100 bài tập bất ĐẲNG THỨC ôn THI vào 10 chuyên

GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

100 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  6abc.
1 1 1
Chứng minh rằng : 2  2  2  3.
a
b c
(Trích đề thi vào 10 Hà Nội năm học 2013 - 2014)

z4
.
Bài 2: Cho x, y, z  0 và xy z  x z  y  3z . Tìm GTLN của M 
1  z 4  x 4  y4 
2 2

2

2

(Trích đề thi vào 10 chuyên Lam Sơn năm học 2018 - 2019)
Bài 3: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a 4b4  b4c4  c4a 4  3a 4b4c4 .
1
1
1
3
Chứng minh rằng : 2
 2
 2

 .
2
2
2
a b  2c  1 b c  2a  1 c a  2b  1 4
(Trích đề thi vào 10 chuyên Hưng Yên năm học 2017 - 2018)
Link VIDEO chữa : />Bài 4: Cho a, b,c  0. Chứng minh :

8
9

 a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca .

3
Bài 5: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn  a  b  b  c  c  a   1. Chứng minh : ab  bc  ca  .
4
(Trích đề thi vào 10 chuyên Hà Nội năm học 2015 - 2016)

Bài 6: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn ab  bc  ca  abc  2.
a 1
b 1
c 1
Tìm GTLN của biểu thức M  2
 2
 2
.
a  2a  2 b  2b  2 c  2c  2
(Trích đề thi vào 10 chun KHTN vịng II năm học 2017 - 2018)
Link VIDEO chữa : />Bài 7: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn

a  b  c  3.

Tìm GTNN của biểu thức P  3a 2  2ab  3b 2  3b 2  2bc  3c 2  3c 2  2ca  3a 2 .
Bài 8: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  62.
Tìm GTLN của biểu thức P  5a 2  38ab  21b2  5b2  38bc  21c2  5c2  38ca  21a2 .
1 1 1
   1.
a 2 b2 c2
1
1
1
Tìm GTLN của biểu thức P 


.
5a 2  2ab  2b 2
5b 2  2bc  2c 2
5c 2  2ca  2a 2
(Trích đề thi vào 10 chuyên Thái Bình năm học 2018 - 2019)

Bài 9: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn


GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

1 1 1
   2.
a b c

1
1
1
2


 .
5a 2  2ab  2b 2
5b 2  2bc  2c2
5c2  2ca  2a 2 3

Bài 10: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn
Chứng minh rằng :

Link VIDEO chữa : />
 a  b  c  d  

Bài 11: Cho a, b,c,d  0. Chứng minh :
Bài 12: Cho x, y  0. Chứng minh :

1

1  x 

2



1

1  y 

2



ac  bd.

1
.
1  xy

Bài 13: Cho a, b, c  0 và a  b  c  2018.
a
b
c
Tìm GTLN của biểu thức P 


.
a  2018a  bc b  2018b  ca c  2018c  ab
(Trích đề thi vào 10 chuyên Ninh Bình năm học 2017 - 2018)
1
1  1
Bài 14: Cho a, b  0. Tìm GTLN của M   a  b   3
 3
 .
 a  b b  a  ab
(Trích đề thi vào 10 chun KHTN vịng I năm học 2017 - 2018)

Bài 15: Cho a, b, c  0 và

a  b  2. Tìm GTLN của Q 

1
1
11 1
 2
   .
a b b a 4a b
2

Link VIDEO chữa : />a2
b2
c2


 12.
b 1 c 1 a 1
(Trích đề thi vào 10 Hưng Yên năm học 2015 - 2016)

Bài 16: Cho a, b, c  1. Chứng minh rằng :

Link VIDEO chữa : />1 1 1
   3.
x y z
1
1
1



.
Tìm GTLN của biểu thức P 
2x 2  y 2  3
2y 2  z 2  3
2z 2  x 2  3

Bài 17: Cho x, y, z  0 và

(Trích đề thi vào 10 chuyên Toán Hà Nội năm học 2018 - 2019)
Link VIDEO chữa : />Bài 18: Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx  xyz.
1
1
1
Tìm GTLN của biểu thức M 


.
4x  3y  z x  4y  3z 3x  y  4z


GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

Bài 19: Cho a, b, c  0 và ab  bc  ca  abc.
a
b
c
 2

 2
.
Tìm GTLN của biểu thức P  2
a  bc b  ca c  ab
12 20 15


 1.
xy yz zx
3
4
5


.
Tìm GTLN của biểu thức P 
2
2
2
x 9
y  16
z  25

Bài 20: Cho x, y, z  0 và

Link VIDEO chữa : />Bài 21: Cho x, y, z  0 và x  z.
Chứng minh rằng :

xz
y2

x  2z 5


 .
2
y  yz xz  yz x  z 2
(Trích đề thi HSG Thanh Hóa năm học 2017 - 2018)

Link VIDEO chữa : />Bài 22: Cho a, b, c  0 và ab  bc  ca  1.
Chứng minh rằng :

1 1 1
   3
ab bc ca

 a  b  a  c    b  c  b  a    c  a  c  b  .
a2

b2

c2

Link VIDEO chữa : />Bài 23: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  3.
Tìm GTNN của biểu thức P 

a 2 b2 c2 1 1 1
     .
b c a a b c

Bài 24: Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng

1 4 9
36
  
.
a b c a bc

Bài 25: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a 2  b2  c2  1.
1
1
1
9
 2
 2
 .
Chứng minh rằng 2
a  bc b  ca c  ab 2

a 2  b2 b2  c2 c2  a 2


 a  b  c.
Bài 26: Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng :
ab
bc
ca
Link VIDEO chữa : />Bài 27: Cho x, y, z  0 và thỏa mãn x  y  z  3.
x2
y2
z2

3
Chứng minh rằng


 .
x  yz y  zx z  xy 2


GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

Bài 28: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng :

a2
b2
c2
3


 .
1 b 1 c 1 a 2

Bài 29: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  1.
1
1

.
Tìm GTNN của biểu thức Q  2
2

2
a  b  c abc
Link VIDEO chữa : />Bài 30: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  2b  3c  10.
3
9 1
Tìm GTNN của biểu thức P  a  b  c    .
4a 8b c
Bài 31: Cho 1  a  1.
Tìm b max để bất đẳng thức : 2 1  a 4   b  1





1  a 2  1  a 2  b  4  0 luôn đúng.

Link VIDEO chữa : />Bài 32: Cho x, y  0 và thỏa mãn

4 1
 2  2. Chứng minh rằng x 2  4xy  6y2  2x  6.
2
x
y

Bài 33: Cho a, b, c  0 và abc  a  b  3ab.
Chứng minh rằng

ab
b
a



 3.
a  b 1
bc  c  1
ca  c  1

(Trích đề thi HSG Phú Thọ năm học 2011 - 2012)
Link VIDEO chữa : />Bài 34: Cho x, y  0 và thỏa mãn x  y  x 3  y3 . Chứng minh rằng x 2  xy  y2  1.
Bài 35: Cho x, y, z  0 và thỏa mãn x 2  y2  z 2  2.
x
y
z
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P 


.
2  yz 2  zx 2  xy
(Trích đề thi HSG Hà Nội năm học 2016 - 2017)
Link VIDEO chữa : />Bài 36: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn ab  bc  ca  3abc.
a2
b2
c2
Tìm GTNN của biểu thức T 


.
b  a 2  2  c  b2  2  a  c2  2 
(Trích đề thi HSG Bắc Giang năm học 2018 - 2019)
Bài 37: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  3.

a2
b2
c2
Tìm GTNN của biểu thức P 


.
a  2b 2 b  2c2 c  2a 2


GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

Link VIDEO chữa : />Bài 38: Cho a, b  0 và thỏa mãn a  b  1.
1
1
2
Tìm GTNN của biểu thức P   a 2  2 
 b  2  .
b 
a 

(Trích đề thi HKI Hồng Mai năm học 2018 - 2019)
Link VIDEO chữa : />Bài 39: Chứng minh : a 3  b3  c3   a  b  c   a 2  b2  c2  ab  bc  ca   3abc a, b,c.
2
2
2
a 3  b3  c3 131 a  b  c 
Bài 40: Cho a, b,c  0. Tìm GTNN của P 



.
4abc
60  ab  bc  ca 
30  a 2  b 2  c2 

a  b  c

2

(Trích đề thi HSG Thanh Hóa năm học 2016 - 2017)
Bài 41: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn abc  bcd  cda  dab  a  b  c  d  2017.
Chứng minh rằng :  a 2  1 b2  1 c2  1 d 2  1  2017.
a b
a
b
Bài 42: Cho a, b, c  0 và 2     c  2  2   6.
a 
b a b
bc
ca
4ab
Tìm GTNN của biểu thức P 


.
a  2b  c  b  2a  c  c  a  b 

Link VIDEO chữa : />Bài 43: Cho x, y, z  0 và xyz  1. Chứng minh rằng :

x
y
z


 1.
x2 y2 z2

Bài 44: Cho x, y, z  0 và thỏa mãn  x  y  y  z  z  x   1.

Chứng minh rằng :

x 2  xy  y 2
xy  1

y 2  yz  z 2



yz  1



z 2  zx  x 2
 3.
zx  1

Bài 45: Cho x, y, z  0 và thỏa mãn x 2 y  xy2  x  y  3xy.
Tìm GTNN của biểu thức P  x  y

2

2

1  2xy 

2xy

2

3

.

y 4x
Bài 46: Cho x, y  0 và thỏa mãn 2 xy  x  1. Tìm GTNN của P  
 15xy.
x 3y
3

(Trích đề thi chuyên Bắc Giang năm học 2017 - 2018)
Link VIDEO chữa : />

GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

Bài 47: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  1. Tìm GTNN của A 

1  a 1  b 1  c  .

1  a 1  b 1  c 

(Trích đề thi HKI Phúc Thọ năm học 2018 - 2019)
Bài 48: Cho x, y, z  0 và x  2y  3z  20. Tìm GTNN của A  x  y  z 

3 9 4

 .
x 2y z

(Trích đề thi HKI Minh Khai năm học 2018 - 2019)
Link VIDEO chữa : />Bài 49: Cho a, b  0. Chứng minh rằng

a
b 3


b
a



a b
ab

  6.

Bài 50: Cho a, b, c, d  0 và thỏa mãn abcd  1.
Tìm GTNN của biểu thức P 



1 a  1 b





1 c  1 d .

1 1 1
Bài 51: Cho 1  a, b,c  2. Chứng minh rằng  a  b  c       10.
a b c

Bài 52: Cho x, y  0 và thỏa mãn x  y  1. Chứng minh rằng : 8  x 4  y 4  

1
 5.
xy

Bài 53: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn ab  bc  ca  abc.
1
1
1
3
Chứng minh rằng


 .
a  2b  3c 2a  3b  c 3a  b  2c 16

(Trích đề thi chuyên Vinh năm học 2002 - 2003)
Link VIDEO chữa : />Bài 54: Cho x, y, z  0 và x  y  z  xyz.

1  1  x 2 1  1  y2 1  1  z 2
Chứng minh rằng :


 xyz.
x
y
z
Link VIDEO chữa : />Bài 55: Cho a, b, c  0 và abc  1. Chứng minh rằng :

a
b
c
3


 .
ab  1 bc  1 ca  1 2

Link VIDEO chữa : />Bài 56: Cho a, b, c là các số thực không âm và thỏa mãn a  b  c  3.
Tìm GTLN của biểu thức K  12a   b  c   12b   c  a   12c   a  b  .
2

2

2

(Trích đề thi HKI Hoàn Kiếm năm học 2018 - 2019)
Link VIDEO chữa : />

GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

Bài 57: Cho x, y là các số thực thỏa mãn  x  y   4xy  2.
3

Tìm GTNN của biểu thức : A  3  x 4  y4  x 2 y2   2  x 2  y2   1.
Bài 58: Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx  1.
Tìm GTNN của biểu thức : P  x 2  28y2  28z 2 .
Bài 59: Cho x, y, z  0 và x 2  y2  z 2  2. Chứng minh rằng : x  y  z  2  xy.
Link VIDEO chữa : />Bài 60: Cho x, y, z  0 và x  x  1  y  y  1  z  z  1  18.
Tìm GTNN của biểu thức P 

1
1
1


.
x  y 1 y  z 1 z  x 1

Link VIDEO chữa : />Bài 61: Cho x, y, z  0. Chứng minh x  y  z 

5x 3  y3 5y3  z3 5z3  x 3



 0.
xy  3x 2 yz  3y 2 zx  3z 2

(Trích đề thi HSG Ninh Giang năm học 2018 - 2019)
Link VIDEO chữa : />Bài 62: Cho a, b, c  0 và a  b  1.
Tìm GTNN của biểu thức : P  a 2  b2 

1 1
 .
a 2 b2

Bài 63: Cho a, b, c  0 và a 2  b2  c2  3.
Chứng minh rằng :

a 2  3ab  b2
6a 2  8ab  11b2



b2  3bc  c2

c2  3ca  a 2


 3.
6b2  8bc  11c2
6c2  8ca  11a 2
(Trích đề thi HSG Hải Dương năm học 2016 - 2017)

Link VIDEO chữa : />Bài 64: Cho 0  x, y  1. Tìm GTLN của biểu thức P  x  y  x 1  y2  y 1  x 2 .

Link VIDEO chữa : />Bài 65: Cho a, b, c  0 và a  b  c  3.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức K  3a  1  3b  1  3c  1.
Link VIDEO chữa : />

GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

Bài 66: Cho a, b,c  0. Chứng minh

a2
5a 2   b  c 

2



b2
5b 2   c  a 

2



c2
5c 2   a  b 

2

1

 .
3

(Trích đề thi HSG Đơng Sơn năm học 2018 - 2019)
Link VIDEO chữa : />a
b
c


.
ab  5c bc  5a ca  5b
(Trích đề thi HSG Vĩnh Tường năm học 2018 - 2019)

Bài 67: Cho a, b, c  0 và a  b  c  3. Tìm GTNN của P 

Link VIDEO chữa : />Bài 68: Cho a, b, c  0 và a  b  c  1. Tìm GTNN của P 

9
2
 2
.
2  ab  bc  ca  a  b2  c2

(Trích đề thi vào 10 Hải Phòng năm học 2016 - 2017)
Link VIDEO chữa : />Bài 69: Cho a, b, c  0 và a  b  c  3.
a 2  6a  3 b 2  6b  3 c2  6c  3
Tìm GTNN của biểu thức M 


.

a2  a
b2  b
c2  c
(Trích đề thi vào 10 chun Tốn Bắc Ninh năm học 2017 - 2018)
Link VIDEO chữa : />3
4

Bài 70: Cho x, y, z  0 và x  y  z  .



1
1
1


Chứng minh 6 x 2  y2  z 2  10  xy  yz  zx   2 
  9.
 2x  y  z x  2y  z x  y  2z 
(Trích đề thi vào 10 Hải Phịng năm học 2018 - 2019)





Link VIDEO chữa : />Bài 71: Cho a, b, c  0 và a 2  b2  c2  1.

Chứng minh rằng

ab  2c2

bc  2a 2
ca  2b 2


 2  ab  bc  ca.
1  ab  c2 1  bc  a 2 1  ca  b 2
(Trích đề thi HSG quận Hà Đông năm học 2018 - 2019)

Bài 72: Cho 0  x  y  z  2. Tìm GTNN của biểu thức M 

1

 x  y

2



1

 y  z

2



1

z  x 

2

.

(Trích đề thi HSG quận Hà Đông năm học 2018 - 2019)


GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

Bài 73: Cho a, b, c  0 và a  b  c  1.
a
b
c
Tìm GTLN của biểu thức P  3
 3
 3
.
2
2
9a  3b  c 9b  3c  a 9c  3a 2  b
(Trích đề thi HSG Vĩnh Phúc năm học 2014 - 2015)
Bài 74: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có a  b  c  2p.
1
1
1
1 1 1



 2    .
Chứng minh rằng :
pa pb pc
a b c
Link VIDEO chữa : />Bài 75: Cho a, b,c  0.
a 2 b2 c2
Chứng minh rằng :
   a 2  ab  b2  b2  bc  c2  c2  ca  a 2 .
b
c
a
(Trích đề thi HSG quận Ba Đình năm học 2018 - 2019)
Bài 76: Cho x, y, z  0 và x 3  y3  z3  1. Chứng minh :

x2
1 x2



y2
1  y2



z2
1  z2

 2.

Link VIDEO chữa : />Bài 77: Cho a, b,c  0. Chứng minh rằng :

ab
bc
ca
1 1 1


   .
2
2
2
ab  c bc  a
ca  b
a b c

Link VIDEO chữa : />Bài 78: Cho a, b,c  0. Chứng minh : a  a  b  a  c   b  b  c  b  a   c  c  a  c  b   0.
(Bất đẳng thức Schur)
Link VIDEO chữa : />Bài 79: Cho a, b, c  0 và a  b  c  1. Tìm GTLN của biểu thức P  abc  a 2  b 2  c 2 .
Bài 80: Cho a, b, c  0  a 2  b2  0, b2  c2  0, c2  a 2  0  và a 2  b2  c2  2  ab  bc  ca  .
Chứng minh rằng :

2ab
2bc
2ca
 2 2  2
 1.
2
a b
b c
c  a2

2

Link VIDEO chữa : />Bài 81: Cho x, y, z  0 và x  y  z  12. Chứng minh rằng

x
y
z


 6.
y
z
x

Bài 82: Cho a, b, c  0 và a  b  c  6.
a
b
c
Tìm GTNN của biểu thức P 


.
3
2
3
2
3
b b 4
c c 4
a  a2  4

GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

Link VIDEO chữa : />Bài 83: Cho a, b, c  0 và abc  1.
1
1
1
Chứng minh rằng


 1.
3a  4b  2c
3b  4c  2a
3c  4a  2b
Link VIDEO chữa : />9
4

Bài 84: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 1  a 1  b   .
Tìm GTNN của biểu thức P  1  a 4  1  b4 .
Link VIDEO chữa : />Bài 85: Cho x, y, z  0 và

1
1
1


 1. Chứng minh :

1 x 1 y 1 z

x y z

3
xyz.
2

Link VIDEO chữa : />
Bài 86: Cho x, y  0. Tìm GTNN của biểu thức P 

x3
4y3

.
3
x 3  8y3
y3   x  y 

Link VIDEO chữa : />3
Bài 87: Cho a, b, c  0 và a  b  c  .
2
1 b
1 c
1 a
Tìm GTNN của biểu thức P 


.
2

2
1  4a 1  4b 1  4c2

Link VIDEO chữa : />Bài 88: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x  3, xyz  1.
2
Tìm GTNN của biểu thức A  x 2  y 2  z 2   xy  yz  zx .
3
Link VIDEO chữa : />Bài 89: Cho 0  a, b,c  1 và ab  bc  ca  1.
a 2 1  2b  b 2 1  2c  c 2 1  2a 
Tìm GTNN của biểu thức P 


.
b
c
a
Bài 90: Cho a, b, c  0 và a 2  b2  c2  1.
a2
b2
c2
Chứng minh rằng


 1.
1 b  a 1 c  b 1 a  c
Link VIDEO chữa : />

GV:Minh Nghiệp

Phone : 0365 954 459

Bài 91: Cho a  b  0. Chứng minh rằng

a 2  b2  2ab  b2  a.

Bài 92: Cho x, y  0 và thỏa mãn x  y  1. Tìm GTNN của biểu thức A 

Bài 93: Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng

1
1
 .
3
x  y xy
3

1
1
1
3



.
a  b  1 b  c  1 c  a  1 abc  1

Bài 94: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a
b
c

Chứng minh rằng :


 2 3 4.
3 3
3 3
3 3
3
3
3
b c
c a
a b
Bài 95: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa mãn a  b  c  2.
Chứng minh rằng a 2  b2  c2  2abc  2.
Link VIDEO chữa : />Bài 96: Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng

a b c a bc
   3
.
b c a
abc

Bài 97: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  3. Tìm GTNN của P 

a
b
c



.
b
c
a

Bài 98: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn abc  1.
1
1
1
1
Chứng minh rằng : 2
 2
 2
 .
2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2
Bài 99: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn abc  1.
Chứng minh rằng :  a  b  b  c  c  a   2 1  a  b  c  .
1
1 1
1 1 1
Bài 100: Cho a, b, c  0 và thỏa mãn 6  2  2  2   1    .
b
c 
a b c
a
1
1

1
1
Chứng minh rằng :


 .
10a  b  c a  10b  c a  b  10c 12

Link VIDEO chữa : />Bạn nào có nhu cầu đăng ký khóa học tổng ơn vui lịng liên hệ theo :

Hotline :

0365 954 459

Link fb : />Link Page : />