Sử dụng phương pháp phân tích bình phương s.o.s để chứng minh bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN
THƠ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG
TỔ TOÁN

CHUYÊN ĐỀ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH
PHƯƠNG S.O.S ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC

Giáo viên hướng dẫn:
Thầy Huỳnh Bửu Tính


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

MỤC LỤC
MỤC LỤC..................................................................................................................................1
PHẦN MỞ ĐẦU........................................................................................................................2
1.

Lý do chọn đề tài..............................................................................................................2

2.

Mục đích..........................................................................................................................2

3.

Đối tượng áp dụng phương pháp.....................................................................................2

4.

Phương pháp nghiên cứu.................................................................................................2

5.

Ý nghĩa thực tiễn..............................................................................................................2

SƠ LƯỢC VỀ S.O.S.................................................................................................................3
1.

Bài toán mở đầu...............................................................................................................3

2.

Tư tưởng...........................................................................................................................3

NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP S.O.S.......................................................................................5
1.

Định lý.............................................................................................................................5

2.

Một số phân tích cơ bản...................................................................................................6

3.

Các cách xử lý dạng chuẩn tắc.........................................................................................7

LUYỆN TẬP............................................................................................................................11
LỜI GIẢI.................................................................................................................................13
KẾT LUẬN..............................................................................................................................21
1.

Kết quả đạt được của đề tài............................................................................................21

2.

Hướng phát triển của đề tài............................................................................................21

QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU................................................................................................22
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................23

1


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức hiện nay là một mảng đề tài toán học rất đặc sắc ngày càng được nhiều người
quan tâm. Bất đẳng thức tỏ ra có sực hấp dẫn mạnh mẽ đối với các bạn học sinh nhờ vẻ đẹp
tuyệt vời của nó. Bất đẳng thức là một dạng tốn hay và khó đặc biệt là trong các kì thi như:
Olympic 30/4, kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, trại hè phương nam,...Các phương pháp và

kỹ thuật giải chúng ngày càng được mở rộng và phát triển hơn, trong đó khơng thể khơng kể
đến phương pháp phân tích bình phương S.O.S, một phương pháp tự nhiên và rất hiệu quả,
đặc biệt vô cùng hiệu quả đối với các bất đẳng thức đối xứng chuẩn (bất đẳng thức đối xúng
ba biến với dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau) .

2. Mục đích
Tìm hiểu, học tập và thuần thục phương pháp.
Nghiên cứu, phát triển và chia sẻ cho các bạn có cùng đam mê một phương pháp hiệu quả để
chứng minh bất đẳng thức.

3. Đối tượng áp dụng phương pháp
Phương pháp S.O.S có thể được sử dụng trong nhiều dạng bất đẳng thức khác nhau, nhưng
trong phạm vi chuyên đề này chỉ nghiên cứu ứng dụng của phương pháp S.O.S trong bất đẳng
thức đối xứng ba biến với dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đầu tiên phải hiểu rõ bản chất của phương pháp S.O.S, từ đó mới có thể áp dụng, tìm tịi
nghiên cứu kĩ hơn, sâu hơn thơng qua các bài toán kinh điển hoặc các bất đẳng thức trong đề
thi gần đây.

5. Ý nghĩa thực tiễn
Về nhóm thực hiện, chúng em thông hiểu và vận dụng hiểu quả phương pháp để xử lí các bất
đẳng thức.
Chia sẻ cho các bạn đam mê Toán để các bạn biết thêm về một cơng cụ hữu ích để chứng
minh bất đẳng thức.

2


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

SƠ LƯỢC VỀ S.O.S
1. Bài tốn mở đầu
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta ln có bất đẳng thức
a
b
c
3


�
bc ac ab 2

Đây là bất đẳng thức Nesbit nổi tiếng, chắc hẳn chúng ta đã được tiếp cận ngay từ khi mới bắt
đầu học về bất đẳng thức. Đây là một bất đẳng thức khơng chặt lắm và có khá nhiều hướng đi
để chứng minh bài này. Cách làm thông dụng nhất là ta sẽ nhân lần lượt tử và mẫu các phân
thức cho a, b, c để áp dụng được bất đẳng thức Cauchy-Swarchz.

a
b
c
a2
b2
c2
S






b  c a  c a  b ab  ac ab  bc ac  bc
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

a2
b2
c2
(a  b  c)2
S


�
ab  ac ab  bc ac  bc 2(ab  bc  ca )
Tiếp tục, ta sử dụng một bất đẳng thức khá quen thuộc nữa là

(a  b  c)2 �3(ab  bc  ac) (bất đẳng thức Bunyakovsky)
3
S�
2.
Từ đó dễ dàng chứng minh được

Để ý kỹ, để chứng minh bài toán này ta cần phải thông qua hai bất đẳng thức trung gian là
Cauchy-Swarchz và Bunyakovsky. Tuy nhiên có một cách làm chỉ sử dụng một kiến thức cơ

x 2 �0, x ��

bản là
, và hiển nhiên là cách làm đó sẽngắn gọn và đẹp mắt hơn. Đó là
phương pháp S.O.S.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
2a( a  b)(a  c)  2b(b  c )(b  a )  2c(c  a )(c  b) �3(a  b)(b  c)(c  a )

� 2  a 3  b 3  c 3   ab(a  b)  bc (b  c )  ac (a  c ) �0
� (a  b)( a  b) 2  (b  c)(b  c) 2  (c  a)(c  a )2 �0

Bất đẳng thức ln đúng vì các đại lượng luôn không âm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .

6. Tư tưởng

3


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

Với phương pháp phân tích bình phương S.O.S (Sums of Squares), chúng ta sẽ phân tích biểu

(a  b) , (b  c) , (c  a) cùng các hàm số theo a, b, c đi
thức thành dạng tổng các bình phương
kèm với các bình phương đó, nghĩa là đưa bất đẳng thức đã cho về dạng chính tắc:
2

2

2

S  Sa (b  c) 2  Sb (c  a) 2  S c (a  b) 2 �0

Việc sử dụng phương pháp S.O.S đã làm bài toán đơn giản hơn, lời giải đẹp và ngắn gọn hơn
rất nhiều. chúng ta cùng xét thêm một số ví dụ để làm rõ điều này.
Sau đây là bất đẳng thức AM-GM bậc 3.

VD1 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta ln có bất đẳng thức
a 3  b3  c 3 �3abc

Giải
Khi hỏi về cách chứng minh cụ thể cho bất đẳng thức này nếu chưa biết đến S.O.S, có thể ta
sẽ cảm thấy một chút bối rối. Tuy nhiên lời giải thật ngắn gọn và đơn giản đến bất ngờ
VT  VP  a 3  b3  c3  3abc 

1
( a  b  c) �
( a  b) 2  (b  c) 2  ( c  a) 2 �
�
��0
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .

VD2 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta ln có bất đẳng thức

3(a3  b3  c3 ) �(a  b  c)(a 2  b2  c 2 )
Giải
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp S.O.S để chứng minh bất đẳng thức này. Ta có

VT  VP  3( a 3  b3  c3 )  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2 )  �(a  b)(a  b) 2 �0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .

4


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP S.O.S
Khi nào ta được áp dụng S.O.S vào việc chứng minh bất đẳng thức?
Ta tiếp tục xét các bất đẳng thức sau
1
1
1
3
 2
 2
�
a  bc b  ac c  ab ab  bc  ca
2

(với a, b, c là các số thực không âm thỏa ab  bc  ca �0 )

a 3  b3  c 3  3abc �2(2b  c  a )3
(với a, b, c là các số thực không âm thỏa a �b �c )
Khi làm các bất đẳng thức trên bằng phương pháp S.O.S, ta cảm thấy đưa về dạng chính tắc là
bất khả thi. Vậy câu hỏi đặt ra ở đây là khi nào ta có thể áp dụng S.O.S để chứng minh bài
tốn? Để giải đáp câu hỏi này ta cùng xét qua định lý sau.

1. Định lý
Giả sử F (a, b, c) là một đa thức đối xứng ba biến chuẩn thì tồn tại một đa thức nửa đối xứng

ba biến G ( a, b, c ) sao cho đồng nhất thức sau là đúng

F (a, b, c)  G (a, b, c)(b  c) 2  G (b, c, a)(c  a) 2  G (c, a, b)(a  b) 2
Phần chứng minh tham khảo trong [1]

Định nghĩa
+ Hàm

F ( a, b, c )

được gọi là hàm đối xứng ba biến chuẩn khi và chỉ khi

F (a, b, c )  F ( x, y , z ) đúng với mọi hoán vị ( x, y, z ) của (a, b, c ) và F ( x, x, x)  0

+ Hàm G ( a, b, c) được gọi là là nửa đối xứng ba biến khi và chỉ khi đẳng thức sau đúng
G ( a , b, c )  G ( a , c, b )

Định lý trên khẳng định niềm tin của chúng ta về sự tồn tại một biểu diễn cơ sở cho hàm phân
thức đối xứng ba biến cho phép chứa các số mũ hữu tỷ.
Từ đó nhận thấy khi chúng ta có những điều kiện sau thì có thể áp dụng S.O.S
 Bất đẳng thức đối xứng ba biến.
 Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi ba biến bằng nhau.

Lưu ý
Bất đẳng thức khơng thỏa các điều kiện trên vẫn có thể áp dụng S.O.S (ví dụ như một số bất
đẳng thức hốn vị)

5

THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

Khi bất đẳng thức thỏa các điều kiện trên ta cần xem xét các tử và mẫu của phân thức có phức
tạp hay khơng vì khi đưa về dạng chính tắc các biểu thức
khó xử lý.

S a , Sb , Sc

quá phức tạp dẫn đến việc

7. Một số phân tích cơ bản
Bước đầu tiên của việc áp dụng phương pháp S.O.S là đưa các bất đẳng thức về dạng chính
tắc

S  Sa (b  c) 2  Sb (c  a) 2  S c (a  b) 2 �0
với

Sa , Sb ,Sc

là các hàm theo a, b, c

Sau đây là các đẳng thức thường dùng trong phân tích.

* Đẳng thức với hai biến

a 2  2ab  b 2  (a  b) 2
a b
( a  b) 2

 2 
b a
ab
2
a 2  b2 a  b  a  b 


ab
2
2(a  b)

a3  b3  ab(a  b)  (a  b)(a  b) 2

a 4  b 4  ab(a 2  b2 )  (a 2  ab  b 2 )(a  b)2
2(a 2  b 2 )  (a  b) 

(a  b)2
a  b  2(a 2  b 2 )

* Đẳng thức với ba biến
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca 

1�
2
2
2
 a  b   b  c   c  a �
�
�
2

1
1
2
2
2
a 2  b 2  c 2  (a  b  c) 2  �
�a  b    b  c    c  a  �
�
3
3
a 3  b3  c3  3abc 

1
2
2
2
 a  b  c �
 a  b   b  c    c  a  �
�
�
2

(a  b)(b  c)(c  a)  8abc  a(b  c) 2  b(a  c ) 2  c(a  b)2
a 3  b3  c 3  3abc  ab(a  b)  bc (b  c)  ac(a  c) 
6

1
�(a  b  c)(a  b)2
2

THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

 a  b
a
b
c
3


 �
bc a c a b 2
2(a  c)(b  c)
2

 a  b  c

3

�a  b  7c �
2
 27abc  ��
�(a  b)
� 2
�

a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c) 

1
2
�
( a  b) 2
 a  b  c2 �
�
�
�
2

3(a3  b3  c3 )  (a  b  c )(a 2  b 2  c 2 )  �(a  b)(a  b)2
VD3 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta ln có bất đẳng thức

a 2  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2 3(a 2  b 2  c 2 )


�
ab
bc
ca
a bc
Giải
Trừ hai vế của bất đẳng thức cho a  b  c ta được

3( a 2  b 2  c 2 )
a 2  b2 a  b
 (a  b  c ) ��(

)

abc
ab
2
Ta sử dụng các đẳng thức sau
2
a 2  b2 a  b  a  b 


ab
2
2(a  b)

3(a 2  b 2  c 2 )
(a  b) 2
 (a  b  c)  �
abc
(a  b  c )
Bất đẳng thức đã cho tương đương

� 1

1

�

��a  b  c  2(a  b) �(a  b)
�

۳

�

(a  b  c)(a  b) 2
� ab

2

�0

0

Sau khi đưa bất đẳng thức về dạng chuẩn tắc, ta nhận thấy các đại lượng chưa hẳn luôn
dương, đến đây ta xử lý như thế nào??!?

8. Các cách xử lý dạng chuẩn tắc
Sau khi đưa được bất đẳng thức về dạng chuẩn tắc

S  Sa (b  c) 2  Sb (c  a) 2  Sc (a  b) 2 �0
với

Sa , Sb ,Sc

,

là các hàm theo a, b, c
7


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

Ta có các cách xử lý sau:
 Nếu

S a , Sb ,Sc �0

với mọi a, b, c thì dễ thấy S �0 vì các đại lượng đều không âm

S , S ,S

 Trong trường hợp một trong các số biểu thức a b c không luôn dương, để tiện cho việc
xử lí ta cần giả sử a �b �c .(Trong trường hợp bất đẳng thức hoán vị cần giả sử thêm
a �c �b )
 Nếu

Sb �0

, do

(a  c)2  (a  b)2  2(a  b)(b  c)  (b  c)2 �(a  b)2  (b  c) 2 , nên

S  Sa (b  c)2  Sb (a  c) 2  Sc (a  b) 2 � S a  Sb  (b  c ) 2   Sb  S c  (a  b) 2

Từ bất đẳng thức trên, ta có thể hồn tất bài tốn thơng qua việc chứng minh

 Sa  Sb  �0 và  Sb  Sc  �0 .

 Nếu
nên

Sb �0

, do

(a  c) 2  ( a  b) 2  2( a  b)(b  c)  (b  c) 2 �2( a  b) 2  2(b  c) 2 ,

S  Sa (b  c)2  Sb (a  c) 2  Sc (a  b) 2 � Sa  2Sb  (b  c) 2   2Sb  Sc  (a  b) 2

Sau khi đã có đánh giá trên, việc còn lại của chúng ta chỉ là chứng minh hai bất đẳng
thức khá đơn giản là

 Sa  2Sb  �0 và  2Sb  Sc  �0 .

 Trong nhiều trường hợp, ta cần thêm một số ước lượng mạnh hơn, chẳng hạn ước
ac a
�
lượng hay dùng đến là b  c b . Khi có

Sb , Sc �0

, thì

2
2
� �a  c �
�
�
a�
2� �

Sa (b  c)  Sb ( a  c)   b  c  �
Sb � � Sa �� b  c  �
Sb � � Sa �
� �b  c �
�
� �b �
�
2

2

2

a 2 Sb  b 2 S a �0

Và như vậy bài toán sẽ được chứng minh nếu
. Tuy nhiên khi làm bài,
b
�
c
ta cần chú ý để có được đánh giá trên thì
. Nên khi sử dụng đánh giá này thì cần
b

c
b

c
chia ra hai trường hợp là
và

.
 Ngồi ra nếu

Sa  Sb  Sc �0

và

Sa Sb  Sb Sc  S c S a �0

thức bậc hai cũng dễ dàng suy ra được
Trở lại bài toán ban đầu

a 2  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2 3(a 2  b 2  c 2 )


�
ab
bc
ca
abc
2
(a  b  c )(a  b)
۳ �
0
ab

Ta tìm được

Sc 

, thì theo định lý về dấu của tam

S  Sa (b  c)  Sb (c  a) 2  Sc (a  b) 2 �0
2

abc
acb
bca
Sb 
Sa 
ab ,
ac ,
bc
8


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

Do tính đối xứng nên có thể giả sử rằng a �b �c , khi đó dễ thấy

a Sb  b S a �0
2

lại ta cần chứng minh là

a 2 Sb  b 2 S a 

Sb , Sc �0

. Từ đó việc cịn

2

.

a 2 (a  c  b) b 2 (b  c  a) ab(a  b)2  b3c  b 2c 2  a 3c  a 2c 2


�0
ac
bc
(a  c )(b  c )

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hoặc
a  b, c  0 hoặc các hoán vị tương ứng.

9


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

VD4 (Bất đẳng thức Schur) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:
a 3  b3  c 3  3abc �ab(a  b)  bc(b  c )  ac (a  c)

Giải
Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3, một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng. Có nhiều

cách chứng minh khác đơn giản hơn cho bất đẳng thức này. Tuy nhiên ở đây sẽ chứng minh
bằng phương pháp S.O.S để các bạn có thể hiểu rõ hơn về phương pháp này
Đầu tiên ta cần đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng chuẩn tắc

S  Sa (b  c) 2  Sb (c  a) 2  S c (a  b) 2 �0
Ta có các biến đổi sau

2a 3  2b3  2c 3  6abc �2ab(a  b)  2bc(b  c )  2ac (a  c )
� ��
a3  b3  ab( a  b) �
�
� 6abc  � ab( a  b)  �0
� ��
a3  b3  ab( a  b) �
2abc  c( a 2  b 2 ) �
�
� ��
�
��0
� �(a  b)(a  b)2 �c (a  b)2 �0
� �(a  b  c )(a  b)2 �0
Ta tìm được

S c  a  b  c Sb  a  c  b S a  b  c  a
,

,

Do tính đối xứng nên có thể giả sử rằng a �b �c , khi đó dễ thấy
lại ta cần chứng minh là

Sb , Sc �0

 Sa  Sb  �0 . Luôn đúng do  Sa  Sb   2c �0 .

. Từ đó việc cịn

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hoặc
a  b, c  0 hoặc các hoán vị tương ứng.

VD5 (Bất đẳng thức dạng Schur) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có
a 3  b3  c 3  3abc �ab 2a 2  2b 2  bc 2b 2  2c 2  ac 2a 2  2c 2

Giải
Đầu tiên cần đưa bất đẳng thức về dạng chuẩn tắc. Bất đẳng thức cần chứng minh tương
đương

a 3  b3  c 3  3abc  �ab(a  b) ���
ab 2a 2  2b 2  ab(a  b) �
�
�
Ta sử dụng các phân tích sau:

10


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

a 3  b3  c 3  3abc  ab(a  b)  bc (b  c )  ac (a  c ) 

1
(a  b  c )(a  b) 2
�
2

2(a  b )  (a  b) 
2

( a  b) 2

2

a  b  2(a 2  b 2 )

Bất đẳng thức đã cho được viết thành
1
ab
( a  b  c )( a  b) 2 ��
( a  b) 2
�
2
2
2
a  b  2(a  b )
�
�
a bc
ab

� ��

(a  b)2 �0
�
2
2
2
�
a  b  2(a  b ) �
�
�

Vậy

Sc 

abc
ab

2
a  b  2(a 2  b 2 )

Sb 

a c b
ac

2
a  c  2(a 2  c 2 )

Sa 

bca
bc

2
b  c  2(b 2  c 2 )

Giả sử a �b �c . Ta có

Sc 

Sb , Sc �0

do

2(a 2  b2 )(a  b  c )  a 2  b2  c(a  b)
�0
2
2 �
�
2 a  b  2(a  b )
�
�
( a �b �c )

2(a 2  c 2 )(a  c  b)  a 2  c 2  b(a  c )
2(a 2  c 2 )c  ab  c 2  b(a  c)
Sb 
�

2�
a  c  2(a 2  c 2 ) �
2�
a  c  2(a 2  c 2 ) �
�
�
�
�
2
ac  ab  c  b(a  c)
�
�0
2
2 �
�
2 a  c  2( a  c )
�
�
Từ đó việc cịn lại ta cần chứng minh là
Sa  Sb  c 

ac
a  c  2(a 2  c 2 )



 Sa  Sb  �0 . Ta có
bc

b  c  2(b 2  c 2 )

�
�
a
b
c�
1

�
2
2
2
2
�
� a  c  2(a  c ) b  c  2(b  c ) �
�

Do c �0 nên

11


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán
1

a
a  c  2(a  c )
2

2

Vậy ta được kết quả



Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

b
b  c  2(b  c )
2

2

�1 

a
a  2a

2



b
b  2b 2

0

 Sa  Sb  �0 . Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hoặc a  b, c  0 hoặc các hoán vị tương ứng.

12


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

LUYỆN TẬP
Bài 1 Cho tam giác ABC . Kí hiệu a  BC , b  AC , c  AB . Chứng minh
sin
sin

A
2

B
C
sin
2
2

sin



sin

B
2

A
C
sin
2
2



sin

C
2

(a  b  c) 3
3�
A
B
3abc
sin sin
2
2

Bài 2 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ab  bc  ca �0 . Chứng minh rằng

ab
bc
ca
1 ab  bc  ca



 � 2 2 2
2
2
2
(a  b) (b  c) (c  a) 4 a  b  c
Bài 3 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ab  bc  ca �0 . Chứng minh rằng

3ab
3bc
3ca
ab  bc  ca 5


� 2 2 2
2
2
2
(a  b) (b  c) (c  a) a  b  c 4
Bài 4 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ab  bc  ca �0 . Chứng minh rằng

a3
b3
c3
3


 ab  bc  ca � (a 2  b 2  c 2 )
bc ca a b
2

Bài 5 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ab  bc  ca �0 . Chứng minh rằng

2ab
2bc
2ca
a 2  b2  c2 5



�
(a  b) 2 (b  c) 2 (c  a) 2 ab  bc  ca 2
Bài 6 (Iran TST 1996) . Chứng minh rằng với các số thực không âm x, y, z ta có bất đẳng
thức:
1

 x  y

2



1

 y  z

2



1

9
�
2
( z  x)
4  xy  yz  zx 

Bài 7 (VMO 2015) Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

3(a 2  b 2  c 2 ) �(a  b  c)( ab  bc  ca )  (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2 �(a  b  c )2
Bài 8 Cho các số thực a, b, c dương. Tìm hằng số k tốt nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn
đúng:
a 3  b3  c 3
k (ab  bc  ca ) 3 k

� 
( a  b)(b  c)(c  a )
( a  b  c) 2
8 3

Bài tập tự luyện không đáp án
Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh

13


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

ab bc

ac 9


�
ab  1 bc  1 ac  1 5

Bài 2 Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

a
b
c
4a 2b 2 c 2
(a  b  c)( 2 2  2 2  2 2 ) �4  2 2 2 2 2
b c a c a b
(a  b )(b  c )(c  a 2 )
Bài 3 Tìm hằng số thực dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi a, b, c
là các số thực không âm tùy ý:

ab
bc
ac
a2  b2  c2 3 k



k
� 
(a  b) 2 (b  c )2 (a  c ) 2
(a  b  c ) 2 4 3
Bài 4 Tìm hằng số thực dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi a, b, c

là các số thực không âm tùy ý:

8abc
a 2  b2  c 2
k
k
�1 
2
( a  b)(b  c)(c  a)
(a  b  c)
3
Bài 5 Chứng minh rằng với mọi a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab  bc  ca  3 , ta
có bất đẳng thức:
1
1
1
abc
3


�

ab bc ac
6
abc

Bài 6 Chứng minh rằng với mọi a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab  bc  ca �0 , ta
có bất đẳng thức:

1

1
1
9
 2
 2
�
2
2
2
4b  bc  4c 4a  ac  4c 4a  ab  4b 7(a  b  c) 2
2

14


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

LỜI GIẢI
Bài 1 Cho tam giác ABC . Kí hiệu a  BC , b  AC , c  AB . Chứng minh
sin
sin

A
2

B
C
sin

2
2

sin



sin

B
2

A
C
sin
2
2



sin

C
2

( a  b  c) 3
3�
A
B
3abc

sin sin
2
2

Giải
Để chứng minh bất đẳng thức này ta cần đổi

sin

Xin được nêu ra không chứng minh biểu thức đó:

A
B
C
, sin , sin
2
2
2 về các biểu thức theo a, b, c .

sin

A
( p  b)( p  c)

2
bc
.

Từ đó có thể biến đổi bất đẳng thức thành
a

b
c
( a  b  c) 3


3�
pa pb p c
3abc
�a
� ( a  b  c) 3
� ��
 1��
3abc
�p  a �
۳

� 2 p � ( a  b  c)3
��2 p  2a � 3abc
�
�

�

1
1
1
( a  b  c) 2


�

abc acb bca
3abc

Để việc áp dụng phương pháp S.O.S, ta cần làm biến mất các mẫu số
a  b  c, a  c  b, b  c  a nhằm làm các biểu thức sau khi đưa về dạng chính tắc khơng q
phức tạp. Ta quy đồng mẫu 3 phân thức rồi chuyển tích của 3 mẫu số sang vế bên kia.

2ab  2bc  2ac  a 2  b 2  c 2 (a  b  c )2
�
(a  b  c )(a  c  b )(b  c  a )
3abc
۳

2ab  2bc  2ac  a 2  b 2  c 2
( a  b  c) 2

(a  b  c)(a  c  b)(b  c  a )
3abc

2ab  2bc  2ac  a 2  b 2  c 2 1 (a  b  c)(a  c  b)(b  c  a ) 1
�
 �

3
3abc
3
( a  b  c) 2
۳

2� a  b 

2

3( a  b  c) 2



1  a  b  c
( a  b) 2
�
2
3abc

�
�
abc
2
2
� ��

�a  b  �0
2 
2abc
�
 a  b  c �
�
�
Ta tìm được

15

THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Sc 

abc
2

2
2abc
 a  b  c

Sb 

a  c b
2

2
2abc
 a  b  c

Sa 

bca
2

2
2abc
 a  b  c

Giả sử a �b �c . Ta chứng minh
vì a �b

 a  b  c
và

vì b �c

 a  b  c
và

2

2

Sb , Sc �0

.

�4ab

bcb
2
Sb �

0
2abc
4ab
nên

�4bc

acc
2
Sc �

0
2abc
4bc
nên

Từ đó việc cịn lại ta cần chứng minh là

S a  Sb 

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

 Sa  Sb  �0 . Ta có

1
4
1
4

� 
0
2
ab (a  b  c) ab 4ab

 Sa  Sb  �0 . Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra

Vậy ta được kết quả
khi và chỉ khi a  b  c

Bài 2 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ab  bc  ca �0 . Chứng minh rằng

ab
bc
ca
1 ab  bc  ca


 � 2 2 2
2
2
2
(a  b) (b  c) (c  a) 4 a  b  c
Giải
Bất đẳng thức đã cho trở thành:
1

�
ab  bc  ca
1
bc �
��� 
2
2
2

4 (b  c) 2 �
a b c
�
�

(b  c) 2
۳ 2� 2 2 2
a b c

(b  c ) 2
�(b  c)2

� a 2  b2  c 2 �
� �(b  c) 2 �
2
�0
(b  c) 2 �
�
�

Mặt khác
2

a2  b2  c2
2bc  a 2
�a �
2

1


�1  �
�
2
2
(b  c)
(b  c)
�b  c �

Mà ta phải đưa bất đẳng thức trên về dạng
16


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

(b  c)2 Sa  (c  a)Sb  (a  b)2 Sc �0
Khi đó thì
2

2

2

�a �
�b �
�c �
Sa  1  �
� Sb  1  �
� Sc  1  �

�
�b  c �,
�c  a �,
�a  b �

S �0
Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử a �b �c . Khi đó b
và
Ta cần chứng minh

Sc �0

b 2 Sa  a 2 Sb �0

Thật vậy,
2

2

�ab � � ab �
b S a  a Sb  a  b  �
� �
�
�b  c � �c  a �
2

2

2

2

2
2
� �b �
� 2� �a �
�
a �
1  � �� b �
1 �
���0
� �b  c �� � �c  a ��
2

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hoặc với a  0 và b  c hoặc các hoán vị tương
ứng
Bài 3 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ab  bc  ca �0 . Chứng minh rằng

3ab
3bc
3ca
ab  bc  ca 5


� 2 2 2 
2
2
2
(a  b) (b  c) (c  a )

a b c
4
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
�
1
bc �
ab  bc  ca
3�� 
�1  2
2 �
4 (b  c ) �
a  b2  c2
�
�  b  c  Sa   c  a  Sb   a  b  Sc �0
2

(b  c) 2
۳ 3�
(b  c) 2

2

2

(b  c ) 2
2� 2
 *
a  b2  c 2

i

Với

Sa 

3(a 2  b 2  c 2 )
2
(b  c) 2
,

3( a 2  b 2  c 2 )
3(a 2  b 2  c 2 )
Sb 
 2 Sc 
2
(c  a ) 2
(a  b) 2
,

S
Khơng mất tính tổng qt, giả sử a �b �c . Khi đó dễ thấy a
17

0

, cũng có


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

a 2  3b 2  c 2  4ac (a  2c) 2  3(b 2  c 2 )
Sb 

0
(c  a ) 2
(c  a ) 2
Ta cần chứng minh

Sb  Sc  0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
� 1
1 �
Sb  Sc  3(a 2  b 2  c 2 ) �

� 4
2
(c  a )
( a  b) 2 �
�

12(a 2  b 2  c 2 )
4(a  b  c) 2  4(b  c) 2
�

4


�0
(c  a ) 2  ( a  b) 2
( c  a ) 2  ( a  b) 2
a
bc
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hoặc 2
hoặc các hoán vị của chúng

Bài 4 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ab  bc  ca �0 . Chứng minh rằng

a3
b3
c3
3


 ab  bc  ca � (a 2  b 2  c 2 )
bc ca a b
2
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
�2a 3
�
��b  c  a 2 ���(a  b)2  *
�
�

Mặt khác, ta có
�2a 3
a 2 (a  b )  a 2 ( a  c )

a 2 (a  b )
b 2 (b  a )
2�

a



��b  c � �
� bc � ca
bc
�
�

(a  b) 2 (a 2  b 2  ab  bc  ca )
�
(b  c)(c  a)
S a   b  c   b 2  c 2  a 2  Sb   c  a   c 2  a 2  b 2  S c   a  b   a 2  b 2  c 2 
Đặt
,
,

Khi đó

 *

tương đương với

 b  c

2

S a   c  a  Sb   a  b  S c �0
2

S
Khơng mất tính tổng qt, giả sử a �b �c .Dễ thấy b

2

�0 Sc �0
,

S a  Sb   a  b   a  b   c 2  a  b  2c  �0
2

Ta được

� b  c 

2

S a � b  c  S a   a  c  Sb � b  c 
2

2

2

18

 S a  Sb  �0

và


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hoặc a  0 và b  c hoặc các hoán vị của chúng.

19


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

Bài 5 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa ab  bc  ca �0 . Chứng minh rằng

2ab
2bc
2ca
a 2  b2  c2 5



�
(a  b) 2 (b  c) 2 (c  a) 2 ab  bc  ca 2

Giải
Ta viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng
�1
a 2  b2  c 2
2bc
 1 ��� 
�2  b  c  2
ab  bc  ca
�

 b  c

2

 b  c
� b  c 2  *


2

�ab  bc  ca

۳

�
�
�
�

Đặt

Sa  1 

Khi đó

ab  bc  ca

 b  c

 *

Sb  1 

2

,

ab  bc  ca

 c  a

được biết dưới dạng

 b  c

ab  bc  ca

Sc  1 

2

 a  b

,
2

S a   c  a  Sb   a  b  S c �0
2

Khơng mất tính tổng quát, giả sử rằng a �b �c . Với
Sb �1 

 c  a   c  b
2
 c  a



2

2

Sc  0

và

a b
�0
ca

Lại có

� b  c 


 b  c

2

2

Sa � b  c  Sa   c  a  Sb � b  c  S a 

b S

2

2

a

 a 2 Sb 

b2

2

2

a2
2

b  c  Sb
2 
b

�0

Mặt khác
2
2
�
� b � � a ��
b Sa  a Sb  a  b   ab  bc  ca  �
� � �
��
�b  c � �c  a ��
�
2

2

2

2

2
2
�
� b � � a ��
�a  b    b  c   c  a   �
� � �

��
�b  c � �c  a ��
�
2

2

20


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

� bc � 2� ca�
 a2 �
1
1
� b �
�
� ca� � bc �

 a  b   ab  bc  ca  �0

 b  c  c  a
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hoặc a  b, c  0 các hoán vị của chúng. Ta có
đpcm.
Bài 6 (Iran TST 1996). Chứng minh rằng với các số thực khơng âm x, y, z ta có bất đẳng

thức
1

 x  y



2

1

 y  z

2



1
9
�
2
( z  x)
4  xy  yz  zx 

Giải
Đặt a  x  y; b  y  z; c  z  x . Ta phải chứng minh

 2ab  2bc  2ca  a

2

�1 1 1 �
 b 2  c 2  � 2  2  2 ��9
�a b c �

Bằng biến đổi đơn giản, ta có thể chuyển bất đẳng thức trên về dạng

2 1�
2 1�
2
2
�2 1 �
2
 b  c  �
 a  c  �
�  2�
�  2�
�  2 �(a  b) �0
�bc a �
�ca b �
�ab c �
Đặt:

Sa 

2
1
2
1
2

1
 2 Sb 
 2 Sc 
 2
bc a ,
ca b ,
ab c

Gỉa sử rằng a �b �c thì

Sb �0

b 2 S b c 2 Sc �0 � b3  c3 �abc

. Việc còn lại của chúng ta cần chứng minh là

.

Từ cách đặt ban đầu a  x  y; b  y  z; c  z  x , dễ thấy a �b  c . Vậy ta được
b3  c3 �bc (b  c) �abc
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hoặc a  b, c  0 hoặc các hoán vị.

Bài 7 (VMO 2015) Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

3(a 2  b 2  c 2 ) �(a  b  c)( ab  bc  ca )  (a  b)2  (b  c ) 2  (c  a ) 2 �(a  b  c ) 2
Giải
Vế trái của bất đẳng thức khá đơn giản, ta có thể dễ dàng chứng minh bằng cách biến đổi
tương đương đưa về dạng các tổng bình phương.
21

THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

3( a 2  b 2  c 2 ) �( a  b  c)( ab  bc  ca )  (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a ) 2
� 3( a 2  b 2  c 2 ) �( a  b  c)( ab  bc  ca )  2(a 2  b 2  c 2 )  2(ab  bc  ac)
� (a 2  b 2  c 2 )  2( ab  bc  ac) �( a  b  c )( ab  bc  ca )
� a  b  c � ab  bc  ca
� ( a  b ) 2  ( b  c )2  ( c  a ) 2 �0

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với mọi a, b, c là các số thực không âm.
Vế phải của bất đẳng thức là một bất đẳng thức khá chặt và khó. Chúng ta sẽ chứng minh
bằng phương pháp S.O.S. Để đơn giản hóa các biểu thức

Sa , Sb ,Sc

khơng cịn chứa căn thức,

ta cần đặt ẩn khử căn. Đặt x  a ; y  b ; z  c ( x, y, z �0)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
( x 2  y 2  z 2 )( xy  yz  zx)  �( x 2  y 2 ) 2 �( x 2  y 2  z 2 ) 2
� ( x 2  y 2  z 2 )( xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2 )  �( x 2  y 2 ) 2 �0
1
�  ( x 2  y 2  z 2 )�( x  y ) 2 �( x  y ) 2 ( x  y ) 2 �0
2
� ��
2( x  y ) 2  ( x 2  y 2  z 2 ) �
( x  y ) 2 �0
�

�
� �( x 2  y 2  4 xy  z 2 )( x  y ) 2 �0

Ta tìm được
S x  y 2  z 2  4 yz  x 2
S y  x 2  z 2  4 xz  y 2
S z  x 2  y 2  4 xy  z 2

S , S �0
Do tính đối xứng nên có thể giả sử rằng x �y �z , khi đó dễ thấy y z
. Từ đó việc cịn
lại ta cần chứng minh là

S

y

 S x  �0;  S y  S z  �0

.

Ta có

S x  S y  2 z 2  4 yz  4 xz �0
S y  S z  2 x 2  4 xz  4 xy �0
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hoặc
a  b, c  0 hoặc các hoán vị tương ứng.

Bài 8 Cho các số thực a, b, c dương. Tìm hằng số k tốt nhất sao cho bất đẳng thức luôn
đúng:

a3  b3  c3
k (ab  bc  ca) 3 k

� 
(a  b)(b  c)(c  a)
(a  b  c) 2
8 3
22


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S
Giải

Ta sử dụng các biến đổi sau

a 3  b3  c 3
3
4a  4b  c
 �
( a  b) 2
(a  b)(b  c )(c  a ) 8
8(a  b)(b  c )(c  a )
(ab  bc  ca ) 1
(a  b ) 2




�6(a  b  c)2
(a  b  c)2
3
Bất đẳng thức đã cho được viết thành
�
�
4a  4b  c
k
��8(a  b)(b  c)(c  a)  6(a  b  c) � a  b 
2

�

�

2

�0

Cho b  c , khi đó k phải thỏa mãn điều kiện sau với mọi a, b không âm

6(4a  5b)(a  2b) 2
k�
16b(a  b)2
Có thể dễ dàng tìm được với a, b �0 thì

min

f ( a, b ) 

6(4a  5b)( a  2b) 2 9(3  2 3)

16b(a  b) 2
8

Ta sẽ chứng minh đây là giá trị tốt nhất của k.

Với

k

9(3  2 3)
8
. Khơng mất tính tổng quát giả sử a �b �c .

Sa 

4b  4c  a
k

8(a  b)(b  c)(c  a ) 6(a  b  c )2

Sb 

4 a  4c  b
k

8(a  b)(b  c)(c  a ) 6(a  b  c) 2

Sc 

4 a  4b  c
k

8(a  b)(b  c)(c  a) 6( a  b  c) 2

Khi đó dễ thấy

S a  Sb 

Sc �Sb �Sa

và

Sb , Sc �0

. Đặt

t

ab
2 . Suy ra

5a  5b  8c
k
10t  8c
k

�


�0
2
2
8(a  b)(b  c )(c  a ) 3(a  b  c ) 16t (t  c) 3(2t  c) 2

3(2t  c) 2 (10t  8c) 9(3  2 3)

k
16t (t  c )2
8
(do min
)
Nên
23


THPT Chuyên Lý Tự Trọng - Tổ Toán

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

S  �Sc (a  b) 2 � Sa  Sb  (b  c)2   Sb  Sc  (a  b) 2 �0
Vậy ta có điều phải chứng minh.

24

.