3De toan va dap an HSG 11 cap truong

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian phát đề ----------------------------------------------------------------------. Câu 1 ( 2,0 điểm). Giải phương trình sau: x 2  x  2013 2013. Câu 2 ( 3,0 điểm). Cho phương trình (2sin x  1)(2co s 2 x  2sin x  m) 1  2cos 2 x. ( Với m là tham số). a, Giải phương trình với m = 1 b, Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc Câu 3 (5,0 điểm). a, Giải hệ phương trình :.  0;  .  x 2  y 2  3x  4 y 1  2 2 3x  2 y  9 x  8 y 3 n. 4 b, Tìm hệ số của x trong khai triển sau:. 3 5 1   nx  3  x  biết n là số nguyên thoả mãn hệ thức . 2Cn1  C n2 n 2  20. . Câu 4 .(4,0 điểm). Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.. a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:. M. sin A . cos B  cosC sin B  sin C. sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C cos 2 A  cos 2 B  cos 2C. 2 2 Câu 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C 1) : x  y 13 ,đường tròn (C2) :. ( x  6) 2  y 2 25 .. a, Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) . b, Gọi giao điểm có tung độ dương của (C 1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. Câu 6 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . a, Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b, M là điểm di động trên đoạn BC và BM =x ,K là hình chiếu của S trên DM . Tính độ dài đoạn SK theo a và x . Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK. ..............................……………. Hết…………………..................................... Họ và tên thí sinh:...................................................................SBD:......................................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Môn : TOÁN Câu Câu 1. Đáp án x 2  x  2013 2013 . ĐK x  2013. Điểm 0,25. 2 2 Đặt t  x  2013 ( với t t 0)  t x  2013  t  x 2013 . Ta có hệ PT:. 0,5. 2.  x  t 2013 2 t  x 2013  ( x  t )( x  t  1) 0. + Với x +t =0 ta được t = -x  nghiệm.. 0,5. x  2013  x . Giải ra ta được. 1 x. 8053 0,25 2 là. 0,25  x  1  x  2013 + Với x – t +1 = 0 ta được : x +1 = t . Giải ra ta được  1  8049 x 0,25 2 là nghiệm 1 x. Câu 2. 8053  1  8049 x 2 2 Đáp số : , (2sin x  1)(2co s 2 x  2sin x  m) 1  2cos2 x. a. ,. Với. m. =1. ta. được. trình. :. (2sin x  1)(2co s 2 x  2sin x 1) 1  2cos 2 x  (2sin x  1).cos2 x 0 1  5 sin x   x   k 2  x   k 2 2 6 6 +   co s 2 x 0  x   k 4 2 +. 0,5. b, Phương trình đã cho tương đương với : (2sin x  1)(2co s 2 x  m  1) 0 1  5 sin x   x   x    0;   2 6 6 Với. 0,25. Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc  1 m  5 cos 2 x . 2. vô nghiệm hoặc có hai nghiệm m >3 v m =0 . Câu 3. phương. 0;  . 1,5 0,5. thì phương trình :. 0,25 0,25. x  ;x  6 6 .Từ đó ta được m <-1v 0,25. 2 2 2 2 2  x  y  3x  4 y 1  x  3x  y  4 y 1  x  3x  1 0    2  2  2 2 2 3x  2 y  9 x  8 y 3 3( x  3x)  2( y  4 y ) 3  y  4 y 0  3  13   3  13   3  13   3  13  ;0  ;  ; 4  ;  ;0  ;  ; 4  ;  2 2 2 2         Ta được nghiệm của hệ là :. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu 4. n. 4 , Tìm hệ số của x trong khai triển sau:. hệ thức. 2Cn1  C n2 n 2  20 1 n. 2. 2. .. 2C  C n n  20. Từ hệ thức Ta được n= 8 thoả mãn .. 3 5 1   nx  3  x  biết n là số nguyên thoả mãn . 2 . Đk n 2, n  Z  n  3n  40 0  n 8  n  5. 8. 0,5 0,5. 8. 40  14 k k 8 3 5 1   3 5 1  k 8 k 3 0,5 8 x   2 x   C .2 . x  8   3  3  4 x x     k  0 Ta có : . Khai triển chứa x m 0,5 40  14k  4  k 2 0,5 3 . 2 6 Vậy hệ số của x4 là C8 .2 1792. Câu 5. a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu :. sin A . cos B  cosC sin B  sin C. A cos B  cosC A A 2  2cos 2 A 1  cos A 0  sin A   2sin .cos  sin B  sin C 2 2 cos A 2 2 Từ Â là góc sin. vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A. sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C M 2  M 1  2 1 cos A  cos 2 B  cos 2C cos A  cos 2 B  cos 2C b, 3 3 M 1  2  cos 2 A  cos 2 B  cos 2C  2 2 cos A  cos B  cos C M  1 . Biến đổi về 3 cos 2C  cos C.cos( A  B)  1  0 M 1 3  3    2   cos 2 ( A  B )  4  1   0  4  1   cos ( A  B ) 1  M 1   M 1  3 1  1   M 3 M 1 4 cos 2 ( A  B) 1  M 3    A B C 600 1 cos C  cos ( A  B)  2. 0,5 0,5 0,5 0,5. 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25. Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (C1) cú tõm O(0;0),bỏn kớnh. 0,25. R1  13. R 5. 0,25. Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0. 0,25. (C2) cú tõm I(6;0),bỏn kớnh 2 . Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) 1,0. Gọi. d1 d (O, d ); d 2 d ( I , d ). Yờu cầu bài toỏn trở thành:. 2 2. 0,25 2 2. 2 1. 2 1. 2 2. 2 1. R  d R  d  d  d 12. 0,25.  b 0  b  3a . (4a  3b) 2 (2 a  3b) 2  12  b 2  3ab 0  2 2 2 2 a b a b. *b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0. 0,25. S a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên SA vuông góc với AB và AD. Vậy các tam giác SAB và SAD vuông tại A Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC Vởy tam giác SBC vuông tại C. Tương tự tam giác SDC vuông tại D. b, Ta có BM =x nên CM = a- x. 0,25. AKD DCM 0 ˆ ˆ ˆ ˆ (vì có AKD DCM 90 , DAK CDM ) AK AD AD    AK DC. DC DM DM. 0,25 0,25 A. 0,25 D K. B. M. 0,25 0,25. C. 0,25. a2. =. 0,25. 2. 2. x  2 ax  2 a .. Tam 2. giác. SAK. vuông. tại. A. nên. 2. x  2ax  3a SK  SA  AK a 2 x  2ax  2a 2 . 2. 0,25. 2. SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất  K O  x 0  SK nhỏ nhất. 0,25 0,25. . -----------------------------------------------Hết--------------------------------------------------------Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa - Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác. a 6 2. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>

<span class='text_page_counter'>(6)</span>