Điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----*-----

PHẠM THỊ NGUYỀN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ θ − φ CO SUY
RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----*-----

PHẠM THỊ NGUYỀN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ θ − φ CO SUY
RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 8.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN ĐỨC THÀNH

Nghệ An - 2019

1

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài khoa học này tác giả bày tỏ
lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS. Trần Đức Thành, người đã hướng dẫn
chỉ bảo tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bên cạnh đó,
tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy cô, gia đình, bạn bè và người thân đã
ln giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để bản thân hoàn thành luận văn của
mình.
Tuy nhiên điều kiện năng lực bản thân còn hạn chế nên trong đề tài nghiên
cứu khoa học này chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả kính
mong các Thầy cơ giáo và bạn đọc có những ý kiến góp ý để luận văn hoàn
thiện hơn.
Nghệ An, tháng 7 năm 2019
Tác giả

Phạm Thị Nguyền


2

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mở đầu

2

1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co θ − φ Suzuki
1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki . . . . . . . . .

6
6
8

2 Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ θ − φ co suy rộng
2.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ co yếu . . . . . . . . .
2.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ − C co . . . . . . . .
2.3 Điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ θ − φ co . . . . . . . . . . .

19
19
27
34

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39

3

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lý thuyết điểm bất động là một lĩnh vực đã và đang được nhiều nhà tốn
học quan tâm nghiên cứu. Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau như: vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế. . . cũng như nhiều lĩnh vực khác
của toán học. Một trong những hướng nghiên cứu của các nhà tốn học là tìm
cách mở rộng các điều kiện co cho các ánh xạ, từ đó chứng minh các định lý
điểm bất động cho các ánh xạ trên lớp không gian mêtric hay mêtric suy rộng.
Năm 1922, Banach đã đề xuất và chứng minh nguyên lý ánh xạ co. Từ đó có
rất nhiều phép co được đề xuất nhằm mở rộng phép co này. Năm 2014, M. Jleli
và B. Samet [4] đưa ra khái niệm C-co, sau đó các tác giả chứng minh các định
lý điểm bất động cho phép co này trên lớp các không gian mêtric chữ nhật.
Tiếp nối, D. W. Zeng và các cộng sự [5] đã đề xuất khái niệm ánh xạ θ − φ co
kiểu Suzuki, đây là mở rộng của các phép co đã biết của Banach, Suzuki, Jleli,
Kannan, Browder, Boyd-Wong hay Matkowski.
Năm 1977, B. E. Rhoades đã so sánh 250 phép co khác nhau và chỉ ra rằng
hầu hết các ánh xạ thỏa mãn các phép co đó khơng cần liên tục trên miền xác
định, tuy nhiên mọi ánh xạ của các phép co đó địi hỏi phải liên tục tại điểm
bất động. Sự liên tục này do sự đủ mạnh của phép co. Câu hỏi đặt ra rằng: phải
chăng tồn tại các phép co sao cho ánh xạ có điểm bất động nhưng khơng nhất
thiết ánh xạ đó phải liên tục tại điểm bất động. Để trả lời câu hỏi mở trên, năm
1999, Pant [8] đã đề xuất kết quả đầu tiên, sau đó năm 2017, Pant và Bist [2]
đã đề xuất một kết quả khác. Tiếp nối kết quả này D. W. Zeng và P. Whang
[7] đã đề xuất khái niệm ánh xạ θ − φ co yếu và chứng minh được ánh xạ cho
phép co này khơng cần liên tục tại điểm bất động.
Với mục đích muốn tìm hiểu về các điều kiện co kiểu θ − φ trong các định
lí điểm bất động cùng với các dạng suy rộng của nó trên các lớp khơng gian

mêtric, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là: “Điểm bất
động cho một số ánh xạ θ − φ co suy rộng trên không gian mêtric”.


4

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống các khái niệm, tính chất và định
lý điểm bất động cho một số ánh xạ θ − φ co suy rộng trên lớp không gian
mêtric thông qua các tài liệu.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu là các không gian mêtric, sự tồn tại điểm bất động của
một số ánh xạ θ − φ co suy rộng.
Phạm vi nghiên cứu là mối liên quan giữa các đối tượng trên; các định lý
điểm bất động cho một số ánh xạ θ − φ co suy rộng cùng các ví dụ minh họa.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Nhiệm vụ nghiên cứu là tìm hiểu về không gian mêtric và một số mở rộng
của ánh xạ θ − φ co suy rộng trên lớp không gian mêtric.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng
hợp và sử dụng các phương pháp suy luận của toán học.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Bố cục luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki
Chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của lớp khơng
gian mêtric, ví dụ trong không gian mêtric và định lý về sự tồn tại điểm bất
động của ánh xạ co θ − φ Suzuki.
1.1. Không gian mêtric

5

Mục này trình bày một số khái niệm, tính chất, ví dụ trong khơng gian mêtric.
1.2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki
Mục này dành để trình bày một số khái niệm về ánh xạ θ − φ Suzuki, cùng
phép chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki, đồng thời
nêu các hệ quả cùng ví dụ minh họa trên lớp các không gian mêtric.
Chương 2: Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ θ−φ co suy rộng
Chương này trình bày một số kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ θ − φ
co yếu, ánh xạ θ − φ − C co, điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ θ − φ co trên
lớp không gian mêtric.
2.1. Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ co yếu
Trình bày khái niệm ánh xạ θ − φ co yếu và định lý điểm bất động cho các
ánh xạ ánh xạ θ − φ co yếu, hệ quả cùng ví dụ minh họa trên lớp các không
gian mêtric.
2.2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ − C co
Mục này trình bày kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ θ − φ − C co
trên lớp các không gian mêtric.
2.3. Điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ θ − φ co
Mục này trình bày khái niệm về điểm bất động bộ đôi, các kết quả về điểm
bất động bộ đôi cho ánh xạ θ − φ co trên lớp các không gian mêtric.


6

Chương 1

Định lý điểm bất động cho ánh xạ co
θ − φ Suzuki
Chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản, ví dụ trong khơng

gian mêtric và định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co θ − φ Suzuki.

1.1

Không gian mêtric

Mục này trình bày một số khái niệm, tính chất, ví dụ trong không gian mêtric.
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → [0, +∞)
được gọi là một mêtric trên X nếu với bất kỳ x, y, z ∈ X các điều kiện sau được
thỏa mãn
1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;
2. d(x, y) = d(y, x);
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Khi đó, (X, d) được gọi là khơng gian mêtric.
1.1.2 Định nghĩa. Cho (X, d) là không gian mêtric.
1. Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ nếu lim d(xn , x) = 0;
n→∞

2. Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu lim d(xn , xm ) = 0;
n,m→∞

3. Không gian mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {xn } ⊂
X hội tụ về x ∈ X .
.


7

1.1.3 Mệnh đề. 1) Cho (X, d) là không gian mêtric, x1 , x2 , . . . , xn là n điểm
tùy ý của X(n ≥ 2). Khi đó ta có

d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + ..... + d(xn−1 , xn ).
2) Nếu x1 , x2 , x3 , x4 là 4 điểm tùy ý của không gian mêtric (X, d) thì

|d(x1 , x2 ) − d(x3 , x4 )| ≤ d(x1 , x3 ) + d(x2 , x4 ).
1.1.4 Ví dụ. 1) Cho X = R+ và ánh xạ d : X × X → X được xác định bởi
d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ X . Khi đó, (X, d) là khơng gian mêtric.
2) Cho X = ∅ và ánh xạ d : X × X → R+ được xác định bởi

d(x, y) =

0
1

nếu x = y
nếu x = y,

với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, d) là khơng gian mêtric.
Thật vậy, các điều kiện 1) và 2) trong Định nghĩa 1.1.1 là hiển nhiên.
Để kiểm tra điều kiện 3) trong Định nghĩa 1.1.1 .
Với mọi x, y, z ∈ X , ta xét các trường hợp sau
i) Nếu x = z thì d(x, z) = 1, và do x = z nên x = y hoặc y = z . Do đó
d(x, y) + d(y, z) ≥ 1.
ii) Nếu x = z thì d(x, z) = 0 và ta có d(x, y) + d(y, z) ≥ 0.
Vậy, từ i) và ii) ta có d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x, y, z ∈ X .
3) Cho X = Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, ...n.} và ánh xạ
d : X × X → R+ xác định bởi
n
1

|xi − yi |2 } 2 ,

d(x, y) = {
i=1

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ); y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Khi đó, (X, d) là không
gian mêtric.
Thật vậy, các điều kiện 1) và 2) trong Định nghĩa 1.1.1 là hiển nhiên.
Để kiểm tra điều kiện 3) trong Định nghĩa 1.1.1 ta sử dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki cho bộ 2n số. Với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ); y = (y1 , y2 , ..., yn ),
z = (z1 , z2 , ..., zn ) ∈ X , ta cần chứng minh
n

n
2

d(x, z) = {

1
2

|xi −zi | } ≤ {
i=1

n
2

1
2

1

|yi −zi |2 } 2 = d(x, y)+d(y, z).

|xi −yi | } +{
i=1

i=1


8

Thật vậy, ta có
n

n
2

|xi − yi + yi − zi |2

|xi − zi | =
i=1

i=1
n

n
2

|xi − yi | +

=
i=1
n

|yi − zi | + 2
i=1
n

2

≤

n
2

i=1
n

i=1

i=1

1
2

i=1

1

i=1

.

i=1
1

1

Suy ra { ni=1 |xi − zi |2 } 2 ≤ { ni=1 |xi − yi |2 } 2 + {
Vậy, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.

1.2

1

|yi − zi |2 } 2

2

|yi − zi |2 } 2

|xi − yi | } + {

1
2

|xi − yi | } .{

n

2

{

2

|yi − zi | + 2{

n

≤

n

2

|xi − yi | +
i=1

(xi − yi )(yi − zi )

n
i=1 |yi

1

− zi |2 } 2 .

Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki

Mục này dành để trình bày một số khái niệm về ánh xạ θ − φ Suzuki, cùng
phép chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki, đồng thời
nêu các hệ quả cùng ví dụ minh họa trên lớp các không gian mêtric.
Gọi Θ là tập hợp các hàm θ : (0, ∞) → (1, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau
(Θ1 ) θ là hàm không giảm ;
(Θ2 ) Với mỗi dãy {tn } ⊂ (0, ∞), limn→∞ θ(tn ) = 1 khi và chỉ khi
limn→∞ tn = 0+ ;
(Θ3 ) θ là hàm liên tục trên (0, ∞).
Gọi Φ là tập hợp các hàm φ : [1, ∞) → [1, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau
(Φ1 ) φ là hàm không giảm ;
(Φ2 ) Với mỗi t> 1, limn→∞ φn (t) = 1;
(Φ3 ) φ là hàm liên tục trên [1, ∞).
1.2.1 Bổ đề. ([6]) Nếu φ ∈ Φ thì φ(1) = 1, và với mỗi t > 1 ta có φ(t) < t.
Chứng minh. Giả sử ngược lại, tồn tại t0 > 1 sao cho φ(t0 ) ≥ t0 . Vì tính khơng
giảm của hàm φ nên ta có φn (t0 ) ≥ t0 với mọi n ∈ N, điều này mâu thuẫn
với limn→∞ φn (t0 ) = 1. Vì vậy, với mỗi t > 1 ta có φ(t) < t. Mặt khác, vì
1 ≤ φ(1) ≤ φ(t) < t với mỗi t > 1 nên cho t → 1 ta nhận được φ(1) = 1.


9

1.2.2 Định nghĩa. ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric và ánh xạ T : X → X .
1. T được gọi là ánh xạ θ co nếu tồn tại θ ∈ Θ và k ∈ (0, 1) sao cho với mọi
x, y ∈ X ta có

d(T x, T y) = 0 ⇒ θ(d(T x, T y)) ≤ [θ(d(x, y))]k .
2. T được gọi là ánh xạ θ − φ co nếu tồn tại θ ∈ Θ và φ ∈ Φ sao cho với mọi
x, y ∈ X ta có

d(T x, T y) = 0 ⇒ θ(d(T x, T y)) ≤ φ[θ(N (x, y))],

trong đó N (x, y) = max {d(x, y), d(x, T x), d(y, T y)}.
3. T được gọi là ánh xạ θ − φ Suzuki nếu tồn tại θ ∈ Θ và φ ∈ Φ sao cho với
mọi x, y ∈ X , T x = T y ta có

1
d(x, T x) < d(x, y) ⇒ θ(d(T x, T y)) ≤ φ[θ(N (x, y))],
2
trong đó N (x, y) = max {d(x, y), d(x, T x), d(y, T y)}.
4. T được gọi là ánh xạ θ − φ co kiểu Kannan nếu tồn tại θ ∈ Θ và φ ∈ Φ
sao cho với mọi x, y ∈ X , T x = T y ta có

θ(d(T x, T y)) ≤ φ[θ(

d(x, T x) + d(y, T y)
)].
2

Rõ ràng, ánh xạ θ − φ co và ánh xạ θ − φ co kiểu Kannan là ánh xạ θ − φ
Suzuki.
1.2.3 Định lí. ([6]) Cho (X, d) là khơng gian mêtric đầy đủ và T là ánh xạ
θ − φ Suzuki, tức là tồn tại θ ∈ Θ và φ ∈ Φ sao cho với mọi x, y ∈ X , T x = T y
ta có

1
d(x, T x) < d(x, y) ⇒ θ(d(T x, T y)) ≤ φ[θ(N (x, y))],
2

(1.1)

trong đó N (x, y) = max {d(x, y), d(x, T x), d(y, T y)} .

Khi đó ánh xạ T có điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X sao cho với mỗi x ∈ X
dãy {T n x} hội tụ đến x∗ .


10

Chứng minh. Giả sử x0 ∈ X là một điểm tùy ý, ta xây dựng dãy lặp {xn } như
sau
xn+1 = T xn , n = 0, 1, 2, 3, ....
Trường hợp 1. Nếu xn+1 = xn với mỗi n ∈ N thì T xn = xn . Khi đó x∗ = xn
là điểm bất động của ánh xạ T .
Trường hợp 2. Giả sử xn = xn+1 với mọi n ∈ N. Khi đó, d(xn , xn+1 ) > 0 với
mọi n ∈ N. Vì thế, với mọi n ∈ N ta có

1
1
d(xn , T xn ) = d(xn , xn+1 ) < d(xn , xn+1 ).
2
2
Áp dụng bất đẳng thức (1.1) với x = xn và y = xn+1 ta được

θ(d(T xn , T xn+1 )) ≤ φ[θ(N (xn , xn+1 ))],

(1.2)

N (xn , xn+1 ) = max{d(xn , xn+1 ), d(xn , T xn ), d(xn+1 , T xn+1 )}
= max{d(xn , xn+1 ), d(xn+1 , xn+2 )}.

(1.3)

trong đó

Nếu N (xn , xn+1 ) = d(xn+1 , xn+2 ) thì theo (1.2) ta có

θ(d(xn+1 , xn+2 )) = θ(d(T xn , T xn+1 )) ≤ φ[θ(d(xn+1 , xn+2 ))].
Điều này dẫn đến mẫu thuẫn vì từ Bổ đề 1.2.1 ta có

φ[θ(d(xn+1 , xn+2 ))] < θ(d(xn+1 , xn+2 )).
Do đó từ (1.3) ta suy ra N (xn , xn+1 ) = d(xn , xn+1 ) với mọi n ∈ N, và từ (1.2)
sẽ kéo theo

θ(d(T xn , T xn+1 )) ≤ φ[θ(d(xn , xn+1 ))].
Lý luận tương tự ta nhận được

θ(d(T xn−1 , T xn )) ≤ φ[θ(d(xn−1 , xn ))]
≤ φ2 [θ(d(xn−2 , xn−1 ))]
.........
≤ φn [θ(d(x0 , x1 ))].
Từ định nghĩa hàm θ và tính chất Φ(2) ta có


11

lim φn [θ(d(x0 , x1 ))] = 1.

n→∞

Từ Θ(2), ta suy ra

lim d(xn , xn+1 ) = 0.

n→∞

(1.4)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh {xn } là dãy Cauchy trong X .
Giả sử ngược lại {xn } không phải là dãy Cauchy, khi đó tồn tại η > 0 và hai
dãy {p(n)} và {q(n)} sao cho với mọi n ∈ N thỏa mãn

n < q(n) < p(n), d(xp(n) , xq(n) ) ≥ η và d(xp(n)−1 , xq(n) ) < η.
Khi đó

η ≤ d(xp(n) , xq(n) ) ≤ d(xp(n) , xp(n)−1 ) + d(xp(n)−1 , xq(n) ) ≤ η + d(xp(n) , xp(n)−1 ).
Từ (1.4) và bất đẳng thức trên, ta có

lim d(xp(n) , xq(n) ) = η.

n→∞

(1.5)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong định nghĩa mêtric ta có

d(xp(n)+1 , xq(n)+1 ) − d(xp(n) , xq(n) ) ≤ d(xp(n) , xp(n)+1 ) + d(xq(n) , xq(n)+1 ).
Từ (1.4) và (1.5) và bất đẳng thức trên ta có

lim d(xp(n)+1 , xq(n)+1 ) = η.

n→∞

(1.6)

Suy ra d(xp(n)+1 , xq(n)+1 ) > 0 . Điều này chứng tỏ T xp(n) = T xq(n) .
Sử dụng bất đẳng thức (1.1) với x = xp(n) , y = xq(n) , ta nhận được

θ(d(xp(n)+1 , xq(n)+1 )) = θ(d(T xp(n) , T xq(n) )) ≤ φ θ(N (xp(n) , xq(n) )) ,
trong đó

N (xp(n) , xq(n) ) = max{d(xp(n) , xq(n) ), d(xp(n) , xp(n)+1 ), d(xq(n) , xq(n)+1 )} .
Cho n → ∞ và từ (1.4), (1.5), (1.6) cùng với Θ(3) và Φ(3) ta thu được


12

θ(η) ≤ φ [θ(η)] .
Kết hợp với Bổ đề 1.2.1 ta có

θ(η) ≤ φ [θ(η)] < θ(η),
điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy {xn } là dãy Cauchy trong X .
Vì (X, d) đầy đủ nên tồn tại x∗ ∈ X sao cho lim xn = x∗ . Bây giờ ta sẽ
n→∞

chứng minh x∗ là điểm bất động của ánh xạ T .
Cố định p ∈ N ta thấy

1
1
d(xp , T xp ) < d(xp , x∗ ) hoặc d(T xp , T 2 xp ) < d(T xp , x∗ ).
2
2

Hoặc trường hợp ngược lại
1
1
d(xp , T xp ) ≥ d(xp , x∗ ) và d(T xp , T 2 xp ) ≥ d(T xp , x∗ ).
2
2
Do đó

(1.7)

2d(xp , x∗ ) ≤ d(xp , T xp ) ≤ d(xp , x∗ ) + d(x∗ , T xp ).

Điều này kéo theo

d(xp , x∗ ) ≤ d(x∗ , T xp ).

(1.8)

1
d(xp , x∗ ) ≤ d(x∗ , T xp ) ≤ d(T xp , T 2 xp ).
2

(1.9)

Từ (1.7) và (1.8), ta có

Từ

1
d(xp , T xp ) ≤ d(xp , T xp ), áp dụng (1.1) với x = xp , y = T xp , ta có

2
θ(d(T xp , T 2 xp )) ≤ φ[θ(N (d(xp , T xp ))],
≤ φ[θ(max{d(xp , T xp ), d(T xp , T 2 xp )})].

(1.10)

Nếu max{d(xp , T xp ), d(T xp , T 2 xp )} = d(T xp , T 2 xp ) thì từ Bổ đề 1.2.1, ta có

θ(d(T xp , T 2 xp )) ≤ φ[θ(d(T xp , T 2 xp ))] < θ(d(T xp , T 2 xp )).


13

Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Do đó, từ (1.10) ta có:

max{d(xp , T xp ), d(T xp , T 2 xp )} = d(xp , T xp ).
Từ đó suy ra

d(T xp , T 2 xp ) < d(xp , T xp ).

(1.11)

Từ (1.7), (1.9) và (1.11) ta nhận được

d(T xp , T 2 xp ) < d(xp , T xp ) ≤ d(xp , x∗ ) + d(x∗ , T xp )
1
1
≤ d(T xp , T 2 xp ) + d(T xp , T 2 xp ) = d(T xp , T 2 xp ),
2
2

điều này dẫn đến mâu thuẫn. Do đó, với mọi n ∈ N thì

1
1
d(xn , T xn ) < d(xn , x∗ ) hoặc d(T xn , T 2 xn ) < d(T xn , x∗ ).
2
2
Trường hợp 1. Nếu tồn tại dãy {nk } sao cho với mọi k ∈ N thỏa mãn
1
d(xnk , T xnk ) < d(xnk , x∗ ).
2
Khi đó

θ(d(T xnk , T x∗ )) ≤ φ[θ(d(xnk , x∗ ))].

Từ Bổ đề 1.2.1 và định nghĩa hàm φ và hàm θ ta có

lim d(T xnk , T x∗ ) = 0.

k→∞

Do đó

d(x∗ , T x∗ ) = lim d(xnk +1 , T x∗ ) = lim d(T xnk , T x∗ ) = 0.
k→∞

k→∞

Trường hợp 2. Nếu tồn tại dãy {nk } sao cho với mọi k ∈ N thỏa mãn

1
d(T xnk , T 2 xnk ) < d(T xnk , x∗ ).
2
Khi đó

θ(d(T 2 xnk , T x∗ )) ≤ φ[θ(d(T xnk , x∗ ))].
Từ Bổ đề 1.2.1 và định nghĩa hàm φ và hàm θ ta có


14

lim d(T 2 xnk , T x∗ ) = 0.

k→∞

Do đó

d(x∗ , T x∗ ) = lim d(xnk +2 , T x∗ ) = lim d(T 2 xnk , T x∗ ) = 0.
k→∞

k→∞

Vậy x∗ là điểm bất động của ánh xạ T .
Cuối cùng, ta chứng minh ánh xạ T có điểm bất động duy nhất.
Giả sử ngược lại, tồn tai một điểm bất động khác y ∗ của ánh xạ T sao cho
T x∗ = x∗ = T y ∗ = y ∗ . Khi đó

1
d(T x∗ , T y ∗ ) = d(x∗ , y ∗ ) > 0, và 0 = d(x∗ , T x∗ ) < d(x∗ , y ∗ ).
2

Từ (1.1) và Bổ đề 1.2.1 ta suy ra
θ(d(x∗ , y ∗ )) = θ(d(T x∗ , T y ∗ )) ≤ φ[θ(d(x∗ , y ∗ ))] < θ(d(x∗ , y ∗ )),
điều này dẫn đến mẫu thuẫn. Vậy ánh xạ T có điểm bất động duy nhất và với
mọi x ∈ X dãy {T n x} hội tụ đến x∗ .
1.2.4 Hệ quả. ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ T : X →
1
X là ánh xạ co Kannan, tức là tồn tại α ∈ [0; ) sao cho với mọi x, y ∈ X ta
2
có

d(T x, T y) ≤ α(d(x, T x) + d(y, T y)).
Khi đó, ánh xạ T có một điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X sao cho với mỗi x ∈ X
dãy {T n x} hội tụ đến x∗ .

1
Chứng minh. Trường hợp α = 0 là hiển nhiên. Do đó, ta có thể giả sử α ∈ (0; ).
2
Đặt
θ(t) = et , với mọi t ∈ [0, +∞),
và

φ(t) = t2α , với mọi t ∈ [1, +∞).
Rõ ràng là θ ∈ Θ và φ ∈ Φ. Tiếp theo ta chứng minh T là ánh xạ θ − φ co kiểu
Kannan. Ta có


15

θ(d(T x, T y)) = ed(T x,T y) ≤ eα(d(x,T x)+d(y,T y))

d(x, T x) + d(y, T y)
)
2
=e

2α
d(x, T x) + d(y, T y)


2
= e

2α(

d(x, T x) + d(y, T y) 2α
))
2
d(x, T x) + d(y, T y)
)].
= φ[θ(
2

= (θ(

Vậy, T là ánh xạ θ − φ co kiểu Kannan và do đó T cũng là ánh xạ θ − φ Suzuki.
Áp dụng Định lí 1.2.3, ánh xạ T có điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X sao cho
với mỗi x ∈ X dãy {T n x} hội tụ đến x∗ .
1.2.5 Hệ quả. ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ T :
X → X sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

d(T x, T y) ≤ ϕ(d(x, y)),
trong đó ϕ : R+ → R+ , là hàm tăng và liên tục phải thỏa mãn ϕ(t) < t với mọi
t > 0. Khi đó ánh xạ T có một điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X sao cho với mỗi
x ∈ X dãy {T n x} hội tụ đến x∗ .
Chứng minh. Giả sử ϕ là hàm tăng ngặt và liên tục. Đặt

θ(t) = et , với mọi t ∈ [0, +∞),
và

φ(t) = eϕ(lnt) , với mọi t ∈ [1, +∞).
Rõ ràng là θ ∈ Θ và φ ∈ Φ. Từ định nghĩa hàm φ ta có φ(et ) = eϕ(t) . Tiếp theo
ta chứng minh T là ánh xạ θ − φ co. Thật vậy ta có

θ(d(T x, T y)) = ed(T x,T y) ≤ eϕ(d(x,y)) = φ[ed(x,y) ] = φ[θ(d(x, y))].
Vậy T là ánh xạ θ − φ co. Vì thế theo Định lí 1.2.3, ánh xạ T có một điểm bất
động duy nhất x∗ ∈ X sao cho với mỗi x ∈ X dãy {T n x} hội tụ đến x∗ .
1.2.6 Ví dụ. ([6]) Cho X = {0, ±1, ±2, ...} và mêtric thông thường d(x, y) =
|x − y|.


16

Ánh xạ T : X → X cho bởi


0
T x = −(n − 1)

n − 1

nếu x = 0,
nếu x = n,
nếu x = −n.

Đầu tiên, ta thấy rằng điều kiện co Banach không thể áp dụng với mọi
n > m > 2, thật vậy ta có

d(T n, T m) = n − m = d(n, m).
1
Tiếp theo, T không phải là ánh xạ co Kannan. Thật vậy, giả sử tồn tại α ∈ [0, )
2
sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d(T x, T y) ≤ α(d(x, T x) + d(y, T y)).
Cho x = n, y = 0. Từ bất đẳng thức trên ta suy ra

n − 1 = d(T n, T 0) ≤ α(d(n, T n) + d(0, T 0)) = α(2n − 1)
n−1
với mọi n ∈ N. Điều này kéo theo α ≥
. Lấy giới hạn khi n → ∞ ta
2n − 1
1
thu được α ≥ , điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy, T không phải là ánh xạ co
2
Kannan.
Bây giờ, cho hàm θ : (0, ∞) → (1, ∞) được xác định bởi θ(t) = 5t , và hàm
φ : [1, ∞) → [1, ∞) xác định bởi
φ(t) =

1,
t − 1,

nếu 1 ≤ t ≤ 2;
nếu t ≥ 2.

Rõ ràng, θ ∈ Θ, φ ∈ Φ.
Tiếp theo, ta chứng minh T là ánh xạ θ − φ co kiểu Kannan.
Ta xét 4 trường hợp sau
Trường hợp 1. x = n ≥ 1, y = 0 hoặc x = −n(n ≥ 1), y = 0.
Trong trường hợp này, ta có

d(T x, T y) = n − 1,
d(x, T x) = 2n − 1,
d(y, T y) = 0,


17

θ(d(T x, T y)) = θ(n − 1) = 5n−1 ,
d(x, T x)
d(x, T x) + d(y, T y)
)) = φ(θ(
))
φ(θ(
2
2
2n − 1
= φ(θ(
))
2
1

= φ(5n− 2 )
1

= 5n− 2 − 1
1

= 5n−1+ 2 − 1
√
= 5.5n−1 − 1
≥ 5n−1 = θ(d(T x, T y)).
Trường hợp 2. x = n > y = m ≥ 1 hoặc x = −n < y = −m ≤ −1.
Trong trường hợp này, ta có

d(T x, T y) = n − m,
d(x, T x) = 2n − 1,
d(y, T y) = 2m − 1,
θ(d(T x, T y)) = θ(n − m) = 5n−m ,
d(x, T x) + d(y, T y)
2n + 2m − 2
φ(θ(
)) = φ(θ(
))
2
2
= φ(θ(n + m − 1))
= φ(5n+m−1 )
= 52m−1 .5n−m − 1
≥ 5n−m = θ(d(T x, T y)).
Trường hợp 3. x = n, y = −m, n > m ≥ 1 hoặc x = −n, y = m, n > m ≥ 1.
Trong trường hợp này, ta có

d(T x, T y) = n + m − 2,
d(x, T x) = 2n − 1,
d(y, T y) = 2m − 1,
θ(d(T x, T y)) = θ(n + m − 2) = 5n+m−2 ,


18

φ(θ(

2n + 2m − 2
d(x, T x) + d(y, T y)
)) = φ(θ(
))
2
2
= φ(θ(n + m − 1))
= φ(5n+m−1 )
= 5.5n+m−2 − 1
≥ 5n+m−2 = θ(d(T x, T y)).

Vì vậy, với mọi x, y ∈ X ta có

d(x, T x) + d(y, T y)
)).
2
Vậy, T là ánh xạ θ − φ co kiểu Kannan và do đó T cũng là ánh xạ θ − φ Suzuki.
Áp dụng Định lí 1.2.3, ánh xạ T có một điểm bất động duy nhất. Rõ ràng x = 0
là điểm bất động của ánh xạ T .

θ(d(T x, T y)) ≤ φ(θ(


19

Chương 2

Định lý điểm bất động cho một số ánh
xạ θ − φ co suy rộng
Chương này trình bày một số kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ θ − φ
co yếu, ánh xạ θ − φ − C co, điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ θ − φ co trên
lớp không gian mêtric.
Trong chương này, các lớp hàm Θ và Φ được xác định như ở chương 1.

2.1

Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ co yếu

Mục này trình bày khái niệm, phép chứng minh kết quả về điểm bất động cho
các ánh xạ θ − φ co yếu trên lớp các không gian mêtric.
2.1.1 Định nghĩa. ([8]) Cho (X, d) là một không gian mêtric. Ánh xạ T :
X → X được gọi là ánh xạ θ − φ co yếu nếu tồn tại θ ∈ Θ và φ ∈ Φ sao cho
với bất kì x, y ∈ X , T 2 x = T 2 y ta có

θ(d(T 2 x, T 2 y)) ≤ φ[θ(N (T x, T y))],
trong đó

N (T x, T y) = max{d(T x, T y), d(T x, T 2 x), d(T y, T 2 y),
1
(d(T x, T 2 y) + d(T y, T 2 x))}.

2
2.1.2 Định lí. ([8]) Cho (X, d) là khơng gian mêtric đầy đủ và T là ánh xạ
θ − φ co yếu, tức là tồn tại θ ∈ Θ và φ ∈ Φ sao cho với bất kì x, y ∈ X ,
T 2 x = T 2 y ta có

θ(d(T 2 x, T 2 y)) ≤ φ[θ(N (T x, T y))],

(2.1)


20

trong đó

N (T x, T y) = max{d(T x, T y), d(T x, T 2 x), d(T y, T 2 y),
1
(d(T x, T 2 y) + d(T y, T 2 x))}.
2
Hơn nữa, giả sử T X là không gian con đầy đủ của X . Khi đó ánh xạ T có điểm
bất động duy nhất x∗ ∈ X sao cho dãy {T n x} hội tụ đến x∗ với mỗi x ∈ X .
Tuy nhiên T không liên tục tại điểm x∗ nếu và chỉ nếu

lim N (T x, x∗ ) = lim∗ N (T x, T x∗ ) = 0.

x→x∗

x→x

Chứng minh. Giả sử x0 ∈ X là một điểm tùy ý, ta xây dựng dãy {xn } như sau

xn+1 = T xn , n = 0, 1, 2, 3, ....
Trường hợp 1. Nếu xn0 +1 = T xn0 thì T xn0 = xn0 , n0 ∈ N.
Vậy xn0 là điểm bất động của T .
Trường hợp 2. Giả sử xn = xn+1 với mọi n ∈ N. Khi đó, d(xn+1 , xn+2 ) > 0
với mọi n ∈ N, tức là T 2 xn−1 = T 2 xn với mọi n ∈ N. Áp dụng bất đẳng thức
(2.1) với x = xn−1 , y = xn ta có

θ(d(xn+1 , xn+2 )) = θ(d(T 2 xn−1 , T 2 xn )) ≤ φ [θ(N (T xn−1 , T xn ))] ,

(2.2)

trong đó

N (T xn−1 , T xn )
= max{d(T xn−1 , T xn ), d(T xn−1 , T 2 xn−1 ), d(T xn , T 2 xn ),
1
(d(T xn−1 , T 2 xn ) + d(T xn , T 2 xn−1 ))}
2
1
= max{d(xn , xn+1 ), d(xn+1 , xn+2 ), d(xn+1 , xn+2 )}
2
= max{d(xn , xn+1 ), d(xn+1 , xn+2 )}.
Nếu N (T xn−1 , T xn ) = d(xn+1 , xn+2 ), khi đó theo (2.2) ta có

θ(d(xn+1 , xn+2 )) = θ(d(T 2 xn−1 , T 2 xn )) ≤ φ [θ(d(xn+1 , xn+2 ))] .
Điều này dẫn đến mẫu thuẫn vì từ Bổ đề 1.2.1 ta suy ra

φ [θ(d(xn+1 , xn+2 ))] < θ(d(xn+1 , xn+2 ).

(2.3)

21

Do đó từ (2.3) ta suy ra N (T xn−1 , T xn ) = d(xn , xn+1 ) với mọi n ∈ N. Vậy, từ
(2.2) ta có
θ(d(xn+1 , xn+2 )) ≤ φ [θ(d(xn , xn+1 ))] .
Chứng minh tương tự ta thu được

θ(d(xn , xn+1 )) ≤ φ [θ(d(xn−1 , xn ))]
≤ φ2 [θ(d(xn−2 , xn−1 ))]
≤ φ3 [θ(d(xn−3 , xn−2 ))]
............
≤ φn [θ(d(x0 , x1 ))].
Từ Φ(2) ta có

lim φn [θ(d(x0 , x1 ))] = 1.

n→∞

Từ định nghĩa hàm θ ta suy ra

lim θ(d(xn , xn+1 )) = 1.

n→∞

Kết hợp với Θ(2) ta nhận được

lim d(xn , xn+1 ) = 0.

n→∞

(2.4)

Tiếp theo ta chứng minh {xn } là dãy Cauchy trong X .
Giả sử ngược lại, {xn } khơng phải là dãy Cauchy, khi đó tồn tại η > 0 và hai
dãy {p(n)} và {q(n)} sao cho với mọi n ∈ N ta có

n < q(n) < p(n), d(xp(n) , xq(n) ) ≥ η và d(xp(n)−1 , xq(n) ) < η.
Khi đó

η ≤ d(xp(n) , xq(n) ) ≤ d(xp(n) , xp(n)−1 ) + d(xp(n)−1 , xq(n) ) ≤ d(xp(n) , xp(n)−1 ) + η.
(2.5)
Từ (2.4) và (2.5) ta suy ra

lim d(xp(n) , xq(n) ) = η.

n→∞

(2.6)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong định nghĩa mêtric ta có

d(xp(n)+1 , xq(n)+1 ) − d(xp(n) , xq(n) ) ≤ d(xp(n) , xp(n)+1 ) + d(xq(n) , xq(n)+1 ).
(2.7)


22

Kết hợp (2.4),(2.6) và (2.7) ta thu được

lim d(xp(n)+1 , xq(n)+1 ) = η.

n→∞

Điều này kéo theo d(xp(n)+1 , xq(n)+1 ) > 0 hay T 2 xp(n)−1 = T 2 xq(n)−1 .
Áp dụng bất đẳng thức (2.1) với x = xp(n)−1 , y = xq(n)−1 ta có

θ(d(xp(n)+1 , xq(n)+1 )) = θ(d(T 2 xp(n)−1 , T 2 xq(n)−1 ))
≤ φ θ(N (T xp(n)−1 , T xq(n)−1 )) ,

(2.8)

trong đó

N (T xp(n)−1 , T xq(n)−1 )
= max{d(T xp(n)−1 , T xq(n)−1 ), d(T xp(n)−1 , T 2 xp(n)−1 ), d(T xq(n)−1 , T 2 xq(n)−1 ),
1
(d(T xp(n)−1 , T 2 xq(n)−1 ) + d(T xq(n)−1 , T 2 xp(n)−1 ))}
2
= max{d(xp(n) , xq(n) ), d(xp(n) , xp(n)+1 ), d(xq(n) , xq(n)+1 ),
1
(d(xp(n) , xq(n)+1 ) + d(xq(n) , xp(n)+1 ))} → max {η, 0, 0, η} = η, (n → ∞)
2
Cho n → ∞ và từ (2.8) ta thu được

θ(η) ≤ φ [θ(η)] .
Kết hợp với Bổ đề 1.2.1 ta có

θ(η) ≤ φ [θ(η)] < θ(η).

Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy {xn } là một dãy Cauchy trong X . Vì T X là
khơng gian con đầy đủ và {xn } ∈ T X nên {xn } hội tụ đến x∗ ∈ T X . Do đó,
tồn tại y ∈ X sao cho T y = x∗ .
Bây giờ ta sẽ chứng minh x∗ là điểm bất động của ánh xạ T .
Nếu x∗ = T x∗ thì

θ(d(xn+1 , T x∗ )) = θ(d(T 2 xn−1 , T 2 y)) ≤ φ[θ(N (T xn−1 , T y))],

(2.9)


23

trong đó

N (xn , x∗ ) = N (d(T xn−1 , T y))
= max{d(T xn−1 , T y), d(T xn−1 , T 2 xn−1 ), d(T y, T 2 y),
1
(d(T xn−1 , T 2 y) + d(T y, T 2 xn−1 ))}
2
1
= max{d(xn , x∗ ), d(xn , xn+1 ), d(x∗ , T x∗ ), (d(xn , T x∗ ) + d(x∗ , xn+1 ))}
2
1
→ max{0, 0, d(x∗ , T x∗ ), d(x∗ , T x∗ )} = d(x∗ , T x∗ ), (n → ∞).
2
Cho n → ∞ và kết hợp với (2.9) ta thu được

θ(d(x∗ , T x∗ ) ≤ φ [θ(d(x∗ , T x∗ ))] .
Điều này mâu thuẫn với φ [θ(d(x∗ , T x∗ ))] < θ(d(x∗ , T x∗ ). Vậy x∗ = T x∗ hay

x∗ là điểm bất động của ánh xạ T . Cuối cùng, ta sẽ chứng tỏ ánh xạ T có điểm
bất động duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại y ∗ là điểm bất động khác của ánh
xạ T sao cho

T x∗ = x∗ = y ∗ = T y ∗ .
Khi đó

T 2 x∗ = T x∗ = x∗ = T 2 y ∗ = T y ∗ = y ∗ .

Áp dụng bất đẳng thức (2.1) với x = x∗ , y = y ∗ ta có

θ(d(x∗ , y ∗ )) = θ(d(T 2 x∗ , T 2 y ∗ )) ≤ φ[θ(N (T x∗ , T y ∗ ))]
= φ[θ(d(x∗ , y ∗ ))] < θ(d(x∗ , y ∗ )),
điều này mâu thuẫn. Vậy ánh xạ T có duy nhất điểm bất động sao cho với mỗi
x ∈ X dãy {T n x} hội tụ đến x∗ .

1
: n ∈ N∗ } với mêtric
n
thông thường d(x, y) = |x − y| và ánh xạ T : X → X được xác định bởi

0,
nếu x = 0;





−(n − 1), nếu x = n;
T x = n − 1,

nếu x = −n;



n,
nếu x = n1 ;



−n,
nếu x = − n1 .
2.1.3 Ví dụ. ([8]) Cho X = {0} ∪ {±n : n ∈ N∗ } ∪ {±