CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH tế giáo trình cho ngành tin học và công nghệ thông tin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðAỊ HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
PGS. TS. NGUYỄN HẢI THANH

CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ
Giáo trình cho ngành Tin học và Cơng nghệ thơng tin

HÀ NỘI, 2008


MỤC LỤC
Trang
LỚI NÓI ðẦU

7

CHƯƠNG I. MỞ ðẦU

11

1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ TRONG KINH TẾ TOÁN

11

1.1. Khái niệm về kinh tế toán

11

1.2. Phân loại các phương pháp toán kinh tế

12

1.3. So sánh kinh tế toán với kinh tế lượng

13

2. CÁC YẾU TỐ CỦA MƠ HÌNH KINH TẾ TỐN

14

2.1. Khái niệm về mơ hình kinh tế

14

2.2. Biến, hằng số và tham số

15

2.3. Các loại phương trình

16

CHƯƠNG II. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH

18

1. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TRONG KINH TẾ

18

1.1. Khái niệm về trạng thái cân bằng

18

1.2. Một số ví dụ về phân tích cân bằng tĩnh

19

2. CÁC MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH
CÂN BẰNG TĨNH

21

2.1. Mơ hình cân bằng thị trường tổng qt

21

2.2. Mơ hình thu nhập quốc dân

23

2.3. Mơ hình đầu vào – đầu ra Leontief

25

BÀI TẬP CHƯƠNG II

30

CHƯƠNG III. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH

34

1. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH TRONG KINH TẾ

34

1.1. Khái niệm phân tích so sánh tĩnh

34

1.2. ðạo hàm và tốc ñộ biến thiên của các biến kinh tế

35

1.3. Phân tích so sánh tĩnh mơ hình thị trường riêng

38

1.4. Phân tích so sánh tĩnh mơ hình thu nhập quốc dân

39

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..2


1.5. Phân tích so sánh tĩnh mơ hình cân đối liên ngành
2. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH CHO MƠ HÌNH KINH TẾ
TỔNG QUÁT

40

42

2.1. Hệ số co giãn

42

2.2. Một số ví dụ tìm vi phân tồn phần và đạo hàm hàm ẩn

44

2.3. Mơ hình thị trường tổng qt

47

2.4. Mơ hình thu nhập quốc dân tổng quát

54

2.5. Một số ñiểm hạn chế của phân tích so sánh tĩnh

57

BÀI TẬP CHƯƠNG III

58

CHƯƠNG IV. MỘT SỐ MƠ HÌNH TỐI ƯU TRONG KINH TẾ

61

1. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THƠNG QUA MƠ HÌNH
TỐI ƯU KHƠNG RÀNG BUỘC

61

1.1. Mơ hình tối ưu một biến khơng ràng buộc

61

1.2. Hàm tăng trưởng và tốc ñộ tăng trưởng của biến kinh tế

65

1.3. Phân tích cân bằng thơng qua mơ hình tối ưu nhiều biến
khơng ràng buộc

68

2. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THƠNG QUA MƠ HÌNH
TỐI ƯU CĨ RÀNG BUỘC

79

2.1. Phương pháp nhân tử Lagrange

79

2.2. ðiều kiện ñạt tới trạng thái cân bằng

83

2.3. Cực đại hố hàm thoả dụng của người tiêu dùng

85

3. HÀM SẢN XUẤT VÀ VẤN ðỀ PHÂN BỔ ðẦU VÀO TỐI ƯU

89

3.1. Các tính chất của hàm đẳng cấp

89

3.2. Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas

92

3.3. Xác ñịnh các tổ hợp đầu vào với chi phí tối thiểu

96

3.4. Hàm sản xuất dạng CES

100

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

104

CHƯƠNG V. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG

107

1. KHÁI NIỆM PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG

107

1.1. Một số định nghĩa

107

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..3


1.2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình
vi phân
2. MƠ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DOMAR

108
112

2.1. Phát biểu mơ hình

112

2.2. Tìm đường cân bằng bền cho mơ hình tăng trưởng Domar

113

3. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG ðỐI VỚI GIÁ CẢ THỊ TRƯỜNG

114

3.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp một

114

3.2. Phát biểu mơ hình cân bằng động

115

3.3. Khảo sát tính ổn định động của mức giá cân bằng

117

4. MƠ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW

118

4.1. Bổ sung thêm về phương trình vi phân cấp một

118

4.2. Tiếp cận định tính giải phương trình vi phân phi tuyến cấp một

122

4.3. Phát biểu mơ hình tăng trưởng Solow

126

4.4. Phân tích định tính trên biểu đồ pha

127

4.5. Phân tích định lượng

129

5. MƠ HÌNHTHỊ TRƯỜNG VỚI KỲ VỌNGGIÁ ðƯỢC DỰ BÁOTRƯỚC

129

5.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
với hệ số hằng

129

5.2. Phát biểu mơ hình

133

5.3. Xác định ñường biến ñộng giá và ñiều kiện ổn ñịnh ñộng

134

6. MƠ HÌNH KINH TẾ VĨ MƠ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤTNGHIỆP

139

6.1. Phát biểu mơ hình
6.2. Khảo sát đường biến động lạm phát, giá cả và thất nghiệp

139
140

BÀITẬPCHƯƠNG V

143

CHƯƠNG VI. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
TRONG PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG

147

1. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

147

1.1. Khái niệm về phương trình sai phân

147

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một

148

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..4

1.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

150

1.4. Khảo sát tính ổn định của nghiệm của các phương trình
sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai

152

2. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH
KINH TẾ

154

2.1. Mơ hình Cobweb cân bằng cung cầu

154

2.2. Mơ hình thị trường có hàng tồn kho

155

2.3. Mơ hình thị trường với giá trần

156

3. MƠ HÌNH THU NHẬP QUỐC DÂN VỚI NHÂN TỬ TĂNG TỐC
SAMUELSON

159

3.1. Phát biểu mơ hình

159

3.2. Khảo sát tính ổn định động của mơ hình

160

4. MƠ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤT NGHIỆP
VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

163

4.1. Phát biểu mơ hình

163

4.2. Phân tích các đường biến ñộng của giá cả và lạm phát

164

5. ÁP DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG
PHÂN TÍCH KINH TẾ

166

5.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

166

5.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một

169

5.3. Mơ hình cân đối liên ngành động

171

5.4. Mơ hình tương tác lạm phát và thất nghiệp

176

5.5. Biểu ñồ pha hai biến và ứng dụng

179

BÀI TẬP CHƯƠNG VI

185

TÀI LIỆU THAM KHẢO

189

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..5


LỜI NĨI ðẦU
Những vấn đề kinh tế trong các hoạt ñộng kinh tế thường rất ña

dạng và phức tạp. Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho
việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn ñề như vậy một cách
chặt chẽ và hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực. Việc biết cách mơ tả
các vấn đề kinh tế dưới dạng mơ hình tốn học thích hợp, vận dụng các
phương pháp tốn học để giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng
như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic ln là một yêu
cầu cấp thiết ñối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích
kinh tế. Trong các thập kỉ gần ñây, nhiều giải Nobel kinh tế ñược trao
cho các cơng trình có vận dụng một cách mạnh mẽ các lí thuyết và
phương pháp tốn học như tối ưu hóa, lí thuyết trị chơi, hệ phương
trình vi phân và sai phân, lí thuyết xác suất và thống kê. Nhà kinh tế
học người Na Uy Trygve Haavelmo, trong lễ nhận giải thưởng Nobel
kinh tế năm 1989, ñã từng phát biểu: “Nếu khơng có tốn học kinh tế
làm trung tâm cho các nghiên cứu kinh tế học, môn khoa học kinh tế có
thể vẫn chưa vượt quá giới hạn những bài nói chuyện chung chung
chẳng có kết quả thực sự hữu ích nào”.
Hiện nay, các mơn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế – quản lí
nói chung và các phương pháp toán học áp dụng trong phân tích kinh tế
nói riêng được đưa vào giảng dạy trong nhiều chương trình đào tạo đại
học trong và ngồi nước. ðối với sinh viên các ngành Tin học, Công
nghệ thông tin và Toán – Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế – quản
lí là thực sự cần thiết cho các cương vị làm việc sau này, ñặc biệt là
cương vị CIO (Chief Information Officer – Giám đốc Thơng tin). Trong
chương trình đào tạo ngành Tin học của Khoa Công nghệ thông tin,
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức trên bao gồm Tối
ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Vận trù học và Các phương pháp
tốn kinh tế. Giáo trình “Các phương pháp tốn kinh tế” này với thời
lượng từ 45 tới 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu với mục ñích cung cấp cho
sinh viên năm thứ ba ngành Tin học một số kiến thức cơ bản về các
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..6

phương pháp tốn kinh tế (mathematical methods for economics) được
ứng dụng rộng rãi trong phân tích các mơ hình kinh tế (economic
models).
Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm được một số mơ hình kinh tế
cơ bản, biết cách vận dụng các phương pháp tốn kinh tế thích hợp để
phân tích các mơ hình đó, biết cách rút ra các kết luận phản ảnh bản
chất của vấn ñề kinh tế ñược xem xét. Từ ñó, sinh viên sẽ tiếp thu ñược
các vấn ñề kinh tế cơ bản làm cơ sở cho việc tiếp tục tự hoàn thiện các
kiến thức về kinh tế vi mơ cũng như vĩ mơ. Giáo trình cũng giúp cho sinh
viên ngành Tin học, Công nghệ Thông tin, Tốn – Tin ứng dụng có một
cách tiếp cận hệ thống để sau này có thể xây dựng các hệ thống xử lí
thơng tin và các phần mềm tính toán trong lĩnh vực Tin học kinh tế. Như
vậy, ưu tiên của giáo trình là tập trung trình bày một cách logic một số
phương pháp toán kinh tế cơ bản và các ứng dụng của chúng trong việc
phân tích các loại mơ hình kinh tế (các phương pháp khác được trình bày
trong các học phần cịn lại của khối kiến thức về kinh tế – quản lí thuộc
chương trình đào tạo như ñã ñề cập trên ñây). ðây là một vấn đề mới so
với các giáo trình về Tốn kinh tế ñã ñược biên soạn và giảng dạy tại
một số trường đại học trong nước.
Chương I của giáo trình giới thiệu tổng quan và ngắn gọn về lĩnh vực
Kinh tế toán (Mathematical Economics) và các phương pháp toán kinh tế
cơ bản thường ñược sử dụng trong lĩnh vực này, cũng như giới thiệu về
các yếu tố cơ bản của mô hình kinh tế tốn. Chương II đề cập tới khái
niệm phân tích cân bằng kinh tế bao gồm cân bằng tĩnh cũng như cân
bằng có mục đích và phương pháp đại số ma trận để phân tích một số mơ
hình cân bằng kinh tế như mơ hình thị trường, mơ hình thu nhập quốc dân
và mơ hình đầu vào – đầu ra Leontief (cịn gọi là mơ hình cân đối liên
ngành). Các phương pháp tốn kinh tế như phép tính ñạo hàm, cũng như

một trong các công cụ mạnh và đẹp của tốn học là ðịnh lí hàm ẩn được
vận dụng trong Chương III nhằm thực hiện việc phân tích so sánh tĩnh cho
các mơ hình thị trường, mơ hình cân đối liên ngành và mơ hình thu nhập
quốc dân tổng quát (bao gồm cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ).
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..7


Chương IV xem xét việc vận dụng một số phương pháp tốn tối ưu cơ bản
khơng ràng buộc và ràng buộc dạng đẳng thức để phân tích các mơ hình
tối ưu trong kinh tế, bao gồm các mơ hình thị trường độc quyền và phân
biệt giá cả, mơ hình cực đại hàm thỏa dụng của người tiêu dùng, các mơ
hình phân bổ ñầu vào tối ưu với các dạng hàm sản xuất hiệu suất khơng
đổi, Cobb – Douglas, CES (Hệ số co giãn thay thế khơng đổi). Các
phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vi phân cũng như sai
phân ñược nghiên cứu trong Chương V và Chương VI ñể thực hiện các
phân tích cân bằng ñộng trong các mơ hình kinh tế động như mơ hình tăng
trưởng Domar, mơ hình tăng trưởng Solow, mơ hình ổn định động của giá
cả thị trường khi khơng có hoặc có kỳ vọng giá được dự báo trước, mơ
hình cân bằng động lạm phát – giá cả – thất nghiệp, mơ hình thu nhập
quốc dân Samuelson, mơ hình cân đối liên ngành ñộng. Một số nội dung
của Chương V và Chương VI có thể được lược bớt tùy theo thời lượng mơn
học và trình độ tiếp thu của người học.
Khi biên soạn, chúng tơi ln có một nguyện vọng là làm sao việc
trình bày các phương pháp tốn kinh tế được đề cập tới trong giáo trình
phải cơ đọng và dễ hiểu, việc ứng dụng các phương pháp này trong phân
tích các dạng mơ hình kinh tế phải chặt chẽ và logic. Chính vì vậy, các
phương pháp tốn kinh tế ln được trình bày một cách cụ thể và tương
đối hồn chỉnh thơng qua các ví dụ tính tốn và các mơ hình kinh tế từ dễ
tới khó. Phần bài tập giúp sinh viên củng cố các kiến thức ñã học và thực
hành áp dụng các phương tốn học trong phân tích mơ hình kinh tế.

Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Alpha C. Chiang,
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book
Company, New York, 1984; Alpha C. Chiang – Kevin Wainwright,
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book
Company, New York, 2005; Michael W. Klein, Mathematical methods for
economics, Addison-Wesley Higher Education Group, 2002; Hồng ðình
Tuấn, Lí thuyết mơ hình tốn kinh tế (dành cho sinh viên ngành toán kinh
tế và tốn tài chính), Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 2003; Nguyễn Quang
Dong – Ngơ Văn Thứ – Hồng ðình Tuấn, Giáo trình mơ hình tốn kinh

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..8


tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), Nxb. Giáo dục, 2002; Tô Cẩm Tú,
Một số phương pháp tối ưu hóa trong kinh tế, Nxb. Khoa học và Kĩ thuật,
1997. Trong quá trình biên soạn giáo trình này, tác giả chủ yếu dựa vào
các tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh. Những sinh viên khá có thể tự học
sâu thêm bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt
trên Internet và viết các tiểu luận.
“Các phương pháp tốn kinh tế” là một mơn học về mặt lí thuyết
đang được tiếp tục phát triển, về mặt thực hành đang ngày càng có nhiều
ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực phân tích kinh tế, chắc
chắn sẽ gây cho người học nhiều hứng thú tìm tịi, sáng tạo. Khi đến
thăm Việt Nam, nhà tốn học và kinh tế học Robert Aumann, người nhận
giải thưởng Nobel kinh tế năm 2005 đã nói: “Có một cơng thức chung
trong các hoạt ñộng kinh tế là tất cả mọi người sẽ giàu có hơn nếu mỗi
người đều được làm việc theo khả năng và sự u thích của mình”.
Trong q trình biên soạn, tuy rất cố gắng, nhưng có lẽ tác giả
khơng tránh khỏi sai sót. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng
góp chỉnh sửa bản thảo bài giảng mơn học của các đồng nghiệp và sinh

viên ngành Tin học các khóa K47, K48, K49 và K50 của Trường ðại học
Nông nghiệp Hà Nội, và luôn mong tiếp tục nhận được nhiều góp ý của
các giảng viên và sinh viên, để cho giáo trình được hồn chỉnh hơn,
chính xác hơn và sinh động hơn.

Hà Nội, ngày 19 tháng 8 năm 2008
Tác giả

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..9


Chương I

MỞ ðẦU
1. Các phương pháp toán kinh tế trong kinh tế tốn
1.1. Khái niệm về kinh tế tốn
Khơng giống như tài chính cơng hay thương mại quốc tế, kinh tế tốn
(mathematical economics) khơng phải là lĩnh vực riêng biệt của kinh tế.
Có thể coi kinh tế tốn là một cách tiếp cận nhằm thực hiện các phân tích
kinh tế. Trong kinh tế toán, các nhà kinh tế sử dụng các kí hiệu tốn học
để phát biểu bài tốn và dựa vào các định lí tốn học để suy luận, áp dụng
và tiếp tục phát triển các phương pháp và kĩ thuật tốn học để mơ tả và
phân tích các vấn ñề kinh tế. Nhà kinh tế học người Mĩ Paul Samuelson
được coi là người đặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng
kinh tế toán.
Một số sách kinh tế học ñại cương hiện nay vẫn dùng các phương
pháp hình học trên mặt phẳng (hay khơng gian hai chiều) để minh họa
và rút ra các kết luận có tính chất lí thuyết. Trong khi đó, để nghiên cứu
các bài toán kinh tế với nhiều biến kinh tế cần phải có sự hiểu biết sâu
sắc về tốn học. Kinh tế tốn cho phép mơ tả các vấn đề kinh tế cần

khảo sát với các cơng cụ tốn học đa dạng như ñại số ma trận và
phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, phép tính đạo hàm và tích
phân, phương trình vi phân và sai phân, các phương pháp tối ưu hố, lí
thuyết trị chơi... Trong các phân tích kinh tế, vi mô cũng như vĩ mô,
các phương pháp tốn học này cịn được gọi là các phương pháp toán
kinh tế (mathematical methods for economics). Hiện nay các phương
pháp tốn kinh tế ngày càng được sử dụng rộng rãi với các kết quả nổi
bật được cơng bố trong các tài liệu chuyên khảo, các tạp chí chuyên
ngành kinh tế và các tạp chí liên ngành khác.
Cần nhấn mạnh rằng, dù có sử dụng các phương pháp tốn kinh tế
hay khơng, quy trình cơ bản của việc phân tích kinh tế vẫn là căn cứ vào
các giả thiết, các ñịnh ñề hay các nguyên lí ñể ñưa ra các kết luận hay các
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..10


định lí thơng qua một q trình suy luận hay lập luận. Nhưng khác với
các phân tích kinh tế định tính, trong kinh tế tốn các giả thiết cũng như
các kết luận được phát biểu bằng các kí hiệu tốn học cũng như các
phương trình tốn học. Hơn nữa, các suy luận hay lập luận ñược ñưa ra
dựa trên các định lí tốn học. ðiều này giúp cho q trình suy luận trở
nên thuận lợi và chặt chẽ hơn, cũng như giúp cho việc phát biểu các kết
luận trở nên chính xác hơn.
Tóm lại, các mặt mạnh của việc sử dụng kinh tế tốn trong các phân
tích kinh tế là:
– Cho phép sử dụng ngơn ngữ chính xác hơn.
– Cho phép sử dụng các định lí tốn học rất đa dạng nhằm gia tăng
tốc ñộ suy luận.
– Bắt buộc phải phát biểu các giả thiết một cách rõ ràng, không hàm
chứa ẩn ý, đa nghĩa, do đó tránh được các giả thiết khơng mong muốn có
thể phát sinh.

– Giúp xử lí các bài tốn kinh tế nhiều biến một cách hiệu quả trong
việc phân tích kinh tế vi mơ cũng như vĩ mơ.
Có thể có ý kiến (chẳng hạn ý kiến trước ñây của trường phái kinh tế
học Vienna, Áo) cho rằng: Kinh tế toán sử dụng các suy luận và các phân
tích có tính chủ quan và hình thức dựa vào các định lí và phương pháp
tốn học để đưa ra các kết luận nên ít có tính thực tiễn. Tuy nhiên, ý kiến
phê phán kiểu này không nên áp dụng ngay cả đối với các lí thuyết kinh
tế nói chung, chứ khơng chỉ đối với lí thuyết kinh tế tốn. Thật vậy, là sự
khái qt hóa của thế giới thực, mọi lí thuyết nói chung vẫn ln chỉ xét
tới một số yếu tố và mối liên quan bản chất nhất. Chẳng hạn, khơng thể
phê phán lí thuyết về lợi nhuận của cơng ty trong điều kiện cạnh tranh
hồn hảo hay khơng hồn hảo là khơng thực tiễn, dù lí thuyết này có
được đưa ra dựa trên các cơng cụ tốn học hay khơng.
1.2. Phân loại các phương pháp toán kinh tế
Việc phân loại các phương pháp toán kinh tế là khơng đơn giản và
thậm chí cịn chưa được thống nhất. Mục đích của giáo trình này, với
dung lượng thời gian từ 45 tới 60 tiết, là nhằm giới thiệu cho người học
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..11


làm quen với các phương pháp toán kinh tế cơ bản thường được áp dụng
trong kinh tế tốn trong khn khổ các cơng cụ tốn học đã nêu, bao gồm
đại số ma trận, phép tính đạo hàm và tích phân, một số phương pháp tối
ưu, phương trình vi phân và sai phân. Các công cụ sâu sắc và phức tạp
hơn của toán kinh tế như quy hoạch phi tuyến, quy hoạch đa mục tiêu,
quy hoạch động, phương trình tích phân, mơ phỏng ngẫu nhiên, phân tích
Markov, lí thuyết trị chơi, ... sẽ khơng được đề cập trong giáo trình này.
Cần chú ý rằng, tuy các phương pháp toán xác suất, tốn thống kê khi
áp dụng trong các phân tích kinh tế cũng được coi là các phương pháp tốn
kinh tế, nhưng trong giáo trình này chúng ta cũng khơng đề cập tới. Các

phương pháp này thường được trình bày chi tiết trong các môn học như
Kinh tế lượng (Econometrics), Vận trù học (Operations Research), hay
Các phương pháp ñịnh lượng trong quản lí – kinh doanh (Quantitative
Methods for Management and Business). Ngồi ra, do thời lượng mơn học,
giáo trình khơng giới thiệu các phương pháp giải tích ngẫu nhiên là cơ sở
cho mơn học Tài chính tốn (Mathematical Finance) có rất nhiều ứng
dụng trong phân tích tài chính. Khi nghiên cứu các phương pháp tốn kinh
tế được đề cập tới trong giáo trình, cần tập trung vào việc nên sử dụng
chúng như thế nào trong phân tích các vấn đề kinh tế, mà khơng nên q
chú trọng vào cơ sở tốn học của các phương pháp này.
1.3. So sánh kinh tế toán với kinh tế lượng
Thuật ngữ “kinh tế toán” và “kinh tế lượng” đơi khi được sử dụng
một cách nhầm lẫn. Thật ra, kinh tế tốn đi sâu vào phân tích các mơ
hình kinh tế, các lí thuyết kinh tế bằng cách sử dụng các cơng cụ tốn
học. Trong khi ñó, kinh tế lượng lại liên quan ñến việc ñịnh giá, ño lường
các số liệu kinh tế hay các biến kinh tế, tức là liên quan ñến các nghiên
cứu dựa trên các khảo sát thực nghiệm có sử dụng các phương pháp
thống kê về ước lượng, kiểm ñịnh, dự báo, phân tích hồi quy và phân tích
nhân tố... Một trong những người đặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu
và áp dụng kinh tế lượng là nhà kinh tế học người Na Uy Ragnar Frisch.
Như vậy, kinh tế tốn có tính chất suy luận, lí thuyết cịn kinh tế
lượng có tính chất quy nạp, thực nghiệm. Tất nhiên, các phân tích kinh tế
Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..12


dù là mang tính lí thuyết hay mang tính thực nghiệm đều quan trọng.
Chúng ln là sự bổ sung cần thiết cho nhau và làm tăng cường hiệu quả
lẫn nhau. Trước khi được đưa vào áp dụng, các lí thuyết của kinh tế tốn
cần được kiểm định về tính phù hợp căn cứ các số liệu thực nghiệm thu
ñược. Mặt khác, ñể xác ñịnh ñược các hướng nghiên cứu liên quan một

cách hợp lí, các khảo sát thống kê trong kinh tế lượng sẽ được tiến hành
dựa trên một lí thuyết kinh tế chỉ ñạo. Mối liên quan này ñược thể hiện
khá rõ, chẳng hạn, trong các nghiên cứu về hàm tiêu dùng tổng hợp và
nhiều nghiên cứu kinh tế khác.
2. Các yếu tố của mơ hình kinh tế tốn
2.1. Khái niệm mơ hình kinh tế
Như đã trình bày trên ñây, mọi lí thuyết kinh tế là sự khái quát hóa
cần thiết của thế giới thực. ðể nghiên cứu về một vấn đề kinh tế thực tế,
khơng thể xét đồng thời tất các các yếu tố cũng như các mối liên quan nội
tại (điều này q phức tạp, đơi khi vượt quá sự hiểu biết của chúng ta).
Hơn nữa, các yếu tố hay các mối liên quan cũng không phải là có tầm
quan trọng như nhau cho việc tìm hiểu bài tốn kinh tế đặt ra. Bởi vậy,
bằng cách này hay cách khác, chúng ta cần lựa chọn ra ñược các yếu tố
và các mối liên quan cơ bản nhất ñể xem xét. Việc lựa chọn như vậy
trong nhiều trường hợp là khá nhạy cảm.
Một mơ hình kinh tế (economic model) là một khung lí thuyết, là một
sự diễn đạt (hay mơ tả, thể hiện) có tính khái qt một vấn đề kinh tế
thực tế. Khi xây dựng mơ hình cần chú trọng tính phù hợp, tính khả thi,
tính thực tiễn và tính mục đích. ðiều này cho phép mơ hình được đề xuất
phù hợp với các đặc điểm cơ bản của vấn đề nghiên cứu và các thơng tin
thu thập được, đồng thời có thể được phân tích bởi các phương pháp hay
cơng cụ thích hợp nhằm tìm hiểu và nhận thức thực tiễn một cách sâu
sắc. Trên cơ sở phân tích mơ hình phải đưa ra được các tác động điều
khiển hợp lí nhằm đạt được các mục tiêu đề ra.
Một mơ hình kinh tế có thể chứa hoặc khơng chứa các yếu tố tốn
học, có thể là một mơ hình tốn học hay khơng phải là một mơ hình tốn
Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..13


học. Nếu một mơ hình kinh tế là mơ hình tốn học thì nó cịn được gọi là

mơ hình kinh tế tốn (một số tác giả gọi là mơ hình tốn kinh tế). Mơ
hình kinh tế tốn bao gồm các phương trình (các hệ thức tốn học nói
chung) mơ tả cấu trúc của mơ hình. Các phương trình phản ánh mối liên
quan giữa các biến kinh tế dưới dạng toán học một cách phù hợp với các
giả thiết của mô hình. Như vậy, các biến, hằng số, tham số và các loại
phương trình là các yếu tố cơ bản của một mơ hình kinh tế tốn. Nhờ áp
dụng các phép tốn, các định lí tốn học, chúng ta sẽ đưa ra ñược các kết
luận ñược suy ra một cách logic từ các giả thiết ñã nêu.
2.2. Biến, hằng số và tham số
Biến là một ñại lượng mà ñộ lớn và dấu của nó có thể biến thiên, tức
là nó có thể nhận các giá trị khác nhau. Chẳng hạn, trong các phân tích
kinh tế thường gặp các loại biến sau ñây:
– P: giá cả (price),
– Π: lợi nhuận (profit),
– R: doanh thu (revenue),
– C: chi phí (cost),
– Y: thu nhập (income),
– ...
Trong các mơ hình kinh tế tốn, các biến ñược phân loại như sau:
– Biến nội sinh. Nếu một mơ hình kinh tế được xây dựng một cách
chính xác thì thơng qua việc giải quyết mơ hình có thể xác ñịnh ñược các
giá trị của một số biến, chẳng hạn như xác ñịnh ñược mức giá cả làm cân
bằng thị trường hay mức sản phẩm ñầu ra làm tối ña hóa lợi nhuận. Các
biến như vậy ñược gọi là biến nội sinh, giá trị của chúng ñược xác ñịnh
từ các mối liên quan nội tại của mơ hình.
– Biến ngoại sinh. Biến ngoại sinh là các biến với các giá trị ñược
xác ñịnh bởi các yếu tố, các lực lượng xuất hiện ngồi mơ hình. Vì vậy,
độ lớn của các biến ngoại sinh ñược coi như các số liệu cho trước.
Một biến kinh tế có thể là nội sinh hay ngoại sinh tùy theo mơ hình
hay lí thuyết kinh tế ñang ñược xem xét. Chẳng hạn, khi nghiên cứu mơ

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..14


hình cân bằng thị trường thì giá cả P của một loại hàng hóa là biến nội
sinh. Nhưng nếu nghiên cứu lí thuyết về chi phí của người tiêu dùng thì P
lại là biến ngoại sinh, vì P được coi là số liệu đầu vào cho mơ hình này.
Ngược lại so với biến, hằng số là một đại lượng có giá trị khơng thay
đổi. Hằng số có thể được kí hiệu bởi các số hoặc, một cách tổng quát
hơn, bởi các chữ. Trong các trường hợp khi hằng số ñược kí hiệu bởi các
chữ, chúng ta có các hằng số dạng tham số, cịn được gọi một cách ngắn
gọn hơn là các tham số. Giá trị của các tham số ñược coi là hằng số chỉ
sau khi chúng ñược xác ñịnh.
Các tham số thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái thường a, b, c hay
α, β, γ ... Còn các biến nội sinh được kí hiệu bởi các chữ in như P, Q, R,
C hay Π, Λ ... Biến ngoại sinh ñược phân biệt với biến nội sinh bởi chỉ số
dưới “0” , chẳng hạn như P0, C0 ...
2.3. Các loại phương trình
Mối liên quan giữa các biến, hằng hay tham số được thể hiện thơng
qua các phương trình. Chúng ta xét các loại phương trình thường gặp
trong mơ hình kinh tế như sau:
– Phương trình định nghĩa (definitional equation).
– Phương trình hành vi (behavioral equation).
– Phương trình cân bằng (equilibrium equation).
Phương trình định nghĩa là một đẳng thức mà hai biểu thức thay thế
ở hai vế của nó có cùng một ý nghĩa. Như vậy, dấu “=” trong phương
trình định nghĩa phải được hiểu như dấu ≡ (đồng nhất thức).
Ví dụ 1. Lợi nhuận được định nghĩa thơng qua phương trình định
nghĩa sau: Π = R – C, tức là lợi nhuận thu được chính là phần dơi ra của
doanh thu sau khi đã trừ đi chi phí.
Phương trình hành vi phản ánh cách thức một biến thay ñổi phụ

thuộc vào sự thay ñổi giá trị của các biến khác. Nó có thể bao hàm các
hành vi có ý thức của con người (chẳng hạn, khi xét mối liên quan của
tiêu dùng tổng hợp phụ thuộc vào thu nhập quốc dân) hoặc các hành vi
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..15


vô thức (chẳng hạn, khi xem xét mối liên quan giữa tổng chi phí sản xuất
và mức sản phẩm đầu ra). Tuy nhiên, để thiết lập một phương trình hành
vi cần tuân theo các giả thiết nhất ñịnh. Như vậy, dấu “=” trong phương
trình hành vi phải được hiểu như một mối liên quan phụ thuộc.
Ví dụ 2. Xét các ví dụ sau đây về phương trình hành vi với C là chi
phí và Q là mức sản phảm đầu ra:
– Chi phí C = 75 + 10Q.
– Chi phí C = 110 + Q2.
Các ñiều kiện sản xuất ñược mơ tả trong hai phương trình trên là khác
nhau. Trong phương trình thứ nhất chi phí cố định là 75, cịn trong
phương trình thứ hai chi phí cố định là 110. Sự biến thiên của chi phí C
cũng là khác nhau trong hai phương trình trên. Trong phương trình thứ
nhất khi Q tăng lên một đơn vị thì C tăng 10 đơn vị, cịn trong phương
trình thứ hai khi Q tăng một đơn vị thì C tăng lên một lượng là: (Q + 1)2 –
Q2 = 2Q + 1. Chẳng hạn nếu Q tăng từ 12 lên 13 thì C tăng lên 25 đơn vị.
Phương trình cân bằng mơ tả ñiều kiện cân bằng, nói ñúng hơn là các
ñiều kiện cần thiết để đạt tới tình trạng cân bằng.
Ví dụ 3. Xét các ví dụ sau đây về phương trình cân bằng:
– Qd = Qs: Lượng cầu phải bằng lượng cung.
– S = I: Tổng tiết kiệm phải bằng tổng đầu tư.
Phương trình thứ nhất mơ tả điều kiện cân bằng trong mơ hình thị
trường, cịn phương trình thứ hai mơ tả điều kiện cân bằng trong mơ
hình thu nhập quốc dân. Về bản chất, phương trình cân bằng khác với
phương trình định nghĩa và phương trình hành vi. Phương trình cân

bằng có một ý nghĩa quan trọng trong các phân tích kinh tế để tìm ra
các trạng thái cân bằng.

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..16


Chương II

PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH
1. Phân tích cân bằng trong kinh tế
1.1. Khái niệm về trạng thái cân bằng
Cân bằng hay trạng thái cân bằng có thể được hiểu là một tập hợp có
cấu trúc của các biến được lựa chọn, có liên quan nội tại và được điều
chỉnh thích hợp với nhau, sao cho trong mơ hình mà chúng tạo nên,
khuynh hướng thay đổi khơng tiềm ẩn một cách ñáng kể.
Cụm từ “các biến ñược lựa chọn” ñược nêu trên có nghĩa là, theo sự
lựa chọn của nhà phân tích kinh tế, đã có một số biến khơng được đưa
vào mơ hình. Như vậy, trạng thái cân bằng chỉ liên quan tới các biến
ñược lựa chọn và ñược đưa vào xem xét mà thơi. Nếu mơ hình được mở
rộng để bao gồm cả các biến khác thì có thể trạng thái cân bằng trên sẽ
khơng cịn duy trì ñược nữa. Cụm từ “có liên quan nội tại” có nghĩa là để
đạt tới tình trạng cân bằng, các biến ñược lựa chọn ñều phải ở trong trạng
thái dừng. Hơn nữa trạng thái dừng của các biến cũng phải tương thích
với nhau. Nếu trái lại, việc một số biến thay ñổi có thể kéo theo việc các
biến khác thay ñổi theo phản ứng dây chuyền, do đó trạng thái cân bằng
có thể khơng cịn tồn tại nữa. Cụm từ “tiềm ẩn” “trong mơ hình” nói lên
rằng trong trạng thái cân bằng, các trạng thái dừng của các biến ñược
thiết lập dựa trên việc cân bằng các biến nội sinh trong khi các biến ngoại
sinh được coi là khơng đổi. Có thể nói, trạng thái cân bằng là trạng thái
mà với giá trị cho trước của các biến ngoại sinh, của các tham số, giá trị

của các biến nội sinh ñược xác định và khơng thay đổi theo thời gian.
Như vậy, trạng thái cân bằng là tình trạng được đặc trưng bởi việc
khơng phát hiện thấy có khuynh hướng thay đổi. Do đó, phân tích cân bằng
để tìm ra các trạng thái như vậy cịn được gọi là phân tích tĩnh hay phân
tích cân bằng tĩnh (static – equilibrium). Tuy nhiên, việc khơng phát hiện
thấy có khuynh hướng thay đổi hay ñộng lực thay ñổi không ñồng nghĩa
với việc nhất thiết cần coi tình trạng cân bằng là lí tưởng. ðối với nhiều
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..17


cơng ty, tình trạng cân bằng cung cầu hiện tại về sản phẩm có thể cần được
thay đổi chứ khơng thể coi là lí tưởng. Tình trạng cân bằng, bởi vậy, có thể
được hiểu như tình huống, mà các biến nội sinh có khuynh hướng duy trì
chống lại các thay đổi từ phía ngồi, từ phía các biến ngoại sinh.
Một kiểu cân bằng khác là cân bằng có mục đích (goal –
equilibrium), hay cân bằng tối ưu, được phân tích thơng qua các bài tốn
tối ưu. Trạng thái cân bằng như vậy có thể được coi là lí tưởng, hay ít
nhất ñược coi là trạng thái “mong muốn” trong ñiều kiện hiện có. Trong
những trạng thái cân bằng như vậy, các biến được lựa chọn, có liên quan
nội tại với nhau và được điều chỉnh thích hợp với nhau, sao cho trong mơ
hình mà chúng tạo nên, trạng thái lí tưởng hay mong muốn xảy ra. Trong
chương này, chúng ta sẽ chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu cân bằng tĩnh
khơng có tính mục đích.
1.2. Một số ví dụ về phân tích cân bằng tĩnh
Trong các mơ hình cân bằng tĩnh, bài tốn đặt ra là cần xác định các
giá trị của các biến nội sinh sao cho phương trình cân bằng của mơ hình
được thỏa mãn. Một khi các giá trị đó được xác định, trạng thái cân bằng
cũng sẽ ñược thiết lập. Chúng ta hãy minh họa vấn đề này qua mơ hình
(tuyến tính cũng như phi tuyến) phân tích cân bằng thị trường riêng, tức
là cân bằng thị trường đối với một mặt hàng.

Ví dụ 1. Mơ hình tuyến tính cân bằng thị trường riêng.
Trong mơ hình này chúng ta chỉ xét một mặt hàng với các biến: Qd là
lượng cầu, Qs là lượng cung và P là giá cả của mặt hàng. Lúc đó cần xác
định nghiệm ( P , Q ) sao cho Q d = Q s = Q và P thỏa mãn hệ phương
trình tuyến tính sau:
Qd = Qs

(2.1)

Qd = a – bP

(với ñiều kiện a > 0, b > 0)

(2.2)

Qs = – c + dP

(với ñiều kiện c > 0, d > 0 ).

(2.3)

Trong hệ trên, phương trình (2.1) là phương trình cân bằng xác ñịnh
ñiều kiện cân bằng giữa cầu và cung. Phương trình (2.2) và (2.3) là các
Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..18


phương trình hành vi mơ tả sự biến thiên của cầu và cung phụ thuộc vào
P. ðể ñơn giản, các mối liên quan này được coi là tuyến tính. Các tham
số a, b, c, d xác ñịnh các mối liên quan này. Trong phương trình (2.3) ta
có Qs = – c + dP với c > 0, d > 0. ðiều kiện này có nghĩa là cung Qs chỉ

xuất hiện (Qs > 0) một khi giá cả P của mặt hàng vượt qua một ngưỡng
dương tối thiểu P1 = c/d.
Nghiệm ( P , Q ) ñược gọi là trạng thái cân bằng, Q d = Q s = Q là
mức cân bằng cung cầu và P là mức cân bằng giá. Trên hình II.1, nghiệm
( P , Q ) chính là giao ñiểm của các ñường cầu và ñường cung.

Qd Qs
a

Qd = a – bP

Qs = –c + dP

( P, Q )

Q

O

P1

P

P

–c
Hình II.1

Dễ thấy rằng từ hệ trên đây ta có:
Q = a – bP

Q = – c + dP .

Do đó mức cân bằng giá và mức cân bằng cung cầu ñược xác ñịnh
như sau:

P =

a+c
b+d

Q =

ad − bc
.
b+d

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..19


ðể mơ hình có ý nghĩa thực tế, các tham số a, b, c và d ñều phải lấy
giá trị dương và thỏa mãn ñiều kiện ad – bc > 0.
Ví dụ 2. Mơ hình phi tuyến cân bằng thị trường riêng.
Các mối phụ thuộc của cầu hay cung vào giá cả khơng nhất thiết phải
là tuyến tính. Nói chung, các mối liên quan này là phi tuyến. Xét ví dụ sau:
Qd = Qs
Qd = 4 – P2
Qs = 4P – 1.
Từ đó có phương trình P2 + 4P – 5 = 0. Trong hai nghiệm của
phương trình này: P 1 = 1 và P 2 = –5, chúng ta chỉ lấy nghiệm P 1 = 1.
Thay vào, sẽ tìm ñược Q d = Q s = Q = 3. Hình II.2 minh họa các đường

cầu và đường cung cũng như trạng thái cân bằng.

Qd

Qs

4

Qs = 4P – 1

3

( P, Q )
Qd = 4 – P2

O

1

2

P

–1
Hình II.2

2. Các mơ hình tuyến tính trong phân tích cân bằng tĩnh
2.1. Mơ hình cân bằng thị trường tổng qt
Xét ví dụ đơn giản về mơ hình cân bằng thị trường tuyến tính với hai
mặt hàng:

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..20


Qd1 = Qs1
Qd1 = a0 + a1 P1 + a2P2
Qs1 = b0 + b1P1 + b2P2
Qd2 = Qs2
Qd2 = α0 + α1P1 + α2P2
Qs2 = β0 + β1P1 + β2P2.
Cần xác ñịnh trạng thái cân bằng của thị trường với hai mặt hàng

( P , P ,Q ,Q )
1

2

1

2

thỏa mãn hệ phương trình trên với Q1d = Q1s = Q1 và

Q 2d = Q 2s = Q 2 .

Kí hiệu: ci = ai – bi , γi = αi – βi với i = 0, 1, 2, ta có:
c1P1 + c2P2 = – c0
γ1P1 + γ2P2 = – γ0.
Do đó:
P1=

c2 γ 0 − c0 γ 2
c1γ 2 − c2 γ1

P2=

c0 γ1 − c1γ 0
.
c1γ 2 − c2 γ1

Từ đó sẽ tìm được các lượng cầu cung cân bằng đối với hai mặt
hàng: Q 1 = Q d1 = Q s1, Q 2 = Q d2 = Q s2.
Xét ví dụ tính tốn với các giá trị cụ thể của các tham số sau ñây:
Qd1 = Qs1
Qd1 = 10 – 2P1 + P2
Qs1 = – 2 + 3P1
Qd2 = Qs2
Qd2 = 15 + P1 – P2
Qs2 = –1 + 2 P2.
Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..21


ðưa hệ điều kiện trên về hệ phương trình tuyến tính với 4 ẩn, dễ
dàng xác định được các giá trị cân bằng:
P 1=

26
46
, P2=
7

7

Q1=

64
85
, Q2=
.
7
7

Chú ý rằng, trong trường hợp mơ hình cân bằng thị trường hai mặt
hàng là hệ phương trình phi tuyến, cần áp dụng dùng các phương pháp
tốn học và / hoặc phần mềm tính tốn thích hợp để tìm các giá trị cân
bằng của giá cả, cầu và cung.
Trong trường hợp tổng qt, mơ hình cân bằng thị trường với n mặt
hàng có phát biểu toán học như sau:
Qdi (P1, P2, P3 , ...., Pn) = Qsi (P1, P2, P3 , ...., Pn)
i = 1, 2, ..., n.
Trong đó, Qdi và Qsi có thể là các hàm tuyến tính hay phi tuyến của
P1, P2, P3 , ...., Pn. Các giá cả cân bằng xác ñịnh ñược từ hệ ñiều kiện
trên sẽ phụ thuộc vào các tham số của mơ hình Pi = Pi (a1, a2, ..., am) ,
i = 1, 2, ..., n.
2.2. Mơ hình thu nhập quốc dân
Xét mơ hình thu nhập quốc dân Keynes
Y = C + I0 + G0 (ñây là phương trình cân bằng)
C = a + bY

(với điều kiện a > 0, 0 < b < 1).

Trong đó:
Y: thu nhập quốc dân, là biến nội sinh,
C: mức tiêu dùng quốc dân, là biến nội sinh,
I0: tổng ñầu tư quốc gia, là biến ngoại sinh,
G0: tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước, là biến ngoại sinh.
Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..22


Các tham số a, b lần lượt là chi phí tiêu dùng cố ñịnh (autonomous
consumption expenditure) và hệ số tiêu dùng biên (marginal propensity
to consume).
Từ mơ hình trên có thể xác ñịnh ñược các mức cân bằng của thu
nhập quốc dân và mức tiêu dùng quốc dân phụ thuộc vào giá trị của các
biến ngoại sinh I0 và G0:
Y=

a + I 0 + G0
1− b

C=

a + b(I 0 + G 0 )
.
1− b

Hay, nếu viết dưới dạng véc tơ, thì có:

Y 
1
 =

C  1 − b

I 0 + G 0 + a 

.
 b(I 0 + G0 ) + a 

Các mức cân bằng thu nhập quốc dân hay tiêu dùng quốc dân có thể
là cao hay thấp phụ thuộc vào I0, G0, a và b theo công thức trên. Chẳng
hạn, nếu cố định I0, G0 và a, thì với b càng lớn sát 1, Y và C càng cao.
Do đó, để tăng thu nhập quốc dân, có thể áp dụng chính sách kích cầu
(tăng hệ số tiêu dùng biên).
Cần chú ý rằng mơ hình thu nhập quốc dân Keynes là một mơ hình
khá đơn giản. Mơ hình thu nhập quốc dân sau đây coi chi phí cho bộ
máy hành chính nhà nước là biến nội sinh phụ thuộc vào mức thu nhập
quốc dân:
Y = C + I0 + G
C = a + b(Y – T0)

(với ñiều kiện: a > 0, 0
G = gY

(với ñiều kiện: 0 < g < 1).

Trong đó:
Y: thu nhập quốc dân,
C: tiêu dùng quốc dân,
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp tốn kinh tế ..23

G: tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước,
T0: tổng thu thuế quốc gia,
I0: tổng ñầu tư quốc gia,
g: hệ số thuế.
Có thể xác định được các mức cân bằng cho thu nhập quốc dân, tiêu
dùng quốc dân và chi phí cho bộ máy nhà nước, căn cứ vào giá trị của
các biến ngoại sinh và các tham số a, b, g.
2.3. Mơ hình đầu vào – đầu ra Leontief
Phân tích tĩnh đầu vào – đầu ra Leontief nhằm trả lời câu hỏi: Mỗi
một trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải ñảm bảo một
mức sản xuất hàng hóa đầu ra bằng bao nhiêu để vừa vặn đủ thỏa mãn
tổng cầu về loại hàng hóa đó, tức là thỏa mãn được chính các ngành cơng
nghiệp ñó và nhu cầu chung của xã hội.
Cụm từ ñầu vào – đầu ra có nghĩa là: đầu ra của một ngành cơng
nghiệp A lại có thể là đầu vào cần thiết cho một hoặc một số ngành công
nghiệp B, C, D ... nào đó. Do đó, mức đầu ra hợp lí của ngành cơng
nghiệp A (khơng bị thiếu hụt hay thặng dư) là phụ thuộc vào nhu cầu ñầu
vào của các ngành công nghiệp B, C, D ... và nhu cầu chung của xã hội,
bao gồm các nhu cầu về tiêu dùng, tích lũy tài sản và xuất khẩu. Một
cách tổng qt có thể nói, mức đầu ra hợp lí của mỗi ngành cơng nghiệp
phụ thuộc vào chính các nhu cầu đầu vào của các ngành cơng nghiệp.
Việc xác ñịnh ñúng các mức ñầu ra hợp lí của các ngành cơng nghiệp để
“cân bằng” các đầu vào giúp cho nền kinh tế giữ được ổn định và phát
triển, khơng ñể xảy ra các tình trạng “nút thắt cổ chai” (bottleneck), khi
đầu ra của một số loại hàng hóa q khan hiếm khơng đủ dùng làm đầu
vào cho các ngành cơng nghiệp khác. Chính vì vậy, mơ hình đầu vào –
đầu ra Leontief cũng có thể được coi là một mơ hình phân tích cân bằng.
ðể nghiên cứu về cấu trúc của mơ hình đầu vào – đầu ra Leontief,
chúng ta cần xét ñến các giả thiết sau ñây của mơ hình:

– Mỗi một ngành cơng nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng hóa j.
Tuy nhiên, giả thiết này cho phép xem xét việc hai hoặc nhiều hơn
Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..24


loại hàng hóa được sản xuất với các tỉ lệ cố định (bạn đọc có thể tự
tìm hiểu điều này).
– Mỗi ngành cơng nghiệp sử dụng một tỉ lệ đầu vào cố định để sản
xuất hàng hóa đầu ra.
– Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất khơng đổi
(constant return to scale), tức là nếu mở rộng đầu vào k lần thì đầu ra sẽ
tăng k lần .
Theo giả thiết thứ hai trên ñây, với mọi j = 1, 2, ..., n, để ngành cơng
nghiệp j sản xuất ra một đơn vị hàng hóa loại j cần có các tỉ lệ đầu vào cố
định aij các hàng hóa loại i, i = 1, 2, ..., n. Chẳng hạn, a32 = 0,35 có nghĩa là
để sản xuất ra một lượng hàng hóa loại 2 có giá trị bằng 1 ñơn vị tiền tệ
(chẳng hạn như 1 triệu ñồng, ở ñây ñơn vị sản phẩm ñược tính theo ñơn vị
tiền tệ) cần có một lượng sản phẩm loại 3 làm đầu vào có giá trị 0,35 triệu
đồng. Các tỉ lệ ñầu vào aij ñược gọi là các hệ số đầu vào, cịn ma trận A =
[aij]n×n được gọi là ma trận hệ số ñầu vào hay ma trận ñầu vào:
ðầu ra:

1

2

ðầu vào

1  a11 a12


2 a 21 a 22
...  ... ...

N a n1 a n2

...

N

... a1n 
... a 2n 
=A
... ... 

... a nn 

Trong mơ hình Leontief, nhu cầu chung của xã hội dj về loại hàng
hóa j được coi là nhu cầu cuối cùng (final demand) ñể phân biệt với các
nhu cầu ñầu vào (input demand) sử dụng cho sản xuất. Nhu cầu chung
là nhu cầu dành cho “thành phần mở” (open sector), là nơi cung cấp
dịch vụ, lực lượng lao ñộng cho các ngành cơng nghiệp, tức là cung cấp
“đầu vào cơ bản” (primery input).
Ma trận đầu vào A phải có tính chất: tổng các phần tử của cột j là
n

∑a
i =1

ij

< 1, ∀ j = 1, 2, ..., n, tức là ñể tạo ra một lượng hàng hóa loại j có

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..25