Vận dụng phương pháp sử dụng số liệu thống kê vào dạy học địa lí 11 thpt

LỜI NĨI ĐẦU
Để tìm hiểu về phép tính biến phân và tích phân Stingiét, khố luận này
nhằm trình bày các khái niệm, định lý, tính chất cơ bản của hàm với biến phân
giới nội, nguyên lý lựa chọn của Helli, hàm liên tục với biến phân giới nội, tích
phân Stingiét.
Khố luận được trình bày theo 2 chương:
Chương 1. Phép tính biến phân.
Trong chương này chủ yếu trình bày các khái niệm, định lý của hàm biến
phân giới nội, các bổ đề của nguyên lý lựa chọn của Helli, các định lý của hàm
liên tục với biến phân giới nội.
Chương 2. Tích phân Stingiét.
Trong chương này trình bày khái niệm và tính chất của tích phân Stingiét.
Vì việc chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân Stingiét.
Khố luận được hồn thành tại trường Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo PGS. TS Tạ Quang Hải đã hướng dẫn giúp
tơi hồn thành khố luận. Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè đã
giúp đỡ tác giả trong quá trình làm khoá luận. Mặc dù bản thân đã cố gắng rất
nhiều nhưng khố luận khơng tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong các
thầy cô giáo và bạn bè góp ý.
Vinh, ngày 5/4/2004
Tác giả

3


Chương 1
PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN
Đ1. HÀM VỚI BIẾN PHÂN GIỚI NỘI
Trong phần này chúng ta xét khái niệm về một lớp các hàm số có biến phân
giới nội liên quan mật thiết với các hàm số đơn điệu.
Giả sử f(x) là hàm giới nội trên [a, b]. Ta chia [a, b] ra từng phần bởi các

điểm tùy ý:
x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b,
lập tổng số
n 1

V=

 f(xk +1) - f(xk)

k 0

Định nghĩa 1.1.1. Cận trên đúng của tập hợp tất cả các tổng V gọi là biến
b

phân toàn phần của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và được ký hiệu là V ( f )
a

Nếu

b

Va (f) < + thì ta nói hàm số f(x) là một hàm số có biến phân giới nội

trên đoạn [a, b].
Định lý 1.1.1. Hàm số đơn điệu là hàm số có biến phân giới nội.
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp f(x) là hàm đơn điệu tăng.
Nếu f(x) tăng trên [a, b] thì các hiệu f(xk +1) - f(xk)  0
và
n 1

V=

 f(xk +1) - f(xk) = f(b) - f(a).

k 0

Suy ra
b

Va (f) < +.
Vậy f(x) là hàm số với biến phân giới nội.
Định lý 1.1.2. Hàm số thoả mãn “điều kiện lipsit” là các hàm với biến phân
giới nội.
Chứng minh. Ta biết rằng một hàm số giới nội f(x) được xác định trên
4


[a,b] thoả mãn điều kiện lipsit nếu có một hằng số k sao cho:
Với 2 điểm bất kì x, y trên [a, b]
f(x) - f(y) < k x - y.
Nếu tại mọi điểm [a, b] hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) giới nội thì theo cơng
thức Lagrangiơ ta có
f(x) - f(y) = f’(z)(x - y)

(x < z < y).

Rõ ràng
f(x) - f(y)  f’(z)(x - y).
Suy ra f(x) thoả mãn điều kiện lipsit.
Nếu f(x) thoả mãn điều kiện lipsit thì

f(xk +1) - f(xk)  k(xk +1 - xk)
Do đó
V  k(b - a).
Vậy f(x) là một hàm số với biến phân giới nội.
b

Trong trường hợp V (f) = + thì ta nói hàm số f(x) là hàm số với biến phân
a

tồn phần vơ hạn.
Ví dụ: Cho f(x) = x.cos 2x

(0 < x < 1, f(0) = 0)

Nếu ta chia đoạn [a, b] thành từng phần bởi các điểm
0<

1
1
1 1
<
< ... < < < 1.
2 n 2n  1
3 2

Khi đó
V=1+

1 1
1

+ + ... + .
2 3
n

1

Ta có

V0 = + .

Định lý 1.1.3. Mọi hàm số với biến phân hữu hạn đều giới nội.
Chứng minh. Khi a  x  b.

5


b

V = f(x) - f(a) + f(b) - f(x)  V (f).
a

Do đó
b

f(x)  f(a) + V (f).



a

Định lý 1.1.4. Tổng, hiệu và tích của hai hàm số với biến phân giới nội là
một hàm số với biến phân giới nội.
Chứng minh. Giả sử 2 hàm số f(x) và g(x) là hai hàm số với biến phân giới
nội trên [a, b] và s(x), h(x), p(x) lần lượt là tổng, hiệu, tích của chúng, khi đó
s(xk +1) - s(xk)  f(xk +1) + g(xk +1) - f(xk) + g(xk)

+)

 f(xk +1) - f(xk) + g(xk +1) - g(xk).
Suy ra
b

b

b

Va (s)  Va (f) + Va (g).
Vậy s(x) là hàm số với biến phân giới nội.
+)

h(xk +1) - h(xk)  f(xk +1) - g(xk +1) - f(xk) - g(xk)
 h(xk +1) - h(xk)  f(xk +1) - f(xk) - g(xk +1) - g(xk)


b

b

b

a

a

a

V (h)  V (f) - V (g) < +.

Vậy h(x) là hàm số với biến phân giới nội.
+) Giả sử p(x) = f(x).g(x)
Đặt A = supf(x), B = supg(x).
Khi đó
p(xk +1) - p(xk)  f(xk +1)g(xk +1) - f(xk).g(xk)
p(xk +1) - p(xk)  f(xk +1).g(xk +1) - f(xk).g(xk +1) + f(xk).g(xk+1) - f(xk).g(xk).
p(xk +1) - p(xk)  g(xk +1)[f(xk +1) - f(xk)] + f(xk)[g(xk +1) - g(xk)]
p(xk +1) - p(xk)  g(xk +1)f(xk +1) - f(xk) + f(xk)g(xk +1) - g(xk)
b

b

b

a

a

a

 V (p)  BV (f) + AV (g) < +.
6

Vậy p(x) là hàm số với biến phân giới nội.
Định lý 1.1.5. Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số với biến phân giới nội và
g(x)  b > 0 thì thương

f ( x)
cũng là một hàm số với biến phân giới nội.
g ( x)

Chứng minh. Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số với biến phân giới nội trên
f ( x)
.
g ( x)

[a, b] và t(x) là thương của chúng t(x) =

Vì g(x)  b > 0  g(x)  0 suy ra t(x) ln xác định.
Khi đó
f ( xk 1 ) f ( xk )
.

g ( xk 1 ) g ( xk )

t(xk +1) - t(xk) =
Đặt A = inf g(x)
[ a ,b ]

Xét

1
g ( xk 1 )  g ( xk )
1
1
=
 2 g(xk +1) - g(xk)

A
g ( xk 1 ) g ( xk )
g ( xk 1 ).g ( xk )
1 b
 2 V (g).
A a

Vậy t(x) là hàm số với biến phân giới nội.
Định lý 1.1.6. Giả sử trên [a, b] được xác định một hàm số f(x) giới nội và
a < c < b. Khi đó
b

c

b

V (f) = V (f) + V (f).
a

a

c

(1)

Chứng minh. Ta chia mỗi đoạn [a, c] và [c, b] ra từng phần bởi các điểm
y0 = a < y1 < y2 < ... < ym = c ; z0 = c < z1 < ... < zn = b
Ta có
n 1

m 1

V1 =

 f(yk +1) - f(yk) ,

k 0

V2 =

 f(zk +1) - f(zk).

k 0

Các điểm yk, zk cũng chia đoạn [a, b] ra từng phần. Nếu gọi V là tổng
ứng với cách chia đó thì V = V1 + V2.
7


b

V1 + V2 = V (f).

Suy ra

a

Do đó
c

b

b

V (f) + V (f) = V (f).
a

c

a

(2)

Bây giờ ta chia đoạn [a, b] ra từng phần bởi các điểm
x0 = a < x1 < ... < xn = b
sao cho điểm C trùng với một điểm chia nào đó.
Giả sử C = xm. Ta có tổng V là
V=

m 1

n 1

k 0

k m

 f(xk +1) - f(xk) +  f(xk +1) - f(xk).

Hay V = V1 + V2.
Trong đó V1, V2 là các tổng ứng với các đoạn [a, c] và [c, b].
Do đó
c

b

V = V (f) + V (f).
a

c

(3)

(3) đúng với những cách chia trong đó điểm C trùng với một điểm chia,
nhưng khi ta thêm vào các điểm chia mới không làm giảm tổng V nên (3) đúng
với mọi tổng V.
Do đó
b

c

b

a

a

c

b

c

b

V (f)  V (f) + V (f).

(4)

Từ (2) và (4) ta suy ra

V (f) = V (f) + V (f).
a

a

c

Các hệ quả
Hệ quả 1.1.1. Nếu trong các điều kiện của định lý, hàm số f(x) có biến phân
giới nội trên [a, b] thì nó cũng có biến phân giới nội trên mỗi đoạn [a, c] và
[c, b] và ngược lại.

8


Hệ quả 1.1.2. Nếu ta có thể chia đoạn [a, b] ra làm một số hữu hạn đoạn
con, trên mỗi đoạn con đó hàm số f(x) là đơn điệu thì f(x) có biến phân giới nội
trên [a, b].
Định lý 1.1.7. Để cho một hàm số f(x) có biến phân giới nội thì điều kiện
cần và đủ là nó biểu diễn được thành hiệu của hai hàm số đơn điệu tăng.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f(x) là hàm số biến phân giới nội cần
chứng minh f(x) biểu diễn được thành hiệu của hai hàm số đơn điệu tăng.
Thật vậy, đặt

x

(x) = V (f)

(a < x  b)

a

(a) = 0.
Theo định lý 1.1.6 thì hàm số (x) tăng
Đặt
v(x) = (x) - f(x).

(5)

thì hàm số v(x) cũng tăng.
Thật vậy, nếu a  x < y  b thì theo định lý 1.1.6
y

v(y) = (y) - f(y) = (x) + V (f) - f(y)
x

nên
y

v(y) - v(x) = V (f) - [f(y) - f(x)].
x

Nhưng theo định nghĩa của biến phân tồn phần thì
y

f(y) - f(x)  V (f) nên vy - vx  0.
x

Vậy hàm số v(x) tăng.
Từ (5) suy ra f(x) = (x) - v(x) là cách biểu diễn cần tìm của f(x).
Điều kiện đủ: Giả sử f(x) biểu diễn được thành hiệu của hai hàm số tăng, cần
chứng minh f(x) có biến phân giới nội.
Thật vậy, giả sử v(x), (x) là hai hàm số tăng
f(x) = (x) - v(x).

9


Theo định lý 1.1.1, (x), v(x) là các hàm số tăng nên (x), v(x) là các hàm số
với biến phân giới nội.
Áp dụng định lý 1.1.3, f(x) = (x) - v(x) hiệu của hai hàm số với biến phân
giới nội  f(x) là hàm số với biến phân giới nội.

Hệ quả 1.1.3. Nếu hàm số f(x) có biến phân giới nội trên [a, b] thì hàm f(x)
có đạo hàm f’(x) hữu hạn hầu khắp nơi và khả tổng.
Hệ quả 1.1.4. Tập hợp các điểm gián đoạn của một hàm số có biến phân
giới nội cùng lắm là đếm được. Tại mỗi điểm gián đoạn x0, có cả hai giới hạn
f(x0 + 0) = lim f(x)
x  x0

f(x0 - 0) = lim f(x).
x  x0

Thật vậy, giả sử dãy
x1, x2 , ..., xn

(a < xn < b).

(6)

gồm tất cả các điểm gián đoạn của ít nhất một trong hai hàm số (x) và v(x).
Ta xét các hàm số các bước nhảy
s(x) = [(a + 0) - (a)] +

 [(xk + 0) - (xk - 0)] + [(x) - (x- 0)]

xk  x

(a < x  b).
sv(x) = [v(a + 0) - v(a)] +

 [v(xk + 0) - v(xk - 0)] - [v(x) - v(x - 0)]

xk  x

(a < x < b).
Suy ra s(a) = sv(a) = 0
Giả sử s(x) = s(x) - sv(x), ta có thể viết hàm này như sau
s(x) = [f(a + 0) - f(a)] +

 [f(xk + 0) - f(xk - 0)] + [f(x) - f(x - 0)]

xk  x

(a < x  b, s(a) = 0).
s(x) được gọi là hàm số các bước nhảy của f(x) và s(x) là hàm số có biến phân
giới nội.
Định nghĩa s(x) sẽ không thay đổi nếu dãy (6) ta bỏ đi những điểm mà tại đó
f(x) là liên tục.
10


Các hàm số

(x) = (x) - s(x), (x) = v(x) - sv(x)
là tăng và liên tục nên (x) = f(x) - s(x) cũng là hàm số tăng với biến phân giới
nội, từ đó ta có định lý 1.1.8.
Định lý 1.1.8. Mọi hàm số có biến phân giới nội đều có thể biểu diễn thành
tổng của hàm số các bước nhảy của nó với một hàm số liên tục có độ biến phân
giới nội.
Đ2. NGUYÊN LÝ LỰA CHỌN CỦA HELLI
Bổ đề 2.1.1. Giả sử trên [a, b] được xác định một họ vô số các hàm số
H = fn(x). Họ này giới nội đều tức là

fn(x)  k n, x  [a, b].

(1)

Khi đó với mọi tập con E  [a, b] ta cũng tính được một dãy con từ họ trên
hội tụ tại mọi điểm của tập E.
Chứng minh. Giả sử E = xk ta xem tập hợp f(x1) là giá trị của các hàm
số thuộc họ H lấy tại điểm x1.
Vì tập hợp này giới nội nên theo định lý Bơnzano-Vaystrat ta có thể lấy ra
một dãy con hội tụ.
f1(1) ( x1 ) , f 2(1) (x1), ..., lim f n(1) (x1) = A1.
n

(2)

Bây giờ ta xem dãy f1(1) (x2), f 2(1) (x2), f 3(1) (x2), ... là các giá trị của hàm số
thuộc tập hợp  f n(1) (x) lấy tại điểm x2. Dãy này cũng giới nội nên ta có thể áp
dụng được định lý Bơnzano - Vaystrat thì được một dãy hội tụ
f1( 2 ) (x2), f 2( 2 ) (x2), ..., lim f n( 2 ) (x2) = A2
n 

lấy ra từ  f n( 2 ) (x).
Tiếp tục quá trình trên, ta thu được một tập hợp đếm được các dãy hội tụ
f1(1) ( x1 ) , f 2(1) (x1), ..., lim f n(1) (x1) = A1
n

f1( 2 ) (x2), f 2( 2 ) (x2), ..., lim f n( 2 ) (x2) = A2
n 

11

(3)


...............................
f1( k ) (xk), f 2( k ) (xk), ..., lim f n(k ) (xk) = Ak .
n 

...............................
Mỗi dãy sau được trích ra từ các phần tử của dãy đứng trước nó, sau đó
ta hãy lập nên dãy các phần tử ở đường chéo của ma trận lập nên bởi  f n(n ) (x)
(n = 1, 2, ...).
Đó là dãy cần tìm, tức là dãy hội tụ tại mọi điểm của tập E.
Thật vậy, với mọi k cố định thì  f n(n ) (xk), n  k là một dãy con của dãy 
f n(k ) (xk) hội tụ tới Ak.



Bổ đề 2.1.2. Giả sử F = fn(x) là một dãy họ vô số các hàm số đơn điệu
tăng, được xác định trên [a, b]. Nếu họ hàm giới nội đều, tức là
fn(x)  k n
thì trong Fcó thể lấy ra được một dãy fn(x) hội tụ tại mọi điểm của [a, b] đến
một hàm số đơn điệu tăng (x) nào đó.
Chứng minh. Áp dụng bổ đề 2.1.1 vào họ f(x) và lấy E là tập hợp tất cả
những điểm hữu tỷ trên [a, b] (cả điểm 0 nếu nó là vơ tỉ) tại mọi điểm xk  E
đều có một giới hạn hữu hạn:
lim fn(xk)
n 

(4)

của dãy F0 = fn(x) lấy ra từ họ F.
Ta lập hàm số (x) bằng cách đặt nó bằng giới hạn (4) tại các điểm của tập
hợp E:  (xk) = lim fn(xk) (xk  E).
n 

Hàm số (x) mới chỉ được xác định trên tập hợp E và ta dễ dàng thấy rằng
nó là một hàm số tăng vì nếu xk và xi là 2 điểm của tập hợp E và xk < xi thì

(xk)  (xi) ta hãy bổ khuyết thêm hàm số (x) trên toàn bộ [a, b] bằng cách
đặt nó bằng
12


(x) = sup (xk) (xk  E) tại mọi điểm vô tỉ của [a, b].
xk  x

Rõ ràng (x) là một hàm số tăng trên toàn bộ [a, b]. Khi đó tập hợp Q của
các điểm gián đoạn của hàm số (x) liên tục
lim fn(x0) = (x0).
n 

(5)

Quả vậy, với  > 0 tùy ý ta có thể tìm được các điểm xk và xi của tập hợp E
sao cho
xk < x0 < xi , (xi) - (xk) <  2 .
Ta thấy rằng với các n đó thì

(x0) -  < fn(xk)  fn(xi) < (x0) + .

Và vì fn(xk)  fn(x0)  fn(xi) nên khi n > n0 thì (x0) -  < fn(x0) < (x0) + 
Do đó suy ra (5).
Vậy đẳng thức
lim fn(x) = (x).
n 

(6)

(6) chỉ có thể khơng đúng trên tập hợp đếm được Q các điểm gián đoạn

(x).
Áp dụng bổ đề 1.1.1 vào dãy F0 = f(n)(x), bằng cách lấy E là tập hợp Q
các điểm gián đoạn mà tại đó (6) khơng đúng. Ta sẽ được một dãy con fn(x)
lấy ra từ F0 và hội tụ tại mọi điểm của [a, b].
(Vì trên mọi điểm thuộc [a, b] thì fn(x) đều hội rụ suy ra dãy con fn(x) cũng
hội tụ trên đó).
Ta đặt (x) = lim fn(x) thì (x) cũng là dãy tăng.
n 

Định lý 2.1.1 (Henli). Giả sử trên [a, b] được xác định một họ vô số các
hàm số E = f(x) nếu tất cả các hàm số của họ và biến phân toàn phần của tất
cả các hàm số đó đều giới nội bởi cùng một số, tức là
b

f(x)  k , V (f)  k
a

13

thì trong họ E, ta có thể lấy ra một hàm số (x) nào đó và hàm số đó cũng có
biến phân giới nội.
Chứng minh. Với mỗi f(x) của họ ta đặt
x

(x) = V (f) , v(x) = (x) - f(x)
a

cả hai hàm số này đều tăng và (x)  k , v(x)  2k
Áp dụng bổ đề 2.1.2 vào họ (x)..., lim k(x) = (x).
n 

Mỗi hàm số k(x) ứng với một hàm số vk(x) ta lấy ra được một dãy hội tụ
 vki (x): lim vki (x) = (x)
i 

Nhưng khi đó, dãy các hàm số fk(x) =  ki (x) - vki (x) lấy ra từ họ F hội tụ
đến hàm số (x) = (x) - (x).



Đ3. CÁC HÀM SỐ LIÊN TỤC VỚI BIẾN PHÂN GIỚI NỘI
Định lý 3.1.1. Giả sử trên [a, b] được xác định một hàm số f(x) với biến
phân giới nội. Nếu f(x) liên tục tại mỗi điểm x0 nào đó thì tại điểm đó, hàm số
x

(x) = V (f) cũng liên tục.
a

Chứng minh. Giả thiết x0 < b, ta chứng minh rằng (x) liên tục tại điểm x0 về

bên phải. Muốn thế lấy  > 0 tùy ý và ta chia [a, b] ra từng phần bởi các điểm
x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
sao cho
V=

n 1

b

k 0

0

 f(xk +1) - f(xk) > Vx (f) -  .

(1)

Vì tổng V chỉ có thể tăng khi ta thêm vào các điểm chia mới, nên ta có thể
coi rằng
f(x1) - f(x0) < .
Khi đó từ (1) suy ra

14


b

n 1

n 1

x0

k 0

k 1

V (f) <  +  f(xk +1) - f(xk) < 2 +  f(xk +1) - f(xk)
b

b

x0

x1

V (f)  2 + V (f).


x1

V  2.

Vì thế

x0

Cho nên (x1) - (x0)  2 nên (x0 + 0) - (x0)  2
Nhưng  tùy ý nên cho   0  (x0 + 0) = (x0)

(*)

Giả thiết x0 > a ta chứng minh rằng (x) liên tục tại điểm x0 về bên trái.
Lấy  > 0 tùy ý và chia [a, b] ra từng phần bởi các điểm
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn
sao cho
V=

n 1

xn

k 0

a

 f(xk +1) - f(xk) > V (f) -  .

(2)

Vì V tăng khi ta thêm vào các điểm chia mới nên ta coi rằng
f(x1) - f(x0) < .
Từ (2) suy ra
xn

n 1

a

k 0

V (f) <  +  f(xk +1) - f(xk)
xn

 V (f) < 2 +
a

n 1

xn

k 0

x0

 f(xk +1) - f(xk)   + V .

Suy ra
xn

xn

a

x0

V -V 
x0

Hay

V   hay
a

(x0) - (x0 - 0)

(**)

Từ (*) và (**)  (x) liên tục tại x0.
Hệ quả 3.1.1. Một hàm số liên tục với biến phân giới nội có thể biểu diễn
thành hiệu của hai hàm số tăng và liên tục.

15


Chứng minh. Thật vậy, nếu f(x) là hàm số liên tục với biến phân giới nội
x

được xác định trên [a, b] thì cả hai hàm số (x) = V (f), v(x) = (x) - f(x) đều
a

liên tục.
Giả sử trên [a, b] được xác định hàm số liên tục f(x), ta hãy chia [a, b] ra
từng phần bởi các điểm
x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b
Max(xk +1 - xk) = .
Ta lập tổng số
V=

n 1

n 1

k 0

k 0

 f(xk +1) - f(xk) ,  =  wk

trong đó wk là giao độ của hàm số f(x) trên đoạn [xk, xk +1].
Định lý 3.1.2. Nếu   0 thì mỗi tổng V và  dẫn đến biến phân toàn phần
b

V (f) của hàm số f(x).
a

Chứng minh. Chúng ta đã biết rằng tổng V không giảm khi ta thêm vào các
điểm chia mới.
Mặt khác, nếu điểm chia mới nằm trong khoảng xk và xk +1 thì độ tăng của
tổng số V không vượt quá 2 lần giao độ wk của f(x) trên đoạn [xk, xk +1]. Ta hãy
b

lấy một số A < V (f) tùy ý và tìm tổng V* sao cho V* > A.
a

Giả sử tổng V* ứng với cách chia sau
x0* = a < x1* < x2* < ... < xm* = b.

Ta cho  > 0 khá nhỏ để cho khi x” - x’ <  thì

V*  A
f(x”) - f(x’) <
4m

V*  A
(xem  =
).
4m

Ta sẽ chứng minh rằng với mọi cách chia trong đó  <  thì V > A.
(3)

16


Thật vậy, khi có cách chia (I) như thế, ta hãy lập nên một cách chia (II) mới
từ cách chia (I) bởi sự thêm vào tất cả các điểm  xk* .
Nếu cách chia (II) ứng với tổng V0 thì
V0  V*.

(4)

Mặt khác, cách chia (II) được từ cách chia (I) bằng cách thêm vào liên tiếp
m lần, mỗi lần 1 điểm.

V*  A
Vì mỗi lần thêm tổng số V không thể vượt quá
nên
2m
V0 - V <

V*  A
.
2

V*  A
A V*
Từ đó và từ (4)  V > V0 
> A.
2
2
b

Vậy khi  <  thì hệ thức (3) được thoả mãn nhưng vì ln ln V  V (f)
a

b

nên lim V = V (f).
 0

a

Bây giờ ta sẽ chứng minh cho tổng số 
Một mặt hiển nhiên

  V.

(5)

Nhưng nếu ta tìm tổng số  ứng với một cách chia nào đó và sau đó lại
thêm vào các điểm chia mới là những điểm mà tại đó hàm số lấy các giá trị
Mk = maxf(x), mk = minf(x) (xk  x  xk +1)
thì tổng số V’ ứng với cách chia mới dĩ nhiên là không nhỏ hơn .
b

  V (f).

Do đó

(6)

a
b

Từ (5) và (6) ta suy ra lim  = V (f).
 0



a

Định lý vừa chứng minh nói lên một tính chất rất đặc biệt của hàm liên tục
với biến phân giới nội.
Giả sử m = minf(x), M = maxf(x).
17


Ta xét hàm số N(y) được xác định trên [a, b] như sau:
N(y) là số nghiệm của phương trình f(x) = y. Nếu tập các nghiệm đó là vơ

hạn thì N(y) = +, ta gọi hàm số N(y) là chỉ số Banach.
Định lý 3.1.3. Chỉ số hàm Banach là đo được và
M

b

 N(y)dy = V (f).
a

m

Chứng minh. Ta hãy chia đoạn [a, b] ra 2n phần bằng nhau và đặt
d1 = [0, a + ba ].
2n
dk = (a + (k -1) ba , a + k ba )
2n
2n

(k = 2, 3, ..., 2n).

Hơn nữa giả sử Lk(y) = 1 (k = 1, 2, ..., 2n) nếu phương trình
f(x) = y.

(7)

có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng dk và Lk(y) = 0 nếu trong khoảng dk phương
trình đó khơng có nghiệm nào.
Nếu mk và Mk lần lượt là cận dưới đúng, cận trên đúng của f(x) trong khoảng
dk thì Lk(y) = 1 trong khoảng (mk, Mk) và Lk(y) = 0 ngoài đoạn [mk, Mk] nên hàm
số này khơng thể có hơn hai điểm gián đoạn và là hàm đo được.

Ta để ý thêm rằng
Mk

 Lk(y) = Mk - mk = wk.

mk

Trong đó wk là giao độ của f(x) trên đoạn d k .
Cuối cùng ta xét hàm số
Nn(y) = L1(y) + L2(y) + ... + L2n (y)
bằng số các khoảng dk trong đó có ít nhất một nghiệm của phương trình (7).
Hàm Nn(y) là hàm đo được và

M

2n

m

k 1

 Nn(y)dy =  wk

18


M

nên theo định lý 3.1.2

lim



n  m

b

Nn(y)dy = V (f).
a

Ta thấy rằng N1(y)  N2(y)  N3(y)  ... (vì Nn(y) - hàm số tăng)
Nên có một giới hạn hữu hạn hay vô hạn
N*(y) = lim N1(y).
n 

Giới hạn này là một hàm số khả tổng theo định lý B.Levi
M

M

b

 N (y)dy = lim  Nn(y)dy = V (f).
*

n  m

m

a

Nếu ta chứng minh được rằng
N*(y) = N(y)

(8)

thì định lý được chứng minh.
Nn(y)  N(y).

Trước hết rõ ràng

N*(y)  N(y).

Do đó

(9)

Bây giờ giả thiết q là một số tự nhiên khơng lớn hơn N(y). Khi đó ta có thể
tìm được q nghiệm khác nhau
x1 < x2 < ... < xq của phương trình (7).
Nếu số n khá lớn thì

ba
< min(xk +1 - xk) nên tất cả q nghiệm xk sẽ nằm
2n

trong những khoảng dk khác nhau. Vậy
Nn(y)  q
Do đó

N*(y)  q.

(10)

Nếu N(y) = + thì ta có thể chọn q lớn tùy ý. Vậy
N*(y) = + .
Nếu N(y) hữu hạn thì ta có thể lấy q = N(y) và khi đó (9) sẽ có dạng
N*(y)  N(y).
Từ (9) và (11) suy ra

(11)

N*(y) = N(y).

Hệ quả 3.1.1. Để cho hàm số liên tục f(x) có biến phân giới nội điều kiện
cần và đủ là chỉ số hàm Banach N(y) của nó là khả tổng.
19


Hệ quả 3.1.2. Nếu f(x) là một hàm số liên tục và có biến phân giới nội thì
tập hợp các giá trị mà f(x) lấy vơ số lần, có độ đo bằng khơng (trên trục tung)
Chương 2
TÍCH PHÂN STINGIÉT
Đ1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN STINGIÉT
Giả sử trên [a, b] được xác định hai hàm số giới nội f(x) và g(x). Ta hãy chia
[a, b] ra từng phần bởi các điểm
x0 = a < x1 < ... < xn = b
và trong mỗi đoạn [xk, xk +1] ta lấy một điểm k và lập tổng
n 1

 =  f(k)[g(xk +1) - g(xk)].
k 0

Gọi  = max(xk +1 - xk).
Định nghĩa 2.1.1. Tổng  dẫn đến một giới hạn hữu hạn I khi   0,
không phụ thuộc vào cách chia cũng như cách chọn k, thì giới hạn này gọi là
tích phân Stingiét của hàm số f(x) lấy theo hàm số g(x).
b

Kí hiệu

b

 f(x)dg(x)

hay

(S)  f(x)dg(x)

a

a

Nói khác đi số I là tích phân Stingiét của hàm số f(x) lấy theo hàm số g(x)
nếu với mọi  > 0 đều có một số  > 0 sao cho trong mọi cách chia với  >  thì
 - I < , dù cho ta chọn điểm k như thế nào (Tích phân Riman là một trường
hợp đặc biệt của tích phân Stingiét khi g(x) = x).
Tích phân Stingiét có các tính chất sau:
b

b

a
b

a

b

1.  [f1(x) + f2(x)dg(x) =  f1(x)dg(x) +  f2(x)dg(x).
a
b

b

a

a

2.  f(x)d[g1(x) + g2(x)] =  f(x)dg1(x) +  f(x)dg2(x).
a

3. Nếu k, l là những hằng số

20


b

b

a

a

 kf(x)dlg(x) = kl  f(x)dg(x).
4. Nếu a < c < b và cả 3 tích phân trong đẳng thức sau tồn tại thì
b

c

b

a

a

c

 f(x)dg(x) =  f(x)dg(x) +  f(x)dg(x).
Chứng minh. Các tính chất 1, 2, 3 suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh tính
chất 4.
Lấy trên [a, b] một điểm C, C là một điểm chia. Trên [a, b]  > 0 tùy ý thì
 > 0 và   I hữu hạn nào đó   - I <  suy ra có
b

 f(x)dg(x).
a

Trên [a, c] và [c, b] cũng tồn tại  > 0,  > 0:  - I <  .
c

b

a

c

 f(x)dg(x) và  f(x)dg(x).

Suy ra tồn tại
c

b

a

c

Ngược lại, nếu tồn tại  f(x)dg(x) và  f(x)dg(x) nhưng không kết luận được
b

tồn tại

 f(x)dg(x).
a

Ví dụ: Giả sử các hàm số f(x) và g(x) được xác định trên [-1, 1] và


f(x) = 


0 nếu -1  x  0


g(x) = 


0 nếu -1  x  0

1 nếu 0 < x  1
1 nếu 0  x  1.

0

Ta thấy

 f(x)dg(x) tồn tại vì có

1

n 1

=

 f(k)[g(xk +1) - g(xk)]

k 0

n 1

=

21

 0.[g(xk +1) - g(xk)] = 0 = I.

k 0


1

 f ( x)dg ( x) tồn tại vì có
0

 =

n 1

n 1

k 0

k 0

 f(k)[g(xk +1) - g(xk)] =  1[1 - 1] = 0 = I

1

Nhưng

 f ( x)dg ( x) lại không tồn tại.

1

Thật vậy, ta chia [-1, 1] ra từng phần sao cho điểm 0 không phải là một
điểm chia và lập tổng
n 1

=

 f(k)[g(xk +1) - g(xk)].

k 0

Nếu xi < 0 < xi +1 thì  chỉ cịn lại hạng thức thứ i vì nếu các điểm xk, xk +1
cùng nằm về một phía so với điểm 0 thì khi đó g(xk +1) = g(xk).
Suy ra

 = f(i)[g(xi +1) - g(xi)]
0 nÕu  i  0
= f(i)[1 - 0] = f(i) = 
1 nÕu  i  0

1

Vậy

 f ( x)dg ( x) không tồn tại.

1

5. Nếu một trong các tích phân

b

b

a

a

 f ( x)dg ( x) và  g ( x)df ( x) tồn tại thì tích

phân kia cũng tồn tại và ta có đẳng thức
b

b

 f ( x)dg ( x) +  g ( x)df ( x) = [f(x)g(x)] a
b

a

(1)

a

trong đó ta đặt [f(x)g(x)] ba = f(b)g(b) - f(a)g(a).
Công thức (1) được gọi là cơng thức lấy tích phân từng phần.
b

Chứng minh. Giả sử

 g ( x)df ( x)

là tồn tại. Ta chia đoạn [a, b] ra từng

a

phần
22


và lập tổng số  = f(k)[g(xk +1) - g(xk)].
Tổng này có thể viết dưới dạng
n 1

n 1

k 0

k 0

 =  f(k)g(xk +1) -  f(k)g(xk)
mà trong đó
n 1

n 1

k 0

k 1

 f(k)g(xk +1) =  f(k -1)g(xk) + f(n -1)g(xn).
n 1

n 1

k 0

k 1

 f(k)g(xk) =  f(k)g(xk) + f(0)g(x0)

  =

n 1

n 1

k 1

k 1

 f(k -1)g(xk) + f(n -1)g(xn) -  f(k)g(xk) - f(0)g(x0)
n 1

=-

 g(xk)[f(k) - f(k -1)] + f(n -1) g(xn) - f(0)g(x0).

k 1

Cộng và trừ (2) vào vế phải ta có

 =

n 1

[f(x)g(x)] ba

-

 g(xk)[f(k) - f(k -1)] +

k 1

+ f(n -1)g(xn) - f(0)g(x0) - f(b)g(b) + f(a)g(a).

 = [f(x)g(x)] ba - g(a)[f(0) - f(a)] +
n 1

+

 g(xk)[f(k) - f(k -1)] + g(b)[f(b) - f( n -1)]

k 1

Biểu thức trong dấu ... của  đúng là tổng tích phân để lập

b

 gdf

với các

a

điểm chia đoạn [a, b] là
a  0  1  2  ...  n -1  b
và các điểm a, x1, x2, ..., xn -1, b là các điểm của các đoạn [a, 0], [0,1], [1,2],
..., [n -1, b].

23


Nếu max(xk +1 - xk)  0 thì max(k +1 - k)  0 nên tổng trong dấu ... dẫn
b

đến tích phân  gdf . 
a
b

Định lý 2.1.2. Tích phân

 f ( x)dg ( x) tồn tại nếu hàm số g(x) liên tục trên
a

đoạn [a, b] và g(x) có biến phân giới nội trên đoạn đó.
Chứng minh. Tất nhiên ta chỉ xem giả thiết rằng hàm số g(x) tăng. Vì mọi
hàm số với biến phân giới nội đều biểu diễn được dưới dạng hiệu của hai hàm
số tăng ta hãy chia [a, b] ra thành từng phần bởi các điểm
x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b.
Gọi mk, Mk lần lượt là các giá trị cực tiểu và cực đại của hàm số f(x) trong
đoạn [xk, xk +1].
n 1

Giả sử

s=

 mk[g(xk +1) - g(xk)]

k 0
n 1

S=

 Mk[g(xk +1) - g(xk)].

k 0

Rõ ràng mọi cách chia k như thế nào thì ta đều có s    S.
Ta thấy rằng nếu thêm một điểm chia mới trên [a, b] thì tổng  khơng giảm
và tổng S không tăng  tổng s luôn bé hơn tổng S.
Thật vậy, khi có 2 cách chia (I) và (II) đoạn [a, b] ứng lần lượt với các tổng
s1, S1 và s2, S2 ta có thể lập nên cách chia (III) bằng cách gồm tất cả các điểm

chia của (I) và (II). Cách chia (III) ứng với tổng số s3 và S3 thì
s1  s3  S3  S2  s1  S2.
Ta sẽ gọi I là cận trên đúng của tập hợp tất cả các tổng dưới
I = sups.
Với mọi cách chia thì s  I  S (vì s    S) nên  - I  S - s.
Nếu lấy  > 0 tùy ý và tìm  > 0 sao cho bất đẳng thức x” - x’ <  .
Suy ra f(x”) - f(x’) <  thì khi  <  : Mk - mk <  (k = 0, 1, ..., n)
24


nên S - s <  [g(b) - g(a)].
Hay nói khác đi lim  = I, nên I là tích phân
 0

 f ( x)dg ( x)
a

b

Vậy

b

 f ( x)dg ( x) tồn tại.



a

Định lý 2.1.3. Nếu hàm số f(x) là liên tục trên [a, b], đạo hàm g’(x) khả tích

Riman thì
b

(s)

b

 f ( x)dg ( x) = (R)  f ( x) g ' ( x)dx .
a

(3)

a

Chứng minh. Theo giả thiết thì g(x) thoả mãn điều kiện Lipsit nên nó có
b

biến phân giới nội và tích phân (S)

 f ( x)dg ( x) tồn tại. Mặt khác, hàm g(x) có
a

cùng với nó f(x)g’(x)dx liên tục hầu khắp nơi nên vế phải của (3) tồn tại.
Ta chỉ cần chứng minh hai tích phân đó bằng nhau.
Thật vậy, ta chia [a, b] ra từng phần bởi các điểm
x0 = a < x1 < ... < xn = b.
Áp dụng công thức Lagrangiơ cho các hiệu g(xk +1) - g(xk):
g(xk +1) - g(xk) = g’( xk )(xk +1 - xk) (xk < xk < xk +1).
b

Nếu khi lập tổng số  cho tích phân  fdg ta lấy điểm xk trong cơng thức
a

Lagrangiơ làm điểm k thì ta có
n 1

=

 f( xk )g’( xk )(xk +1 - xk)

k 0

n 1

b

n  k  0

a

 lim

 f( xk )g’( xk )(xk +1 - xk) =  f(x)g’(x)dx.
b

lim  =  f(x)dg(x).

 0

a

25


b

b

a

a

(S)  f(x)dg(x) = (R)  f(x)g’(x)dx.

Vậy

Định lý 2.1.4. Giả sử f(x) liên tục [a, b] và g(x) là hàm bậc thang trên (a1,
c1), (c1, c2), ..., (cm, b) trong đó
a < c1 < c2 < ...< cm < b.
Khi đó
b



m

f(x)dg(x) = f(a)[g(a + 0) - g(a)] +

a

 f(ck)[g(ck + 0) - g(ck - 0)] +

k 1

+ f(b)[g(b) - g(b - 0)].

(4)

Chứng minh. Ta có
b

n 1

a

k 1

 g(ck) - g(ck - 0)] + g(ck + 0) - g(ck)] +

V (g) = g(a + 0) - g(a) +

+ g(b) - g(b - 0).
Vậy g(x) có biến phân giới nội trên [a, b] và trên mỗi đoạn con của [a, b].
Do đó
b

m ck 1

 f(x)dg(x) =  

k  0 ck

a

f(x)dg(x).

(5)

trong đó c0 = a , cm +1 = b
ck 1

Ta chỉ cịn phải tính tích phân

 f(x)dg(x). Nhưng bằng cách chia

ck

[ck,ck+1] ra từng phần và lập tổng số  cho tích phân đó.
Ta sẽ có

 = f(0)[g(ck + 0) - g(ck)] + f(m - 1)[g(ck +1) - g(ck +1 - 0)]
(vì tất cả các hạng thức khác đều triệt tiêu)
Vậy khi qua giới hạn ta có
ck 1

 f(x)dg(x) = f(ck)[g(ck + 0) - g(ck)] +

ck

+ f(ck +1)[g(ck +1) - g(ck +1) - g(ck +1 - 0)].

Từ (5) và (6) suy ra
26

(6)


m ck 1

b

 f(x)dg(x) =   f(x)dg(x).
k  0 ck

a
b

 f(x)dg(x) = f(a)[g(a + 0) - g(a)] + f(b)[g(b) - g(b - 0)] +
a

m 1

+

 f(ck)[g(ck + 0) - g(ck)].

k 1



Đ2. CHUYỂN QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN STINGIÉT

Định lý 2.2.1. Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và g(x) có biến phân giới
nội
b



b

f ( x)dg ( x)  M(f) V (g)

(1)

a

a

trong đó M(f) = maxf(x).
Chứng minh. Với mọi cách chia đoạn [a, b] và mọi cách chọn điểm k thì
n 1

n 1

k 1

k 1

 =   f(k)[g(xk +1) - g(xk)] 

 f(k)[g(xk +1) - g(xk)]

 M(f)

n 1

 g(xk +1) - g(xk)

k 1
b

 M(f). V (g).
a

b

b

Vậy   f(x)dg(x)  M(f)V (g).
a

a

Định lý 2.2.2. Giả sử g(x) là hàm số với bién phân giới nội trên [a, b] và
một dãy các hàm số liên tục fn(x) hội tụ đều đến một hàm số f(x) liên tục. Khi
đó
b

b

n  a

a

lim  fn(x)dg(x) =  f(x)dg(x).

Chứng minh. Giả sử M(fn - f) = maxfn(x) - f(x)
Theo (1) ta có
27