Dạng 44 toán thực tế ứng dụng HH mặt trụ

50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Dạng:

BÀI TỐN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HÌNH TRỤ

44

Ⓐ

Câu hỏi phát
triển

Câu 1: Ơng Bảo làm mái vịm ở phía trước ngơi nhà của mình bằng vật liệu tơn.
Mái vịm đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình
2
bên dưới. Biết giá tiền của 1 m tơn là 300.000 đồng. Hỏi số tiền (làm trịn
đến hàng nghìn) mà ơng Bảo mua tơn là bao nhiêu ?

A. 18.850.000 đồng.
đồng.

B. 5.441.000 đồng. C. 9.425.000 đồng. D.

10.883.000

Lời giải
Chọn D

6
 2r � r  2 3.

0
Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Khi đó: sin120
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có góc ở tâm của cung này
0
bằng 120 .
1
Và độ dài cung này bằng 3 chu vi đường trịn đáy.
1
S xq
Suy ra diện tích của mái vịm bằng 3 ,
S
(với xq là diện tích xung quanh của hình trụ).
Do đó, giá tiền của mái vòm là
1
1
1
S xq .300.000  .  2 rl  .300.000  . 2 .2 3.5 .300.000 ; 10882796,19.
3
3
3





Câu 2: Ơng An cần làm một đồ trang trí như hình vẽ. Phần dưới là một phần của
khối cầu bán kính 20 cm làm bằng gỗ đặc, bán kính của đường trịn phần
chỏm cầu bằng 10 cm . Phần phía trên làm bằng lớp vỏ kính trong suốt.
2
3

Biết giá tiền của 1 m kính như trên là 1.500.000 đồng, giá triền của 1 m
gỗ là 100.000.000 đồng. Hỏi số tiền (làm trịn đến hàng nghìn) mà ơng
An mua vật liệu để làm đồ trang trí là bao nhiêu.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

1

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

A. 1.000.000

.

B. 1.100.000

.

C. 1.010.000

.

D. 1.005.000

Lời giải
Chọn D

Bán kính mặt cầu là R  20 cm ; bán kính đường trịn phần chỏm cầu là
r  10cm .
Theo hình vẽ ta có

sin  

10 1
 �   300
20 2
.

Diện tích phần làm kính là:

S

360  2.30
4000
.4 .202 
cm 2 

360
3
.

Xét hình nón đỉnh là tâm mặt cầu, hình trịn đáy có bán kính bằng
r  10 cm ; l  R  20 cm � h  202  102  10 3cm
Thể tích phần chỏm cầu bằng
Vc hom cau 

2.30 4

1
16000 1000 3
.  R 3   r 2 .h

cm3 

360 3
3
3
= 9

Vậy số tiền ông An cần mua vật liệu là:
�
4000
16000 1000 3 �
.150  �

.100 �1.005.000
�
� 9
�
3
3
�
�

Câu 3: Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc
thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt ra hai hình trịn bằng nhau và
một hình chữ nhật (phần tơ đậm) sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ
dưới đây. Hai hình trịn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt

xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ). Biết rằng đường trịn đáy
ngoại tiếp một tam giác có kích thước là 50cm, 70cm,80cm (các mối ghép

nối khi gò hàn chiếm diện tích khơng đáng kể. Lấy   3,14 ). Diện tích
của tấm thép hình chữ nhật ban đầu gần nhất với số liệu nào sau đây?

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

2

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

m
A. 6,8

2

.

m2 

24,
6
B.
.

m2 

6,15
C.
.

m2 

3,
08
D.
.

Lời giải
Chọn C
Đổi: 50cm  0,5m;70cm  0, 7 m;80cm  0,8m .
Xét tam giác nội tiếp đường trịn đáy có kích thước lần lượt là
0,5m; 0, 7 m; 0,8m nên bán kính đường tròn đáy của thùng đựng dầu là

R

0,5.0, 7.0,8
4 1 1  0,5   1  0, 7   1  0, 8 



7 3
30

.

Ta có h  2 R
Diện tích hình chữ nhật ban đầu gấp 3 lần diện tích xung quanh của hình
trụ.
2

�7 3 � 7693
S  3.2 Rh  6.3,14.2.R  6.3,14.2 �
�30 �
� 1250  6,1544  m 2 
�
�
Vậy
.
2

Câu 4: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhơm có bán kính R  10 dm . Trong chậu
có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h  4 dm . Người ta
bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên
vừa phủ kín viên bi. Bán kính viên bi gần với số nào sau đây nhất?

A. 2, 09 dm .

B. 9, 63dm .

C. 3, 07 dm .
Lời giải

D. 4,53dm .

Chọn A
Gọi

x  dm 

là bán kính của viên bi,

 0  x  5 .

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

3

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

4
V1   x 3 (dm3 )
� Thể tích viên bi là
3

� h � 416
V0   h 2 �R  �
  dm3  .
3
3
�

�
Thể tích nước ban đầu:
2
2 x � 4 x  30  2 x 
2�
V2    2 x  �
10  �
dm3  .

3
3
�
�
Thể tích sau khi thả viên bi:
3
2
Ta có: V0  V2  V1 � 3x  30 x  104  0 � x ; 2, 09 dm.

Câu 5: Ơng An cần làm một đồ trang trí như hình vẽ. Phần dưới là một phần của
khối cầu bán kính 20 cm làm bằng gỗ đặc, bán kính của đường trịn phần
chỏm cầu bằng 10 cm . Phần phía trên làm bằng lớp vỏ kính trong suốt.
2
3
Biết giá tiền của 1 m kính như trên là 1.500.000 đồng, giá triền của 1 m
gỗ là 100.000.000 đồng. Hỏi số tiền (làm trịn đến hàng nghìn) mà ơng
An mua vật liệu để làm đồ trang trí là bao nhiêu.

A. 1.000.000

.

B. 1.100.000

.

C. 1.010.000

.

D. 1.005.000

Lời giải
Chọn D
Bán kính mặt cầu là R  20 cm ; bán kính đường trịn phần chỏm cầu là
r  10cm .
Theo hình vẽ ta có

sin  

10 1
 �   300
20 2
.

Diện tích phần làm kính là:

S

360  2.30
4000

.4 .202 
cm 2 

360
3
.

Xét hình nón đỉnh là tâm mặt cầu, hình trịn đáy có bán kính bằng
r  10 cm ; l  R  20 cm � h  202  10 2  10 3cm

Thể tích phần chỏm cầu bằng

Vc hom cau 

2.30 4 3 1 2
16000 1000 3
.  R   r .h

cm3 

360 3
3
3
= 9

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

4

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Vậy số tiền ông An cần mua vật liệu là:
�
4000
16000 1000 3 �
.150  �

.100 �1.005.000
�
� 9
�
3
3
�
�

Câu 6: Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc
thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt ra hai hình trịn bằng nhau và
một hình chữ nhật (phần tơ đậm) sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ
dưới đây. Hai hình trịn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt
xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ). Biết rằng đường tròn đáy
ngoại tiếp một tam giác có kích thước là 50cm, 70cm,80cm (các mối ghép

nối khi gị hàn chiếm diện tích khơng đáng kể. Lấy   3,14 ). Diện tích
của tấm thép hình chữ nhật ban đầu gần nhất với số liệu nào sau đây?

m
A. 6,8

2

.

 m2  .
B. 24, 6

 m2  .
C. 6,15

 m2  .
D. 3, 08

Lời giải
Chọn C.
Đổi: 50cm  0,5m;70cm  0, 7 m;80cm  0,8m .
Xét tam giác nội tiếp đường trịn đáy có kích thước lần lượt là
0,5m; 0, 7 m; 0,8m nên bán kính đường tròn đáy của thùng đựng dầu là
0,5.0, 7.0,8
7 3
R

30
4 1 1  0,5   1  0, 7   1  0, 8 
.
h


2
R
Ta có
Diện tích hình chữ nhật ban đầu gấp 3 lần diện tích xung quanh của hình
trụ.
2

�7 3 � 7693
S  3.2 Rh  6.3,14.2.R  6.3,14.2 �
�30 �
� 1250  6,1544  m 2 
�
�
Vậy
.
2

Câu 7: Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ
có dạng hình nón sơn hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Biết thiết
diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Cổ động viên muốn
�
sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ MBN , phần cịn
là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được
sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

5

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

2
A. 7 .

2
B. 5 .

1
C. 4 .
Lời giải

1
D. 3 .

Chọn D
Ta có SO  OA  OB  r � SM  r 2  MN
Do dó tam giác OMN vuông cân tại O .
Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón, Sd là diện tích xung quanh
0
�
của phần hình nón được sơn màu đỏ, ứng với góc MON  90 nên
S
S1 900
1
1


 � d  .
0
S 360
4
St 3
3
Câu 8: Một công ty sản xuất bồn đựng nước hình trụ có thể tích thực 1m với
chiều cao bằng 1m . Biết bề mặt xung quanh bồn được sơn bởi loại sơn
màu xanh tơ như hình vẽ và màu trắng là phần còn lại của mặt xung
quanh; với mỗi mét vuông bề mặt lượng sơn tiêu hao 0.5 lít sơn. Cơng ty

cần sơn 10000 bồn thì dư kiến cần bao nhiêu lít sơn màu xanh gần với số
nào nhất, biết khi đo được dây cung BF  1 m

A. 6150 .

B. 6250 .

C. 1230 .
Lời giải

D. 1250 .

Chọn A
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

6

Word xinh

50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Gọi r là bán kính đường trịn đáy,

Ta có:

1


V   r 2 .h � r 

BF ta có
Xét tam giác O�
(rad)

Cos(BO�
F )

2r 2  BF 2

 1
2
2r
2

��
BO
F 2,178271695

Vậy độ dài cung BF : l  r. �1, 2289582 (m)
Tổng số lít sơn màu xanh cho mỗi bồn nước là: T  l.h.0.5  0.6144791001 (lít)
Vậy tổng số sơn cần cho 10000 bồn S �6145 (lít)
2
Câu 9: Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 1m và cạnh

BC  x  m 

để làm một thùng đựng nước có đáy, khơng có nắp theo quy
trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành 2 hình chữ nhật ADNM
và BCNM , trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gị thành phần xung
quanh hình trụ có chiều cao bằng AM ; phần hình chữ nhật BCNM được
cắt ra một hình trịn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được
bỏ đi) Tính gần đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất
(coi như các mép nối khơng đáng kể).

A. 0,97m .

B. 1,37m .

C. 1,12m .
Lời giải

D. 1, 02m .

Chọn D
AB.BC  1 � AB 

1

1
  m
BC x
.

Ta có
r  m
Gọi
là bán kính đáy hình trụ inox gị được, ta có chu vi hình trịn đáy
x
2 r  x � r 
 m
BC  x  m  .
2
bằng
Do đó
.
x
1 x
BM  2r  � AM  AB  BM    m 

x 
Như vậy
.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

7

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022
2

�x � �1 x � 1
V   r h   . � �. �  � 2 x    x 2 
�2 � �x  � 4
Thể tích khối trụ inox gị được là
.
2
f  x  x    x 
Xét hàm số
với x  0 .
2

f�
 x     3x

2

;

f�
 x  0 � x 


3;

�  �
�
�
f�
0;
f�
; ��
 x   0 � x ��
 x   0 � x ��
�
�
�
�
�
� 3 �và
�3
�.
�  �
0;
�
�
�
3�
f  x
�
�và nghịch biến trên khoảng
Bởi vậy
đồng biến trên khoảng
�
�

;
�
�
�
�3
�
�
�.
�  � 2 3

max f  x   f �
�x
�1, 02  m 
�3�
�
 0;�
9
�
V
�
f
x


max
� �
3
max
Suy ra
.

Câu 10: Ông Bảo làm mái vịm ở phía trước ngơi nhà của mình bằng vật liệu tơn.
Mái vịm đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình
2
bên dưới. Biết giá tiền của 1 m tôn là 300.000 đồng. Hỏi số tiền (làm trịn
đến hàng nghìn) mà ơng Bảo mua tôn là bao nhiêu ?

A. 18.850.000 đồng.
đồng.

B. 5.441.000 đồng. C. 9.425.000 đồng. D.

10.883.000

Lời giải
Chọn D
6
 2r � r  2 3.
0
Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Khi đó: sin120
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có góc ở tâm của cung này
0
bằng 120 .

1
Và độ dài cung này bằng 3 chu vi đường tròn đáy.
1
S xq
Suy ra diện tích của mái vịm bằng 3 ,
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh

lung linh

8

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

S
(với xq là diện tích xung quanh của hình trụ).
Do đó, giá tiền của mái vịm là
1
1
1
S xq .300.000  .  2 rl  .300.000  . 2 .2 3.5 .300.000 ; 10882796,19.
3
3
3





Bài tập rèn
luyện

Ⓑ

Câu 1: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán

kính đáy lần lượt bằng 1m và 1, 4 m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước
mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai
bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết
quả nào dưới đây?
Ⓐ. 1, 7 m .
Ⓑ. 1,5 m .
Ⓒ. 1,9 m .
Ⓓ. 2, 4 m .
Lời giải

Ta có:

V  V1  V2 � h R 2  h r12  h r2 2
.

� R  r12  r2 2 �1, 72 m

.

Câu 2: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán
kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,8m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước
mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai
bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết
quả nào dưới đây?
Ⓐ. 2,8m .
Ⓑ. 2, 6m .
Ⓒ. 2,1m .
Ⓓ. 2,3m .
Lời giải

Gọi hai bể nước hìnhtrụ ban đầu lần lượt có chiều cao là h , bán kính r1 , r2 ,
thể tích là V1 ,V2 .
Ta có một bể nước mới có chiều cao h , V  V1  V2 .

�  r 2 h   r12 h   r2 2 h �  r 2 h   .12.h   .1,82.h � r 

106
�2,1m
25
.

 mm  và
Câu 3: Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy 3
 mm  . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi
chiều cao bằng 200
được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

9

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

 mm  .
chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình trịn có bán kính 1
3
3

Giả định 1 m gỗ có giá a triệu đồng, 1 m than chì có giá 6a triệu đồng.
Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với
kết quả nào dưới đây?
Ⓐ. 8, 45.a đồng
Ⓑ. 7,82.a đồng
Ⓒ. 84, 5.a đồng
Ⓓ. 78, 2.a đồng
Lời giải

a
1 m gỗ có giá a triệu đồng suy ra 1 mm gỗ có giá 1000 đồng.
3

3

3

1 m than chì có giá 6a triệu đồng suy ra 1 mm
đồng.
Phần chì của cái bút có thể tích bằng

3

6a
than chì có giá 1000

V1  200. .12  200  mm3 

Phần

gỗ
của
của
bút
chì
2
3 3
V2  200.6.
 200  2700 3  200  mm3 
4
.

có

thể

.
tích

bằng

6a.V1  a.V2
�7,82a
1000
Số tiền làm một chiếc bút chì là
đồng.

Câu 4: Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và
chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được
làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài

3
của bút và đáy là hình trịn có bán kính đáy 1 mm. Giả định 1 m gỗ có
3
giá a , 1 m than chì có giá 8a . Khi đó giá ngun liệu làm một chiếc bút
chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Ⓐ. 9, 07a
Ⓑ. 97, 03a
Ⓒ. 90, 7a
Ⓓ. 9, 7a
Lời giải

Chọn D

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

10

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

�
�
2
S  6. �
�3.103  . 43 �
� 2
�

�( m )
Diện tích của khối lăng trụ lục giác đều là
�
�
2
V  S .h  6. �
.200.103  27 3.10 7
�3.103  . 43 �
�
�
�
Thể tích của chiếc bút chì là:
(
3
m ).
V1   r 2 h   .  103  .200.10 3  2 .10 7
2

Thể tích của phần lõi bút chì là





V2  V  V1  27 3  2 .107

Suy ra thể tích phần thân bút chì là
Giá nguyên liệu làm một chiếc bút chì như trên là:







3

( m ).
3

( m ).



7
6
7
6
V2 .a.106  V1.8a.106  27 3  2 .10 .a.10  2 .10 .8a.10  2, 7 3  1, 4 a ; 9, 07a
.

Câu 5: Từ một tấm tơn hình chữ nhật kích thước 50cm.240cm , người ta làm các
thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau:.
 Cách 1: Gị tấm tơn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
 Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gị mỗi tấm
đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gị được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích
V1
của hai thùng gị được theo cách 2. Tính tỉ số V2 .

V1 1

Ⓐ. V2 2

V1
1
Ⓑ. V2

V1
2
Ⓒ. V2
Lời giải

V1
4
Ⓓ. V2

R
Ban đầu bán kính đáy là R , sau khi cắt tấm tôn bán kính đáy là 2
Đường cao của các khối trụ là khơng đổi
2

Ta có

V1  hR

2

,

�R �
R
V2  2.h � �  h
2
�2 �

2

V1
. Vậy tỉ số

V2

2
.

Câu 6: Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và
chiều cao 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

11

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều cao của
3

3
bút và đáy là hình trịn có bán kính 1 mm . Giã định 1 m gỗ có giá a , 1 m
than chì có giá 7a . Khi đó giá ngun vật liệu làm một chiếc bút chì như
trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Ⓐ. 85,5.a
Ⓑ. 9, 07.a
Ⓒ. 8, 45.a
Ⓓ. 90, 07.a
Lời giải

2
7
3
Thể tích phần lõi than chì: V1   .0, 001 .0, 2  2 .10 m .
7
6
Số tiền làm lõi than chì T1  (2 .10 )7 a.10  1, 4 a .

Thể tích phần thân bằng gỗ của bút
V2  6.

(0, 003) 2 3
.0, 2  2 .10 7  �
3.27.107  2 .107 �
m3
�
�
4
.

Số tiền làm phần thân bằng gỗ của bút
6
�
T2  �
27 3.107   .2.107 �
2, 7 3   .0, 2 �
�
�a.10  �
�a .

Vậy giá vật liệu làm bút chì là: T  T1  T2 �8, 45.a .
Câu 7: Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng 3
mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần
lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình
3
3
trịn có bán kính bằng 1 mm. Giả định 1m gỗ có giá a . 1m than chì có giá
9a . Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất
với kết quả nào dưới đây?
Ⓐ. 103,3a đồng
Ⓑ. 97,03a đồng
Ⓒ. 10,33a đồng
Ⓓ. 9, 7a đồng
Lời giải

3mm  0,003m;200mm  0, 2m;1mm  0, 001m
2
6
2
Diện tích đáy của phần than chì: S1   r   .10 (m )

Diện tích đáy phần bút bằng gỗ:
� 32 3
� 6 �27 3
� 6 2
S2  6 SOAB  S1  �
6.
 �
.10  �
 �
.10 ( m )
�
�
�
�
� 4
�
� 2
�
2
6
3
Thể tích than chì cần dùng: V1  S1.h   r 0, 2  0, 2 .10 ( m )

�27 3
�
V2  S2 .h  �


.0, 2.106 (m3 )

�
� 2
�
�
�
Thể tích gỗ làm bút chì:

Tiền làm một cây bút:
�
�
�27 3
�
6
V1.9a  V2 .a   9V1  V2  a  �
9.0, 2 .106  �


.0,2.10
a  9,7a
�
�
� 2
�
�
�
�
�
�
�
Câu 8: Người ta làm tạ tập cơ tay như hình vẽ với hai đầu là hai khối trụ bằng

nhau và tay cầm cũng là khối trụ. Biết hai đầu là hai khối trụ đường kính

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

12

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

đáy bằng 12 , chiều cao bằng 6 , chiều dài tạ bằng 30 và bán kính tay
cầm là 2 . Hãy tính thể tích vật liệu làm nên tạ tay đó.

Ⓐ. 108 .

Ⓒ. 502 .
Lời giải

Ⓑ. 6480 .

Ⓓ. 504 .

h R V
Gọi 1 , 1 , 1 lần lượt là chiều cao, bán kính đáy, thể tích khối trụ nhỏ
mỗi đầu.
V1  h1 . . R12  6. .62  216

Gọi

.

h2 R2 V2
,
,
lần lượt là chiều cao, bán kính đáy, thể tích của tay cầm.

V2  h2 . .R22   30  2.6  . .22  72 

.

Thể tích vật liệu làm nên tạ tay bằng

V  2 V1  V2  504 

.

Câu 9: Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN , PQ của hai
đáy sao cho MN  PQ . Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt đi qua 3
trong 4 điểm M , N , P, Q để khối đá có hình tứ diện MNPQ . Biết MN  60 cm
3
và thể tích khối tứ diện MNPQ  30 dm . Hãy tính thể tích lượng đá cắt bỏ.
3
Ⓐ. 101,3dm

3
Ⓑ. 111, 4dm

3

Ⓒ. 121,3dm
Lời giải

3
Ⓓ. 141,3dm

Gọi O và O�lần lượt là trung điểm MN và PQ .

OO�
 MN � MN   OPQ 
Khi đó OO ' là trục của hình trụ và
.

VMNPQ
VMNPQ

1
OO�
.62
 MN .SOPQ 
 6OO� dm3 
3
6
.Theo bài ra ta có
3
�
 30dm � OO  5dm
.

2

3
Thể tích khối trụ là Vtru   .3 .5 �141, 4dm . Vậy thể tích lượng đá cắt bỏ
V  Vtru  VMNPQ �111, 4dm3
.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

13

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Câu 10:
Công ty X định làm một téc nước hình trụ bằng inox có dung tích
3
1m . Để tiết kiệm chi phí cơng ty X chọn loại téc nước có diện tích tồn
phần nhỏ nhất. Hỏi diện tích toàn phần của téc nước nhỏ nhất bằng bao
nhiêu?
2
2
2
2
Ⓐ. 5, 59 m
Ⓑ. 5,54 m
Ⓒ. 5,57 m
Ⓓ. 5,52 m
Lời giải

1
�
 Rh 
�
�
R
V   R2h  1 � �
1
�
 R2 
�
h
Ta có:
Diện tích tồn phần của téc nước:

Xét

S�
 4 R 

2
0� R
R2

3

Lập bảng biến thiên ta có
� S tp  min  2 3 2 

2

3

4 2

Stp  2 Rh  2 R 2 

2
 2 R 2
R

1
2 .
Stp

đạt giá trị nhỏ nhất tại

R

3

1
2

�5,54

Câu 11:
Một chiếc tạ tay có hình dạng gồm 3 khối trụ, trong đó hai khối trụ ở
hai đầu bằng nhau và khối trụ làm tay cầm ở giữ Ⓐ. Gọi khối trụ làm đầu
T 
T 

tạ là 1 và khối trụ làm tay cầm là 2 lần lượt có bán kính và chiều cao
1
h1  h2
2 .
tương ứng là r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r1  4r2 ,

 cm 

 T2 

3

Biết rằng thể tích của khối trụ tay cầm
bằng 30
và chiếc tạ làm bằng
3
inox có khối lượng riêng là D  7, 7 g / cm . Khối lượng của chiếc tạ tay bằng
Ⓐ.

3,927  kg 

.

Ⓑ.

2,927  kg 

.
Ⓒ.
Lời giải

3, 279  kg 

.

Ⓓ.

2, 279  kg 

.

T 
Thể tích của hai khối trụ làm đầu tạ 1 :
2 1
V1  2 r12 h1  2  4r2  h2  16 r2 2 h2  16.30  480 cm3
2
.



Tổng thể tích của chiếc tạ tay:



V  V1  V2  480  30  510  cm3 

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

.

14

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Khối lượng của chiếc tạ:

m  D.V  7, 7.510  3927  g   3,927  kg 

.

Câu 12:

Một cơng ty sản xuất bút chì có dạng hình lăng trụ lục giác đều có
chiều cao 18 cm và đáy là hình lục giác nội tiếp đường trịn đường kính
1cm . Bút chì được cấu tạo từ hai thành phần chính là than chì và bột gỗ
1
cm
ép, than chì là một khối trụ ở trung tâm có đường kính 4
, giá thành
3
540 đồng / cm . Bột gỗ ép xung quanh có giá thành 100 đồng / cm3 . Tính
giá của một cái bút chì được cơng ty bán ra biết giá nguyên vật liệu
chiếm 15,58% giá thành sản phẩm.

Ⓐ. 10000 đồng.

Ⓑ. 8000 đồng.
Ⓒ. 5000 đồng.
Lời giải

Ⓓ. 3000 đồng.

Gọi R và r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp lục giác đều và bán
kính của lõi than chì.
Ta có

R

1
1
cm
r  cm
2
8
và
.

Suy ra diện tích của lục giác đều là

S  6.R 2

3
1 3 3 3
 6. .

4

4 4
8 .

V V
Gọi V là thể tích của khối lăng trụ lục giác đều. 1 , 2 lần lượt là thể tích
của khối than chì và bột gỗ dùng để làm ra một cây bút chì.

Ta có

V  S .h 

� V2  V  V1 

3 3
27 3
1
9
.18 
cm3  V1  r 2 h  . 2 .18   cm 3 

8
4
8
32
;
.

27 3 9
  cm3 
4

32
.

Do đó, giá nguyên vật liệu dùng để làm một cây bút chì là

540V1  100V2

.

Vậy giá bán ra của cây bút chì là

 540V1  100V2  .

� 100
�27 3 9 �
100 � 9
�
540.  100 �

.
�10000
�
�
� 4
15,58 � 32
32 �
�15,58
�
�
.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

15

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Câu 13:
Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt bởi một mặt phẳng khơng
song song với đáy ta được thiết diện là một hình elip. Khoảng cách từ
điểm A đến mặt đáy là 12 cm, khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy là
20 cm. Đặt khúc gỗ đó vào trong hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng
20 cm chứa đầy nước sao cho đường tròn đáy của khúc gỗ tiếp xúc với
các cạnh đáy của hình hộp chữ nhật. Sau đó, người ta đo lượng nước cịn
lại trong hình hộp chữ nhật là 2 lít. Tính bán kính của khúc gỗ.

Ⓐ. R  5, 2 cm.

Ⓑ. R  4,8 cm.
Ⓒ. R  6, 4 cm.
Lời giải

Ⓓ. R  8, 2 cm.

Gọi bán kính đáy hình trụ là R .
Gọi

V1 , V2

lần lượt là thể tich hình hộp chữ nhật và khối gỗ.

2
2
Ta có V1  B.h  4R .20  80R

Chia khối gỗ làm hai phần bằng một mặt phẳng qua A và song song đáy.
1
V2   R 2 .h1   R 2 .  h  h1   16 R 2 .
2
Ta có

h1

là khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy, h khoảng cách từ điểm B
đến mặt đáy.
Thể tích nước cịn lại là

V  V1  V2  16R 2  5     2000 � R �8, 2

.

Câu 14:
Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa
khít ba quả bóng tennis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tennis có
kích thước như nhau. Thể tích phần khơng gian cịn trống chiếm tỉ lệ a%
so với hộp đựng bóng tennis. Số a gần đúng với số nào sau đây?

Ⓐ. 50 .
Ⓑ. 66 .
Ⓒ. 30 .
Ⓓ. 33 .
Lời giải
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

16

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Đặt h, R lần lượt là đường cao và bán kính hình trịn đáy của hộp đựng
bóng tennis.
Dễ thấy mỗi quả bóng tennis có cùng bán kính R với hình trịn đáy của
hộp đựng bóng tennis và h  6 R .
Do đó ta có:
4
V1  3.  R 3  4 R 3
3
Tổng thể tích của ba quả bóng là
;
2
3
Thể tích của hình trụ là V0   R h  6 R ;
3
Thể tích phần cịn trống của hộp đựng bóng là V2  V0  V1  2 R .

Khi đó tỉ lệ phần khơng gian cịn trống so với hộp đựng bóng là
V2 1
 �0,33
V0 3
.
Suy ra a �33 .
2
Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 1m và
 m  để làm một thùng đựng nước có đáy, khơng có nắp theo
cạnh BC  x
quy trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành hai hình chữ nhật
ADNM và BCNM , trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gị thành
phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM ; phần hình chữ nhật
BCNM được cắt ra một hình trịn để làm đáy của hình trụ trên. Tính gần
đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất.

Câu 15:

Ⓐ. 1,37 m .

Ⓑ. 1, 02 m .

Ⓒ. 0,97 m .
Lời giải

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

Ⓓ. 1m .

17

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

AB 

1
1
  m
BC x
.

Ta có AB.BC  1 �
 m  là bán kính đáy hình trụ inox gị được, ta có chu vi hình trịn
Gọi R
 m .
đáy bằng BC  x
x
x
1 x
R
BM  2 R 
AM  AB  BM    m 
m



2
 �
x 
Do đó 2 R  x �
;
.
2

�x � �1 x � 1
V   R h   . � �. �  �
x    x2 
2
2

x

4

� ��
�
Thể tích khối trụ inox gị được là
.
2

Xét hàm số

f  x   x    x2   x  0 � f �
 x     3x 2 .

�


x ��
0;
f�
 x  0 �
 x  0 � �
3 ; f�
�
�
0;
�
�
f  x
Vậy
đồng biến trên khoảng �
�
�
;
�
�
�
�3
�
�
�.
�  � 2 3
max f  x   f �
�3�
�
 0;�

9
�
�
Suy ra
.
x

Từ đó ta có thể tích V

x
�1, 02 m
 .
3


3

�
�
�
x
�
;

�
�
�
�
�
�

 x  0 � �
�và f �
�3
�.


3

�
�
�
�và nghịch biến trên khoảng

lớn nhất khi và chỉ khi

f  x

lớn nhất �

Câu 16:
Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tơn có
thể tích 16 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm
ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.
Ⓐ. 0,8 m.
Ⓑ. 1,2 m.
Ⓒ. 2 m.
Ⓓ. 2,4 m.
Lời giải

S

Để ít tốn ngun vật liệu nhất thì diện tích tồn phần tp phải nhỏ nhất.
 h  0  là chiều cao của bồn dầu. Ta có: S tp  2 r 2  2 rh .
Gọi h
16
V  16 �  r 2 h  16 � h  2
r .
Mặt khác, theo giả thiết:

16
�2 16 �
� 8 8�
� S tp  2 r 2  2 r �2  2 �
r  � 2 �r 2   �
r
r �
�
� r r �.
8 8
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương: r , r , r , ta được:
8 8
8 8
r 2   �3 3 r 2 ��  12
r r
r r
.
2

S tp

24

. Đẳng thức xảy ra

� r2 

8
� r3  8 � r  2
r
.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

18

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

� min  S tp   24

.
Vậy để ít tốn ngun vật liệu nhất thì r  2 .
Câu 17:

Anh H dự định làm một cái thùng đựng dầu hình trụ bằng sắt có nắp
3
2
2

đậy thể tích 12 m . Chi phí làm mỗi m đáy là 400 ngàn đồng, mỗi m nắp
2
là 200 ngàn đồng, mỗi m mặt xung quanh là 300 ngàn đồng. Để chi phí
làm thùng là ít nhất thì anh H cần chọn chiều cao của thùng gần nhất với
số nào sau đây?.
Ⓐ. 1, 24 m .
Ⓑ. 1, 25 m .
Ⓒ. 2,50 m .
Ⓓ. 2, 48 m .
Lời giải

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R . Ta có
12
V =  R2h � h =
 R2 .
Suy ra chi phí làm thùng
C =  R 2 .400 + R 2 .200 + 2 Rh.300
� 2 12 �
�
= 600 �
R + �
�
�
�
R�
� 2 6 6�
�
6 6
= 600 �
R + + �

�600.3 3  R 2 . . = 1800 3 36
�
�
�
R R�
R R
.
Dẫn dến
6
6
min C = 1800 3 36 �  R 2 = � R = 3
R
 .

h=
Vậy để chi phí nhỏ nhất thì chiều cao của hình trụ là

3

12
�2, 48 m
36
.

Câu 18:
Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít
bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện
tích tồn phần của bồn chứa có giá trị nhỏ nhất.
2
1

1
3
R3
R3
R3
R3
 .
2 .
2 .
 .
Ⓐ.
Ⓑ.
Ⓒ.
Ⓓ.
Lời giải
Ta có 1000 lít = 1m .
3

Gọi h là chiều cao của hình trụ ta có
Diện tích tồn phần là:

V   R2h  1 � h 

Stp  2 R 2  2 Rh  2 R 2  2 R

1
 R2 .

1
2

 2 R 2 
2
R
R

1 �
1

� 2 1
2 1
 2�
R 

 63
��2.3 3  R . .
2R 2R �
2R 2R
4 .
�
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

 R2 

1
1
�R3
2R
2 .

Câu 19:

Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình
chữ nhật có chu vi bằng 12 . Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là
Ⓐ. 16 .
Ⓑ. 32 .
Ⓒ. 8 .
Ⓓ. 64 .
Lời giải
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

19

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Từ hình vẽ ta có ABCD là hình chữ nhật, gọi chiều cao của hình trụ là h
và bán kính đáy của hình trụ là r , theo giả thiết ta có
2(h  2r )  12 � h  2r  6 .
2
Thể tích của khối trụ tương ứng là V   r h , theo bất đẳng thức Cơ si ta
có
3

�2r  h �
r  r  h �3 3 r 2 .h � V   r 2 h � . �
� 8
� 3 �

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi r  h  2 .
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là 8 .
Câu 20:
Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích V cho trướⒸ. Để tiết
kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng
V
V
V
V
3
3
3
3
Ⓐ. 2 .
Ⓑ. 2 .
Ⓒ.  .
Ⓓ. 3 .
Lời giải
Gọi h, r là chiều cao và bán kính đường trịn đáy của hình trụ.
V
V   r 2h � h  2
r .
Ta có
Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích tồn phần nhỏ nhất.
V
2V
V V
2
2
2

Stp  2 r 2  2 rh  2 r  2 r  r 2  2 r  r  2 r  r  r
Ta có
.
V
V
2 r 2 , ,
r r ta có
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số
V V
2 V 2
3
Stp �3 2 r . .  3
r r
r không đổi
V
V
2 r 2  � r  3
r
2 ta có
Dấu bằng xảy ra khi
3

2

2
Trong các hình trụ có diện tích tồn phần bằng 1000cm thì hình trụ có
3
thể tích lớn nhất là bao nhiêu cm

Câu 21:

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

20

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Ⓐ. 2428 .

Ta có

Ⓑ. 2532 .

Ⓒ. 2612 .
Lời giải

Stp  2 Rh  2 R 2 � Rh  R 2 

Ⓓ. 2740 .

S
2

�S
� S
V   R 2 h   R �  R 2 � R   R 3  F  R 

�2
� 2
Vậy thể tích khối trụ

Ta có:

F�
 R 

S
S
 3 R 2  0 � R 
2
6

Bảng biến thiên

3

Từ bảng biến thiên ta có

Vmax

S
1000 1000
1000
 R   R3 

�2428.
2

2
6
6

Câu 22:
Cho hình trụ có đáy là hai đường trịn tâm O và O�
, bán kính đáy
bằng chiều cao và bằng 2a . Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A ,
trên đường tròn tâm O�lấy điểm B . Đặt  là góc giữa AB và đáy. Biết
AB đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau
rằng thể tích khối tứ diện OO�
đây đúng?
1
1
tan  
tan  
2.
2.
Ⓐ. tan   2 .
Ⓑ. tan   1 .
Ⓒ.
Ⓓ.
Lời giải

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

21

Word xinh

50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

 O  , khi đó
Gọi B�là hình chiếu của B trên mặt phẳng chứa đường trịn
AB�là hình chiếu của AB trên mặt phẳng chứa đường tròn  O  .
� �
�
� �
0; �
AB,  OAB�
AB, AB� BAB
   ��
  �
� 2 �.
Suy ra
,
BB�
BB� 2a
� �
� AB�


tan BAB

AB�
tan  tan 
Xét tam giác vuông ABB�vuông tại B�có
.

Gọi H là trung điểm AB�
, khi đó OH  AB�và
2
AB�
a2
1
OH  OA2  AH 2  R 2 
 4a 2 
 a 4
2
4
tan 
tan 2 
1
1
S OAB � OH . AB�
 .OB�
.d  A, OB�

2
2
Lại có



� d  A, OB�


 

OH . AB�

OB�



a 4

1
2a
.
2
1
tan  tan   a
4
BB�
 .
2a
tan 
tan 2   d  A,  OO�

1
VA.OO �B  d  A,  OO�
BB�
  .S OO�B
3
Vậy
1 a
1 1
2a3 1

1
 .
4
.
.2
a
.2
a

.
4
2
3 tan 
tan  2
3 tan 
tan 2 



1
1
4
2
1
1
tan 2   2
4
�tan 
2
tan 

2
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có tan 
3
3
2a
4a
VA.OO �B
.2
3
3 .

1
1
1
1
 4
�
 4
2
2
tan 
tan 
tan 2 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tan 
2
�
4
tan 2 
1
� �

1
 ��
0; �
� tan 2   � tan  
2 do
� 2 �.
2
Câu 23:
Cho hình trụ có đáy là hai đường trịn tâm O và O�
, bán kính đáy
bằng chiều cao và bằng 2a . Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A ,
trên đường tròn tâm O�lấy điểm B . Đặt  là góc giữa AB và đáy. Tính
tan  khi thể tích khối tứ diện OO�
AB đạt giá trị lớn nhất.
1
1
tan  
tan  
2.
2.
Ⓐ.
Ⓑ.
Ⓒ. tan   1 .
Ⓓ. tan   2 .
Lời giải

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

22

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Gọi A ' là hình chiếu của A trên đường trịn tâm O ' khi đó ta có
1
1
VOO ' AB  VB.OO ' A ' A  .SOO ' A ' A .d  B,  OO ' A ' A  
� ' A'
d B,  OO ' A ' A    OB.sin BO
2
6
với 

AB đạt giá trị lớn
Do SOO ' A ' A là hằng số nên để thể tích khối tứ diện OO�
0
�
d B, OO ' A ' A  
nhất thì  
là lớn nhất hay BO ' A '  90
AA '
2a
2
tan   tan �
ABA ' 



A ' B 2a 2
2 .
Khi đó ta có
Câu 24:
Một xí nghiệp chế biến sữa bị muốn sản xuất lon đựng sữa có dạng
hình trụ bằng thiếc có thể tích khơng đổi. Để giảm giá một lon sữa khi
bán ra thị trường người ta cần chế tạo lon sữa có kích thước sao cho ít
tốn kém vật liệu. Để thỏa mãn yêu cầu đặt ra, người ta phải thiết kế lon
sữa thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau:
Ⓐ. Chiều cao bằng đường kính của đáy.
Ⓑ. Chiều cao bằng bán kính của đáy.
Ⓒ. Chiều cao bằng 3 lần bán kính của đáy.
Ⓓ. Chiều cao bằng bình phương bán kính của đáy.
Lời giải
Gọi V , r , h , l lần lượt là thể tích, bán kính đáy, đường cao, đường sinh
của lon sữⒶ.
V
V   .r 2 .h � h 
 .r 2 và h  l .
Ta có:
V
V   .r 2 .h � h 
 .r 2 .
Mặt khác:
V
2V
V V
Stp  2 rl  2 r 2  2 r � 2  2 r 2 
 2 r 2    2 r 2
 .r

r
r r
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta được:
V V
Stp �3 3 � �
2 r 2  3 3 2 V 2
r r
.
V
V
V
 2 r 2 �  2r 3
h

 .r 2 nên 2r  h .
Đẳng thức xảy ra khi r
. Do
Câu 25:
Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thể tích V nhất định.
Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và
đắt gấp ba lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng. Gọi

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

23

Word xinh

50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

h
chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tính tỉ số r sao cho chi
phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất?

h
 2.
Ⓐ. r

h
 2.
Ⓑ. r

h
 6.
Ⓒ. r
Lời giải

h
 3 2.
Ⓓ. r

Chọn
Ⓒ.
Gọi x là giá vật liệu làm mặt xung quanh.
Thể tích của thùng V   r .h không đổi. Suy ra
Khi đó, chi phí để làm thùng bằng
P  S xqđ.x  2S .3x  2 rh.x  2 r 2 .3 x  2 x 3r 2  rh

.
2



h

V
.
 r2



V �
3V 2
� 2 V �
� 2 V
3
� P  2 x �
3r  � 2 x �
3r 

�
6

x
.
.
�
r �

2 r 2 r �
4 2
�
�
3V 2
V
V
P  6 x.
� 3r 2 
� r3 
.
2
4
2 r
6
h V
V
 3
6
V
r r

6
Từ suy ra
.
3

Một hình trụ có độ dài đường cao bằng 3 , các đường tròn đáy lần lượt
 O;1 và  O ';1 . Giả sử AB là đường kính cố định của  O;1 và CD là
là

 O ';1 . Tìm giá trị lớn nhất Vmax của thể tích khối
đường kính thay đổi trên
tứ diện ABCD.
1
Vmax  .
V

2.
V

6.
2
Ⓐ. max
Ⓑ. max
Ⓒ.
Ⓓ. Vmax  1.

Câu 26:

Lời giải

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

24

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họa ơn thi TN năm 20212022

Gọi  là số đo góc giữa AB và CD .
Ta có

VABCD 

1
1
AB.CD.d  AB; CD  .sin   .2.2.3.sin   2sin  �2
6
6
.

Do đó VABCD đạt giá trị lớn nhất là 2 , đạt được khi AB  CD .
Câu 27:
Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích V cho trướⒸ. Để
tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng
V
V
V
V
3
3
3
3
Ⓐ. 2 .
Ⓑ. 2 .
Ⓒ.  .
Ⓓ. 3 .
Lời giải

Giả sử vỏ hộp sữa có bán kính đáy là R , chiều cao là h ( R, h  0 ).
Vì thể tích vỏ hộp là V nên ta có

V   R2h � h 

V
 R2 .

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì hình trụ vỏ hộp sữa phải có diện tích tồn
2V
Stp  2 Rh  2 R 2 
 2 R 2
R
phần
nhỏ nhất.
Cách 1:
Ta có
Stp

Stp 

2V
V V
 2 R 2    2 R 2 �3 3 2 V 2
R
R R
.

V
V

 2 R 2 � R  3
2 .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi R

Cách 2:
Xét hàm số

f  R 

2V
 2 R 2
 0; � .
R
trên khoảng

V
2V
4 R 3  2V
3
�
f
R

0
�
R



f�

 R    2  4 R 
2 .
R
R2
Ta có
.
Bảng biến thiên:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh
lung linh

25

Word xinh