Các đường tròn lemoine và họ các đường tròn tucker

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

TRỊNH VĂN DŨNG

CÁC ĐƯỜNG TRÒN LEMOINE VÀ
HỌ CÁC ĐƯỜNG TRÒN TUCKER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên 8 - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

TRỊNH VĂN DŨNG

CÁC ĐƯỜNG TRÒN LEMOINE VÀ
HỌ CÁC ĐƯỜNG TRÒN TUCKER
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI

Thái Nguyên 8 - 2020

i

Lời cảm ơn
Để hoàn thành được luận văn một cách hồn chỉnh, tơi ln nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao
cấp Trường đại học Hải Phòng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành
và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên
cứu, dành thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả
trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho
cơng tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc
tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K12B; Nhà
trường và các phịng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học
Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt
thời gian học tập tại trường.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục
và Đào tạo Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12B đã luôn
động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ
và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020
Tác giả
Trịnh Văn Dũng


ii

Danh mục hình
1.1

Ba đường đối trung đồng quy tại điểm Lemoine . . . . . . . . . . . . 5

1.2

Tính chất đường đối trung của tam giác

1.3

L là trọng tâm tam giác pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Hai đường đối song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5

Các cạnh đối song DE và F K của tam giác ABC bằng nhau . . . . . 14

1.6

Mệnh đề 1.2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1

Đường tròn Lemoine thứ nhất

2.2

Đường tròn Lemoine thứ hai

2.3

Dựng điểm Lemoine

2.4

Độ dài các đường song song Lemoine

2.5

Độ dài đường đối song Lemoine

2.6

Tính bán kính đường trịn Lemoine thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7

Trục đẳng phương của hai đường tròn Lemoine

2.8

Đường tròn Lemoine thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

. . . . . . . . . . . . . . . . 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
. . . . . . . . . . . . 37

2.9

L là trọng tâm của ∆AAb Ac , ∆Ba BBc , ∆Ca Cb C . . . . . . . . . . . . . 39
1
1
2.10 Bm K = BO = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2
2
2.11 Các điểm S, L, K, M, U thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1

Lục giác Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3

√
AKa : Ka L = λt : (2 ν − λt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
√
OK(t) : K(t)L = λt : 2 νt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4

Các đường tròn Lemoine Ln , n = 0, 1, 2, 3

3.5

Các đường tròn của Q.T.Bui

3.6

Đường tròn Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . 52

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


iii

3.7

Đường tròn Gallatly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8

Hai đường tròn van Lamoen và Kenmotu . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.9

Hai đường tròn van Lamoen và Kenmotu . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.10 Hai đường tròn Tucker bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.11 Hai đường tròn Tucker tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp

. . . . . . . . 62


iv

Mục lục
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Đường đối trung và điểm Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Đường đối trung và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Tính chất của điểm Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Đường đối song và đường đối song Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3. Tọa độ Barycentric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.1. Định nghĩa và tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.2. Một số kết quả trong tọa độ barycentric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2. Các đường tròn Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1. Đường tròn Lemoine thứ nhất và thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2. Một số cơng thức tính độ dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3. Đường tròn Lemoine thứ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Chương 3. Họ đường tròn Tucker và trường hợp đặc biệt . . . . . .

44

3.1. Đường tròn Tucker C(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2. Một số đường tròn Tucker đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.3. Các đường tròn Tucker bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.4. Các đường tròn Tucker trực giao và tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65


1

Giới thiệu luận văn
1. Mục đích của đề tài luận văn
Các yếu tố hình học xung quanh đường trịn Lemoine rất phong phú,
liên quan sâu sắc đến các vấn đề về đường trịn trong hình học sơ cấp. Đó

là các khái niệm: Điểm Lemoine, trục Brocard, đường thẳng Lemoine, lục
giác Lemoine, lục giác Tucker...Bằng cách tham số hóa ta có thể xây dựng
họ đường trịn Tucker với phương trình tổng quát trong tọa độ barycentric
và các vấn đề khác. Đó là lý do để tôi chọn đề tài Các đường tròn
Lemoine và họ các đường tròn Tucker” làm luận văn thạc sĩ của
mình. Mục đích của đề tài là:
- Trình bày các đường tròn Lemoine gồm đường tròn Lemoine thứ nhất,
đường tròn Lemoine thứ hai và đường tròn Lemoine thứ ba của tam giác
ABC . Bố cục chung là xác định tâm, tính bán kính và các tính chất đặc
trưng của mỗi đường tròn Lemoine.
- Bằng cách sử dụng tọa độ barycentric, mở rộng lục giác Lemoine sang
lục giác Tucker, tổng qt hóa các đường trịn Lemoine thành họ các đường
trịn Tucker theo tham số t. Từ đó quay trở lại xác định các trường hợp đặc
biệt khác của họ đường tròn Tucker cùng các ứng dụng của họ đường trịn
này. Tài liệu tham khảo chính là bài báo [4] đăng năm 2017 của hai nhà
hình học tên tuổi Sandor Nagydobai Kiss (Romania) và Paul Yiu (USA).
- Bồi dưỡng học sinh phổ thơng có năng khiếu Tốn, nâng cao và khai
thác các chun đề hình học hay và khó, chưa được hệ thống và giới thiệu
trong chương trình Hình học phổ thơng và các giáo trình Hình học sơ cấp.


2

2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết
Dựa vào các tài liệu chính [1] và [4], luận văn trình bày các kiến thức
bổ sung gồm các đường đối trung, điểm Lemoine, các đường song song, ...
và hệ tọa độ barycentric. Từ đó nghiên cứu ba đường trịn Lemoine, tổng
qt hóa nghiên cứu họ đường trịn Tucker phụ thuộc một tham số độ dài
t và các ứng dụng liên quan. Nội dung luận văn chia làm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Trình bày các kiến thức bổ sung là: Đường đối trung, điểm Lemoine,
đường đối song và tọa độ barycentric. Nội dung chương bao gồm (có tham
khảo và chọn lọc trong [1], [6]):
1.1. Đường đối trung và điểm Lemoine
1.2. Đường đối song và đường đối song Lemoine.
1.3. Tọa độ barycentric.
Chương 2. Các đường tròn Lemoine
Xây dựng các đường tròn Lemoine dựa vào các khái niệm đường
đối song, đường đối trung, điểm Lemoine, lục giác Lemoine,...Phát biểu và
chứng minh các tính chất đặc trưng của mỗi đường trịn Lemoine.
Chương này bao gồm (có tham khảo và chọn lọc trong [5]):
2.1. Đường tròn Lemoine thứ nhất và thứ hai
2.1. Một số cơng thức tính độ dài
2.4. Đường trịn Lemoine thứ ba.
Chương 3. Họ các đường tròn Tucker và ứng dụng
Dựa vào khái niệm lục giác Tucker (tổng quát hóa từ lục giác
Lemoine), tiến hành tham số hóa theo độ dài cạnh đối song thu được
họ các đường tròn Tucker. Từ phương trình tổng quát lại nhận được nhiều
trường hợp đặc biệt và các ứng dụng của họ đường trịn này. Nội dung của
chương bao gồm (có tham khảo và chọn lọc trong [4]):


3

3.1. Lục giác Tucker và đường tròn Tucker C(t)
3.2. Một số đường tròn Tucker đặc biệt
3.3. Các đường tròn Tucker bằng nhau
3.4. Các đường tròn Tucker trực giao và tiếp xúc

4

KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN
Stt
Ký hiệu
1
L
2
T
3
T
4
S
5
O9
6
σ
7
P
8 L1 ≡ (O1 , R1 )
9 L2 ≡ (O2 , R2 )
10
OL
11
ω
12 L3 ≡ (O3 , R3 )
13
C (t)

Nội dung ký hiệu

Trang
Điểm Lemoine của tam giác
6
Là tâm vị tự trong của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
18
Là tâm vị tự ngồi của đường trịn nội tiếp ∆ABC
18
Là diện tích ∆ABC
18
Là tâm Euler
18
bằng hai lần diện tích ∆ABC
20
Là trọng tâm của tam giác pedal
20
Đường trịn Lemoine thứ nhất
28
Đường trịn Lemoine thứ hai
29
Trục Brocard
29
Góc Brocard
36
Đường trịn Lemoine thứ ba
38
Họ đường tròn Tucker tham số t
44


5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trước hết ta nhắc lại về đường đối trung, điểm Lemoine và đường đối
song trong tam giác

1.1. Đường đối trung và điểm Lemoine

Hình 1.1: Ba đường đối trung đồng quy tại điểm Lemoine

Trên Hình 1.1 tam giác ABC có ba trung tuyến AD; BF ; CE , ba phân
giác (nét đứt) và 3 đường thẳng: AA1 ; BB1 ; CC1 tương ứng là đối xứng
của trung tuyến qua đường phân giác, được gọi là các đường đối trung
của tam giác ABC . Các trung tuyến đồng quy ở G−trọng tâm, các đường


6

phân giác đồng quy tại I−tâm đường tròn nội tiếp, còn ba đường đối trung
đồng quy tại điểm L, gọi là điểm Lemoine (điểm Grebe hay tâm đối trung
của tam giác). Trong “Bách khoa toàn thư về các tâm tam giác”, điểm
Lemoine được ký hiệu là X(6).
1.1.1. Đường đối trung và một số tính chất
Định nghĩa 1.1. Đường thẳng đối xứng với trung tuyến qua phân giác
trong của góc tại đỉnh tam giác được gọi là đường đối trung.
Mệnh đề 1.1.1. Ba đường đối trung của tam giác đồng quy tại một điểm.
Điểm đồng quy đó được gọi là điểm Lemoine (còn gọi là điểm Grebe hay
tâm đối trung) của tam giác.
Chứng minh. Giả sử ASA , BSB là hai đường đối trung, cắt nhau tại điểm
L. Từ L ta hạ các đường vng góc xuống các cạnh tam giác. Ký hiệu

x, y, z là khoảng cách từ L lần lượt đến các cạnh a, b, c. Vì L thuộc đường
đối trung ASA nên
b
y
= .
(1.1)
z
c
L lại thuộc đường đối trung BSB nên
x a
= .
(1.2)
z
c
Chia vế với vế của 2 đẳng thức (1.1), (1.2) ta được

y
b
= .
x a

(1.3)

Đẳng thức (1.3) chứng tỏ đường đối trung CSC đi qua điểm L.
Mệnh đề 1.1.2. Đường đối trung chia trong cạnh đối diện thành các phần
tỷ lệ với bình phương các cạnh kề.
Chứng minh. Gọi AS và AM là đường đối trung và trung tuyến của
∆ABC xuất phát từ A. Khi đó

BS

AB.AS
SBAS
=
=
SM AC
MC
AM.AC
Chia vế với vế hai đẳng thức trên thì được

BS BM
AB 2
.
=
.
M C SC
AC 2


7

BS
AB 2
AB 2
SB
Vì BM = M C nên
=
hay
= (BCS) = −
.
SC

AC 2
AC 2
SC
Mệnh đề đảo của Mệnh đề 1.1.2 cũng đúng.
Mệnh đề 1.1.3. Nếu một đường thẳng xuất phát từ đỉnh tam giác chia
trong cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với bình phương các cạnh kề thì
đó là đường đối trung.

SB
AB 2
Chứng minh. Theo giả thiết
. Giả sử S không
= (BCS) = −
AC 2
SC
phải chân đường đối trung xuất phát từ A. Ta dựng đường đối trung AS .
AB 2
SB
Theo Mệnh đề 1.1.2,
= (BCS ) = −
. Từ đó suy ra hai tỉ số đơn
SC
AC 2
bằng nhau (BCS) = (BCS ) nên S ≡ S . Nói cách khác AS là đường đối
trung.
Mệnh đề 1.1.4. Đường đối trung là quỹ tích những điểm mà khoảng cách
từ đó đến 2 cạnh tam giác tỷ lệ với hai cạnh này.
Chứng minh. Giả sử S là điểm mà khoảng cách từ S đến 2 cạnh tam giác
SD
AB

tỷ lệ với hai cạnh này. Từ S kẻ SD ⊥ AB , SE ⊥ AC thì
=
. Gọi
SE
AC
S0 = AS ∩ BC và hạ S0 D0 ⊥ AB , S0 E0 ⊥ AC thì

S0 D0
SD
AB
=
=
.
S0 E0
SE
AC
Tiếp theo,

SBAS0
AB.SA D0
AB 2
=
=
.
SCAS0
AC.SA E0
AC 2

SBAS0
BS0

BS0
AB 2
Mặt khác,
=
. Vậy
=
. Theo Mệnh đề 1.1.3 thì AS0
SCAS0
CS0
CS0
AC 2
là đường đối trung.
Đảo lại, giả sử AS0 là đường đối trung trong tam giác ABC , S0 là chân
đường đối trung. Trên AS0 ta lấy S bất kỳ và vẽ S0 D, SD ⊥ AB , S0 E ,
SE ⊥ AC . Ta có
AB.S0 D
AB S0 D
BS0
AB 2
SAS0 B
=
=
.
=
=
.
SAS0 C
AC.S0 E
AC S0 E
CS0

AC 2
S0 D
AB
S0 D
SD
=
. Nhưng
=
. Như vậy tỷ số 2 khoảng cách từ
S0 E
AC
S0 E
SE
S đến 2 cạnh bằng tỷ số của 2 cạnh ấy.
Suy ra


8

Hình 1.2: Tính chất đường đối trung của tam giác

Ta hãy xác định các khoảng cách x, y, z từ điểm Lemoine đến các cạnh.
Vì L là giao ba đường đối trung nên

x y
z ax by
cz
= = ; 2 = 2 = 2.
a
b

c a
b
c
Áp dụng tính chất các tỷ số bằng nhau, ta có

ax + by + cz
ax x
= 2 = .
2
2
2
a +b +c
a
a
Vì ax + by + cz = 2S với S = SAB C là diện tích của ∆ABC nên

2S
x
2aS
a2 ha
=
;
x
=
=
.
a2 + b 2 + c 2
a
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2

Tương tự,

2bS
b2 hb
y= 2
= 2
,
a + b2 + c2
a + b2 + c2
2cS
c2 hc
z= 2
= 2
.
a + b2 + c2
a + b2 + c2
1.1.2. Tính chất của điểm Lemoine
Ta phát biểu và chứng minh các tính chất cơ bản của điểm Lemoine.


9

Tính chất 1.1. Trong ∆ABC , với S là diện tích của tam giác, khoảng
cách từ điểm Lemoine L đến các cạnh tỷ lệ với

2S
2S
2S
a,
b,

c.
a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2
Chứng minh. Theo định lý Grebe: "Các đoạn thẳng nối điểm Lemoine L
với các hình chiếu của L trên các cạnh thì tỷ lệ với độ dài các cạnh tương
ứng", [2] . Nếu LA , LB , LC là chân đường vuông góc hạ từ L xuống cạnh
BC, CA, AB tương ứng thì

LLB
LLC
LLA
=
=
= α (chẳng hạn).
a
b
c
Như vậy, LLA = α.a, LLB = α.b, LLC = α.c.
Mặt khác, S = S∆ABC thì 2S = 2SLBC + 2SLCA + 2SLAB
= aLLA + bLLB + cLLC . Như vậy, 2S = a(α.a) + b(α.b) + c(α.c). Từ đây
2S
. Ta có điều cần chứng minh.
suy ra: α = 2
a + b2 + c2
Nhắc lại rằng với điểm P tùy ý, kẻ P Pa ⊥ BC , P Pb ⊥ AC , P Pc ⊥ AB .
Ta gọi tam giác Pa Pb Pc là tam giác pedal của điểm P đối với tam giác
ABC . Khi P ≡ L thì ta gọi tam giác pedal La Lb Lc của L là tam giác
pedal Lemoine.
Tính chất 1.2. Độ dài các cạnh của tam giác pedal Lemoine tương ứng
là 2α.ma , 2α.mb , 2α.mc , trong đó, ma , mb , mc là độ dài các trung tuyến
2S

tương ứng xuất phát từ đỉnh A, B, C của ∆ABC và α = 2
a + b2 + c2
Chứng minh. Vì ALB LLC là tứ giác nội tiếp nên LC LLB = 1800 − A. Áp
dụng Định lý cô sin vào tam giác LLC LB :

LC L2B = LL2C + LL2B − 2LLC .LLB .cosLC LLB
= α2 c2 + α2 b2 − 2α2 cos(π − A)
= α2 (b2 + c2 + 2bc cosA)
b2 + c2 − a2
= α2 b2 + c2 + 2bc
2bc
= α2 [(b2 + c2 ) − a2 ]
= α2 .4m2a .
Như vậy, LC LB = 2α.ma . Tương tự, LB LA = 2α.mb ; LA LC = 2α.mc .


10

Tính chất 1.3 (Định lý Grebe thứ 2). Nếu L là điểm trên mặt phẳng tam
giác ABC sao cho đại lượng

d2 (L, BC) + d2 (L, AC) + d2 (L, AB)
đạt cực tiểu thì L là điểm Lemoine của tam giác.
Chứng minh. Giả sử L là điểm trên mặt phẳng, hạ LLa ⊥ BC , LLb ⊥ CA,
LLc ⊥ AB . Ta có

a.LLa + b.LLb + c.LLc = 2SABC nếu L ở trong tam giác.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,

4S 2 ≤ (a2 + b2 + c2 )(LL2a + LL2b + LL2c ).

Như vậy,

LL2a

+

LL2b

+

LL2c

4S 2
và dấu bằng xảy ra khi và
≥ 2
a + b2 + c2

chỉ khi

LLa
LLb
LLc
=
=
= const.
a
b
c
Vậy L phải là điểm Lemoine của tam giác.

(a)

(b)

Hình 1.3: L là trọng tâm tam giác pedal


11

Tính chất 1.4 (Định lý Lemoine). Cho tam giác ABC và P là điểm bất
kỳ. Ký hiệu A B C là tam giác pedal của P đối với ∆ABC . Khi đó, P
là điểm Lemoine của ∆ABC khi và chỉ khi P là trọng tâm của tam giác
pedal A B C .
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử P ≡ L− điểm Lemoine của ∆ABC ,
hình 1.3a. Gọi M là trung điểm của BC , N là đối xứng của G qua M ,G
là trọng tâm ∆ABC , ∆A B C là tam giác pedal của L. Khi đó, BGCN
là hình bình hành và các tứ giác LB AC , LA BC , LA CB là các tứ giác
nội tiếp. Ta có các đẳng thức góc:
∠CN G = ∠BGN = ∠GAB + ∠GBA

= ∠LAC + ∠LBC = ∠LC B + ∠LC A

(1.4)

= ∠A C B .
∠N CG = ∠N CB + ∠BCG = ∠GBC + ∠BCG

= ∠LBA + ∠LCA = LA C + ∠LA B

(1.5)

=C AB.
Từ (1.4) và (1.5) ta có ∆CGN ∼ ∆C A B . Goi K = A L ∩ B C thì
∠M CN = ∠GBC = ∠LBA = ∠LA C = ∠C A K .
Điều đó nghĩa là ∆CM N ∼ ∆A KC và có biến đổi đồng dạng biến
C, G, N, M tương ứng thành A , B , C , K . Vì M là trung điểm GN nên
K là trung điểm của C B . Nghĩa là A L là trung tuyến ∆A B C . Tương
tự, B L, C L là 2 trung tuyến cịn lại. Do đó, L là trọng tâm tam giác
pedal A B C .
Điều kiện đủ. Hình 1.3b, giả sử P là trọng tâm của tam giác pedal
A B C của nó. Gọi Q là điểm liên hợp đẳng cự của P ứng với tam giác
ABC . Kéo dài AQ đến N sao cho CN QB . Chú ý rằng các tứ giác
P C AB , P C BA , P A CB nội tiếp. Ta có các đẳng thức góc
∠CN Q = ∠BQN = ∠QAB + ∠QBA

= ∠P AC + ∠P BC = ∠P C B + ∠P C A

(1.6)

= ∠A C B .
∠N CQ = ∠N CB + ∠BCQ = ∠QBC + ∠QCB

= ∠LBA + ∠LCA = ∠P A C + ∠P A B

(1.7)


12

= ∠C A B .

Từ (1.6) và (1.7) ta có ∆CQN ∼ ∆A B C . Giả sử A P ∩ B C = K . Vì
P là trọng tâm tam giác A B C nên K là trung điểm của B C . Lại gọi
M = CB ∩ QN thì
∠M CN = ∠QBC = ∠P BA = ∠P A C = ∠KA C .
Điều đó nghĩa là ∆CM N ∼ ∆A KC và có phép biến đổi đồng dạng biến
A , B , C , K lần lượt thành C, Q, N, M . Vì K là trung điểm của B C nên
M là trung điểm của QN . Vì CN BQ nên ∆BM Q = ∆CM N . Từ đó
suy ra M là trung điểm của BC và AQ chia đôi đoạn thẳng BC . Phép
chứng minh tương tự cho BQ chia đơi đoạn AC . Do đó, Q là trọng tâm
tam giác ABC và P là điểm liên hợp đẳng giác của Q. Đó là điểm Lemoine
trong tam giác ABC .
Nhắc lại rằng nếu ABC là một tam giác có X ∈ BC , Y ∈ CA, Z ∈ CA
thì chu vi tam giác XY Z đạt cực tiểu nếu XY Z là tam giác trực tâm. Ta
cịn có các bài tốn tương tự đối với đại lượng XY 2 + Y Z 2 + ZX 2 .
Bài tốn 1.1. [1], Cho tam giác ABC. Nếu có X ∈ BC , y ∈ CA, Z ∈ CA
thì đại lượng XY 2 + Y Z 2 + ZX 2 cực tiểu khi ∆XY Z là tam giác pedal
của điểm Lemoine L.
Bài tốn 1.2. [1], Diện tích của tam giác pedal của điểm Lemoine L đối
với ∆ABC bằng

12S 2
SL = 2
.
(a + b2 + c2 )2

(1.8)

Bài toán 1.3. [1], Chứng minh rằng trong tam giác vuông điểm Lemoine
là trung điểm của đường cao hạ từ đỉnh góc vng.
Bài tốn 1.4. [1], Chứng minh rằng nếu x, y, z là các khoảng cách từ điểm

Lemoine L đến các cạnh BC, CA, AB tương ứng thì xha = yhb = zhc .
Bài toán 1.5. [1], Tại giao điểm S của đường đối trung xuất phát từ
A dựng đường thẳng 1 ⊥ BC ; tại điểm B dựng 2 ⊥ AB ; tại C dựng
3 ⊥ AC . Ký hiệu B = 1 ∩ 2 , C = 1 ∩ 3 . Chứng minh rằng

b3
CC
= 3.
BB
c
.


13

1.2. Đường đối song và đường đối song Lemoine
Định nghĩa 1.2. Cho ∆ABC , trên cạnh AB (hay phần kéo dài) lấy một
điểm D, qua D kẻ đường thẳng DF thỏa ADF = C . Ta gọi đường thẳng
DF là đối song của đường thẳng BC trong tam giác ABC . Đoạn thẳng
DF được gọi là cạnh đối song của cạnh BC hay DF và BC là hai cạnh
đối song.
Trong tam giác có 3 cạnh đối song (tương ứng với 3 cạnh tam giác).
Mệnh đề 1.2.1 (Định lý về đường đối song). Đường tròn đi qua 2 đỉnh
tam giác cắt 2 cạnh tam giác tại D và F thì DF đối song với cạnh thứ ba.
Chứng minh. Trên Hình 1.4, ta có DF C + C = 2v do tứ giác BDF C là
tứ giác nội tiếp. Ta suy ra AF D + DF C = 2v nên AF D = B .
Mệnh đề 1.2.2. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại đỉnh
tam giác thì đối song với cạnh đối diện của đỉnh.
Chứng minh. Góc EAB có số đo bằng một nửa cung AM B , góc C cũng
vậy. Ta suy ra EAB = C , Hình 1.4.

Mệnh đề 1.2.3. Hai cạnh đối song bằng nhau thì cắt nhau trên đường đối
trung tương ứng.
Chứng minh. Giả sử P Q và DK là 2 đường đối song bằng nhau, cắt nhau
tại M , khi đó M P = M K vì tam giác M P K cân tại M . Vậy ta có
M D = M Q. Từ M hạ M E ⊥ AB , M F ⊥ AC . Ta có M E = DE sin C ;
và có M F = M Q sin B ,

ME
DE sin C
sin C
c
=
=
= .
MF
M Q sin B
sin B
b
Vì tỷ số các khoảng cách từ M đến 2 canh AB, AC bằng tỷ số của 2 cạnh
đó nên M nằm trên đường đối trung xuất phát từ A.
Ta có nhận xét: Tiếp tuyến tại 2 đỉnh tam giác của đường tròn ngoại tiếp
cắt nhau trên đường đối trung xuất phát từ đỉnh thứ ba.


14

Hình 1.4: Hai đường đối song

Hình 1.5: Các cạnh đối song DE và F K của tam giác ABC bằng nhau

15

Mệnh đề 1.2.4. Lấy trên cạnh AB của ∆ABC lấy điểm D, qua D kẻ
các đường DE đối song với BC, DF song song với AC . Sau đó kẻ F K đối
song với AB . Khi đó, các cạnh đối song DE và F K của tam giác ABC
bằng nhau, Hình 1.5.
Chứng minh. Các góc tam giác ADE lần lượt bằng các góc tam giác F CK .
Vì AED = F KC nên hình thang DEKF cân và DE = KF . Từ K kẻ
KP BC và từ P kẻ P M đối song với AC . Ta có hình thang M P KF
cân và KF = P M . Vậy DE = KF = P M .
Chú ý. Ta thấy sáu điểm D, E, K, P, M, F nằm trên một đường tròn. Thật
vậy, tứ giác DEKP là tứ giác nội tiếp vì DEK + DP K = 1800 . Đường
trịn đó đã đi qua 3 đỉnh D, E, K của hình thang cân phải đi qua đỉnh
thứ tư là F . Tương tự, xét hình thang M P KF ta suy ra M thuộc đường
trịn đó.
Dễ thấy các đường đối song với các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC thì
song song với các cạnh tương ứng của tam giác trực tâm ∆Ha Hb Hc . Để
thuận tiện trong cách diễn đạt ta gọi cạnh đối song của tam giác ABC là
đoạn thẳng có 2 đầu mút là giao của đường đối song với 2 cạnh tam giác.
Giữa đường đối song và đường đối trung ta có thêm các tính chất:

Hình 1.6: Mệnh đề 1.2.6


16

Mệnh đề 1.2.5. Các cạnh đối song của tam giác bị các đường đối trung
tương ứng chia làm đôi.
Chứng minh. Giả sử DE là đường đối song của BC , đặt trên AB, AC lần

lượt các điểm C , B sao cho AC = AC, AB = AB . Tất nhiên các tam
giác ABC và AB C bằng nhau. Giả sử AF là phân giác trong góc A.
Đường đối trung AS của tam giác ABC là đường trung tuyến của tam
giác AB C . Đường thẳng B C đối song đối với BC và bị đường đối trung
AS chia làm đôi. Vậy đường thẳng DE ⊥ B C cũng bị đường đối trung
chia làm đôi.
Mệnh đề đảo cũng đúng: Nếu một đoạn thẳng gồm giữa hai cạnh bị chia
đôi bởi đường đối trung cùng đỉnh thì nó là cạnh đối song của cạnh thứ ba
tam giác đó.
Mệnh đề 1.2.6. Các cạnh đối song chứa chân của một đường đối trung
thì bằng nhau.
Chứng minh. Giả sử AS là đường đối trung, SM và SN là các cạnh đối
c2
BS
= 2 . Suy ra
song với các cạnh AB , AC (Hình 1.6). Ta có
SC
b

BS + SC
b2 + c2
ac2
=
; BS = 2
.
BS
c2
b + c2
Từ các tam giác đồng dạng BSM và BAC suy ra:

MS
BS
b.BS
abc2
=
; MS =
=
.
b
c
c
c(b2 + c2 )
Vậy M S = SN .
Mệnh đề 1.2.7. Các cạnh đối song đi qua một điểm trên đường đối trung
thì bằng nhau.
Chứng minh. Giả sử F ∈ AS . Các đường thẳng DQ và P E tương ứng đối
song với các cạnh AB và AC . Khi đó,

AF
PF
QF
=
=
.
NS
AS
MS
Từ đó vì N S = SM nên QF = P F .
Ta thấy ∆DEF là tam giác cân vì D = BAC = E . Như vậy ta có
DE = F E . Cuối cùng, DQ = DF + F Q = F E + P F = P E .

17

Kết hợp các mệnh đề trên ta có thêm một tính chất của điểm Lemoine:
Tính chất 1.5. Các cạnh đối song đi qua điểm Lemoine thì bằng nhau và
bị điểm Lemoine chia làm đôi.
Các đường thẳng đối song đi qua L gọi là các đường thẳng đối song
Lemoine. Các đường thẳng đi qua điểm Lemoine, song song với các cạnh
tam giác ABC được gọi là các đường thẳng song song Lemoine.

1.3. Tọa độ Barycentric
1.3.1. Định nghĩa và tính chất
Ta cố định tam giác ABC , gọi nó là tam giác cơ sở (không suy biến).
Ký hiệu XY Z là diện tích đại số của tam giác XY Z . Ta có định nghĩa:
Định nghĩa 1.3. Giả sử ABC là tam giác cơ sở. Tọa độ barycentric của
điểm M đối với tam giác ABC là bộ ba số (x : y : z) sao cho

x : y : z = M BC : M CA : M AB.
Từ định nghĩa ta suy ra: nếu M = (x : y : z) thì ta cũng có kết quả
M = (kx : ky : kz), k = 0. Cho ∆ABC gọi G, I, O, H, Oa lần lượt là
trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm,
tâm đường trịn bàng tiếp trong góc A trong tam giác đó. Khi đó theo kết
quả trong [6]:
Ví dụ 1.3.1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ∆ABC lần lượt tương
ứng vởi BC, AC, AB tọa độ barycentric của một số điểm đặc biệt trong
∆ABC :
(1) G = (1 : 1 : 1) vì SGBC = SGCA = SGAB ,

1

1
1
(2) I = (a : b : c) vì SIBC = ra, SICA = rb, SIAB = rc,
2
2
2
(3) O = (sin 2A : sin 2B : sin 2C)
1
1
1
= ( R2 sin 2A : R2 sin 2B : R2 sin 2C)
2
2
2
= (sin A cos A : sin B cos B : sin C cos C)
b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 b2 + a2 − c2
= (a
:b
:c
)
2bc
2ac
2ba
= (a2 (b2 + c2 − a2 ) : b2 (c2 + a2 − b2 ) : c2 (b2 + a2 − c2 )),


18

(4) Oa = (−a : b : c) vì (−S(Oa BC) : S(Oa AB) : S(Oa AB) ) = (−a : b : c),
(5) Trực tâm H = (tan A : tan B : tan C)

1
1
1
:
:
,
= 2
b + c2 − a2 a2 + c2 − b2 b2 + a2 − c2
(6) Điểm Lemoine L = (a2 : b2 : c2 ),
(7) Các điểm trên BC có tọa độ dạng (0 : y : z). Tương tự các điểm trên
CA, AB lần lượt có tọa độ (x : 0 : z), (x : y : 0).
Khi M = (x : y : z) mà x+y+z = 0 ta thu được tọa độ barycentric tuyệt
x
y
z
đối của M :
:
:
, nếu x + y + z = 1 thì
x+y+z x+y+z x+y+z
(x : y : z) được gọi là tọa độ barycentric chuẩn của M . Nếu P (u : v : w),
Q(u : v : w ) thỏa mãn u + v + w = u + v + w thì điểm X chia P Q
theo tỷ số P X : XQ = p : q có tọa độ là

(qu + pu : qv + pv : qw + pw ).
Ví dụ 1.3.2. Tìm tọa độ các tâm vị tự trong T và tâm vị tự ngồi T của
đường trịn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC , S là diện tích
tam giác ABC .
Lời giải. Ta có T, T chia điều hòa đoạn thẳng OI và dễ thấy tỷ số
abcs

R abc S
=
:
= 2 .
r
2S 2s
S
Vì O = (a2 (b2 + c2 − a2 ) : (b2 (c2 + a2 − b2 ) : (c2 (a2 + b2 − c2 )) với tổng
các tọa độ bằng 4S 2 và I = (a : b : c) = (2S 2 a : 2S 2 b : 2S 2 c). Áp dụng
OT
R
cách tính trên với
=
ta có tọa độ của T là
TI
r

S 2 .sa2 (b2 + c2 − a2 ) + abcs.2S 2 a : S 2 .sb2 (c2 + a2 − b2 )
+abcs.2S 2 b : S 2 .sc2 (b2 + a2 − c2 ) + abcs.2S 2 c).
Rút gọn biểu thức:

S 2 .sa2 (b2 + c2 − a2 ) + abcs.2S 2 a = sS 2 a2 (b2 + c2 − a2 + 2bc)
= sS 2 a2 ((b + c)2 − a2 )
= sS 2 a2 (b + c + a)(b + c − a)
= sS 2 a2 (b + c − a).


19

Vậy tâm vị tự trong T = (a2 (b + c − a) : b2 (a + c − b) : c2 (a + b − c)).

Tương tự tâm vị tự ngoài:

T = (a2 (a+b−c)(c+a−b) : b2 (b+c−a)(a+b−c) : c2 (c+a−b)(b+c−a).
Cũng có thể viết T =

b2
c2
a2
:
:
.
b+c−a c+a−b a+b−c

Trong [3], T ≡ X(55), T ≡ X(56).
Ví dụ 1.3.3. Tọa độ barycentric của tâm Euler

O9 = (a cos (B − C) : b cos (C − A) : c cos (A − B)) .
Chứng minh. Đó là do ta có tỷ số OO9 : O9 G = 3 : −1. Trong [3], O9 là
điểm X(5).
1.3.2. Một số kết quả trong tọa độ barycentric
Chúng tơi tóm tắt các kết quả cơ bản đã được Paul Yiu nêu trong [6].
(a) Các cevian và vết
Ba đường thẳng nối từ điểm P đến 3 đỉnh tam giác gọi là các cevian
của P . Giao điểm AP , BP , CP của các cevian này với các cạnh tam giác
gọi là các vết của P . Tọa độ các vết có dạng

AP = (0 : y : z)

BP = (x : 0 : z)

CP = (x : y : 0).

Mệnh đề 1.3.1 (Định lý Ce’va). Ba điểm X ∈ BC, Y ∈ CA, Z ∈ AB là
vết của một điểm khi và chỉ khi chúng có tọa độ dạng

X = (0 : y : z),
Y = (x : 0 : z),
Z = (x : y : 0).
(b) Điểm Gergonne và điểm Nagel. Ba tiếp điểm X, Y, Z của đường
tròn nội tiếp với các cạnh tam giác có tọa độ

X =
X=
(0
: s − c : s − b),
Y = (s − c :
0
: s − a), hay
Z = (s − b : s − a :
0).

Y =
Z =

1
1
,
:
s−b
s−c

1
1
,
: 0 :
s−a
s−c
1
1
:
: 0 .
s−a
s−b

0 :