Các phương pháp toán kinh tế (Giáo trình dàn cho ngành tin học và công nghệ thông tin)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðAỊ HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

PGS. TS. NGUYỄN HẢI THANH











CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ
Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

HÀ NỘI, 2008
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 2

MỤC LỤC

Trang

LỚI NÓI ðẦU
7
CHƯƠNG I. MỞ ðẦU
11
1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ TRONG KINH TẾ TOÁN 11
1.1. Khái niệm về kinh tế toán 11
1.2. Phân loại các phương pháp toán kinh tế 12
1.3. So sánh kinh tế toán với kinh tế lượng 13
2. CÁC YẾU TỐ CỦA MÔ HÌNH KINH TẾ TOÁN 14
2.1. Khái niệm về mô hình kinh tế 14
2.2. Biến, hằng số và tham số 15
2.3. Các loại phương trình 16
CHƯƠNG II. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH
18
1. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TRONG KINH TẾ 18
1.1. Khái niệm về trạng thái cân bằng 18
1.2. Một số ví dụ về phân tích cân bằng tĩnh 19
2. CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH
CÂN BẰNG TĨNH

21
2.1. Mô hình cân bằng thị trường tổng quát 21
2.2. Mô hình thu nhập quốc dân 23
2.3. Mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief 25
BÀI TẬP CHƯƠNG II 30
CHƯƠNG III. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH
34
1. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH TRONG KINH TẾ 34
1.1. Khái niệm phân tích so sánh tĩnh 34
1.2. ðạo hàm và tốc ñộ biến thiên của các biến kinh tế 35
1.3. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thị trường riêng 38
1.4. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thu nhập quốc dân 39
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 3

1.5. Phân tích so sánh tĩnh mô hình cân ñối liên ngành 40
2. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH CHO MÔ HÌNH KINH TẾ
TỔNG QUÁT

42
2.1. Hệ số co giãn 42

2.2. Một số ví dụ tìm vi phân toàn phần và ñạo hàm hàm ẩn 44
2.3. Mô hình thị trường tổng quát 47
2.4. Mô hình thu nhập quốc dân tổng quát 54
2.5. Một số ñiểm hạn chế của phân tích so sánh tĩnh 57
BÀI TẬP CHƯƠNG III 58
CHƯƠNG IV. MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG KINH TẾ
61
1. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THÔNG QUA MÔ HÌNH

TỐI ƯU KHÔNG RÀNG BUỘC

61
1.1. Mô hình tối ưu một biến không ràng buộc 61
1.2. Hàm tăng trưởng và tốc ñộ tăng trưởng của biến kinh tế 65
1.3. Phân tích cân bằng thông qua mô hình tối ưu nhi
ều biến
không ràng buộc

68
2. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THÔNG QUA MÔ HÌNH
TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC

79
2.1. Phương pháp nhân tử Lagrange 79
2.2. ðiều kiện ñạt tới trạng thái cân bằng
2.3. Cực ñại hoá hàm thoả dụng của người tiêu dùng
83
85
3. HÀM SẢN XUẤT VÀ VẤN ðỀ PHÂN BỔ ðẦU VÀO TỐI ƯU 89
3.1. Các tính chất của hàm ñẳng cấp 89
3.2. Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas 92
3.3. Xác ñịnh các tổ hợp ñầu vào với chi phí tối thiểu 96
3.4. Hàm sản xuất dạng CES 100
BÀI TẬP CHƯƠNG IV 104
CHƯƠNG V. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG
107
1. KHÁI NIỆM PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG 107
1.1. Một số ñịnh nghĩa 107
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 4

1.2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình
vi phân

108
2. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DOMAR 112
2.1. Phát biểu mô hình 112
2.2. Tìm ñường cân bằng bền cho mô hình tăng trưởng Domar 113
3. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG ðỐI VỚI GIÁ CẢ THỊ TRƯỜNG 114
3.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp một 114
3.2. Phát biểu mô hình cân bằng ñộng 115
3.3. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mức giá cân bằng 117
4. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW 118
4.1. Bổ sung thêm về phương trình vi phân cấp một 118
4.2. Tiếp cận ñịnh tính giải phương trình vi phân phi tuyến cấp một 122
4.3. Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow
4.4. Phân tích ñịnh tính trên biểu ñồ pha
4.5. Phân tích ñịnh lượng
126
127
129
5. MÔ HÌNH THỊ TRƯỜNG VỚI KỲ VỌNG GIÁ ðƯỢC DỰ BÁO TRƯỚC 129
5.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
với hệ số hằng
5.2. Phát biểu mô hình
5.3. Xác ñịnh ñường biến ñộng giá và ñiều kiện ổn ñịnh ñộng

129
133
134
6. MÔ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤT NGHIỆP 139

6.1. Phát biểu mô hình
6.2. Khảo sát ñường biến ñộng lạm phát, giá cả và thất nghiệp
139
140
BÀI TẬP CHƯƠNG V 143
CHƯƠNG VI. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
TRONG PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG

147
1. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 147
1.1. Khái niệm về phương trình sai phân 147
1.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 148
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 5

1.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
1.4. Khảo sát tính ổn ñịnh của nghiệm của các phương trình
sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai
150

152
2. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH
KINH TẾ

154
2.1. Mô hình Cobweb cân bằng cung cầu 154
2.2. Mô hình thị trường có hàng tồn kho
2.3. Mô hình thị trường với giá trần
155
156
3. MÔ HÌNH THU NHẬP QUỐC DÂN VỚI NHÂN TỬ TĂNG TỐC

SAMUELSON

159
3.1. Phát biểu mô hình 159
3.2. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mô hình 160
4. MÔ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤT NGHIỆP
VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

163
4.1. Phát biểu mô hình 163
4.2. Phân tích các ñường biến ñộng của giá cả và lạm phát 164
5. ÁP DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG
PHÂN TÍCH KINH TẾ

166
5.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
5.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một
166
169
5.3. Mô hình cân ñối liên ngành ñộng
5.4. Mô hình tương tác lạm phát và thất nghiệp
5.5. Biểu ñồ pha hai biến và ứng dụng
171
176
179
BÀI TẬP CHƯƠNG VI 185
TÀI LIỆU THAM KHẢO
189

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 6
LỜI NÓI ðẦU
Những vấn ñề kinh tế trong các hoạt ñộng kinh tế thường rất ña
dạng và phức tạp. Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho
việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn ñề như vậy một cách
chặt chẽ và hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực. Việc biết cách mô tả
các vấn ñề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng các
phương pháp toán học ñể giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng
như kiểm nghiệm các kết quả ñạt ñược một cách logic luôn là một yêu
cầu cấp thiết ñối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích
kinh tế. Trong các thập kỉ gần ñây, nhiều giải Nobel kinh tế ñược trao
cho các công trình có vận dụng một cách mạnh mẽ các lí thuyết và
phương pháp toán học như tối ưu hóa, lí thuyết trò chơi, hệ phương
trình vi phân và sai phân, lí thuyết xác suất và thống kê. Nhà kinh tế
học người Na Uy Trygve Haavelmo, trong lễ nhận giải thưởng Nobel
kinh tế năm 1989, ñã từng phát biểu: “Nếu không có toán học kinh tế
làm trung tâm cho các nghiên cứu kinh tế học, môn khoa học kinh tế có
thể vẫn chưa vượt quá giới hạn những bài nói chuyện chung chung
chẳng có kết quả thực sự hữu ích nào”.
Hiện nay, các môn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế – quản lí
nói chung và các phương pháp toán học áp dụng trong phân tích kinh tế
nói riêng ñược ñưa vào giảng dạy trong nhiều chương trình ñào tạo ñại
học trong và ngoài nước. ðối với sinh viên các ngành Tin học, Công
nghệ thông tin và Toán – Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế – quản
lí là thực sự cần thiết cho các cương vị làm việc sau này, ñặc biệt là
cương vị CIO (Chief Information Officer – Giám ñốc Thông tin). Trong
chương trình ñào tạo ngành Tin học của Khoa Công nghệ thông tin,
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức trên bao gồm Tối
ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Vận trù học và Các phương pháp
toán kinh tế. Giáo trình “Các phương pháp toán kinh tế” này với thời

lượng từ 45 tới 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu với mục ñích cung cấp cho
sinh viên năm thứ ba ngành Tin học một số kiến thức cơ bản về các
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 7

phương pháp toán kinh tế (mathematical methods for economics) ñược
ứng dụng rộng rãi trong phân tích các mô hình kinh tế (economic
models).
Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm ñược một số mô hình kinh tế
cơ bản, biết cách vận dụng các phương pháp toán kinh tế thích hợp ñể
phân tích các mô hình ñó, biết cách rút ra các kết luận phản ảnh bản
chất của vấn ñề kinh tế ñược xem xét. Từ ñó, sinh viên sẽ tiếp thu ñược
các vấn ñề kinh tế cơ bản làm cơ sở cho việc tiếp tục tự hoàn thiện các
kiến thức về kinh tế vi mô cũng như vĩ mô. Giáo trình cũng giúp cho sinh
viên ngành Tin học, Công nghệ Thông tin, Toán – Tin ứng dụng có một
cách tiếp cận hệ thống ñể sau này có thể xây dựng các hệ thống xử lí
thông tin và các phần mềm tính toán trong lĩnh vực Tin học kinh tế. Như
vậy, ưu tiên của giáo trình là tập trung trình bày một cách logic một số
phương pháp toán kinh tế cơ bản và các ứng dụng của chúng trong việc
phân tích các loại mô hình kinh tế (các phương pháp khác ñược trình bày
trong các học phần còn lại của khối kiến thức về kinh tế – quản lí thuộc
chương trình ñào tạo như ñã ñề cập trên ñây). ðây là một vấn ñề mới so
với các giáo trình về Toán kinh tế ñã ñược biên soạn và giảng dạy tại
một số trường ñại học trong nước.
Chương I của giáo trình giới thiệu tổng quan và ngắn gọn về lĩnh vực
Kinh tế toán (Mathematical Economics) và các phương pháp toán kinh tế
cơ bản thường ñược sử dụng trong lĩnh vực này, cũng như giới thiệu về
các yếu tố cơ bản của mô hình kinh tế toán. Chương II ñề cập tới khái
niệm phân tích cân bằng kinh tế bao gồm cân bằng tĩnh cũng như cân
bằng có mục ñích và phương pháp ñại số ma trận ñể phân tích một số mô
hình cân bằng kinh tế như mô hình thị trường, mô hình thu nhập quốc dân

và mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief (còn gọi là mô hình cân ñối liên
ngành). Các phương pháp toán kinh tế như phép tính ñạo hàm, cũng như
một trong các công cụ mạnh và ñẹp của toán học là ðịnh lí hàm ẩn ñược
vận dụng trong Chương III nhằm thực hiện việc phân tích so sánh tĩnh cho
các mô hình thị trường, mô hình cân ñối liên ngành và mô hình thu nhập
quốc dân tổng quát (bao gồm cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ).
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 8
Chương IV xem xét việc vận dụng một số phương pháp toán tối ưu cơ bản
không ràng buộc và ràng buộc dạng ñẳng thức ñể phân tích các mô hình
tối ưu trong kinh tế, bao gồm các mô hình thị trường ñộc quyền và phân
biệt giá cả, mô hình cực ñại hàm thỏa dụng của người tiêu dùng, các mô
hình phân bổ ñầu vào tối ưu với các dạng hàm sản xuất hiệu suất không
ñổi, Cobb – Douglas, CES (Hệ số co giãn thay thế không ñổi). Các
phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vi phân cũng như sai
phân ñược nghiên cứu trong Chương V và Chương VI ñể thực hiện các
phân tích cân bằng ñộng trong các mô hình kinh tế ñộng như mô hình tăng
trưởng Domar, mô hình tăng trưởng Solow, mô hình ổn ñịnh ñộng của giá
cả thị trường khi không có hoặc có kỳ vọng giá ñược dự báo trước, mô
hình cân bằng ñộng lạm phát – giá cả – thất nghiệp, mô hình thu nhập
quốc dân Samuelson, mô hình cân ñối liên ngành ñộng. Một số nội dung
của Chương V và Chương VI có thể ñược lược bớt tùy theo thời lượng môn
học và trình ñộ tiếp thu của người học.
Khi biên soạn, chúng tôi luôn có một nguyện vọng là làm sao việc
trình bày các phương pháp toán kinh tế ñược ñề cập tới trong giáo trình
phải cô ñọng và dễ hiểu, việc ứng dụng các phương pháp này trong phân
tích các dạng mô hình kinh tế phải chặt chẽ và logic. Chính vì vậy, các
phương pháp toán kinh tế luôn ñược trình bày một cách cụ thể và tương
ñối hoàn chỉnh thông qua các ví dụ tính toán và các mô hình kinh tế từ dễ
tới khó. Phần bài tập giúp sinh viên củng cố các kiến thức ñã học và thực
hành áp dụng các phương toán học trong phân tích mô hình kinh tế.

Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Alpha C. Chiang,
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book
Company, New York, 1984; Alpha C. Chiang – Kevin Wainwright,
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book
Company, New York, 2005; Michael W. Klein, Mathematical methods for
economics, Addison-Wesley Higher Education Group, 2002; Hoàng ðình
Tuấn, Lí thuyết mô hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành toán kinh
tế và toán tài chính), Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 2003; Nguyễn Quang
Dong – Ngô Văn Thứ – Hoàng ðình Tuấn, Giáo trình mô hình toán kinh
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 9

tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), Nxb. Giáo dục, 2002; Tô Cẩm Tú,
Một số phương pháp tối ưu hóa trong kinh tế, Nxb. Khoa học và Kĩ thuật,
1997. Trong quá trình biên soạn giáo trình này, tác giả chủ yếu dựa vào
các tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh. Những sinh viên khá có thể tự học
sâu thêm bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt
trên Internet và viết các tiểu luận.
“Các phương pháp toán kinh tế” là một môn học về mặt lí thuyết
ñang ñược tiếp tục phát triển, về mặt thực hành ñang ngày càng có nhiều
ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực phân tích kinh tế, chắc
chắn sẽ gây cho người học nhiều hứng thú tìm tòi, sáng tạo. Khi ñến
thăm Việt Nam, nhà toán học và kinh tế học Robert Aumann, người nhận
giải thưởng Nobel kinh tế năm 2005 ñã nói: “Có một công thức chung
trong các hoạt ñộng kinh tế là tất cả mọi người sẽ giàu có hơn nếu mỗi
người ñều ñược làm việc theo khả năng và sự yêu thích của mình”.
Trong quá trình biên soạn, tuy rất cố gắng, nhưng có lẽ tác giả
không tránh khỏi sai sót. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến ñóng
góp chỉnh sửa bản thảo bài giảng môn học của các ñồng nghiệp và sinh
viên ngành Tin học các khóa K47, K48, K49 và K50 của Trường ðại học
Nông nghiệp Hà Nội, và luôn mong tiếp tục nhận ñược nhiều góp ý của

các giảng viên và sinh viên, ñể cho giáo trình ñược hoàn chỉnh hơn,
chính xác hơn và sinh ñộng hơn.

Hà Nội, ngày 19 tháng 8 năm 2008
Tác giả
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 10
Chương I
MỞ ðẦU
1. Các phương pháp toán kinh tế trong kinh tế toán
1.1. Khái niệm về kinh tế toán
Không giống như tài chính công hay thương mại quốc tế, kinh tế toán
(mathematical economics) không phải là lĩnh vực riêng biệt của kinh tế.
Có thể coi kinh tế toán là một cách tiếp cận nhằm thực hiện các phân tích
kinh tế. Trong kinh tế toán, các nhà kinh tế sử dụng các kí hiệu toán học
ñể phát biểu bài toán và dựa vào các ñịnh lí toán học ñể suy luận, áp dụng
và tiếp tục phát triển các phương pháp và kĩ thuật toán học ñể mô tả và
phân tích các vấn ñề kinh tế. Nhà kinh tế học người Mĩ Paul Samuelson
ñược coi là người ñặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng
kinh tế toán.
Một số sách kinh tế học ñại cương hiện nay vẫn dùng các phương
pháp hình học trên mặt phẳng (hay không gian hai chiều) ñể minh họa
và rút ra các kết luận có tính chất lí thuyết. Trong khi ñó, ñể nghiên cứu
các bài toán kinh tế với nhiều biến kinh tế cần phải có sự hiểu biết sâu
sắc về toán học. Kinh tế toán cho phép mô tả các vấn ñề kinh tế cần
khảo sát với các công cụ toán học ña dạng như ñại số ma trận và
phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, phép tính ñạo hàm và tích
phân, phương trình vi phân và sai phân, các phương pháp tối ưu hoá, lí
thuyết trò chơi Trong các phân tích kinh tế, vi mô cũng như vĩ mô,
các phương pháp toán học này còn ñược gọi là các phương pháp toán
kinh tế (mathematical methods for economics). Hiện nay các phương

pháp toán kinh tế ngày càng ñược sử dụng rộng rãi với các kết quả nổi
bật ñược công bố trong các tài liệu chuyên khảo, các tạp chí chuyên
ngành kinh tế và các tạp chí liên ngành khác.
Cần nhấn mạnh rằng, dù có sử dụng các phương pháp toán kinh tế
hay không, quy trình cơ bản của việc phân tích kinh tế vẫn là căn cứ vào
các giả thiết, các ñịnh ñề hay các nguyên lí ñể ñưa ra các kết luận hay các
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 11

ñịnh lí thông qua một quá trình suy luận hay lập luận. Nhưng khác với
các phân tích kinh tế ñịnh tính, trong kinh tế toán các giả thiết cũng như
các kết luận ñược phát biểu bằng các kí hiệu toán học cũng như các
phương trình toán học. Hơn nữa, các suy luận hay lập luận ñược ñưa ra
dựa trên các ñịnh lí toán học. ðiều này giúp cho quá trình suy luận trở
nên thuận lợi và chặt chẽ hơn, cũng như giúp cho việc phát biểu các kết
luận trở nên chính xác hơn.
Tóm lại, các mặt mạnh của việc sử dụng kinh tế toán trong các phân
tích kinh tế là:
– Cho phép sử dụng ngôn ngữ chính xác hơn.
– Cho phép sử dụng các ñịnh lí toán học rất ña dạng nhằm gia tăng
tốc ñộ suy luận.
– Bắt buộc phải phát biểu các giả thiết một cách rõ ràng, không hàm
chứa ẩn ý, ña nghĩa, do ñó tránh ñược các giả thiết không mong muốn có
thể phát sinh.
– Giúp xử lí các bài toán kinh tế nhiều biến một cách hiệu quả trong
việc phân tích kinh tế vi mô cũng như vĩ mô.
Có thể có ý kiến (chẳng hạn ý kiến trước ñây của trường phái kinh tế
học Vienna, Áo) cho rằng: Kinh tế toán sử dụng các suy luận và các phân
tích có tính chủ quan và hình thức dựa vào các ñịnh lí và phương pháp
toán học ñể ñưa ra các kết luận nên ít có tính thực tiễn. Tuy nhiên, ý kiến
phê phán kiểu này không nên áp dụng ngay cả ñối với các lí thuyết kinh

tế nói chung, chứ không chỉ ñối với lí thuyết kinh tế toán. Thật vậy, là sự
khái quát hóa của thế giới thực, mọi lí thuyết nói chung vẫn luôn chỉ xét
tới một số yếu tố và mối liên quan bản chất nhất. Chẳng hạn, không thể
phê phán lí thuyết về lợi nhuận của công ty trong ñiều kiện cạnh tranh
hoàn hảo hay không hoàn hảo là không thực tiễn, dù lí thuyết này có
ñược ñưa ra dựa trên các công cụ toán học hay không.
1.2. Phân loại các phương pháp toán kinh tế
Việc phân loại các phương pháp toán kinh tế là không ñơn giản và
thậm chí còn chưa ñược thống nhất. Mục ñích của giáo trình này, với
dung lượng thời gian từ 45 tới 60 tiết, là nhằm giới thiệu cho người học
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 12
làm quen với các phương pháp toán kinh tế cơ bản thường ñược áp dụng
trong kinh tế toán trong khuôn khổ các công cụ toán học ñã nêu, bao gồm
ñại số ma trận, phép tính ñạo hàm và tích phân, một số phương pháp tối
ưu, phương trình vi phân và sai phân. Các công cụ sâu sắc và phức tạp
hơn của toán kinh tế như quy hoạch phi tuyến, quy hoạch ña mục tiêu,
quy hoạch ñộng, phương trình tích phân, mô phỏng ngẫu nhiên, phân tích
Markov, lí thuyết trò chơi, sẽ không ñược ñề cập trong giáo trình này.
Cần chú ý rằng, tuy các phương pháp toán xác suất, toán thống kê khi
áp dụng trong các phân tích kinh tế cũng ñược coi là các phương pháp toán
kinh tế, nhưng trong giáo trình này chúng ta cũng không ñề cập tới. Các
phương pháp này thường ñược trình bày chi tiết trong các môn học như
Kinh tế lượng (Econometrics), Vận trù học (Operations Research), hay
Các phương pháp ñịnh lượng trong quản lí – kinh doanh (Quantitative
Methods for Management and Business). Ngoài ra, do thời lượng môn học,
giáo trình không giới thiệu các phương pháp giải tích ngẫu nhiên là cơ sở
cho môn học Tài chính toán (Mathematical Finance) có rất nhiều ứng
dụng trong phân tích tài chính. Khi nghiên cứu các phương pháp toán kinh
tế ñược ñề cập tới trong giáo trình, cần tập trung vào việc nên sử dụng
chúng như thế nào trong phân tích các vấn ñề kinh tế, mà không nên quá

chú trọng vào cơ sở toán học của các phương pháp này.
1.3. So sánh kinh tế toán với kinh tế lượng
Thuật ngữ “kinh tế toán” và “kinh tế lượng” ñôi khi ñược sử dụng
một cách nhầm lẫn. Thật ra, kinh tế toán ñi sâu vào phân tích các mô
hình kinh tế, các lí thuyết kinh tế bằng cách sử dụng các công cụ toán
học. Trong khi ñó, kinh tế lượng lại liên quan ñến việc ñịnh giá, ño lường
các số liệu kinh tế hay các biến kinh tế, tức là liên quan ñến các nghiên
cứu dựa trên các khảo sát thực nghiệm có sử dụng các phương pháp
thống kê về ước lượng, kiểm ñịnh, dự báo, phân tích hồi quy và phân tích
nhân tố Một trong những người ñặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu
và áp dụng kinh tế lượng là nhà kinh tế học người Na Uy Ragnar Frisch.
Như vậy, kinh tế toán có tính chất suy luận, lí thuyết còn kinh tế
lượng có tính chất quy nạp, thực nghiệm. Tất nhiên, các phân tích kinh tế
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 13

dù là mang tính lí thuyết hay mang tính thực nghiệm ñều quan trọng.
Chúng luôn là sự bổ sung cần thiết cho nhau và làm tăng cường hiệu quả
lẫn nhau. Trước khi ñược ñưa vào áp dụng, các lí thuyết của kinh tế toán
cần ñược kiểm ñịnh về tính phù hợp căn cứ các số liệu thực nghiệm thu
ñược. Mặt khác, ñể xác ñịnh ñược các hướng nghiên cứu liên quan một
cách hợp lí, các khảo sát thống kê trong kinh tế lượng sẽ ñược tiến hành
dựa trên một lí thuyết kinh tế chỉ ñạo. Mối liên quan này ñược thể hiện
khá rõ, chẳng hạn, trong các nghiên cứu về hàm tiêu dùng tổng hợp và
nhiều nghiên cứu kinh tế khác.
2. Các yếu tố của mô hình kinh tế toán
2.1. Khái niệm mô hình kinh tế
Như ñã trình bày trên ñây, mọi lí thuyết kinh tế là sự khái quát hóa
cần thiết của thế giới thực. ðể nghiên cứu về một vấn ñề kinh tế thực tế,
không thể xét ñồng thời tất các các yếu tố cũng như các mối liên quan nội
tại (ñiều này quá phức tạp, ñôi khi vượt quá sự hiểu biết của chúng ta).

Hơn nữa, các yếu tố hay các mối liên quan cũng không phải là có tầm
quan trọng như nhau cho việc tìm hiểu bài toán kinh tế ñặt ra. Bởi vậy,
bằng cách này hay cách khác, chúng ta cần lựa chọn ra ñược các yếu tố
và các mối liên quan cơ bản nhất ñể xem xét. Việc lựa chọn như vậy
trong nhiều trường hợp là khá nhạy cảm.
Một mô hình kinh tế (economic model) là một khung lí thuyết, là một
sự diễn ñạt (hay mô tả, thể hiện) có tính khái quát một vấn ñề kinh tế
thực tế. Khi xây dựng mô hình cần chú trọng tính phù hợp, tính khả thi,
tính thực tiễn và tính mục ñích. ðiều này cho phép mô hình ñược ñề xuất
phù hợp với các ñặc ñiểm cơ bản của vấn ñề nghiên cứu và các thông tin
thu thập ñược, ñồng thời có thể ñược phân tích bởi các phương pháp hay
công cụ thích hợp nhằm tìm hiểu và nhận thức thực tiễn một cách sâu
sắc. Trên cơ sở phân tích mô hình phải ñưa ra ñược các tác ñộng ñiều
khiển hợp lí nhằm ñạt ñược các mục tiêu ñề ra.
Một mô hình kinh tế có thể chứa hoặc không chứa các yếu tố toán
học, có thể là một mô hình toán học hay không phải là một mô hình toán
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 14
học. Nếu một mô hình kinh tế là mô hình toán học thì nó còn ñược gọi là
mô hình kinh tế toán (một số tác giả gọi là mô hình toán kinh tế). Mô
hình kinh tế toán bao gồm các phương trình (các hệ thức toán học nói
chung) mô tả cấu trúc của mô hình. Các phương trình phản ánh mối liên
quan giữa các biến kinh tế dưới dạng toán học một cách phù hợp với các
giả thiết của mô hình. Như vậy, các biến, hằng số, tham số và các loại
phương trình là các yếu tố cơ bản của một mô hình kinh tế toán. Nhờ áp
dụng các phép toán, các ñịnh lí toán học, chúng ta sẽ ñưa ra ñược các kết
luận ñược suy ra một cách logic từ các giả thiết ñã nêu.
2.2. Biến, hằng số và tham số
Biến là một ñại lượng mà ñộ lớn và dấu của nó có thể biến thiên, tức
là nó có thể nhận các giá trị khác nhau. Chẳng hạn, trong các phân tích
kinh tế thường gặp các loại biến sau ñây:

– P: giá cả (price),
– Π: lợi nhuận (profit),
– R: doanh thu (revenue),
– C: chi phí (cost),
– Y: thu nhập (income),
–
Trong các mô hình kinh tế toán, các biến ñược phân loại như sau:
– Biến nội sinh. Nếu một mô hình kinh tế ñược xây dựng một cách
chính xác thì thông qua việc giải quyết mô hình có thể xác ñịnh ñược các
giá trị của một số biến, chẳng hạn như xác ñịnh ñược mức giá cả làm cân
bằng thị trường hay mức sản phẩm ñầu ra làm tối ña hóa lợi nhuận. Các
biến như vậy ñược gọi là biến nội sinh, giá trị của chúng ñược xác ñịnh
từ các mối liên quan nội tại của mô hình.
– Biến ngoại sinh. Biến ngoại sinh là các biến với các giá trị ñược
xác ñịnh bởi các yếu tố, các lực lượng xuất hiện ngoài mô hình. Vì vậy,
ñộ lớn của các biến ngoại sinh ñược coi như các số liệu cho trước.
Một biến kinh tế có thể là nội sinh hay ngoại sinh tùy theo mô hình
hay lí thuyết kinh tế ñang ñược xem xét. Chẳng hạn, khi nghiên cứu mô
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 15

hình cân bằng thị trường thì giá cả P của một loại hàng hóa là biến nội
sinh. Nhưng nếu nghiên cứu lí thuyết về chi phí của người tiêu dùng thì P
lại là biến ngoại sinh, vì P ñược coi là số liệu ñầu vào cho mô hình này.
Ngược lại so với biến, hằng số là một ñại lượng có giá trị không thay
ñổi. Hằng số có thể ñược kí hiệu bởi các số hoặc, một cách tổng quát
hơn, bởi các chữ. Trong các trường hợp khi hằng số ñược kí hiệu bởi các
chữ, chúng ta có các hằng số dạng tham số, còn ñược gọi một cách ngắn
gọn hơn là các tham số. Giá trị của các tham số ñược coi là hằng số chỉ
sau khi chúng ñược xác ñịnh.
Các tham số thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái thường a, b, c hay

α, β, γ Còn các biến nội sinh ñược kí hiệu bởi các chữ in như P, Q, R,
C hay Π, Λ Biến ngoại sinh ñược phân biệt với biến nội sinh bởi chỉ số
dưới “0” , chẳng hạn như P
0
, C
0

2.3. Các loại phương trình
Mối liên quan giữa các biến, hằng hay tham số ñược thể hiện thông
qua các phương trình. Chúng ta xét các loại phương trình thường gặp
trong mô hình kinh tế như sau:
– Phương trình ñịnh nghĩa (definitional equation).
– Phương trình hành vi (behavioral equation).
– Phương trình cân bằng (equilibrium equation).
Phương trình ñịnh nghĩa là một ñẳng thức mà hai biểu thức thay thế
ở hai vế của nó có cùng một ý nghĩa. Như vậy, dấu “=” trong phương
trình ñịnh nghĩa phải ñược hiểu như dấu ≡ (ñồng nhất thức).
Ví dụ 1. Lợi nhuận ñược ñịnh nghĩa thông qua phương trình ñịnh
nghĩa sau: Π = R – C, tức là lợi nhuận thu ñược chính là phần dôi ra của
doanh thu sau khi ñã trừ ñi chi phí.
Phương trình hành vi phản ánh cách thức một biến thay ñổi phụ
thuộc vào sự thay ñổi giá trị của các biến khác. Nó có thể bao hàm các
hành vi có ý thức của con người (chẳng hạn, khi xét mối liên quan của
tiêu dùng tổng hợp phụ thuộc vào thu nhập quốc dân) hoặc các hành vi
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 16
vô thức (chẳng hạn, khi xem xét mối liên quan giữa tổng chi phí sản xuất
và mức sản phẩm ñầu ra). Tuy nhiên, ñể thiết lập một phương trình hành
vi cần tuân theo các giả thiết nhất ñịnh. Như vậy, dấu “=” trong phương
trình hành vi phải ñược hiểu như một mối liên quan phụ thuộc.
Ví dụ 2. Xét các ví dụ sau ñây về phương trình hành vi với C là chi

phí và Q là mức sản phảm ñầu ra:
– Chi phí C = 75 + 10Q.
– Chi phí C = 110 + Q
2
.
Các ñiều kiện sản xuất ñược mô tả trong hai phương trình trên là khác
nhau. Trong phương trình thứ nhất chi phí cố ñịnh là 75, còn trong
phương trình thứ hai chi phí cố ñịnh là 110. Sự biến thiên của chi phí C
cũng là khác nhau trong hai phương trình trên. Trong phương trình thứ
nhất khi Q tăng lên một ñơn vị thì C tăng 10 ñơn vị, còn trong phương
trình thứ hai khi Q tăng một ñơn vị thì C tăng lên một lượng là: (Q + 1)
2
–
Q
2
= 2Q + 1. Chẳng hạn nếu Q tăng từ 12 lên 13 thì C tăng lên 25 ñơn vị.
Phương trình cân bằng mô tả ñiều kiện cân bằng, nói ñúng hơn là các
ñiều kiện cần thiết ñể ñạt tới tình trạng cân bằng.
Ví dụ 3. Xét các ví dụ sau ñây về phương trình cân bằng:
– Q
d
= Q
s
: Lượng cầu phải bằng lượng cung.
– S = I: Tổng tiết kiệm phải bằng tổng ñầu tư.
Phương trình thứ nhất mô tả ñiều kiện cân bằng trong mô hình thị
trường, còn phương trình thứ hai mô tả ñiều kiện cân bằng trong mô
hình thu nhập quốc dân. Về bản chất, phương trình cân bằng khác với
phương trình ñịnh nghĩa và phương trình hành vi. Phương trình cân
bằng có một ý nghĩa quan trọng trong các phân tích kinh tế ñể tìm ra

các trạng thái cân bằng.
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 17

Chương II
PHÂN TÍCH CÂN BẰNG TĨNH
1. Phân tích cân bằng trong kinh tế
1.1. Khái niệm về trạng thái cân bằng
Cân bằng hay trạng thái cân bằng có thể ñược hiểu là một tập hợp có
cấu trúc của các biến ñược lựa chọn, có liên quan nội tại và ñược ñiều
chỉnh thích hợp với nhau, sao cho trong mô hình mà chúng tạo nên,
khuynh hướng thay ñổi không tiềm ẩn một cách ñáng kể.
Cụm từ “các biến ñược lựa chọn” ñược nêu trên có nghĩa là, theo sự
lựa chọn của nhà phân tích kinh tế, ñã có một số biến không ñược ñưa
vào mô hình. Như vậy, trạng thái cân bằng chỉ liên quan tới các biến
ñược lựa chọn và ñược ñưa vào xem xét mà thôi. Nếu mô hình ñược mở
rộng ñể bao gồm cả các biến khác thì có thể trạng thái cân bằng trên sẽ
không còn duy trì ñược nữa. Cụm từ “có liên quan nội tại” có nghĩa là ñể
ñạt tới tình trạng cân bằng, các biến ñược lựa chọn ñều phải ở trong trạng
thái dừng. Hơn nữa trạng thái dừng của các biến cũng phải tương thích
với nhau. Nếu trái lại, việc một số biến thay ñổi có thể kéo theo việc các
biến khác thay ñổi theo phản ứng dây chuyền, do ñó trạng thái cân bằng
có thể không còn tồn tại nữa. Cụm từ “tiềm ẩn” “trong mô hình” nói lên
rằng trong trạng thái cân bằng, các trạng thái dừng của các biến ñược
thiết lập dựa trên việc cân bằng các biến nội sinh trong khi các biến ngoại
sinh ñược coi là không ñổi. Có thể nói, trạng thái cân bằng là trạng thái
mà với giá trị cho trước của các biến ngoại sinh, của các tham số, giá trị
của các biến nội sinh ñược xác ñịnh và không thay ñổi theo thời gian.
Như vậy, trạng thái cân bằng là tình trạng ñược ñặc trưng bởi việc
không phát hiện thấy có khuynh hướng thay ñổi. Do ñó, phân tích cân bằng
ñể tìm ra các trạng thái như vậy còn ñược gọi là phân tích tĩnh hay phân

tích cân bằng tĩnh (static – equilibrium). Tuy nhiên, việc không phát hiện
thấy có khuynh hướng thay ñổi hay ñộng lực thay ñổi không ñồng nghĩa
với việc nhất thiết cần coi tình trạng cân bằng là lí tưởng. ðối với nhiều
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 18
công ty, tình trạng cân bằng cung cầu hiện tại về sản phẩm có thể cần ñược
thay ñổi chứ không thể coi là lí tưởng. Tình trạng cân bằng, bởi vậy, có thể
ñược hiểu như tình huống, mà các biến nội sinh có khuynh hướng duy trì
chống lại các thay ñổi từ phía ngoài, từ phía các biến ngoại sinh.
Một kiểu cân bằng khác là cân bằng có mục ñích (goal –
equilibrium), hay cân bằng tối ưu, ñược phân tích thông qua các bài toán
tối ưu. Trạng thái cân bằng như vậy có thể ñược coi là lí tưởng, hay ít
nhất ñược coi là trạng thái “mong muốn” trong ñiều kiện hiện có. Trong
những trạng thái cân bằng như vậy, các biến ñược lựa chọn, có liên quan
nội tại với nhau và ñược ñiều chỉnh thích hợp với nhau, sao cho trong mô
hình mà chúng tạo nên, trạng thái lí tưởng hay mong muốn xảy ra. Trong
chương này, chúng ta sẽ chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu cân bằng tĩnh
không có tính mục ñích.
1.2. Một số ví dụ về phân tích cân bằng tĩnh
Trong các mô hình cân bằng tĩnh, bài toán ñặt ra là cần xác ñịnh các
giá trị của các biến nội sinh sao cho phương trình cân bằng của mô hình
ñược thỏa mãn. Một khi các giá trị ñó ñược xác ñịnh, trạng thái cân bằng
cũng sẽ ñược thiết lập. Chúng ta hãy minh họa vấn ñề này qua mô hình
(tuyến tính cũng như phi tuyến) phân tích cân bằng thị trường riêng, tức
là cân bằng thị trường ñối với một mặt hàng.
Ví dụ 1. Mô hình tuyến tính cân bằng thị trường riêng.
Trong mô hình này chúng ta chỉ xét một mặt hàng với các biến: Q
d
là
lượng cầu, Q
s

là lượng cung và P là giá cả của mặt hàng. Lúc ñó cần xác
ñịnh nghiệm (
P
,
Q
) sao cho
d
Q
=
s
Q
=
Q
và
P
thỏa mãn hệ phương
trình tuyến tính sau:
Q
d
= Q
s
(2.1)
Q
d
= a – bP (với ñiều kiện a > 0, b > 0) (2.2)
Q
s
= – c + dP (với ñiều kiện c > 0, d > 0 ). (2.3)
Trong hệ trên, phương trình (2.1) là phương trình cân bằng xác ñịnh
ñiều kiện cân bằng giữa cầu và cung. Phương trình (2.2) và (2.3) là các

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 19

phương trình hành vi mô tả sự biến thiên của cầu và cung phụ thuộc vào
P. ðể ñơn giản, các mối liên quan này ñược coi là tuyến tính. Các tham
số a, b, c, d xác ñịnh các mối liên quan này. Trong phương trình (2.3) ta
có Q
s
= – c + dP với c > 0, d > 0. ðiều kiện này có nghĩa là cung Q
s
chỉ
xuất hiện (Q
s
> 0) một khi giá cả P của mặt hàng vượt qua một ngưỡng
dương tối thiểu P
1
= c/d.
Nghiệm (
P
,
Q
) ñược gọi là trạng thái cân bằng,
d
Q
=
s
Q
=
Q
là
mức cân bằng cung cầu và

P
là mức cân bằng giá. Trên hình II.1, nghiệm
(
P
,
Q
) chính là giao ñiểm của các ñường cầu và ñường cung.








Dễ thấy rằng từ hệ trên ñây ta có:
Q
= a – b
P

Q
= – c + d
P
.
Do ñó mức cân bằng giá và mức cân bằng cung cầu ñược xác ñịnh
như sau:
P
=
+
+

a c
b d

Q
=
−
+
ad bc
b d
.
Q
d
Q
s

–
c

O
a

P

P
1
(
)
P,Q
P
Q

Q
d
= a
–
bP

Q
s
=
–
c + dP

Hình II.1
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 20
ðể
mô hình có ý ngh
ĩ
a th
ự
c t
ế
, các tham s
ố
a, b, c và d
ñề
u ph
ả
i l
ấ

y
giá tr
ị
d
ươ
ng và th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ad – bc > 0.
Ví dụ 2. Mô hình phi tuyến cân bằng thị trường riêng.
Các mối phụ thuộc của cầu hay cung vào giá cả không nhất thiết phải
là tuyến tính. Nói chung, các mối liên quan này là phi tuyến. Xét ví dụ sau:
Q
d
= Q
s

Q
d
= 4 – P
2
Q
s
= 4P – 1.
Từ ñó có phương trình P

2
+ 4P – 5 = 0. Trong hai nghiệm của
phương trình này:
P
1
= 1 và
P
2
= –5, chúng ta chỉ lấy nghiệm
P
1
= 1.
Thay vào, sẽ tìm ñược
d
Q
=
s
Q
=
Q
= 3. Hình II.2 minh họa các ñường
cầu và ñường cung cũng như trạng thái cân bằng.

2. Các mô hình tuyến tính trong phân tích cân bằng tĩnh
2.1. Mô hình cân bằng thị trường tổng quát
Xét ví dụ ñơn giản về mô hình cân bằng thị trường tuyến tính với hai
mặt hàng:
Hình II.2
–
1

O

4

P

2
Q
d
Q
s

(
)
P,Q
Q
d
= 4 – P
2

Q

s
= 4P – 1
3

1

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 21

Q
d1
= Q
s1

Q
d1
= a
0
+ a
1
P
1
+ a
2
P
2

Q
s1
= b
0

+ b
1
P
1
+ b
2
P
2

Q
d2
= Q
s2

Q
d2
= α
0
+ α
1
P
1
+ α
2
P
2


Q
s2

= β
0
+ β
1
P
1
+ β
2
P
2
.
Cần xác ñịnh trạng thái cân bằng của thị trường với hai mặt hàng
(
)
1 2 1 2
P ,P ,Q ,Q
thỏa mãn hệ phương trình trên với
1d
Q
=
1s
Q
=
1
Q
và
2d
Q
=
2s

Q
=
2
Q
.
Kí hiệu: c
i
= a
i
– b
i
, γ
i
= α
i
– β
i
với i = 0, 1, 2, ta có:
c
1
P
1
+ c
2
P
2
= – c
0

γ

1
P
1
+ γ
2
P
2
= – γ
0
.
Do ñó:
P
1
=
γ − γ
γ − γ
2 0 0 2
1 2 2 1
c c
c c

P
2
=
γ − γ
γ − γ
0 1 1 0
1 2 2 1
c c
c c

.
Từ ñó sẽ tìm ñược các lượng cầu cung cân bằng ñối với hai mặt
hàng:
Q
1
=
Q
d1
=
Q
s1
,
Q
2
=
Q
d2
=
Q
s2
.
Xét ví dụ tính toán với các giá trị cụ thể của các tham số sau ñây:
Q
d1
= Q
s1

Q
d1
= 10 – 2P

1
+ P
2

Q
s1
= – 2 + 3P
1
Q
d2
= Q
s2

Q
d2
= 15 + P
1
– P
2

Q
s2
= –1 + 2 P
2
.
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 22
ðưa hệ ñiều kiện trên về hệ phương trình tuyến tính với 4 ẩn, dễ
dàng xác ñịnh ñược các giá trị cân bằng:
P
1

=
26
7
,
P
2
=
46
7

Q
1
=
64
7
,
Q
2
=
85
7
.
Chú ý rằng, trong trường hợp mô hình cân bằng thị trường hai mặt
hàng là hệ phương trình phi tuyến, cần áp dụng dùng các phương pháp
toán học và / hoặc phần mềm tính toán thích hợp ñể tìm các giá trị cân
bằng của giá cả, cầu và cung.
Trong trường hợp tổng quát, mô hình cân bằng thị trường với n mặt
hàng có phát biểu toán học như sau:
Q
di

(P
1
, P
2
, P
3
, , P
n
) = Q
si
(P
1
, P
2
, P
3
, , P
n
)
i = 1, 2, , n.
Trong ñó, Q
di
và Q
si
có thể là các hàm tuyến tính hay phi tuyến của
P
1
, P
2
, P

3
, , P
n
. Các giá cả cân bằng xác ñịnh ñược từ hệ ñiều kiện
trên sẽ phụ thuộc vào các tham số của mô hình
i
P
=
i
P
(a
1
, a
2
, , a
m
) ,
i = 1, 2, , n.
2.2. Mô hình thu nhập quốc dân
Xét mô hình thu nhập quốc dân Keynes
Y = C + I
0
+ G
0
(ñây là phương trình cân bằng)
C = a + bY (với ñiều kiện a > 0, 0 < b < 1).
Trong ñó:
Y: thu nhập quốc dân, là biến nội sinh,
C: mức tiêu dùng quốc dân, là biến nội sinh,
I

0
:

tổng ñầu tư quốc gia, là biến ngoại sinh,
G
0
:

tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước, là biến ngoại sinh.
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 23

Các tham số a, b lần lượt là chi phí tiêu dùng cố ñịnh (autonomous
consumption expenditure) và hệ số tiêu dùng biên (marginal propensity
to consume).
Từ mô hình trên có thể xác ñịnh ñược các mức cân bằng của thu
nhập quốc dân và mức tiêu dùng quốc dân phụ thuộc vào giá trị của các
biến ngoại sinh I
0
và G
0
:
+ +
=
−
0 0
a I G
Y
1 b

+ +

=
−
0 0
a b(I G )
C
1 b
.
Hay, nếu viết dưới dạng véc tơ, thì có:
 
 
 
 
Y
C
=
−
1
1 b
+ +
 
 
+ +
 
0 0
0 0
I G a
b(I G ) a
.
Các mức cân bằng thu nhập quốc dân hay tiêu dùng quốc dân có thể
là cao hay thấp phụ thuộc vào I

0
, G
0
, a và b theo công thức trên. Chẳng
hạn, nếu cố ñịnh I
0
,

G
0
và a, thì với b càng lớn sát 1,
Y
và
C
càng cao.
Do ñó, ñể tăng thu nhập quốc dân, có thể áp dụng chính sách kích cầu
(tăng hệ số tiêu dùng biên).
Cần chú ý rằng mô hình thu nhập quốc dân Keynes là một mô hình
khá ñơn giản. Mô hình thu nhập quốc dân sau ñây coi chi phí cho bộ
máy hành chính nhà nước là biến nội sinh phụ thuộc vào mức thu nhập
quốc dân:
Y = C + I
0
+ G
C = a + b(Y – T
0
) (với ñiều kiện: a > 0, 0 <b < 1)
G = gY (với ñiều kiện: 0 < g < 1).
Trong ñó:
Y: thu nhập quốc dân,

C: tiêu dùng quốc dân,
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 24
G: tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước,
T
0
: tổng thu thuế quốc gia,
I
0
: tổng ñầu tư quốc gia,
g: hệ số thuế.
Có thể xác ñịnh ñược các mức cân bằng cho thu nhập quốc dân, tiêu
dùng quốc dân và chi phí cho bộ máy nhà nước, căn cứ vào giá trị của
các biến ngoại sinh và các tham số a, b, g.
2.3. Mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief
Phân tích tĩnh ñầu vào – ñầu ra Leontief nhằm trả lời câu hỏi: Mỗi
một trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải ñảm bảo một
mức sản xuất hàng hóa ñầu ra bằng bao nhiêu ñể vừa vặn ñủ thỏa mãn
tổng cầu về loại hàng hóa ñó, tức là thỏa mãn ñược chính các ngành công
nghiệp ñó và nhu cầu chung của xã hội.
Cụm từ ñầu vào – ñầu ra có nghĩa là: ñầu ra của một ngành công
nghiệp A lại có thể là ñầu vào cần thiết cho một hoặc một số ngành công
nghiệp B, C, D nào ñó. Do ñó, mức ñầu ra hợp lí của ngành công
nghiệp A (không bị thiếu hụt hay thặng dư) là phụ thuộc vào nhu cầu ñầu
vào của các ngành công nghiệp B, C, D và nhu cầu chung của xã hội,
bao gồm các nhu cầu về tiêu dùng, tích lũy tài sản và xuất khẩu. Một
cách tổng quát có thể nói, mức ñầu ra hợp lí của mỗi ngành công nghiệp
phụ thuộc vào chính các nhu cầu ñầu vào của các ngành công nghiệp.
Việc xác ñịnh ñúng các mức ñầu ra hợp lí của các ngành công nghiệp ñể
“cân bằng” các ñầu vào giúp cho nền kinh tế giữ ñược ổn ñịnh và phát
triển, không ñể xảy ra các tình trạng “nút thắt cổ chai” (bottleneck), khi

ñầu ra của một số loại hàng hóa quá khan hiếm không ñủ dùng làm ñầu
vào cho các ngành công nghiệp khác. Chính vì vậy, mô hình ñầu vào –
ñầu ra Leontief cũng có thể ñược coi là một mô hình phân tích cân bằng.
ðể nghiên cứu về cấu trúc của mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief,
chúng ta cần xét ñến các giả thiết sau ñây của mô hình:
– Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng hóa j.
Tuy nhiên, giả thiết này cho phép xem xét việc hai hoặc nhiều hơn
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 25

loại hàng hóa ñược sản xuất với các tỉ lệ cố ñịnh (bạn ñọc có thể tự
tìm hiểu ñiều này).
– Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỉ lệ ñầu vào cố ñịnh ñể sản
xuất hàng hóa ñầu ra.
– Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất không ñổi
(constant return to scale), tức là nếu mở rộng ñầu vào k lần thì ñầu ra sẽ
tăng k lần .
Theo giả thiết thứ hai trên ñây, với mọi j = 1, 2, , n, ñể ngành công
nghiệp j sản xuất ra một ñơn vị hàng hóa loại j cần có các tỉ lệ ñầu vào cố
ñịnh a
ij
các hàng hóa loại i, i = 1, 2, , n. Chẳng hạn, a
32
= 0,35 có nghĩa là
ñể sản xuất ra một lượng hàng hóa loại 2 có giá trị bằng 1 ñơn vị tiền tệ
(chẳng hạn như 1 triệu ñồng, ở ñây ñơn vị sản phẩm ñược tính theo ñơn vị
tiền tệ) cần có một lượng sản phẩm loại 3 làm ñầu vào có giá trị 0,35 triệu
ñồng. Các tỉ lệ ñầu vào a
ij
ñược gọi là các hệ số ñầu vào, còn ma trận A =
[a

ij
]
n×n
ñược gọi là ma trận hệ số ñầu vào hay ma trận ñầu vào:
ðầu ra: 1 2 N
ðầu vào
1
2

N

 
 
 
 
 
 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a

a a a
= A
Trong mô hình Leontief, nhu cầu chung của xã hội d
j
về loại hàng
hóa j ñược coi là nhu cầu cuối cùng (final demand) ñể phân biệt với các
nhu cầu ñầu vào (input demand) sử dụng cho sản xuất. Nhu cầu chung

là nhu cầu dành cho “thành phần mở” (open sector), là nơi cung cấp
dịch vụ, lực lượng lao ñộng cho các ngành công nghiệp, tức là cung cấp
“ñầu vào cơ bản” (primery input).
Ma trận ñầu vào A phải có tính chất: tổng các phần tử của cột j là
=
∑
n
ij
i 1
a
< 1, ∀ j = 1, 2, , n, tức là ñể tạo ra một lượng hàng hóa loại j có