TÀI LIỆU BDHSG PHẦN HÌNH học QUA đề các TỈNH

TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2008 – 2009)
1.1.Cho hình vng ABCD tâm O. Một đường thẳng d di động đi qua O. Chứng minh rằng tổng bình
phương các khoảng cách từ các đỉnh hình vng đến đường thẳng d bằng một hằng số.
1.2.Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB cố định. Điểm C di chuyển trên nửa đường tròn ấy. Trên tia
CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E.
Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010)
2.1. Cho hình vng ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình
vng.
AC
�
4 (MN + NP + PQ + QM).
a) Chứng minh rằng SABCD
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
2.2.Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vng PQRS. OA và OB là hai bán kính thay đổi vng góc với
nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với
đường thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By.
Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)
3.1.Cho tam giác ABC, dựng hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại D. Một đường thẳng qua
D cắt đường trịn đường kính AB tại E và cắt đường trịn đường kính AC tại F sao cho D nằm giữa hai
điểm E và F ( E và F khác A, B, C). Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh
rằng AN vng góc với NM.
3.2.Gọi AB là một đoạn thẳng cho trước. Tìm tất cả các điểm C trong mặt phẳng chứa AB sao cho: trong
tam giác ABC đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B có độ dài bằng nhau.
Bài 4: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
4.1.Cho tam giác ABC thỏa mãn AB.AC = BC(AB+AC), có G là trọng tâm và BD, CE là các đường phân
giác trong. Chứng minh rằng 3 điểm D, E, G thẳng hàng.
4.2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm D di động trên cung nhỏ AC. Trên

tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng BE khi D
di chuyển trên cung nhỏ AC.
Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
5.1.Cho tam giác ABC có AC = 3AB và số đo của góc A bằng 600. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
�
ADB = 300 . Trên đường thẳng vng góc với AD tại D lấy điểm E sao cho DE = DC (E và A cùng phía
với BC). Chứng minh rằng AE//BC.
5.2.Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B, tiếp xúc AC tại C. Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của AB, AC; F là điểm di động trên đường thẳng DE. Đường trịn đường kính OF cắt
đường trịn (O) tại hai điểm M, N.
Xác định vị trí của F để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nhỏ nhất.
Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
6.1.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho D
0
�
không trùng với A, B và EDF = 60 .
a) Chứng minh rằng AF.BE = AD.DB.
a2
AF .BE �
4 . Điểm D ở vị trí nào thì dấu đẳng thức xảy ra?
b) Chứng minh

Hãy ln chiến thắng chính mình.

1


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ N.

09.05.37.8118.

6.2.Cho đường trịn (O;R), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB, O’ là tâm đường tròn đường kính
AC. Đường thẳng d qua A cắt đường trịn (O) tại D ( D �A ) và cắt đường tròn (O’) tại K ( K �A ). BK
cắt CD tại H.
HC
a) Tính tỷ số CD .
b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy trên đường nào?
Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
7.1. Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B, C). Trên AQ lấy điểm P (P khác A, Q).
Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M, N.
AM AN PQ


 1.
a) Chứng minh rằng: AB AC AQ
AM . AN .PQ 1

b) Xác định vị trí điểm Q để AB. AC. AQ 27 .

7.2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vng góc với AB tại
C cắt nửa đường trịn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các
đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn (I).
Chứng minh rằng BD = BE.
Bài 8: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
8.1.Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Lấy E là điểm trên OC sao cho CE = 2EO và

�
�
M là giao điểm của DE và cạnh BC. Trên đoạn thẳng DE lấy điểm F sao cho EFC  ODC . Chứng minh
rằng:

a) OMD đồng dạng với FDC .
�
�
b) EFA  2OBA .

8.2.Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định. Một đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A. Gọi M ( khác
A,B) là điểm thuộc đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt a tại C. Gọi I là tâm đường
tròn tiếp xúc với a tại C và đi qua M, giả sử CD là đường kính của đường tròn tâm I. Gọi J là giao điểm
của OC và đường tròn (I). Chứng minh rằng:
a) J là trung điểm của đoạn thẳng OC.
b) Đường thẳng đi qua D và vng góc với BC ln đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên
đường tròn (O).
Bài 9: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
�
A  900
9.1.Cho tam giác ABC cân tại A
, có BH là đường cao, BD là phân giác của góc
BH
1
�
ABH  H , D �AC 
. Chứng minh rằng: CD





 D �BC  . Gọi ka là khoảng cách từ D
 E �AC  và kb là khoảng cách từ E
đến AB ( hoặc AC). Tương tự, gọi BE là phân giác trong của góc B

 F �AB  và kc là khoảng cách từ F đến CA
đến BA ( hoặc BC), gọi CF là phân giác trong của góc C
9.2.Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A

( hoặc CB). Gọi ha , hb , hc tương ứng là 3 chiều cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác đã cho. Tìm giá trị
k a kb k c
 
h
hb hc
a
bé nhất của biểu thức
Bài 10: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)
Hãy ln chiến thắng chính mình.

2


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ N.

09.05.37.8118.

10.1.Từ M ở ngồi đường trịn tâm O kẻ các tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các tiếp điểm). Trên cung lớn
AB lấy điểm C, D sao cho AC = CD. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Qua M, kẻ đường thẳng song
song với AD, cắt AC tại E. Chứng minh:
a) Tam giác MEA cân
b) Đường thẳng MC đi qua trung điểm của đoạn thẳng AI
10.2.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH, điểm M di động trên đoạn thẳng AH. Gọi D, E
lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên AB, AC và F là hình chiếu vng góc của D trên EH.
a) Chứng minh rằng các điểm B, M, F thẳng hàng
b) Xác định vị trí điểm M trên AH để diện tích tam giác AFB lớn nhất.

Bài 11: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)
11.1.Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Tia Mx song song với AB cắt BC tại D, tia My
song song với BC cắt AC tại E và tia Mz song song với AC cắt AB tại F. Chứng minh rằng 3S DEF �S ABC
( S ABC : diện tích tam giác ABC, S DEF : diện tích tam giác DEF).
11.2.Cho đường trịn (O;R), một dây cung AB cách tâm O một khoảng d (0< d < R). Hai đường trịn (O1) ,
(O2) tiếp xúc ngồi nhau tại M, tiếp xúc với AB lần lượt tại C, D và tiếp xúc trong với đường tròn (O) lần
lượt tại các điểm E, F (O1, O2 và O cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB).
a) Gọi N là trung điểm của cung nhỏ AB. Chứng minh NC.NE = ND.NF.
b) Khi hai đường tròn (O1) , (O2) thay đổi, điểm M chạy trên đường nào?
Bài 12: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
12.1.Cho đường tròn (O;R). Gọi B, C là hai điểm bất kì trên đường trịn (O) sao cho BC = R; A là một
3
AC  2 AE  AD
A
�
B
,
A
�
C
2
điểm trên cung lớn BC (
); D, E là các điểm trên dây cung AC sao cho
.
Đường thẳng qua D vng góc với AB cắt AB tại F.
a) Chứng minh rằng tam giác ACF cân.
b) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định.
12.2Cho tam giác ABC cố định. Gọi E là điểm di động trên đường tròn tâm B, bán kính BC. Dựng hình
thoi BCDE. Từ D vẽ DFAB (FAB). Từ E vẽ EGAC (GAC). Các đường thẳng DF và EG cắt nhau
tại K. Khi hình thoi BCDE thay đổi, điểm K chạy trên đường nào?

Bài 13: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
0
�
13.1.Cho hình bình hành ABCD có A  90 . Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và DAN (B và N
cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng AC
vng góc với MN.
13.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, G là trọng tâm. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt CG tại M.
Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N. Gọi X, Y theo thứ tự là giao điểm của CN, AN và đường thẳng qua
B song song với AC; Z, T theo thứ tự là giao điểm của BM, AM và đường thẳng qua C song song với AB.
Chứng minh rằng:
a) AB.CZ  AC.BX .
�
�
b) MAB  NAC .
Bài 14: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
14.1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm di động trên cung nhỏ AB.
Kẻ AD vng góc với MC (DMC). Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của đường trịn tâm A, bán
kính AB với đường thẳng CM, CA.
a) Chứng minh rằng PQ = 2MD.
b) Xác định vị trí điểm M để tổng BM + MP + PQ đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Hãy luôn chiến thắng chính mình.

3


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

14.2.Trên đoạn thẳng AB cho trước lấy điểm M bất kì. Trên tia Mt vng góc với AB lấy các điểm C, D

AM MD 1


sao cho MC MB 2 . Các đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác AMC và BMD cắt nhau tại điểm thứ
hai N. Chứng minh rằng:
a) Các đường thẳng AD và BC cùng đi qua N.
b) Khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 15: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
15.1.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa cung BC khơng chứa A. Vẽ
đường trịn tâm O’ qua A, D và đường tròn này cắt AB tại E (E ≠ A, B), cắt AC tại G (G ≠ A, C). Gọi trung
điểm của BC, EG theo thứ tự là H, K. Chứng minh rằng:
a) Tam giác OBH đồng dạng với tam giác O’EK.
b) HK vuông góc với AD.
15.1.Cho tam giác ABC thay đổi, cân tại A, nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước. Kẻ BD vng góc với

8R 3
�
9 .
AC tại D. Chứng minh rằng: BD
Bài 16: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
16.1Cho tam giác MNP, có cạnh NP = 6cm cố định, điểm M di động sao cho MP = 3MN . Gọi ME, MF
lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài xuất phát từ đỉnh M của tam giác MNP (E, F nằm trên đường
thẳng NP).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng EN, FN.
b) Tìm tập hợp các điểm M.
16.2.Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, N, P lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB, AC,
BC với đường trịn (I). Kẻ PE vng góc với đường thẳng MN (EMN). Chứng minh rằng EP là tia phân
giác của góc BEC .
Bài 17: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
17.1.Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy

vng góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE =
CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC.
a) Chứng minh rằng CA = CK ; BA = BL.
b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu
vng góc của G lên BC. Chứng minh IHJ là tam giác vuông cân.
17.2Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M chuyển động trên cạnh BC (M khác B, C). Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu vng góc của M lên AB, AC. Vẽ các đường tròn (H; HM) và (K; KM).
a) Chứng minh rằng hai đường trịn (H) và (K) ln cắt nhau.
b) Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường trịn (H) và (K). Chứng minh rằng MN ln đi qua
một điểm cố định.
Bài 18: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
18.1.Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), sao cho AD = BC = R. Gọi I là giao điểm hai đường
chéo AC và BD, G là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh O, I, G thẳng hàng.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OC, OD. Chứng minh rằng tam giác GMN là tam giác đều.
18.2. Cho đường tròn (O;R), dây AB < 2R. Vẽ đường tròn đường kính AB. Trên cung AB (phần nằm trong
đường trịn (O)) lấy 2 điểm C, D sao cho C thuộc cung BD. Tia đối của các tia CB, DB cắt đường tròn (O)
theo thứ tự tại các điểm E, F. Gọi G, H lần lượt là trung điểm của cạnh CD, EF.
Hãy ln chiến thắng chính mình.

4


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

a) Chứng minh rằng AC. AF  AD. AE .
�
b) Tính số đo góc AGH .

Bài 19: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
19.1.Cho đường tròn tâm O bán kính R và M là một điểm cố định nằm bên trong đường tròn. Qua điểm
M, vẽ hai dây lưu động AB và CD vng góc với nhau.
2
2
2
2
2
2
a) Chứng tỏ rằng AC  BD  AD  BC . Chứng minh AD  BC không đổi.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh IO2 + IM2 = R2. Suy ra quỹ tích trung điểm I.
19.2.Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Gọi G là giao
điểm của đường thẳng đi qua E vng góc với AD với đường thẳng đi qua F vng góc với BC. So sánh
GA và GB.
Bài 20: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)
20.1. (Dự phòng) Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho
BD  BA . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , AD . Đường thẳng qua B và song song với AD cắt
MN tại E .
a) Chứng minh tứ giác NAEB là hình chữ nhật.
�
�
b) Chứng minh rằng ACE  DCN .
20.3. Cho tam giác ABC cân tại A, D là hình chiếu của C lên AB . Đường trịn tâm B bán kính BD và

E  E �D 
đường trịn tâm C bán kính CD cắt nhau tại
. Đường thẳng AC cắt đường tròn tâm C bán
kính CD tại P và Q . Đường thẳng QD cắt đường trịn tâm B bán kính BD tại M .
�
a) Tính số đo góc QDE .

b) Chứng minh P, M , E thẳng hàng.
Bài 21: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)
21.1.Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Đường trịn đường kính AH cắt AB,
3
AC lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng: EF  EB. BC.CF .
21.2.Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn
(khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường trịn (O) tại các điểm C
và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
Bài 22: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HC 2008 2009)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (C) tâm I. Đờng tròn (C) tiếp xúc với BC, CA,
AB lần lợt tại D, E, F.
22.1.Gọi ha, hb, hc và r lần lợt là chiều cao của ABC xuất phát từ A, B, C và bán kính
1 1 1 1

r
ha hb hc .
đờng tròn (C). Chứng minh r»ng:
22.2.Trong trêng hỵp AB = 12, BC = 18, CA = 24. G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh rằng: IG // BC.
22.3.Các đờng thẳng BI, CI lần lợt cắt EF tại M và N. M không trùng víi E, N kh«ng
trïng víi F. Chøng minh r»ng tø giác BCMN nội tiếp một đờng tròn.
Bi 23: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)

Hãy luôn chiến thắng chính mình.

5


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ N.

09.05.37.8118.

Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO. Một đường
thẳng a vng góc với AB tại C cắt nửa đường trịn (O) tại I. Trên đoạn CI lấy điểm K bất kì (K khơng
trùng với C và I). Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt
đường thẳng a tại N, tia BM cắt đường thẳng a tại D.
23.1. Chứng minh rằng tam giác MNK là tam giác cân.
23.2. Tính diện tích tam giác ABD theo R, khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
23.3. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác
AKD luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 24: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có đường cao AH và O là trung điểm của cạnh BC. Đường
trịn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N. OA và MN cắt nhau tại D.
24.1.Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
1
1
1


24.2.Chứng minh : AD HB HC .

24.3.Cho AB = 3 và AC = 4. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BMN.
Bài 25: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp
tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường
tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM. Đường thẳng vng góc với AB tại O cắt BC
tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P.
25.1.Chứng minh MNCO là hình thang cân
25.2.MB cắt CH tại I. Chứng minh KI son song với AB

25.3.Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vng góc với QF.
Bài 26: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn (O;R) lấy H bấy kỳ sao cho AH < R, qua
H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R). Trên đường thăng a lấy B và C sao cho H nằm giữa B
và C và AB = AC = R. Vẽ HM vuông góc với OB ( M �OB), vẽ HN vng góc với OC ( N �OC).
26.1.Chứng minh OM �
OB = ON �
OC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
26.2.Chứng minh OB �
OC = 2R2 .
26.3.Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.
Bài 27: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
 O  và  O ' cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B ( AB không là đường kính
27.1.Cho hai đường trịn
 O ' ). Các tiếp tuyến tại A và tại B của  O ' cắt nhau tại C . Các đường thẳng AC và BC cắt  O 
của
�
 O ' (phần nằm
tại điểm thứ hai lần lượt là D và E . Lấy điểm G di chuyển trên cung AB của đường trịn
 O  , điểm G khơng trùng với điểm A và B ). Các đường thẳng AG và BG cắt  O  tại điểm
bên trong
thứ hai lần lượt tại H và K . Hai đường thẳng DK và HE cắt nhau tại I .
a. Chứng minh điểm I nằm trên một cung tròn cố định khi G thay đổi.
Hãy ln chiến thắng chính mình. 6


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

b. Chứng minh rằng ba điểm C , G và I thẳng hàng.
27.2. Cho ABC có điểm M , N lần lượt là trung điểm hai cạnh CA và CB . Gọi P là giao điểm của tia
AC AB BC


�
MN với đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh PB PC PA
Bài 28: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009)
Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC,
CA, AB tại P, Q, R. Kí hiệu

SABC

là diện tích tam giác ABC.

S

28.1.Chứng minh rằng: MA.BC + MB.AC + MC.AB ≥ 4 ABC
28.2.Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất.
Bài 29: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2004 – 2005)

29.1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có cạnh BC bằng trung bình cộng của 2 cạnh AB và
AC. Gọi G là trọng tâm và I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC.
Chứng minh: IG // BC.
29.2.Cho tam giác ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn (I) tiếp xúc với các
cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M. Đường thẳng
AD cắt đường tròn (I) tại N (khác D). Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Bài 30: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
30.1.Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di
động trên cung nhỏ BC của đường trịn đó.

a) Chứng minh MB + MC = MA
b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi
S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta ln có đẳng
2 3  S + 2S' 
3R
thức: MH + MI + MK =
30.2.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên
�
�
�
tia DE sao cho MAN = BAC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc NMF
Bài 31: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018)
31.1.Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.
a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường trịn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ tại
K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP nội tiếp.
31.2.Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao
cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D và E sao cho:
a) DE có độ dài nhỏ nhất
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Bài 32: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019)
32.1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ

trên đoạn AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vng góc của M trên
các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vng góc của N lên đường thẳng PD.
a) Chứng minh rằng AH vng góc với BH
Hãy ln chiến thắng chính mình.

7

TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba
điểm H, N, I thẳng hàng.
32.2.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi M là giao điểm của
HB MB
AB

�2
AC . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
AO và BC. Chứng minh rằng HC MC

Bài 33: ( HSG TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013)
33.1.Cho tam giác ABC, có AB < AC, kẻ trung tuyến AM, đường cao AH và
phân giác AD.
�
�
a) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, Chứng minh DEC  ACB .
b) Chứng minh CD > CM .
c) Chứng minh rằng điểm D nằm giữa 2 điểm H và M .
�
33.2.Cho góc nhọn xMy và điểm A cố định ( khác M) thuộc tia Mx. Vẽ
đường tròn (O), tâm O sao cho tiếp xúc với Mx tại A và cắt My tại B, C
theo thức tự M, B, C.
a)Gọi D là trung điểm cung BC không chứa A của (O), E là giao đểm
của AD và BC. Chứng minh rằng E là điểm cố định khi đường tròn (O)

thay đổi .
b)Gọi H là chân đường cao AH của tam giác AOM. Chứng minh rằng
tứ giác BHOC nội tiếp đường tròn.
Bài 34: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 O

và điểm D bất kì trên cạnh AB. Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của các cạnh BC và CA. Gọi P và Q là các giao điểm của MN với đường tròn

 O

(điểm P thuộc

cung nhỏ BC và điểm Q thuộc cung nhỏ CA). Gọi I là giao điểm khác B của BC với đường tròn ngoại
tiếp tam giác BDP. Gọi K là giao điểm của DI với AC.
34.1.Chứng minh rằng tứ giác CIPK nội tiếp đường tròn.
34.2.Chứng minh rằng PK.QC  QB.PD .
34.3.Gọi G là giao điểm khác P của AP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP. Đường thẳng IG cắt BA
AD
tại E. Chứng minh rằng khi D di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số AE không đổi.

Bài 35: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011)
Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C) sao cho M
không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vng góc với AB
tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường
thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
35.1.Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.

35.2. Chứng minh rằng tích AMAN khơng đổi.
35.3.Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn.
Bài 36: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011)
36.1.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O;R), có BC  R 3 và AB < AC. Gọi H là trực tâm
tam giác ABC, nối AH cắt đường trịn tại điểm D khác A.
a) Tính góc BAC. Suy ra tam giác OAH cân;
b) Chứng minh rằng AD.BC = AB.CD + AC.BD.
Hãy ln chiến thắng chính mình. 8


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

36.2.Chứng minh rằng nếu lục giác lồi ABCDEF có 6 góc trong bằng nhau thì có
AB  DE  BC  EF  CD  FA
.
Bài 37: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho góc xOy có số đo bằng 60 o. Đường trịn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M
và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K)
qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường
thẳng MN ở F.
37.1. Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ.
37.2. Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn.
37.3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều.
Bài 38: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho tam giác ABC có đường cao AH, biết góc BCA < góc ABC < góc CAB < 900. Gọi đường tròn (O) tâm
O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi D là giao
điểm của tia AI với đường tròn (O), biết D khác A. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của đường thẳng AH
với hai đường thẳng BD và CI, biết E nằm giữa hai điểm B và D.

38.1.Chứng minh BH = AB.cos góc ABC. Suy ra BC = AB.cos góc ABC + AC.cos góc BCA.
38.2.Chứng minh bốn điểm B, E, I, F cùng thuộc một đường tròn.
38.3.Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
Bài 39: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016 – 2017)
39.1. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7.
a) Gọi G, I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
IG//BC.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh: A, M, I, N cùng nằm trên một đường
tròn.
39.2.Cho tam giác vng có độ dài ba cạnh là số ngun. Chứng minh rằng: Bán kính đường trịn nội tiếp
cũng là số nguyên.
Bài 40: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của AB, AC với đường
�
�
�
trịn (I). Biết ba góc BAC , ABC , BCA , đều là góc nhọn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai
đoạn BC và AC.
40.1.Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC
40.2.Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy.
Bài 41: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009 – 2010)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA và CB lần lượt
tại M và N. Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI tại P. Chứng minh rằng góc IPB vng.
Bài 42: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NM HC 2008 2009)
42.1.Từ một điểm A ngoài đờng tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE (D, E là các
tiếp điểm). Tia AO cắt đờng tròn tâm O tại B,C (B ở giữa A và C), kẻ DH vuông
góc với CE tại H. Gọi P là trung điểm của DH. Tia CP cắt đờng tròn tâm O tại Q (Q
C).Gọi giao điểm của AC và DE là I.
a) Chứng minh tứ giác DQIP là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm A, D, Q

42.2.Cho đờng thẳng d nằm ngoài đờng tròn tâm O. Vẽ OA vuông góc với d tại A.
Từ A, kẻ các cát tuyến d1, d2 lần lợt cắt đờng tròn (O) tại B, C và D, E (B ở giữa A vµ
Hãy ln chiến thắng chính mình.

9


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YấN.

09.05.37.8118.

C, còn D ở giữa A Và E). Gọi M, N thứ tự là giao điểm của các đờng thẳng BE và
DC với đờng thẳng d. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.
Bi 43: ( HSG TNH H TNH NM HC 2010 2011)
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển
trên nửa đờng tròn. Qua M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB tại E.
Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng AB tại F.
a) CMR: MNE NFM
b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. HÃy xác định vị trí của dây MN để
chu vi tam giác MKN lín nhÊt
Bài 44: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 – 2013)
44.1.Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
a
b
c
3



1 a 1 b 1 c 2 .

Chứng minh tam giác ABC đều.
44.2.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn
thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vng góc của M xuống
cạnh AB, AC và H là hình chiếu vng góc của N xuống đường thẳng PD.
a) Chứng minh AH vng góc với BH.
b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm
H, N, I thẳng hàng.
Bài 45: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường trịn và có các cạnh đối không song song. Gọi F là giao điểm của
AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
�
Đường phân giác góc BED cắt GH tại điểm I.
a) Chứng minh rằng IH .BD  IG. AC
SIAB
b) Cho độ dài CD = 2AB. Tìm tỉ số diện tích SICD .
Bài 46: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2008– 2009)
Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định (O không thuộc AB). P là điểm di động trên đoạn AB (P khác
A, B). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với
(O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P).

�
�
a) Chứng minh: ANP  BNP
o
�
b) Chứng minh: PNO  90

c) Chứng minh khi P di động thì N ln nằm trên một cung tròn cố định.
Bài 47: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2011– 2012)
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay

đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với
đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các
điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng
minh P là trung điểm ME.
Hãy luôn chiến thắng chính mình. 10


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

Bài 48: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A).
Đường thẳng đi qua H và vng góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
�

�

a) Chứng minh HKM  2AMH.
b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE
cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE.
c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R.
Bài 49: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho đường trịn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. AB, AC cắt đường

�

tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung BC không chứa D lấy F(F �B, C). AF cắt
BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N �F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P(P �A).
0
�
a) Giả sử BAC  60 , tính DE theo R.
b) Chứng minh AN.AF = AP.AM
c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vng góc của F trên các đường thẳng BD, BC. Các đường thẳng
BC BD CD


�
IH và CD cắt nhau ở K. Tìm vị trí của F trên cung BC để biểu thức FH FI FK đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 50: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
50.1.Cho tam giác nhọn ABC (ABtại H (D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB). Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt đường tròn (O,R) tại M (M
khác A).
a) Chứng minh rằng: PE.PF = PM.PA và AM vng góc với HM.
b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để diện tích 
BHC đạt giá trị lớn nhất.
50.2.Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm I chuyển động trên cung BC
không chứa điểm A (I khơng trùng với B và C). Đường thẳng vng góc với IB tại I cắt đường thẳng AC
tại E, đường thẳng vng góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 51: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho tam giác nhọn ABC , gọi H , E , K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C . Gọi
diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK . Biết rằng

SABC  4 S HEK , chứng minh

sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C 

9
4.

Bài 52: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm A và điểm C). Vẽ
đường trịn tâm O thay đổi nhưng ln đi qua điểm B và điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d).
Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M và N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt
MN tại điểm K. Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm
giữa A và Q).
a) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP tại E.
Chứng minh P là trung điểm của ME.
Hãy ln chiến thắng chính mình.

11


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

Bài 53: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
53.1.Hình chữ nhật MNPQ có I, K lần lượt là trung điểm các cạnh MN, PQ. Trên tia đối của tia PN lấy
điểm S. QN cắt SK tại R và cắt IK tại O. Đường thẳng qua O song song với MN cắt RI tại H.
a) Chứng minh HI = HK.
b) Chứng minh IK là phân giác của góc RIS.
53.2.Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E
thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I
a) Tính góc CIF.

b) Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường trịn.
c) Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.
Bài 54: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi I là điểm
bất kỳ nằm giữa O và B (I �O, I �B), EF là dây cung bất kỳ của (O) đi qua I (E �A). Vẽ đường thẳng d
 AC tại C, đường thẳng AE cắt d tại P, đường thẳng AF cắt d tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ
cắt AC tại M khác A.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác PEFQ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: AIF đồng dạng với AQM .
c) Chứng minh rằng: AI . AM  AB. AC
Bài 55: ( HSG TỈNH HUẾ NĂM HỌC 2006 – 2007)
Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d không đi qua O cắt đờng tròn (O) tại hai
điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đờng thẳng d và ở ngoài đờng tròn (O) vẽ
hai tiếp tuyến MN và MP với đờng tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm).
2
2
a) Chứng minh rằng MN MP MA.MB
b) Dựng vị trí điểm M trên đờng thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình
vuông.
c) Chứng minh rằng tâm của đờng tròn nội tiếp và tâm của đờng tròn ngoại
tiếp tam giác MNP lần lợt chạy trên hai đờng cố định khi M di động trên đờng th¼ng d.
Bài 56: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H
( D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Các đường tròn ngoại tiếp tam
giác BEI và tam giác CDI cắt nhau tại K ( K khác I ). Gọi M là giao điểm của DE và BC. Chứng minh
rằng:
a) Các điểm A, E, H, K, D thuộc một đường tròn.
b) A, K, I thẳng hàng.
c)  MEC =  MKC

( Kí hiệu  ABC là số đo góc ABC)

Bài 57: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB  5a và AD  2a (a > 0). M là điểm bất kì trên cạnh AB (M khác A
và khác B). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên AC và DC.
a) Chứng minh rằng 5 điểm B, C, K, H, M cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm O của đường
trịn đó.

AH �
MK
b) Tính MH theo a.
Hãy ln chiến thắng chính mình.

12


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

c) Khi AK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tính AM theo a.
Bài 58: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính phân biệt AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường
tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại hai điểm E và F. Gọi P và Q lần lượt là
trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
b) Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích
nhỏ nhất.

Bài 59: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. M, N là hai điểm thay đổi trên đường trịn (O), nằm về

�

hai phía của AB sao cho MAN  60 . Đường thẳng BN cắt AM tại P, đường thẳng BM cắt AN tại Q.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng PQ.
a) Chứng minh rằng tứ giác IMON nội tiếp.
0

PQ
 3
b) Chứng minh rằng AB
.
�  NAB
�  300
MAB

c) Trong trường hợp
, gọi điểm C là điểm di động trên cung nhỏ AN (C
không trùng A và N). Đường thẳng qua M và vng góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí điểm C để
diện tích tam giác MCD là lớn nhất.
Bài 60: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho tam giác nhọn ABC có AC  AB nội tiếp đường tròn (O). Kẻ phân giác trong AI của tam giác

ABC ( I �BC ) cắt (O) ở E. Tại E và C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt nhau ở F, AE cắt CF tại N, AB cắt

CE tại M.
a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn.

1
1
1


b) Chứng minh CN CI CF .

c) Gọi AD là trung tuyến của tam giác ABC, kẻ DK//AI ( K �AC ) . Chứng minh
2AK  AC  AB .
Bài 61: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2011 – 2012)
61.1.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (D �BC, E �AC, F �
AB) cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng:
a) BH.BE + CH.CF = BC2.
AB 2  BC 2  CA2
2
b) AH.AD + BH.BE + CH.CF =
.
AM BN CK


4
c) AD BE CF
.
61.2.Cho đoạn thẳng CD = 6 cm, I là một điểm nằm giữa C và D ( IC > ID). Trên tia Ix vuông góc với
CD lấy hai điểm M và N sao cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD tại K ( K �MD ) , DN cắt MC tại L

( L �MC ) . Tìm vị trí của điểm I trên CD sao cho CN.NK có giá trị lớn nhất.

Bài 62: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018 – 2019)
O; R 

62.1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn 
. Vẽ đường trịn tâm K
đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm F ,E . Gọi H là giao điểm của BE và CF .
a) Chứng minh OA vng góc EF .
Hãy ln chiến thắng chính mình.

13


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

K (M,N
b)Từ A dựng các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn  
là các tiếp điểm và N thuộc
cung nhỏ EC ) Chứng minh rằng: M ,H ,N thẳng hàng.
O; R 
62.2.Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn 
, điểm M di động trên cung nhỏ BC . Xác định
vị trí của M để S  MA  MB  MC đạt giá trị lớn nhất và khi đó tính S .
O
O
62.3.Cho đường trịn   đường kính AB . Từ một điểm C thuộc đường trịn   kẻ CH vng góc AB
O
( C khác A và B; H thuộc AB ). Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường trịn   tại D và E .
Chứng minh DE đi qua trung điểm của CH .

Bài 63: ( HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

 O

 I

Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC , nội tiếp đường trịn
và ngoại tiếp đường tròn
. Điểm D
�
�
thuộc cạnh AC sao cho ABD  ACB . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm
 O  tại điểm thứ hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt
thứ hai là E và cắt đường tròn
BD tại P.
a) Chứng minh tam giác QBI cân;

b) Chứng minh BP.BI  BE.BQ ;
c) Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh PK / / JB .
Bài 64: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009 – 2010)
64.1.Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường trịn ngoại tiếp các tam
giác ABD và ABC.
1
1
4
 2  2
2
r
a
a) Chứng minh : R
8R3r 3
( R 2  r 2 ) 2 ; ( Kí hiệu S ABCD là diện tích tứ giác ABCD )

b) Chứng minh :
BC
0
�
64.2.Cho tam giác ABC cân tại A có BAC  108 .Chứng minh : AC là số vô tỉ.
S ABCD 

Bài 65: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 – 2011)
65.1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là
một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối
xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.

1
1

�
b) Khi BOC  120 , xác định vị trí của điểm M để MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.
0

65.2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa
điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vng góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường
thẳng vng góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một
điểm cố định.
Bài 66: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011 – 2012)
66.1.Cho ®êng trßn ( O,R) ®êng kÝnh AB. Qua ®iĨm C thuộc đờng tròn kẻ tiếp
tuyến d của đờng tròn. Gọi I, K lần lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ A và B đến
đờng thẳng d. Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh:
a) CI = CK
b) CH2 = AI . BK

Hãy luôn chiến thắng chính mình.

14


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YấN.

09.05.37.8118.

c) AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính IK.
66.2.Cho (O,R) và hai điểm A,B cố định nằm ngoài đường trịn sao cho OA = R 2 . Tìm
điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+ 2 MB đạt GTNN?
Bài 67: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015 – 2016)
Từ điểm M nằm ngồi đường trịn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường trịn (A, B là các tiếp
điểm), cát tuyến MPQ khơng đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB.

�
�
a) Chứng minh: HPO  HQO
1
1

b) Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng EA EB có giá trị nhỏ nhất.
Bài 68: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016 – 2017)

�

68.1.Cho tam giác ABC có BAC  135 , BC = 5cm và đường cao AH = 1cm.
Tính độ dài các cạnh AB và AC.
68.2.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung BC khơng chứa A. Dựng

hình bình hành ADCE. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, ACE ; P, Q lần lượt là hình
chiếu vng góc của K trên các đường thẳng BC, AB và I là giao điểm của EK với AC.
a) Chứng minh ba điểm P, I và Q thẳng hàng.
b) Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của đoạn HK.
0

Bài 69: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018 - 2019)
69.1.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ
ba đỉnh A, B, C của tam giác đó. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ nhất M (M khác phía
với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF tại N. Chứng minh rằng:
a) EF  OA.
b) AM = AN.
0
�
�
69.2.Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trong tam giác đó sao cho ADB = ACB  90 và AC.BD =

AB.CD
 2
AD.BC. Chứng minh AC.BD
.
Bài 70: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 - 2012)
70.1.Cho (O; R). Đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A và B. từ một điểm tùy ý trên d và
ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với (O), (M, N là hai tiếp điểm).
a) Dựng vị trí điểm M trên d sao cho tứ giác MNOP là hình vng.
b) Chứng minh rằng tâm của đường trịn đi qua ba điểm M, N, P luôn chạy trên một đường thẳng cố định
khi M di động trên d.
70.2.Cho ABC thay đổi, có AB = 6 và CA = 2CB. Tìm GTLN của diện tích ABC .
Bài 71: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 - 2015)
Cho đường trịn O, dây cung BC cố định.Điểm A trên cung nhỏ BC, A khơng trùng với B, C và điểm

chính giữa của cung nhỏ BC.Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC;E,F thứ tự là hình chiếu
của B và C trên đường kính AA′.Chứng minh rằng:
a) Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau
b) Hai đường thẳng HE và AC vng góc với nhau
Hãy ln chiến thắng chính mình.

15


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung nhỏ BC
Bài 72: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 - 2009)
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đờng
tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đờng tròn. Gọi H là hình chiếu
của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH.
a) Chứng minh E là trung điểm của AH.
b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO.
Bi 73: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 - 2010)
Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = R 2 . Điểm P di động trên
dây AB (P khác A và B). Gọi (C; R1) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn
(O; R) tại A, (D; R2) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại B. Hai
đờng tròn (C; R1) và (D; R2) cắt nhau tại điểm thứ hai M.
a) Trong trờng hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và
4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đờng tròn
cố định và đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N.
c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhÊt ? diƯn tÝch tam gi¸c AMB lín nhÊt?

Bài 74: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 - 2013)
74.1.Cho đường trịn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường trịn (O) thay đổi nhưng ln
vng góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vng góc hạ từ H xuống
AB,AD,CD,CB.
2
2
2
2
a) CMR: HA  HB  HC  HD không đổi.
b) CMR : PQRS là tứ giác nội tiếp.
74.2. Cho hình vng ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA
MN  NP  PQ  QM
AC
S
4
của hình vng. CMR: ABCD ≤
Bài 75: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 - 2014)

Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC khơng đi qua tâm. Gọi A là điểm chính giữa của cung
� quay quanh điểm A và có số đo bằng  không đổi sao cho E, F khác
nhỏ BC. Góc nội tiếp EAF

phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt tại M và N. Lấy điểm D sao
cho tứ giác MNED là hình bình hành.
a) Chứng minh MNEF là tứ giác nội tiếp.
�
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF. Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF

quay quanh điểm A thì I chuyển động trên một đường thẳng cố định.
0

c) Khi   60 và BC  R , tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng OI.

Bài 76: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 - 2015)
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC < 2R), A là điểm di động trên cung lớn
BC,( A không trùng B,C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC;EF cắt BC tại P ,qua D
kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R .
a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp
Hãy luôn chiến thắng chính mình.

16


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

b) Gọi M là trung điểm cạnh BC .Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam giác đồng dạng.
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định
Bài 77: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 - 2016)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2 R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) (M
khác A, khác B). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và M cắt nhau ở E. Vẽ MP vng góc với AB
(P thuộc AB). Vẽ MQ vng góc với AE (Q thuộc AE).
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh rằng PQ, OE, MA đồng qui.
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh rằng K là trung điểm MP.
d) Đặt AP = x , tính MP theo R và x . Tìm vị trí của M trên đường trịn (O) để hình chữ nhật APMQ
có diện tích lớn nhất.
Bài 78: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 - 2018)
78.1.Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về một
phía bờ sơng. Khoảng cách từ A, B đến bờ sông lần lượt là

118 m và 487 m (tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A
đến bờ sơng để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất
mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm trịn đến
đơn vị mét).
O .
O
và điểm A nằm ngồi   Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với   ( B, C là
O
O
các tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi qua A cắt   tại D và E ( AD  AE ). Tiếp tuyến của   tại D
cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N .
a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng bốn điểm M , E , N , I cùng thuộc
T .
một đường tròn  
O
T
b) Chứng minh rằng hai đường tròn   và   tiếp xúc nhau.
c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định.

78.2.Cho đường tròn

 O

Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 - 2014)
Cho tam giác ABC vuông tại A (ABkẻ từ đỉnh A của tam giác (H, D �BC). Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AD cắt đường trịn đường
kính AB và đường trịn đường kính AC lần lượt tại M, N; đường thẳng BN cắt AD tại P và cắt đường trịn
đường kính AC tại điểm thứ hai Q (khác N). Chứng minh rằng:
a) NAC vuông cân và MA.NC  MB.NA

b) P là trung điểm AD.

�
�
c) PQD  PDH

Bài 80: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 - 2016)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), AI cắt (O) tại M (khác A), J là
điểm đối xứng với

I qua M . Gọi N là điểm chính giữa của cung �
ABM , NI và NJ lần lượt cắt (O) tại

E và F .
a) Chứng minh MI  MB . Từ đó suy ra BIJ và CIJ là các tam giác vuông.
b) Chứng minh

I , J , E, F cùng nằm trên một đường trịn.
Hãy ln chiến thắng chính mình.

17


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

Bài 81: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 - 2019)
81.1.Cho đường tròn

 O

và dây cung BC  a không đổi (tâm O không thuộc BC). Điểm A di động trên

cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt
nhau tại H

 D �BC, E �CA, F �AB  .

�
�
a) Trong trường hợp BHC  BOC , hãy tính AH theo a.

b) Trong trường hợp bất kì, tìm vị trí của điểm A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất.
81.2. Cho tam giác ABC có AB  3;CA  4;BC  5 . Xét hình chữ nhật MNPQ sao cho M và N thuộc
cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB. Hãy xác định kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó
có diện tích lớn nhất.
Bài 82: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 - 2014)
82.1. a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB và BC sao cho
AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC.
b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC). Biết BC = 4  4 3 và bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC
bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC.
82.2.Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (D khác B và C). Đường
tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2 qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường
tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E.
a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE ln đi qua một điểm cố định.
b) Giả sử ∆ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD.AE khơng phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh
BC.
Bài 83: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 - 2018)
83.1.Cho hình vng ABCD cạnh bằng 4 cm. E là điểm nằm trên cạnh BC ( E khác B và C ). Một

đường thẳng qua B , vuông góc với đường thẳng DE tại H và cắt đường thẳng CD tại F . Gọi K là
giao điểm của AH và BD .
a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn và ba điểm K , E , F thẳng hàng.
b) Khi E là trung điểm cạnh BC , tính diện tích tứ giác BKEH .

83.2.Cho hai đường tròn

 C1  ,  C2 

C
cắt nhau tại hai điểm A, B . Tiếp tuyến tại A của (C2) cắt  1  tại

M ( M khác A ). Tiếp tuyến tại A của  C1  cắt  C2  tại điểm N ( N khác A ). Đường thẳng MB cắt
 C2  tại P ( P khác B). Đường thẳng NB cắt (C1) tại Q (Q khác B).
a) Chứng minh các tam giác AMP , ANQ đồng dạng.
b) Chứng minh MB.NA  NB.MA .
2

2

Bài 84: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013- 2014)
Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC
tới đường tròn (B, C lần lượt là hai tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D (D �B) . Từ D kẻ tiếp
tuyến DE (E � cung nhỏ BC). Từ E hạ EF vng góc với DO ( F � DO). Chứng minh rằng:
Hãy ln chiến thắng chính mình.

18


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

a) Tứ giác BFOC là tứ giác nội tiếp.
b) Ba điểm A, E, F thẳng hàng.
c) Từ D kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn tâm O (Điểm K là tiếp điểm).
Tính độ dài đoạn thẳng AK theo R và

α

biết độ dài đoạn OD = R 2 và số đo

� 
EAOα
.

Bài 85: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008- 2009)
85.1. Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại O.
Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường trịn nội tiếp tam giác OAC có
bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân.
85.2. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngồi với nhau tại A. Trên đường trịn (O; R) vẽ dây
AB = R. Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) tại N (N khác A). Đường
thẳng qua N và song song với AB cắt đường thẳng MB tại E.
a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm M trên cung lớn AB;
b) Tìm vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn nhất và tính giá trị
lớn nhất đó.
Bài 86: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2009- 2010)
86.1.Cho tam giác cân ABC (AB = AC; Â < 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B và C.
 M �B;C  . Gọi I; H; K lần lượt là hình chiếu
Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M

của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH.
a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.
b) Chứng minh PQ // BC.
c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp  MPK và  MQH. Chứng minh rằng PQ là
tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ).
d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O 1),(O2 ) Chứng minh rằng M,N,D
thẳng hàng.
86.2.Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt
AM BN CP
+
+
BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh : OM ON OP �9 .

Bài 87: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2010- 2011)
87.1.Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng d song song với đáy, cắt cạnh bên AD tại P và
cắt cạnh bên BC tại Q. Cho biết đường thẳng d chia hình thang ABCD thành hai phần có diện tích bằng
nhau.Tính độ dài cạnh PQ; với AB = 9cm và CD = 15cm.
87.2. Cho đường tròn (O; R), đường kính BC và điểm A di động trên đường trịn đó (với A khác B và
C). Đường phân giác của góc BAC cắt đường trịn (O) tại K (với K khác A). Biết độ dài đường cao của
tam giác ABC là AH = h.
a) Tính diện tích tam giác AHK theo R và h.
b) Tìm giá trị của h để diện tích tam giác AHK đạt giá trị lớn nhất.

AH
3

5.
c) Tính số đo góc ABC của tam giác ABC khi HK
Bài 88: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013- 2014)

Hãy ln chiến thắng chính mình.

19


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ N.

09.05.37.8118.

88.1. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB cố định. EF là dây cung di động trên nửa đường trịn đó,
AB
EF=
R
2
sao cho E thuộc cung AF và
. Gọi H là giao điểm của AF và BE; C là giao điểm của AE và
BF; I là giao điểm của CH và AB.
�
a) Tính số đo CIF
b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị khơng đổi khi EF di động trên nửa đường
trịn.
c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường trịn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn
nhất đó theo R.
88.2.Tìm cạnh của hình vng nhỏ nhất, biết rằng: hình vng đó chứa 5 đường trịn có bán kính bằng 1
và 5 đường trịn này đơi một khơng có q 1 điểm chung.
Bài 89: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016- 2017)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C
khác B). Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm
của CH, J là trung điểm của DH.
�

�
a) Chứng minh CIJ = CBH
b) Chứng minh D CJH đồng dạng với D HIB
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.
Bài 90: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2012- 2013)
90.1.Cho ∆ ABC vuông tại A. Trên BC lấy điểm M, trên AB lấy điểm N, trên AC lấy điểm P sao cho
BM=BN, CM = CP. Tính số đo góc PMN
90.2.Gọi A là một trong hai giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’). Hãy xác định vị trí của đường
thẳng d đi qua A, sao cho tổng các khoảng cách từ O và O’ đến d đạt giá trị lớn nhất.
90.3.CMR trên tờ giấy kẽ các ô vuông bằng nhau, không thể dựng được một tam giác đều có 3 đỉnh là
đỉnh của các ô vuông.
Bài 91: ( HSG TP HCM NĂM HỌC 2016- 2017)
91.1. Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH
Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vng góc với HK.
91.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường
phân giác trong của tam giác ABC (H, D �BC). Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại F và
tia FD cắt (O) tại K. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O).
Bài 92: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013)
92.1.Cho đường trịn (O;R), điểm A nằm ngồi đường trịn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn
(O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm
P. Đường tròn đường kính OP cắt đường trịn (O) tại M, N. Chứng minh: PM = PN = PA.
�  300
BAC
. Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy điểm D
92.2. Cho tam giác ABC vng tại C, có
2
2
2
thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 3BD  5AD  5CD � DC  2DA.

Bài 93: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2011- 2012)
Cho ABC có 3 góc đều nhọn. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ; R, r theo thứ tự là độ dài bán
kính đường trịn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC ; M, N, P lần lượt là hình chiếu vng góc của
O trên AB, BC và AC.
Hãy ln chiến thắng chính mình.

20


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

a) Chứng minh: BN . OM + BM . ON = BO . MN
b) Đặt ON = d1 ;

OM = d2 ;

OP = d3 . Tính R + r theo d1 , d2 , d3 ?

Bài 94: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013)
Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của
tam giác ACD. Chứng minh rằng OE  CD.
Bài 95: ( HSG HUYỆN TĨNH GIA NĂM HỌC 2013 - 2014)
95.1.Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Lấy điểm M đối
xứng với điểm A qua điểm B. Gọi điểm H là hình chiếu vng góc của điểm A trên BC và điểm I là trung
điểm của HC.
a) Chứng minh rằng MH  AI.
b) Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) tại E và F (điểm E nằm giữa điểm M và điểm F); đường
thẳng AI cắt đường tròn (O) tại G (điểm G khác điểm A). Chứng minh rằng tổng bình phương độ dài các

cạnh của tứ giác AEGF khơng đổi.
95.2. Cho tam giác vng có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số nguyên
tố và hiệu của chúng bằng 50. Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được.
Bài 96: ( HSG TỈNH THANH HĨA NĂM HỌC 2010 - 2011)
96.1. Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB,

�

sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.Tính BPE.
96.2. Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O �AB ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB

P �A, B

(
và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.
Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại
N ( N �P ).

�

�

a) Chứng minh rằng ANP  BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Bài 97: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các
đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và
DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng:
a) ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
b) KH  AM.

Bài 98: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 - 2014)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C
khác O). Đường thẳng đi qua C và vng góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy
điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E.
Gọi F là giao điểm của AM và CD.
a) Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng.
c) Chứng minh góc ABI có số đo khơng đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Bài 99: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 - 2015)
Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C).
Hãy luôn chiến thắng chính mình.

21


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ N.

09.05.37.8118.

Vẽ đường trịn tâm O thay đổi nhưng ln đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và
AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và
cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP tại E.
Chứng minh P là trung điểm của ME.
Bài 100: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) và AB < AC. Các tiếp
tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt

BC và AC lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp và tam giác ANB cân.
b) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại I, BI cắt DM tại K. Chứng minh K là
trung điểm của DM.
c) Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho IP // DN, AP cắt BC tại Q. Gọi G là
trung điểm của DK. Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng.
Bài 101: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 - 2018)

(O ),( I ),( I a ) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
O, I , I a . Gọi D là tiếp
và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là
�
PI
điểm của ( I ) với BC , P là điểm chính giữa cung BAC của (O) , a cắt (O) tại điểm K . Gọi M là
giao điểm của PO và BC , N là điểm đối xứng với P qua O.
IBI aC là tứ giác nội tiếp.
a) Chứng minh
Cho tam giác ABC có

b) Chứng minh

NI a là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP.

�
�
c) Chứng minh DAI  KAI a .

Bài 102: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 - 2019)
 O; R  và một điểm A cố định ở bên ngồi đường trịn, OA  2 R . Từ A kẻ các tiếp tuyến
Cho đường tròn

AB , AC đến đường tròn  O  ( B , C là các tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt dây BC tại I . Gọi M là điểm
 O  cắt AB , AC lần lượt ở E , F . Dây BC
di động trên cung nhỏ BC . Tiếp tuyến tại M của đường tròn
cắt OE , OF lần lượt tại các điểm P , Q .
0
�
a) Chứng minh ABI  60 và tứ giác OBEQ nội tiếp.
b) Chứng minh EF  2 PQ

c) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho tam giác OPQ có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích
nhỏ nhất đó theo R .
Bài 103: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 - 2018)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O)và có ABBC khơng chứa điểm A của đưởng trịn (O). Vẽ MH vng góc với BC, MK vng góc với CA, MI
BC
AC AB


vng góc với AB ( H thc BC, K thuộc AC, I thuộc AB). Chứng minh: MH MK MI
Bài 104: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 - 2008)
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Gọi M,N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, AC.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBM, HCN và AMN cùng đi qua một điểm K.
Hãy ln chiến thắng chính mình. 22


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

b) Chứng minh rằng MN tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBM.

c) Gọi I là giao điểm của HK và MN, chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
Bài 105: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 - 2009)
105.1. Cho tam giác ABC và đường trịn (O ) có đường kính EF nằm trên cạnh BC ( E nằm giữa B và
F, F nằm giữa E và C) tiếp xúc với hai cạnh AB, AC tại Q, P theo thứ tự đó. Các đường thẳng

EP, FQ cắt nhau tại K . Chứng minh rằng AK  BC.

105.2. Trên bảng hình chữ nhật kích thước m �n (m hàng và n cột), mỗi ô ghi một số khơng âm sao cho
mỗi hàng, mỗi cột có ít nhất một ơ chứa số dương. Ngồi ra, nếu ơ (i; j) ghi số dương, thì tổng các số trên
hàng i và tổng các số trên cột j bằng nhau. Chứng minh rằng m  n
Bài 106: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 - 2010)
106.1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ). AD, BE , CF là ba đường cao
 D �BC , E �CA, F �AB  . Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt lại đường tròn (O) tại
điểm M .
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, M , E , F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng GH  AN
106.2. Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10 �10 (10 dịng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương
không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh
của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.
Bài 107: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 - 2011)
107.1. Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H . Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường
thẳng BH ở D, đường thẳng vng góc với BC tại B cắt đường thẳng CH tại E. Gọi M , N theo
thứ tự là trung điểm của BE , CD.
a) Chứng minh rằng H , M , N thẳng hàng.
b) Đường thẳng MN cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với
107.2. Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng.
Chứng minh rằng tồn tại hai điểm được tô bởi cùng một màu mà độ dài
Bài 108: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 - 2012)
108.1. Cho ba đường trịn và (kí hiệu chỉ đường trịn có tâm là điểm X). Giả sử tiếp xúc ngoài với

nhau tại điểm I và lần lượt tiếp xúc trong với tại . Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt đường tròn

 O

O 
lần lượt tại các điểm A, A ' . Đường thẳng AM 1 cắt lại đường tròn 1 tại điểm N1 , đường thẳng

AM 2 cắt lại đường tròn  O2  tại điểm N 2 .
a) Chứng minh rằng tứ giác M 1 N1 N 2 M 2 nội tiếp và đường thẳng OA vng góc với đường thẳng
Hãy ln chiến thắng chính mình.

23


TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH – TUY AN – PHÚ YÊN.

09.05.37.8118.

N1 N 2 .

 O  sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung
b) Kẻ đường kính PQ của đường trịn
�
AM 1
khơng chứa điểm M 2 ). Chứng minh rằng nếu PM 1 , QM 2 khơng song song thì các đường thẳng
AI , PM 1 và QM 2 đồng quy.
108.2.Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ,
tím. Chứng minh rằng khi đó ln tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt
phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đơi một khác màu.

Bài 109: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 - 2013)

 O; R  , R  0 và dây cung AB không đi qua O. Hai đường tròn  O1  ,  O2  nằm về hai
Cho đường trịn
phía của đường thẳng AB sao cho cả hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AB lần lượt tại C, D và tiếp
 O; R  lần lượt tại E, F. Đường thẳng CE cắt đường tròn  O; R  tại điểm thứ
xúc trong với đường tròn
 O; R  tại điểm thứ hai là N.
hai là M và đường thẳng DF cắt đường tròn
a) Chứng minh rằng đường thẳng O1C song song với đường thẳng OM.
0
b) Chứng minh rằng �MBN  90 .

c) Tính độ dài đoạn thẳng MB, biết rằng R  4, AB  4 3 .
Bài 109: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 - 2004)
109.1.Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ vng góc với nhau tại A. Đường trịn bán kính R khơng đổi có tâm
là điểm O di động trên xx’. Một đường trịn thứ hai có tâm là điểm C di động trên yy’, bán kính CA,
đường trịn này tiếp xúc ngồi với đường trịn tâm O tại T
a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai đường tròn kẻ từ T đi qua một điểm cố định
b) Đặt OA = d. Hãy tính giá trị của d theo R để hai đường tròn bằng nhau. Trong trường hợp hai
đường trịn bằng nhau hãy tính diện tích hình giới hạn bởi hai đường trịn với đường thẳng xx’
109.2. Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC cho trước. Đỉnh M di động trên cạnh AB,
đỉnh N trên cạnh AC, các đỉnh P và Q theo thứ tự trên cạnh BC. Tam giác ABC có đường cao AH = h,
cạnh đáy BC = a.
a) Tính giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật MNPQ theo h và a.
b) Xác định vị trí của M để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất
Bài 110: ( HSG TP VINH NĂM HỌC 2016 - 2017)
Cho đường trịn (O;R) và một đường thẳng d khơng có điểm chung với đường trịn. Trên d lấy một điểm
M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đườn tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC,
tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E

a) Chứng minh tam giác BCM đồng dạng với tam giác BEO
b) Chứng minh CM vng góc với OE
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB và diện tích tứ giác MAOB

Hãy ln chiến thắng chính mình.

24