c, ha ; hb ; hc lần lượt là ñộ dài ñường cao xuất phát từ các ñỉnh A, B, C. Gọi R và r lần lượt là bán kính ñường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác a+b+c và p = là nửa chu vi của tam giác. Diện tích S của tam giác ABC ñược tính như sau: 2 1 1 1 S = aha = bhb = chc ; 2 2 2. (. ). (. ). 132.

(134) www.VNMATH.com 1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B; 2 2 2 abc S= S = pr ; ; 4R S=. S=. p ( p − a )( p − b )( p − c ). (công thức Hê-rông). B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm các yếu tố của một tam giác khi biết một vài yếu tố. Phương pháp : Áp dụng các ñịnh lí sin, côsin, công thức trung tuyến. Bài tập 1. Cho tam giác ABC biết A = 1200 , cạnh b = 8cm; c = 5cm. Tính cạnh a, và các góc ,C của tam giác ñó. B Giải Áp dụng ñịnh lý côsin ta có: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 82 + 52 − 2.8.5cos1200 = 129 ⇒ a = 129 Áp dụng hệ quả của ñịnh lý Cosin, ta có:. ( =. ). 2. + 52 − 82 3 129 a +c −b cos B = = 2ac 43 2.5 129 ≈ 37 0 35 '20 '' ⇒B ≈ 220 24 '39 '' Tương tự : C Cách khác: +C = 1800 Ta có: A+ B = 1800 − = 220 24 '39 '' ⇒C A+ B 2. 2. (. 2. 129. ). Bài tập 2. Cho tam giác ABC có a = 6, b = 2, c = 3 + 1 . Tính các góc A, B, bán kính R của ñường tròn ngoại tiếp, trung tuyến ma của tam giác ABC. Giải Áp dụng hệ quả ñịnh lý cosin, ta có:. (. ) ( 6) ( ) 2. 2 b2 + c2 − a2 2 + 3 + 1 − cos A = = 2bc 2.2 3 + 1. 2. =. 1 2. A = 600 ⇒ a b = sin A sin B 2 b sin A 2sin 600 ⇒ sin B = = = 2 a 6 = 450 ⇒B. Áp dụng ñịnh lý sin, ta có:. Mặt khác:. a = 2R sin A 133.

(135) www.VNMATH.com a 6 = = 2 2 sin A 2sin 600 2 2 2 22 + 3 + 1  − 6 2 2 2   2(b + c ) − a 5+2 3 ma2 = =  = 4 4 2 Bài tập 3. (Bài toán thực tiễn) Hai ñiểm A, B cách nhau bởi một hồ nước. Người ta lấy một ñịa ñiểm C và ño ñược góc BAC bằng 750, góc BCA bằng 600, ñoạn AC dài 60 mét. Hãy tính khoảng cách từ A ñến B. ⇒R=. (. ). ( ). Giải AC AB Áp dụng ñịnh lý sin, ta có: = sin ABC sin BCA + BAC = 1800 − 750 + 600 = 450 Mặt khác: ABC = 1800 − BCA. (. ). (. A. ). 60sin 600 AC sin BCA ⇒ AB = = = 30 6 (m) sin 450 ABC sin Vấn ñề 2. Diện tích tam giác Phương pháp : Áp dụng các công thức tính diện tích tam giác (mục 3). 60 m. 750 600. ?m. C B. Bài tập 1. Tam giác ABC có a = 58, b = 25, C = 350 . a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính ñường cao xuất phát từ ñỉnh A. c) Tính bán kính ñường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Giải 1 1 a) Ta có : S = ab sin C = 58.25.sin 350 = 415,84 (ñvdt). 2 2 1 2 S 2.415,84 b) Ta có : S = aha ⇒ ha = = = 14,3 2 a 58 c) Áp dụng ñịnh lí côsin , ta có : c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C = 582 + 252 − 2.58.25.cos 350 = 1613, 46 ⇒ c = 40,17 Áp dụng ñịnh lí sin, ta có : c c 40,17 = 2R ⇒ R = = = 35, 02 . sin C 2 sin C 2.sin 350 a + b + c 58 + 25 + 40,17 p= = = 61,585 2 2 S 415, 84 Ta có : S = p .r ⇒ r = = = 6, 75 . p 61, 585 Bài tập 2. Tam giác ABC có a = 45, b = 35, c = 20 . a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính bán kính ñường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Giải. 134.

(136) www.VNMATH.com a + b + c 45 + 35 + 20 = = 50 . a) p = 2 2 Áp dụng công thức Hê-rông ta có :. p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 50 ( 50 − 45 )( 50 − 35 )( 50 − 20 ) =335,4 (ñvdt).. S=. b) Ta có :. S = p .r ⇒ r = S=. S 335, 4 = = 6, 71 . p 50. abc abc 45.35.20 ⇒R= = = 23,5 . 4R 4S 4.335, 4. Bài tập 3. Cho ∆ ABC có a = 7, b = 8, c = 5. Tính : Â, S, ha, R, r, ma. Giải •. a2 = b2 + c2 - 2bc cosA ⇔ 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos A. ⇔ cos A =. 1 ⇒ Â = 600 . 2. •. S=. 1 1 3 . b.c.sinA = . 8.5. = 10 3 (ñvdt). 2 2 2. •. S=. 1 .a.ha ⇔ ha = 2S = 20 3 . 2 a 7. •. S=. abc 7 3 abc ⇔R= = 4S 4R 3. •. S = p.r ⇔ r =. 10 3 S = p 1 2. •. ma = 2. (. ). ( 7 + 8 + 5). 2 b 2 + c 2 - a2 4. =. = 3.. 129 ⇒ ma = 4. 129 . 2. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Baøi 1.. Giải tam giác ABC, biết: a) c = 14; A = 60 0 ; B = 40 0. b) b = 4,5; A = 30 0 ; C = 750. Baøi 2.. Giải tam giác ABC, biết: a) a = 6,3; b = 6,3; C = 54 0. Baøi 3.. b) b = 32; c = 45; A = 870 .. Giải tam giác ABC, biết: a) a = 14; b = 18; c = 20. b) a = 6; b = 7,3; c = 4,8 .. Baøi 4.. Cho tam giác ABC a) a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc ,R, r.. 135.

(137) www.VNMATH.com b) a= 2 3 ; b= 2 2 ; c=. 6 - 2 . Tính 3 góc của tam giác ABC.. c) b=8; c=5; góc A = 600. Tính S , R , r , ha , ma d) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma e) A = 600; hc =. 3 ; R = 5 . Tính 3 cạnh a , b, c.. f) A=1200; B =450 ; R =2. Tính 3 cạnh a , b, c.. g) a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung ñiểm AB) h) c = 3 , b = 4 ; S = 3 3 . Tính a Baøi 5. Baøi 6.. Gọi G là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng : GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2) . Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: a) a = b.cos C + c.cos B b) sin A = sin B cos C + sin C cos B c) ha = 2 R sin B sin C. e) S∆ ABC =. 2 1 AB2 . AC 2 − ( AB. AC ) 2. g) S =2R2sinA.sinB.sinC. d) ma2 + mb2 + mc2 =. 3 2 (a + b2 + c 2 ) 4. f) 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA. h) S=Rr(sinA + sinB + sinC). i) ha = 2RsinBsinC.. 136.

(138) www.VNMATH.com PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG MẶT PHẲNG. CHƯƠNG 4. §1. PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Vectơ chỉ phương của ñường thẳng Vectơ u ñược gọi là vectơ chỉ phương của ñường thẳng ∆ nếu u ≠ 0 và giá của vectơ u song song hoặc trùng với ñường thẳng ∆ . Chú ý : Một ñường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. 2. Phương trình tham số của ñường thẳng y Phương trình tham số của ñường thẳng ∆ ñi qua M 0 ( x0 ; y0 ). u. và có vectơ chỉ phương u = ( u1; u2 ).  x = x0 + u1t là  , u12 + u2 2 ≠ 0  y = y0 + u2t. (. ). x. O M0. 3. Phương trình ñường thẳng có hệ số góc k Phương trình ñường thẳng ñi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k là :. y − y0 = k ( x − x0 ) . 4. Vectơ pháp tuyến của ñường thẳng Vectơ n ñược gọi là vectơ pháp tuyến của ñường thẳng ∆ nếu n ≠ 0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của ñường thẳng ∆ . Chú ý : Một ñường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. 5. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và hệ số góc u Nếu ∆ có vectơ chỉ phương u = ( u1; u2 ) với u1 ≠ 0 thì hệ số góc của ∆ là k = 2 . u1 Nếu ∆ có hệ số góc là k thì ∆ có một vectơ chỉ phương là u = (1; k ) . ∆ có u = ( a; b ) ⇔ n = ( −b; a ). 6. Phương trình tổng quát của ñường thẳng. 137.

(139) www.VNMATH.com Phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ ñi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có vectơ pháp tuyến n = ( a; b ) là a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0, a 2 + b 2 ≠ 0 .. (. ). Phương trình ax + by + c = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 gọi là phương trình tổng quát của ñường thẳng nhận n = ( a; b ) làm vectơ pháp tuyến. y. 7. Phương trình theo ñoạn chắn B. ðường thẳng ∆ cắt Ox và Oy lần lượt tại. A ( a; 0 ) và B ( 0; b ) có phương trình theo. A O. ñoạn chắn là. x. x y + = 1( a ≠ 0, b ≠ 0 ) . a b. 8. Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng Cho hai ñường thẳng :. ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0.. a) ðể xét vị trí tương ñối của hai ñường thẳng ∆1 và ∆ 2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình. a1 x + b1 y + c1 = 0  a2 x + b2 y + c2 = 0. (I ). Hệ (I) có một nghiệm : ∆1 cắt ∆ 2 . Hệ (I) vô nghiệm : ∆1 / / ∆ 2 . Hệ (I) có vô số nghiệm : ∆1 ≡ ∆ 2 . b) Nếu a2b2c2 ≠ 0 thì :. . a1 b1 ≠ ⇔ ∆1 cắt ∆ 2 ; a2 b2. . a1 b1 c1 = ≠ ⇔ ∆1 / / ∆ 2 ; a2 b2 c2. . a1 b1 c1 = = ⇔ ∆1 ≡ ∆ 2 . a2 b2 c2. c) ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇔ n∆1 .n ∆ 2 = 0 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 . 9. Góc giữa hai ñường thẳng Cho hai ñường thẳng. 138.

(140) www.VNMATH.com. ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 có n1 = ( a1; b1 ). và ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 có n2 = ( a2 ; b2 ) .. ; cos n ∆ = Góc giữa chúng ñược tính theo công thức cos ∆ 1 2 1; n2 =. (. ). (. ). a1a2 + b1b2 a12 + b12 . a22 + b22. .. 10. Khoảng cách từ một ñiểm ñến một ñường thẳng Khoảng cách từ một ñiểm M 0 ( x0 ; y0 ) ñến một ñường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 ñược tính theo công thức : d ( M 0 ; ∆ ) =. ax0 + by0 + c a 2 + b2. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của ñường thẳng Phương pháp :. ðể lập phương trình tham số của ñường thẳng ∆ ta cần xác ñịnh. . một ñiểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ và một VTCP u = (u1; u2 ) của ∆..  x = x0 + tu1 Phương trình tham số của ∆ :  .  y = y0 + tu2 ðể lập phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ ta cần xác ñịnh một ñiểm. M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ và một VTPT n = (a; b) của ∆. Phương trình tổng quát của ∆ : a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 .. Nếu ∆ cắt trục Ox , trục Oy lần lượt tại A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0) thì ∆ :. x y + = 1. a b. Nếu ∆ ñi qua ñiểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k thì ∆ : y − y0 = k( x − x0 ) .. Bài tập 1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của ñường thẳng : a) ∆ ñi qua A ( 4; −2 ) và có vectơ chỉ phương u = (1;3) . b) ∆ ñi qua B (1; −2 ) và có vectơ pháp tuyến n = ( 5; −3) .. 139.

(141) www.VNMATH.com c) ∆ ñi qua C ( 0;3) và có hệ số góc k = 1 . d) ∆ ñi qua D (1; 4 ) , E ( −2;8 ) . e) ∆ ñi qua G ( 3;0 ) , H ( 0; −2 ) .. Giải a) ∆ ñi qua A ( 4; −2 ) và có vectơ chỉ phương u = (1;3) . Vậy phương trình tham số của ñường x = 4 + t thẳng ∆ là  (t ∈ ℝ ) .  y = −2 + 3t. ∆ ñi qua A ( 4; −2 ) và có vectơ chỉ phương u = (1;3) nên có vectơ pháp tuyến là n = ( 3; −1) . Vậy phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ là 3 ( x − 4 ) − 1( y + 2 ) = 0. ⇔ 3 x − y − 14 = 0. b) ∆ ñi qua B (1; −2 ) và có vectơ pháp tuyến n = ( 5; −3) . Vậy phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ là 5 ( x − 1) − 3 ( y + 2 ) = 0 ⇔ 5 x − 3 y − 11 = 0 .. ∆ ñi qua B (1; −2 ) và có vectơ pháp tuyến n = ( 5; −3) ⇒ u = ( 3;5 ) là vectơ chỉ phương của  x = 1 + 3t ∆ . Vậy phương trình tham số của ñường thẳng ∆ là  (t ∈ ℝ) .  y = −2 + 5t c) ∆ ñi qua C ( 0;3) và có hệ số góc k = 1 nên có phương trình tổng quát là. y − 3 = 1( x − 0 ) ⇔ x − y + 3 = 0 . ∆ ñi qua C ( 0;3) và có hệ số góc k = 1 ⇒ u = (1;1) là vectơ chỉ phương của ñường thẳng ∆ x = t nên ∆ có phương trình tham số là  (t ∈ ℝ ) . y = 3+t d) ∆ ñi qua D (1; 4 ) , E ( −2;8 ) ⇒ u = DE = ( −3; 4 ) là VTCP của ñường thẳng ∆ . Vậy phương  x = 1 − 3t trình tham số của ∆ là  (t ∈ ℝ) .  y = 4 + 4t ∆ ñi qua D (1; 4 ) và có VTCP u = ( −3; 4 ) ⇒ n = ( 4;3) là VTPT của ∆ . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 4 ( x − 1) + 3 ( y − 4 ) = 0 ⇔ 4 x + 3 y − 16 = 0 . e) ∆ ñi qua G ( 3;0 ) , H ( 0; −2 ) nên phương trình có dạng. x y + = 1 ⇔ −2 x + 3 y + 6 = 0 . 3 −2. ∆ ñi qua G ( 3;0 ) , H ( 0; −2 ) ⇒ u = GH = ( −3; −2 ) là VTCP. Vậy phương trình tham số của. 140.

(142) www.VNMATH.com  x = 3 − 3t ∆ là  (t ∈ ℝ ) .  y = −2t. Bài tập 2. Lập phương trình tổng quát của ñường thẳng : a) ∆ ñi qua M (1; 2 ) và song song với ñường thẳng d1 : 2 x − y + 1 = 0 . b) ∆ ñi qua N (1; −2 ) và vuông góc với ñường thẳng d 2 : 8 x − 11 y + 15 = 0 .. Giải Chú ý : 1) Nếu ∆ ⊥ d : ax + by + c = 0 ⇒ ∆ có dạng : bx − ay + c ' = 0 . 2) Nếu ∆ / / d : ax + by + c = 0 ⇒ ∆ có dạng : ax + by + c ' = 0 ( c ' ≠ c ) . a) ∆ song song với ñường thẳng d1 : 2 x − y + 1 = 0 nên ∆ có dạng : 2 x − y + c = 0 . Vì ∆ ñi qua M (1; 2 ) nên 2.1 − 2 + c = 0 ⇒ c = 0 . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 2x − y = 0 . b) ∆ vuông góc với ñường thẳng d 2 : 8 x − 11 y + 15 = 0 nên ∆ có dạng : −11x − 8 y + c = 0 . Vì ∆ ñi qua N (1; −2 ) nên −11.1 − 8 ( −2 ) + c = 0 ⇒ c = −5 . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là. −11x − 8 y − 5 = 0 ⇔ 11x + 8 y + 5 = 0 .. Bài tập 3. Lập phương trình tổng quát của ñường thẳng :  x = 2 + 3t a) ∆ ñi qua M ( −3;5) và song song với ñường thẳng d1 :  .  y = 1 − 2t  x = 4 − 2t b) ∆ ñi qua N (1; −2 ) và vuông góc với ñường thẳng d 2 :  .  y = 11 + 7t. Giải a) Vì ∆ / /d1 nên VTCP của d1 là VTCP của ∆ ⇒ u∆ = ud1 = ( 3; −2 ) ⇒ n = ( 2;3) là VTPT của ∆ . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 2 ( x + 3) + 3 ( y − 5) = 0 ⇔ 2 x + 3 y − 9 = 0 .. b) Vì ∆ ⊥ d 2 nên VTCP của d2 là VTPT của ∆ ⇒ n∆ = ud 2 = ( −2;7 ) . Vậy phương trình tổng quát của ∆ là −2 ( x − 1) + 7 ( y + 2 ) = 0 ⇔ −2 x + 7 y + 16 = 0 .. 141.

(143) www.VNMATH.com Bài tập 4. Lập phương trình ñường trung trực của ñoạn thẳng AB biết A (1;3) , B ( 3; −7 ) . Giải Gọi I là trung ñiểm của AB ⇒ I ( 2; −2 ) .. (d). Gọi d là ñường trung trực của AB ⇒ d ñi qua I và d ⊥ AB . d ⊥ AB ⇒ d có VTPT là n = AB = ( 2; −10 ) .. Vậy phương trình tổng quát của ñường thẳng d là :. A. I. B. 2 ( x − 2 ) − 10 ( y + 2 ) = 0 ⇔ 2 x − 10 y − 24 = 0 ⇔ x − 5 y − 12 = 0 .. Vấn ñề 2. Chuyển ñổi giữa phương trình tổng quát, phương trình tham số của ñường thẳng Phương pháp : 1) ∆ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 , ta lập phương trình tham số của ∆ như sau :. Cách 1 : ∆ : ax + by + c = 0 ⇒ n∆ = ( a; b ) ⇒ u∆ = ( b; −a ) . Ta tìm ñiểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ , từ ñó lập ñược phương trình tham số của ∆ .. Cách 2 : ∆ : ax + by + c = 0 . Ta cho x = t ( nếu a ≠ 0 ), suy ra y theo t . Trong trường hợp x = t  a = 0 thì PTTS của ∆ là  c (t ∈ ℝ )  y = − b.  x = x0 + tu1 2) ∆ có phương trình tham số  , ta lập phương trình tổng quát của ∆ như sau :  y = y0 + tu2. . . Cách 1 : ∆ ñi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u = (u1; u 2 ) ⇒VTPT n = (u 2 ; −u1 ) . Cách 2 : Khử t ta ñược PTTQ. Bài tập 1. Lập phương trình tham số của ñường thẳng ∆ có PTTQ : 2 x + 5 y − 3 = 0 . Giải Cách 1 : ∆ : 2 x + 5 y − 3 = 0 ⇒ n∆ = ( 2;5 ) ⇒ u∆ = ( 5; −2 ) . Ta có : M 0 ( −1;1) ∈ ∆ .. 142.

(144) www.VNMATH.com  x = −1 + 5t Vậy phương trình tham số của ∆ là  (t ∈ ℝ ) .  y = 1 − 2t. Cách 2 : ∆ : 2 x + 5 y − 3 = 0 , cho x = t ⇒ y =. 3 − 2t . 5. x = t  Vậy phương trình tham số của ∆ là  3 2 (t ∈ ℝ ) . y = − t  5 5  x = −2 + t Bài tập 2. Lập phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ có PTTS :  .  y = −1 + 3t. Giải Cách 1 :. . . ∆ ñi qua M (−2; −1) và có VTCP u = (1;3) ⇒VTPT n = (3; −1) . Vậy phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ là 3 ( x + 2 ) − 1( y + 1) = 0 ⇔ 3x − y + 5 = 0 .. Cách 2 : Khử t ta ñược PTTQ của ∆  x = −2 + t −3 x = 6 − 3t ⇔ ⇔ −3 x + y = 5 ⇔ −3 x + y − 5 = 0 .   y = −1 + 3t  y = −1 + 3t. Vấn ñề 3. Tìm hình chiếu của ñiểm M trên ñường thẳng ∆ . Tìm ñiểm ñối xứng của ñiểm M qua ∆ . Phương pháp :. . Bước 1: Viết phương trình ñường thẳng d qua M và d ⊥ ∆ .. . Bước 2: Gọi H là hình chiếu của M trên ∆ .. d M. Khi ñó, H = d ∩ ∆ .. . Bước 3: M’ là ñiểm ñối xứng của ñiểm M qua ∆ M'. ⇔ H là trung ñiểm của MM’.. Bài tập. Cho ñường thẳng ∆ : x + 2 y − 4 = 0 và ñiểm M (1; −5) . a) Tìm hình chiếu H của M lên ∆ . b) Tìm ñiểm ñối xứng M’ của M qua ∆ .. 143.

(145) www.VNMATH.com Giải a) Lập phương trình ñường thẳng d qua M và vuông góc với ∆ : ðường thẳng d ⊥ ∆ : x + 2 y − 4 = 0 ⇒ d có dạng : 2 x − y + c = 0 . Vì d qua M (1; −5) nên 2.1 − ( −5) + c = 0 ⇒ c = −7 ⇒ ∆ : 2 x − y − 7 = 0 .. Gọi hình chiếu H của M lên ∆ , khi ñó H = d ∩ ∆ 2 x − y − 7 = 0 ⇒ tọa ñộ H là nghiệm của hệ :  . x + 2 y − 4 = 0 18   x = 5  18 1  ⇔ . Vậy H  ;  .  5 5 y = 1  5 b) M’ là ñiểm ñối xứng của M qua ∆ ⇔ H là trung ñiểm của MM’. 18 31 xM + xM '   xM ' = 2 xH − xM = 2. − 1 =   xH =  5 5 2 ⇔ ⇔ .  y = yM + yM '  y = 2 y − y = 2. 1 − ( −5 ) = 27 H M  H  M ' 2 5 5.  31 27  Vậy M '  ;  . 5 5 . Vấn ñề 4. Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng Phương pháp : Cho hai ñường thẳng :. ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0.. a x + b1y + c1 = 0 Toạ ñộ giao ñiểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:  1 (I) a2 x + b2 y + c2 = 0 ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (I) có một nghiệm ⇔. ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (I) vô nghiệm ⇔. a1 b1 ≠ (nếu a2b2c 2 ≠ 0 ). a2 b2. a1 b1 c1 = ≠ (nếu a2b2c 2 ≠ 0 ). a2 b2 c2. ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (I) có vô số nghiệm ⇔. a1 b1 c1 = = (nếu a2b2c 2 ≠ 0 ). a2 b2 c2 144.

(146) www.VNMATH.com Bài tập 1. Xét vị trí tương ñối của các cặp ñường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ ñộ giao ñiểm của chúng : a) ∆1 : 2 x + y − 1 = 0, ∆2 : 4 x + 2 y + 5 = 0 . b) ∆1 : x − 2 y + 5 = 0, ∆2 : 2 x + 4 y + 10 = 0 . c) ∆1 : x + y + 2 = 0, ∆2 : 2 x − y − 5 = 0 . d) ∆1 : 3x − 4 y + 6 = 0, ∆2 : − 12 x + 16 y − 24 = 0 .. Giải a) Ta có :. 2 1 −1 = ≠ ⇒ ∆1 / / ∆ 2 . 4 2 5. b) Ta có :. 1 −2 ≠ ⇒ ∆1 cắt ∆ 2 tại M. 2 4. x − 2 y + 5 = 0 x = −5 Tọa ñộ M là nghiệm của hệ :  ⇔ ⇒ M ( −5; 0 ) .  2 x + 4 y + 10 = 0 y = 0 c) Ta có :. 1 1 ≠ ⇒ ∆1 ∩ ∆ 2 = N 2 −1. x + y + 2 = 0 x = 1 ⇒ tọa ñộ N là nghiệm của hệ :  ⇔ ⇒ N (1; −3 ) . 2 5 0 − − = x y   y = −3 d) Ta có :. 3 −4 6 = = ⇒ ∆1 ≡ ∆ 2 . −12 16 −24. Bài tập 2. Xét vị trí tương ñối của các cặp ñường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ ñộ giao ñiểm của chúng : x = 5 + t  x = 4 + 2t a) ∆1 :  . , ∆2 :   y = −3 − 2t  y = −7 + 3t  x = 4 + 2t b) ∆1 : −4 x − 5 y + 6 = 0 , ∆ 2 :  .  y = −7 + 3t  x = −6 + 5t c) ∆ 2 : 8 x + 10 y − 12 = 0, ∆1 :  .  y = 6 − 4t x = 5 + t d) ∆1 :  , ∆2 : x + y − 5 = 0 .  y = −1. 145.

(147) www.VNMATH.com Giải Chú ý : Nếu có ñường thẳng nào ở dạng tham số ta ñưa chúng về dạng tổng quát rồi xét vị trí tương ñối. x = 5 + t 2 x = 10 + 2t a) Ta có ∆1 :  ⇔ ⇔ 2x + y − 7 = 0 .  y = −3 − 2t  y = −3 − 2t  x = 4 + 2t 3 x = 12 + 6t ∆2 :  ⇔ ⇔ 3 x − 2 y − 26 = 0 .  y = −7 + 3t  −2 y = 14 − 6t. Vì. 2 1 ≠ ⇒ ∆1 ∩ ∆ 2 = A 3 −2. ⇒ tọa ñộ A là nghiệm của hệ : 40   x = 7 2 x + y − 7 = 0  40 31  ⇒ ⇒ A ; −  .  7  7 3 x − 2 y − 26 = 0  y = − 31  7 b) Ta có : ∆1 : −6 x + 4 y + 21 = 0 , ∆ 2 : 3 x − 2 y − 26 = 0 (theo câu a). Vì. −6 4 21 = ≠ ⇒ ∆1 / / ∆ 2 3 −2 26. c) Ta có ∆ 2 : 8 x + 10 y − 12 = 0. ..  x = −6 + 5t 4 x = −24 + 20t ∆1 :  ⇔ ⇔ 4x + 5 y − 6 = 0 .  y = 6 − 4t 5 y = 30 − 20t. Vì. 4 5 −12 = = ⇒ ∆1 ≡ ∆ 2 . 8 10 −6. x = 5 + t d) Ta có ∆1 :  ⇔ y +1 = 0  y = −1 ∆2 : x + y − 5 = 0. Vì. 0 1 ≠ ⇒ ∆1 ∩ ∆ 2 = B . 1 1.  y +1 = 0 x = 6 ⇔ ⇒ B ( 6; −1) . ⇒ tọa ñộ B là nghiệm của hệ :  x + y − 5 = 0  y = −1. 146.

(148) www.VNMATH.com Vấn ñề 5. Góc giữa hai ñường thẳng Phương pháp : Cho hai ñường thẳng. ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 có VTPT n1 = ( a1; b1 ) và ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 có VTPT n2 = ( a2 ; b2 ) .. cos ∆ 1; ∆ 2 = cos n1; n2 =. (. ). (. ). a1a2 + b1b2 a12 + b12 . a22 + b22. 1) ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0. Chú ý:. 2) Cho ∆1 : y = k1 x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì :. ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2. ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1.. Bài tập 1. Tính góc giữa hai ñường thẳng a) ∆1 : x + 2 y + 4 = 0 và ∆ 2 : x − 3 y + 6 = 0 . b) ∆1 : 4 x − 2 y − 3 = 0 và ∆ 2 : x − 3 y + 1 = 0 . c) ∆1 : x + 3 y + 2 = 0 và ∆ 2 : 3x − y + 2 3 = 0 . d) ∆1 : x + y + 2 = 0 và ∆1 : x + y − 1 = 0 .. x = 1+ t x = t e) ∆1 :  và ∆ 2 :  .  y = 7 + 2t  y = 3 − 3t. Giải a) Ta có : cos ∆ 1; ∆ 2 = cos n1; n2 =. (. (. ). (. ). 1.1 + 2. ( −3) 12 + 22 . 12 + ( −3). 2. =. 5 5 10. =. 5 1 = . 5 5 2 2. ). 0 Vậy ∆ 1; ∆ 2 = 45 .. (. ). b) Ta có : cos ∆ 1; ∆ 2 =. (. 4.1 + ( −2 ) . ( −3) 42 + ( −2 ) . 12 + ( −3) 2. 2. =. 10 1 . = 20 10 2. ). 0 Vậy ∆ 1; ∆ 2 = 45 .. 147.

(149) www.VNMATH.com. (. ). 0 c) Ta có : 1. 3 + ( −1) 3 = 0 ⇒ ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇒ ∆ 1 , ∆ 2 = 90 .. (. 1.1 + 1.1. ). d) Ta có : cos ∆ 1; ∆ 2 =. =. 12 + 12 . 12 + 12. (. ). 2 0 =1⇒ ∆ 1; ∆ 2 = 0 . 2. x = 1+ t  −2 x = −2 − 2t e) Ta có : ∆1 :  ⇔ ⇔ −2 x + y − 5 = 0  y = 7 + 2t  y = 7 + 2t x = t 3 x = 3t ∆2 :  ⇔ ⇔ 3x + y − 3 = 0 .  y = 3 − 3t  y = 3 − 3t. (. −2.3 + 1.1. ). ⇒ cos ∆ 1; ∆ 2 =. ( −2 ) + 12 . 32 + 12 2. 5. =. 5 10. (. ). 1 0 ⇒ ∆ 1; ∆ 2 = 45 . 2. =. Bài tập 2. Cho hai ñường thẳng ∆1 : mx + 2 y − 5m = 0 và ∆ 2 : 3 x + my − 2m − 1 = 0 . ðịnh m ñể góc tạo bởi ∆1 và ∆ 2 bằng 450 .. Giải 2 ⇔ cos ∆ ⇔ 1; ∆ 2 = 2. ⇔ 2 5m =. ( m2 + 4)(9 + m2 ) ⇔ m4 + 13m2 + 36 = 50m2 ⇔ m4 − 37m2 + 36 = 0. 0. 1. 2. (. ). m.3 + 2.m. ; ∆ ) = 45 ( ∆. m 2 + 22 32 + m 2. =. 2 1 = 2 2. m2 = 1  m = ±1 ⇔ ⇔  m = ±6  m 2 = 36  m = ±1 0 thì ∆ Vậy  1; ∆ 2 = 45 .  m = ±6. (. ). Bài tập 3. Cho hai ñường thẳng ∆ : x + y − 2 = 0 . Lập phương trình ñường thẳng d ñi qua M (1; 0 ) và tạo với ∆ một góc 600 .. Giải Vì d ñi qua M (1; 0 ) nên d có dạng : a ( x − 1) + b ( y − 0 ) = 0 ⇔ ax + by − a = 0 .. 1.a + 1.b 1 1 d tạo với ∆ một góc 600 nên cos d ,∆ = ⇔ = . 2 12 + 12 a 2 + b 2 2. ( ). (. ). (. ). ⇔ 2 a + b = 2 a 2 + b 2 ⇔ 4 ( a + b ) = 2 a 2 + b 2 ⇔ 2 a 2 + b 2 + 2ab = a 2 + b 2 2. 148.

(150) www.VNMATH.com ⇔ a + b + 4ab = 0 (*) 2. 2. 2. a a Chia hai vế của (*) cho b ta ñược   + 4   + 1 = 0 b b 2. a  b = −2 + 3 ⇔  a = −2 − 3  b. (. ). (. ). Trường hợp 1 : b = 1 ⇒ a = −2 + 3 ⇒ d1 : −2 + 3 x + y + 2 − 3 = 0 . Trường hợp 2 : b = 1 ⇒ a = −2 − 3 ⇒ d 2 : −2 − 3 x + y + 2 + 3 = 0 . Vậy có hai ñường thẳng cần tìm là :. (. ). (. ). d1 : −2 + 3 x + y + 2 − 3 = 0 ; d 2 : −2 − 3 x + y + 2 + 3 = 0 .. Vấn ñề 6. Khoảng cách từ ñiểm ñến ñường thẳng Phương pháp :. 1) Khoảng cách từ một ñiểm ñến một ñường thẳng Cho ñường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và ñiểm M0 ( x0 ; y0 ) là d ( M0 , ∆) =. ax0 + by0 + c a 2 + b2. 2) Vị trí tương ñối của hai ñiểm ñối với một ñường thẳng Cho ñường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai ñiểm M( xM ; yM ), N ( xN ; yN ) ∉ ∆.. Hai ñiểm M, N nằm cùng phía ñối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0 . Hai ñiểm M, N nằm khác phía ñối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0 . 3) Phương trình các ñường phân giác của các góc tạo bởi hai ñường thẳng Cho hai ñường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 cắt nhau. Phương trình các ñường phân giác của các góc tạo bởi hai ñường thẳng ∆1 và ∆2 là. a1 x + b1y + c1 a12 + b12. =±. a2 x + b2 y + c2 a22 + b22. 149.

(151) www.VNMATH.com Bài tập 1. Tính khoảng cách từ các ñiểm ñến các ñường thẳng tương ứng sau ñây : a) M (1; −1) và ∆ : 3 x + 4 y − 1 = 0 b) N ( 2; −1) và ∆ : 2 x + 5 y + 5 = 0 . x = 2t c) P (2; −3) và ∆ :  .  y = 2 + 3t. Giải a) d (M , ∆ ) =. b) d (N , ∆) =. 3.1 + 4. ( −1) − 1 32 + 4 2. =. 2.2 + 5 ( −1) + 5 22 +. ( 5). 2. 2 . 5. =. 4 . 3. c) Cách 1 : x = 2t 3x = 6t ⇔ ⇔ 3x − 2 y + 4 = 0 .  y = 2 + 3t −2 y = −4 − 6t. d :. ⇒ d (P , ∆) =. 3.2 − 2 ( −3 ) + 4 32 + 22. =. 16 13. Cách 2 : Lấy H ( 2t ; 2 + 3t ) ∈ ∆ . Ta có : PH =. ( 2t − 2 )2 + ( 3t + 5)2. 22 29   = 13t 2 + 22t + 29 = 13  t 2 + t +  13 13  . 2 2  2   11 2 256  11  11  121 29   11  256 = 13  t + 2. t +   − +  = 13   t +  +  == 13  t +  +    13  13  169 13  13  13     13  169 . 2. 2.  11  256 256  11  256 16 (*) ≥ ⇒ 13  t +  + ≥ Mặc khác : 13  t +  + 13 13 13 13  13   13  ⇒ d (P , ∆) =. 16 13. .. Chú ý : Cách này dùng ñể tìm tọa ñộ hình chiếu của ñiểm lên ñường thẳng khi ñường thẳng có phương trình tham số.. 150.

(152) www.VNMATH.com Trong bài toán trên, ñẳng thức ở (*) xảy ra ⇔ t = −. 11 . Vậy tọa ñộ hình chiếu của ñiểm P lên 13.  22 7  ñường thẳng ∆ là H  − ; −  .  13 13 . Bài tập 2. Tìm bán kính của ñường tròn (C) có tâm I (1; −3) và tiếp xúc với ñường thẳng ∆ : 3x − 4 y − 5 = 0 .. Giải ∆. tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R , với. ⇒R=. 3.1 − 4 ( −3) − 5 32 + ( −4 ). 2. =. R. là bán kính của ñường tròn (C). 10 = 2. 5. Bài tập 3. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A(2; 5) và cách B(5; 1) một khoảng bằng 3 Giải. (. ðường thẳng ∆ ñi qua A(1; 1) có dạng : a ( x − 2 ) + b ( y − 5 ) = 0 a 2 + b 2 ≠ 0. ). ⇒ ∆ : ax + by − 2a − 5b = 0 .. Ta có : d (B , ∆) = 3 ⇔ 2. (. a.5 + b .1 − 2a − 5b = 0 a2 + b 2. = 3 ⇔ 3a − 4b = 3 a 2 + b 2. ). ⇔ ( 3a − 4b ) = 9 a 2 + b 2 ⇔ 9a 2 − 24ab + 16b 2 = 9a 2 + 9b 2 ⇔ 7b 2 − 24ab = 0 ⇔ b ( 7b − 24a ) = 0 (*).. Chọn b = 0, a = 1 ⇒ ∆1 : x − 2 = 0 . Chọn b = 24 ⇒ a = 7 ⇒ ∆ 2 : 7 x + 24 y − 2.7 − 5.24 = 0 ⇔ 7 x + 24 y − 134 = 0 . Vậy có hai ñường thẳng cần tìm là : ∆1 : x − 2 = 0 ;. ∆ 2 : 7 x + 24 y − 134 = 0 .. Bài tập 4. Cho ñường thẳng ∆ : 2 x − 5 y + 8 = 0 . Chứng tỏ rằng A (1;1) và B ( −2;1) nằm khác phía ñối với ∆ . Giải Ta có : 2 x A − 5 y A + 8 = 2.1 − 5.1 + 8 = 5 và 2 xB − 5 yB + 8 = 2. ( −2 ) − 5.1 + 8 = −1. ⇒ ( 2 x A − 5 y A + 8 )( 2 xB − 5 yB + 8 ) < 0 151.

(153) www.VNMATH.com ⇒ A và B nằm về khác phía ñối với ∆ .. Bài tập 5. Cho hai ñường thẳng ∆1 : 4 x − 3 y − 1 = 0 và ∆ 2 :12 x − 5 y + 3 = 0 . a) Chứng tỏ ∆1 và ∆ 2 cắt nhau. b) Lập phương trình hai ñường phân giác của các góc tạo bởi ∆1 và ∆ 2 .. Giải a) Vì. 4 −3 ≠ ⇒ ∆1 cắt ∆ 2 . 12 −5. b) Phương trình hai ñường phân giác của các góc tạo bởi ∆1 và ∆ 2 là :. 4x − 3y −1 4 2 + ( −3 ). 2. =±. 12 x − 5 y + 3 12 2 + ( −5 ). 2. ⇔. 4x − 3 y −1 12 x − 5 y + 3 =± 5 13. 13 ( 4 x − 3 y − 1) = 5 (12 x − 5 y + 3) ⇔ 13 ( 4 x − 3 y − 1) = −5 (12 x − 5 y + 3) 8 x + 14 y + 28 = 0  4 x + 7 y + 14 = 0 . ⇔ ⇔ 112 x − 64 x + 2 = 0 56 x − 32 y + 1 = 0. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Lập phương trình tham số của ñường thẳng ∆ biết rằng : a) ∆ ñi qua A(2;3) và có VTCP u = (−5; 2) . b) ∆ ñi qua B(4;5) và có VTPT n = (3; −2) . c) ∆ ñi qua C(9;5) và có hệ số góc k = −3 . d) ∆ ñi qua D(-1;2) và tạo với trục hoành góc 450 .. Bài 2. Lập phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ biết rằng: a) ∆ ñi qua A(1;2) và có VTPT n = (4;1) . b) ∆ ñi qua B(1;0) và có VTCP u = (−2;5) . c) ∆ ñi qua C(2;1) và có hệ số góc k = 1. d) ∆ ñi qua D(5;2) và tạo với trục hoành góc 450 .. Bài 3. Lập phương trình ñường thẳng ∆ trong các trường hợp sau :  x = −1 + t a) ∆ ñi qua M(8;2) và song song với ñường thẳng ∆1 :  .  y = 1 + 2t 152.

(154) www.VNMATH.com b) ∆ ñi qua N(5;-3) và vuông góc với ñường thẳng ∆ 2 : x − 2 y + 3 = 0 .. Bài 4. Cho ñường thẳng ∆ : 2 x − 3 y + 1 = 0 . a) Tìm VTPT và VTCP của ñường thẳng ∆ . b) Lập phương trình tham số của ñường thẳng ∆ .. Bài 5. Cho tam giác ABC có A(2;1), B(4;3), C(6;7). a) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. b) Lập phương trình ñường cao AA’. c) Tìm toạ ñộ trực tâm H của tam giác ABC. d) Lập phương trình 3 ñường trung trực của tam giác. Từ ñó tìm toạ ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác.. Bài 6. Xét vị trí tương ñối của các cặp ñường thẳng sau :  x = −1 − 5t  x = −6 + 5t a) d :  và d ':   y = 2 + 4t  y = 2 − 4t  x = 1 − 4t b) d :  và d ': 2 x + 4 y − 10 = 0  y = 2 + 2t c) d : x + y − 2 = 0 và d ': 2 x + y − 3 = 0. Bài 7. Tìm góc giữa các cặp ñường thẳng sau: a) d : x + 2 y − 4 = 0 và d ': − x + 3 y + 1 = 0  x = 5 + 5t b) d :  và d ' : 2 x − 5 y + 1 = 0  y = 1 + 2t x = 2 − t  x = −3 + 5t c) d :  và d ' :   y = 3 + 2t  y = 3 − 2t. Bài 8. Tính khoảng cách từ ñiểm I(1;2) ñến ñường thẳng ∆ : x - 3y + 2 = 0 bằng hai cách. Bài 9. Cho tam giác ABC có A(5;3), B(-1;2), C(-4;5). a) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. b) Lập phương trình các ñường cao của tam giác. Từ ñó tìm toạ ñộ trực tâm H của tam giác. c) Tìm toạ ñộ ñiểm I là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. d) Lập phương trình các ñường phân giác trong của tam giác ABC. e) Tìm toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC. Hãy chứng minh I, G, H thẳng hàng.. Bài 10. Viết phương trình ñường thẳng ∆ trong các trường hợp sau : a) ∆ ñi qua ñiểm M(-2;-4) và cắt các trục toạ ñộ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân. b) ∆ ñi qua ñiểm N(5;-3) và cắt các trục toạ ñộ tại A và B sao cho N là trung ñiểm của AB. 153.

(155) www.VNMATH.com c) ∆ ñi qua M(1;2) và ∆ tạo với ñường thẳng d: 2x-3y+1=0 góc 60 0 . x = 2 + t Bài 11. Cho ñường thẳng d có phương trình tham số là  .  y = −1 − 2t a) Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M(-2;1) và vuông góc với ñường thẳng d. b) Tìm giao ñiểm của ñường thẳng ∆ với ñường thẳng d. c)Tìm ñiểm M’ ñối xứng với ñiểm M qua d.. Bài 12. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M(2;5) và cách ñều hai ñiểm A(-1;2) và B(5;4). Bài 13. Tìm phương trình của tập hợp các ñiểm cách ñều hai ñường thẳng: ∆1 : 5 x + 3 y − 3 = 0 và ∆ 2 : 5 x + 3 y + 7 = 0 . Bài 14. Cho ∆ ABC có A(1;3). Các ñường trung tuyến qua B và C lần lượt là y − 1 = 0 và x − 2 y + 1 = 0 . Hãy xác ñịnh toạ ñộ B và C. Bài 15. Cho ∆ ABC có phương trình ñường thẳng AB : 5x - 3y + 2 = 0. Các ñường cao qua A và B lần lượt có phương trình: 4x - 3y + 2 = 0 và 7x + 2y – 22 = 0. Lập phương trình ñường thẳng AC và BC. Bài 16. Cho ∆ ABC có A(1;2). ðường cao BE: 2x + y + 1 = 0 và ñường phân giác trong CD: x + y + 2 = 0. Lập phương trình 3 cạnh tam giác ABC. Bài 17. Cho ∆ ABC có A(1;1). ðường phân giác trong BD : 2x – y + 3 = 0 và trung tuyến CM : x + y + 1 = 0. Lập phương trình 3 cạnh tam giác ABC. Bài 18. Lập phương trình 4 cạnh của hình vuông ABCD biết AB, BC, CD, DA lần lượt qua M(1;2), N(3;0), P(5;1), Q(-2;7). Bài 19. Cho A(1;2), B(3;7) và d: x + y + 1 = 0. a) Chứng minh A,B nằm cùng phía với d. b) Tìm ñiểm M thuộc ñường thẳng d sao cho MA + MB ñạt giá trị nhỏ nhất.. Bài 20. Cho 2 ñường thẳng d1 : 2x – y – 1 = 0 và d2 : 3x + 2y – 5 = 0. Lập phương trình ñường thẳng d3 ñối xứng với ñường thẳng d1 qua ñường thẳng d2.. 154.

(156) www.VNMATH.com §2. PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG TRÒN. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương trình ñường tròn y. Phương trình ñường tròn tâm. M (x;y) y. I ( a; b ) và bán kính R là : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 . 2. 2. Nếu a 2 + b 2 − c > 0 thì phương trình x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0. b. I R. O. a. x. là phương trình của ñường tròn với tâm I ( a; b ) và bán kính R = a 2 + b 2 − c .. 2. Phương trình tiếp tuyến của ñường tròn Tiếp tuyến tại ñiểm M 0 ( x0 ; y0 ) của ñường tròn tâm I ( a; b ) có phương trình là :. ( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = 0 . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Lập phương trình ñường tròn 1) Cách 1 : Dùng tâm và bán kính Tìm tâm I ( a; b ) và bán kính R của ñường tròn (C). Phương trình ñường tròn (C) có dạng : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 . 2. 2. 2) Cách 2 : Dùng phương trình tổng quát Phương trình ñường tròn (C) có dạng : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 , với a 2 + b 2 − c > 0 . Lập hệ phương trình với các ẩn số là a, b, c. Tìm a, b, c suy ra phương trình ñường tròn (C).. Bài tập 1. Viết phương trình ñường tròn có tâm I(1; − 2) và a) ñi qua ñiểm A(3; 5). b) tiếp xúc với ñường thẳng có phương trình ∆ : x + y – 1 = 0. 155.

(157) www.VNMATH.com Giải a) (C) có tâm (1; − 2) và ñi qua A(3; 5) nên có bán kính R = IA =. ( 3 − 1)2 + ( 5 − ( −2 ) ). 2. = 4 + 49 = 53 .. Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 53 . 2. 2. b) C) có tâm (1; − 2) và tiếp xúc với ñường thẳng ∆ : x + y – 1 = 0. ⇒ R = d ( I, ∆) =. 1 − 2 −1 2. =. 2 = 2. 2. Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 2 . 2. 2. Bài tập 2. Viết phương trình ñường tròn (C) trong các trường hợp sau : a) (C) có ñường kính AB biết A(3; 5) và B(- 1; 3). b) (C) có ñi qua ba ñiểm A(1;-2), B(2;5) và C(4;-3). c) (C) ñi qua hai ñiểm A (2;3), B (−1;1) và có tâm nằm trên ñường thẳng ∆ : x − 3 y − 11 = 0. Giải a) Tâm I của (C) là trung ñiểm của AB  x A + xB 3 + ( −1) = =1  xI = 2 2 Ta có :  ⇒ I (1; 4 ) .  x = y A + yB = 5 + 3 = 4  I 2 2. (C) có bán kính R = IA =. ( 3 − 1)2 + ( 5 − 4 )2. = 4 +1 = 5 .. Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : ( x − 1) + ( y − 4 ) = 5 . 2. 2. b) Phương trình ñường tròn (C) có dạng : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b 2 − c > 0 .. (C) có ñi qua ba ñiểm A(1;-2), B(2;5) và C(4;-3) nên ta có hệ :. 41  a=  1 + ( −2 ) − 2a − 2b ( −2 ) + c = 0 11 −2a + 4b + c = −5    2 2   13 ⇒ −4a − 10b + c = −29 ⇔ b = 2 + 5 − 2a.2 − 2b.5 + c = 0 11  2 −8a + 6b + c = −25  2  25 4 + ( −3) − 2a.4 − 2b. ( −3) + c = 0  c = − 11  2. 2. 156.

(158) www.VNMATH.com Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : x 2 + y 2 −. 82 26 25 x− y− =0. 11 11 11. c) Phương trình ñường tròn (C) có dạng : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b 2 − c > 0 .. (C) có tâm nằm trên ñường thẳng ∆ : x − 3 y − 11 = 0 ⇒ a − 3b − 11 = 0 ;. (1). (C) ñi qua hai ñiểm A (2;3) ⇔ 4 + 9 − 4a − 6b + c = 0 ⇔ −4a − 6b + c = −13 ; (2) (C) ñi qua hai ñiểm B (−1;1) ⇔ 1 + 1 + 2a − 2b + c = 0 ⇔ 2a − 2b + c = −2 ;. (3). Từ (1), (2), (3) ta có hệ :.  7 a = 2 a − 3b = 11  5   4 6 13 − − + = − ⇔ a b c  b = − . 2 2a − 2b + c = −2  = − 14 c  . Vậy phương trình của ñường tròn (C) là : x 2 + y 2 − 7 x + 5 y − 14 = 0 . Bài tập 3. Viết phương trình ñường tròn (C) ñi qua hai ñiểm A (1; 0), B (3; 0) và tiếp xúc với ∆ : x − y +1 = 0 . Giải Gọi I ( a; b ) là tâm của ñường tròn (C).. (C) ñi qua A (1; 0) và B (3; 0) nên IA = IB ⇔ IA2 = IB 2. ⇔ (1 − a ) + ( 0 − b ) = ( 3 − a ) + ( 0 − b ) ⇔ 1 − a = 3 − a ⇔ a = 2 ⇒ I ( 2; b ) 2. 2. 2. 2. (C) tiếp xúc với ∆ ⇔ IA = d ( I , ∆ ) ⇔ 1 + b 2 =. (. 2 −b +1 12 + 12. ). 2 b = 1 . ⇔ 2 1 + b 2 = ( 3 − b ) ⇔ b 2 + 6b − 7 = 0 ⇔  b = −7. Vậy có hai ñường tròn cần tìm là :. Tâm I ( 2;1) ⇒ R = IA = 1 + b 2 = 1 + 12 = 2 ⇒ ( C1 ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) = 2 . 2. 2. Tâm I ( 2; −7 ) ⇒ R = IA = 1 + ( −7 ) = 50 ⇒ ( C1 ) : ( x − 2 ) + ( y + 7 ) = 50 . 2. 2. 2. 157.

(159) www.VNMATH.com Vấn ñề 2. Nhận dạng phương trình bậc hai là phương trình ñường tròn. Xác ñịnh tọa ñộ tâm và bán kính của ñường tròn. Phương pháp :. 1) Cách 1 : ðưa phương trình về dạng : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 . Khi ñó phương trình ñã cho là 2. 2. phương trình ñường tròn có tâm I ( a; b ) và bán kính R .. 2) Cách 2 : ðưa phương trình về dạng : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 . Tìm a, b, c và tính giá trị a 2 + b 2 − c .. Nếu a 2 + b 2 − c > 0 thì phương trình trên là phương trình ñường tròn có tâm I ( a; b ) và bán kính R = a 2 + b 2 − c .. Nếu a 2 + b 2 − c ≤ 0 thì phương trình trên không là phương trình ñường tròn.. Bài tập 1. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của ñường tròn không ? Nếu có hãy tìm tâm và bán kính : a) x 2 + y 2 + 4 x − 8 y − 29 = 0 . b) x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 14 = 0 . c) 4 x 2 + 4 y 2 − 8x − 16 y + 19 = 0 .. Giải a) Cách 1 : Phương trình (C) có dạng : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ..  −2 a = 4 a = −2   Ta có : −2b = −8 ⇔ b = 4 ⇒ a 2 + b 2 − c = 4 + 16 + 29 = 49 > 0 . c = −29 c = −29   Vậy (C) là ñường tròn có tâm I ( −2; 4 ) và bán kính R = 49 = 7 .. Cách 2 :. (. ) (. ). x 2 + y 2 + 4 x − 8 y − 29 = 0 ⇔ x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 8 y + 16 − 4 − 16 − 29 = 0 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 4 ) = 49 . 2. 2. 158.

(160) www.VNMATH.com Vậy (C) là ñường tròn có tâm I ( −2; 4 ) và bán kính R = 49 = 7 . b) Phương trình (C) có dạng : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 .. −2a = −6 a = 3   Ta có : −2b = 4 ⇔ b = −2 ⇒ a 2 + b 2 − c = 9 + 4 − 14 = −1 < 0 . c = 14 c = 14   Vậy phương trình (C) không là phương trình của ñường tròn. c) 4 x 2 + 4 y 2 − 8x − 16 y + 19 = 0 ⇔ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y +. 19 =0. 4.   −2a = −2 a = 1   19 1 Ta có : −2b = −4 ⇔ b = 2 ⇒ a 2 + b 2 − c = 1 + 4 − = > 0 . 4 4  19  19 c = c =   4 4 Vậy (C) là ñường tròn có tâm I (1; 2 ) và bán kính R =. 1 1 = . 4 2. Bài tập 2. Cho (Cm) : x 2 + y 2 + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0 . ðịnh m ñể (Cm) là ñường tròn. Khi ñó, hãy tìm tọa ñộ tâm và tính bán kính của ñường tròn (Cm) theo m.. Giải Ta có :.  −2 a = 4 m  a = 2m   −2b = −2m ⇔ b = m  c = 2m + 3  c = 2m + 3   ⇒ a 2 + b 2 − c = 4 m 2 + m 2 − ( 2 m + 3 ) = 5m 2 − 2 m − 3. (Cm) là ñường tròn ⇔ a 2 + b 2 − c > 0 ⇔ 5m 2 − 2m − 3 > 0 ⇔ m < −. 3 hoặc m > 1 . 5. Khi ñó, (Cm) có tâm I ( 2m; m ) và bán kính R = 5m 2 − 2m − 3. 159.

(161) www.VNMATH.com Vấn ñề 3. Lập phương trình tiếp tuyến của ñường tròn Phương pháp : Cho ñường tròn (C) có tâm I ( a; b ) và bán kính R .. 1) Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến ∆ tại ñiểm M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ (C ) . ∆ có dạng : ( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = 0 . 2) Loại 2. Lập phương trình tiếp tuyến ∆ có phương cho trước. Dùng ñiều kiện tiếp xúc ñể xác ñịnh ∆ . ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R .. Dạng 1 : Tiếp tuyến song song với ñường thẳng d : ax + by + c = 0 . – Tiếp tuyến ∆ / / d ⇒ ∆ : ax + by + c ' = 0 ( c ' ≠ c ) . – ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇒ c ' . – Thay c’ vào phương trình ∆ suy ra tiếp tuyến cần tìm. Dạng 2 : Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng d : ax + by + c = 0 . – Tiếp tuyến ∆ ⊥ d ⇒ ∆ : bx − ay + c ' = 0 . – ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇒ c ' . – Thay c’ vào phương trình ∆ suy ra tiếp tuyến cần tìm. 3) Loại 3. Lập phương trình tiếp tuyến ∆ ñi qua A ( x A ; y A ) ∉ ( C ) . – ∆ ñi qua A ( x A ; y A ) ⇒ ∆ : a ( x − x A ) + b ( y − y A ) = 0 . – ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R . Chọn một giá trị b ⇒ a . – Thay a, b vào phương trình ∆ suy ra tiếp tuyến cần tìm.. Bài tập 1. Cho ñường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 − 4 x + 8 y − 5 = 0 . a) Xác ñịnh tâm và bán kính của (C). b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M ( −1; 0 ) . c) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với ñường thẳng d1 : 4 x − 3 y + 5 = 0 . d) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với ñường thẳng d 2 :12 x − 5 y + 3 = 0 .. Giải a) Phương trình (C) có dạng : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 .. −2a = −4 a = 2   Ta có : −2b = 8 ⇔ b = −4 ⇒ a 2 + b 2 − c = 4 + 16 + 5 = 25 . c = −5  c = −5   Vậy ñường tròn (C) có tâm I ( 2; −4 ) và bán kính R = 25 = 5 .. 160.

(162) www.VNMATH.com. b) Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại ñiểm M ( −1; 0 ) có dạng :. ( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = 0 ⇔ ( −1 − 2 )( x + 1) + ( 0 + 4 )( y − 0 ) = 0 ⇔ −3 x + 4 y − 3 = 0 c) Tiếp tuyến ∆ / / d1 : 4 x − 3 y + 5 = 0 ⇒ Phương trình ∆ có dạng : 4 x − 3 y + c = 0 ( c ≠ 5) . ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔. 4.2 − 3 ( −4 ) + c 42 + ( −3 ). 2.  20 + c = 25 c = 5 = 5 ⇔ 20 + c = 25 ⇔  ( loại c = 5)   20 + c = −25 c = −45. Vậy tiếp tuyến ∆ cần tìm là : 4 x − 3 y − 45 = 0 . d) Tiếp tuyến ∆ ⊥ d 2 :12 x − 5 y + 3 = 0 ⇒ Phương trình ∆ có dạng : 5 x + 12 y + c = 0 . ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔. 5.2 + 12. ( −4 ) + c 52 + 122.  c − 38 = 65  c = 103 = 5 ⇔ c − 38 = 65 ⇔    c − 38 = −65  c = −27. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là : ∆1 : 5 x + 12 y + 103 = 0 ∆ 2 : 5 x + 12 y − 27 = 0.. Bài tập 2. Cho ñường tròn (C) có phương trình. ( x + 1)2 + ( y − 2 )2 = 5 .. Lập phương trình tiếp tuyến của ñường tròn (C) ñi qua A ( 4;7 ) .. Giải (C) có tâm I ( −1; 2 ) và bán kính R = 5 .. (. Tiếp tuyến ∆ ñi qua A ( 4;7 ) có dạng : a ( x − 4 ) + b ( y − 7 ) = 0 a 2 + b 2 ≠ 0. ). ⇒ ∆ : ax + by − 4a − 7b = 0 . ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔. a. ( −1) + b.2 − 4a − 7b a 2 + b2. = 5 ⇔ −5a − 5b = 5 a 2 + b 2 ⇔ 5 a + b = 5 a 2 + b 2. 161.

(163) www.VNMATH.com 2. 2. 2. ⇔ 5 a + b = a + b ⇔ 5a + 5b 2 + 10ab = a 2 + b 2 ⇔ 4a 2 + 10ab + 4b 2 = 0 ⇔ 2a 2 + 5ab + 2b 2 = 0 (*) 1 a =−  a a b 2 Chia hai vế của (*) cho b 2 ta ñược 2   + 5   + 2 = 0 ⇔  b b  a = −2  b 2. Chọn a = 1 ⇒ b = −2 ⇒ ∆1 : x − 2 y + 10 = 0 . Chọn a = 2 ⇒ b = −1 ⇒ ∆ 2 : 2 x − y − 1 = 0 . Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là : ∆1 : x − 2 y + 10 = 0 ∆ 2 : 2 x − y − 1 = 0.. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình ñường tròn. Tìm tâm và bán kính của ñường tròn ñó : a) x2 + y2 − 2 x − 2 y − 2 = 0 ;. b) x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 1 = 0 ;. c) 2 x 2 + 2 y 2 + 4 x + 8 y + 18 = 0 ;. d) x 2 + y 2 − 6 x + 7 = 0 .. Bài 2. Tìm m ñể các phương trình sau là phương trình ñường tròn : a) x 2 + y 2 + 4 mx − 2 my + 2 m − 4 = 0 ; b) x2 + y2 − 2(m + 1) x + 2 my + 3m2 − 2 = 0 ; c) x2 + y2 − 2(m − 3) x + 4 my − m2 + 5m + 4 = 0 ; d) x2 + y2 − 2 mx − 2(m2 − 1) y + m4 − 2 m4 − 2 m2 − 4 m + 1 = 0 .. Bài 3. Lập phương trình ñường tròn trong mỗi trường hợp sau: a) ðường tròn tâm A bán kính AB và ñường tròn ñường kính AB biết A(−1 ; 1) , B(5 ; 3) b) ðường tròn tâm I(−4 ; 2) và tiếp xúc với ñường thẳng 3x + 4y – 16 = 0 c) ðường tròn tiếp xúc với ñường thẳng 3x – 4y – 31 = 0 tại ñiểm A(1 ; −7) và có bán kính bằng 5. d) ðường tròn tiếp xúc với hai trục tọa ñộ và ñi qua M ( −4;8 ) . Bài 4. Lập phương trình ñường tròn ñi qua 3 ñiểm A , B , C trong mỗi trường hợp sau: a) A(1 ; 3) , B(5 ; 6) , C(7 ; 0) ; b) A(0 ; 1) , B(1 ; −1) , C(2 ; 0). Tìm tâm và bán kính của các ñường tròn ñã cho. 162.

(164) www.VNMATH.com Bài 5. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : x 2 + y 2 − 2 x + 8 y + 1 = 0 biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 5x + 12y – 6 = 0. Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến với (C): x 2 + y 2 − 6 x + 2 y = 0 và vuông góc với ñường thẳng 3x − y + 6 = 0 . Bài 7. Lập phương trình tiếp tuyến với (C): x 2 + y 2 − 8 x + 12 y − 5 = 0 biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm M ( −1;1) .. §3. PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG ELIP. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. ðịnh nghĩa ñường elip Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho hai ñiểm F1 ( −c;0 ) ,. F2 ( c; 0 ) và ñộ dài không ñổi 2a ( a > c > 0 ) . Elip là tập hợp các ñiểm M sao cho F1M + F2 M = 2a . Ta có thể viết : ( E ) = {M | F1M + F2 M = 2a} .. 2. Phương trình chính tắc của elip Phương trình chính tắc của elip (E) là :. x2 a. 2. +. y2 b. 2. (. ). = 1 a 2 = b2 + c2 . y. 3. Các yếu tố của elip B2. Hai tiêu ñiểm : F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) . Bốn ñỉnh : A1 ( − a; 0 ) , A2 ( a; 0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) .. M(x;y). A1. A2 F1. ðộ dài trục lớn : A1 A2 = 2a .. F2. O. x. B1. ðộ dài trục bé : B1B2 = 2b . Tiêu cự : F1F2 = 2c . 4. Hình dạng của elip (E) có hai trục ñối xứng là Ox, Oy và có tâm ñối xứng là gốc tọa ñộ. Mọi ñiểm của elip (E) ñều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các ñường thẳng x = ± a , y = ±b . Hình chữ nhật ñó ñược gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip (E).. 163.

(165) www.VNMATH.com B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Xác ñịnh các yếu tố của một elip Phương pháp :. ðưa phương trình elip về dạng chính tắc. Tìm a, b, c. Kết luận theo yêu cầu của bài toán. Cần nhớ các yếu tố của elip :. x2 a. 2. +. y2 b. 2. (. = 1 a 2 = b2 + c2. y. ). B2 b. Hai tiêu ñiểm : F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) .. -a A1. Bốn ñỉnh : A1 ( − a; 0 ) , A2 ( a; 0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) .. -c F1. . O. . c. F2. a A2. x. B1 -b. ðộ dài trục lớn : A1 A2 = 2a . ðộ dài trục bé : B1B2 = 2b . Tiêu cự : F1F2 = 2c . Phương trình các ñường thẳng chứa hình chữ nhật cơ sở là x = ± a, y = ±b .. Bài tập 1. Cho elip (E) :. x2 y 2 + = 1 .Tìm toạ ñộ các tiêu ñiểm , tọa ñộ các ñỉnh, ñộ dài trục 16 9. lớn, ñộ dài trục bé của elip. Vẽ elip (E).. Giải Phương trình elip (E) có dạng :. x2 a2. +. y2 b2. =1. 2 a = 16 a = 4 Do ñó  . ⇒ 2 b = 3 b = 9. Ta có : c = a 2 − b 2 = 42 − 32 = 7 . Vậy elip (E) có :. (. ) (. Hai tiêu ñiểm : F1 − 7;0 , F2. ). 7;0 .. Bốn ñỉnh : A1 ( −4; 0 ) , A2 ( 4;0 ) , B1 ( 0; −3) , B2 ( 0;3) .. 164.

(166) www.VNMATH.com y. ðộ dài trục lớn : A1 A2 = 2a = 2.4 = 8 .. B2. ðộ dài trục bé : B1B2 = 2b = 2.3 = 6 . Tiêu cự : F1F2 = 2c = 2 7 .. A1. − 7. F1. 7. O. F2. A2 x. Hình vẽ của elip (E) ở hình bên. B1. Bài tập 2. Cho elip (E) : 9 x 2 + 25 y 2 = 225 .Tìm toạ ñộ các tiêu ñiểm , tọa ñộ các ñỉnh, ñộ dài trục lớn, ñộ dài trục bé của elip (E). Giải Ta có : x2 y 2 9 x 2 25 y 2 + =1⇔ + =1. 9 x + 25 y = 225 ⇔ 225 225 25 9 2. 2. Phương trình elip (E) có dạng :. x2 a2. +. y2 b2. = 1.. a 2 = 25 a = 5 . Do ñó  ⇒ 2 b = 3 b = 9 c = a 2 − b 2 = 52 − 32 = 16 = 4 . Vậy elip (E) có :. Hai tiêu ñiểm : F1 ( −4; 0 ) , F2 ( 4;0 ) . Bốn ñỉnh : A1 ( −5; 0 ) , A2 ( 5;0 ) , B1 ( 0; −3) , B2 ( 0;3) . ðộ dài trục lớn : A1 A2 = 2a = 2.5 = 10 . ðộ dài trục bé : B1B2 = 2b = 2.3 = 6 . Tiêu cự : F1F2 = 2c = 8 . Vấn ñề 2. Lập phương trình chính tắc của elip Phương pháp : Từ các yếu tố ñã biết của elip xác ñịnh a, b. Nếu ñề bài cho c thì tìm a, b theo công thức x2 y 2 a 2 = b 2 + c 2 suy ra phương trình (E) : 2 + 2 = 1 . a b. 165.

(167) www.VNMATH.com Bài tập. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau : a) ðộ dài trục lớn bằng 12, trục nhỏ bằng 8. b) ðộ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8 c) ðộ dài trục lớn bằng 8, ñộ dài trục nhỏ bằng tiêu cự. d) Tiêu cự bằng 8 và ñi qua ñiểm M ( 15; −1) . e) ðộ dài trục nhỏ bằng 6 và ñi qua ñiểm M ( −2 5; 2 ) . f) Một tiêu ñiểm là F1 (−2; 0) và ñộ dài trục lớn bằng 10.  3 g) Một tiêu ñiểm là F1 ( − 3; 0 ) và ñi qua ñiểm M  1; .  2 . h) ði qua hai ñiểm M ( 4; − 3 ) , N ( 2 2;3 ) .. Giải Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng :. x2 a2. +. y2 b2. = 1 (a > b > 0).. a) Theo giả thiết ñộ dài trục lớn bằng 12, trục nhỏ bằng 8. 2a = 12 a = 6 . ⇒ ⇔ 2b = 8 b = 4. Vậy (E) :. x2 y2 + = 1. 36 16. b) ðộ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8 2a = 10 a = 5 ⇒ ⇔  2c = 8 c = 4. Mà b 2 = a 2 − c 2 = 52 − 42 = 9 ⇒ b = 3 . Vậy (E) :. x2 y2 + = 1. 25 9. c) ðộ dài trục lớn bằng 8, ñộ dài trục nhỏ bằng tiêu cự Ta có : 2a = 8 ⇒ a = 4 ; 2b = 2c ⇒ b = c . Mà b 2 = a 2 − c 2 = a 2 − b 2 ⇒ 2b 2 = a 2 ⇒ b 2 =. Vậy (E) :. a 2 42 = =8⇒b = 8 . 2 2. x2 y2 + = 1. 16 8. d) Tiêu cự bằng 8 và ñi qua ñiểm M ( 15; −1) .. 166.

(168) www.VNMATH.com Ta có : 2c = 8 ⇒ c = 4 (E) ñi qua M ( 15; −1) ⇒. 15 a. 2. 1. +. b2. = 1( *) .. Mặc khác a 2 = b 2 + c 2 = b 2 + 42 = b 2 + 16 (**). ( *) ⇒. 15 2. b + 16. +. 1 b. 2. (. ). = 1 ⇔ b 2 + 16 b 2 = 15b 2 + b 2 + 16 ⇔ b 4 = 16 ⇔ b 2 = 4 .. Với b 2 = 4 thay vào (**) ta ñược a 2 = b 2 + 16 = 4 + 16 = 20 . Vậy (E) :. x2 y2 + = 1. 20 4. e) ðộ dài trục nhỏ bằng 6 và ñi qua ñiểm M ( −2 5; 2 ) .. Ta có : 2b = 6 ⇒ b = 3 (E) ñi qua M ( −2. ( −2 5 ) 5; 2 ) ⇒ 2. Thay b = 3 vào (*) ta ñược. Vậy (E) :. a. 20. a2. +. 2. +. 22. b. 2. =1⇔. 20. a. 2. +. 4. b2. = 1( *) .. 4 20 4 5 9.20 = 1 ⇔ 2 = 1 − = ⇔ a2 = = 36 . 9 9 9 5 a. x2 y2 + = 1. 36 9. f) Một tiêu ñiểm là F1 (−2; 0) và ñộ dài trục lớn bằng 10. Ta có : c = 2 ; 2a = 10 ⇒ a = 5 Mà b 2 = a 2 − c 2 = 25 − 4 = 21 .. x2 y2 Vậy (E) : + = 1. 25 21  3 g) Một tiêu ñiểm là F1 ( − 3; 0 ) và ñi qua ñiểm M  1; .  2 . Ta có : c = 3 . 2.  3    3 12  2  1 3 (E) ñi qua M  1; = 1 ⇔ 2 + 2 = 1 ( *) .  ⇒ 2+ 2  2  a b a 4b. Mà a 2 = b 2 + c 2 = b 2 + 3 (**). Thay vào (*) ta ñược :. 167.

(169) www.VNMATH.com b 2 = 1 + 2 = 1 ⇔ b 2 + 3 4b 2 = 4b 2 + 3 b 2 + 3 ⇔ 4b 4 + 5b 2 − 9 = 0 ⇔  2 2 b = − 9 ( loại ) b + 3 4b  4. 1. 3. (. ). (. ). (**) ⇒ a 2 = b 2 + 3 = 12 + 3 = 4 Vậy (E) :. x2 y2 + = 1. 4 1. h) ði qua hai ñiểm M ( 4; − 3 ) , N ( 2 2;3 ) .. (E) ñi qua M ( 4; − 3 ) ⇒. 16. (E) ñi qua N ( 2 2;3 ) ⇒. 8. a2 a. 2. + +. 3. b2 9. b2. =1. (1). =1. (2). 1  16 3 1 2  a 2 + b 2 = 1  a 2 = 20 x2 y2 a = 20 ⇔ ⇔ Từ (1) và (2) ta có hệ  . Vậy (E) : + = 1. 2 20 15 b = 15  8 + 9 =1  1 = 1  a 2 b 2  b 2 15. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau a) ðỉnh A2 (13; 0 ) (E) ñi qua ñiểm M(5 ; -2). b) ðộ dài trục lớn bằng 10 và (E) ñi qua ñiểm B(0 ; 3). 15 c) Elip ñi qua ñiểm M (1; ) và có tiêu cự là 4 3 . 2 8 2 3 3 d) Elip ñi qua 2 ñiểm : M ( ; −1) và N (2; − ). 3 2 Bài 2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết : a) Hình chữ nhật cơ sở có ñỉnh P ( −3; −2 ) . b) (E) có ñỉnh B(0 ; 2), tiêu cự bằng 4 5 . Bài 3. Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh, các tiêu ñiểm, tính ñộ dài các trục và tìm tâm sai của elip có phương trình sau : b) x 2 + 4 y 2 − 1 = 0 a) 4 x 2 + 9 y 2 = 36 c) 9 x2 + 16 y 2 − 144 = 0. d) x2 = 9 − 12 y 2 .. x2 y 2 Bài 4. Cho elip (E) có phương trình chính tắc: + = 1 có hai tiêu ñiểm F1 , F2 25 9 a) Tìm tọa ñộ các giao ñiểm của (E) với ñường thẳng 3x + 5y = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của elip tại các giao ñiểm ñó. b) Tìm ñiểm M trên (E) sao cho F1M = 3F2M.. 168.

(170) www.VNMATH.com. MỤC LỤC LỜI NÓI ðẦU ..................................................................................................................................1. PHẦN 1 ðẠI SỐ.............................................................................................................................2 Chương I. Mệnh ñề - tập hợp ....................................................................................................3 §1. Mệnh ñề .....................................................................................................................3 §2. Tập hợp ......................................................................................................................8 §3. Các phép toán tập hợp .............................................................................................11 §4. Các tập hợp số .........................................................................................................14 §5. Số gần ñúng – sai số ................................................................................................17. Chương II. Hàm số bậc nhất và bậc hai .................................................................................19 §1. Hàm số .....................................................................................................................19 §2. Hàm số y = ax + b ...................................................................................................23 §3. Hàm số bậc hai ........................................................................................................29. Chương III. Phương trình và hệ phương trình ......................................................................35 §1. ðại cương về phương trình......................................................................................35 §2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai ...........................................39 §3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn ...............................................45. Chương IV. Bất ñẳng thức. Bất phương trình .......................................................................48 §1. Bất ñẳng thức...........................................................................................................48 §2. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ......................................57 §3. Dấu của nhị thức bậc nhất .......................................................................................62 §4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ............................................................................70 §5. Dấu của tam thức bậc hai ........................................................................................74. Chương V. Thống kê.................................................................................................................82 §1. Bảng phân bố tần số và tần suất ..............................................................................82 §2. Biểu ñồ ....................................................................................................................86 §3. Số trung bình cộng - số trung vị - mốt ....................................................................92 §4. Phương sai và ñộ lệch chuẩn ...................................................................................97. Chương VI. Góc và cung lượng giác. Công thức lượng giác ..............................................102 §1. Góc và cung lượng giác .........................................................................................102 §2. Giá trị lượng giác của một cung ............................................................................104. 169.

(171) www.VNMATH.com §3. Công thức lượng giác ............................................................................................110. PHẦN 2 HÌNH HỌC .................................................................................................................113 Chương I. Vectơ ......................................................................................................................114 §1. Các ñịnh nghĩa .......................................................................................................114 §2. Tổng và hiệu của hai vectơ ....................................................................................116 §3. Tích của vectơ với một số .....................................................................................119 §4. Trục tọa ñộ và hệ trục tọa ñộ .................................................................................122. Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng ........................................................126 §1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 00 ñến 1800 ...........................................126 §2. Tích vô hướng của hai vectơ .................................................................................129 §3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác .....................................................132. Chương III. Phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng ............................................................137 §1. Phương trình ñường thẳng .....................................................................................137 §2. Phương trình ñường tròn .......................................................................................155 §3. Phương trình ñường elip ........................................................................................163. 170.

(172)

Phan loai va phuong phap giai toan 10

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về