Giáo trình Xử lý ảnh -Chapter 6

1
Tham khảo bài giảng ĐH Vanderbilt
BỘ MÔN KHOA HỌC MÁY TÍNH
NHẬP MÔN XỬ LÝ ẢNH
Chương 6: Biến đổi Fourier
Biên soạn: Dr Ngo Huu Phuc
Nội dung
1. Biến đổi Fourier 1D.
2. Biến đổi Fourier nhanh.
3. Biến đổi Fourier 2D.
4. Biến đổi Fourier 2D nhanh.
5. Hiển thị FFT.
6. Ứng dụng FFT.
2
Tham khảo bài giảng ĐH Vanderbilt
Giới thiệu
Đáp ứng tần số của hệ thống của hệ thống tuyến
tính 2D được cho bởi:
Nếu h(k1,k2) có k1 ≥ 0, k2 ≥ 0 và xác định trong
miền hữu hạn N × N thì:
3
Tham khảo bài giảng ĐH
Vanderbilt
)1.6(),(),(
1 2
2211
)(
2121
∑ ∑
∞
−∞=

∞
−∞=
+−
=
k k
kkj
ekkhH
ωω
ωω
)2.6(),(),(
1
0
1
0
)(
2121
1 2
2211
∑∑
−
=
−
=
+−
=
N
k
N
k
kkj

ekkhH
ωω
ωω
Giới thiệu (tiếp)
Công thức (6.2) là tuần hoàn, với chu kỳ tuần hoàn là
2π.
Nếu chúng ta lấy mẫu dưới dạng ω1, ω2, và miền xác
định là (0 ≤ ω1 ≤ 2π) và (0 ≤ ω2 ≤ 2π), N × N mẫu,
chúng ta có thể viết
khi đó:
Công thức 6.4 là biến đổi Fourier rời rạc DFT.
Tham khảo bài giảng ĐH
Vanderbilt
4
ω
π
1 1
2
=
N
n
)3.6(
2
22
n
N
π
ω
=
( )

)4.6(),(),(
1
0
2
1
0
2121
1
2211
2
∑∑
−
=
+
⋅
−
−
=
=
N
k
knkn
N
j
N
k
ekkhnnH
π
1. Biến đổi Fourier 1D
Biến đổi Fourier 1-D cho tín hiệu thời gian rời rạc f(kT) tính theo

công thức:
Công thức này có thể viết lại dưới dạng
trong đó f(k) = f(kT) và WN = e- j2 /N . WN được gọi là hạt nhân của
phép biến đổi
Tổng quát: , với A(n),
φ
(n) gọi là phổ khuyếch đại
và phổ pha của F(n).
Tham khảo bài giảng ĐH
Vanderbilt
5
)5.6()()(
1
0
2
∑
−
=
⋅−
=
N
k
nk
N
j
ekTfnF
π
)6.6(¦)()(
1
0

∑
−
=
−
=
N
n
nk
N
WkfnF
)(
)()(
nj
enAnF
φ
=
Biến đổi ngược DFT
Hàm f(k) là biến đổi ngược DFT của F(n) cho
bởi theo biểu thức:
Khi f(k) có thể rút ra từ F(n) và ngược lại, chúng
gọi là cặp biến đổi. Cặp biến đổi này có dạng
Tham khảo bài giảng ĐH
Vanderbilt
6
)7.6()(
1
)(
1
0
2

∑
−
=
=
N
n
nk
N
j
enF
N
kf
π
)8.6()()( nFkf
⇔
Một vài tính chất của DFT
Tuyến tính. Nếu ta có hai dãy tuần hoàn cùng f1(n) và
f2(n), và cả hai dãy này tuần hoàn với chu kỳ N, được
dùng để tính
f3(k) = af1(k) + bf2(k) (6.9)
là kết quả của biến đổi DFT f3(n) cho bởi
F3(n) = aF1(n) + bF2(n) (6.10)
ở đây a, b là hằng số và
F1(n) = DFT của f1(k)
F2(n) = DFT của f2(k)
Tham khảo bài giảng ĐH
Vanderbilt
7
Một vài tính chất của DFT
Tính đối xứng.

Tham khảo bài giảng ĐH
Vanderbilt
8
nk
N
j
N
k
nk
N
j
N
k
N
N
j
N
k
nNk
N
eekf
eekf
WkfnNF
⋅
−
=
⋅⋅
−
=
⋅−

−
=
−−
∑
∑
∑
=
=
=−
π
ππ
2
1
0
2
1
0
2
1
0
)(
)(
)(
)()(
∗
∗
−
=
−
=









=−
∑
)()()(
1
0
.
2
nFekfnNF
N
k
nk
N
j
π
Nếu f(k) là thực
Dấu * là phép toán liên hợp phức
Một vài tính chất của DFT
Tích chập tuần hoàn. Coi f1(k) và f2(k) là hai dãy tuần hoàn có chu kỳ N,
với biến đổi Fourier rời rạc là F1(n) và F2(n). Xem xét tích F(n1).F(n2)
Đặt f3(k) = IDFT của F1(n).F2(n),
Đã chứng minh được:
với k = 0 đến 2N - 1

Tham khảo bài giảng ĐH
Vanderbilt
9
∑
−
=
−
=
1
0
1111
1
11
)()(
N
k
kn
N
WkfnF
∑
−
=
−
=
1
0
2222
2
22
)()(

N
k
kn
N
WkfnF
( )
nk
N
n
WnFnF
N
kf
∑
−
=
=
1
0
213
)().(
1
)(
)()()(
12
1
01
113
lNkkfkfkf
N
k

−−=
∑
−
=
2. Biến đổi FFT
Tính trực tiếp giá trị của DFT bao gồm N phép nhân phức
và N - 1 phép cộng phức cho mỗi giá trị của F(n).
Khi N giá trị được tính toán thì N2 phép nhân và N(N - 1)
phép cộng được tính toán.
Cũng như vậy, cho N có giá trị rất lớn, tính trực tiếp giá trị
của DFT sẽ đòi hỏi một số phép tính lớn đến mức không
thể chấp nhận được.
để giảm việc tính toán, có thể sử dụng thuật toán phân
chia thời gian và phân chia tần số, ta có FFT
Tham khảo bài giảng ĐH
Vanderbilt
10