1De Toan va dap an HSG 11 cap truong

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH. TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG…. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014. Đề chính thức. Môn thi: Toán (Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề) a , a , a , a ,......an   0;1 Bài 1(4đ): cho n số : 1 2 3 4 Chứng minh rằng: 2 (1  a1  a2  a3  a4  ......  an ) 4(a12  a22  a32  a42  .......  an2 ). 3 sin 2012 x  cos 2012 x 2(sin 2014 x  cos 2014 x )  cos2 x 2 Bài 2(4đ): Giải phương trình: n Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1  x) có hai hệ số. 7 liên tiếp có tỉ số là 15. Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm S khác H. Chứng minh rằng: a) AC  ( SHK ) . b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH). Bài 5(4đ): 0    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và B ' BA B ' BC  ABC 60 . Chứng minh A’B’CD là hình vuông..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bài Bài 1 (4đ). Nội dung tam. Xét. Điểm thức. 2. 2 1. 2 2. 2 3. 2 4. 2 n. f ( x) x  (1  a1  a2  a3  a4  ......  an ) x  (a  a  a  a  .......  a ) f (1) 12  1  a1  a2  a3  a4  ......  an  a12  a22  a32  a42  .......  an2. Ta có.  f (1) a1 (a1  1)  a2 (a2  1)  a3 (a3  1)  a4 (a4  1)  .....  an (an  1). Mặt khác. a1 , a2 , a3 , a4 ,......an   0;1. nên. 0.5. 2 2 2 2 2 Mà f (0) a1  a2  a3  a4  .......  an 0  f (1). f (0) 0. 0.5.  0;1 vậy.  (1  a1  a2  a3  a4  ......  an ) 2  4( a12  a22  a32  a42  .......  an2 ) 0  (1  a1  a2  a3  a4  ......  an ) 2 4(a12  a22  a32  a42  .......  an2 ) Bài 2. sin 2012 x  cos 2012 x 2(sin 2014 x  cos 2014 x) . (4đ). 3 2. *cos2 x 0  x  *cos 2012 x . 3 2. 3 2. 0.5. 3. cos2 x 0 2  cos2 x 0(1).  sin 12 x) 0  . 0.5. cos2 x.  cos 2012 x(2 cos 2 x  1)  sin 2012 x(1  2 sin 2 x ) .  cos2 x(cos12 x . 0,5 0.5 0.5.  a1 (a1  1) 0  a (a  1) 0  2 2  a3 (a3  1) 0  f (1) 0 ...........   an (an  1) 0. Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm trên. 0,5. 0.5. 3.  cos 2012 x   sin 2012 x 0(2)  2.    k (k  Z ) 4 2.  sin 2012 x 0. 0.5 0.5 0.5. cos 2012 x 0x  R 3  2012 * 3  c os x   sin 2012 x  0x  R 2012 2 x 0x  R   sin Ta nhận thấy  2. 0.5 0.5 0.5. Vậy pt(2) vô nghiệm. 0.5.   x   k (k  Z ) 4 2 Phương trình có nghiệm là:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 3 (4đ). 1. n. (1  x) n  Cnk x k  k 0. số. hạng. liên. tiếp. là. k n. k 1 n. C ;C. ta. có. k n k 1 n. C C. 7 k 1 7 k 1     7n 22k  15  n 3k  2  15 n  k 15 7 k 1 t n , k  ¥ 7 khi đó n 22t  1 đế n là số nguyên dương bé Do đặt nhất thì t cũng phải là số nguyên dương bé nhất vì k 0 nên 1 7t  1 0  t   t 1 7 (vì t là số nguyên dương bé nhất) vậy n 22.1  1 21. Bài 4: (4đ). 1 1 1. S. 0.5. K. A. D I. 0.5. H. B. C. a) Cm: AC  ( SHK ) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD nên HK//BD mà AC  BD  HK  AC (1) Mặt khác SH  ( ABCD)  SH  AC (2) từ (1);(2) ta có AC  ( SHK ) b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) Ta. có. · · CDK DAH (c.g.c)  CKD DHA. · · · · · HDA  DHA 900  CKD  HDA 900  KID 900 (CK  DH I ). mà hay. CK  DH (1)mặt khác SH  ( ABCD)  SH  CK (2) từ (1); (2) ta có CK  ( SDH ) hay góc giữa. CK và mặt phẳng (SDH) bằng 900. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> D'. A'. B'. C' A. B. Bài 5: (4đ). D. C. Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi. 1. uuur uuu r uuur uuu r uur uuur uuu r uuu r uur 1 1 CB 'CD ( BB '  BC ) BA BB '.BA  BC.BA a.a.  a.a. 0 2 2  CB '  CD. 1. Hay A’B’CD là hình vuông. 1. Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.. 1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>