Bài giảng Cơ sở kĩ thuật đo lường điện tử: Chương 2 - TS. Phạm Hải Đăng

Chương 2: Đánh giá sai số về Đo lường
CuuDuongThanCong.com

Tóm tắt nội dung chính:
1.

Nguyên nhân gây ra sai số.

2.

Phân loại sai số

3.

Biểu diễn sai số

4.

Ứng dụng phương pháp phân bố chuẩn để đánh giá sai số

/>
22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 1


2.1. Nguyên nhân sai số
CuuDuongThanCong.com

Đo lường là phương pháp vật lí thực nghiệm, nhằm thu thập thơng tin
về đặc tính số lượng của 1 đối tượng hay một quá trình cần nghiên
cứu.
Tiến hành đo bằng cách so sánh đại lượng cần đo với đại lượng đã
chọn dùng làm tiêu chuẩn, đơn vị.
Kết quả đo chỉ là giá trị gần đúng. Nói cách khác, khơng có phép đo
nào khơng có sai số.
Nguyên nhân gây ra sai số:

/>
Nguyên nhân khách quan: sai số do dụng cụ đo, đại lượng đo bị can nhiễu không
ổn định
Nguyên nhân chủ quan: phương pháp đo không hợp lí, do thao tác đo

Ngồi việc hạn chế các nguyên nhân gây ra sai số, cần đánh giá mức
độ sai số của của kết quả đo.

22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 2


2.2. Phân loại sai số
CuuDuongThanCong.com

Phân loại theo quy luật xuất hiện sai số:

/>

Sai số hệ thống

Sai số ngẫu nhiên

Nguyên nhân dẫn đến sai số hệ thống:
- Do những yếu tố thường xuyên hay những
yếu tố có quy luật tác động.
- Kết quả đo đều bị ảnh hưởng bởi 1 đại
lượng khơng đổi.
- Do dụng cụ máy móc đo khơng hồn hảo.
- Do phương pháp đo khơng hợp lí.
- Do điều kiện môi trường tiến hành đo: nhiệt
độ, độ ẩm

Nguyên nhân dẫn đến sai số ngẫu nhiên:
- Do những yếu tố biến đổi, không tuân theo
quy luật, tác động.
- Kết quả đo ở những lần đo khác nhau sẽ bị
ảnh hưởng khác nhau.

Cách khắc phục sai số hệ thống
- Sai số hệ thống ±∆x
-Tối ưu hoá phương pháp đo, kết hợp với
việc triệt tiêu nguồn gây ra sai số hệ thống.

Cách khắc phục sai số ngẫu nhiên:
- Tiến hành đo nhiều lần, giảm sai số ngẫu
nhiên bằng lí thuyết xác suất thống kê.

22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 3


2.2. Phân loại sai số và biểu diễn sai số
CuuDuongThanCong.com

Phân loại theo quy luật xuất hiện sai số:

/>
Sai số hệ thống

Sai số ngẫu nhiên

Nguyên nhân dẫn đến sai số hệ thống:
- Do những yếu tố thường xuyên hay những
yếu tố có quy luật tác động.
- Kết quả đo đều bị ảnh hưởng bởi 1 đại
lượng không đổi.
- Do dụng cụ máy móc đo khơng hồn hảo.
- Do phương pháp đo khơng hợp lí.
- Do điều kiện mơi trường tiến hành đo: nhiệt
độ, độ ẩm

Nguyên nhân dẫn đến sai số ngẫu nhiên:
- Do những yếu tố biến đổi, không tuân theo
quy luật, tác động.
- Kết quả đo ở những lần đo khác nhau sẽ bị

ảnh hưởng khác nhau.

Cách khắc phục sai số hệ thống
- Sai số hệ thống ±∆x
-Tối ưu hoá phương pháp đo, kết hợp với
việc triệt tiêu nguồn gây ra sai số hệ thống.

Cách khắc phục sai số ngẫu nhiên:
- Tiến hành đo nhiều lần, giảm sai số ngẫu
nhiên bằng lí thuyết xác suất thống kê.

22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 4


2.2. Phân loại sai số và biểu diễn sai số
CuuDuongThanCong.com

Phân loại theo biểu thức diễn đạt sai số:
Sai số tuyệt đối

Sai số tương đối

- Sai số tuyệt đối là trị số tuyệt đối của hiệu
- Sai số tương đối là tỷ số của sai số tuyệt
số giữa 2 giá trị đo.
đối và trị số thực của đại lượng cần đo

- Nếu a là giá trị đo được, X là giá trị thực, sai
∆x sai số tương đối chân thực
số tuyệt đối được biểu diễn:
δx=

X

∆x = a − X

- Giới hạn cực đại của sai số tuyệt đối

∆x ≤ ∆xmax

-Trong thực tế, sai số tương đối được xác
định

δx=

∆x
sai số tương đối danh định
a

/>
- Ngoài ra, sai số tương đối chiết hợp dùng
để đánh giá cấp chính xác của đồng hồ đo

x=

∆x
A

(A là giá trị cực đại của thang đo)

22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 5


2.3. Ứng dụng phương pháp phân bố chuẩn để định giá sai số
CuuDuongThanCong.com

Để đánh giá kết quả đo, cần phải định lượng, tiến tới loại bỏ sai số
ngẫu nhiên => lí thuyết xác suất thống kê.
Trình tự đo nhằm áp dụng lí thuyết xác suất thống kê:
Tất cả các lần đo phải được tiến hành với cùng độ chính xác như
nhau: tiến hành trên cùng một máy đo, các thao tác trình tự đo được
lặp lại
Tiến hành đo nhiều lần.

/>
22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 6


2.3. Ứng dụng phương pháp phân bố chuẩn để định giá sai số

CuuDuongThanCong.com

Hàm mật độ phân bố sai số chuẩn
Tiến hành n phép đo riêng biệt với sai số lần lượt {x1 , x2 ,..., xn }
Sắp xếp các sai số thành từng nhóm có khoảng sai số tương đương.
ví dụ: n1 sai số có giá trị từ 0.00 ÷ 0.01 ; n2 sai số có giá trị từ 0.01 ÷ 0.02

ni
; i = {1,2,...}
n
Tần xuất của sai số sẽ tuân theo phân bố tiêu chuẩn (normal distribution) khi
thực hiện số lượng lớn các phép đo. limν ( x) = p( x)
Tần xuất (tần số xuất hiện của các sai số) ν i =

n →∞
n→∞

/>
Phân bố tần suất
22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Phân bố xác suất
Slice 7


2.3. Ứng dụng phương pháp phân bố chuẩn để định giá sai số
CuuDuongThanCong.com

Hàm mật độ phân bố sai số chuẩn (Hàm Gaussian)
 ( x − µ )2 
1
p ( x) =
exp  −

2


σ
2
σ 2π



σ1 = 1

Trong đó: σ là độ lệch tiêu chuẩn (standard deviation).

µ là trung bình (mean value).

σ2 = 2
σ3 = 3

Trong trường hợp sai số ngẫu nhiên µ = 0
Thay giá trị h =
/>
p( x) =

h

π

1

σ 2

thu được

exp ( −h 2 x 2 )

%% Matlab code
%% Illutrate Normal PDF
x= linspace(-10, 10, 101);
mu= 0; sigma= 1;

h là thông số đo chính xác

22/08/2008

y1= normpdf(x, mu, sigma);
plot(x, y1)

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 8


2.3. Ứng dụng phương pháp phân bố chuẩn để định giá sai số
CuuDuongThanCong.com

Một số công thức liên quan tới hàm mật độ phân bố xác suất chuẩn
Xác suất xuất hiện sai số trong khoảng x ∈ ( x1 , x2 )
P ( x1 < x < x2 ) =

h

π

x2

2 2
exp
−
h
x ) dx
(
∫

x1

Xác suất xuất hiện sai số x < x1
P ( x < x1 ) =

h

=

2h

π
π

x1

∫

− x1

exp ( − h 2 x 2 )dx

x1

2 2
−
h
x )dx
exp
(
∫

/>
=

2h

π
2h

π

P ( x1 < x < x2 )

0

Xác suất xuất hiện sai số
P ( x > x1 ) =

P ( x < x1 )

∞

x > x1

2 2
exp
h
x )dx
−
(
∫

− x1

x1
∞

2 2
h
x )dx −

exp
−
(
∫

0

2h

π

x1

x2

x1

2 2
h
x )dx
exp
−
(
∫

0

P ( x > x1 ) = 1 − P ( x < x1 )
22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 9


2.3. Ứng dụng phương pháp phân bố chuẩn để định giá sai số
CuuDuongThanCong.com

Sử dụng phân bố xác suất để định giá kết quả đo và sai số đo
Sai số trung bình bình phương
n

σ=

∑x

2
i

i =1

M = 3σ

n

P ( x < σ ) ≈ 0.683
P ( x < 3σ ) ≈ 0.997

được gọi là sai số cực đại.

Trị số trung bình cộng
a1 + a2 + ... + an
n
trong đó ai là kết quả đo thứ i = 1, 2,..., n
atb =

/>
Trị số trung bình cộng là trị số có xác suất lớn nhất

22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 10


2.4. Cách xác định kết quả đo
CuuDuongThanCong.com

Do trị số cần đo X chưa được xác định. Do đó việc định giá trị số X
thơng qua trị số trung bình cộng X ≈ atb
Sai số dư ε i = ai − atb
Quan hệ giữa trị số trung bình cộng, sai số và sai số dư
n

n

∑ x = ∑ a − nX
i

i =1

i

i =1

Rút ra
atb = X +

∑x

i

n

n

n

∑ ε = ∑ a − na
i

i =1

i

tb

=0

i =1

ε i = xi − ∑

n

xi

(phương trình đường thẳng)

/>
Thơng số độ chính xác, thơng số độ chính xác tương quan xác định
qua sai số dư
n
n
h2 =

rút ra:

2∑ xi

H =h

n
n −1

H2 =

2∑ ε i
n −1

2
quan hệ giữa sai số
ε
=
∑ i n ∑ xi2 (Mối
thật và sai số xác định)

Khi thay thế xi bằng ε i cần chú ý quan hệ H > h để đạt được độ
chính xác của phép đo.
22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 11


2.4. Cách xác định kết quả đo
CuuDuongThanCong.com

H phụ thuộc vào h và số lần đo n
H =h
khi lim ( n − 1) = n ⇒ lim
n →∞
n →∞

Sai số trung bình bình phương
và sai số trung bình cộng biểu
diễn theo sai số dư

ε 

∑

σ = i =1
n −1 

n
εi 
∑

d = i =1

n(n − 1) 

 n

−
1

100%
 n −1 

n

2
i

/>
Biểu diễn qua
sai số dư εi
và trị số trung

bình cộng atb

Sự phụ thuộc độ sai khác giữa ε i và xi
vào số lần đo n
22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 12


2.4. Cách xác định kết quả đo
CuuDuongThanCong.com

Độ tin cậy và khoảng chính xác: khi đánh giá kết quả đo X ≈ atb
2
Xác định P ( atb − X < µ ) =
2π
P ( atb − X < µ ) = Φ(t )

µ /σ tb

∫0

 t2 
exp  − 
 2

là độ tin cậy của phép đo

là hàm Laplace với t = µ / σ tb

atb − tσ tb < X < atb + tσ tb là khoảng tin cậy.

Ví dụ: Khi

P = 0.997 t = 3

=> khoảng tin cậy atb − 3σ tb < X < atb + 3σ tb

/>
22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 13


2.4. Cách xác định kết quả đo
CuuDuongThanCong.com

Cách giảm thiểu trị số sai số ngẫu nhiên
Sai số ngẫu nhiên được tính tốn với số lượng hữu hạn n lần đo:
1.

1 n
Tính trị số trung bình của n lần đo atb = ∑ ai
n i =1

( ai là kết quả đo đã loại bỏ sai số

hệ thống).
2.

1 n
2
Tính sai số trung bình bình phương σ =
( ai − atb )
∑
n − 1 i =1

3.

Nếu tiến hành phép đo nhiều lần
σ tb =

4.

σ
n

=

n
1
2
( ai − atb )
∑
n(n − 1) i =1

Để đảm bảo độ tin cậy P = 0.997

/>
=> kết quả đo sẽ có sai số X = atb ± 3σ tb

22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 14


2.4. Cách xác định kết quả đo
START
CuuDuongThanCong.com

Lưu đồ thực hiện việc xử lí,
định giá sai số và kết quả đo

a1 , a 2 , ..., a n

Ghi n số liệu đo:

Có sai số hệ thống?

N

Y
Loại bỏ sai số hệ thống
Tính trị số trung bình cộng: atb

Tính n trị số sai số: ε i = ai − atb
n

∑ε

/>
N

i

=0

i =0

Y
Tính σ tb =

σ
n

=

n
1
2
( ai − atb )
∑
n(n − 1) i =1

Kết quả

với độ tin cậy

X = atb ± 3σ tb
P = 0.997

STOP
22/08/2008

Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Slice 15