130 Bài toán VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ CÁC Mức độ (Có lời giải chi tiết)

130 BÀI TỐN ĐƯỜNG TIỆM CẬN Ở CÁC MỨC ĐỘ
CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
20 BÀI TỐN ĐƯỜNG TIỆM CẬN – CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT – ĐỀ SỐ 2
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1: Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng:
x2  3x  2
A. y 
x 1
Câu 2: Đồ thị hàm số y 
A. 2.

B. y 

x
x1

C. y 

x4

D. y  x2  4

4

x 1

2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x1

B. 0.

C. 3.

D. 1.

7x  2
Câu 3: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  2
là
x 4
A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. 3.

Câu 4: Gọi n là số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x 1
y
. Tìm n?
x2  4x  3
A. n = 0.

B. n = 3.

C. n = 2.

D. n = 1.

2
Câu 5: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  9x  6x  4
x 2

A. x = -2 và y = -3.

B. x = -2 và y = 3.

C. y = 3 và x = 2.

D. y = -3, y = 3 và x = -2.

Câu 6: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?
x 2
.
A. y  2
x  3x  6
C. y 

x 2
.
x1

x 1
B. y  2 .
x 9
D. y 

x 1

2

x  4x  8

.
1


Câu 7: Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang?
A. y  x3  x  1.

Câu 8: Tìm m để đồ thị hàm số y 

C. y 

3x2  2x  1
. D. y  2x2  3.
2
4x  5

 m 1 x  5m có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.
2x  m

5
B. m .
2

A. m = 0.
Câu 9: Đồ thị hàm số y 

x5  1
.
x2  1

B. y 

C. m = 1.

D. m = 2.

3x  1
có các đường tiệm cận là:
x 3

A. y = 3, x = 3.

B. y = -3, x = -3.

C. y = -3, x = 3.

Câu 10: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
3
A. x  .
2

1
B. x   .
2

Câu 11: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

2
A. x  .
3

D. y = 3, x = -3.

2x  3
là đường thẳng
2x  1
1
D. y  .
2

C. y = 1.
x1
là?
3x  2

2
B. y .
3

1
C. x   .
3

1
D. y  .
3

Câu 12: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

1 x
có phương trình
2 x

lần lượt là:
A. x = 1;y = 2.

1
C. x  2; y  .
2

B. x = 2;y = 1.

D. x = 2;y = -1.

Câu 13: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau:
x
y'
y

�

+�

1
-

2

+�

-�
2
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y
= 2.
B. Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.
2


D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng x = 1 và tiệm cận đứng là đường thẳng y
= 2.
Câu 14: Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây?
A. y 

2x  3
x1

B. y 

Câu 15: Cho hàm số y 

3x  2
3x  1

C. y 

x1

D. y  2
x 1

x 3
x 1

2018
có đồ thị (H). Số đường tiệm cận của (H) là:
x 2

A. 2.

B. 0.

C. 3.

Câu 16: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
1
A. y  .
3

D. 1.

x1
là?
3x  2

2
B. x  .
3

2
C. y .
3

1
D. x   .
3

Câu 17: Đường thẳng nào dưới đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y = -2.

B. y = 3.

C. x = -2.

Câu 18: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x = -2.
Câu

19:

B. x = 3.
Có

bao

nhiêu

D. x = 1.

2x  3
là
x 2

C. x = 2.
giá

trị

thực

3 2x
?
x1

D. x = -3.
của

m

để

phương

 sinx 1  2cos2 x   2m 1 cos x  m  0 có đúng bốn nghiệm thực thuộc đoạn  0;2 .
A. 3.

B. 1.

Câu 20: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

A. 3.

B. 0.

C. 2.

trình

D. 4.

2x  1
bằng:
x 3
C. 2.

D. 1.

3


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Chọn B.
Phương pháp:
lim  �
lim  �
Nếu x� x 
hoặc x� x 
thì x = x0 là TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x .
0
0

Cách giải:
Dễ dàng nhận thấy chỉ có đồ thị hàm số y 

x
có TCĐ x = 1.
x1

Câu 2: Chọn A.
Phương pháp:
lim  a hoặc lim  a thì y = a được gọi là TCN của đồ thị hàm số y  f  x .
x��

x��

lim  �� x  x0

x� x0

được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x .

Cách giải:
TXĐ: D  R \  1 .
lim  lim  �� x  1 là TCĐ của đồ thị hàm số.
Ta có: x�
� x��

Vậy đồ thị hàm số y 

2
có 2 đường tiệm cận.

x1

Câu 3: Chọn D.
Phương pháp:
+) Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x nếu
lim f  x  ��.

x�a

+) Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x nếu
lim f  x  b.

x���

Cách giải:
4


Hàm số có TXĐ D  �\  �2 .
lim y  lim y  0 � Đồ thị hàm số có TCN y = 0.
Ta có x�
�
x��
2
Mặt khác x  4  0 � x  �2, lim  �, lim  �� Đồ thị hàm số có 2 TCĐ là x = 2; x= -2.
x�2

x�(2)

Câu 4: Chọn B.

Phương pháp:
lim y  a hoặc lim y  a � y  a là đường TCN của đồ thị hàm số.
Nếu x�
�
x��
lim y  �� x  x0
Nếu x� x
là đường TCĐ của đồ thị hàm số.
0
Cách giải:
Dễ thấy đồ thị hàm số có 1 đường TCN là y = 0 và 2 đường TCĐ là x = 1; x = 3.
Vậy n = 3.
Câu 5: Chọn D.
Phương pháp:
lim y  a hoặc lim y  a � y  a là đường TCN của đồ thị hàm số.
Nếu x�
�
x��
lim  � lim  ��
Nếu x� x 
; x� x 
Đồ thị hàm số có hai TCĐ là x = x0.
0
0
Cách giải:
lim y  3; lim y  3 � Đồ thị hàm số có hai TCN là y = 3 và y = -3.
Ta có x�
�
x��
lim

x�(2)

 �, lim

x�(2)

 ��

Đồ thị hàm số có hai TCĐ là x = -2.

Câu 6: Chọn B.
Phương pháp:
lim y  a hoặc lim y  a � y  a là đường TCN của đồ thị hàm số.
Nếu x�
�
x��
lim y  �� x  x0
Nếu x� x
là đường TCĐ của đồ thị hàm số.
0
Cách giải:
5


x 1
Dễ thấy đồ thị hàm số y  2
có 1 TCN là y = 0 và 2 TCĐ là x  �3.
x 9
Câu 7: Chọn C.

Phương pháp:
+) Tính giới hạn khi x dần tới vơ cùng để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
f  x  b.
+) Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x � xlim
��
Cách giải:





3
� lim y  lim x3  x  1  �� ĐTHS không
Dựa vào đáp án, ta thấy rằng: y  x  x  1��
x��

x��

có TCN.

y

3

x 1
x21

x 1

1

1

x3  �� ĐTHS khơng có TCN.
x��x2  1 x�� 1 1

x x3

��
� lim y  lim
x��

3

 lim

2 1

3x  2x  1
3x  2x  1
3
x x2 3
y
��
� lim y  lim
 lim
 � y  là TCN.
2
2
5

4
4
x��
x�� 4x  5
x��
4x  5
4
2
x
2

2

3

y  2x2  3 ��
� lim y  lim 2x2  3  �� ĐTHS khơng có TCN.
x��

x��

Câu 8: Chọn C.
Phương pháp:
+) Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y 

ax  b
a
 ac �bd có TCN y  .
cx  d
c

Cách giải:
Đồ thị hàm số có TCN y 

m 1
 1� m 1.
2

Câu 9: Chọn D.
Phương pháp:

6


+) Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x nếu
lim f  x  ��.

x�a

+) Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x nếu
lim f  x  b.

x���

Cách giải:
3x  1
 �� x  3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x�3 x  3

Ta có: lim f  x  lim

x�3

3x  1
� y  3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x��� x  3

lim f  x  lim

x���

Câu 10: Chọn B.
Phương pháp:
*Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x .
Nếu lim f  x  � hoặc lim f  x  �hoặc lim f  x  � hoặc lim f  x  �thì
x�a

x�a

x�a

x�a

x = a.
Cách giải:
2x  3
2x  3
lim
 �; lim
 ��
2x  3

Xét hàm số y 
có
Đồ thị hàm số có TCĐ là
1 2x  1
1 2x  1
2x  1
x�
x�
2

2

1
x  .
2
Câu 11: Chọn D.
Phương pháp:
+) Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y 

ax  b
a
 ac �bd có TCN y  .
cx  d
c

Cách giải:
1
Đồ thị hàm số có TCN là y  .
3
Câu 12: Chọn B.

Phương pháp:
7


Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất
Cách giải:
x1
�
lim y  lim
1
�
�y  1
x  1 �x�� x��x  2
��
��
Ta có y 
là hai đường tiệm cận của ĐTHS.
x 2 �
x1
x 2
�
lim y  lim
�
�x�2
x�2 x  2
Câu 13: Chọn A.
Phương pháp:
Dựa vào định nghĩa để xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Cách giải:
lim f  x  lim f  x  2 � y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì x�
�
x� �
Và lim f  x  lim f  x  �� x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x�1

x�1

Câu 14: Chọn A.
Phương pháp:
Nghiệm của phương trình mẫu số chính là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cách giải:
Hàm số y 

2x  3
, với mẫu có nghiệm x = 1 nên x = 1 là TCĐ của đồ thị hàm số.
x1

Câu 15: Chọn A.
Phương pháp:
Dựa vào định nghĩa tính giới hạn tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y  a � y  a là đường TCN của đồ thị hàm số.
Nếu xlim
��
lim y  �� x  x0
Nếu x� x
là đường TCĐ của đồ thị hàm số.
0
Cách giải:
2018

 0 � y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x�� x  2

Ta có lim y  lim
x��

8


2018
� x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x�2 x  2

Và lim y  lim
x�2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Câu 16: Chọn A.
Phương pháp:
Dựa vào định nghĩa, tìm giới hạn của hàm số để tìm tiệm cận ngang
Cách giải:
1
x1
x   1 � y   1 là tiệm cân ngang của ĐTHS.
 lim
Ta có lim y  lim
2
3
3
x��

x��3x  2 x��
3
x
1

Câu 17: Chọn A.
Phương pháp:
Tính giới hạn khi x � � để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Cách giải:
3 2x
 2 � y  2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x�� x  1

Ta có lim y  lim
x��

Câu 18: Chọn A.
Phương pháp:
Hàm số bậc nhất trên bậc nhất y 

ax  b
d
, a,c �0, ad  bc �0 có tiệm cận đứng là: x   .
cx  d
c

Cách giải:
Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

2x  3

là x = -2.
x 2

Câu 19: Chọn C.
Phương pháp:
Đưa phương trình về dạng tích, giải các phương trình lượng giác cơ bản.
Cách giải:

 sinx 1  2cos2 x   2m 1 cos x  m  0
9






�  sinx 1 2cos2 x  2mcos x  cos x  m  0
�  sinx 1 �
2cosx  cos x  m   cos x  m �
�
� 0
�  sinx 1  cos x  m  2cosx 1  0
� 
x   k2
�
sinx  1
�
2
�
�

1

��
cosx  � �
x  �  k2
�
2
3
�
�
�
cos x  m �
cos x  m(*)
�
�
�  5 �
Do x�[0;2] � x�� ; ; �
�2 3 3
Do đó để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc [0;2  ] thì phương trình (*)
TH1: có đúng 1 nghiệm thực thuộc  0;2 � cos x  1� m 1.
�  5 �
TH2: có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm thuộc � ; ; �.
�2 3 3
x


� 3 �
� m 0 � cos x  0 � x�� ; � tm
2
�2 2

x


1
1
� 5 �
� m � cos x  � x�� ; � ktm
3
2
2
�3 3

x

5
1
1
� 5 �
� m � cos x  � x�� ; � ktm
3
2
2
�3 3

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn là m = -1; m = 0.
Câu 20: Chọn C.
Phương pháp:
Đồ thị của hàm số bậc nhất trên bậc nhất y 

ax  b
, a,c �0, ad  bc �0 có tiệm cận đứng là:
cx  d

d
a
x   . và 1 tiệm cận ngang y  .
c
c
Cách giải:
10


Đồ thị hàm số y 

2x  1
có 2 đường tiệm cận: x  3; y  2.
x 3

30 BÀI TỐN VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN- CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT – ĐỀ SỐ 1
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Câu 1: Cho hàm số y 

x 2
có đồ thị (C). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của
x 2

đồ thị (C).
A. I  2;2 .

B. I  2;2 .

Câu 2: Cho đồ thị hàm số (C): y 

1 2x
x2  1

C. I  2;1 .

D. I  2;1 .

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng.

Câu 3: Cho hàm số y 

2017
có đồ thị (H). Số đường tiệm cận của (H) là:
x 2

A. 0.

B. 2.

Câu 4: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

C. 3.
x3  3x  2
x2  3x  2

D. 1.

à

A. x  2.

B. Khơng có tiệm cận đứng.

C. x  1; x  2.

D. x  1.

Câu 5: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y 0.

5
là đường thẳng có phương trình”
x1

B. y 5.

C. x  1.

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y 
A. m�2.

2x  4
có tiệm cận đứng.
x m

B. m > -2.

Câu 7: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

D. x  0.

C. m = -2.

D. m < -2.

3x  1
là:
x 4
11


A. 3.

B. 2.
2x

Câu 8: Đồ thị hàm số y 

x2  1

A. 2.

C. 1.

có số đường tiệm cận là:
B. 1.

C. 3.

Câu 9: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. x  1; y 
x  2; y  1

1
2

D. 4.

B. x  1; y  2.

D. 4.

2x  1
lần lượt là
x 1

C. x  1; y  2.

D.

x 3
Câu 10: Đồ thị hàm số y  2
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
x  x 2
A. 0.

B. 1.

Câu 11: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 0.

C. 2.

D. 3.

C. 2.

D. 3.

x1
là:
2 x

B. 1.

Câu 12: Cho hàm số y  f  x xác định trên, liên tục trên mỗi khoảng và có bảng biến thiên như sau:
x

y'
y

�

0



+

+�
-1

1
0
2

-�



+�

-�

Chọn khẳng định đúng.
A. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng

D. Đồ thị hàm số khơng có tiệm đứng và tiệm cận ngang.
Câu 13: Đồ thị hàm số y 
A. 1.

2x  1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x1
B. 0.

Câu 14: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

C. 2.

D. 3.

1 x
.
x 2
12


A. x  2.

B. y 1.

C. y 1.

D. x  1.

Câu 15: Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2x  1
y
là:
x 1
A. x  1; y  2.
x  2; y  1.

B. x  1; y  2.

C. x  2; y  1.

D.

x
.
C. y  2
x  x 9

D. y 

Câu 16: Đồ thị hàm só nào sau đây có 3 đường tiệm cận?
A. y 

1 2x
.
1 x

Câu 17: Cho hàm số y 

B. y 

1
2

4 x

.

x 3
.
5x  1

1 x
có đồ thị (C). Kết luận nào sau đây đúng?
2  x

1
A. Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng y .
2
B. Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng x = 2.
C. Tiệm cận đứng của (C) là đường thẳng x = 2.
D. Tiệm cận đứng của (C) là đường thẳng y = 1.
lim f  x  1 và lim f  x  1 . Khẳng định nào đúng.
Câu 18: Cho hàm số y  f  x có x�
�
x��
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang x  1 và x  1.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho khơng có hai tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang y = 1 và y = -1.

4x  8
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 19: Cho hàm số y  2
x  5x  6
A. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận là các đường thẳng x  2, x  3 và yy = 0.
B. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x  2, x  3 và khơng có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng là các đường thẳng x  2, x  3 và y = 0.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  3 và tiệm cận ngang y = 0.
Câu 20: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?

13


A. y 

x23x  2
x1

B. y 

x2

C. y  x2  1

x2  1

Câu 21: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

x  1; y  2

Câu 22: Đường tiệm cận nang của đồ thị hàm số y 

C. x  2; y  1

Câu 23: Đồ thị hàm số y 

C. x  2.

B. y 1.

C. x  2.

Câu 24: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

B. x  4.

C. x  0.

D. x  0; x  4.
x 2
x2  4x  5

có bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 3.

C. 4.

Câu 26: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

D. 1.

x 5
có phương trình
x 1

B. y 1.

A. y 1.

D. x  1.

5 x  1
.
x24x

A. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

A. 2.

D. y 2.

x 1
có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình
x 2

A. x  2.

Câu 25: Đồ thị hàm số y 

D.

2x  4
là:
x 2

B. y 2.

A. x  2.

x
x 1

2x  1
có phương trình là:
x1

1
B. x   ; y  2
2

A. x  1; y  2

D. y 

C. x  1.

D. x  5.

Câu 27: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào khơng có đường tiệm cận.

A. y 

x
x2  2

1
B. y  2
x 1

C. y 

3x  2
4x  3

D.

y  x4  2018.
Câu 28: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y 

x2  7x  6
x2  1

.

14


A. 2.

B. 3.

Câu 29: Đồ thị hàm số y 

C. 1.

D. 0.

ax  b
có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x  1 thì a  c
2x  c

bằng
A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

ax  1
. Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  1 là
bx  2
1
tiệm cận đứng và đường thẳng y là tiệm cận ngang.
2
Câu 30: Cho hàm số y 

A. a  1;b  2.
a  1;b  2.

B. a  2;b  2.

C. x  2;b  2.

D.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

1-D

2-C

3-B

4-A

5-A

6-A

7-B

8-D

9-B

10-C
15

11-C
12-C
21-A
22-B
Câu 1: Chọn D.

13-C
23-A

14-B
24-C

15-B
25-C

16-B
26-B

17-C
27-D

18-D
28-A

19-D
29-B

20-D
30-A

Phương pháp:
Giao điểm 2 đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số y 

ax  b
� d a�
 ; �
là I �
cx  d
� c c�

Cách giải:
Hàm số đã cho có giao 2 đường tiệm cận là I(2;1).
Câu 2: Chọn C.
Phương pháp:
Khảo sát hàm số tìm các đường tiệm cận: y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x
�lim f  x  y0
�x��
nếu �
lim f  x  y0
�x��
�lim
�
x� x0
�
�lim
x� x0
x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x nếu thỏa mãn ít nhất: �
�lim
�

x� x
� 0
�lim
�
x� x0
�

f  x  �
f  x  �
f  x  �
f  x  �

Cách giải:
� 1�
 x�
2 �
1 2x
x�
�
 lim
 2 nên y = -2 là một tiệm cận ngang của đồ
+) lim y  lim
2
x��
x�� x  1 x��
1
x 1
x2
thị hàm số.
� 1�

 x�
2 �
1 2x
x�
�
 lim
 2 nên y = 2 là một tiệm cận ngang của đồ thị
+) lim y  lim
x��
x�� x2  1 x��
1
 x 1
x2
hàm số.
16


+) x2  1 vô nghiệm nên đồ thị hàm só khơng có tiệm cận đứng.
Câu 3: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa để tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị (H).
Cách giải:
2017
2017
 �, lim y  lim
 � là tiệm cận đứng của đồ thị (H). Ta
x�2
x�2 x  2
x�2
x�2 x  2

2017
 0 nên đồ thị có một tiệm cận ngang là y = 0.Vậy có 2 đường tiệm
lại có lim y  lim
x��
x�� x  2
cận của (H).
Ta có lim y  lim

Câu 4: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa của tiệm cận đứng.
Cách giải:
Lời giải chi tiết.
lim y
lim y
Để tìm đường tiệm cận đứng ta cần tìm điểm x0 sao cho x� x  hoặc x� x  nhận một trong
0
0
hai giá trị  �;� . Với x� 1;2 thì ta có

 x  1  x2  x  2
y

 x  1  x  2
x2  3x  2
x3  3x  2

2
x2  x  2 Ta có lim y  lim x  x  2  �. Vậy


.
x 2
x 2
x�2
x�2

x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 5: Chọn A.
Phương pháp:
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

ax  b
a
(nếu có) có phương trình là y  .
cx  d
c

Cách giải:
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y = 0.
Câu 6: Chọn A.
Phương pháp:
Dùng định nghĩa của tiệm cận đứng để tìm tiệm cận đứng.
17


Cách giải:
Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì ta cần phải chỉ ra tồn tại a sao cho lim y  �� hoặc
x�a

lim y  ��. Với m = -2 thì hàm số đã cho trở thành y  2x  4  2. Do đó đồ thị khơng có

x�a
x   2
�khi 2m+4>0
2x  4 �
�
. Do đó x  m
-�khi 2m+4<0
x�m
x�m x  m �
2x  4
là tiệm cận đứng. Vậy với m�2 thì đồ thị hàm số y 
có tiệm cận đứng.
x m
tiệm cận đứng. Với m�2. Khi đó lim y  lim



Câu 7: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
Cách giải:
Hàm số bậc nhất có hai đường tiệm cận là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, do đó ta chọn
phương án B.
Câu 8: Chọn D.
Phương pháp:
Tìm số tiệm cận của hàm số y 

f  x

g x

.

lim y; lim y , đếm số các giới hạn hữu hạn khác nhau.
+ Số tiệm cận ngang: Xét 2 giới hạn x�
� x��
y, lim y;... (hoặc
+ Số tiệm cận đứng: Xét các giới hạn xlim
� x1 x� x2
lim y; lim y; lim y; lim y;...

x� x1

x� x1

x� x2

x� x2

với x1, x2,… là nghiệm của phương trình g x  0: Đếm số

các giới hạn vơ hạn.
Cách giải:
lim y  lim

Ta có x��

x��

2

x

1
2

x

 2; lim y  lim
x��

x��

2
x

1

 2

nên đồ thị hàm số có 2 TCN

2

x

y = 2 và y = -2.

18

Có

lim y 

x�(1)

lim

x�(1)

2
2

x 1

 �; lim y  lim
x�1

x�1

2x
2

x 1

 � nên đồ thị hàm số có 2 TCĐ

x = -1 và x = 1.
Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận.
Câu 9: Chọn B.

Phương pháp:
Đồ thị hàm phân thức y 

ax  b
d
 ad  bc �0 có tiệm cận đứng x   và tiệm cận ngang
bx  d
c

a
y .
c
Cách giải:
Ta có:

lim y  �. Suy ra: x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x�1

lim y  2. Suy ra y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Và x�
�
Câu 10: Chọn C.
Phương pháp:
Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức y 

f  x

g x

nếu x0 là nghiệm của

đa thức g x nhưng không phải nghiệm của đa thức f  x .
Cách giải:
Dễ thấy đa thức dưới mẫu có hai nghiệm x  1 và x  2 và hai nghiệm này đều không phải
nghiệm của tử thức.
� Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng.
Câu 11: Chọn C.
Phương pháp:

19


�lim
�
x� x0
�
�lim
x� x0
x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x nếu thỏa mãn ít nhất: �
�lim
�
x� x
� 0
�lim
�
x� x0
�

f  x  �

f  x  �
f  x  �
f  x  �

�lim f  x  y0
�x��
y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x nếu �
lim f  x  y0
�x��
Cách giải:
Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là
- Tiệm cận đứng x  2
- Tiệm cận ngang y = -1.
Câu 12: Chọn C.
Phương pháp:
Xét hàm số y  f  x :
lim y  a hoặc lim y  a thì y = a được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Nếu x�
�
x��
lim y  ��
lim y  ��
Nếu x� x
hoặc x� x
thì x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
0
0
Cách giải:
Dựa vào BBT ta thấy:
lim y  1; lim y  �� hàm số khơng có tiệm cận ngang � Đáp án A, B sai.



x�0

x�0

lim y  �� x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số � Đáp án C đúng.

x�0

Câu 13: Chọn C.
Phương pháp:
lim y  a hoặc lim y  a thì y = a được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x��

x��

20


lim y  ��

x� x0

lim y  ��
hoặc x� x
thì x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
0

Cách giải:

2x  3
2x  3
�
lim
 �; lim
 �
�
�x�1 x  1
x�1 x  1
� Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Ta có: �
�lim 2x  3  lim 2x  3  2
�
�x�� x  1 x�� x  1
Câu 14: Chọn B.
Phương pháp:
lim y  a hoặc lim y  a thì y = a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Nếu x�
�
x��
Cách giải:
1
1
1 x
x
 lim
 1. Do đó y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm
Ta có lim y  lim
2
x��

x��x  2 x��
1
x
số.
Câu 15: Chọn B.
Phương pháp:
Đồ thị hàm phân thức y 

ax  b
d
 ad  bc �0 có tiệm cận đứng x   và tiệm cận ngang
bx  d
c

a
y .
c
Cách giải:
Đồ thị hàm số y 

2x  1
có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = -2.
x 1

Câu 16: Chọn B.
Phương pháp:
*Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x .
lim f  x  a hoặc lim f  x  a � y = a là TCN của đồ thị hàm số.
Nếu x�
�

x��
*Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x .
21


Nếu lim f  x  � hoặc lim f  x  � hoặc lim f  x  � hoặc lim f  x  � thì
x�a

x�a

x  a là TCĐ của đồ thị hàm số.

x�a

x�a

Cách giải:
Đồ thị hàm số y 
Đồ thị hàm số y 

1 2x
có 2 đường tiệm cận là x  1; y  2
1 x
1
4  x2

có 3 đường tiệm cận là x  2;x  2;y  0

x
Đồ thị hàm số y  2

có 1 đường tiệm cận là y = 0
x  x 9
Đồ thị hàm số y 

x 3
1
1
có 2 đường tiệm cận là x  ; y 
5x  1
5
5

Câu 17: Chọn C.
Phương pháp:
Định nghĩa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
lim y  a hoặc lim y  a thì y = a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x��

x��

lim y  ��� x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x� x0

Đồ thị hàm phân thức y 

ax  b
d
 ad  bc �0 có tiệm cận đứng x   và tiệm cận ngang
bx  d

c

a
y .
c
Cách giải:
Ta có y 
x 

a 1
  1� Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1.
c 1

d
2

 2 � x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
c
1

Câu 18: Chọn D.
Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa tiệm cận ngang trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản.
lim f  x  a nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = a.

x��

22

lim f  x  b nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = b.

x��

Cách giải:
lim f  x  1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

x��

lim f  x  1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = -1.

x��

Câu 19: Chọn D.
Phương pháp:
*Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x .
lim f  x  a hoặc lim f  x  a � y = a là TCN của đồ thị hàm số.
Nếu x�
�
x��
*Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x .
Nếu lim f  x  � hoặc lim f  x  � hoặc lim f  x  � hoặc lim f  x  � thì
x�a

x�a

x�a

x  a là TCĐ của đồ thị hàm số.

x�a

Cách giải:
4x  8
Hàm số y  2
có tập xác định D  �\  2;3 .
x  5x  6
4 8

4x  8
x x2
 lim
0
Ta có: lim 2
5 6
x���x  5x  6 x���
1 
x x2

lim

4x  8

4 x  2

 lim

4
 4
x�2 x  3

 lim

 x  2  x  3
4 x  2
4x  8
4
lim
 lim
 lim
 4
2
x�2 x  5x  6 x�2  x  2  x  3 x�2 x  3


2

x�2 x  5x  6

4x  8





x�2

 lim

4 x  2

lim

x  5x  6 x�2  x  2  x  3

lim

x  5x  6 x�2  x  2  x  3



x�2

x�2

2

4x  8

2



 lim

4 x  2

4
 4
x�2 x  3

 lim



4
 4
x�2 x  3

 lim

23


lim

4x  8

2
x�3 x  5x  6

lim

4x  8

2
x�3 x  5x  6

lim

4x  8

2
x�3 x  5x  6

lim

 lim

4 x  2







x�3 x  2 x  3

 lim

4 x  2





4
 �
x�3 x  3

 lim



x�3 x  2 x  3

 lim

4x  8

2
x�3 x  5x  6

4 x  2







x�3 x  2 x  3

 lim



4 x  2



4
 �
x�3 x  3

 lim

4
 �
x�3 x  3

 lim



x�3 x  2 x  3

4
 �
x�3 x  3

 lim

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 và tiệm cận ngang y = 0.
Câu 20: Chọn D.
Phương pháp:
+) Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất ln có tiệm cận đứng.
f  x  ��.
+) Đường thẳng x  a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu xlim

�a
Cách giải:
x2  3x  2  x  2  x  1

 x  2 � đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
x1
x 1

+) Đáp án A: y 

+) Đáp án B: Ta có: x2  1 0x�R � đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
+) Đáp án C: Đồ thị hàm số khơng có TCN.
x
 �� x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x�1 x  1

+) Đáp án D: Có lim
Câu 21: Chọn A.
Phương pháp:

f  x  ��.
+) Đường thẳng x  a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x nếu xlim
�a
f  x  b.
+) Đường thẳng y  b được gọi là TCN của đồ thị hàm số y  f  x nếu xlim
��
Cách giải:
2x  1
2x  1
 2 � y  2 là TCN của đồ thị hàm số lim

 �� x  1 là TCĐ của
x��� x  1
x�1 x  1
đồ thị hàm số.
Ta có: lim

24


Câu 22: Chọn B.
Phương pháp:
Đồ thị hàm số y 

ax  b
a
có tiệm cận ngang y  .
cx  d
c

Cách giải:
Cách tính nhanh. Đồ thị hàm số y 

2x  4
2
có tiệm cận ngang y  � y  2.
x 2
1

Câu 23: Chọn A.
Phương pháp:

Đồ thị hàm số y 

ax  b
d
có tiệm cận đứng là x   .
cx  d
c

Cách giải:
x 1
 �� x  2 là tiệm cận đứng của ĐTHS.
x�2 x  2

Ta có lim y  lim
x�2

Câu 24: Chọn C.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tính giới hạn để tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Cách giải:
Ta có y 

5 x  1
x2  4x



5 x  1

x x  4

x



1



5 x  1

. Suy ra x = 0 là tiệm cận đứng của ĐTHS.

Câu 25: Chọn C.
Phương pháp:
lim y  a hoặc lim y  a thì y = a được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Nếu x�
�
x��
y  f  x .
lim y  �
lim y  �
Nếu x�x
hoặc x� x
thì x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
0
0
y  f  x .

Cách giải:
Sử dụng MTCT ta tính được

25