Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn

Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô * yếu . . . . . . 5
1.2 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Một số tính chất hình học của không gian Banach . . . . 7
1.4 Bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev . . . . . . . . . . 9
1.5 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . 12
1.6 Nửa nhóm ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm
cận trong không gian CAT(0) 21
2.1 Không gian CAT(0) và các tính chất cơ bản . . . . . . . 21
2.2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận
trong không gian CAT(0) đầy đủ . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Tính chất điểm bất động của tập L-nhúng 34
3.1 Tập L-nhúng và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Các định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
2
Lời nói đầu
Lý thuyết điểm bất động được hình thành theo hai hướng nghiên cứu
chính: điểm bất động của ánh xạ dạng co (khởi đầu là nguyên lý ánh
xạ co Banach (1922)) và điểm bất động của ánh xạ dạng liên tục (khởi
đầu là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912)). Luận văn đề cập một
phần theo hướng nghiên cứu thứ nhất.
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ dạng co được xem xét dưới ba
loại ánh xạ chính: ánh xạ co, ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều.
Phải sau hơn bốn thập kỷ (đến năm 1965), kết quả khởi đầu sự tồn tại

điểm bất động cho ánh xạ không giãn mới xuất hiện và nó đòi hỏi cấu
trúc hình học của không gian Banach. Từ đây rất nhiều nhà toán học
quan tâm mở rộng các kết quả này và đạt được rất nhiều kết quả có ý
nghĩa. Một trong những hướng mở rộng là tìm điểm bất động chung cho
nửa nhóm ánh xạ trên các lớp không gian có cấu trúc đơn giản hơn.
Dựa trên hai bài báo chính [7,12], khóa luận đề cập đến nội dung
nghiên cứu trên với tiêu đề của đề tài:
"Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn"
Khoá luận gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức của giải tích
cần thiết cho chương 2 và 3.
Chương 2: Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận
trong không gian CAT(0).
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu nửa nhóm ánh xạ không giãn
tiệm cận và không gian trắc địa CAT(0), các định lý về sự tồn tại điểm
3
bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận. Ngoài ra,
khóa luận còn đề cập đến sự hội tụ của dãy lặp đến điểm bất động chung
này.
Chương 3: Tính chất điểm bất động của tập L-nhúng.
Ở đây, chúng tôi giới thiệu tập L-nhúng và tính chất, các định lý về tính
chất điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ không giãn trên tập
này.
Qua bản khoá luận này, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo
khoa Toán-Tin, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội nói chung và các thầy
cô giáo ở bộ môn Toán Giải Tích nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt em
trong những năm học vừa qua. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến TS.Lê Anh Dũng, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp
đỡ em trong suốt quá trình làm khoá luận. Em xin cảm ơn gia đình, bạn

bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ em
để em có thể hoàn thành khoá luận của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn
chế nên bản khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Em
rất mong các thầy cô và các bạn học viên nhận xét, đóng góp ý kiến để
bản khoá luận này được hoàn thiện và phát triển hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 06 năm 2013
4
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày về không gian đối ngẫu, tôpô yếu
và tôpô * yếu; không gian lồi địa phương; một số tính chất hình học của
không gian Banach; bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev, nửa nhóm
ánh xạ và điểm bất động của ánh xạ không giãn.
1.1 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô * yếu
Giả sử E, F là hai không gian tuyến tính định chuẩn và L(E, F ) là không
gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào F . Chuẩn ∥ A ∥ của toán
tử A ∈ L(E, F) được cho bởi
∥ A ∥= inf { M :∥ Ax ∥≤ M ∥ x ∥, ∀x ∈ E}
= sup { ∥ Ax ∥: x ∈ E, ∥ x ∥≤ 1}
= sup { ∥ Ax ∥: x ∈ E, ∥ x ∥= 1}
= sup { ∥ Ax ∥ / ∥ x ∥: x ∈ E, x ̸= θ}
Nếu F là không gian Banach thì L(E, F ) với chuẩn xác định như trên
cũng là một không gian Banach. Ký hiệu K = C hoặc R.
Định nghĩa 1.1.1. Ta kí hiệu E
∗
= L(E, K) và gọi là không gian đối
5
ngẫu (hay liên hợp) của E. Các phần tử x

∗
của E
∗
là những phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên E.
Không gian E
∗∗
= L(E
∗
, K) được gọi là không gian đối ngẫu (liên
hợp) thứ hai của E. Bởi phép nhúng chính tắc, ta có thể coi E ⊂ E
∗∗
.
Vì K là không gian Banach nên E
∗
và E
∗∗
đều là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.2. Ta gọi tôpô yếu trên E là tôpô yếu nhất trên E sao
cho mọi x
∗
∈ E
∗
đều liên tục và kí hiệu là σ(E, E
∗
).
Định nghĩa 1.1.3. Dãy {x
n
} ⊂ E được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ E
nếu dãy {x

n
} hội tụ đến x đối với tôpô yếu σ(E, E
∗
). Kí hiệu x
n
wk
→
x.
Định nghĩa 1.1.4. Ta gọi tôpô * yếu trên E
∗
là tôpô yếu nhất trên E
∗
sao cho mọi x ∈ E ⊂ E
∗∗
đều liên tục và kí hiệu là σ(E
∗
, E).
Sau đây ta sẽ nêu một số tính chất cơ bản và quen biết của tôpô yếu
và tôpô * yếu.
Định lý 1.1.5. Dãy {x
n
} hội tụ yếu đến x khi và chỉ khi
lim
n→∞
x
∗
(x
n
) = x
∗

(x), ∀x
∗
∈ E
∗
.
Định lý 1.1.6. Tập con lồi K của không gian tuyến tính định chuẩn E
là đóng khi và chỉ khi nó đóng yếu.
Định lý 1.1.7. (Alaoglu) Hình cầu đơn vị đóng B[θ, 1] trong không gian
đối ngẫu E
∗
là tập compact đối với tôpô * yếu.
1.2 Không gian lồi địa phương
Mệnh đề 1.2.1. Trong không gian vectơ tôpô E nếu U là lân cận của
điểm gốc thì
6
i) U là tập hút,
ii) Tồn tại lân cận V của điểm gốc sao cho V + V ⊆ U,
iii) Tồn tại lân cận cân W của điểm gốc sao cho W ⊆ U.
Định nghĩa 1.2.2. Một không gian vectơ tôpô E được gọi là một không
gian lồi địa phương nếu điểm gốc có một cơ sở lân cận thành lập từ các
tập lồi.
Định nghĩa 1.2.3. Cho E là không gian lồi địa phương tách với tôpô
được xác định bởi họ nửa chuẩn Q trên E. Tập con C của E được gọi là
có cấu trúc Q - chuẩn tắc nếu với mỗi tập Q - bị chặn H của C chứa
nhiều hơn một điểm, tồn tại x
0
∈ coH và p ∈ Q sao cho
sup {p(x − x
0
) : x ∈ H} < sup {p(x − y) : x, y ∈ H}

trong đó coH = co(H): bao lồi của H.
Bởi tính Q - bị chặn của H, ta có: với mỗi p ∈ Q, tồn tại d > 0 sao cho
p(x) ≤ d, ∀x ∈ H. Mọi tập con lồi Q - compact có cấu trúc chuẩn tắc.
Trong không gian Banach lồi đều (ví dụ: không gian L
p
với 1 < p < ∞),
tập lồi bị chặn luôn có cấu trúc chuẩn tắc.
1.3 Một số tính chất hình học của không gian Ba-
nach
Định nghĩa 1.3.1. Không gian Banach (X, ∥.∥) được gọi là lồi chặt
nếu: ∀x, y ∈ X
7
∥x∥ ≤ 1
∥y∥ ≤ 1
∥x − y∥ > 0









⇒


x+y
2



< 1.
Định nghĩa 1.3.2. Không gian Banach (X, ∥.∥) được gọi là lồi đều nếu
với mọi ϵ > 0, tồn tại δ (ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X, ∥x∥ ≤ 1,
∥y∥ ≤ 1, ∥x − y∥ ≥ ϵ ta có


x+y
2


≤ 1 − δ (ε) .
Ví dụ 1.3.3. - Không gian R
2
với chuẩn ∥x∥
2
=

x
2
1
+ x
2
2
là không gian
lồi đều.
- Không gian R
2
với chuẩn ∥x∥
1

= |x
1
| + |x
2
| và ∥x∥
∞
= max (|x
1
| , |x
2
|)
là các không gian không lồi đều (ở đây x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
).
- Các không gian l
p
và L
p
[a, b] với 1 < p < ∞ là lồi đều, còn p = 1 và
p = ∞ là không lồi đều.
- Mọi không gian Hilbert là lồi đều.
- Không gian C[a, b] là không lồi đều.
Để đo "mức độ" lồi của hình cầu đơn vị trong không gian, người ta
đưa ra khái niệm môđun lồi.
Định nghĩa 1.3.4. Môđun lồi của không gian Banach X là hàm δ
X

:
[0, 2] → [0, 1] xác định bởi
δ
X
(ε) = inf

1 −




x + y
2




: x, y ∈ X, ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1, ∥x − y∥ ≥ ε

.
Định nghĩa 1.3.5. Đặc trưng lồi (hay hệ số lồi) của không gian Banach
X là số
ε
0
= ε
0
(X) = sup {ε ∈ [0, 2] : δ
X
(ε) = 0} ,
8

ε
0
là độ dài đoạn thẳng lớn nhất nằm trên mặt cầu đơn vị.
Nhận xét 1.3.6. - Không gian X là lồi đều khi và chỉ khi δ
X
(ε) > 0
với mọi ε > 0.
- Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi ε
0
(X) = 0.
Mệnh đề 1.3.7. Không gian Banach X là lồi chặt khi và chỉ khi δ
X
(2) =
1
Chứng minh. Giả sử X là lồi chặt và ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1, ∥x − y∥ ≥ 2.
Do ∥x − y∥ ≤ ∥x∥ + ∥−y∥ ≤ 2 nên ∥x − y∥ = 2 và ∥x∥ = ∥−y∥ = 1.
Khi đó, vì



x+(−y)
2



= 1 và X là lồi chặt nên ta có x = −y. Suy ra


x+y
2



= 0.
Vậy δ
X
(2) = 1 .
Ngược lại, giả sử δ
X
(2) = 1 và x, y ∈ X thỏa mãn ∥x∥ = ∥y∥ =


x+y
2


=
1.
Khi đó


x−y
2


=



x+(−y)
2




≤ 1 − δ
X
(∥x − (−y)∥) = 1 − δ
X
(2).
Vậy x = y hay X lồi chặt.
1.4 Bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev
Trước hết ta định nghĩa bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev cho một
tập hợp.
Cho C và B là hai tập con khác rỗng của không gian Banach X và B bị
chặn.
9
Định nghĩa 1.4.1. Bán kính Chebyshev của B đối với C được xác định
bởi:
r (C, B) = inf

r ≥ 0 : ∃x ∈ C, sup
b∈B
∥x − b∥ ≤ r

.
Hiển nhiên ta có 0 ≤ r (C, B) < ∞.
Định nghĩa 1.4.2. Tâm Chebyshev của B đối với C được xác định bởi:
A (C, B) =

x ∈ C : sup
b∈B

∥x − b∥ ≤ r (C, B)

.
Chú ý, như một tập con của C, A (C, B) có thể bằng rỗng.
Tiếp theo ta định nghĩa bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev cho một
dãy.
Cho {x
α
} là dãy bị chặn trong tập con lồi, đóng, khác rỗng C của không
gian Banach X. Với x ∈ X, ta đặt r (x, {x
α
}) = lim sup
α
∥x
α
− x∥.
Định nghĩa 1.4.3. Bán kính Chebyshev (bán kính tiệm cận) của {x
α
}
đối với C được xác định bởi:
r (C, {x
α
}) = inf
x∈C
r (x, {x
α
})
và tâm Chebyshev (tâm tiệm cận) của {x
α
} đối với C được xác định bởi:

A (C, {x
α
}) = {x ∈ C : r (x, {x
α
}) = r (C, {x
α
})} .
Mệnh đề 1.4.4. Hàm r (., {x
α
}) và r (., B) là các hàm lồi, không giãn.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ X, đặt f(x) = r (x, {x
α
}). Khi đó f là một
hàm lồi. Thật vậy, với mọi x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1), mọi α ta có
∥x
α
− [λx + (1 − λ) y]∥ = ∥λ (x
α
− x) + (1 − λ) (x
α
− y)∥
≤ λ ∥x
α
− x∥ + (1 − λ) ∥x
α
− y∥ .
10
Suy ra
lim sup
α

∥x
α
− [λx + (1 − λ) y]∥ ≤ λ lim sup
α
∥x
α
− x∥+(1 − λ) lim sup
α
∥x
α
− y∥ .
Do đó
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) .
Vì vậy f là hàm lồi.
Bây giờ ta chứng minh f là hàm không giãn về mặt khoảng cách. Thật
vậy, với mọi x, y ∈ X ta có
lim sup
α
∥x
α
− x∥ ≤ lim sup
α
∥x
α
− y∥ + ∥y − x∥ .
Hay f (x) ≤ f (y) + ∥y − x∥. Suy ra
f (x) − f (y) ≤ ∥x − y∥ .
Thay đổi vai trò của x cho y ta được
f (y) − f (x) ≤ ∥x − y∥ .
Do đó

|f (x) − f (y) | ≤ ∥x − y∥ .
Vậy r (., {x
α
}) là hàm lồi, không giãn.
Chứng minh tương tự r (., B) cũng là hàm lồi, không giãn.
Từ mệnh đề này ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.4.5. Hàm r (., {x
α
}) và r (., B) là các hàm nửa liên tục
dưới yếu.
Mệnh đề 1.4.6. Nếu C là tập lồi, compact yếu thì các tập A (C, {x
α
}) và
A (C, B) khác rỗng. Hơn nữa, nếu X là không gian lồi đều thì A (C, {x
α
})
và A (C, B) là các tập chỉ gồm đúng một điểm.
11
Chứng minh. Vì hàm r (., {x
α
}) và r (., B) là các hàm nửa liên tục dưới
yếu trên tập compact yếu C nên đạt min. Do đó các tập A (C, {x
α
}) và
A (C, B) khác rỗng.
Ta chứng minh tập A (C, {x
α
}) chỉ gồm đúng một điểm. Giả sử u, v ∈
A (C, {x
α

}) và ∥u − v∥ > 0.
Ta có r (u, {x
α
}) = r (v, {x
α
}) = r = inf {r (x, {x
α
}) : x ∈ C}.
Suy ra với mọi ε > 0, tồn tại α(ε) sao cho x
α
∈ B (u, r + ε)∩B (v, r + ε),
mọi α ≥ α(ε).
Đặt u
∗
=
x
α
−u
r+ε
và v
∗
=
x
α
−v
r+ε
.
Khi đó ∥u
∗
− v

∗
∥ =
∥u−v∥
r+ε
, ∥u∥ ≤ 1 và ∥v∥ ≤ 1.
Do X là không gian Banach lồi đều nên ta có




u
∗
+ v
∗
2




≤ 1 − δ
X

∥u − v∥
r + ε

.
Hay
∥
x
α

−
u+v
2
∥
r+ε
≤ 1 − δ
X

∥u−v∥
r+ε

, với mọi α ≥ α(ε).
Do đó r

u+v
2
, {x
α
}

≤ (r + ε)

1 −
∥u−v∥
r+ε

, với mọi α ≥ α(ε).
Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi ε > 0 và hàm môđun lồi liên tục
trên [0, 2] nên cho ε → 0
+

ta được
r

u + v
2
, {x
α
}

≤ r

1 −
∥u − v∥
r

< r.
Do C lồi nên
u+v
2
∈ C (vô lý vì r = inf {r (x, {x
α
}) : x ∈ C}).
Vì vậy, tập A (C, {x
α
}) chỉ gồm đúng một điểm. Tương tự tập A (C, B)
cũng chỉ gồm đúng một điểm.
1.5 Điểm bất động của ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử E là không gian Banach với chuẩn ∥.∥ và C
là tập con khác rỗng của E, ánh xạ T : C → E là không giãn nếu
12

∥T x − T y∥ ≤ ∥x − y∥, ∀x, y ∈ C.
Định nghĩa 1.5.2. Cho không gian Banach E và C là tập con lồi, đóng,
bị chặn, khác rỗng của E. Tập C có tính chất điểm bất động nếu mọi
ánh xạ không giãn T : C → C đều có điểm bất động.
Định nghĩa 1.5.3. Không gian E có tính chất điểm bất động (tương
ứng tính chất điểm bất động yếu) nếu mọi tập lồi, đóng, bị chặn (tập lồi,
compact yếu) của E có tính chất điểm bất động.
Tính chất điểm bất động * yếu được định nghĩa tương tự khi E là
không gian Banach đối ngẫu.
Ví dụ 1.5.4. Cho C là đường tròn đơn vị trong R
2
, T : C → C là phép
quay có tâm quay là tâm đường tròn C, góc quay 0 < α < 2π. Khi đó
C là tập compact, T là ánh xạ không giãn nhưng T không có điểm bất
động.
Ví dụ 1.5.5. Một tập lồi, đóng, bị chặn trong một không gian Banach
không nhất thiết có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn.
Thật vậy, cho c
0
là không gian các dãy số hội tụ về 0 với chuẩn
∥x∥ = sup
n
|x
n
|
trong đó x = (x
n
)
∞
n=1

∈ c
0
. Đặt D = {x ∈ c
0
: ∥x∥ ≤ 1} là hình cầu đơn
vị đóng trong c
0
. Xét ánh xạ T : D → D xác định như sau: với mỗi
x = (x
1
, x
2
, , x
n
, ) ∈ D, T x = (1, x
1
, x
2
, , x
n
, )
Rõ ràng, T x ∈ D. Hơn nữa, T là ánh xạ không giãn, thậm chí là phép
đẳng cự, vì
13
∥T x − T y∥ = sup
n
|x
n
− y
n

| = ∥x − y∥ .
Giả sử tồn tại điểm bất động x
∗
trong D, tức là T x
∗
= x
∗
. Khi đó
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
, ) = (1, x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
, )
Từ đó suy ra x
∗
n

= 1, ∀n ∈ N. Hiển nhiên x
∗
/∈ c
0
. Vậy T không có điểm
bất động trong D.
Mệnh đề 1.5.6. Cho C là tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của không
gian Banach E và T là ánh xạ không giãn từ C vào C. Khi đó
inf {∥x − T x∥ : x ∈ C} = 0.
Chứng minh. Cố định x
0
∈ C. Với mỗi n ∈ N
∗
, xét ánh xạ T
n
: C → C
xác định bởi
T
n
(x) =
1
n
x
0
+

1 −
1
n


T x.
Khi đó
∥T
n
x − T
n
y∥ ≤

1 −
1
n

∥T x − T y∥ ≤

1 −
1
n

∥x − y∥ , ∀x, y ∈ C,
nên T
n
là ánh xạ co. Bởi C đóng trong không gian Banach E nên C là
không gian mêtric đủ (với mêtric cảm sinh). Theo nguyên lý ánh xạ co
Banach, T
n
có điểm bất động x
n
.
Ta có x
n

= T
n
x
n
=
1
n
x
0
+

1 −
1
n

T x
n
.
Suy ra ∥x
n
− Tx
n
∥ =
1
n
∥x
0
− Tx
n
∥ ≤

1
n
diamC
n→∞
→
0.
Vậy inf {∥x − T x∥ : x ∈ C} = 0.
Mệnh đề này có nghĩa là mọi ánh xạ không giãn có tính chất điểm
bất động xấp xỉ.
Vấn đề đặt ra là: Cần đặt điều kiện gì trên không gian Banach E để
14
mọi tập lồi, đóng, bị chặn trong nó đều có tính chất điểm bất động đối
với ánh xạ không giãn? Sau đây chúng tôi giới thiệu một số kết quả khởi
đầu đã được chứng minh trong [1]:
Định lý 1.5.7. (Kirk, 1965)
Cho C là tập lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian
định chuẩn E và T : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó T có điểm bất
động trong C, tức là tồn tại x
∗
∈ C sao cho T x
∗
= x
∗
.
Định lý 1.5.8. (Browder-Gohde, 1965)
Cho C là tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian lồi đều E và T : C → C
là ánh xạ không giãn. Khi đó tập hợp các điểm bất động F(T ) của T là
lồi, đóng và khác rỗng.
Một cách tự nhiên, kết quả trên được mở rộng đến không gian có cấu
trúc yếu hơn (không gian lồi địa phương, không gian mêtric), mở rộng

cho ánh xạ đa trị, và tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ.
Phần tiếp theo chúng tôi đề cập đến khái niệm nửa nhóm ánh xạ.
1.6 Nửa nhóm ánh xạ
Định nghĩa 1.6.1. Tập S được gọi là nửa nhóm tôpô nếu S là không
gian với tôpô Hausdorff và là nửa nhóm với phép toán · : S × S →
S, (s, t) → s.t và các ánh xạ s → t.s và s → s.t từ S vào S là liên tục.
Định nghĩa 1.6.2. Nửa nhóm S là khả nghịch trái (phải) nếu bao đóng
của hai ideal phải (trái) bất kỳ của S có giao khác rỗng, nghĩa là sS∩tS ̸=
∅ (Ss ∩ St ̸= ∅) với s, t ∈ S. Nửa nhóm S được gọi là khả nghịch nếu S
vừa là nửa nhóm khả nghịch trái vừa là nửa nhóm khả nghịch phải.
15
Bây giờ ta có thể đưa vào S một quan hệ thứ tự như sau:
s ≤ t ⇔ { s} ∪ sS ⊃ {t} ∪ tS.
Khi đó s ≤ t nếu t = s hoặc tồn tại u ∈ S sao cho t = su.
Nếu S khả nghịch trái thì với mọi cặp s, t ∈ S luôn tồn tại u ∈ S để
cho s ≤ u và t ≤ u, nói khác đi (S, ≤) trở thành một tập định hướng.
Trong trường hợp này ta có thể định nghĩa giới hạn của dãy {k
s
: s ∈ S}
lim sup
s
k
s
= inf
s
sup {k
t
: t ≥ s} ,
lim inf
s

k
s
= sup
s
inf {k
t
: t ≥ s} .
Bổ đề 1.6.3. Cho S là nửa nhóm khả nghịch trái, {a
s
: s ∈ S} là một
dãy giảm các số thực và bị chặn, {a
t
: t ∈ S
1
} là một dãy con của {a
s
},
nghĩa là S
1
là một tập con định hướng của S. Khi đó ta có
inf {a
t
: t ∈ S
1
} = inf {a
s
: s ∈ S} .
Đặc biệt, với mỗi t ∈ S ta có
inf {a
ts

: s ∈ S} = inf {a
s
: s ∈ S} .
Chứng minh. Đặt m
1
= inf {a
t
: t ∈ S
1
}, m
2
= inf {a
s
: s ∈ S}, ta có
m
2
≤ m
1
. Với mọi ε > 0, tồn tại i ∈ S sao cho a
i
≤ m
2
+ ε. Khi đó,
với mọi t ≥ i, ta có a
t
≤ a
i
≤ m
2
+ ε. Chọn t ∈ S

1
sao cho t ≥ i, ta có
m
1
≤ a
t
≤ m
2
+ ε. Từ đó m
1
≤ m
2
. Vì vậy m
1
= m
2
.
Trong trường hợp đặc biệt với t ∈ S thì {a
ts
: s ∈ S} là dãy con của
{a
s
: s ∈ S} nên inf {a
ts
: s ∈ S} = inf {a
s
: s ∈ S}.
Định nghĩa 1.6.4. Nửa nhóm tôpô S là khả nghịch trái mạnh nếu tồn
tại họ các nửa nhóm con đếm được {S
α

: α ∈ I} sao cho:
16
(1) S =
∪
α∈I
S
α
,
(2) aS
α
∩ bS
α
̸= ∅ với mỗi α ∈ I và a, b ∈ S
α
,
(3) Với mỗi cặp α
1
, α
2
∈ I, ∃α
3
∈ I sao cho S
α
1
∪ S
α
2
⊂ S
α
3

.
Cho S là nửa nhóm tôpô, ℓ
∞
(S) là C
∗
- đại số của các hàm nhận giá
trị phức, bị chặn trên S với chuẩn sup. Với mỗi s ∈ S và f ∈ ℓ
∞
, kí hiệu
ℓ
s
f và r
s
f là sự dịch chuyển trái và phải của f tương ứng với s, nghĩa
là (ℓ
s
f)(t) = f(st) và (r
s
f)(t) = f(ts) với t ∈ S.
Cho X là không gian con đóng của ℓ
∞
(S) chứa các hàm hằng và bất
biến dưới sự dịch chuyển.
Định nghĩa 1.6.5. Hàm tuyến tính m ∈ X
∗
được gọi là hàm mean nếu
∥m∥ = m(1) = 1. Hàm m được gọi là hàm mean bất biến trái, kí hiệu
LIM nếu m(ℓ
s
f) = mf, ∀s ∈ S, f ∈ X. Nếu X là đại số con của ℓ

∞
(S)
thì m là hàm nhân nếu m(fg) = m(f)m(g) với mọi f, g ∈ X.
Ta kí hiệu C
b
(S) là không gian các hàm nhận giá trị phức, liên tục và
bị chặn trên S với chuẩn sup, LUC(S) là không gian các hàm liên tục
đều trái trên S, nghĩa là bao gồm các hàm f ∈ C
b
(S) sao cho ánh xạ
s → ℓ
s
f từ S vào C
b
(S) là liên tục. Khi đó LUC(S) là C
∗
- đại số con
của C
b
(S) bất biến dưới sự dịch chuyển và chứa các hàm hằng.
Kí hiệu W AP(S) là không gian các hàm f ∈ C
b
(S) sao cho LO(f) =
{ℓ
s
f : s ∈ S} là compact tương đối trong tôpô yếu của C
b
(S).
Định nghĩa 1.6.6. Cho C là tập con của không gian véc tơ tôpô lồi địa
phương (E,Q) và S là nửa nhóm tôpô. Ta nói S = {T

s
: s ∈ S} là nửa
nhóm ánh xạ của S trên C nếu với mỗi s ∈ S, T
s
là ánh xạ từ C vào C
và T
st
(x) = T
s
(T
t
x), s, t ∈ S, x ∈ C.
17
Định nghĩa 1.6.7. Nửa nhóm ánh xạ S được gọi là liên tục, liên tục yếu
hoặc liên tục * yếu nếu mỗi T
s
(s ∈ S) là Q-Q liên tục, liên tục yếu-yếu,
hoặc liên tục * yếu-* yếu tương ứng.
Nửa nhóm ánh xạ S được gọi là tách hoặc đồng liên tục nếu họ các ánh
xạ (s, x) → T
s
x từ S × C vào C là tách hoặc đồng liên tục.
Nửa nhóm ánh xạ S được gọi là affin nếu C là lồi và mỗi T
s
(s ∈ S)
là ánh xạ affin, nghĩa là: T
s
(ax + by) = aT
s
x + bT

s
y với mọi hằng số
a, b ≥ 0, a + b = 1, s ∈ S, x, y ∈ C.
Nửa nhóm ánh xạ S được gọi là Q - không giãn nếu
p(T
s
x − T
s
y) ≤ p(x − y), ∀s ∈ S, p ∈ Q, x, y ∈ C
Sau đây chúng tôi đề cập một số tính chất của nửa nhóm ánh xạ:
Mệnh đề 1.6.8. Cho S là nửa nhóm khả nghịch trái, {T
s
: s ∈ S} là một
nửa nhóm ánh xạ trong không gian Banach X. Khi đó với mỗi x, y ∈ X
và t ∈ S ta có
lim sup
s
∥T
s
x − y∥ = lim sup
s
∥T
ts
x − y∥
Chứng minh. Đặt a
s
= sup {∥T
i
x − y∥ : i ≥ s} và theo bổ đề 1.5.3 ta
có lim sup

s
∥T
s
x − y∥ = inf
s
(sup {∥T
i
x − y∥ : i ≥ s}) = inf {a
s
: s ∈ S} =
inf {a
ts
: s ∈ S} = lim sup
s
∥T
ts
x − y∥.
Định nghĩa 1.6.9. Ta nói x ∈ C là điểm bất động chung đối với S nếu
T
s
(x) = x, ∀s ∈ S. Tập tất cả các điểm bất động chung đối với S trong C
được gọi là tập điểm bất động của S (trong C) và kí hiệu bởi F (S),nghĩa
là
F (S) =

s∈S
F (T
s
) =


s∈S
{x ∈ C : T
s
x = x}.
18
Cho C là tập con đóng, khác rỗng của không gian mêtric (X, d).
Nhận xét 1.6.10. Nếu S = {T
s
: s ∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ liên
tục từ C vào C và d (T
s
x, y) → 0 khi s → ∞, với x, y ∈ C thì y ∈ F(S).
Chứng minh. Lấy ε > 0. Cố định t ∈ S. Bởi tính liên tục của T
t
tại y,
tồn tại δ > 0 sao cho d(x, y) < δ suy ra d(T
t
x, T
t
y) <
ε
2
với x ∈ C.
Do d (T
s
x, y) → 0 khi s → ∞, ∃w ∈ S sao cho d (T
aw
x, y) < min

ε

2
, δ

với mọi a ∈ S. Khi đó d (T
t
T
aw
x, T
t
y) <
ε
2
.
Do vậy ta có:
d (T
t
y, y) ≤ d (T
t
y, T
aw
x) + d (T
aw
x, y)
<
ε
2
+
ε
2
= ε.

Vì ε tùy ý nên T
t
y = y với mỗi t ∈ S. Vậy y ∈ F(S).
Định nghĩa 1.6.11. Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái. Nửa nhóm
S = {T
s
: s ∈ S} các ánh xạ của C vào C được gọi là:
(i) Không giãn nếu d(T
s
x, T
s
y) ≤ d (x, y) với mọi x, y ∈ C và s ∈ S.
(ii) Không giãn tiệm cận nếu tồn tại số thực không âm k
s
≥ 0 với
lim
s
k
s
= 0 sao cho d (T
s
x, T
s
y) ≤ (1 + k
s
) d (x, y) với mọi x, y ∈ C và
s ∈ S.
Nếu S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái và S là nửa nhóm các ánh
xạ Q - không giãn của S trên C ⊂ (E, Q) thì mỗi điều kiện sau suy ra
F (S) ̸= ∅:

(a) Tập C là compact và lồi trong (E, Q). [11]
(b) Tập C là compact yếu, lồi và có cấu trúc chuẩn tắc. [8,9]
(c) Nửa nhóm S rời rạc, tập C là compact yếu, lồi và phép biểu diễn
19
của S là liên tục yếu. [4]
(d) Tập C là tập con compact * yếu của l
1
. [10]
20
Chương 2
Điểm bất động của nửa nhóm ánh
xạ không giãn tiệm cận trong
không gian CAT(0)
Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của điểm bất động
chung đối với nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận {T
s
: s ∈ S} trong
không gian CAT(0) với S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái. Ngoài ra,
chúng tôi chứng minh tính ∆ - hội tụ đến điểm bất động chung của dãy
{T
s
(x) : s ∈ S}.
2.1 Không gian CAT(0) và các tính chất cơ bản
Cho (X, d) là không gian mêtric. Đường trắc địa nối x ∈ X và y ∈ X là
ánh xạ c từ khoảng đóng [0, l] ⊂ R vào X sao cho c(0) = x, c(l) = y và
d (c (t
1
) , c (t
2
)) = |t

1
− t
2
| với mọi t
1
, t
2
∈ [0, l]. Đặc biệt c là phép đẳng
cự và d(x, y) = l. Ảnh α của c được gọi là đoạn trắc địa (đoạn mêtric nối
x và y), kí hiệu [x, y]. Không gian (X, d) được gọi là không gian mêtric
trắc địa nếu hai điểm của X được nối bởi đường trắc địa và X được gọi
21
là không gian mêtric trắc địa duy nhất nếu tồn tại một đường trắc địa
nối x và y với mỗi x, y ∈ X. Tập con C của X được gọi là lồi nếu C
chứa mọi đoạn trắc địa nối hai điểm bất kỳ của nó.
Tam giác trắc địa ∆(x
1
, x
2
, x
3
) trong không gian mêtric trắc địa (X, d)
bao gồm ba điểm x
1
, x
2
, x
3
trong X (đỉnh của ∆) và đoạn trắc địa nối
mỗi cặp đỉnh (cạnh của ∆). Tam giác so sánh đối với tam giác trắc địa

∆(x
1
, x
2
, x
3
) trong (X, d) là tam giác ∆ (x
1
, x
2
, x
3
) := ∆ (x
1
, x
2
, x
3
) trong
mặt phẳng Euclide E
2
sao cho d
E
2
(x
i
, x
j
) = d (x
i

, x
j
) với i, j ∈ {1, 2, 3}.
Định nghĩa 2.1.1. Không gian mêtric trắc địa được gọi là không gian
CAT(0) nếu mọi tam giác trắc địa thỏa mãn tiên đề so sánh sau: ∆ là
tam giác trắc địa trên X và ∆ là tam giác so sánh đối với ∆. Khi đó ∆
được gọi là thỏa mãn bất đẳng thức CAT(0) nếu mọi x, y ∈ ∆, x, y ∈ ∆
là điểm so sánh của x, y thì d (x, y) ≤ d
E
2
(x, y).
Nếu z, x, y là các điểm trong không gian CAT(0) và nếu m là trung
điểm của đoạn [x, y] thì từ bất đẳng thức đường trung tuyến trong E
2
và bất đẳng thức CAT(0) suy ra
d(z, m)
2
≤
1
2
d(z, x)
2
+
1
2
d(z, y)
2
−
1
4

d(x, y)
2
(CN)
Sử dụng bất đẳng thức (CN), ta có không gian CAT(0) là lồi đều
(được định nghĩa tương tự như trong không gian định chuẩn). Không
gian mêtric trắc địa là không gian CAT(0) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn
bất đẳng thức (CN). Hơn nữa, với mỗi x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1], tồn tại
duy nhất điểm λx ⊕ (1 − λ) y ∈ [x, y] sao cho
d(x, λx ⊕ (1 − λ) y) = (1 − λ)d(x, y),
d(y, λx ⊕ (1 − λ) y) = λd(x, y) và bất đẳng thức sau đúng:
d(z, λx ⊕ (1 − λ) y) ≤ λd(z, x) + (1 − λ)d(z, y) với mỗi z ∈ X.
22
Với tập con lồi, đóng, khác rỗng D của không gian CAT(0) X, đặt
π := π
D
là ánh xạ chiếu điểm gần nhất từ X vào tập con D. Khi đó π
là ánh xạ không giãn và thỏa mãn bất đẳng thức sau ([12]):
d(x, y)
2
≥ d(x, πx)
2
+ d(πx, y)
2
với mọi x ∈ X và y ∈ D.
Định nghĩa 2.1.2. Dãy {x
α
} trong không gian CAT(0) được gọi là ∆ -
hội tụ tới x ∈ X nếu x là tâm tiệm cận duy nhất của {u
α
} với mọi dãy

con {u
α
} của {x
α
}. Trong trường hợp này ta viết ∆ - lim
α
x
α
= x và gọi
x là ∆ - giới hạn của {x
α
}.
Bổ đề 2.1.3. ([5]) Mọi dãy bị chặn trong không gian CAT(0) đầy đủ X
có dãy con ∆ - hội tụ.
2.2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không
giãn tiệm cận trong không gian CAT(0) đầy đủ
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu các định lý tồn tại điểm bất động
chung đối với nửa nhóm các ánh xạ không giãn tiệm cận trong không
gian CAT(0) đầy đủ.
Định lý 2.2.1. Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng của không gian CAT(0) đầy đủ X, và S = {T
s
: s ∈ S}
là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận của C vào C. Nếu tồn tại
x ∈ C sao cho {T
s
x : s ∈ S} bị chặn thì F(S) ̸= ∅ và z ∈ F(S), với mọi
z ∈ A (C, {T
s
x}).

Chứng minh. Giả sử {T
s
x : s ∈ S} là dãy bị chặn và z ∈ A (C, {T
s
x}).
Đặt R := r (z, {T
s
x}) = r (C, {T
s
x}) = inf
y∈C
r (y, {T
s
x}).
23
*) Nếu R = 0 thì lim sup
s
d (z, T
s
x) = 0.
Điều này suy ra T
s
x → z. Bởi nhận xét 1.6.10 thì z ∈ F (S).
*) Nếu R > 0 và giả sử z /∈ F(S). Bởi nhận xét 1.6.10, dãy {T
s
x} không
hội tụ tới z.
Do đó tồn tại ε > 0 và dãy con {s
α
} trong S sao cho

s
α
≥ α và d (z, T
sα
z) > ε với mỗi α ∈ S. (2.2.1)
Ta chọn số dương η sao cho:
(R + η)
2
−
ε
2
4
< (R − η)
2
.
Vì S là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận, nên tồn tại s
0
∈ S sao
cho:
d (T
s
z, T
s
y) ≤ lim sup
a
d (T
a
z, T
a
y) +

η
2
≤ lim sup
a
(1 + k
a
) d (z, y) +
η
2
= d (z, y) +
η
2
(2.2.2)
với mỗi s ∈ S, s ≥ s
0
và y ∈ C.
Theo [13], inf
t
sup
s
d (z, T
ts
x) = lim sup
u
d (z, T
u
x).
Suy ra inf
t
sup

s
d (z, T
ts
x) = R. Vì vậy, tồn tại t
0
∈ S sao cho với mọi
t ∈ S, t ≥ t
0
, d (z, T
st
x) < R +
η
2
, với mỗi s ∈ S. (2.2.3)
Vì S khả nghịch trái nên tồn tại γ ∈ S với γ ≥ s
0
và γ ≥ t
0
.
Theo (2.2.1), s
γ
≥ γ và d

z, T
s
γ
z

> ε. (2.2.4)
Lấy t ≥ s

γ
γ. Vì S khả nghịch trái, nên ta có t ∈ {s
γ
γ} ∪ s
γ
γS.
Khi đó, ta có thể giả sử t ∈ s
γ
γS.
Vì vậy, tồn tại {t
β
} trong S sao cho s
γ
γt
β
→ t.
Theo (2.2.2) và (2.2.3) ta có
d

T
s
γ
z, T
s
γ
T
γt
β
x


≤ d

z, T
γt
β
x

+
η
2
≤ R + η, với mỗi β.
Do (2.2.3) và s
γ
γt
β
→ t, ta có:
24
d

T
s
γ
z, T
t
x

≤ R +
η
2
, với mọi t ≥ s

γ
γ. (2.2.5)
Từ (2.2.3), suy ra d

z, T
s
γ
T
γt
β
x

< R +
η
2
, với mọi β.
Bởi s
γ
γt
β
→ t, ta có
d (z, T
t
x) ≤ R +
η
2
≤ R + η với mọi t ≥ s
γ
γ. (2.2.6)
Vì vậy, bởi bất đẳng thức (CN), (2.2.4), (2.2.5) và (2.2.6), ta có:

d
2

z⊕T
s
γ
z
2
, T
t
x

≤
1
2
d
2
(z, T
t
x) +
1
2
d
2

T
s
γ
z, T
t

x

−
1
4
d
2

z, T
s
γ
z

≤ (R + η)
2
−
1
4
ε
2
< (R − η)
2
.
Do vậy, d

z⊕T
s
γ
z
2

, T
t
x

< R − η.
Suy ra r

z⊕T
s
γ
z
2
, {T
t
x}

< r (C, {T
t
x}).
Điều này mâu thuẫn. Vậy z ∈ F(S).
Hệ quả 2.2.2. Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng của không gian CAT(0) đầy đủ X, và S = {T
s
: s ∈ S}
là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận của C vào C. Khi đó F(S) ̸= ∅
nếu và chỉ nếu tồn tại x ∈ C sao cho {T
s
x : s ∈ S} bị chặn.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên.
Ngược lại, giả sử x ∈ C sao cho {T

s
x : s ∈ S} bị chặn . Khi đó tồn tại
duy nhất phần tử z ∈ C sao cho z ∈ A (C, {T
s
x}). Theo định lý 2.2.1,
F (S) ̸= ∅.
Nhận xét 2.2.3. Vì {T
s
x : s ∈ S} là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm
cận nên nếu tồn tại x ∈ C sao cho {T
s
x : s ∈ S} bị chặn ta suy ra
{T
s
z : s ∈ S} bị chặn với mọi z ∈ C.
Định lý 2.2.4. Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng của không gian CAT(0) đầy đủ X và S = {T
s
: s ∈ S}
là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận của C vào C với F (S) ̸= ∅.
25