MOT SO PHUONG PHAP TIM GIOI HAN HAM SO

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ A. Tóm tắt lý thuyết 1. Giới hạn hữu hạn  Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. khi và chỉ khi với dãy số ( bất kỳ , xn \{x0} và xn ,ta có limf(xn)=L .  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (xo;b) . khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ x0< xn <b và xn , ta có limf(x)=L .  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , a< xn <x0 và xn , ta có limf(xn)=L .  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞) . , khi và chỉ khi với dãy (xn) bất kỳ , xn >a và xn , thì limf(xn)=L  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (-∞;a) . , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn <a và thì limf(xn)=L. 2. Giới hạn ở vô cực  Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng(a;+∞) . , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn >a và ,ta có limf(xn)=-∞ .  Cho K là khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. .khi và chỉ khi với mọi dãy số bất kỳ (xn) , xn thuộc K\{x0} và xn , ta có limf(xn)=+∞ . Chú ý : f(x) có giới hạn +∞ ,khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞ 3.Các giới hạn đặc biệt. Với k là một số nguyên dương. 4. Định lý về giới hạn hữu hạn * Định lý 1 a) Nếu   . và. , thì.  Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. b) Nếu f(x)≥ 0 và. , thì L ≥ 0 và. Định lý 2. 5. Quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) .. +∞ -∞ +∞ -∞. L>0 L <0. +∞ -∞ -∞ +∞. b) Quy tắc tìm giới hạn của thương Dấu của g(x) L. ±∞. L>0. 0. L <0. 0. Tuỳ ý + + -. 0 +∞ -∞ -∞ +∞. B. Phương pháp tìm giới hạn của hàm số I. Thông thường ta áp dụng các quy tắc và định lý về giới hạn của hàm số là ta tìm được ngay giá trị của giới hạn . Ví dụ , Tìm các giới hạn sau. Bài giải :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. II. Một số dạngvô định thường gặp và cách biến đổi . 1. Để tính. . Ta làm như sau:.  Phân tích tử và mẫu thành nhân tử . Sau đó giản ước nhân tử chung :  Nếu u(x) và v(x) chứa biến số dưới dấu căn ,thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp ,trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước .  Một số biểu thức liện hợp thường dùng :. * Chú ý : Trong (**) nếu A(x0)=B(x0)=0 ,ta lại phân tích tiếp chúng thành :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. * Khi u(x) hoặc v(x) chứa căn thức cùng bậc : Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp ( như đã cho ở trên ) Sau đó rút gọn làm xuất hiện thừa số chung . Giản ước thừa số chung ,sẽ mất dạng vô định Ví dụ 1 . ( Bài 4.57-tr-143-BTGT11-NC). Tìm các giới hạn sau. Bài giải :. Vì. , thì x+2<0 ,cho nên. Ví dụ 2 ( Bài 4.59-tr144-BTGT11-NC) Tìm các giới hạn sau. Bài giải :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. 2. Để tìm giới hạn :(Dạng : ). Ta có thể làm như sau :  Chia tử và mẫu cho , với n là số mũ cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn ,rồi giản ước ).  Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức ,thì đưa xk ra ngoài dấu căn ( với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho luỹ thừa của x .  - Chú ý đến cận : Khi x nghĩa là x>0 ; còn x , nghĩa là x<0  - Giống như đối với dạng , hoặc ta phân tích thành nhân tử ,hoặc ta nhân liên hợp ,hoặc ta đưa x ra ngoài dấu căn thức ( phải chú ý đến cận mà bỏ dấu trị tuyệt đối ) Ví dụ 1. (Bài 32-tr159-GT11-NC) Tìm các giới hạn sau. Bài giải : Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Ví dụ 2. (Bài 44-tr167-GT11NC) Tìm các giới hạn sau. Bài giải :. Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2. 3x(2x - 1). 1. lim. x ® -¥ (5x - 1)(x. 2. 2.. + 2x). x 2 - 3x + 2 x 3 lim x ®-¥ 3x - 1. x x +1. lim. x ® +¥. x 2 + x +1 2. x + x + 2 + 3x + 1. 4. lim. 2. x ®± ¥. 4x + 1 + 1 - x. Giải:. 1 ö æ 3 2 ç 3 2x - 1 2÷ 3x(2x - 1) è x ø =6 1. lim = lim = lim . x ® -¥ (5x - 1)(x 2 + 2x) x ®-¥ ( 5x - 1)( x + 2 ) x®-¥ æ 1 öæ 2 ö 5 ç 5 - ÷ç 1 + ÷ è x øè x ø. (. 2. 2.. 2. ). 1 1 + 2 x x +1 x x lim 2 = lim =0 1 1 x ® +¥ x + x + 1 x ® +¥ 1+ + 2 x x. 3 3 x 1 - + 2x - 1- + 2 x - 3x + 2 x 1 x x 3 lim = lim = lim = x ®-¥ x ®-¥ x ®-¥ 1 3x - 1 3 æ 1ö 3x ç3- ÷ x è xø 2. 2. x + x + 2 + 3x + 1. 4. lim. 2. x ®± ¥. 4x + 1 + 1 - x. 1 2 1ö æ + 2 + x ç 3 + ÷ é 4 khi x > 0 x x xø è =ê 2 1 êë - 3 khi < 0 æ1 ö x 4 + 2 + x ç - 1÷ èx ø x. x 1+ = lim. x ®± ¥. Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau. 1. lim. 3. x ®-¥. 3. lim. x ®-¥. x3 + 2x2 + x 2x - 2. 2 lim. x 2 - 3x + 2 x 3x - 1. 4.. 3. x ®-¥. ( x 3 + 2 x 2 )2 + x 3 x 3 + 2 x 2 + x 2 3x 2 - 2 x. (x x + x - 1)( x + 1) x ®+¥ (x + 2)(x - 1) lim. Bài giải :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. æ 2 ö 3 1+ x + 1÷ ç 3 3 x x + 2x2 + x ø =1 1. lim = lim è x ®-¥ x ®-¥ 2x - 2 æ 1ö 2 x ç1 - ÷ è xø é æ 2 ö2 2 ù 2 x ê 3 ç 1 + ÷ + 3 1 + + 1ú x ú 3 êë è x ø ( x 3 + 2 x 2 )2 + x 3 x 3 + 2 x 2 + x 2 û =1 2 lim = lim 2 x ®-¥ x ®-¥ 2 3x - 2 x 3x. ( ) ( ) ( ) ( ). 3 2 é ù x + x 1 ê ú (x x + x - 1)( x + 1) ë û 4. lim = lim 2 x ® +¥ x ® +¥ é (x + 2)(x - 1) ù ê x + 2ú x - 1 ë û 3 2 x + x -1 = lim 3 2 x ® +¥ x - x +2 x -2 1 1 1+ - 3 t t = lim = 1 khi : t = x ; khix ® +¥ , t ® ¥ x ® +¥ 1 2 2 1- + 2 - 3 t t t. ( ) ( ) ( ) ( ). Bài tập tự luyện Tìm các giới hạn sau:. 2x + 1 a) lim x ® +¥ x - 1. b) lim. 3x(2x 2 - 1). d) lim. x ®-¥ (5x - 1)(x 2. 2. x +1. x ® -¥ 1 - 3x - 5x 2. c) lim. x ® +¥. x x +1 2. x + x +1. + 2x). 3x 3 - 2 x + 2 e) lim x ®±¥ -2 x 3 + 2 x 2 - 1. 3x 3 - 2 x 2 - 1 f) lim x ®±¥ 4 x 4 + 3 x - 2. x3 - 2x2 - 2 g) lim x ®±¥ 3 x 2 - x - 1. x 4 - 3x 2 + 1 x ®±¥ - x 3 + 2 x - 2 (x - 1) 2 (7x + 2) 2 i) lim x ®±¥ (2x + 1) 4. (2x - 3) 2 (4x + 7)3 j) lim x ®±¥ (3x - 4) 2 (5x 2 - 1). h) lim. l) lim. x ®+¥. p) lim. x ® ±¥. x 2 - 3x + 2 x 3x - 1 2. x + 2x + 3 + 4x + 1 4x 2 + 1 + 2 - x. o). lim. k) lim. x ®¥. 4x 2 + 1 3x - 1. 4x 2 - 2x + 1 + 2 - x. x®±¥. 9x 2 - 3x + 2x. x x +3 x ®+¥ x2 +1. q) lim. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. 3. Để tính giới hạn :( Dạng ∞-∞ ) . Hoặc  Ta nhân và chia với biểu thức liên hợp ( nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thức ) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức ) Dạng vô định ¥ - ¥ và dạng 0.∞ Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hám số sau. 3.. 4. lim ( x 2 - 3 x + 2 - x). 5. lim ( x + 2 - x - 2). x ®±¥. 2. lim ( x + x - x). x®-¥ x ®+¥. x ®+¥. 6.. 2. 1. lim (2 x 3 - 3 x) 2 lim x 2 - 3x + 4 x ®+¥. 2. lim ( x - 4x + 3 - x - 3x + 2). x ®± ¥. Bài giải. 3ö æ 1. lim (2 x3 - 3x) = lim x 3 ç 2 - 2 ÷ = +¥ x ®+¥ x ®+¥ è x ø 3 4 é +¥ khix ® +¥ 2. lim x 2 - 3 x + 4 = lim x 1 - + 2 = ê x ®±¥ x ®±¥ x x ë -¥ khix ® -¥ æ ö æ ö 1 1 2 lim ( x + x - x) = lim çç x 1 + - x ÷÷ = lim - x çç 1 + - 1 ÷÷ = +¥.0 ? x®-¥ x ®-¥ x x è ø x®-¥ è ø x 1 Û lim = lim = ? 2 x®-¥ x®-¥ 1 x +x +x - 1+ +1 x. 3.. æ 3 2 4. lim ( x 2 - 3 x + 2 - x) = lim x çç 1 - + 2 x ®+¥ x ®+¥ x x è. 5. lim ( x + 2 - x - 2) = lim x ®+¥. 6.. x ®+¥. 2. ö ÷÷ = +¥ do x ® +¥ ø. 4 = lim x + 2 + x - 2 x®+¥. x®±¥. æ 1ö -x ç 1 - ÷ è xø = lim x®±¥ æ 4 3 3 2 x ç 1- + 2 + 1- + 2 x x x x è. x®±¥. 4 æ 2 2ö x ç 1+ + 1- ÷ x xø è. =0. -x + 1. 2. lim ( x - 4x + 3 - x - 3x + 2) = lim. ¥̃= x x. 2. 2. x - 4x + 3 + x - 3x + 2. é1 ê khi x ® -¥ = ê2 ö ê - 1 khi x ® +¥ ÷ ë 2 ø. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau. Bài giải :. Ví dụ 3. ( Bài 40-tr166-GT11-NC)1 .Tìm các giới hạn sau. Bài giải :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau: 2. e) lim ( x + x - x). g) lim ( x  3 x  2  x ) 2. x®+¥. x  . k) lim x ( x + 5 + x ) 2. 2 h) lim ( x - 2 x + 4 - x ) x ®±¥. x ®±¥. 2. 2. l) lim (2x - 1 - 4x - 4x - 3). m) lim (3x + 2 - 9x + 12x - 3). x ®± ¥. n). o). x®±¥. 3. lim ( x 2  3x  2  x  2). 3. 2. t) lim ( x - x + x + x) x ® ±¥. x  . lim ( x 2  3x  2  x  2). 2 p) lim ( x - 3 x + 2 + x - 1) x ®±¥. x. 2 q) lim ( x - 3 x + 1 - x + 3) x ®±¥. r) lim ( 4 x 2 - x + 3 - 2 x + 1) x ®±¥. 2. 3. 3. v) lim ( x + 1 - x - 1) x ®+ ¥. 3. 3. 2. s) lim ( x + x - x) x ® ±¥. 3 3 2 w) lim ( x + 2 x - 1 - x - 3 x ) x ®±¥. 4. Để tìm giới hạn. Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .  Khéo léo thêm và bớt vào tử số hay mẫu số ( có chứa căn không cùng chỉ số ) một số hợp lý ( thường là thêm vào số x0)  Tách giới hạn đã cho thành hai giới hạn mà sao cho mỗi giới hạn chỉ chứa căn thức có cùng chỉ số và áp dụng các định lý ,hoặc quy tắc tìm giới hạn đã biết .. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.  Chẳng hạn ,ta tìm :.  Chú ý : Đôi khi ta phải thêm ,bớt một đại lượng h(x) sao cho h(x0)=c. Sau đó áp dụng cách phân tích trên để giải . ( Thông qua ví dụ :. ). Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau. Bài giải :. Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau.. Bài giải :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau. Bài giải :. Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau. Bài giải :. Ví dụ 5. Tìm giới hạn sau :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Giải : Ta thêm ,bớt một hàm số h(x)=1+x ,với h(0)=1. Khi đó. 5. Để tìm giới hạn :. Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .( với căn có chỉ số cao hơn 3- từ 4 trở đi ).  Ta đổi biến số bằng cách đặt u=  Chuyển giới hạn đã cho từ biến x trở thành biến u với giới hạn mới có thể áp dụng các định lý và quy tắc tìm giới hạn là có thể tìm được ngay . Ví dụ1: minh hoạ ( ĐH-SP II-99). Tìm giới hạn sau :. Bài giải : Ta có :.  Đặt :.  Đặt :.  Vậy :. Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Bài giải :. 6 Phần nâng cao . Áp dụng giới hạn :.  Nếu giới hạn đã cho chứa các hàm số lượng giác , bằng cách biến đổi lượng giác ,ta biến đổi hàm số cần tìm giới hạn sao cho sử dụng được giới hạn trên.  Nếu hàm số tìm giới hạn chứa hỗn hợp cả cằn thức +lượng giác ,hay đa thức với lượng giác thì ta phải thêm hay bớt hoặc tách giới hạn đó thành hai giới hạn sao cho hai giới hạn này có thể tìm được ngay bằng các định lý và quy tắc tìm giới hạn đã biết . Ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau. Bài giải :. Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Bài giải : Vậy :. III.Phần bài tập tự luyện Bài 1. Tìm các giới hạn sau. Bài 2. Tìm các giới hạn sau. Bài 3. Tìm các giới hạn sau. Bài 4. Tìm các giới hạn sau. Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau. III. Sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.  Theo định nghĩa đạo hàm : "Cho hàm số y= f(x) có D=(a;b)x0 là một giá trị thuộc D . Giới hạn của tỷ số. Gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0.  Nếu hàm số f=f(x) tồn tại đạo hàm tại điểm x0 : f'(x0)≠ 0 , thì :  Một số công thức tính đạo hàm cần biết :. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. (ĐH-Thuỷ lợi -KA-2001).Tìm giới hạn sau. Bài giải :. Với :. Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Bài giải. Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau. Bài giải. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. * Chú ý : Có thể sử dụng một số kết quả sau để tìm giới hạn Kết quả 1. Tìm giới hạn sau. Từ phân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1). (1) Cho nên :. Ví dụ . Tìm giới hạn sau. Bài giải : Do (1). Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Kết quả 2 .Tìm giới hạn sau. Ví dụ 1:. Bài giải :. Ví dụ 2 :. Bài giải :. Một số bài tập tự luyện Bài 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau. Bài 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau. Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Bài 4. Tìm giới hạn của các hàm số sau. BÀI TẬP THAM KHẢO - ĐỂ LUYỆN TẬP .Bài 1. Dùng định nghĩa, CMR: + 3) = 7 a) lim(2x x®2. b) lim x ®3. x +1 =1 2(x - 1). x 2 - 3x + 2 = -1 c) lim x ®1 x -1. Bài 2. Tìm các giới hạn sau 3 + 5x 2 + 10x) a) lim(x x ®0. 2x 2 + 3x + 1 x ®-2 - x 2 + 4x + 2 1 ö æ 1 e) lim ç ÷ x ® 1 è 1 + x 1 - 2x 3 ø. x 2 - 5x + 6 x-2. b) lim x ®1. x -1 c) lim x ®3. d) lim. j) lim tan x + s in2x x®0. cos x. f) lim. x®0. h) limp x®. 2. x2 -4 3. g) lim. sin x x. k) limp. x - 3x + 2. x ®1. x®. Dạng vô định. 4. 1+ x - 1- x x tgx p-x. 0 0. 1. Tìm các giới hạn sau: a) lim. x®2. c) lim. x®5. e) lim. x2 -4 2. x - 3x + 2 x 2 - 5x x 2 - 25 x 3 - 3x + 2. x ®1 x 4. - 4x + 3. 2 g) lim 2 x + x - 6 3. x +8 x +1 i) lim 3 x ®-1 x + 1 2x 4 + 8x 3 + 7x 2 - 4x - 4 k) lim x ®1 3x 3 + 14x 2 + 20x + 8 x 3 - 3x 2 - 9x + 2 l) lim x® -2 x3 - x + 6 x ® -2. 5. x 2 -1. b) lim. x ® -1 x 2. d) lim. + 3x + 2. x 2 - 2x. x®2. -2x 2 + 6x - 4. f) lim. x 3 - x 2 - x +1 -x 2 + 3x - 2. x ®1. 4 2 h) lim x - x - 72 2 x ®3. j) lim. x®3. x - 2x - 3 x 3 - 5x 2 + 3x + 9 x 4 - 8x 2 - 9. 1 ö æ 2 ÷ 2 è x -1 x -1 ø. m) lim ç x ®1. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ x - 5x 5 + 4x 6. 3 ö æ 1 n) lim ç x ®1 è 1 - x 1 - x 3 ÷ ø. o) lim. x 2 - (a + 1)x + a (x + h) 3 - x 3 lim q) x ®a h®0 h x3 -a3 x4 - a4 r) lim x® a x - a æ x+2 ö x-4 + t) lim ç ÷ 2 2 x ®1 x - 5x + 4 3(x - 3x + 2) ø è. s) lim. (1 - x) 2. x ®1. p) lim. k) lim x ®1. 2(x + h)3 - 2x 3 h ®0 h x1992 + x - 2 u) lim 1990 x ®1 x +x-2. x n - nx + n - 1 (x - 1) 2. 2. Tìm các giới hạn sau: 4x 2  x  18 x2 x3  8. B = lim. x 2 + x - 30 2x 2 - 9x - 5. 4x 2 - 1 4x 3 + 2x 2 - 1. C = xlim ® -1. x +1 x + 2x 2 - x - 2. A = lim D = lim1 x®. 2. x ®5. E = lim. x 2 - 4x + 3 x 2 + 2x - 3. G = lim. H = lim. x 4 - 16 x 2 + 2x. L = lim. x ®1. x ® -2. 2x 2 + 3x + 1 x ®-1 - x 2 + 4x + 5. x®2. x 3  27 J = lim 2 x 3 x  4 x  3. x 3 + 2x 2 - 6x - 4 8 - x3. x 3 + x 2 - 5x - 2 O = lim x®2 x 2 - 3x + 2. F = lim1 x®. x 3 + 4x 2 + 6x + 3 x ®-1 x2 - x - 2. P = lim. R = lim. x ®1. x3 - x 2 + x -1 - x 2 - 5x + 6. x ®1. x3 -1 I = lim 2 x ®1 x - x. N = lim. 3. 2. 2x 2 - 5x + 2 4x 2 - 1. Q = lim x ®1. x5 -1 x3 -1. x 3 - 3x + 2 x 2 - 2x + 1. M = lim x®2. 8x 3 - 64 x 2 - 5x + 6. 3. Tìm các giới hạn sau: a) lim x ®0. e) lim. x +1 - x2 + x +1 x 2x + 7 - 3. x ®1x3. d) lim x ®2. - 4x 2 + 3. 4x + 1 - 3 x2 - 4. b) lim x ®7. f) lim. x®4. h) lim x ®2. x -3 - 2 49 - x 2. x + 5 - 2x + 1 x-4 x- x+2 x3 - 8. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. c) lim x ®2. 2- x+2 x 2 - 3x + 2. 2 - x2 + 3 x ®1 - x 2 + 3 x - 2. g) lim. x +1 x ®-1 2 x + 5 x + 3. 0) lim. 3. 2. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 3- 5+ x x ® 4 1- 5 - x. 3x - 2 - 4x 2 - x - 2 x ®1 x 2 - 3x + 2 1- 3 1- x x ®0 2 x + x 2. o) lim. x ®1. 3. r) lim. p) lim x ®2. x2 + 2x + 6 - 4x + 1 x3 - 2 x + 1. m) lim. x ®1 3. v) lim x ®1 4. 3- 8+ x x ®1 2x - 5 - x. j) lim. i) lim. n). x+7 -2 x -1. x- x+2 4x + 1 - 3. x) lim. x -1 3 x ®1 x + x 2 - 2. q). 4. x 2 - 23 x +1. t) lim. (x - 1) 2. 2x + 12 + x x 2 + 2x. 3. lim. x ®-2. x + 1 -1 x + 1 -1. x ®0 3. 3. x ®1. lim. s) lim. x -1 x -1. k) lim. 3. x ®1. x+7 -2 x -1. 3. w) lim. x ®1 3. x -1 4x + 4 - 2. 4. Tính các giới hạn sau: x +1 + x + 4 - 3 a. lim x ®0 x. d. lim. x®0. x + 9 + x + 16 - 7 b. lim x ®0 x. x +1 - 3 x +1 x. c. lim. x®0. x + 3 - 3 3x + 5 x2 -1. e. lim x ®1. Dạng vô định. f. lim. x ®1. 3. 3. x +1 + x + 4 - 3 x. 8x + 11 - x + 7 x 2 - 3x + 2. ¥ ¥. 1. Tìm các giới hạn sau: 2x + 1 x ® +¥ x - 1. a) lim. d) lim. b) lim. 3x(2x 2 - 1). x ®-¥ (5x - 1)(x 2. x ®-¥ 1 - 3x - 5x. 3x 3 - 2 x + 2 x ®±¥ -2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 4 - 3x 2 + 1 h) lim 3 x ®±¥ - x + 2 x - 2 (x - 1) 2 (7x + 2) 2 lim i) x ®±¥ (2x + 1) 4 x 2 - 3x + 2 x 3x - 1. m) lim. x 2 - 3x + 2 x 3x - 1. x ®+¥. x ®-¥. o) lim. x ®± ¥. p) lim. x ®±¥. c) lim. 2. x ® +¥. x x +1 x 2 + x +1. + 2x). e) lim. l) lim. x 2 +1. 3x 3 - 2 x 2 - 1 x ®±¥ 4 x 4 + 3 x - 2. f) lim. j) xlim ®±¥. x3 - 2x2 - 2 x ®±¥ 3 x 2 - x - 1. g) lim. (2x - 3) 2 (4x + 7)3 (3x - 4) 2 (5x 2 - 1). k) lim. x ®¥. 4x 2 + 1 3x - 1. n) lim. x®±¥. x 2 + x + 2 + 3x + 1 4x 2 + 1 + 1 - x. 4x 2 - 2x + 1 + 2 - x 9x 2 - 3x + 2x x 2 + 2x + 3 + 4x + 1 4x 2 + 1 + 2 - x. x x +3 x ®+¥ x 2 + 1. q) lim. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. r) lim. x3 + 2x2 + x 2x - 2. 3. x ®-¥. s) lim. ( x 3 + 2 x 2 )2 + x 3 x 3 + 2 x 2 + x 2 3x 2 - 2 x. 3. x ®-¥. (x x + x - 1)( x + 1) x ®+¥ (x + 2)(x - 1). t) lim.  Giới hạn một bên 1. Tìm các giới hạn sau x2 - 2x 3x + 1. a) lim x ®2. -. d) lim x ®1-. f) lim± x®0. i) xlim ®4. ±. b) xlim ®2. x -1 x -1 2x 4x 2 + x 3 x -3 x-4. x 2  3x  3 k) lim 2 x 2 x  x  2. h) lim. x ®1 +. x2 +x-2 x -1. +. 3x - 1 2. x ®0 +. x ®1. x 2  3x  3 x2. g) lim. x2. x 2. l) lim. x ®1 -. lim. h) lim. x 3 - 3x + 2 x 2 - 5x + 4. p+ 2. x -1 x -1. x2. x 2  3x  3 x2. x 2  3x  3 x2  x  2. j) lim. x®. +. x2 + x3 2x. e) lim. i). c) lim. æ. g) lim± çç x x®0. è. 1- x ö ÷ x ÷ø. 1 + cos 2x p -x 2. 2. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại x o và xét xem hàm số có giới hạn tại xo không ? ́ x 2 - 3x + 2 (x > 1) ïï 2 a) f(x) = í x - 1 ï- x (x < 1) ïî 2 với x o = 1 ́ 1 + x -1 ï c) f (x) = í 3 1 + x - 1 ï3 / 2 î. ́4 - x 2 (x < 2) ï b) f(x) = í x - 2 ï1 - 2x (x > 2) î với x o = 2. x>0 x£0. với x o = 0. 3. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại xo: ́ x 3 -1 (x < 1) ï a) f(x) = í x - 1 với x0 = 1 ïAx + 2 (x £ 1) î ́ x + 6 + 2x - 9 x<3 ïA + 3 f (x) = x - 4x 2 + 3x b) với x0 = 3 í ï3x 2 - 2 x ³3 î. Giới hạn hàm lượng giác Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. 1. Tính các giới hạn sau: sin 5x 1 - cos 2x cos x - cos 7x lim b) lim c) x ® 0 3x x®0 x®0 x2 x2 cos x - cos3x tgx - sin x 3 ö æ 1 lim lim ç d) xlim e) f) ÷x 2 3 ®0 x ® 0 è sin x sin 3x ø x®0 sin x x. a) lim. g) lim x ®0. sin 2 x + sin x 3sin x. h) lim x ®0. x2  3 x3  2.  2) lim  x 3. Dạng 1: x  a Bài 1: Thay vào luôn. 1) xlim  1. x2 x3  x  6. 4) lim x 3. 1 - sin x - cos 2 x sin x. 4x  3    2x  7 . 5) lim x 1. 5 3 3) xlim  2. 5x  1 2x  7. 6) xlim  2. 2 x 4  3x  2 x2  x  2 x 2  5x  3 2x 3  2x 2  x  6. Bài 2: Phân tích thành nhân tử. 1) lim x 2. x 2  3x  10 3x 2  5 x  2. 2) lim. 3) lim x a. x n  a n  na n 1 ( x  a) ( x  a) 2. 4) lim x 1. 3   1   3 1  x 1  x .   6) lim x 1. xa.  x  h 3  x 3 h. 8) lim x 1. x 1. 9) lim x 3. 1 x. lim x 2. x 3  3x 2  9 x  2 x3  x  6. 14) xlim  4. x 2  2 x  15 x3. x3 1 11) lim x 1 x ( x  5)  6 x 2  3x  4 13) xlim  4 x 2  4x. x 2  2 x  15 10) xlim  5 x5. 12). x n  nx  n  1 ( x  1) 2. n 1    n 1 x  1  x.  5) lim x 1. 7) lim h 0. xn  an xa. x 2  5x  6 x 2  12 x  20. x4 1 16) lim x 1 x 2  2 x  3. 15) xlim  2. x 3  3x 2  2 x x2  x  6. 17) xlim  2. x 3  4x 2  4x x2  x  6. Bài 3: Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc hai) x2  5  3 . x 2 x2 3x  5  1 4) lim x 2 x2 x 1 6) xlim 2  1 6 x  3  3x x4 3 8) lim 2 x 5 x  25. 1) lim. 10) lim x 3. x3 2 x  10  4. 2) lim. 4. x 7. 5) lim x0. x9 2 x7 x. 3) lim x 5. 5 x 5 x. 1 x 1. 7) lim x 0. 1 x  x2 1 x. 2   9) lim 1  2 x  x  1  x x0. x. 11) lim x 1. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. x  3x  2 x 1 3. 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ n. 12) lim x 0. 14). 1 x 1 (n N, n  2) x. x 6. 3x  2  4 x  x  2 x 2  3x  2. 15). x 3  3 x  58 x2. 17) lim. 2. lim x 1. 16) lim x2. x2 2 x6. 13) lim. 2 x  3x  1 x2 1. lim x 1. x 1 x  2x  3 2. x 1. Bài 4: Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai) 5 x  5 x x 0 x 2x  1  x 3) lim x 1 x 1. 1 x  1 x x 0 x ax a 4) lim (a > 0) x 0 x. 1) lim. 5) lim x0. 3. 7) lim x 1. 3. 8) lim x 0. 2) lim. 1 x  x2  x  1 x. 6) lim. 3x  2  4 x 2  x  2 x 2  3x  2. 3x  2  3 4 x 2  x  2 x 2  3x  2. 10) lim. 1  3x  x 2  1  x x. a x 3 a x. 9) lim. x 1. x 0. x 1. 3. x  2  3 1 x  x2 x2 1. Bài 5: Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc ba) 1  4x  1 x 0 x 3 1 x 1 c) lim x 0 3x. a) lim. 3. 4x  2 x2 x. 3. b) lim x 2. d) lim x0 3. x 1 1. Bài 6: Nhân lượng liên hợp (cả tử và mẫu) 1). lim x4. 3 5 x 1 5  x. x 1. 3. 4) xlim  1. 2) lim x2. 5) lim 4. x 32 2. x 1. 4 x 2. 7) lim x 9. 9 x 3 2. 3) lim x 1. 4x  1  3 3. 2. 6) lim x0. x x2. x 1. x 3. x 1 3. 9) lim. x 1. 7  2x  5. x2  x. x 1. 8) xlim  64. x 1 x 1. x 8 43 x. Bài 7: Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba) 1) lim x0. 2 1 x  3 8  x x x 1. 6) lim x0. 2) lim x 1. 3x  2  3 4 x 2  x  2 x 2  3x  2. 5  x3  3 x 2  7 x2 1. 3) lim 4) lim x 1. (ĐHQG – KA 97). 3. 3x  2  4 x 2  x  2 x 2  3x  2. 3x  4  3 8  5 x x. x  7  5  x2 x 1 x 1 3 1  2x  1  7 x 7) lim x0 x. 5) lim. 3. Dạng 2: Giới hạn một bên 1) lim x  2. 3). . 8  2x  2 x2. 3x  6  x 2  4 x  4 x2 x2. lim. 2) lim. 2 x  3x. 3 x  2x 3 x  1 ; x  1 f ( x) 4) f x    2 . lim x1 x  1 ; x  1  x 0. . Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 3x 2  2 x  1 ; x  0  5) f x    sin x . ;x0   x ;x0 o  2 ; 0  x 1 6) f x    x .  x 2  2 x  1 ; x  1  mx 2. ;x2. 3. ;x2. 7) f ( x)  .  x 2  5x  6. ;x2.  8) f ( x)  . f ( x) ; Tìm lim x1. f ( x) ; lim f ( x ) Tìm lim x1 x 0. . Tìm m để hàm số có giới hạn tại x = 2.. mx  4 ;x2 1 2 ; x 1  5 (2 x  3)  f ( x) ; lim f ( x) ; 1  x  3 . Tìm lim 9) f x   6  5 x x1 x3 x  3 ;x3  . x4 1 10) lim 2 x  3 x  4 x  3. 11) lim x0. 2x 4x 2  x 3. Dạng 3: x  : Có các dạng vô định:  -  ; 0x ;.  . Khi đó chúng ta phải khử: . Chú ý: Khi x  - hoặc x  + mà chia cho x thì phải chú ý tới dấu. x 3  3x  1 1) lim x  2  6 x 2  6 x 3 2 x  320 3x  230 3) lim x  2 x  150. . x x 1  x 4) xlim  . . 2. 2.  x  x  x  2) xlim   . . x 2  7 x  1  x 2  3x  2 6) xlim  . .    3x  3x  3x  3 x  11) xlim  . 2. . x  4  x 2  7x  2 9) xlim  . 10). . 5) lim x  x  1  x  x  1  x 8) lim  x  2 x  1  x  6 x  3  15) lim   x  a x  b   x .  2. x 2  4x  1  x 2  9x 7) xlim  . . . . . . 3 x 3  2x 2  x  x 12) lim x . n. n. 2. 2. x  . x  . . . 3 x3  2x 2  x2  2x 18) xlim  . . x2 1  x 14) xlim  . 3 x 3  x 2  3x  x  1 13) lim x .  20) lim . .   2  x  x  x  x  x  x  17) lim x  x  x  2 16) xlim   x  . 19) xlim  . . . 1. x. x  1  x  1. . x  .  x  2  2 x 1  x 21) xlim  . . x. x  3  x  1 22) xlim  . n. 2. x  . . lim 2 x  1  4 x 2  4 x  3. x  . . . . . . x 2  2x  2 x 2  x  x. . x. x 2  4  x 2  3 24) xlim  . . . x  2 . x  3  x  1 23) xlim  . Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.  2x  5  2x  7  25) xlim  . . 3 x3  x2  1  3 x3  x2  1 27) lim x. . . 3 x 3  6x 2  x 26) lim x . . sin x 1 x 0 x. Dạng 4: lim. tan 2 x 3x. 1) lim x 0. sin 5 x x. 4). 1  cos x x2. 5) lim x 0. sin 5 x. sin 3 x. sin x 45 x 3. 6) lim x0. sin x. sin 2 x.... sin nx n! x n. 7). tan x  sin x sin 3 x. 9). cos x  cos b xb. 10). lim x 0. lim x b. 11) lim x c 14). tan x  tan c xc. sin 2 x  sin 2 a x a x2  a2. lim. sin 5 x  sin 3x sin x. 15) lim x 0. 2) lim x 0. 1  cos x. cos 2 x. cos 3 x 1  cos x tan a  2 x   2 tan a  x   tan a lim x 0 x2. x 0. 1  cos 3 x x sin x. 13) lim x c. sin ax  tan bx ( a  b) x. 23) lim x0. ( a  b  0). sin a  x   sin a  x  tan a  x   tan a  x . 2x  1  3 x 2  1 25) lim x0. cos( a  x)  cos(a  x) 27) lim x 0 x. 30). x3  8 tan( x  2). 18) xlim  2. lim. lim x 0. 1  1  sin 3x 1  cos x. 28). sin x sin x  tan x lim x 0 x3. (QG–KB 97) .   tan 2 x. tan   x  (SPHN ‘00) 34) lim  4 x   4. 1  cos x 1  cos x. sin 2 2 x  sin x. sin 4 x tan a  x . tan a  x   tan 2 a lim 33) x 0 x0 x4 x2 sin x  sin 2 x lim 1   1 x  0  x    36) lim 37) x  0 sin x x1  2 sin 2  tan x   2 . 32) lim. x. cot x  cot c xc. sin a  2 x   2 sin a  x   sin a x 0 x2. 24) lim x0. 1  x 2  cos x 39) lim (TM’99) 2 x 0. sin x  sin a xa. 1  2x  1 sin 2 x. cos x  cos  x x2 1  x  tan x 16) lim x 1 2. 21). 31) lim x 0. lim. 8) lim x a. sin x n sin x m. 17) lim x 0. 20). cos ax  cos bx. cos cx x2 1  cos x (GHN’00) 26) lim x0 sin x sin x. cos x  sin x lim x 29) x 0 sin 2. x 0. 12) lim x 0. 19) lim x0. 22) lim x0. lim. 3) lim x 0. 40). lim x 0. 1  tan x  1  sin x x3. 35) lim x 0. 1  cos 5 x. cos 7 x sin 2 11x. x  2 sin 38) lim x  (HH’00)41). lim x 1. 3 x. x  3  2x tan( x  1). (DLHP’00) 42) lim x0. 1  cos ax x2. sin 5 x 43) lim x  0 tan 7 x. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 44). lim.  x 2. cos x  x 2 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. 1  cos x. 45) lim x . 47) xlim ®0.  x   2. 46). cos 3x - cos5 x.cos 7 x x2. 48) lim. 1. 51) lim  x  cos x  tan x 2 55) lim x 0 58). lim  x 2. lim. 1  cos ax 1  cos bx.  x 4. x . 2 sin x  1. 6. 50) lim. sin x  cos x   4x. 49) lim. x. x. 6. tan x  sin x x. tan x. sin x. 53) lim x0. 56) lim x0. 1  cos 2 2 x x. sin x. 57) lim x 1. 59). 61) lim x0. lim  x 6. 1  2 sin x  x 6. 1  cos 5 x 1  cos 3 x. 2 sin x  1 2 cos 2 x  1. 4. 52) lim x 0. cos x  x 2. 2 60) lim  x  4 cos x  3. 4. 2  2 cos x   sin  x   4 . sin 6  x  1  2 sin x. 1  cos ax (a 0) x2 sin( x  1). x 2  4x  3. 54) lim x 0. 62) lim x0. x. sin ax 1  cos ax. sin 7 x  sin 5 x sin x.   sin   x  63) lim  4   x 1  2 sin x 4. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span>