CHỦ đề 6 tìm GTLN – GTNN của BIỂU THỨC rút gọn

CHUYÊN ĐỀ 6: TÌM GTLN – GTNN CỦA BIỂU THỨC RÚT GỌN
I/ Biểu thức rút gọn có dạng A  ax  b x  c (có thể khuyết c )
Phương pháp:



A  �e x  f

+ Biến đổi A về dạng:
+ Dựa vào



�e x  f





2

�d

.

2

để lập luận tìm ra GTLN, GTNN của A.

VD: Cho A  x  x . Tìm GTNN của A
2

1
1� 1 �
1� 1
�
A  �x  2. . x  �  � x  �
2
4� 4 �
2� 4
�
Ta có:
2

1�
�
�0 x
� x  �
�
2
�
�
Vì

Dấu “=” xảy ra
� Amin  

1
4

0

A

x

1
1
�
2
4

�

1
1
�x
4
4.

a
c x  d (với c, d cùng dấu)
II/ Biểu thức rút gọn có dạng
1
c x �
d�
d x 0
c x d
+ Nếu c, d mang dấu dương thì:
A

1
d

Lúc này Amax hay Amin tuỳ thuộc vào dấu của tử số a.
+ Nếu c, d mang dấu âm thì đổi dấu âm lên tử và làm như trên.
3
.
2
x

5
VD1: Cho
Tìm GTLN của A
5
3
3
2 x �
5�
5 x 0
� Amax  � x  0 � x  0.
2 x 5 5
5
Ta có
5
A
.
3
x

7

VD2: Cho
Tìm GTNN của A.
A

5
5
� Amin 
� x  0 � x  0.
7
7
Ta có
a
A
bx  c x  d
III/ Biểu thức rút gọn có dạng
3 x 7�7 x

5
3 x 7

Phương pháp:
+ Đặt

f  x   bx  c x  d

+ Lập luận



�k e x  f



2

đưa

f  x

về dạng

�f  x  �h
�
f x �h
rồi suy ra �  

1



f  x   �k e x  f



2

h


� a

A�
�
h
��
.
a
�
A�
f  x
� h
+ Từ đó nghịch đảo biểu thức
rồi �
Amax , Amin

+ Từ đó tìm được
VD: Cho biểu thức

A

.

2

.
 x  x  1 Tìm GTNN của A.
2

1
1� 1
1� 3

�
�
f  x    x  x  1   �x  2. . x  �  1   � x  �
2
4� 4
2� 4
�
�
Ta có:
2

1�
3
�
�0 x 0
f  x
� x  ��
4
Vì � 2 �
2
8
8
1
1
� A
� � Amin  � x   0 � x  .
f  x 3
3
2
4

a x
bx  c x  d (với b, c, d cùng dấu)
IV/ Biểu thức rút gọn có dạng
a
A
d
b x
c
x
x
Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho
được
A

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho

b x

d
�2 bd
x

Từ đó suy ra Amax , Amin .

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho biểu thức: P =
a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2: Cho biểu thức: P =

a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 3: Cho biểu thức: P =
a/ Rút gọn P
b/ Cho x.y =16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho biểu thức

P

1
5
x 2


x 2 x x 6 3 x

a/ Rút gọn P
b/ Tìm GTLN của P.
2


�x y
x y

�
�
Bài 5: Cho biểu thức: P = �1  xy 1  xy

�� x  y  2 xy �
: 1

�
�
��
1  xy �
��

a/ Rút gọn P
b/ Tìm GTLN của P.





2 x 3
x x 3
x 3


x 1
3 x
Bài 6: Cho biểu thức: P = x  2 x  3

a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
 x 2
x  2  (1  x) 2

P 

.


x

1
2
x

2
x

1


Bài 7: Xét biểu thức

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 8: Xét biểu thức

A

a2  a
2a  a

 1.
a  a 1
a

a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 9: Cho biểu thức

P

x 3
x 1 2

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 10: Cho biểu thứ A = với x>0
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

3