Dạng toán phương và lý thuyết giống trong nghiên cứu các số nguyên tố dạng x2 + ny2

-1-

-2-

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O

Cơng trình đư c hoàn thành t i

Đ I H C ĐÀ N NG

Đ I H C ĐÀ N NG

ĐINH TH THÙY LINH

D NG TOÀN PHƯƠNG VÀ LÝ THUY T GI NG TRONG

Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TS. NGUY N GIA Đ NH

Ph n bi n 1: TS. CAO VĂN NUÔI

NGHIÊN C U CÁC S NGUYÊN T D NG x2 +ny2
Ph n bi n 2: TS. NGUY N Đ C LIÊM
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ c p
Mã s : 60.46.40
Lu n văn ñư c b o v t i H i ñ ng b o v ch m Lu n văn t t
nghi p Th c sĩ Khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 01
TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Đà N ng, Năm 2012

tháng 12 năm 2012

Có th tìm hi u lu n văn t i:
- Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng
- Thư vi n Trư ng Đ i h c Sư Ph m,Đ i h c Đà N ng.


-3-

M

-4-

gi ng, sau đó là tính tương h b c ba và trùng phương, ta có th x lý

Đ U

nhi u trư ng h p hơn. Đ gi i quy t tr n v n bài toán, ngư i ta c n

1. Lý do ch n ñ tài

ph i ñưa vào lý thuy t trư ng các l p và lý thuy t hàm modular. Tuy

H u h t các giáo trình đ u tiên trong lý thuy t s ho c trong

nhiên, l i gi i t ng quát ch là các tiêu chu n lý thuy t. Các khía c nh

đ i s tr u tư ng đ u có ch ng minh m t đ nh lý c a Fermat phát

thu t tốn c a nó cho ñ n nay v n chưa ñ y ñ . V n ñ này hi n v n

bi u ñ i v i m t s nguyên t l p, ñư c mang tên là Đ nh lý Fermat

ñư c nhi u nhà toán h c quan tâm, ch ng h n David A. Cox, Marios

v t ng c a hai s chính phương

Magioladitis, ...

p=x2+y2, x, y∈Z ⇔ p≡1 mod 4.

Xu t phát t nhu c u phát tri n và tính th i s c a vi c nghiên

Đây là ñ nh lý ñ u tiên trong nhi u k t qu liên quan trong các

c u các s ngun t d ng p=x2+ny2, chúng tơi quy t đ nh ch n đ

cơng trình c a Fermat. Ch ng h n, Fermat cũng phát bi u r ng n u p

tài v i tên g i: D ng toàn phương và lý thuy t gi ng trong nghiên

là m t s nguyên t l thì

c u các s nguyên t d ng x2+ny2 ñ ti n hành nghiên c u. Chúng
tơi hy v ng t o đư c m t tài li u tham kh o t t cho nh ng ngư i

p=x2+2y2, x, y∈Z ⇔ p≡1, 3 mod 8

mu n tìm hi u v d ng tồn phương hai bi n nguyên, lý thuy t h p

p=x2+3y2, x, y∈Z ⇔ p=3 ho c p≡1 mod 3.

thành trong d ng toàn phương, lý thuy t gi ng và ng d ng chúng

Các ñi u này làm cho ngư i ta mong mu n ñư c bi t r ng
ñi u gì x y ra cho các s nguyên t d ng x2+4y2, x2+5y2, x2+6y2, ...
Chúng d n ñ n câu h i cơ b n sau ñây c a Euler:

2. M c tiêu nghiên c u
M c tiêu c a ñ tài nh m t ng quan các k t qu c a các tác

V n ñ cơ b n 0.1. Cho m t s nguyên dương n, s nguyên t
2

trong lý thuy t s .

2

gi ñã nghiên c u liên quan đ n d ng tồn phương và lý thuy t gi ng

p nào có th đư c bi u di n dư i d ng p=x +ny , trong đó x và y là

trong nghiên c u các s nguyên t d ng x2+ny2 nh m xây d ng m t

các s nguyên?

tài li u tham kh o cho nh ng ai mu n nghiên c u v d ng tồn

Bư c đ u tiên đưa vào tính tương h b c hai và lý thuy t sơ
c p v d ng toàn phương theo hai bi n trên Z. Các phương pháp này
gi i quy t t t ñ p các trư ng h p ñ c bi t ñư c xét

trên b i Fermat.

S d ng lý thuy t h p thành trong d ng toàn phương và lý thuy t

phương hai bi n nguyên, lý thuy t h p thành trong d ng toàn
phương, lý thuy t gi ng và ng d ng chúng trong lý thuy t s .


-5-

-6-

Ch ng minh chi ti t và làm rõ m t s m nh ñ , cũng như ñưa
ra m t s ví d minh ho đ c s c nh m làm cho ngư i ñ c d dàng
ti p c n v n ñ ñư c ñ c p.

CHƯƠNG 1
TÍNH TƯƠNG H

B C HAI FERMAT VÀ EULER

Trong ph n này, chúng ta s bàn v các s nguyên t có d ng

3. Đ i tư ng, ph m vi nghiên c u

x 2 + ny 2 , trong ñó n là m t s nguyên dương c ñ nh. Đi m xu t

Đ

tài nh m t ng quan các k t qu

c a Fermat, Euler,

Lagrange, Legend, Gauss, … trong vi c nghiên c u V n ñ cơ b n

phát c a chúng ta s là ba ñ nh lý c a Fermat:

0.1 c a Euler.

p = x2 + y2, x, y ∈ Z

⇔

p ≡ 1 mod 4

4. Phương pháp nghiên c u

p = x2 + 2y2, x, y ∈ Z

⇔

p ≡ 1 ho c 3 mod 8 (1.1)

p = x2 + 3y2, x, y ∈ Z

⇔

p = 3 ho c p ≡ 1 mod 3

Thu th p các bài báo khoa h c c a các tác gi nghiên c u
liên quan đ n d ng tồn phương hai bi n nguyên, lý thuy t h p thành

ñư c ñ c p trong ph n M ñ u. Các m c tiêu c a Chương 1 là

trong d ng toàn phương, lý thuy t gi ng, lý thuy t s ñ i s và ng

ch ng minh (1.1) và quan tr ng hơn, đ có đư c s hi u bi t v

d ng chúng ñ gi i quy t V n ñ cơ b n 0.1.

nh ng gì liên quan đ n vi c nghiên c u các phương trình

Tham gia các bu i seminar h ng tu n ñ trao ñ i các k t qu
ñang nghiên c u.

p = x 2 + ny2 , n > 0 tùy ý. Câu h i cu i cùng này ñã ñư c tr l i t t

nh t b i Euler, ngư i ñã tr i qua 40 năm ch ng minh ñ nh lý Fermat

5. B c c ñ tài.

và suy nghĩ cách khái quát chúng. Gi i trình c a chúng ta s d a vào

Ngồi ph n m đ u và k t lu n lu n văn g m 4 chương:

m t vài bài báo liên quan c a Euler, v a trong các đ nh lý đư c

Chương 1: Tính tương h b c hai Fermat và Euler

ch ng minh v a qua. Chúng ta s th y r ng chi n lư c c a Euler cho

Chương 2: D ng toàn phương Lagrange và Legend

vi c ch ng minh minh h a (1.1) là m t trong nh ng ñi u chính đã

Chương 3: H p thành và lý thuy t gi ng Gauss

d n ơng đ n khám phá tính tương h b c hai và chúng ta cũng s bàn

Chương 4: Tính tương h b c ba và trùng phương

v m t s d đốn c a ơng liên quan ñ n p = x 2 + ny2 cho n > 3 . Các
d đốn đáng chú ý này liên quan đ n tính tương h b c hai, lý
thuy t gi ng, tương h b c hai và song b c hai.


-7-

1.1.

FERMAT VÀ CÁC S

x + 2y , VÀ x + 3y
2

2

2

NGUN T

-8-

CĨ D NG x + y ,
2

2

B đ 1.4. Gi s r ng N là m t t ng c a hai bình phương s nguyên
t cùng nhau và q = x 2 + y 2 là m t ư c s ngun t c a N. Khi

2

đó N / q cũng là m t t ng c a hai bình phương nguyên t cùng nhau.
Fermat phát bi u các k t qu dư i d ng các ñ nh lý:
M i s nguyên t l n hơn b i c a 4 m t ñơn v ñư c phân

2
2
1.3. p = x + ny VÀ TƯƠNG H

B C HAI

tích thành t ng c a hai bình phương. Ví d như 5, 13, 17, 29, 37,

B ñ 1.7. Cho n là m t s nguyên khác không, và v i p là m t s

41...

nguyên
M i s nguyên t l n hơn b i c a 3 m t đơn v đư c phân

t

l

khơng

chia

h t

n.

Khi

đó:

 −n 
p| x 2 + ny 2 , UCLN ( x , y ) = 1 ⇔ 
 =1
 p 

tích thành t ng c a m t bình phương và ba l n m t bình phương
D đốn 1.9. N u p và q là s nguyên t l phân bi t thì

khác. Ví d như 7, 13, 19, 31, 37, 43, ..
M i s nguyên t l n hơn b i c a 8 m t ho c ba ñơn v ñư c
phân tích thành t ng c a m t bình phương và hai l n m t bình

 p
2
  = 1 ⇔ p = ± β mod 4q v i β m t s ngun l nào đó.
q


M nh ñ 1.10. N u p và q là s nguyên t l khác nhau d đốn 1.9

phương khác. Ví d 3, 11, 17, 19, 41, 43, ..

là tương ñương v i:

Fermat phát bi u d đốn v x 2 + 5y2 :
N u hai s nguyên t , k t thúc là 3 ho c 7 và l n hơn b i c a

 p  q 
( p −1)( q −1) / 4
    = ( −1)
q  p 


4 ba đơn v , thì tích c a hai s đó s đư c phân tích thành t ng c a
B ñ 1.14. N u D ≡ 0,1 mod 4 là m t s nguyên khác không thì có

m t bình phương và năm l n m t bình phương khác.
1.2.

EULER VÀ CÁC S

x + 2y , VÀ x + 3y
2

2

2

NGUYÊN T

CÓ D NG x + y ,
2

2

m t ñ ng c u duy nh t χ : ( Z / DZ ) * → {± 1} sao cho χ ([P])=(D
/ p) ñ i v i p nguyên t l không chia D. Hơn n a,

2

Đ nh lý 1.2. M t s nguyên t l p có th phân tích thành x 2 + y2 khi
và ch khi p ≡ 1 mod 4.

 1 khi D >0
-1 khi D < 0

χ ( [ −1]) = 


-9-

H

qu

1.19. Cho n là m t s

- 10 -

nguyên khác không và cho

χ : ( Z / 4nZ )* → {± 1} là m t ñ ng c u t B ñ 1.14 khi D =-4n. N u

CHƯƠNG 2
LAGRANGE, LEGENDRE VÀ D NG TOÀN PHƯƠNG

p là m t nguyên t l , khơng chia h t n thì các đi u sau là tương
Vi c nghiên c u d ng tồn phương ngun hai bi n

đương:
(i)

p | x2 + ny2, ƯCLN (x, y) = 1.

(ii)

(-n / p) = 1.

(iii)

a, b, c ∈ Z

B t ñ u v i Lagrange, ngư i ñã ñưa ra các khái ni m bi t s , d ng

[ p ]∈ Ker ( χ ) ⊂ ( Z / 4nZ ) *.

1.4. NGOÀI TƯƠNG H

f (x, y) = ax2 + bxy + cy2

B C HAI

tương ñương và d ng thu g n. Khi các ñ nh nghĩa này cùng v i khái
ni m c a Gauss v tương đương th c s , ta có t t c các y u t c n
thi t ñ phát tri n lý thuy t cơ b n v d ng tồn phương. Chúng ta s
quan tâm đ n trư ng h p ñ c bi t là d ng xác ñ nh dương.

Ph n này s bàn v m t s d đốn Euler liên quan đ n s
nguyên t có d ng x2 + ny2 v i n > 3.

ñây, lý

thuy t Lagrange v d ng thu g n ñ c bi t h u d ng, c th là ta s có
m t l i gi i ñ y ñ c a Bư c Giãm

Chương 1. L i gi i này cùng

v i l i gi i c a Bư c Tương h ñư c cho b i tương h b c hai ta s
có ngay ch ng minh c a ñ nh lý Fermat (1.1) và cũng như nhi u k t
qu m i. Khi đó, chúng ta s mơ t m t d ng sơ c p c a lý thuy t
gi ng theo Lagrange, và đ nh lí này cho phép ta ch ng minh m t s

d đốn c a Euler t Chương 1, và ñ ng th i giúp chúng ta ñưa ra l i
gi i cho v n ñ cơ b n p = x2 + ny2 . Ph n này s k t thúc v i m t s
nh n xét mang tính l ch s liên quan ñ n Lagrange và Legendre.
2.1 .CÁC D NG TOÀN PHƯƠNG
B ñ 2.3. M t d ng f (x, y) bi u di n th c s m t s nguyên m khi và
ch khi f ( x, y ) là tương ñương th c s v i d ng mx2 + bxy + cy2
v i b, c ∈ Z nào ñó


- 11 -

B ñ 2.5. Cho D ≡ 0,1 mod 4 là m t s nguyên và m là m t s
nguyên l và nguyên t cùng nhau v i D. Khi đó m đư c bi u di n
th c s b i m t d ng nguyên th y c a bi t th c D khi và ch khi D là
m t th ng dư b c hai modulo m.

- 12 -

2.3.LÝ THUY T GI NG SƠ C P.
B

ñ

ker ( χ ) ⊂

2.24. Cho m t s

nguyên âm

D ≡ 0,1 mod 4

v i

( Z / DZ ) * như trong Đ nh lý 2.16 và cho f (x, y) là m t

d ng có bi t th c D .
H qu 2.6. Cho n là m t s nguyên và p là m t s nguyên t l
khơng chia h t n. Khi đó (-n / p) = 1 khi và ch khi p ñư c bi u di n

(i) Các giá tr trong (Z / DZ)* ñư c bi u di n b i d ng chính có bi t

b i m t d ng ngun th y có bi t th c (-4n).

th c D t o thành m t nhóm con H ⊂ ker ( χ ) .

Đ nh lý 2.8. M i d ng xác ñ nh dương nguyên th y ñ u tương ñương

(ii) Các giá tr trong (Z / DZ)* ñư c bi u di n b i f (x, y) t o thành

th c s v i m t d ng thu g n duy nh t.

m t l p k c a H trong ker ( χ ) .

Đ nh lý 2.13. Gi s D < 0 ñư c c đ nh. Khi đó s h(D) các l p các

B ñ 2.25. Cho m t d ng f (x, y) và m t s ngun M. Khi đó f (x, y)

d ng xác ñ nh dương nguyên th y có bi t th c D là h u h n, hơn n a

ñư c bi u di n th c s cho các s nguyên t cùng nhau v i M.

h(D) b ng chính s d ng thu g n có bi t th c D.

Đ nh lý 2.26. Cho D ≡ 0,1 mod 4 là âm và cho H ⊂ Ker(χ ) như

2.2. p = x + ny VÀ CÁC D NG TỒN PHƯƠNG

trong B đ 2.24. N u H’ là m t l p k c a H trong Ker(χ ) và p là

M nh ñ 2.15. G i n là m t s nguyên dương và p là m t nguyên t

m t nguyên t l khơng chia h t D, thì [p] ∈ H khi và ch khi p đư c

l khơng chia h t n. Khi đó (-n / p) = 1 khi và ch khi p ñư c bi u

bi u di n b i m t d ng rút g n có bi t th c D trong gi ng c a H'.

di n b i m t trong h(-4n) d ng thu g n có bi t th c -4n.

H qu 2.27. Cho n là m t s nguyên dương và p là m t nguyên t l

Đ nh lí 2.16. Gi s D ≡ 0,1 mod 4 là âm và χ: (Z / DZ) * → {± 1}

không chia h t n. Khi đó p đư c bi u di n b i m t d ng có bi t th c -

là ñ ng c u theo B ñ 1.14. Khi đó v i m t s ngun t l p khơng

4n trong gi ng chính khi và ch khi v i s ngun β nào đó

2

2

chia h t D, [ p ] ∈ Ker( χ ) khi và ch khi p ñư c bi u di n b i m t
trong h(D) d ng thu g n có bi t th c D.
Đ nh lý 2.18. Cho n là m t s ngun dương. Khi đó
h (-4n) = 1 ⇔ n = 1, 2, 3, 4 ho c 7.

p ≡ β 2 ho c β 2 + n mod 4n

2.4.D NG TOÀN PHƯƠNG LAGRANGE VÀ LEGENDRE


- 13 -

- 14 -

B ≡ b mod 2a

CHƯƠNG 3

B ≡ b ' mod 2a '

PHÉP H P THÀNH VÀ LÝ THUY T GI NG GAUSS
Trong khi lý thuy t v gi ng và phép h p thành còn n trong
các nghiên c u c a Lagrange thì các khái ni m này v n liên quan ch
y u ñ n Gauss vì m t lý do chính: ơng khơng ph i là ngư i ñ u tiên

B 2 ≡ D mod 4aa’

B

đ

3.5.

Cho

k t qu chính c a Gauss v phép h p thành và lý thuy t gi ng cho

pi B ≡ qi mod m,

các

s

mà

i = 1,....r

có m t nghi m duy nh t modulop m khi và ch khi ∀ i, j= 1,.....,r ,
chúng ta có

trư ng h p ñ c bi t c a các d ng xác đ nh dương. Khi đó, chúng ta
s

là

UCLN ( p1 ,....., p r , m ) = 1 . Khi đó, các đ ng dư

s d ng chúng, nhưng ơng là ngư i ñ u tiên hi u cái sâu xa và m i
liên h ñáng ng c nhiên. Trong ph n này, chúng ta s ch ng minh các

p1 , q1 ,....., p r , q r , m

p j q j = p j q j mod m

ng d ng lý thuy t này cho v n ñ c a chúng ta liên quan ñ n các

nguyên t c a d ng x2 + ny2, và chúng ta cũng bàn ñ n các s thu n

M nh ñ 3.8. Cho f(x,y) và g(x,y) như trên, phép h p thành Dirichlet

l i c a Euler. Nh ng ñi u này ñưa ra ñ ñư c các s n mà ñ i v i

F(x,y) ñư c ñ nh nghĩa

chúng m i gi ng ch a 1 l p duy nh t và ta v n chưa bi t chính xác

th y có bi t th c D và F(x,y) là m t h p thành tr c ti p c a f(x,y) và

có bao nhiêu s n. Cu i ph n này là nh ng th o lu n v b n nghiên

g(x,y) theo nghĩa c a (3.1)

c u v s h c c a Gauss.

Đ nh lý 3.9. Cho D ≡ 0,1 mod 4 là s âm và C(D) là t p h p các l p

3.1.PHÉP H P THÀNH VÀ NHĨM l P

B

đ

3.2.

g ( x, y ) = a’x 2 + b’xy + c’y 2

các d ng xác ñ nh dương nguyên th y có bi t th c D. Khi đó h p

s

Gi
có

f ( x, y ) = ax 2 + bxy + cy 2 và

bi t

th c

D

và

th a

UCLN ( a, a’, ( b + b’) / 2 ) = 1 (vì b và b’ có cùng tính ch n l , (b +

b’)/2 là m t s

ngun). Khi đó có duy nh t s

modulo 2aa’ sao cho

(3.7) là m t d ng xác ñ nh dương nguyên

nguyên B

thành Dirichlet c m sinh m t phép toán hai ngơi xác đ nh t t trên
C(D) mà làm cho C(D) thành m t nhóm Abelian h u h n mà c p c a
nó là s l p h(D).
B ñ 3.10. M t d ng thu g n f(x,y) = ax2 + bxy+ cy2 có bi t th c D
có c p ≤ 2 trong nhóm l p C(D) khi và ch khi b = 0, a = b ho c a =
c.


- 15 -

- 16 -

(i) Có 2µ-1 gi ng c a các d ng có bi t th c D, v i µ là s

M nh đ 3.11. Cho D ≡ 0, 1 mod 4 là s âm và r là s các s nguyên
t l chia h t D. Đ nh nghĩa s µ như sau: n u D ≡ 1 mod 4 thì µ = r

đư c xác ñ nh

và n u D ≡ 0 mod 4 thì D = -4n v i n > 0 và µ ñư c xác ñ nh theo
b ng sau:

M nh ñ 3.11.

(ii) Gi ng chính (gi ng ch a d ng chính) ch a các l p trong
2

C(D) , nhóm con các bình phương trong nhóm l p C(D). Vì v y m i
n

µ

d ng trong gi ng chính xu t hi n b ng s l p l i.
B ñ 3.17. Đ ng c u Ψ : ( Z / DZ ) * → {±1} c a (3.16) là toàn ánh
µ

n ≡ 3 mod 4

r

và h t nhân c a nó là nhóm con H các giá tr đư c bi u di n b i
n ≡ 1,2 mod 4

r+1

n ≡ 4 mod 8

r+1

n ≡ 0 mod 8

r+2

d ng chính. Vì v y Ψ c m sinh m t đ ng c u:
(Z/DZ)*/H → {±1}µ
B đ 3.20. Đ c trưng ñ y ñ ch ph thu c vào d ng f(x,y) và hai
d ng có bi t th c D n m trong cùng m t gi ng (như ñ nh nghĩa

Khi đó nhóm l p C(D) có đúng 2µ-1 ph n t c p ≤ 2.

Chương 2) khi và ch khi chúng có cùng đ c trưng đ y ñ .

3.2.LÝ THUY T GI NG

Đ nh lí 3.21. Cho f(x,y) và g(x,y) là các d ng nguyên th y có bi t

B đ 3.13. Ánh x Φ bi n m t l p trong C(D) thành l p k các giá
tr ñư c bi u di n trong ker(χ)/H là m t đ ng c u nhóm.
H qu 3.14. Cho D≡ 0,1 mod 4 là s âm. Khi đó :

th c D ≠ 0, xác ñ nh dương n u D < 0. Khi đó, các phát bi u sau là
tương ñương:
(i)

f(x,y) và g(x,y) thu c cùng m t gi ng, t c là chúng

bi u di n các giá tr như nhau trong (Z/DZ)*.
(i)

T t c các gi ng c a các d ng có bi t th c D ch a cùng
s các l p.

(ii)

f(x,y) và g(x,y) bi u di n các giá tr như nhau trong

(Z/mZ)* v i m i các s nguyên khác không m.
(ii)

S gi ng c a các d ng có bi t th c D là m t lũy th a 2.
(iii)

Đ nh lí 3.15. Cho D ≡ 0,1 mod 4 là s âm, khi đó:

f(x,y) và g(x,y) là tương đương modulo m v i m i s

nguyên khác không m.


- 17 -

(iv)

f(x,y) và g(x,y) là tương ñương trên các s nguyên p-

adic Zp v i m i s nguyên t p.
(v)

- 18 -

M nh ñ 3.24. M t s nguyên dương n là m t s thu n l i khi và ch

f(x,y) và g(x,y) là tương ñương trên Q qua m t ma

trân trong GL (2, Q) mà các ph n t c a nó có m u nguyên t v i
2D.

khi v i các d ng có bi t th c -4n, m i gi ng ñ u ch a m t l p ñơn.
B ñ 3.25. Cho m là m t s dương l nguyên t cùng nhau v i n >
1. Khi đó, s cách mà m ñư c bi u di n th c s b i m t d ng thu g n

(vi)

f(x,y) và g(x,y) là tương đương trên Q khơng c n tính

ch t m u s , t c là m t s m khác không cho trư c, m t ma tr n
trong GL (2,Q) có th đư c tìm th y b ng cách bi n m t d ng thành

có bi t th c -4n là:
  −n  
2∏ 1 +   .
p/ m 
 p 

m t d ng khác và các ph n t c a nó có m u s nguyên t v i m.
3.3. p

= x 2 + ny 2

H qu 3.26. Cho m ñư c bi u di n th c s b i m t d ng xác ñ nh
VÀ CÁC S

THU N L I EULER

dương nguyên th y f(x,y) có bi t th c -4n, n>1, và gi s m là m t s

Đ nh lý 3.22. Cho n là m t s ngun dương. Khi đó các phát bi u

l , nguyên t cùng nhau v i n. N u r ký hi u cho s các ư c ngun

sau là tương đương:

t c a m thì m ñư c bi u di n th c s b ng ñúng 2r+1 cách b i m t

M i gi ng các d ng có bi t th c -4n ch a mơt l p đơn.
N u ax2+ bxy+ cy2 là m t d ng thu g n có bi t th c -4n thì
ho c b = 0, a = b ho c a = c.
(i)

Hai d ng có bi t th c -4n là tương ñương khi và ch khi
chúng tương đương th c s .

(ii)

Nhóm l p C (-4n) ñ ng c u v i (Z/DZ)m v i s ngun m
nào đó.

(iii)

S l p h (-4n) b ng 2µ-1 , v i µ đư c xác đ nh như
M nh ñ 3.11.

d ng thu g n trong gi ng c a f(x,y).


- 19 -

CHƯƠNG 4
TƯƠNG H

- 20 -

H qu 4.4. Z[ω] là m t PID (mi n ideal chính) đ ng th i là m t

B C BA VÀ TRÙNG PHƯƠNG

Trong chương này chúng ta s nghiên c u tương h b c ba
và trùng phương và dùng chúng ñ ch ng minh nh ng d đốn c a
Euler cho p = x 2 + 27y 2 và p = x2 +64y2 (xem (1.22) và (1.23). M t
ñi u thú v c a lý thuy t tương h

này là m i tương h địi h i chúng

ta m r ng khái ni m s nguyên: ñ i v i tương h b c 3 chúng ta

UFD (mi n nhân t hóa duy nh t).
B ñ 4.5.
(i) M t ph n t α ∈ Z[ω] là m t ph n t kh ngh ch khi và ch
khi N (α ) = 1 .
(ii) Các ph n t kh ngh ch c a Z[ω] là Z [ω ]* = {±1, ±ω , ±ω 2 }
Bư c ti p theo là mô t các nguyên t c a Z[ω]. B ñ sau s ñư c

dùng vành:
Z[ω] = {a + bω: a,b ∈ Z }, ω = e 2πi/3 = (-1+ −3 )/ 2

ng d ng hi u qu .
(4.1)

và ñ i v i tương h trùng phương chúng ta s dùng s nguyên Gauss:
Z[i] = {a + bi: a,b∈ Z}, i = −1

(4.2)

C Z[ω] và Z[i] ñ u là vành con c a vành s ph c.
Vi c ñ u tiên c a chúng ta là mơ t các tính ch t s h c c a các vành

B ñ 4.6. N u α ∈ Z [ω ] và N (α ) là m t nguyên t trong Z thì α là
nguyên t trong Z (ω ) .
M nh ñ 4.7. Cho p là m t s ngun t trong Z. Khi đó:
N u p = 3 thì 1 = ω là nguyên t

(i)
3 = −ω

2

trong Z[ω] và

(1− ω ) 2 .

này và xác ñ nh ñơn v cũng như nguyên t c a các vành. Khi đó

chúng ta đ nh nghĩa các kí hi u Legendre suy r ng (α/π)3 và (α/π)4 và
phát bi u các lu t tương h b c ba và trùng phương. Cu i chương
này ta s bàn v thành qu c a Gauss v tương h và ñưa ra nh n xét

(ii)

N u p ≡ 1 mod 3 thì t n t i s nguyên t

π ∈ Z [ω ] sao

cho p = π π , và các nguyên t π và π là không k t h p trong Z[ω].
(iii)

N u p ≡ 2 mod 3 thì p v n là nguyên t trong Z[ω].

v ngu n g c c a lý thuy t trư ng l p.
4.1. Z [ω ] VÀ TƯƠNG H

Hơn n a, m i nguyên t trong Z[ω] là k t h p v i m t trong s các
B C BA

M nh ñ 4.3. Cho α, β∈ Z[ω], β ≠ 0 t n t i γ, δ∈ Z[ω] sao cho α = γ
β + δ và N(δ) < N(β). Khi đó Z[ω] là m t vành Euclide.

nguyên t ñư c ñưa ra trong (i)-(iii)

trên.


- 21 -

- 22 -

B ñ 4.8 . N u π là m t nguyên t c a Z[ω], khi ñó trư ng thương

N u p ≡ 1 mod 4 thì có m t ngun t π ∈ Z[i] sao cho

(ii)

Z[ω]/πZ[ω] là m t trư ng h u h n v i N(π) ph n t . Hơn n a, N(π)

p = π π và các nguyên t π và

= p ho c p2 v i p nguyên t nguyên nào đó và:

π khơng liên k t trong

Z[i].
(i)

N u p = 3 ho c

p ≡1 mod 3

thì N(π)= p và

(ii)

N u p ≡ 3 mod 4 thì p cịn là nguyên t trong Z[i].

(iii)

Z / pZ Z [ω ] / π Z [ω ] .

N u p ≡ 2 mod 3 thì N(π) = p2 và Z/pZ là trư ng con

Hơn n a m i nguyên t trong Z[i] liên k t v i m t trong các nguyên
t ñã ch ra

(i)-(iii).

duy nh t c p p c a trư ng Z[ω]/πZ[ω] có p2 ph n t .
Chúng ta cũng có phiên b n sau c a đ nh lý Fermat Nh : N u π là
H qu 4.9. N u π là nguyên t

trong Z[ω] và không chia h t

α ∈ Z [ω ] thì

nguyên t trong Z[i] và khơng chia h t α ∈ Z[i] thì:
αN(π)-1 ≡ 1 mod π

α N (π ) −1 ≡ 1mod π .

Đ nh lý 4.21. N u π và θ là các nguyên t nguyên sơ phân bi t trong

Đ nh lý 4.12. N u π và θ là các nguyên sơ trong Z[ω] c a chu n

Z[i], thì:

 θ  π 
  = 
 π 3  θ 3

không b ng thì:

( N(θ ) −1)( N(π ) −1) /16
θ  π 
  =   ( −1)
 π  4  θ 4

Đ nh lí 4.15 . Cho p là m t ngun t . Khi đó p= x2 +27y2 khi và ch
khi p ≡1 mod 3 và 2 là m t th ng dư b c ba modulo p.
4.2. Z [ i ] VÀ TƯƠNG H

(4.19)

Đ nh lí 4.23.
(i) N u π = a+bi là m t nguyên t nguyên sơ trong Z[i] thì
2
ab / 2
  = i .
 π 4

TRÙNG PHƯƠNG

M nh ñ 4.18. Cho p là m t ngun t trong Z. Khi đó:
(ii)
(i)

N u p = 2 thì 1 + i là nguyên t
và 2 = i (1 + i ) .
3

trong Z[i]

N u p là nguyên t

thì p=x2+64y2

khi và ch khi

p ≡ 1 mod 4 và 2 là th ng dư trùng phương modulo p.

2

4.3.TƯƠNG H

GAUSS VÀ B C CAO.


- 23 -

K T LU N
Qua m t th i gian tìm hi u, ti p c n và nghiên c u v d ng
toàn phương và lý thuy t gi ng trong nghiên c u các s nguyên t
d ng x2 + ny2, lu n văn đã hồn thành và ñ t ñư c m c tiêu nghiên
c u c a ñ tài v i nh ng k t qu c th sau:
T ng quan và h th ng m t cách ñ y ñ các khái ni m và
k t qu v tương h b c hai c a Fermat và Lagrange liên quan ñ n s

nguyên t d ng x + ny .
2

2

Trình bày m t cách ñ y ñ và chi ti t các khái ni m và k t
qu quan tr ng v d ng toàn phương Lagrange, Legendre và lý thuy t
gi ng sơ c p liên quan ñ n s nguyên t d ng x2 + ny2.
Tìm hi u và nghiên c u lu t h p thành và lý thuy t gi ng
m r ng c a Gauss liên quan ñ n s nguyên t d ng x2 + ny2 và các
s thu n l i Euler.
T ng quan v tương h b c ba và tương h trùng phương
xét trong các mi n Euclid Ζ(i ) và Ζ(ω ) , ñ ng th i tìm hi u v tương
h Gauss và tương h b c cao.
V i nh ng gì đã kh o sát ñư c, lu n văn s là m t tài li u tham
kh o h u ích cho b n thân khi ti p t c ñi sâu nghiên c u sau này và
hy v ng cũng là ngu n tư li u t t cho nh ng ai quan tâm nghiên c u
v d ng toàn phương, lý thuy t gi ng và các s nguyên t d ng x2 +
ny2.

- 24 -

Trong ñi u ki n th i gian và khuôn kh c a lu n văn nên chúng
tơi chưa đi sâu nghiên c u v

ng d ng c a lý thuy t trư ng l p

trong vi c tìm hi u các s nguyên t d ng x2 + ny2. Đó như là hư ng
phát tri n c a lu n văn. Trong quá trình làm lu n văn, m c dù đã có
r t nhi u c g ng song do ñi u ki n khách quan và năng l c có h n

c a b n thân nên lu n văn khó tránh kh i nh ng thi u sót, tác gi r t
mong nh n đư c nh ng góp ý chân thành c a quý th y cô và b n đ c
đ có th ti p t c tìm hi u, nghiên c u và phát tri n lu n văn sau này.