Chuyên đề Hình học 8 Toán 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (15.09 MB, 357 trang )
Chương 1
Chủ đề 1 TỨ GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
AB, BC ,CD, DA
ABCD
Tứ giác
là hình gồm bốn đoạn thẳng
trong đó bất kì hai
đoạn thẳng nào cũng khơng cùng nằm trên một đường thẳng.
Tứ giác lồi là tứ giác ln nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
chứa bất kì cạnh nào của tứ giác (từ nay, khi nói đến tứ giác mà khơng chú
thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi).
2. Tính chất
Chỉ có một tính chất về góc: Tổng các góc của một tứ giác bằng
3600
.
3. Dấu hiệu nhận biết
Theo định nghĩa.
4. Cách vẽ một tứ giác
Có hai cách:
Cách 1 (hình 3a): Cắt một tam giác bởi một cát tuyến không đi qua đỉnh.
Cách 2 (hình 3b): Vẽ hai tam giác, tam giác
đỉnh
đỉnh
A, B , D
C
. Sau đó vẽ tam giác thứ hai
BDC
ABD
trước để xác định ba
để xác định nốt đỉnh
phải thoả mãn hai điều kiện, nằm khác phía với đỉnh
đường thẳng
BD
và không nằm trên hai đường thẳng
AB , AD
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính góc của tứ giác
I.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng:
− Tính chất về góc của một tam giác, một tứ giác.
− Khái niệm: Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng
− Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
II.
VÍ DỤ
x
Ví dụ 1. Tìm ở hình 4a và hình 4b.
Lời giải (hình 4)
A
1800
.
.
C
,
mà bờ là
a) Áp dụng tính chất về góc cho tứ giác
µ +R
µ + Sµ = 3600
Pµ +Q
, hay
, ta được:
x + x + 650 + 950 = 3600 Û 2x + 1600 = 3600 Û x = 1000
b) Áp dụng tính cht v gúc vo t giỏc
ả +N
à + Pà +Q
à = 3600
M
PQRS
, hay
MNPQ
.
ta được:
3x + 4x + x + 2x = 3600 Û 10x = 3600 Û x = 360
.
Ví dụ 2. Góc kề bù với một góc trong của tứ giác gọi là góc ngồi của tứ giác.
a) Tính các góc ngồi của tứ giác ở hình 5a.
b) Tính tổng các góc ngồi của tứ giác ở hình 5b (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn
µ +B
µ +Cµ + D
µ =?
A
một góc ngồi):
.
c) Có nhận xét gì về tổng các góc ngồi của tứ giác?
Lời giải (hình 5)
a) Áp dụng tính chất về góc vào tứ giác
µ +B
µ +Cµ + D
µ = 3600
A
, ta được:
µ = 3600
75 + 90 + 120 + D
0
, hay
ABCD
0
0
hay
µ = 3600 - 2850 = 750
D
.
Vì mỗi góc ngồi kề bù với một góc của tứ giác, nên:
¶ = 1050, B
¶ = 900,C¶ = 600, D
¶ = 1050
A
1
1
1
1
b) Vì các góc ngồi
.
¶ = 1800 - M
ả ,N
ả = 1800 - N
à , Pà = 1800 - Pà
M
1
1
1
ả +N
ả + Pà + Q
ả = 1800 - M
ả + 1800 - N
à + 1800 - Pà + 1800 - Q
à
M
1
1
1
1
v
ả +N
à + Pà + Q
à ) = 7200 - 3600 = 3600
= 7200 - (M
c) Theo câu b): Tổng các góc ngồi của tứ giác bằng
Ví dụ 3. Cho t giỏc
MNPQ
3600
ả = 1800 - Q
à
Q
1
, nờn:
.
.
bit:
ả :N
à : Pµ : Q
µ = 1: 2: 3: 4
M
.
a) Tính các góc của tứ giác.
b) Chứng minh rằng
R
MN P PQ
c) Gọi
là giao điểm của
Lời giải (hình 6)
.
MQ
với
NP
. Tính các góc ca tam giỏc
ả
à
à
M
N
Pà
Q
=
= =
1
2
3
4
PQR
.
a) Vit li gi thit thnh
.
p dng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tính cht v gúc vo t giỏc
MNPQ
Ta cú:
Vy
.
ả
à
à
ả +N
à + Pà + Q
à
M
N
Pà
Q
M
3600
=
= = =
=
= 360
1
2
3
4
1+ 2 + 3 + 4
10
ả = 360, N
µ = 720, Pµ = 1080,Q
µ = 1440
M
.
.
b) Vì góc
µ
P
1
là góc ngồi của tứ giác
Pµ1 = 1800 - Pµ = 1800 - 1080 = 720
Do đó
µ
µ
P1 = N
. Vậy
c) Theo câu b) thì
Nên:
MN P PQ
µ = 720 Q
¶
P
1
1
,
MNPQ
III.
1.
a)
b)
c)
, nên:
(vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).
là góc ngồi của tứ giác
MNPQ
tại đỉnh
Q
.
.
Áp dụng tính cht v gúc vo tam giỏc
hay
P
.
ả = 1800 - Q
à = 1800 - 1440 = 360
Q
1
à +Q
ả +R
à = 1800
P
1
1
ti đỉnh
µ = 1800
720 + 360 + R
PQR
, hay
, ta có:
µ = 1800 - 1080 = 720
R
.
BÀI TẬP
Bốn góc của tứ giác có thể đều là:
Góc nhọn;
Góc tù;
Góc vng
Được khơng? Vì sao? Suy ra trong một tứ giác có nhiều nhất mấy góc nhọn?
2. Cho tứ giác
ABCD
giác tại đỉnh
3. Tứ giác
A
BCDE
.
có:
có:
µ = 1200;Cµ = 500; D
µ = 900
B
µ = 1200;Cµ = 500; D
µ - Eµ = 400
B
4. Tính các góc của tứ giác
.
µ : Fµ : G
µ :H
µ = 1: 2: 4 : 5
E
EFGH
. Tính góc
. Tính
µ , Eµ
D
A
và góc ngồi của tứ
.
biết:
.
DẠNG 2. Vẽ tứ giác biết năm yếu tố. Chứng minh quan hệ về độ dài
I.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Vẽ một tứ giác khi biết năm yếu tố
Bước 1: Cho một tam giác biết ba yếu tố vẽ trước để xác định ba đỉnh của tứ
giác.
Bước 2: Lợi dụng một cạnh của tam giác đã vẽ với hai yếu tố còn lại vẽ tam giác
thứ hai để xác định đỉnh thứ 4.
2. Chứng minh quan hệ về độ dài: Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác.
Với
a, b, c
là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
0 £| a - b |< c < a + b
0 £| b - c |< a < b + c
0 £| c - a |< b < c + a
II.
;
;
.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Dựa vào cách vẽ các tam giác đã học, hãy vẽ lại
tứ giác ở hình 7 vào vở.
Lời giải
D ABC
Vẽ
biết hai cạnh
theo hai bước sau:
− Vẽ
·
xBy
= 700
− Trên tia
Bx
tam giác
BA = 2cm; BC = 4cm
và
µ = 700
B
.
A
lấy điểm
ACD
, trên tia
biết ba cạnh
− Vẽ cung tròn tâm
A
− Vẽ cung trong tâm
lấy điểm
C
sao cho
AC , AC = 3cm; DA = 1, 5cm
bán kính
C
By
1,5cm
bán kính
BA = 2cm; BC = 4cm
theo hai bước sau:
.
3cm
. Giao điểm của hai
D
cung này chính là đỉnh .
Ví dụ 2. Chứng minh rằng trong một tứ giác:
a) Mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi của tứ giác.
b) Tổng hai đường chéo hơn hơn tổng hai cạnh đối.
Lời giải (hình 8)
Trên hình 8, đặt độ dài các cạnh như hình vẽ thì chu
vi của tứ giác
ABCD
là:
a +b +c +d
.
a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào hai tam giác
AC < AB + BC
AC < AD + DC
hay
hay
AC < a + b
ADC
(2)
2AC < a + b + c + d
AC <
hay
BD <
Chứng minh tương tự, ta cùng được
và
(1)
AC < c + d
Từ (1) và (2) suy ra:
ABC
a +b + c + d
2
a +b+c +d
2
.
.
, ta được:
. Vẽ
Vậy mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi.
b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào hai tam giác chứa hai cạnh đối nhau
AB,CD
là
OAB,OCD
OA + OB > AB
OC +OD > CD
hay
hay
(
O
OA + OB > a
AC + BD > a + c
), ta được:
(3)
OC + OD > c
Từ (3) và (4) suy ra:
AC , BD
là giao điểm hai đường chéo
(4)
.
AC + BD > b + d
Chứng minh tương tự, ta cũng được:
.
Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
III.
BÀI TẬP
5. Vẽ tứ giác
a) Bốn cạnh
ABCD
trong mỗi trường hợp sau, biết:
AB = 2cm; BC = 3cm;CD = 2,5cm;DA = 2cm
và đường chéo
AB = 3,5cm;BC = 4cm;CD = 4,5cm
AC = 5,5cm
AC = 4cm
.
µ
C = 1200
b) Ba cạnh
, đường chéo
và
.
6*. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu
vi của tứ giác ấy.
Chủ đề 2
HÌNH THANG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.
HÌNH THANG
1. Định nghĩa
− Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
ABCD
là hình thang
ìï ABCDlatugiac
Û ïí
ïï AB PCD
ỵ
(đáy
AB,CD
)
2. Tính chất
Tính chất về góc: Tổng các góc của một hình thang bằng
3600
Tính chất về đường trung bình: Đường trung bình của hình
thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy
(SGK Tốn 8, §4, tr.76).
Hai nhận xét:
− Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh
bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
.
− Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh
bên song song và bằng nhau.
3. Dấu hiệu nhận biết
Chỉ có một dấu hiệu nhận biết theo định nghĩa là: Tứ giác có hai
cạnh đối song song là hình thang.
4. Cách vẽ một hình thang
Có hai cách vẽ hình thang:
Cách 1 (hình 10a). Cắt một tam giác bởi một cát tuyến song song
với một cạnh không đi qua đỉnh.
Cách 2 (hình 10b). Lấy hai đoạn thẳng bất kì trên hai đường thẳng
song song làm hai đáy.
II.
HÌNH THANG VNG
1. Định nghĩa
Hình thang vng là hình thang có một góc vng
2. Tính chất, cách vẽ như hình thang, có một dấu hiệu nhận biết là hình thang có
một góc vng (theo định nghĩa).
III.
HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
− Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tứ giác
ABCD
là hình thang cân
ìï AB PCD(daylaAB, DC )
ï
Û ùớ
à = BhoacC
à
à =D
à
ùù A
ùợ
.
2. Tớnh cht
Ngoi cỏc tớnh cht của hình thang, hình thang cân cịn có:
Tính chất về cạnh bên: Trong hình thang cân, hai cạnh bên
bằng nhau.
Tính chất về đường chéo: Trong hình thang cân, hai đường
chéo bằng nhau.
3. Dấu hiệu nhận biết
Có hai dấu hiệu nhận biết hình thang cân
− Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình
thang cân.
− Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang
cân.
4.
Cách vẽ một hình thang cân
Cách 1 (hình 12a). Cắt một tam giác cân bởi một
cát tuyến song song với đáy.
Cách 2 (hình 12b). Trên một trong hai đường
m
n
n
thẳng song song
và . Chẳng hạn là ,
chọn một đoạn thẳng
CD
. Lấy
D
và
C
làm
D
C
tâm quay hai đường trịn tâm
và
có cùng
A, E , F , B
m
bán kính cắt đường thẳng
tại bốn đểm theo thứ tự
ta được
ABCD, DCFE
là hai hình thang cân như hình 30, hình 31 (SGK Tốn 8, Tập 1 - tr.
74, 75).
IV.
PHÂN TÍCH ĐI LÊN ĐỂ TÌM KIẾM LỜI GIẢI CHO CÁC CHỨNG MINH
ĐỊNH LÍ CỦA CHỦ ĐỀ 2
Học sinh tập phân tích đi lên, vẽ hình, viết lời giải rồi so sánh với
lời giải trong SGK.
1.
Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng
3600
.
Chứng minh
Xét tứ giác
ABCD
như hình 13. Ta phải chứng minh:
µ +B
µ + Cµ + D
µ = 3600
A
µ +B
¶ +D
¶ = 1800 (1)
ìï 1) A
1
1
ï
A + B + C + D = 360 ĩ ớ à
ả
ả
ùù 2)C + B + D = 1800 (2)
ỵ
2
2
0
2.
Định lí: Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau.
Chứng minh
Xét hình thang cân
AD = BC
ABCD (AB PCD )
, ta phải chứng minh
.
Xét hai trường hợp:
a)
AD
cắt
BC
ở
O
(giả sử
AB < CD
Dùng lưới ô vuông để vẽ hình (h.14)
Phân tích:
ìï µ
µ
ìï OD = OC
ïï D = C
ï
AD = BC Ü í
Ü í¶
¶
ïï OA = OB
ïï A = B
ỵ
2
ïỵ 2
b)
AD P BC
.
.
Dùng lưới ơ vng để vẽ hình (h.15).
).
Phân tích:
bên
3.
AD = BC Ü
AD, BC
Hình thang
ABCD
có hai cạnh
song song (theo nhận xét về hình thang).
Định lí: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Chứng minh
Xét hình thang cân
ABCD (AB PCD)
. Ta phải chứng minh
AC = BD
.
Dùng lưới ô vng để vẽ hình (h.16).
Phân tích:
AC = BD Ü D ACD = D BDC
ìï 1) AD = BC
ïï
µ = Cµ
Ü ïí 2) D
ïï
ïï 3)CD = DC
ỵ
(tính chất hình thang cân).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Nhận biết hình thang. Hình thang vng. Hình thang cân
I.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng:
−
−
II.
Định nghĩa hình thang, hình thang vng, hình thang cân.
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tứ giác
của góc
A
ABCD
có
AB = BC
. Chứng minh rằng
và
ABCD
AC
là tia phân giác
là hình thang.
Lời giải (hình 17)
Từ giả thiết
AB = BC
suy ra tam giác
ABC
cân ở
tính chất về góc và giả thiết vào tam giác cân
ìï A
¶
¶
ïï 1 = C 1
ả
ả
ớả
ả ị C 1 = A2 ị BC P AD
ïï A = A
2
ïỵ 1
.
B
ABC
. Áp dụng
, ta được:
Vì có cặp góc so le trong bằng nhau. Tứ giác
nên nó là hình thang.
Ví dụ 2. Cho tam giác
của tam giác
giác
ABCD
ABC
ABC
A
vng cân tại
một tam giác
BCD
ABCD
có hai cạnh đối song song
. Vẽ ra phía ngồi
vng cân tại
B
. Tứ
là hình gì? Tại sao?
Lời giải (hình 18)
Từ giả thiết tam giác
ABC
vng cân
A
,
BCD
ả = Cả = 450 ị AB PCD
B
1
1
B
. Nờn cỏc góc ở đáy
so le trong bằng nhau.
Tứ giác
ABCD
vng cân ở
do có cặp góc
có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.
ABCD
Hình thang
thang vng.
lại có
Ví dụ 3. Hình thang
hình thang cân.
µ = 900
A
theo giả thiết nên nó là hình
ABCD (AB PCD)
có
·
·
ACD
= BDC
. Chứng minh rằng
ABCD
Lời giải (hình 19)
Áp dụng tính chất góc so le của
ìï A
¶
¶
ïï 1 = C 1
ùù ả
ả
ớ B1 = D1 ị
ùù
ả = Cả
ùù D
1
ùợ 1
ả
ả
ùỡù A
ùớ 1 = B1 ị
ả = Cả
ùD
1
ợùù 1
AB PCD
v gi thiết, ta có:
ìï OA = OB (1)
ï
í
ïï OC = OD (2)
ỵ
(Vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai
cạnh bằng nhau).
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2) thu được
hình thang
ABCD
DC
a)
B
tại
ABCD (AB PCD )
kẻ đường thẳng song song với
E
. Chứng minh rằng:
D BDE
. Điều này chứng tỏ
có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.
Ví dụ 4. Cho hình thang
Qua
AC = BD
là tam giác cân.
có
AC
AC = BD
.
, cắt đường thẳng
là
D ACD = D BDC
b)
c)
Hình thang
.
ABCD
là hình thang cân.
Lời giải (hình 20)
a)
Áp dụng nhận xét hình thang có hai cạnh bên song song và
giả thiết vào hình thang
Tam giác
b)
, thu được:
có hai cạnh bằng nhau nên nó cân tại
Áp dụng tính chất về góc vào tam giác cân
của
AC P BE
Lại cú
Cú
BDE
ABEC
ỡù BE = AC
ù
ị BD = BE
ớ
ùù BD = AC
ợ
, ta c:
AC = BD
CD = DC
ỡù ả
à
ùù D1 = E
ả
ả
ớả
à Þ D1 = C 1
ïï C = E
ïỵ 1
(1)
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
III.
BÀI TẬP
và tính chất góc đồng vị
(2)
.
Hình thang
BDE
.
.
(theo giả thiết)
c)
B
.
D ACD = D BDC
ABCD
(c-g-c).
có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.
1.
Chứng minh rằng nếu cắt hai cạnh của một tam giác cân bởi một cát
tuyến song song với cạnh đáy thì tứ giác thu được là một hình thang cân.
2.
Cho tam giác
NSQP
giác
5.
cạnh
cân tại
M
. Kẻ các đường trung tuyến
NQ, PS
. Tứ giác
là hình gì? Vì sao?
3.
Cho
Vì sao?
4.
MNP
D ABC
cân tại
Hai đoạn thẳng
ACBD
AB
BD,CE
. Kẻ các đường cao
và
CD
cắt nhau tại
I
. Tứ giác
, biết rằng
BEDC
là hình gì?
AI = IC , IB = ID
. Tứ
là hình gì? Vì sao?
Cho tam giác
AC
A
sao cho
ABC
cân tại
AD = AE
.
A
. Lấy điểm
D
trên cạnh
AB
, điểm
E
trên
BDEC
a)
Tứ giác
b)
Các điểm
là hình gì? Vì sao?
D, E
BD = DE = EC
ở vị trí nào thì
?
6*. Một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau có phải là hình thang cân
khơng? Phải bổ sung thêm điều kiện gì thì hình thang có hai cạnh bên bằng
nhau là hình thang cân?
DẠNG 2. Tính góc của hình thang
I.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng:
−
−
−
Tính chất về góc của một tam giác, tứ giác.
Tính chất hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song bù
nhau.
II.
Định nghĩa hình thang cân.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Hình thang
thang.
ABCD (AB PCD)
có
µ- D
µ = 200, B
µ = 2Cµ
A
. Tính các góc của hình
Lời giải (hình 21)
Áp dụng tính chất các góc trong cùng phía của
ìï µ
µ
0
ïï A + D = 180
ïï µ µ
ïï A - D = 200
íµ
ïï B +Cµ = 1800
ùù
à
à
0
ùù B
ùợ - 2C = 0
AB P DC
v gi thiết, ta được:
(1)
(2)
(3)
(4)
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:
µ = 2000
2A
hay
µ = 1000
A
, suy ra
µ = 1800 - 1000 = 800
D
.
Trừ theo vế các đẳng thức (3) và (4), ta được:
3C = 1800
hay
µ = 600
C
, suy ra
Ví dụ 2. Hình thang vng
AB = AD = 3cm; DC = 6cm
Lời giải (hình 22)
ABCD
. Tính góc
µ = 1800 - 600 = 1200
B
có
B
µ =D
µ = 900
A
và
C
.
;
của hình thang.
Kẻ
BE ^ CD
thang
thì
ABED
AD P BE
, do cùng vng góc với
CD
nên hình
có hai cạnh bên song song.
Áp dụng nhận xét về hình thang có hai cạnh bên song song vào
hình thang
ABED
EC = DC - DE = 6cm - 3cm = 3cm
Suy ra
D BEC
Do góc
B
và
µ
µ
B + C = 1800
vng cân tại
C
BE = DA = 3cm; DE = AB = 3cm
và giả thiết ta được
E
.
nên
Cµ = 450
.
AB P DC
là hai góc trong cùng phía của
, suy ra
, do đó:
µ = 1800 - 450 = 1350
B
nên chúng bù nhau hay
.
Ví dụ 3. Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng
600
.
Lời giải (hình 23)
Xét hình thang cân
ABCD (AB PCD )
có
µ = 600
D
.
Theo định nghĩa hình thang cân và giả thiết ta có
Do góc
A
và
bù nhau hay
D
sao cho
a)
b)
D ABC
AD = AE
và
µ =B
µ
A
.
nên chúng
.
µ = 1800 - 600 = 1200
Þ A
Ví dụ 4. Cho
AB P DC
là hai góc trong cùng phía của
µ +D
µ = 1800
A
Cµ = 600
cân tại
A
nên
µ = 1200
B
. Lấy điểm
D
.
trên cạnh
AB
, điểm
E
trên cạnh
.
Chứng minh rằng
BDEC
là hình thang cân.
Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng
µ = 500
A
.
Lời giải (hình 24)
a)
Từ giả thiết
AD = AE
nên tam giác
ADE
cân ở
Áp dụng tính chất về góc vào hai tam giác cân
ABC
A
. Đặt
và
ADE
µ = 2a
A
.
, ta được:
AC
ìï ¶
¶
0
ïï D1 = E 1 = 90 - a
¶ =B
à
ị D
ớ à
1
ùù B = Cà = 900 - a
ùợ
ị DE P BC
Tứ giác
(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
BDEC
có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.
Hình thang này lại có hai góc kề một đáy bằng nhau là
cân.
b)
Áp dụng kết quả của câu a) với
µ = Cà = D
ả =E
ả = 650
B
1
1
Do cỏc gúc
B, D2
bự nhau, suy ra
và
C,E2
µ = 500 = 2a
A
hay
µ =C
µ
B
a = 250
nên là hình thang
, ta được:
.
là các cặp góc trong cùng phía của
¶ =E
¶ = 1800 - 650 = 1150
D
2
2
DE P BC
nên chúng
.
III.
BÀI TẬP
7.
a) Biết ít nhất mấy góc của một hình thang thì tính được các góc cịn lại?
b) Biết hai góc của một hình thang bằng
của hình thang.
8.
Cho biết hai góc đối của hình thang là
ABCD (AD P BC )
có
400
700
µ - B
µ = 300
A
và
1300
. Tính các góc cịn lại
. Tính các góc cịn lại.
µ + Cµ = 1500
A
9.
lại.
Hình thang
10.
lại?
a) Biết ít nhất mấy góc của một hình thang cân thì tính được các góc cịn
b) Một hình thang cân có một góc bằng
nhỏ? Tính các góc cịn lại.
và
và
600
700
. Tính các góc cịn
. Đó là góc ở đáy lớn hay đáy
400
11. Hai góc của một hình thang cân có hiệu bằng
. Đó là hai góc ở một đáy
hay hai góc ở một cạnh bên? Tính các góc của hình thang.
DẠNG 3. Chứng minh quan hệ về độ dài. Tính độ dài đoạn thẳng
I.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.
Chứng minh quan hệ về độ dài
Sử dụng:
−
−
Tính chất về cạnh bên và đường chéo của hình thang cân.
Trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng
nhau và ngược lại.
2.
Tính độ dài đoạn thẳng
Chọn tam giác vng thích hợp chứa đoạn thẳng rồi áp dụng định lí Py-ta-go.
II.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình thang cân
Kẻ các đường cao
DH = CK
AH , BK
ABCD (AB PCD, AB < CD )
.
của hình thang. Chứng minh rằng
.
Lời giải (hình 25)
Áp dụng định nghĩa, tính chất và giả thiết vào hình thang cân
ABCD
, ta được:
ìï
µ = Cµ
ïï
D
ïï
í AD = BC ị D ADH = D BCK
ùù
à =K
à = 900
ïï H
ïỵ
Vậy
DH = CK
(trường hợp cạnh huyền - góc nhọn).
.
ABCD (AB PCD )
I
Ví dụ 2. Cho hình thang cân
có là
giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:
IC = I D
và
IA = IB
.
Lời giải (hình 26)
Áp dụng tính chất về cạnh bên và đường chéo vào hình
thang cân
ABCD
, ta được:
ìï AD = BC
ïï
ï AC = BD (1) Þ D ADC = D BCD
í
ïï
ïï DC = CD
ỵ
(c-c-c)
¶ = C¶ Þ IC = I D
D
1
1
Suy ra
(vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau
là hai cạnh bằng nhau).
(2)
Trừ theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được
Ví dụ 3. Cho hình thang
I
cắt nhau tại điểm
đáy
AB
ABCD (AB PCD )
thuộc đáy
AB
IA = IB
.
hai đường phân giác của góc
C
và
D
. Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên bằng
của hình thang.
Lời giải (hình 27)
Áp dụng tính chất góc so le ca
AB PCD
v gi thit, ta cú:
ỡù à
ả
ùù I 1 = D2
ùù ả
ỡù à
ả
ả
ỡù AD = AI (1)
ùù D1 = D2
ù I 1 = D1
ù
ù
ị
ị
ớ à
ớ
ớ
ùù I = Cả
ùù Ià = Cả
ùù BC = BI (2)
ợ
3
4
ùù 4
ùợ 4
ùù Cả = Cả
4
ùợ 3
(vỡ trong mt tam giỏc, i din vi hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau).
AD + BC = AB
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được
Điều này chứng tỏ tổng hai cạnh bên bằng đáy
AB
Ví dụ 4*. Tính chiều cao của hình thang cân
AD = 5cm
, các cạnh đáy
AB = 6cm
và
CD = 14cm
.
của hình thang.
ABCD
, biết rằng cạnh bên
.
Lời giải (hình 28)
AH ^ DC , BK ^ DC
AH P BK
Kẻ
thì
có hai cạnh bên song song.
nên hình thang
ABK H
Áp dụng nhận xét về hình thang có hai cạnh bên song song vào
hình thang
ABK H
, ta được:
AH = BK , HK = AB = 6cm
.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác
AD 2 = DH 2 + HA 2
hay
ADH
vuông tại
52 = 42 + HA2
H
, thu được:
Û HA 2 = 32 Û HA = 3(cm)
Vậy chiều cao của hình thang cân là
BH
Ví dụ 5*. Tính chiều cao
AC ^ BD
và hai cạnh đáy
3cm
HA > 0
.
.
của hình thang cân
AB = a,CD = b
vì
ABCD
, biết
. Từ đó suy ra cách vẽ hình.
Lời giải (hình 29)
Kẻ
Bx ^ BD
Hình thang
đáy
cắt
DC
ABEC
AB = CE = a
Suy ra
Lại có
tại
DH =
AC = BD
BH
BE P AC
, do cùng vng góc với
AC = BE
BD
.
(1) và hai
.
DE = DC +CE = a + b
.
(tính chất đường chéo của hình thang cân). (2)
BD = BE
nên tam giác
BDE
vng cân tại
B
.
vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác
DE
a +b
=
2
2
BH =
Vậy
thì
có hai cạnh bên song song, nên
Từ (1) và (2) suy ra
Do đó
E
a +b
2
và
¶ = 450
D
1
, lúc đó tam giác
BDH
vng cân tại
H
BDE
, nên
.
.
Cách vẽ hình:
Bước 1: Vẽ
Bước 2: Kẻ
Bước 3: Kẻ
đầu bài.
D BDE
vuông cân tại
Bx P DE
Cy P BE
. Lấy
cắt
C Ỵ HE
Bx
tại
B
có đường cao
sao cho
A
CE = b
BH
và
DE = a + b
.
.
. Ta được hình thang cân thoả mãn yêu câu của
III. BÀI TẬP
12. Kéo dài hai cạnh bên của một hình thang cân (có hai đáy khơng bằng
nhau) thì tam giác thu được có phải là tam giác cân hay khơng? Vì sao?
13.
Cho hình thang cân
ABCD (AB PCD)
các cạnh bên kéo dài cắt nhau tại
đường trung trực của hai đáy.
14.
15. Hình thang cân
600
ABCD
, cạnh bên dài
1m
,
là
, góc tạo bởi
. Tính độ dài của đáy nhỏ.
có đường chéo
là tia phân giác của góc
2,7m
P
PQ
. Chứng minh rằng đường thẳng
Một hình thang cân có đáy lớn dài
cạnh bên và đáy lớn bằng
DB
Q
có hai đường chéo cắt nhau tại
D
BD
BC
vng góc với cạnh bên
. Tính chu vi của hình thang, biết
BC = 4cm
và
.
------///--------Chủ đề 3 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH
CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG
A. KIẾN THỨC CẦN NHƠ
I.
1.
2.
3.
II.
1.
2.
3.
III.
ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác.
Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song
với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và
bằng nửa cạnh ấy.
ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh bên của hình thang.
Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và
song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng
nửa tổng của chúng.
TỪ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TA THU ĐƯỢC KINH NGHIỆM
THỨ NHẤT
Cứ nói tới trung điểm phải nghĩ đến đường trung bình.
Ý nghĩa của kinh nghiệm này là: Với các bài toán mà giả thiết hay kết luận
đề cập đến trung điểm của một đoạn thẳng thì khi vẽ đường phụ ta vẽ thêm
đường trung bình nhằm sử dụng các định lí về đường trung bình của tam giác,
của hình thang.
IV.
PHÂN TÍCH ĐI LÊN ĐỂ TÌM KIẾM LỜI GIẢI CHO CÁC CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ
CỦA CHỦ ĐỀ 3
1. Định lí 1: Xét tam giác
Chứng minh
ABC
có
AD = DB, DE P BC
Sử dụng lưới ơ vng để vẽ hình (hình 30).
. Chứng minh
AE = EC
.
Phân tích:
AE = EC Ü D ADE = D EFC
ìï
µ =E
¶
ìï 1) A
ïï 4)
EFAB (dotoike)
ïï
1
ïï
ï
Ü í 2) AD = EF ĩ ớ 5) HinhthangBFEDcoFE P BD
ùù
ùù
ả = Fà
ả =B
à ,B
à = Fà
ùù 3) D
ùù 6)
D
ợ
1
1
1
1
ùợ
2. nh lớ 2: Xột tam giác
1
DE P BC , DE = BC
2
ABC
có
.
AD = DB, AE = EC
. Chứng minh rằng:
.
Chứng minh
Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hình (hình 31).
Phân tích:
1
DE P BC , DE = BC Ü
2
là hình thang có
DB PCF : DB = CF
ïìï 1) AD = DB
ïìï 5) DE = EF (dotoilay)
ïï
ï
Ü ïí 2) AD = CF Ü 4)D AED = D CEF Ü ïí 6) E¶ 1 = E¶ 2 (vidoidinh)
ïï
ïï
¶ = Cả
ùù 3) A
ùù 7) AE = EC (giathietcho)
1
1
ùợ
ùợ
3. nh lí 3: Xét hình thang
AE = ED, FE PCD
ABCD (AB PCD)
. Ta phải chứng minh
.
có
BF = FC
.
Chứng minh
Sử dụng lưới ơ vng để vẽ hình (hình 32).
Phân tích:
ïì 1) IE P AB
ïì 3) FE PCD
BF = FC Ü ïí
Ü ïí
ïï 2) AI = IC
ïï 4) AE = ED
ỵ
ỵ
4. Định lí 4: Xét hình thang
FE P AB PCD, FE =
minh
Chứng minh
.
ABCD (AB PCD)
AB +CD
2
có
.
Sử dụng lưới ơ vng để vẽ hình (hình 33).
AE = ED, BF = FC
. Ta phải chứng
Phân tích:
ìï 1) AB PCD
FE P AB PCD Ü ïí
ïï 2) FE PCD
ỵ
Ü FE
(giả thiết cho)
là đường trung bình của tam giác
ADK
ìï
µ = Cµ
ïï 5) B
ìï 3) AE = ED
ï
Ü ïí
Ü D AFB = D K FC Ü ïí 6) BF = FC
ùù 4) AF = FK
ù
ợ
ùùù 7) Fà = Fà
1
2
ùợ
.
ỡù 1)
2.FE = DK
ĩ 2FE = AB + CD ĩ ïí
Ü AB = CK
ïï 2) AB +CD = CD +CK = DK
ỵ
.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Vẽ thêm đường trung bình để tính góc, tính độ dài đoạn thẳng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Vẽ thêm đường trung bình của một tam giác, của một hình thang bằng một
trong ba cách sau: vẽ thêm trung điểm một đoạn thẳng, vẽ đường thẳng song
song, vẽ đường thẳng vng góc.
2. Sử dụng
− Định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang.
− Tính chất về góc trong tam giác.
− Tính chất hai góc ở vị trí so le hoặc đồng vị của hai đường thẳng song song.
− Trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và
ngược lại.
− Tính chất góc ngồi của tam giác bằng tổng hai góc trong khơng kề với nó.
II.
VÍ DỤ
x
Ví dụ 1. Tính ở hình 34.
I.
Lời giải (hình 34)
a) Do có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau nên
Lại có
AE = EC = 8cm
Từ (1) và (2) suy ra
b) Do
AD, BE
Lại có
DE P BC
và
CH
AB = BC
AD = DB
.
(1)
(2)
hay
x = 10cm
cùng vng góc với
DH
.
nên
AD P BE PCH
(2)
.(1)
Từ (1) và (2) suy ra
DE = EH
BE
Từ (2) và (3) ta có
.
(3)
là đường trung bình của hình thang
Áp dụng định lí đường trung bình vào hình thang
1
BE = (AD + CH )
2
Ví dụ 2. Tính
x, y
hay
1
32 = (24 + x)
2
hay
ADHC
x = 40cm
ADHC
.
, ta có:
.
trên hình 35.
Lời giải (hình 35)
a) Do
IP ,GK , MH
cùng vng góc với
IP PGK P MH
Lại có
AH
nên
(1)
AI = IG = GM
Từ (1) và (2) suy ra
của tam giác
.
(2)
AP = PK = K H
AGK ,GK
, do đó
IP
là đường trung bình
là đường trung bình của hình thang
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác
IPHM
GK =
, ta được:
IP + MH
2
GK = 2IP
6=
hay
3+ y
2
b) Trên (hình 35b) ta thấy
AEFB
hay
CDHG
6cm = 2x Û x = 3cm
hay
CD, EF
AGK
y = 9(cm)
I PHM
.
và hình thang
.
.
lần lượt là đường trung bình của
hình thang
và
.
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang trên, ta được:
CD =
AB + EF
8 + 16
Û x=
= 12(cm)
2
2
EF =
x +y
12 + y
Û 16 =
Û y = 20(cm)
2
2
Ví dụ 3. Cho tam giác
cho
BD = AC
. Gọi
Lời giải (hình 36)
E,F
ABC (AB > AC )
có
.
µ = 500
A
lần lượt là trung điểm của
. Trên cạnh
AD, BC
AB
lấy điểm
. Tính góc
BEF
.
D
sao
Do
E,F
lần lượt là trung điểm của
điểm của
BCD
DC
. Đặt
EI , FI
thì
BD = AC = 2a
AD, BC
theo giả thiết nên vẽ thêm
thứ tự là đường trung bình của hai tam giác
I
là trung
ADC
và
.
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên, ta có:
FI P BD
(1)
FI = a
(2)
EI = a
(3)
EI P AC
T (1)
(4)
ả = Fà
ị E
1
1
(vỡ so le trong).
(5)
ả
à
E 2 = F1
FI = EI
Từ (2) và (3) suy ra
nên
(vì trong một tam giác,
đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau).
Từ (5) và (6) suy ra
Mà
·
¶
BEI
= 2E
1
nên
¶
¶
E1 = E 2
¶ = 250
E
1
Ví dụ 4. Cho hình thang
là trung im ca
BC
. T (4)
Ã
à = 500
ị BEI
=A
(vỡ ng v)
.
ABCD (AB PCD )
. Tính góc
AED
có
AB = 2cm,CD = 5cm, AD = 7cm
.
Lời giải (hình 37)
Đặt
Do
¶ = a, E
¶ =b
E
1
2
E
thì
·
AED
= a +b
là trung điểm của
trung điểm của
Ta được
IE
AD
BC
.
theo giả thiết nên vẽ thêm
AI = ID =
thì
(6)
AD
= 3, 5cm
2
.
là đường trung bình của hình thang
(1)
ABCD
.
I
là
. Gọi
E
Áp dụng định lí đường trung bình vào hình thang
IE =
ta có:
AB +CD
2
2+ 5
= 3,5cm
2
IE =
, hay
.
ABCD
,
(2)
ìï ¶
¶
ìï I A = IE
ù A1 = E 1 = a
ù
ù
ị ớả
ớ
ả =b
ùù I E = I D
ïï D = E
ỵ
2
ïỵ 2
Từ (1) và (2) suy ra:
(vì trong một tam giác, đối diện với
hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau).
Áp dụng tính chất về góc vào tam giác
¶ + AED
·
¶ = 1800
A
+D
1
2
Do đó
III.
a + b = 900
. Vậy
BÀI TẬP
1. Cho tam giác
AB, AC
ABC
. Tứ giác
BDEC
2. Tam giác vuông
của
BD, DC
và
3. Cho tam giác
điểm của
BD
4. Cho tam giác
B
có
H
hay
·
AED = 900
µ = 500, B
µ = 700
A
A
thẳng
B
DC
AE , BF
AE ^ K D
A
,
M
lần lượt là trung điểm của
là trung điểm của
CH
DE
BD
. Gọi
AB
. Kẻ
có
. Gọi
H
E,F
AHB
lần lượt là trung điểm
.
BD ^ AC
, gọi
E
là trung
.
. Gọi
H
là chân đường vuông góc kẻ từ
là trung điểm của
ABCD (AB PCD)
. Tính độ dài
D, E
. Tính góc
có đường cao
AB = 6cm, AC = 8cm
đến tia phân giác của góc
sao cho
có đường cao
. Chứng minh rằng:
5. Cho hình thang cân
. Các điểm
là hình gì? Tính các góc của nó.
cân tại
có
.
.
là giao điểm của
ABC
, thu được:
a + a + b + b = 2(a + b) = 1800
µ
0
ABC (B = 90 )
AKC
ADE
BC
. Tính độ dài
AB = 4cm,CD = 10cm, AD = 5cm
là chân đường cao kẻ từ
E
HM
.
. Lấy điểm
E
đến đường
.
DẠNG 2. Vẽ thêm đường trung bình để chứng minh quan hệ về độ dài
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Vẽ thêm đường trung bình
2. Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang.
II.
VÍ DỤ
I.
Ví dụ 1. Cho tam giác
là giao điểm của
CI
và
ABC
AB
1
1
DA = DB ; DI = DC
2
4
, trung tuyến
AM
. Gọi
I
là trung điểm của
AM
,
. Chứng minh rằng:
.
Lời giải (hình 38)
Do
BD
M
là trung điểm của
thì
BE = ED
BC
theo giả thiết nên vẽ thêm
(1), ta được
EM
Từ (2)
(2) và
Þ ME P DI
mà
DC = 2ME
AI = IM
BCD
, ta được:
theo giả thiết.
AD = DE = EB
DI
Từ (4) và (5) ta có
AME
(5) hay
1
AD = DB
2
, ta được:
Thay (6) vào (3) ta được:
Ví dụ 2. Cho tam giác
Chứng minh rằng
.
là đường trung bình của tam giác
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác
DC = 2.2DI = 4DI
µ
0
ABC (A = 90 )
BC = 2AM
AEM
DI =
hay
trung tuyến
AEM
, ta có:
1
DC
4
AM
.
ME = 2DI
.
.
.
Lời giải (hình 39)
M
là trung điểm của
sao cho
A
BC
theo giả thiết nên vẽ thêm điểm
là trung điểm của
của tam giác
BCD
.
(4)
Từ (1) và (4) suy ra
Do
BCD
(3)
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác
AD = DE
là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác
ME P DC
E
BCD
thu được
BD
, ta có
AM
D
là đường trung bình
. Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác
CD = 2AM
(1)
(6)
D
T gi thit
on
Thay
BD
à = 900 ị CA ^ BD
A
do ú
CD = CB
CE = CD
CA
là đường trung trực của
.
vào đẳng thức (1) ta được
Ví dụ 3. Cho tam giác
ABC
tam giác. Vẽ đường thẳng
rằng:
nên
BD +CE = 2MH
và
,
M
CB = 2AM
.
BC
là trung điểm cạnh
BD,CE , MH ,GI
BD +CE = 3GI
. Gọi
G
Ay
cùng vng góc với
là trọng tâm của
. Chứng minh
.
Lời giải (hình 40)
M
Theo giả thiết
của tam giác
ABC
Nên trọng tâm
2
AG = AM
3
Gọi
Vẽ
J
là trung điểm của
G
là trung tuyến
AM
của tam giác nằm trên trung tuyến
và
.
J K ^ Ay (K Ỵ Ay)
AG
ta có
thì
Từ (1) và (2) suy ra
J A = J G = GM
(1)
J K PGI P MH P BD PCE
Ta được hai hình thang vng
Do đó
AM
nên
.
là trung điểm của
JK
BC
BDEC
AK = K I = I H
và
và
J KHM
DH = HE
là đường trung bình của tam giác
trung bình của hai hình thang vng
J K HM
(2)
.
theo định lí đường trung bình.
AIG
và
và
GI , MH
BDEC
lần lượt là đường
.
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang vng
được:
BD +CE = 2MH
(3) và
MH + J K = 2GI
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác
(5)
BEDC ,J K HM
(4)
AIG
, ta có:
1
J K = GI
2
, ta
