Về bài toán xác định nguồn cho phương trình poisson với điều kiện biên dirichlet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THẾ ANH

VỀ BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THẾ ANH

VỀ BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET

CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2018

1

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại Học Vinh dưới sự
hướng dẫn tận tình, chu đáo của Thầy TS. Nguyễn Văn Đức. Tôi xin bày tỏ
lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tơi cũng xin được cảm ơn thầy chủ nhiệm lớp
Tốn giải tích 24 và q thầy cơ trong khoa Tốn của Trường Đại Học Vinh đã
nhiệt tình truyền đạt những kiến thức Tốn học q báu làm hành trang cho
con đường tìm hiểu tốn học.
Nhân dịp này, Tơi cũng xin cảm ơn quý thầy cô Trường Đại Học Kỹ thuật
Vĩnh Long đã tạo chiếc cầu nối với Trường Đại học Vinh cho tơi cùng các bạn
có điều kiện học tập chun ngành Giải tích.
Cuối cùng tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đồng nghiệp cùng các bạn
Tốn giải tích K24 đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đỡ để tơi hồn
thành khóa học và thực hiện luận văn này.
Mặc dù có nhiều nổ lực trong học tập và nghiên cứu để hoàn thành luân
văn. Tuy nhiên, đây là lần đầu tiên tiếp cận vấn đề này nên luận văn khơng
tránh khỏi những sai sót. Tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cơ
giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Nghệ An, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Nguyễn Thế Anh


2

Mục lục

Lời cảm ơn

1

Một số ký hiệu thường dùng trong luận văn

3

Lời nói đầu

3

Chương1

8

Một số kiến thức bổ trợ

1.1

Khơng gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Không gian Sobolev H s với s ∈ (−∞, +∞) . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Phương pháp chỉnh hóa bài tốn đặt khơng chỉnh và ví dụ . . . . 18

Chương2

Về bài tốn xác định nguồn cho phương trình Poisson

với điều kiện biên Dirichlet
2.1

32

Một số kết quả về bài toán xác định nguồn cho phương trình
Poisson với điều kiện biên Dirichlet

2.2

8

. . . . . . . . . . . . . . . . 32

Phương pháp số để xác định nguồn điểm cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet

Kết luận
Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . 45
53
54


3

Một số ký hiệu dùng trong luận văn
TT

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Các ký hiệu
Γ
0
C (Γ)
suppf

Giải thích ý nghĩa của ký hiệu
Biên Γ của miền Ω trong Rn
Không gian tất cả các hàm liên tục trên Γ
Giá của hàm f xác định trên Rn được xác định bởi
suppf = {x ∈ Rn : f (x) = 0}
Lp (Ω)
Không gian các hàm đo được Lebergue trên Ω
1
thoả mãn u p = Ω |u|p dx p < +∞
C m (Ω)

Không gian các hàm khả vi liên tục
đến cấp m trên Ω
∞
C (Ω)
Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Ω
∞
C0
Không gian các hàm khả vi vô hạn có
giá compact trên Ω
m
W (Ω)
Khơng gian Sobolev W m (Ω) với m ∈ N
W s (Ω)
Không gian Sobolev W s (Ω) với s ∈ R
H s (Ω)
Không gian Sobolev H s (Ω) với s ∈ R
H s (Γ)
Không gian Sobolev H s (Γ) với s ∈ R
và Γ là biên của miền Ω trong Rn
Fx→ξ u(x), u(ξ) Biến đổi Fourier của hàm u(x)
∗
Fξ→x
u
Biến đổi Fourier ngược của hàm u


4

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
- Nhiều bài toán của lý thuyết và thực tiễn dẫn ta đến các bài tốn ngược
trong phương trình đạo hàm riêng. Đó là những bài tốn khi các dữ kiện của
q trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ các
dữ kiện đo đạc gián tiếp. Bài tốn xác định nguồn có vai trị quan trọng trong
nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật như: xác định vết nứt trong một vật thể,
xác định nguồn nhiệt, lý thuyết điện từ (electromagnetic theory),...
- Các bài toán ngược vừa đề cập ở trên thường là bài toán đặt không chỉnh
theo nghĩa Hadamard. Một sai số nhỏ trong dữ kiện cũng có thể dẫn đến một
sai lệch lớn về nghiệm của bài tốn. Tính khơng ổn định này đã làm cho các bài
tốn đặt khơng chỉnh khó giải hơn các bài tốn đặt chỉnh và chúng ta thường
khơng áp dụng được các phương pháp giải truyền thống cho bài tốn đặt chỉnh
để giải bài tốn đặt khơng chỉnh mà phải sử dụng các phương pháp đặc biệt
mà người ta gọi là các phương pháp chỉnh hóa.
- Cho đến nay đã có nhiều bài báo nghiên cứu về các phương pháp chỉnh
hóa và các phương pháp số cho bài tốn xác định nguồn của phương trình
parabolic. Các cơng trình nghiên cứu về bài tốn xác định nguồn cho phương
trình hyperbolic và elliptic vẫn còn hạn chế.
- Để tập nghiên cứu và có thêm những hiểu biết về bài tốn xác định nguồn
cho phương trình elliptic, trên cơ sở các bài báo [8] và [20], chúng tôi lựa chọn


5

đề tài cho luận văn của mình là: "Về bài tốn xác định nguồn cho phương
trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là:
- Trình bày hệ thống định nghĩa, định lý, ví dụ và một số tính chất của
các khơng gian Lp , không gian H s với s ∈ (−∞, +∞), không gian vết H s (Γ)

với s ∈ R,...
- Đưa ra phương pháp chỉnh hố thưa có ràng buộc cho các bài tốn ngược
tuyến tính trên các tập lồi đóng.
- Trình bày một số kết quả về bài tốn xác định nguồn cho phương trình
Poisson với điều kiện biên Dirichlet.
- Trình bày phương pháp số xác định nguồn điểm cho phương trình Poisson
hai chiều với điều kiện biên Dirichlet.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu là không gian Lp , không gian H s với s ∈ (−∞, +∞),
không gian vết H s (Γ) với s ∈ R, bài toán xác định nguồn cho phương trình
Poisson với điều kiện biên Dirichlet và phương trình Poisson hai chiều với điều
kiện biên Dirichlet.
- Phạm vi nghiên cứu là các tính chất, các mối quan hệ của các đối tượng
trên. Từ đó, trình bày một số kết quả về bài tốn xác định nguồn cho phương
trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet và phương pháp số xác định nguồn
cho phương trình Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu


6

- Tìm hiểu một số khái niệm, định nghĩa, định lý liên quan như: không gian

Lp , không gian H s với s ∈ (−∞, +∞), không gian vết H s (Γ) với s ∈ R,...
- Nghiên cứu một số kiến thức làm cơ sở cho việc chứng minh các kết quả
chính về chỉnh hố thưa có ràng buộc cho bài tốn ngược tuyến tính trên tập
lồi đóng.
- Tìm hiểu một số kết quả về bài toán xác định nguồn cho phương trình
Poisson với điều kiện biên Dirichlet.
- Tìm hiểu phương pháp số xác định nguồn điểm cho phương trình Poisson

hai chiều với điều kiện biên Dirichlet.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dùng các phương pháp nghiên cứu khoa học trong tốn học dựa trên các
mơn cơ sở đã học như: phương trình đạo hàm riêng, giải tích hàm,...
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so
sánh và sử dụng các phương pháp suy luận toán học.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn này được chia thành 2 chương:
Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ
- Chương này nhằm mục đích trình bày về khơng gian Lp , không gian Sobolev

H s (Ω) với Ω là miền trong Rn và s ∈ (−∞, +∞), không gian vết H s (Γ) với Γ
là biên của Ω và s ∈ (−∞, +∞) để làm cơ sở cho việc trình bày Chương 2.
- Sau đó chúng tơi trình bày khái niệm về phương pháp chỉnh hóa bài tốn
đặt khơng chỉnh và đưa ra ví dụ về phương pháp chỉnh hóa bài tốn đặt khơng
chỉnh bằng cách đề xuất chỉnh hóa thưa có ràng buộc (the constrained sparsity
regularization) cho bài tốn ngược tuyến tính trên một tập lồi đóng. Các kết


7

quả trong mục 1.3 đã được chúng tôi viết thành bài báo khoa học.
Chương 2. Về bài toán xác định nguồn cho phương trình Poisson
với điều kiện biên Dirichlet
Chương này nhằm mục đích trình bày về các kết quả lý thuyết cũng như các
kết quả số đối với việc giải bài tốn xác định nguồn cho phương trình poisson
với điều kiện biên Dirichlet trên cơ sở tham khảo các bài báo [8] và [20].
Nghệ An, tháng 6 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thế Anh


8

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ
1.1

Không gian Lp

Các kết quả được trình bày trong phần này được trích từ tài liệu tham khảo
[1].
Cho Ω là miền trong Rn và p là một số thực dương. Ta kí hiệu Lp (Ω) là
lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho

|f (x)|p dx < ∞.

(1.1)

Ω

Trong Lp (Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như vậy các
phần tử của Lp (Ω) thực ra là các lớp tương đương các hàm đo đươc thoả (1.1)
và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên Ω. Song để tiện
lợi ta sẽ không qua tâm đến sự khác biệt đó và sẽ viết f ∈ Lp (Ω) nếu f thoả
mãn (1.1) và f = 0 trong Lp (Ω) nếu f (x) = 0 hầu khắp trên Ω. Vì

|f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x)| + |g(x)|)p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p )

nên rõ ràng Lp (Ω) là một không gian vectơ.
Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm

u

p

·

p

được xác định bởi
p

|u(x)| dx

=
Ω

1
p

.

(1.2)


9

1.1.1 nh lớ. ([1])(Bt ng thc Hă

older) Nu 1 < p < ∞ và u ∈ Lp (Ω),

v ∈ Lp (Ω) thì uv ∈ L1 (Ω) và
|u(x)v(x)|dx ≤ u

p

v

Ω

trong đó p =

p

(1.3)

1 1
p
, tức là + = 1, p được gọi là số mũ liên hợp đối với p.
p−1
p p

1.1.2 Định lí. ([1])(Bất đẳng thức Minkowski) Nếu 1 ≤ p < ∞ thì

f +g

p

≤ f

p

+ g p.

(1.4)

Một hàm u khả tích trên Ω được nói là nhất thiết bị chặn (essentially bounded)
nếu tồn tại một hằng số c ≥ 0 sao cho |u(x)| ≤ c hầu khắp nơi (h.k.n) trong

Ω. Ta định nghĩa
ess sup |u(x)| inf {c ∈ R| |u(x)| ≤ c h.k.n trong Ω} .
x∈Ω

Ta ký hiệu L∞ (Ω) là không gian các lớp tương đương của các hàm đo được
Lebesgue, nhất thiết bị chặn trên Ω. Không gian L∞ (Ω) là một không gian
Banach được trang bị với chuẩn

u

L∞ (Ω)

:= ess sup |u(x)| .
x∈Ω

1.1.3 Định lí. ([1]) Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞ là một không gian Banach.
Chứng minh. Giả sử {fn } là dãy Caushy trong Lp (Ω). Khi đó tồn tại dãy {fnj }
sao cho

||fnj+1 − fnj ||p ≤

1
, j = 1, 2, ...
2j

Đặt
m

fnj+1 (x) − fnj (x)

gm (x) =
j=1


10

Ta có
m

gm

p

=
j=1

1
< 1, m = 1, 2, ...
2j

Đặt g(x) = lim gm (x). Theo bổ đề Fatou ta được
m→∞

|g(x)|p dx ≤ lim inf

|gm (x)|p dx ≤ 1

m→∞

Ω

Như vậy g(x) < ∞ hầu khắp trên Ω và chuổi
∞

(fnj+1 (x) − fnj (x))

fn1 (x) +

(1.5)

j=1

hội tụ tới f (x) hầu khắp trên Ω. Đặt f (x) = 0 khi nó khơng được xác định. Do
(1.5) ta có

lim fnm (x) = f (x) hầu khắp trên Ω,
và với ε > 0 tuỳ ý, tồn tại N sao cho nếu m, n ≥ N thì ||fm − fn || < ε.
Do bổ đề Fatou, ta lai có
p

|f (x) − fn (x)|p dx =
Ω

lim f nj (x) − fn (x) dx

j→∞
Ω

p

f nj (x) − fn (x) dx ≤ εp ,

≤ lim inf
j→∞

Ω

nếu n ≥ N . Như vậy f = (f − fn ) + fn ∈ Lp (Ω) và ||f − fn ||p −→ 0 khi

n −→ ∞. Do đó Lp (Ω) là khơng gian đầy đủ.
1.1.4 Hệ quả. ([1]) L2 (Ω) là không gian Hilbert tương ứng với tích vơ hướng

(f, g) =

f (x)g(x)dx.
Ω

Ta gọi giá của hàm f xác định trên Ω và ký hiệu suppf là

suppf = {x ∈ Ω : f (x) = 0}.

11

Khi suppf ⊂⊂ Ω và suppf là compact thì ta nói f có giá compact trên Ω.
1.1.5 Định lí. ([1]) Khơng gian C 0 (Ω) các hàm liên tục có giá compact trên Ω
trù mật trong Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞.
1.1.6 Định lí. ([1]) Nếu 1 ≤ p < ∞ thì Lp (Ω) tách được.

1.2

Khơng gian Sobolev H s với s ∈ (−∞, +∞)

Các kết quả được trình bày trong phần này được trích từ tài liệu tham khảo [16].
1.2.1

Không gian H s (Ω)

Như ở phần trên, chúng ta đã biết rằng Lp (Ω) là một không gian Banach với
chuẩn

1



u

Lp (Ω)

p

p

|u(x)| dx .

:= 
Ω

Đặc biệt, với p = 2 ta có khơng gian các hàm bình phương khả tích và là
khơng gian Hilbert với tích vơ hướng

u(x)v(x)dx với mọi u, v ∈ L2 (Ω).

(u, v)L2 (Ω) :=
Ω

Bây giờ, chúng ta giới thiệu về không gian Sobolev H s (Ω). Trong phần này,
ta luôn giả thiết rằng Ω là một miền trong Rn . Để đơn giản, ta bắt đầu với

s = m ∈ N0 và định nghĩa các khơng gian đó là bổ sung đầy đủ của không gian
các hàm C m (Ω).
Trước hết, chúng tôi giới thiệu không gian hàm

C∗m (Ω) := u ∈ C m (Ω) | u

W m (Ω)

<∞

12

trong đó

u

W m (Ω)




:=

|Dα u|2 dx

1
2

.





|α|≤m Ω

Khi đó, ta định nghĩa không gian Sobolev bậc m là bổ sung đầy đủ của C∗m (Ω)
đối với chuẩn .
dãy {uk }k∈N ⊂

W m (Ω) . Điều này
C∗m (Ω) sao cho

có nghĩa là với mỗi u ∈ W m (Ω), tồn tại một

lim u − uk

k→∞

W m (Ω)

= 0.

(1.6)

Chúng ta nhớ lại rằng hai dãy Cauchy {uk } và {vk } trong C∗m (Ω) được nói
là tương đương khi và chỉ khi lim uk − vk
k→∞

W m (Ω)

= 0. Điều này kéo theo rằng

trên thực tế W m (Ω) bao gồm tất cả các lớp tương đương của các dãy Cauchy và
giới hạn ở (1.6) chỉ là một đại diện cho lớp các dãy Cauchy tương đương {uk }.
Không gian W m (Ω) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng được xác định
bởi

Dα uDα vdx.

(u, v)m :=
|α|≤m Ω

Rõ ràng, với m = 0 ta có W 0 (Ω) = L2 (Ω).
Cách tiếp cận tượng tự có thể được sử dụng để định nghĩa không gian Sobolev

W s (Ω) với số số thực dương không nguyên s. Đặt
s = m + σ với m ∈ N0 và 0 < σ < 1.
Chúng tôi giới thiệu không gian

C∗s (Ω) := u ∈ C m (Ω) | u

W s (Ω)

<∞

trong đó

u

W s (Ω)

:=





2

u

2
W m (Ω)

+
|α|=m Ω Ω

1
2

|Dα u(x) − Dα u(y)|
dxdy
.

|x − y|n+2σ


13

Với cách tương tự như trường hợp bậc nguyên, không gian Sobolev W s (Ω)
bậc s là bổ sung đầy đủ của không gian C∗s (Ω) đối với chuẩn .

W s (Ω) .

Khi đó,

W s (Ω) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
(u, v)s :=
(Dα u(x) − Dα u(y)) Dα v(x) − Dα v(y)

(u, v)m +

|x − y|n+2σ

|α|=m Ω Ω

dxdy.

Rõ ràng, với m = 0 ta có W 0 (Ω) = L2 (Ω).
Chú ý rằng tất cả các định nghĩa ở trên cũng đúng cho trường hợp Ω = Rn .
Trong trường hợp này C0∞ (Rn ) trù mật trong W s (Rn ). Ta ký hiệu

H s (Rn ) := W s (Rn ) với s ≥ 0.
Thay vì các hàm trong khơng gian C m (Ω) ta xét không gian hàm

C ∞ (Ω) := u = u|Ω với u ∈ C0∞ (Rn )
và giới thiệu chuẩn sau với s ≥ 0

u

H s (Ω)

:= inf

u

H s (Rn ) |u

= u|Ω .

Bây giờ ta định nghĩa H s (Ω) là bổ sung đầy đủ của C ∞ (Ω) đối với chuẩn

.

H s (Ω) ,

nghĩa là với mỗi u ∈ H s (Ω), tồn tại một dãy {uk }k∈N ⊂ C ∞ (Ω) sao

cho

lim u − uk

k→∞

H s (Ω)

= 0.

Vì C0∞ (Ω) ⊂ C ∞ (Ω) nên với bất kỳ u ∈ C0∞ (Ω), mở rộng tầm thường u bằng

0 bên ngoài Ω thuộc C0∞ (Rn ), ta định nghĩa không gian H s (Ω) với s ≥ 0 là bổ
sung đầy đủ của C0∞ (Ω) đối với chuẩn

u

H s (Ω)

:= u

H s (Rn ) .

14

Định nghĩa này kéo theo

H s (Ω) = u ∈ H s (Rn ) | supp u ⊂ Ω

(1.7)

và

H s (Ω) ⊂ H s (Ω) với s ≥ 0.
Chú ý rằng (1.7) kéo theo rằng H s (Ω) là một khơng gian con đóng của khơng
gian H s (Rn ).
Với s < 0, ta định nghĩa H s (Ω) là khơng gian đối ngẫu đối với tích vơ
hướng (., .)L2 (Ω) . Cụ thể hơn, với s < 0 ta định nghĩa chuẩn theo công thức

u

s

=

sup

(ϕ, u)L2 (Ω) / ϕ

0=ϕ∈H −s (Ω)

H −s (Ω)

.

(1.8)

Như thường lệ, ta ký hiệu bổ sung đầy đủ của L2 (Ω) đối với chuẩn xác định
theo công thức (1.8) bởi

H s (Ω) = H −s (Ω)

/

với s < 0.

(1.9)

Đó là các khơng gian Sobolev có bậc âm.
Mở rộng (1.9), ta cũng có định nghĩa khơng gian H s (Ω) với s < 0 là bổ sung
đầy đủ của không gian L2 (Ω) đối với chuẩn

u

H s (Ω)

:=

sup

(ψ, u)L2 (Ω) / ψ

0=ψ∈H −s (Ω)

H −s (Ω) .

Bổ sung đầy đủ này được ký hiệu bởi

H s (Ω) = H −s (Ω)

/

và là đối ngẫu của H −s (Ω). Với s > 0 ta có

H s (Ω) ⊂ H s (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ H −s (Ω).


15

Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt Ω = Rn . Trong trường hợp này, với bất kỳ

s ∈ R, ta có
H s (Rn ) = H s (Rn ).

(1.10)

Hơn nữa, các khơng gian Sobolev này có thể được đặc trưng qua biến đổi Fourier.
Với bất kỳ u ∈ C0∞ (Rn ), biến đổi Fourier u của u được xác định bởi

Fx→ξ u(x) := u(ξ) := (2π)−n/2

e−ix.ξ u (x) dx

(1.11)

Rn

và biến đổi Fourier ngược của u là
∗
Fξ→x
u := u(x) = (2π)−n/2

eix.ξ u (ξ) dξ.

(1.12)

Rn

Khi đó ta có cơng thức Parseval-Plancherel như sau

u

= u

L2 (Rn )

L2 (Rn )

(1.13)

với bất kỳ u ∈ C0∞ (Rn ). Một ứng dụng đơn giản của công thức (1.13) tới đồng

nhất thức

(2π)−n/2

e−ix.ξ (Dα u(x))dx
Rn

= (−1)|α| (2π)−n/2

Dxα e−ix.ξ u(x)dx
Rn

α

= (iξ) u (ξ)
với bất kỳ α ∈ Nn0 chứng tỏ rằng

(ξ α u(ξ)) ∈ L2 (Rn ) với mọi α ∈ Nn0
và u ∈ C0∞ (Rn ). Điều này kéo theo

|||u|||2s := (2π)−n

1 + |ξ|2
Rn

s

|u(ξ)|2 dξ < ∞

(1.14)

16

với mọi s ∈ R và u ∈ C0∞ (Rn ). Dễ kiểm tra thấy rằng ||| · |||s là một chuẩn. Bây
giờ, ta đặt Hs (Rn ) là bổ sung đầy đủ của C0∞ (Rn ) đối với chuẩn ||| · |||s . Khi
đó Hs (Rn ) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng được xác định bởi

((u, v))s := (2π)−n

1 + |ξ|2

s

u(ξ)v(ξ)dξ.

(1.15)

Rn

Từ công thức Parseval (1.13), ta có

H 0 (Rn ) = H0 (Rn ) = L2 (Rn ).
Trên thực tế, ta có thể chứng tỏ rằng H s (Rn ) tương đương với Hs (Rn ) với mọi

s ∈ R (chẳng hạn xem [23, p.235]). Do đó, ta có thể đồng nhất hai khơng gian
H s (Rn ) và Hs (Rn ).
1.2.2

Không gian vết H s (Γ)

Khi nghiên cứu về các bài toán giá trị biên ta cần nói về giá trị của một phần
tử nào đó của khơng gian H 1 (Ω) lấy trên biên Γ của Ω. Nếu u ∈ H s (Ω) là liên
tục đến tận biên Γ, thì chúng ta có thể nói rằng giá trị của u lấy trên Γ là sự
hạn chế trên Γ (mở rộng liên tục tới biên Ω) của hàm u và được ký hiệu bởi

u|Γ . Tuy nhiên, nhìn chung các phần tử của H s (Ω) được xác định với sai khác
trên các tập có độ đo bằng 0 trên khơng gian n chiều Rn . Do đó hồn tồn vơ
nghĩa khi nói về hạn chế của chúng trên Γ (Vì Γ là tập có độ đo bằng 0 trong
khơng gian n chiều Rn ). Chính vì vậy, chúng ta cần một khái niệm mới, khái
niệm vết của một hàm (trace of a function) trên Γ để thay thế và tổng quát
khái niệm hạn chế của hàm u trên Γ ( u|Γ ) khi khái niệm này theo nghĩa cổ điển
nói ở trên khơng ứng dụng được.
Để kết thúc điều này, ta cần các khơng gian biên. Ta hãy bắt đầu với định
nghĩa tích phân trên Γ. Ta giới thiệu phân hoạch đơn vị của Γ bởi các tập


17

B(r) ⊂ Rn . Ta nói, một họ các hàm α(r) ∈ C0∞ (Rn ), r = 1, ..., p, là một phân
hoạch đơn vị (a partition of unity) nếu α(r) : Rn → [0, 1] có giá compact supp

α(r)

B(r) thỏa mãn
p

α(r) (x) = 1 với mọi x ∈ UΓ ,

(1.16)

r=1

trong đó UΓ ⊃ Γ là một lân cận mở n chiều thích hợp của Γ. Với Γ ∈ C k,κ và

k + κ ≥ 1 (xem [16, trang 108] cho khái niệm Γ ∈ C k,κ ), vectơ tiếp tuyến được
xác định hầu khắp nơi cho x ∈ Γ ∩ B(r) , xem như là phần tử bề mặt (the surface
element) dsx . Khi đó, với hàm f xác định trên Γ, ta định nghĩa tích phân
p

f ds :=

f (x)α(r) (x)dsx .
r=1 Γ∩B

Γ

(1.17)

(r)

Bây giờ ta đặt L2 (Γ) là bổ sung đầy đủ của C 0 (Γ) đối với chuẩn

u

L2 (Γ)

:=






|u(x)|2 dsx
Γ

1
2

.

(1.18)



Như chúng ta đã biết, L2 (Γ) là khơng gian Hilbert đối với tích vơ hướng

(u, v)L2 (Γ) :=

u(x)v(x)dsx .

(1.19)

Γ

Với một miền Lipschitz mạnh Ω (xem [16, trang 110] cho khái niệm này), tồn
tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính γ0 : H s (Ω) → L2 (Γ) sao cho nếu u ∈ C 0 (Ω)
thì γ0 u = u|Γ . Nếu u ∈ H 1 (Ω), ta sẽ gọi γ0 u là vết của u trên Γ và ánh xạ γ0 là
toán tử vết (bậc 0). Tuy nhiên, để đặc trưng tất cả các phần tử đó trong L2 (Γ)
là vết của các phần tử trong H 1 (Ω), ta cần giới thiệu không gian vết H s (Γ).

Với s = 0, ta đặt một cách đơn giản là H 0 (Γ) = L2 (Γ).


18

Cách tốt nhất để định nghĩa không gian vết trên Γ là sử dụng sự mở rộng
của các hàm đã được xác định trên Γ tới không gian Sobolev xác định trên Ω.
Với s > 0, chúng tôi giới thiệu khơng gian tuyến tính
1

C(s) (Γ) := {ϕ ∈ C 0 (Γ) tồn tại ϕ ∈ H s+ 2 (Ω) sao cho γ0 ϕ := ϕ|Γ = ϕ trên Γ}.
Khi đó không gian vết Hs (Γ) được định nghĩa là bổ sung đầy đủ của C(s) (Γ)
đối với chuẩn

u

Hs (Γ)

:= inf u
γ0 u=u

1

H s+ 2 (Ω)

.

(1.20)

Bất đẳng thức

γ0 u

Hs (Γ)

≤ u

1

H

s+ 1
2

(Ω)

với mọi u ∈ H s+ 2 (Ω)

(1.21)

và s > 0 bất kỳ.
Với s < 0, ta có thể định nghĩa không gian Hs (Γ) là đối ngẫu của H−s (Γ)
đối với tích vơ hướng trong L2 (Γ), nghĩa là bổ sung đầy đủ của L2 (Γ) đối với
chuẩn

u

1.3

Hs (Γ)

:=

sup
ϕ

(ϕ, u)L2 (Γ) .

(1.22)

H−s (Γ) =1

Phương pháp chỉnh hóa bài tốn đặt khơng chỉnh và ví dụ

1.3.1 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f0 , với A là một tốn tử từ
không gian mêtric E vào không gian mêtric F và f0 ∈ F . Gọi x0 là nghiệm của
phương trình A(x) = f0 . Tốn tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động E
vào F được gọi là một tốn tử chỉnh hóa cho phương trình A(x) = f0 , nếu

i) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi
α ∈ (0, α1 ) và với mọi f ∈ F,

dF (f, f0 ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 );


19

ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 ∀f ∈
F, dF (f, f0 ) ≤ δ ≤ δ1 , dE (xα , x0 ) ≤ ε, ở đây xα ∈ R(f, α(f, δ)).
Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn khơng phụ thuộc vào f thì ta gọi là

cách chọn tiên nghiệm. Nếu α được chọn phụ thuộc f và δ thì ta gọi là cách
chọn hậu nghiệm.
Tiếp theo, chúng tơi trình bày ví dụ về phương pháp chỉnh hóa bài tốn đặt
khơng chỉnh bằng cách đề xuất chỉnh hóa thưa có ràng buộc (the constrained
sparsity regularization) cho bài tốn ngược tuyến tính trên một tập lồi đóng.
Chúng tơi sẽ chứng minh rằng bài toán cực tiểu trong chỉnh hóa thưa có ràng
buộc là đặt chỉnh và hội tụ tới một nghiệm của bài tốn ngược tuyến tính trên
tập lồi đóng. Các kết quả này là sự mở rộng của chỉnh hóa Tikhonov có ràng
buộc đã được nghiên cứu bởi Andreas Neubauer trong [22]. Các kết quả này
cũng đã được chúng tôi viết thành bài báo khoa học và gửi một tạp chí khoa
học trong nước.
Cho X và Y là các không gian Hilbert thực, T : X → Y là một tốn tử
tuyến tính bị chặn. Tập tất cả các tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y được
ký hiệu bởi L(X, Y ). Tích vơ hướng và chuẩn trong cả hai không gian X và Y
được ký hiệu bởi ., . và . .
Mục đích của chúng tơi là tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình tốn tử

T u = y và x ∈ C,

(1.23)

với y ∈ Y và C là một tập lồi đóng khác rỗng trong X . Hơn nữa, thay vì dữ
kiện chính xác y , ta chỉ biết dữ kiện bị nhiễu y δ với

y − yδ

δ.

(1.24)

Chúng ta biết từ trường hợp khơng có ràng buộc rằng nghiệm khơng phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện nếu T là một toán tử đặt không chỉnh. Câu hỏi đặt


20

ra là, liệu các ràng buộc lồi có làm ổn định bài tốn hay các ràng buộc đó là cần
thiết cho việc chỉnh hóa bài tốn. Có một kết quả nổi tiếng của Tikhonov nói
rằng hạn chế của một tốn tử T đơn ánh (khơng cần thiết tuyến tính) trên tập

C có tốn tử ngược liên tục nếu C là tập compact. Mặt khác, ta có thể chứng
tỏ rằng nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện y nếu T là compact, đơn
ánh và nếu tồn tại một dãy trong C hội tụ yếu nhưng không hội tụ mạnh tới

u0,C , (xem [14, Propositon 10.1]). Do đó, nhìn chung, bài tốn ràng buộc ở trên
là đặt khơng chỉnh.
Áp dụng chỉnh hóa J− Tikhonov trong trường hợp có ràng buộc dẫn đến
giải bài toán cực tiểu

min
u∈C

1
T u − yδ
2

2

+ αJ(u) (α > 0)

trong đó hàm phạt J được chọn phụ thuộc vào thông tin tiên nghiệm. Trong
trường hợp J(u) = u 2 , bài toán này đã được xem xét, chẳng hạn, xem [14, 22].
Với C = X và phiếm hàm buộc tính thưa J , chúng ta có thể tham khảo trong
các bài báo [9, 10, 11, 12, 7].
Với {ϕk } là một cở sở trực chuẩn của không gian Hilbert X thì với mỗi u ∈ X
+∞

ta có biểu diễn u =

uk = 0.

uk ϕk . Khi đó u được gọi là thưa nếu chỉ có hữu hạn
k=1

Bây giờ chúng ta giả thiết rằng bài toán (1.23) là đặt khơng chỉnh và nghiệm
của nó có một khai triển thưa trong một cơ sở trực chuẩn {ϕk }. Với các giả
thiết trên, bài tốn (1.23)-(1.24) được chỉnh hóa bằng cách giải bài toán cực
tiểu

min
u∈C

1
T u − yδ
2

2

+ αJ(u), (α > 0)

(1.25)


21

trong đó

ωk | u, ϕk |p ϕk (1

J(u) =

p

2)

(1.26)

k

với ωk

ω0 > 0, ∀k ∈ N.

Chú ý rằng phương pháp chỉnh hóa (1.25)–(1.26) được gọi là phương pháp
chỉnh hóa thưa vì người ta chứng minh được rằng nghiệm của bài toán cực tiểu
(1.25) là thưa với p = 1.
Tiếp theo, chúng tơi chứng tỏ rằng bài tốn (1.25) có ít nhất một nghiệm
với mọi α > 0 và các nghiệm đó hội tụ tới nghiệm bình phương tối thiểu C − J
của (1.23) khi α → 0 nếu QC y ∈ T (C). Hơn nữa, chúng tôi chứng tỏ rằng với

α > 0 nghiệm của bài toán (1.25) phụ thuộc liên tục vào dữ kiện y . Do đó bài
tốn (1.25) là đặt chỉnh. Chúng tôi nhấn mạnh rằng với J(u) = u 2 , sự tồn
tại và duy nhất nghiệm của (1.25), sự hội tụ của các nghiệm đó tới nghiệm bình
phương tối thiểu C − J của (1.23) khi α → 0, và sự ổn định của các nghiệm đó
với α > 0 cố định đã được chứng minh trong [22]. Ở đây, chúng tơi sẽ chứng
minh tính đặt chỉnh của bài tốn (1.25) với phiếm hàm thuộc tính thưa J xác
định bởi (1.26).
Một số tính chất của hàm J xác định bởi (1.26) được liệt kê trong Bổ đề
sau (xem [9]).
1.3.2 Bổ đề. ([9]) Hàm J : X → (−∞, +∞] (s > 0) thỏa mãn
1. J(u) < ∞ với u ∈ X.
2. J(αu + (1 − α)v)
3. J(u)

αJ(u) + (1 − α)J(v), ∀u, v ∈ X, ∀α ∈ [0, 1].

lim inf J(un ) khi u = lim un .

n→∞

n→∞

4. J(u)/ u → ∞ khi u → ∞.


22

5. u

βJ(u), ∀u ∈ X và J(0) = 0.

6. Nếu un

u và lim J(un ) = J(u) thì lim un = u.
n→∞

n→∞

Bây giờ chúng tôi giới thiệu khái niệm "nghiệm bình phương tối thiểu C − J "
như sau:
1.3.3 Định nghĩa. u0,C được gọi là “nghiệm bình phương tối thiểu C − J ” của
(1.23) nếu nó là một nghiệm của

min J(u) đối với u ∈ argmin T u − y 2 .
u∈C

Một nghiệm bình phương tối thiểu C − J là một cực tiểu của phiếm hàm J
trong tất cả các cực tiểu. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của u0,C được thể hiện
trong mệnh đề sau:
1.3.4 Mệnh đề. Cho QC là phép chiếu metric (the metric projector) của Y
lên T (C). Khi đó nghiệm bình phương tối thiểu C − J tồn tại nếu và chỉ nếu

QC ∈ T (C). Hơn nữa, nếu T là đơn ánh hoặc J là lồi ngặt thì nghiệm đó là
duy nhất.
Chứng minh. Giả sử rằng u
ˆ là một cực tiểu của T u − y
đóng và lồi và vì T u − y

2

2

trên C. Vì C là

là một hàm lồi và khả vi Fréchet, theo định lý

Kuhn-Tucker, điều này tương đương với

uˆ ∈ C và T uˆ − y, u − T uˆ
Vì T (C) là đóng và lồi và g(u) := u − y

2

0, ∀u ∈ T (C).

(1.27)

là hàm lồi chặt, khả vi Fréchet với

∇g(u) = 2(u − y)
và lim g(u) = ∞, QC được xác định là phần tử duy nhất trong T (C), mà bất
u →∞

đẳng thức

QC y − y, u − QC y

0, ∀u ∈ T (C)

(1.28)

23

đúng. Từ (1.27) và (1.28) ta có

uˆ ∈ C cực tiểu T u − y

2

trên C ⇔ u
ˆ ∈ C ∧ T uˆ = QC y.

Lấy K := {ˆ
u ∈ C : uˆ cực tiểu T u − y

2

(1.29)

trên C}. Khi đó (1.29) kéo theo rằng

K = ∅ nếu và chỉ nếu QC y ∈ T (C). Vì T u − y

2

là một hàm lồi trên tập lồi

đóng C, K là tập lồi, đóng. Do đó, nếu K = ∅, hàm lồi J có ít nhất một cực
tiểu trên K .

Nếu J là lồi chặt thì nó có cực tiểu duy nhất trên K hoặc nếu T là đơn ánh
thì K chỉ có một phần tử. Vì vậy phần tử này cũng là cực tiểu duy nhất của J
trên K.
Sự tồn tại và các tính chất đặc trưng của uα,C được đưa ra trong các bổ đề sau
1.3.5 Bổ đề. Lấy T ∈ L(X, Y ), y ∈ Y, α > 0, C(⊂ X) là một tập lồi đóng và J
thỏa mãn Bổ đề 1.3.2. Khi đó bài tốn (1.25) có ít nhất một nghiệm. Hơn nữa
nếu T là đơn ánh hoặc J là lồi ngặt thì nghiệm của (1.25) là duy nhất.
Chứng minh. Từ giả thiết của T, α, J và F , ta có thể lấy un là một dãy cực
tiểu của F, nghĩa là, một dãy các phần tử của C sao cho

F (un ) → inf F (v) = β.
v∈C

Chú ý rằng β thuộc [−∞, +∞). Bởi vì F thỏa mãn tính chất 4) trong Bổ đề
1.3.2 nên (un ) bị chặn trong X . Do đó ta có thể trích từ dãy (un ) một dãy con

(uni ), hội tụ yếu trong X tới một phần tử u thuộc C. Vì F là nửa liên tục dưới
yếu trên C , ta có

F (u)

lim F (uni ) = β.

i→∞

Do đó, u là một nghiệm của bài toán (1.25) và β = −∞.
Tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất nghiệm. Nếu T là đơn ánh hoặc J
là lồi chặt thì F là lồi chặt. Do đó, nếu hai nghiệm khác nhau u1 và u2 của bài