điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên không gian kiểu b metric và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----*-----

NGUYỄN THOẢI MÁI

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG
GIAN KIỂU B-MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----*-----

NGUYỄN THOẢI MÁI

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN KHƠNG
GIAN KIỂU B-MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG

CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN ĐỨC THÀNH

Nghệ An - 2018

1

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
nghiêm túc, tận tình của Thầy giáo TS. Trần Đức Thành. Tác giả xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả kiến thức,
kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa học. Đồng thời, tác giả xin gửi lời
cảm ơn tới các Thầy cô trong ngành Toán, Viện Sư phạm tự nhiên, Đại học
Vinh, Thầy giáo TS.Nguyễn Văn Đức giáo viên chủ nhiệm lớp Cao học Giải
tích khóa 24, Ban Giám hiệu cùng q thầy cơ trường Đại học Sư phạm kỹ
thuật Vĩnh Long đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong
suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình,
người thân, bạn bè gần xa đã động viên giúp đỡ, chia sẽ kinh nghiệm trong
thời gian nghiên cứu và hoàn thiện luận văn của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực cịn hạn chế, nên luận văn
chắc khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời
chỉ bảo quý báu của các Thầy cô giáo và góp ý của bạn đọc để luận văn hồn
thiện hơn.
Nghệ An,tháng 7 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thoải Mái


2

Mục lục

Lời cảm ơn

1

Mở đầu

2

1 Không gian kiểu b-mêtric và định lý điểm bất động cho ánh
xạ Edelstein-Suzuki suy rộng
7
1.1 Không gian kiểu b-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ Edelstein-Suzuki suy rộng . 11
1.3 Ứng dụng vào bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của một
lớp phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Định lý điểm bất động cho các ánh xạ kiểu F-co
2.1 Ánh xạ kiểu F-co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Định lý điểm bất động cho các ánh xạ kiểu F-co suy rộng . . .

21
21
23

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38


3

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lý thuyết điểm bất động là một lĩnh vực đã và đang được nhiều nhà
tốn học trong và ngồi nước quan tâm. Nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh
vực khác nhau như: vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế. . . cũng như nhiều lĩnh
vực khác của toán học. Một trong những hướng nghiên cứu của các nhà tốn
học là tìm cách mở rộng các định lý điểm bất động đã biết lên những lớp
không gian mêtric suy rộng như: không gian mêtric nón, khơng gian mêtric
riêng, khơng gian b-mêtric, khơng gian mêtric chữ nhật. . .
Năm 1993, I. A Bakhtin và S. Czerwik [4] đưa ra khái niệm không gian
b-mêtric. Năm 1994, S. G Mathews [7] đề xuất khái niệm không gian mêtric
riêng và chứng minh được một số định lý điểm bất động trên lớp khơng gian
này có ứng dụng trong ngành khoa học máy tính. Gần đây, năm 2012, A.
Harandi [5] đề xuất khái niệm không gian kiểu mêtric, đây là một mở rộng
khái niệm không gian mêtric riêng. Sau đó, năm 2013, M. A. Alghamdi [2]
cùng các cộng sự đã xây dựng khái niệm không gian kiểu b-mêtric và chứng
minh một số kết quả về định lý điểm bất động trên lớp không gian này. Khái
niệm không gian kiểu b-mêtric là sự mở rộng khái niệm không gian kiểu mêtric
và không gian b-mêtric.
Một hướng nghiên cứu khác của các nhà toán học trong lĩnh vực lý thuyết
điểm bất động là tìm cách mở rộng các điều kiện co cho các ánh xạ. Chúng ta
đã biết từ thế kỷ trước một số điều kiện co tiêu biểu như Kannan, Boyd-Wong,
Meir-Keeler, Reich, Ciric, Berinde, Suzuki. . .
Với những lý do trên và để tập dượt với nghiên cứu khoa học cùng với tìm

hiểu về cấu trúc, tính chất của một số lớp không gian mêtric suy rộng như lớp
không gian mêtric riêng, lớp không gian kiểu mêtric, lớp không gian b-mêtric,
lớp khơng gian kiểu b-mêtric. . . Đồng thời tìm hiểu về các điều kiện co trong
các định lý điểm bất động cùng với các dạng suy rộng của nó trên các lớp


4

không gian kiểu b-mêtric, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của
mình là: “ Điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên không
gian kiểu b-mêtric và ứng dụng ”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận văn là thơng qua các tài liệu tìm hiểu và trình bày
một cách có hệ thống các khái niệm, tính chất và các phép chứng minh định
lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên lớp không gian kiểu
b-mêtric và các ứng dụng của chúng.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu là các không gian mêtric riêng, không gian kiểu
mêtric, không gian b-mêtric, không gian kiểu b-mêtric, định lý điểm bất động
cyclic Edelstein-Suzuki suy rộng và định lý điểm bất động kiểu F-co suy rộng.
Phạm vi nghiên cứu là các tính chất và mối quan giữa các đối tượng trên;
các không gian mêtric riêng,không gian kiểu mêtric, không gian b-mêtric,
không gian kiểu b-mêtric, định lý điểm bất động cyclic Edelstein-Suzuki suy
rộng và định lý điểm bất động kiểu F-co suy rộng và các ví dụ minh họa.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về ánh xạ cyclic, ánh xạ F-co và ánh xạ kiểu F-co.
Tìm hiểu các khái niệm, một số tính chất cơ bản, đặc trưng của một số
lớp không gian mêtric suy rộng như không gian mêtric riêng, không gian kiểu
mêtric, không gian b-mêtric, không gian kiểu b-mêtric.
Nghiên cứu về một số mở rộng của ánh xạ cyclic, ánh xạ kiểu F-co trên

các lớp khơng gian kiểu b-mêtric.
Tìm hiểu một số ứng dụng của định lý điểm bất động trên lớp các không
gian kiểu b-mêtric.


5

5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so
sánh và sử dụng các phương pháp suy luận của toán học.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Bố cục luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Không gian kiểu b-mêtric và định lý điểm bất động cho
ánh xạ Edelstein-Suzuki suy rộng.
Trong chương này, sau khi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ
bản của khơng gian kiểu b-mêtric, chúng tơi trình bày các kết quả về sự tồn
tại điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Edelstein-Suzuki suy rộng cùng với ứng
dụng của chúng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương
trình tích phân.
1.1. Khơng gian kiểu b-mêtric
Trình bày các khái niệm: mêtric riêng, kiểu mêtric, b-mêtric và kiểu bmêtric cùng sự hội tụ, dãy Cauchy, không gian đầy đủ. . . và một số tính chất
đặc trưng của lớp không gian kiểu b- mêtric.
1.2. Định lý điểm bất động cyclic Edelstein-Suzuki suy rộng
Trình bày chi tiết phép chứng minh định lý điểm bất động cyclic EdelsteinSuzuki suy rộng trên lớp các không gian kiểu b-mêtric.
1.3. Ứng dụng vào bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp
phương trình tích phân
Áp dụng định lý điểm bất động cyclic Edelstein-Suzuki suy rộng trong việc
chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến.
Chương 2: Định lý điểm bất động cho các ánh xạ kiểu F -co.

6

Trong chương này, sau khi trình bày một số khái niệm về ánh xạ kiểu F-co,
F-co suy rộng, chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại điểm bất động
cho ánh xạ co kiểu F-co suy rộng trong khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự
bộ phận.
2.1. Ánh xạ kiểu F-co
Trình bày các khái niệm về ánh xạ F-co, ánh xạ F-co yếu, ánh xạ F-g-co
yếu. . . trên lớp không gian kiểu b-mêtric.
2.2. Định lý điểm bất động kiểu F-co suy rộng
Trình bày chi tiết một số định lý điểm bất động cho các ánh xạ kiểu F-co
cùng các ví dụ minh họa trên lớp các khơng gian kiểu b-mêtric.


7

Chương 1

Không gian kiểu b-mêtric và định lý
điểm bất động cho ánh xạ
Edelstein-Suzuki suy rộng
Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho các ánh
xạ co kiểu Edelstein-Suzuki suy rộng trong không gian kiểu b-mêtric. Sau đó,
ứng dụng kết quả thu được vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một
lớp phương trình tích phân.
1.1

Khơng gian kiểu b-mêtric

Mục này trình bày một số khái niệm về không gian mêtric riêng, không gian
kiểu mêtric, khơng gian b-mêtric cùng các khái niệm, tính chất cơ bản của
không gian kiểu b-mêtric.
1.1.1 Định nghĩa. ([7]) Cho X là tập khác rỗng, ánh xạ p : X ×X → [0, +∞)
được gọi là mêtric riêng trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sau
được thỏa mãn:
1. x = y khi và chỉ khi p(x, x) = p(y, y) = p(x, y);
2. p(x, x) ≤ p(y, x);
3. p(x, y) = p(y, x);
4. p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) − p(y, y).
Khi đó, (X, p) được gọi là khơng gian mêtric riêng.


8

1.1.2 Định nghĩa. ([5]) Cho X là tập khác rỗng, ánh xạ p : X ×X → [0, +∞)
được gọi là kiểu mêtric trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sau
được thỏa mãn:
1. p(x, y) = 0 ⇒ x = y;
2. p(x, y) = p(y, x);
3. p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z).
Khi đó, (X, p) được gọi là khơng gian kiểu mêtric.
1.1.3 Nhận xét. 1) Rõ ràng một kiểu mêtric trong X thỏa mãn các điều
kiện của một mêtric ngoại trừ trường hợp p(x, y) có thể dương với x ∈ X.
2) Mỗi không gian mêtric riêng là không gian kiểu mêtric nhưng ngược lại
không đúng.
1.1.4 Định nghĩa. ([4]) Cho X là tập khác rỗng, ánh xạ D : X×X → [0, +∞)
được gọi là một b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X tồn tại hằng số K ≥ 1 sao
cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Nếu D(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2. D(x, y) = D(y, x);
3. D(x, y) ≤ K(D(x, z) + D(z, y)).
Khi đó, (X, D) được gọi là khơng gian b-mêtric.
1.1.5 Định nghĩa. ([2]) Cho X là tập khác rỗng, ánh xạ D : X×X → [0, +∞)
được gọi là một kiểu b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X tồn tại hằng số K ≥ 1
sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Nếu D(x, y) = 0 ⇒ x = y;
2. D(x, y) = D(y, x);
3. D(x, y) ≤ K(D(x, z) + D(z, y)).
Khi đó, (X, D) được gọi là khơng gian kiểu b-mêtric.
1.1.6 Ví dụ. 1) Lấy X = [0, ∞) và ánh xạ D : X × X → [0, ∞) được xác
định bởi
D(x, y) = (x + y)2 .


9

Khi đó, (X, D) là khơng gian kiểu b-mêtric với hằng số K=2. Thật vậy, ánh
xạ D thỏa mãn các điều kiện (1), (2) trong Định nghĩa 1.1.5. Ta kiểm tra
điều kiện (3), với mọi x, y, z ∈ X ta có
D(x, y) = (x + y)2
≤ (x + z + z + y)2
= (x + z)2 + (z + y)2 + 2(x + z)(z + y)
≤ 2[(x + z)2 + (z + y)2 ]
= 2[D(x, z) + D(z, y)].
Vậy (X, D) là không gian kiểu b-mêtric. Rõ ràng, (X, D) không là không
gian b-mêtric và không là không gian kiểu mêtric.
2) Cho X = ∅; Cb (X) = {f : X → R : supx∈X |f (x)| < +∞} và ánh xạ
D : Cb (X) × Cb (X) → [0, ∞) được xác định bởi
D(f, g) =

3

supx∈X (|f (x)| + |g(x)|)3 , ∀f, g ∈ Cb (X).

√
Khi đó, (Cb (X), D) là không gian kiểu b-mêtric với hằng số K = 3 4. Thật
vậy, ánh xạ D thỏa mãn các điều kiện (1), (2) trong Định nghĩa 1.1.5. Hơn
nữa, chú ý rằng√nếu a, b là hai số thực dương thì (a + b)3 ≤ 4(a3 + b3 ) và
√
√
3
a + b ≤ 3 a + 3 b, điều này kéo theo
√
3
D(f, g) ≤ 4(D(f, h) + D(h, g)), ∀f, g ∈ Cb (X).
Vậy, điều kiện (3) trong Định nghĩa 1.1.5 được thỏa mãn.
1.1.7 Định nghĩa. ([2]) Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric.
1. Với x ∈ X và r > 0, tập
B(x, r) = {y ∈ X : |D(x, y) − D(x, x)| < r}
được gọi là hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0.
2. Cho {xn } là dãy các điểm của X. Điểm x ∈ X được gọi là giới hạn của
dãy {xn } nếu lim D(x, xn ) = D(x, x). Khi đó, ta nói dãy {xn } hội tụ về
n→∞

x và ký hiệu xn → x khi n → ∞
1.1.8 Định nghĩa. ([2]) Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric.


10

1. Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu

lim D(xn , xm ) tồn

n,m→∞

tại và hữu hạn;
2. Không gian kiểu b-mêtric (X, D) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
{xn } ⊂ X hội tụ về x ∈ X sao cho
lim D(xm , xn ) = D(x, x) = lim D(xn , x).

n,m→∞

n→∞

1.1.9 Mệnh đề. ([2]) Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric và dãy {xn } ⊂
X thỏa mãn lim D(xn , x) = 0. Khi đó,
n→∞

1. x là duy nhất;
2.

1
K D(x, y)

≤ lim D(xn , y) ≤ KD(x, y), với mọi y ∈ X.
n→∞

Chứng minh: (1) Giả sử tồn tại y ∈ X sao cho lim D(xn , y) = 0, khi đó

n→∞

0 ≤ D(y, x) ≤ K( lim D(xn , y) + lim D(xn , x)) = 0.
n→∞

n→∞

Do đó, ta có y = x.
(2) Từ tính chất (3) trong Định nghĩa 1.1.5 ta có
1
D(x, y) − lim D(xn , x) ≤ lim D(xn , y) ≤ K(D(x, y) + lim D(xn , x)).
n→∞
n→∞
n→∞
K
Điều này kéo theo
1
D(x, y) ≤ lim D(xn , y) ≤ KD(x, y), ∀y ∈ X.
n→∞
K
1.1.10 Định nghĩa. ([2]) Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric và U ⊂ X.
Ta nói U là tập con mở của X nếu với mọi x ∈ U tồn tại r > 0 sao cho
B(x, r) ⊆ U . Ngoài ra, V ⊆ X được gọi là tập con đóng của X nếu X\V là
tập con mở của X.
1.1.11 Mệnh đề. ([2]) Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric và V là tập
con của X. Khi đó, V đóng nếu và chỉ nếu mọi dãy {xn } trong V hội tụ về
x, ta có x ∈ V .
Chứng minh: Giả sử V đóng. Lấy x ∈
/ V . Theo định nghĩa 1.1.10, X\V là
tập mở, nên tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ⊆ X\V . Mặt khác, nếu xn → x khi

n → ∞ thì
lim |D(xn , x) − D(x, x)| = 0.
n→∞


11

Vì thế, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 , ta có
|D(xn , x) − D(x, x)| ≤ r.
Điều này kéo theo với mọi n ≥ n0 , dãy {xn } ⊆ B(x, r) ⊆ X\V , mâu thuẫn
với giả thiết với mọi n ∈ N, dãy {xn } ⊆ V .
Ngược lại, lấy bất kỳ dãy {xn } trong V và giả sử {xn } hội tụ về x, ta có
x ∈ V . Lấy y ∈
/ V , ta chứng minh rằng tồn tại r0 > 0 sao cho B(y, r0 )∩V = ∅.
Giả sử ngược lại, với mọi r > 0 ta có B(y, r) ∩ V = ∅. Khi đó ta có ∀n ∈ N,
chọn xn ∈ B(y, n1 ) ∩ V = ∅. Vậy, |D(xn , y) − D(y, y)| ≤ n1 với mọi n ∈ N. Do
vậy, xn → y khi n → ∞. Suy ra y ∈ V , điều này mâu thuẫn với giả thiết
y∈
/ V . Từ đó, với mọi y ∈
/ V tồn tại r0 > 0 sao cho B(y, r0 ) ∩ V = ∅. Tức là,
V đóng.
1.1.12 Nhận xét. ([2]) Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric và dãy {xk }
với k = 0, 1, ..n trong X. Khi đó:
1. D(xn , x0 ) KD(x0 , x1 ) + ... + K n−1 D(xn−2 , xn−1 ) + K n D(xn−1 , xn );
2. Nếu dãy {yn } trong X sao cho D(yn , yn+1 ) λD(yn , yn−1 ) với mọi n ∈ N
và λ thỏa mãn 0 < λ < 1/K. Khi đó, lim D(yn , ym ) = 0.
n,m→∞

1.2

Định lý điểm bất động cho ánh xạ Edelstein-Suzuki suy rộng

Trong mục này, chúng tơi trình bày định lý điểm bất động cho ánh xạ cyclic
Edelstein-Suzuki suy rộng cùng các hệ quả của nó.
1.2.1 Định lí. ([2]) Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, {Aj }m
i=1
m
là họ các tập con đóng khác rỗng của X sao cho Y = i=1 Aj . Giả sử ánh xạ
T : Y → Y thỏa mãn
T (Aj ) ⊆ Aj+1 , j = 1, 2, ..., m, trong đó Am+1 = A1 ,

(1.1)

và
1
D(x, T x) ≤ D(x, y)
2K
α(K + 1)
⇒ D(T x, T y) ≤
D(x, y) + β[D(x, T x) + D(y, T y)]
K
D(x, T y) + D(y, T x)
D(x, x) + D(y, y)
+ γ[
] + δ[
],
3K
4K

(1.2)

12

với mọi x ∈ Aj và y ∈ Aj+1 , khi α, β, γ, δ ≥ 0 và α + β + γ + δ <
đó, T có điểm bất động trong

m
i=1 Aj .

1
. Khi
K +1

Chứng minh: Giả sử x0 ∈ A1 , ta xây dựng dãy {xn } như sau:
xn = T xn−1 , n = 1, 2, 3, ....

(1.3)

Ta có x0 ∈ A1 , x1 = T x0 ∈ A2 , x2 = T x1 ∈ A3 , ... Nếu xn0 +1 = xn0 với n0 ∈ N
thì rõ ràng xn0 là điểm bất động của ánh xạ T. Do đó, ta có thể giả sử
xn = xn+1 với mọi n ∈ N. Rõ ràng,
1
D(xn−1 , T xn−1 ) ≤ D(xn−1 , xn )
2K
Từ (1.2) ta có
α(K + 1)
D(xn−1 , xn ) + β[D(xn−1 , T xn−1 ) + D(xn , T xn )]
K
D(xn−1 , T xn ) + D(xn , T xn−1 )

D(xn−1 , xn−1 ) + D(xn , xn )
+ γ[
] + δ[
],
3K
4K

D(T xn−1 , T xn ) ≤

điều này kéo theo
α(K + 1)
D(xn−1 , xn ) + β[D(xn−1 , xn ) + D(xn , xn+1 )]
K
D(xn−1 , xn+1 ) + D(xn , xn )
D(xn−1 , xn−1 ) + D(xn , xn )
+ γ[
] + δ[
]
3K
4K
(1.4)

D(xn , xn+1 ) ≤

Từ tiên đề 3 trong Định nghĩa 1.1.5 ta có:
D(xn−1 , xn+1 ) ≤ K(D(xn , xn−1 ) + D(xn , xn+1 ))
và
D(xn , xn ) ≤ 2KD(xn , xn+1 ) ≤ 2K(D(xn , xn−1 ) + D(xn , xn+1 ));
kéo theo
D(xn−1 , xn+1 ) + D(xn , xn )

≤ K(D(xn , xn−1 ) + D(xn , xn+1 )).
3K

(1.5)


13

Hơn nữa
D(xn−1 , xn−1 ) ≤ 2KD(xn , xn−1 ) ≤ 2K(D(xn , xn−1 ) + D(xn , xn+1 )),
nên ta có
D(xn−1 , xn−1 ) + D(xn , xn )
≤ K(D(xn , xn−1 ) + D(xn , xn+1 )).
4K

(1.6)

Từ (1.4),(1.5) và (1.6) ta thu được
D(xn , xn+1 ) ≤

α(K + 1)
D(xn−1 , xn ) + (β + γ + δ)(D(xn , xn−1 ) + D(xn , xn+1 )),
K

suy ra D(xn , xn+1 ) ≤ h(D(xn , xn−1 ) trong đó
α(K + 1)
+ β + γ + δ]
K
h=
.

1 − (β + γ + δ)
[

Bây giờ, vì (K + 1)(α + β + γ + δ) < 1 nên
α

1
1
(K + 1)
+ β + γ + δ + (β + γ + δ) < .
K
K
K

α

(K + 1)
1
+ β + γ + δ < [1 − (β + γ + δ)].
K
K

Suy ra

Từ Nhận xét 1.1.12 ta có lim D(xn , xm ) = 0. Do đó, dãy {xn } là dãy Cauchy.
n,m→∞

Vì (X, D) là một không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, nên dãy {xn } hội tụ về
z ∈ X sao cho
lim D(xn , z) = D(z, z) = lim D(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

n,m→∞

∞
Dễ thấy rằng z = m
i=1 Aj . Vì x0 ∈ A1 , nên dãy con {xm(n−1) }n ∈ A1 , dãy
∞
con {xm(n−1)+1 }∞
n ∈ A2 và cứ tiếp tục như vậy dãy con {xmn−1 }n ∈ Am . Tất
cả m dãy con đều hội tụ trong các tập đóng Aj . Do đó chúng cùng hội tụ đến
cùng một giới hạn z = m
i=1 Aj . Bây giờ, giả sử tồn tại n0 ∈ N sao cho các
bất đẳng thức sau thỏa mãn


14

1
1
D(xn0 , xn0 +1 ) > D(xn0 , z) và
D(xn0 +1 , xn0 +2 ) > D(xn0 +1 , z). Khi đó,
2K
2K
D(xn0 , xn0 +1 ) ≤ K(D(xn0 , z) + D(T xn0 , z))
1
1
< D(xn0 , xn0 +1 ) + D(xn0 +1 , xn0 +2 )
2

2
1
1
< D(xn0 , xn0 +1 ) + D(xn0 , xn0 +1 ) = D(xn0 , xn0 +1 ).
2
2
Ta gặp mâu thuẫn. Vì vậy, với mọi n ∈ N ta có:
1
1
D(xn , xn+1 ) > D(xn , z) hoặc
D(xn+1 , xn+2 ) > D(xn+1 , z). Từ (1.2)
2K
2K
ta có
α(K + 1)
D(xn , z) + β(D(xn , xn+1 ) + D(z, T z))
K
D(xn , T z) + D(z, xn+1 )
D(xn , xn ) + D(z, z)
+ γ(
) + δ(
),
3K
4K

D(xn , T z) ≤

(1.7)

hoặc

α(K + 1)
D(xn+1 , z) + β(D(xn+1 , xn+2 ) + D(z, T z))
K
D(xn+1 , T z) + D(z, xn+2 )
D(xn+1 , xn+1 ) + D(z, z)
+ γ(
) + δ(
).
3K
4K
(1.8)

D(xn+1 , T z) ≤

Bây giờ, giả sử (1.7) xảy ra, bằng cách lấy giới hạn n → ∞ của (1.7) ta thu
được
γ
lim D(xn+1 , T z) ≤ β(D(z, T z) +
lim D(xn , T z),
n→∞
3K n→∞
và do đó từ Mệnh đề (1.1.9) ta có
1
γ
D(z, T z) ≤ β(D(z, T z) + D(z, T z)).
K
3
Vậy
(

1
γ
− β − )D(z, T z) ≤ 0.
K
3


15

1
γ
1
< . Khi đó , β + ≤
Mặt khác, α, β, γ, δ ≥ 0 và α + β + γ + δ <
K +1
K
3
1
γ
1
− β − > 0. Do đó, D(z, T z) = 0 hay z = T z. Nếu
β + γ < . Tức là,
K
K
3
xảy ra trường hợp (1.8) bằng phương pháp chứng minh tương tự, ta có thể
kết luận z = T z.
Trong Định lý 1.2.1 bằng cách lấy Ai = X với mọi m ta thu được được hệ
quả sau:
1.2.2 Hệ quả. ([2])

Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ và ánh xạ T : X → X. Giả
sử
1
D(x, T x) ≤ D(x, y)
2K
α(K + 1)
D(x, y) + β[D(x, T x) + D(y, T y)]
⇒ D(T x, T y) ≤
K
D(x, T y) + D(y, T x)
D(x, x) + D(y, y)
+ γ(
) + δ(
)
(1.9)
3K
4K
1
với mọi x, y ∈ X, thỏa mãn α, β, γ, δ ≥ 0 và α + β + γ + δ <
. Khi đó,
K +1
T có điểm bất động trên X.
α(K + 1)
γ
δ
Nếu trong Định lý 1.2.1 ta lấy
=β=
=
= R thì chúng
K

3K
4K
ta thu được hệ quả sau:
1.2.3 Hệ quả. ([2])
Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ và {Aj }m
i=1 là họ các tập
m
con đóng khác rỗng con của X với Y = i=1 Aj . Lấy ánh xạ T : Y → Y thỏa
mãn
T (Aj ) ⊆ Aj+1 , j = 1, 2, ..., m, trong đó Am+1 = A1 .

(1.10)

Giả sử
1
D(x, T x) ≤ D(x, y)
2K
⇒ D(T x, T y) ≤ R[D(x, y) + D(x, T x) + D(y, T y) + D(x, T y)
+ D(y, T x) + D(x, x) + D(y, y)]
(1.11)


16

với mọi x ∈ Ai và y ∈ Ai+1 , trong đó 0 ≤ R <
đó, T có điểm bất động trong

1
. Khi
(K + 1)(7K + 1) + K

m
i=1 Aj .

Nếu trong Hệ quả 1.2.2 ta chọn

γ
δ
α(K + 1)
=β=
=
= R thì chúng
K
3K
4K

ta thu được hệ quả sau:
1.2.4 Hệ quả. ([2]) Cho (X, D) là không gian kiểu b-mêtric và ánh xạ T :
X → X. Giả sử
1
D(x, T x) ≤ D(x, y)
2K
⇒ D(T x, T y) ≤ R[D(x, y) + D(x, T x) + D(y, T y) + D(x, T y)
+ D(y, T x) + D(x, x) + D(y, y)]
(1.12)
với mọi x ∈ Ai và y ∈ Ai+1 , trong đó 0 ≤ R <

1
. Khi
(K + 1)(7K + 1) + K

đó, T có điểm bất động trên X.
1.3

Ứng dụng vào bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của một
lớp phương trình tích phân

Trong mục này, bằng cách áp dụng kết quả thu được ở mục 1.2, chúng tôi
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến.
Xét phương trình tích phân sau:
T

G(t, s)f (s, u(s))ds, ∀t ∈ [0, T ],

u(t) =

(1.13)

0

trong đó T > 0, f : [0, T ] × R → R và G : [0, T ] × [0, T ] → [0, ∞) là các hàm
thực liên tục.
Ký hiệu X = C([0, T ]) là tập các hàm thực liên tục trên [0, T ], ta trang bị
trên X một kiểu b-mêtric cho bởi
D∞ (u, v) = sup (|u(t)| + |v(t)|)2 , ∀u, v ∈ X.
t∈[0,T ]

Rõ ràng, (X, D∞ ) là một không gian kiểu b-mêtric đầy đủ với K = 2.

17

Lấy (α, β) ∈ X 2 , (α0 , β0 ) ∈ R2 sao cho
α0 ≤ α(t) ≤ β(t) ≤ β0 , ∀t ∈ [0, T ]

(1.14)

Giả sử với mọi t ∈ [0, T ], ta có:
T

α(t) ≤

G(t, s)f (s, β(s))ds

(1.15)

G(t, s)f (s, α(s))ds.

(1.16)

0

và
T

β(t) ≥
0

Đồng thời, giả sử với mọi s ∈ [0, T ], hàm f (s, .) là hàm giảm, tức là:
x, y ∈ R x ≥ y ⇒ f (s, x) ≤ f (s, y).

(1.17)

Với giả thiết
T

G(t, s)ds ≤ 1

sup
t∈[0,T ]

(1.18)

0

cùng với mọi s ∈ [0, T ], mọi x, y ∈ C([0, T ]) thỏa mãn x(t) ≤ β0 và y(t) ≥ α0
hoặc x(t) ≥ α0 và y(t) ≤ β0 với mọi t ∈ [0, T ] ta có:
3α
(x(t) + y(t))2 + β[(x(t) + T x(t))2 + (y(t) + T y(t))2 ]
2
(x(t) + T y(t))2 + (y(t) + T x(t))2
(2x(t))2 + (2y(t))2
+ γ[
] + δ[
]
6
8
(1.19)

|f (s, x(t))| + |f (s, y(t)| ≤

trong đó ánh xạ T : X → X được xác định bởi:
T

G(t, s)f (s, u(s))ds, ∀t ∈ [0, T ].

T u(t) =
0

1.3.1 Định lí. ([2]) Giả sử các giả thiết (1.14)-(1.19) được thỏa mãn. Khi đó
phương trình tích phân (1.13) có nghiệm {u ∈ C([0, T ]) : α ≤ u(t) ≤ β, ∀t ∈
[0, T ]}.


18

Chứng minh. Các tập con đóng A1 , A2 của X được xác định bởi
A1 = {u ∈ X : u ≤ β}
và
A2 = {u ∈ X : u ≥ α}.
Ta cần chứng minh
T (A1 ) ⊆ A2 và T (A2 ) ⊆ A1 .

(1.20)

Giả sử u ∈ A1 , tức là
u(s) ≤ β(s) ∀s ∈ [0, T ].
Từ giả thiết (1.17), vì G(t, s) ≥ 0 ∀t, s ∈ [0, T ] nên ta có
G(t, s)f (s, u(s))ds ≥ G(t, s)f (s, β(s))ds ∀t ∈ [0, T ].
Sử dụng giả thiết (1.15) trong bất đẳng thức trên ta suy ra

T

T

G(t, s)f (s, β(s))ds ≥ α(t) ∀t ∈ [0, T ].

G(t, s)f (s, u(s))ds ≥
0

0

Do đó T u ∈ A2 .
Tương tự, lấy u ∈ A2 , tức là
u(s) ≥ α(s) ∀s ∈ [0, T ].
Từ giả thiết (1.17), vì G(t, s) ≥ 0 ∀t, s ∈ [0, T ] nên ta có
G(t, s)f (s, u(s))ds ≤ G(t, s)f (s, α(s))ds ∀t, s ∈ [0, T ].
Sử dụng giả thiết (1.16) trong bất đẳng thức trên ta suy ra
T

T

G(t, s)f (s, u(s))ds ≤
0

G(t, s)f (s, α(s))ds ≤ β(t) ∀t ∈ [0, T ].
0

Do đó T u ∈ A1 . Vậy, (1.20) được thỏa mãn.
Bây giờ, lấy (u, v) ∈ A1 × A2 , tức là với mọi t ∈ [0, T ],

19

u(t) ≤ β(t), v(t) ≥ α(t).
Từ giả thiết (1.14) với mọi t ∈ [0, T ] ta có
u(t) ≤ β0 , v(t) ≥ α0 .
Bây giờ, từ giả thiết (1.18) và (1.19) với mọi t ∈ [0, T ] ta có
T
2

(|T x(t)| + |T y(t)|) = (|

T

0

0

T

≤(

G(t, s)f (s, y(s))ds|)2

G(t, s)f (s, x(s))ds| + |
T

G(t, s)|f (s, y(s))|ds)2

G(t, s)|f (s, x(s))|ds +

0

0
T

G(t, s)(|f (s, x(s))| + |f (s, y(s))|)ds)2

=(
0
T

3α
(x(t) + y(t))2 + β((x(t) + T x(t))2 + (y(t) + T y(t))2 )
2
0
(x(t) + T y(t))2 + (y(t) + T x(t))2
(2x(t))2 + (2y(t))2 1 2
+ γ(
) + δ(
)) 2 ds)
6
8
T
3α
≤(
G(t, s)( (|x(t)| + |y(t)|)2 + β((|x(t)| + |T x(t)|)2 + (|y(t)| + |T y(t)|)2 )
2
0
(|x(t)| + |T y(t)|)2 + (|y(t)| + |T x(t)|)2
(2|x(t)|)2 + (2|y(t)|)2 1 2

+ γ(
) + δ(
)) 2 ds)
6
8
T
3α
≤(
G(t, s)( D∞ (x, y) + β(D∞ (x, T x) + D∞ (y, T y))
2
0
D∞ (x, T y) + D∞ (y, T x)
D∞ (x, x) + D∞ (y, y) 1 2
+ γ(
) + δ(
)) 2 ds)
6
8
3α
=
D∞ (x, y) + β(D∞ (x, T x) + D∞ (y, T y))
2
D∞ (x, x) + D∞ (y, y)
D∞ (x, T y) + D∞ (y, T x)
) + δ(
))
+ γ(
6
8
≤(

G(t, s)(

T

G(t, s)ds)2

×(
0

3α
≤
D∞ (x, y) + β(D∞ (x, T x) + D∞ (y, T y))
2
D∞ (x, T y) + D∞ (y, T x)
D∞ (x, x) + D∞ (y, y)
+ γ(
) + δ(
))
6
8


20

Điều này kéo theo
D∞ (T x, T y) ≤

3α
D∞ (x, y) + β(D∞ (x, T x) + D∞ (y, T y))

2
D∞ (x, x) + D∞ (y, y)
D∞ (x, T y) + D∞ (y, T x)
) + δ(
)).
+ γ(
6
8

Bằng phép chứng minh tương tự, ta có chứng tỏ các bất đẳng thức trên
vẫn đúng nếu (u, v) ∈ A2 × A1 .
Bây giờ, tất cả các điều kiện của định lý 1.3.1 thỏa mãn và do đó T có
điểm bất động z ∗ trong
A1

A2 = {u ∈ C([0, T ]) : α ≤ u(t) ≤ β, ∀t ∈ [0, T ]}.

Có nghĩa là, z ∗ ∈ A1

A2 là nghiệm của phương trình (1.13).


21

Chương 2

Định lý điểm bất động cho các ánh xạ
kiểu F-co
Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho các
ánh xạ kiểu F -co suy rộng trong khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự.

2.1

Ánh xạ kiểu F-co

Mục này trình bày một số khái niệm về ánh xạ F -co, F -co yếu, F -g-co yếu
và F -g-co yếu suy rộng.
Khái niệm F -co được giới thiệu bởi Wardowski trong tài liệu [9]. Chúng ta
ký hiệu:
F = {f : R+ → R} là tập hợp các hàm thỏa mãn các điều kiện (F 1) − (F 3) :
(F 1) F là hàm tăng, tức là ∀α, β ∈ R+ sao cho α < β ta có F (α) < F (β);
(F 2) Với {αn } là dãy số thực dương bất kỳ điều kiện sau được thỏa mãn
lim αn = 0 khi và chỉ khi lim F (αn ) = −∞;

n→∞

n→∞

(F 3) Tồn tại k ∈ (0, 1) sao cho lim+ αk F (α) = 0.
α→0

+

}

F = {F : R → R là tập hợp các hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
(F1 ) F là hàm tăng, tức là ∀α, β ∈ R+ sao cho α < β ta có F (α) < F (β);
(F2 ) Với {αn } là dãy số thực dương bất kỳ điều kiện sau được thỏa mãn

lim αn = 0 khi và chỉ khi lim F (αn ) = −∞;

n→∞

(F3 ) F liên tục.

n→∞


22

2.1.1 Định nghĩa. ([3]) Cho (X,d) là không gian mêtric. Ánh xạ T : X → X
được gọi là F-co nếu tồn tại F ∈ F và τ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d(T x, T y) > 0 ⇒ τ + F (d(T x, T y)) ≤ F (d(x, y)).
2.1.2 Định nghĩa. ([3]) Cho (X,d) là không gian mêtric. Ánh xạ T : X → X
được gọi là F-co yếu nếu tồn tại τ > 0 và F ∈ F sao cho d(T x, T y) > 0 ⇒
d(x, T x) + d(y, T y)
})
τ + F (d(T x, T y)) ≤ F (max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y),
2
với mọi x, y ∈ X.
2.1.3 Định nghĩa. ([3]) 1) Cho (X, ) là tập có thứ tự bộ phận và x, y ∈ X.
Nếu x y hoặc y x thì x và y được gọi là so sánh được với nhau. Khi đó
ta ký hiệu x y.
2)Cho (X, ) là tập có thứ tự bộ phận và g : X → X. Tập con A của X
được gọi là sắp thứ tự tốt nếu x y với mọi x, y ∈ A. Nếu gx gy với mọi
x, y ∈ A thì A được gọi là g sắp thứ tự tốt.
2.1.4 Định nghĩa. ([3]) Cho (X, σ, ) là tập có thứ tự bộ phận trong không
gian kiểu mêtric, f, g : X → X. Nếu tồn tại τ > 0 và F ∈ F sao cho
σ(f x, f y) > 0 ⇒ τ +F (σ(f x, f y)) ≤ F (max{σ(gx, gy), σ(gx, f x), σ(gy, f y)})
với mọi x, y ∈ X thỏa mãn gx gy thì ánh xạ f được gọi là F -g-co yếu có
thứ tự.

2.1.5 Định nghĩa. ([3]) Cho (X, σ, ) là khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự
bộ phận trên X, σ là kiểu b-mêtric trên X và các hàm f, g : X → X. Giả sử
tồn tại τ > 0 và F ∈ F sao cho: σ(f x, f y) > 0 ⇒ τ + F (K 2 σ(f x, f y))
≤ F (max{σ(gx, gy), σ(gx, f x), σ(gy, f y),
với mọi x, y ∈ X thỏa mãn gx
suy rộng có thứ tự loại (A).

σ(gx, f y) + σ(gy, f x)
})
4K

(2.1)

gy. Khi đó, ánh xạ f được gọi là F -g-co yếu

2.1.6 Định nghĩa. ([3]) Cho X là tập khác rỗng, f, g : X → X và C(f, g) =
{x ∈ X : f x = gx}. Cặp f và g được gọi là tương thích yếu nếu f gx = gf x
với mọi x ∈ C(f, g). Nếu w = f x = gx với x ∈ X thì x được gọi là điểm
chung của f và g.
2.1.7 Bổ đề. ([3]) Cho (X, σ, ) là khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự bộ
phận và các ánh xạ f, g : X → X, sao cho f là F -g-co yếu suy rộng có thứ
tự loại (A). Nếu v ∈ X là điểm chung của f và g thì σ(v, v) = 0.


23

Chứng minh. Giả sử v ∈ X là điểm chung của f và g. Khi đó, tồn tại u ∈ X
sao cho f u = gu = v. Bây giờ, ta chứng minh σ(v, v) = 0. Giả sử σ(v, v) > 0,
từ giả thiết f là F -g-co yếu suy rộng có thứ tự loại (A) ta có
τ + F (K 2 σ(v, v)) = τ + F (K 2 σ(f u, f u))

σ(gu, f u) + σ(gu, f u)
})
4K
σ(v, v) + σ(v, v)
= F (max{σ(v, v), σ(v, v), σ(v, v),
})
4K
= F (σ(v, v))

≤ F (max{σ(gu, gu), σ(gu, f u), σ(gu, f u),

cùng với tính chất F1 ta có K 2 σ(v, v) < σ(v, v). Điều này mâu thuẫn với
K ≥ 1. Vì vậy, σ(v, v) = 0.

2.2

Định lý điểm bất động cho các ánh xạ kiểu F-co suy rộng

Mục này trình bày một số kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ kiểu F -co
suy rộng trên khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự bộ phận.
2.2.1 Định lí. ([3]) Cho (X, σ, ) là khơng gian kiểu b-mêtric có thứ tự bộ
phận, các ánh xạ f, g : X → X sao cho f là F -g-co yếu có thứ tự suy rộng
loại (A) thỏa mãn f (X) ⊆ g(X) và g(X) đầy đủ. Giả sử các điều kiện sau
đây thỏa mãn:
( i ) fx

f y với mọi x, y ∈ X sao cho gx

( ii ) tồn tại x0 ∈ X sao cho gx0

gy;

f x0 ;

( iii ) nếu dãy {xn } trong (X, σ) hội tụ về x ∈ X và {xn : n ∈ N} sắp thứ
tự tốt thì xn x với n đủ lớn.
Khi đó, f và g có một điểm chung v ∈ X và σ(v, v) = 0. Hơn nữa, nếu tập
các điểm chung của f và g là g sắp thứ tự tốt thì f và g có một điểm chung
duy nhất. Ngoài ra, nếu f và g tương thích yếu, thì f và g có một điểm bất
động chung duy nhất.
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X, và f (X) ⊆ g(X), ta xây dựng dãy {yn } như
sau: yn = gxn = f xn−1 với n ∈ N+ . Vì gx0 f x0 = gx1 nên gx0 f x0 = gx1